Gleichungen

Wie löst man Gleichungen?

In diesem Abschnitt werden wir uns an die elementarsten Gleichungen erinnern (oder sie studieren – wie jeder möchte). Was ist also eine Gleichung? In menschlicher Sprache gesprochen, das ist einiges mathematischer Ausdruck, wo es ein Gleichheitszeichen und eine Unbekannte gibt. Was normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet wird "X". löse die Gleichung ist es, solche x-Werte zu finden, die beim Einsetzen in Original Ausdruck, wird uns die richtige Identität geben. Ich möchte Sie daran erinnern, dass Identität ein Ausdruck ist, der selbst für eine Person, die absolut nicht mit mathematischen Kenntnissen belastet ist, keine Zweifel aufkommen lässt. Wie 2=2, 0=0, ab=ab usw. Wie löst man also Gleichungen? Lass es uns herausfinden.

Es gibt alle möglichen Gleichungen (ich war überrascht, oder?). Aber all ihre unendliche Vielfalt lässt sich nur in vier Typen einteilen.

4. Andere.)

Der Rest natürlich, vor allem ja ...) Dazu gehören kubische, exponentielle, logarithmische, trigonometrische und alle möglichen anderen. Wir werden in den entsprechenden Abschnitten eng mit ihnen zusammenarbeiten.

Ich muss sofort sagen, dass manchmal die Gleichungen die ersten drei Typen sind so verdreht, dass man sie nicht wiedererkennt ... Nichts. Wir werden lernen, wie wir sie abwickeln können.

Und warum brauchen wir diese vier Typen? Und dann was lineare Gleichungen auf eine Art gelöst Quadrat Andere gebrochen rational - der dritte, A ausruhenüberhaupt nicht gelöst! Nun, es ist nicht so, dass sie überhaupt keine Entscheidungen treffen, ich habe die Mathematik vergeblich beleidigt.) Es ist nur so, dass sie ihre eigenen haben besondere Tricks und Methoden.

Aber für jeden (ich wiederhole - für beliebig!) Gleichungen ist eine zuverlässige und problemlose Lösungsgrundlage. Funktioniert überall und immer. Diese Basis – Klingt beängstigend, aber die Sache ist ganz einfach. Und sehr (Sehr!) wichtig.

Tatsächlich besteht die Lösung der Gleichung aus denselben Transformationen. Bei 99 %. Antwort auf die Frage: " Wie löst man Gleichungen?" liegt gerade in diesen Transformationen. Ist der Hinweis klar?)

Identitätstransformationen von Gleichungen.

IN beliebige Gleichungen Um das Unbekannte zu finden, ist es notwendig, das ursprüngliche Beispiel umzuwandeln und zu vereinfachen. Darüber hinaus, damit beim Wechseln Aussehen Der Kern der Gleichung hat sich nicht geändert. Solche Transformationen heißen identisch oder gleichwertig.

Beachten Sie, dass diese Transformationen sind nur wegen der Gleichungen. In der Mathematik gibt es immer noch identische Transformationen Ausdrücke. Das ist ein anderes Thema.

Jetzt wiederholen wir alles-alles-alles grundlegend identische Transformationen von Gleichungen.

Grundlegend, weil sie angewendet werden können beliebig Gleichungen – linear, quadratisch, gebrochen, trigonometrisch, exponentiell, logarithmisch usw. usw.

Erste identische Transformation: Beide Seiten jeder Gleichung können addiert (subtrahiert) werden. beliebig(aber das Gleiche!) eine Zahl oder ein Ausdruck (einschließlich eines Ausdrucks mit einer Unbekannten!). Der Kern der Gleichung ändert sich nicht.

Übrigens haben Sie diese Transformation ständig verwendet, Sie dachten nur, dass Sie einige Terme mit einem Vorzeichenwechsel von einem Teil der Gleichung in einen anderen übertragen würden. Typ:

Die Sache ist bekannt, wir bewegen die Zwei nach rechts und erhalten:

Eigentlich du weggenommen von beiden Seiten der Gleichung zwei. Das Ergebnis ist das gleiche:

x+2 - 2 = 3 - 2

Die Übertragung von Begriffen von links nach rechts mit Vorzeichenwechsel ist lediglich eine verkürzte Version des ersten Identitätstransformation. Und warum brauchen wir so tiefes Wissen? - du fragst. Nichts in den Gleichungen. Bewegen Sie es, um Himmels willen. Vergessen Sie nicht, das Schild zu ändern. Aber bei Ungleichheiten kann die Gewohnheit der Übertragung in eine Sackgasse führen ...

Zweite Identitätstransformation: beide Seiten der Gleichung können mit demselben multipliziert (dividiert) werden ungleich Null Zahl oder Ausdruck. Hier zeigt sich bereits eine verständliche Einschränkung: Es ist dumm, mit Null zu multiplizieren, aber eine Division ist überhaupt nicht möglich. Dies ist die Transformation, die Sie verwenden, wenn Sie sich für etwas Cooles entscheiden

Verständlicherweise, X= 2. Aber wie hast du es gefunden? Auswahl? Oder einfach nur angezündet? Um nicht auf Einsicht zu warten, müssen Sie verstehen, dass Sie gerecht sind Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 5. Bei der Division der linken Seite (5x) wurde die Fünf reduziert, so dass ein reines X übrig blieb. Das ist genau das, was wir brauchten. Und als man die rechte Seite von (10) durch fünf dividierte, stellte sich natürlich eine Zwei heraus.

Das ist alles.

Es ist lustig, aber diese zwei (nur zwei!) identischen Transformationen liegen der Lösung zugrunde alle Gleichungen der Mathematik. Wie! Es macht doch Sinn, sich Beispiele dafür anzusehen, was und wie, oder?)

Beispiele für identische Transformationen von Gleichungen. Hauptprobleme.

Lass uns beginnen mit Erste identische Transformation. Bewegen Sie sich von links nach rechts.

Ein Beispiel für die Kleinen.)

Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen:

3-2x=5-3x

Erinnern wir uns an den Zauberspruch: „mit X – nach links, ohne X – nach rechts!“ Dieser Zauber ist eine Anweisung zur Anwendung der ersten Identitätstransformation.) Wie lautet der Ausdruck mit dem x auf der rechten Seite? 3x? Die Antwort ist falsch! Zu unserer Rechten - 3x! Minus drei x! Daher ändert sich das Vorzeichen beim Verschieben nach links in ein Plus. Erhalten:

3-2x+3x=5

Also wurden die X's zusammengestellt. Machen wir die Zahlen. Drei auf der linken Seite. Welches Zeichen? Die Antwort „mit keiner“ wird nicht akzeptiert!) Vor dem Tripel wird tatsächlich nichts gezeichnet. Und das bedeutet, dass vor dem Triple steht Plus. Also stimmten die Mathematiker zu. Es steht also nichts geschrieben Plus. Daher wird das Triple auf die rechte Seite übertragen mit einem Minus. Wir bekommen:

-2x+3x=5-3

Es sind noch freie Plätze übrig. Links - ähnliche angeben, rechts - zählen. Die Antwort lautet sofort:

In diesem Beispiel reichte eine identische Transformation aus. Der zweite wurde nicht benötigt. Na ja, okay.)

Ein Beispiel für die Ältesten.)

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Im Mathematikkurs der 7. Klasse treffen sie sich zum ersten Mal Gleichungen mit zwei Variablen, aber sie werden nur im Kontext von Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten untersucht. Aus diesem Grund geraten eine Reihe von Problemen aus dem Blickfeld, bei denen bestimmte Bedingungen an die Koeffizienten der Gleichung eingeführt werden, die sie begrenzen. Darüber hinaus werden auch Methoden zur Lösung von Problemen wie „Lösen Sie eine Gleichung in natürlichen oder ganzen Zahlen“ ignoriert, obwohl Probleme dieser Art in den USE-Materialien und bei Aufnahmeprüfungen immer häufiger auftreten.

Welche Gleichung wird als Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet?

So sind beispielsweise die Gleichungen 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 oder xy = 12 Gleichungen mit zwei Variablen.

Betrachten Sie die Gleichung 2x - y = 1. Sie wird bei x = 2 und y = 3 zu einer echten Gleichheit, sodass dieses Paar von Variablenwerten die Lösung der betrachteten Gleichung ist.

Somit ist die Lösung jeder Gleichung mit zwei Variablen die Menge der geordneten Paare (x; y), die Werte der Variablen, die diese Gleichung in eine echte numerische Gleichheit umwandelt.

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten kann:

A) habe eine Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + 5y 2 = 0 eine eindeutige Lösung (0; 0);

B) mehrere Lösungen haben. Zum Beispiel hat (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 Lösungen: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) habe keine Lösungen. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + y 2 + 1 = 0 keine Lösungen;

G) haben unendlich viele Lösungen. Zum Beispiel: x + y = 3. Die Lösungen dieser Gleichung sind Zahlen, deren Summe 3 ist. Die Menge der Lösungen gegebene Gleichung kann als (k; 3 – k) geschrieben werden, wobei k eine beliebige reelle Zahl ist.

Die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen sind Methoden, die auf der Faktorisierung von Ausdrücken, der Hervorhebung des vollständigen Quadrats, der Verwendung der Eigenschaften einer quadratischen Gleichung, begrenzten Ausdrücken und Bewertungsmethoden basieren. Die Gleichung wird in der Regel in eine Form umgewandelt, aus der ein System zum Auffinden von Unbekannten abgeleitet werden kann.

Faktorisierung

Beispiel 1

Lösen Sie die Gleichung: xy - 2 = 2x - y.

Lösung.

Wir gruppieren die Begriffe zum Zwecke des Factorings:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus jeder Klammer:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Wir haben:

y = 2, x ist eine beliebige reelle Zahl oder x = -1, y ist eine beliebige reelle Zahl.

Auf diese Weise, Die Antwort sind alle Paare der Form (x; 2), x € R und (-1; y), y € R.

Gleichheit nicht negativer Zahlen mit Null

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Lösung.

Gruppierung:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Jetzt kann jede Klammer mithilfe der Quadratdifferenzformel reduziert werden.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Die Summe zweier nichtnegativer Ausdrücke ist nur dann Null, wenn 3x - 2 = 0 und 2y - 3 = 0.

Also ist x = 2/3 und y = 3/2.

Antwort: (2/3; 3/2).

Bewertungsmethode

Beispiel 3

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Lösung.

Wählen Sie in jeder Klammer das vollständige Quadrat aus:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Schätzung die Bedeutung der Ausdrücke in Klammern.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 und (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, dann ist die linke Seite der Gleichung immer mindestens 2. Gleichheit ist möglich, wenn:

(x + 1) 2 + 1 = 1 und (y - 2) 2 + 2 = 2, also x = -1, y = 2.

Antwort: (-1; 2).

Machen wir uns mit einer anderen Methode zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen zweiten Grades vertraut. Bei dieser Methode wird die Gleichung als betrachtet Quadrat in Bezug auf eine Variable.

Beispiel 4

Lösen Sie die Gleichung: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Lösung.

Lösen wir die Gleichung als quadratische Gleichung bezüglich x. Finden wir die Diskriminante:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Die Gleichung hat nur dann eine Lösung, wenn D = 0, d. h. wenn y = 4. Wir setzen den Wert von y in die ursprüngliche Gleichung ein und stellen fest, dass x = 3.

Antwort: (3; 4).

Wird oft in Gleichungen mit zwei Unbekannten angegeben Einschränkungen für Variablen.

Beispiel 5

Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Lösung.

Schreiben wir die Gleichung in der Form x 2 = -5y 2 + 20x + 2 um. Die rechte Seite der resultierenden Gleichung ergibt bei Division durch 5 einen Rest von 2. Daher ist x 2 nicht durch 5 teilbar. Aber das Quadrat einer Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist, ergibt einen Rest von 1 oder 4. Somit ist Gleichheit unmöglich und es gibt keine Lösungen.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 6

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Lösung.

Wählen wir die vollständigen Quadrate in jeder Klammer aus:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Die linke Seite der Gleichung ist immer größer oder gleich 3. Gleichheit ist möglich, wenn |x| – 2 = 0 und y + 3 = 0. Somit ist x = ± 2, y = -3.

Antwort: (2; -3) und (-2; -3).

Beispiel 7

Für jedes Paar negativer Ganzzahlen (x; y), die die Gleichung erfüllen
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, berechne die Summe (x + y). Beantworten Sie den kleinsten Betrag.

Lösung.

Wählen Sie vollständige Quadrate aus:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Da x und y ganze Zahlen sind, sind auch ihre Quadrate ganze Zahlen. Die Summe der Quadrate zweier ganzen Zahlen, gleich 37, erhalten wir, wenn wir 1 + 36 addieren. Daher:

(x - y) 2 = 36 und (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 und (y + 2) 2 = 36.

Wenn wir diese Systeme lösen und berücksichtigen, dass x und y negativ sind, finden wir Lösungen: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Antwort: -17.

Verzweifeln Sie nicht, wenn Sie Schwierigkeiten beim Lösen von Gleichungen mit zwei Unbekannten haben. Mit ein wenig Übung werden Sie jede Gleichung meistern können.

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Anwendung

Online-Lösung von Gleichungen aller Art auf der Website zur Festigung des von Schülern und Schülern gelernten Materials. Online-Lösung von Gleichungen. Gleichungen online. Es gibt algebraische, parametrische, transzendente, funktionale, Differentialgleichungen und andere Arten von Gleichungen. Einige Gleichungsklassen verfügen über analytische Lösungen, die insofern praktisch sind, als sie nicht nur etwas liefern genauer Wert root und ermöglichen es Ihnen, die Lösung in Form einer Formel zu schreiben, die Parameter enthalten kann. Analytische Ausdrücke ermöglichen nicht nur die Berechnung der Wurzeln, sondern auch die Analyse ihrer Existenz und ihrer Anzahl in Abhängigkeit von den Werten der Parameter, was oft noch wichtiger ist praktische Anwendung als bestimmte Wurzelwerte. Lösung von Gleichungen online. Gleichungen online. Die Lösung der Gleichung besteht darin, solche Werte der Argumente zu finden, für die diese Gleichheit erreicht wird. Den möglichen Werten der Argumente können zusätzliche Bedingungen (ganzzahlig, reell usw.) auferlegt werden. Lösung von Gleichungen online. Gleichungen online. Sie können die Gleichung sofort online und mit hoher Ergebnisgenauigkeit lösen. Die Argumente der gegebenen Funktionen (manchmal auch „Variablen“ genannt) werden im Fall einer Gleichung als „Unbekannte“ bezeichnet. Die Werte der Unbekannten, für die diese Gleichheit erreicht wird, werden Lösungen oder Wurzeln der gegebenen Gleichung genannt. Wurzeln sollen eine gegebene Gleichung erfüllen. Eine Gleichung online zu lösen bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen (Wurzeln) zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. Lösung von Gleichungen online. Gleichungen online. Als Äquivalent oder Äquivalent werden Gleichungen bezeichnet, deren Wurzelsätze zusammenfallen. Als äquivalent gelten auch Gleichungen, die keine Wurzeln haben. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Symmetrie: Wenn eine Gleichung einer anderen äquivalent ist, dann ist die zweite Gleichung äquivalent zur ersten. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Transitivität: Wenn eine Gleichung einer anderen äquivalent ist und die zweite der dritten äquivalent ist, dann ist die erste Gleichung äquivalent zur dritten. Die Äquivalenzeigenschaft von Gleichungen ermöglicht es, mit ihnen Transformationen durchzuführen, auf denen die Methoden zu ihrer Lösung basieren. Lösung von Gleichungen online. Gleichungen online. Auf der Website können Sie die Gleichung online lösen. Zu den Gleichungen, für die analytische Lösungen bekannt sind, gehören algebraische Gleichungen, die nicht höher als der vierte Grad sind: eine lineare Gleichung, quadratische Gleichung, kubische Gleichung und Gleichung vierten Grades. Algebraische Gleichungen höhere Abschlüsse in Allgemeiner Fall Für sie gibt es keine analytische Lösung, obwohl einige von ihnen auf Gleichungen niedrigeren Grades reduziert werden können. Gleichungen, die transzendente Funktionen beinhalten, werden transzendental genannt. Darunter sind für einige analytische Lösungen bekannt trigonometrische Gleichungen, da die Nullen trigonometrische Funktionen sehr bekannt. Im allgemeinen Fall, wenn keine analytische Lösung gefunden werden kann, werden numerische Methoden verwendet. Numerische Methoden liefern keine exakte Lösung, sondern ermöglichen lediglich eine Einengung des Intervalls, in dem die Wurzel liegt, auf einen bestimmten vorgegebenen Wert. Gleichungen online lösen. Online-Gleichungen. Anstelle einer Online-Gleichung präsentieren wir, wie derselbe Ausdruck eine lineare Abhängigkeit bildet, und zwar nicht nur entlang einer geraden Tangente, sondern auch genau am Wendepunkt des Graphen. Diese Methode ist für das Studium des Themas jederzeit unverzichtbar. Es kommt häufig vor, dass sich die Lösung von Gleichungen dem Endwert nähert endlose Zahlen und Schreiben von Vektoren. Es ist notwendig, die Ausgangsdaten zu überprüfen, und das ist der Kern der Aufgabe. Andernfalls wird die lokale Bedingung in eine Formel umgewandelt. Geradenumkehr von gegebene Funktion, die der Gleichungsrechner ohne große Verzögerung bei der Ausführung berechnet, dient das Platzprivileg als Verrechnung. Dabei geht es um die Leistungen der Studierenden in einem wissenschaftlichen Umfeld. Wie alle oben genannten Punkte hilft es uns jedoch beim Finden. Wenn Sie die Gleichung vollständig gelöst haben, speichern Sie die resultierende Antwort an den Enden des geraden Liniensegments. Linien im Raum schneiden sich in einem Punkt, und dieser Punkt wird als von Linien geschnitten bezeichnet. Das Intervall auf der Linie ist wie zuvor angegeben markiert. Der höchste Beitrag zum Mathematikstudium wird veröffentlicht. Durch die Zuweisung eines Argumentwerts aus einer parametrisch definierten Oberfläche und die Online-Lösung einer Gleichung können die Prinzipien eines produktiven Aufrufs einer Funktion angegeben werden. Der Möbius-Streifen oder wie er Unendlichkeit genannt wird, sieht aus wie eine Acht. Dies ist eine einseitige Oberfläche, keine zweiseitige. Nach dem allen bekannten Prinzip werden wir lineare Gleichungen objektiv als Grundbezeichnung akzeptieren, wie sie im Fachgebiet vorkommen. Nur zwei Werte nacheinander gegebener Argumente können die Richtung des Vektors offenbaren. Anzunehmen, dass eine andere Lösung der Online-Gleichungen viel mehr ist als nur ihre Lösung, bedeutet, am Ausgang eine vollständige Version der Invariante zu erhalten. Ohne einen integrierten Ansatz ist es für Studierende schwierig, dieses Material zu erlernen. Dennoch bieten wir für jeden besonderen Anlass unser praktisches und intelligenter Taschenrechner Gleichungen online helfen jedem in schwierigen Zeiten, denn Sie müssen nur die Eingabeparameter angeben und das System berechnet die Antwort selbst. Bevor wir mit der Dateneingabe beginnen, benötigen wir ein Eingabetool, das ohne große Schwierigkeiten möglich ist. Die Anzahl der einzelnen Antwortwerte wird eine quadratische Gleichung sein, die zu unseren Schlussfolgerungen führt. Dies ist jedoch nicht so einfach, da das Gegenteil leicht zu beweisen ist. Die Theorie wird aufgrund ihrer Besonderheiten nicht durch praktisches Wissen gestützt. Einen Bruchrechner in der Phase der Veröffentlichung einer Antwort zu sehen, ist in der Mathematik keine leichte Aufgabe, da die Alternative, eine Zahl auf eine Menge zu schreiben, das Wachstum der Funktion erhöht. Es wäre jedoch falsch, nichts über die Ausbildung der Studierenden zu sagen, daher werden wir uns so ausführlich wie nötig äußern. Die zuvor gefundene kubische Gleichung gehört zu Recht zum Definitionsbereich und enthält den Raum numerischer Werte sowie symbolischer Variablen. Nachdem unsere Schüler den Satz gelernt oder auswendig gelernt haben, werden sie sich nur mit beweisen bessere Seite und wir werden uns für sie freuen. Im Gegensatz zur Menge der Schnittpunkte von Feldern werden unsere Online-Gleichungen durch eine Bewegungsebene entlang der Multiplikation von zwei und drei kombinierten numerischen Geraden beschrieben. Eine Menge ist in der Mathematik nicht eindeutig definiert. Die beste Lösung ist nach Ansicht der Studierenden, den schriftlichen Ausdruck bis zum Ende fertigzustellen. Wie gesagt wissenschaftliche Sprache, die Abstraktion symbolischer Ausdrücke ist nicht im Sachverhalt enthalten, aber die Lösung von Gleichungen liefert in allen bekannten Fällen ein eindeutiges Ergebnis. Die Dauer der Lehrersitzung richtet sich nach den Bedürfnissen dieses Angebots. Die Analyse zeigte, dass in vielen Bereichen alle Rechentechniken erforderlich sind, und es ist absolut klar, dass der Gleichungsrechner in den begabten Händen eines Studenten ein unverzichtbares Werkzeug ist. Eine loyale Herangehensweise an das Studium der Mathematik bestimmt die Bedeutung von Ansichten unterschiedlicher Richtungen. Sie möchten einen der Schlüsselsätze benennen und die Gleichung so lösen, dass abhängig von der Antwort ein weiterer Anwendungsbedarf besteht. Die Analytik in diesem Bereich gewinnt zunehmend an Bedeutung. Beginnen wir von vorne und leiten die Formel her. Nach dem Durchbrechen der Steigerungsstufe der Funktion führt die Tangente am Wendepunkt zwangsläufig dazu, dass die Online-Lösung der Gleichung einer der Hauptaspekte bei der Konstruktion desselben Diagramms aus dem Funktionsargument sein wird. Der Amateuransatz hat das Recht, angewendet zu werden, wenn diese Bedingung den Schlussfolgerungen der Studierenden nicht widerspricht. Genau diese Teilaufgabe stellt die Analyse mathematischer Verhältnisse als lineare Gleichungen dar vorhandene Fläche Objektdefinitionen. Durch den Versatz in Richtung der Orthogonalität wird der Vorteil eines einzelnen Absolutwerts zunichte gemacht. Modulo, das Online-Lösen von Gleichungen ergibt die gleiche Anzahl an Lösungen, wenn Sie die Klammern zuerst mit einem Pluszeichen und dann mit einem Minuszeichen öffnen. In diesem Fall gibt es doppelt so viele Lösungen und das Ergebnis ist genauer. Ein stabiler und korrekter Online-Gleichungsrechner ist ein Erfolg beim Erreichen des angestrebten Ziels in der vom Lehrer gestellten Aufgabe. Aufgrund der erheblichen Unterschiede in den Ansichten großer Wissenschaftler scheint es möglich, die notwendige Methode zu wählen. Die resultierende quadratische Gleichung beschreibt die Kurve der Linien, die sogenannte Parabel, und das Vorzeichen bestimmt ihre Konvexität im quadratischen Koordinatensystem. Aus der Gleichung erhalten wir nach dem Vieta-Theorem sowohl die Diskriminante als auch die Wurzeln selbst. Im ersten Schritt ist es notwendig, den Ausdruck als echten oder unechten Bruch darzustellen und den Bruchrechner zu verwenden. Abhängig davon wird ein Plan für unsere weiteren Berechnungen erstellt. Mathematik mit theoretischem Ansatz ist in jeder Phase nützlich. Wir werden das Ergebnis auf jeden Fall als kubische Gleichung darstellen, da wir seine Wurzeln in diesem Ausdruck verbergen, um die Aufgabe für einen Studenten an einer Universität zu vereinfachen. Alle Methoden sind gut, wenn sie für eine oberflächliche Analyse geeignet sind. Zusätzliche Rechenoperationen führen nicht zu Rechenfehlern. Bestimmen Sie die Antwort mit einer bestimmten Genauigkeit. Seien wir ehrlich: Mit der Lösung von Gleichungen ist es nicht so einfach, aus einer gegebenen Funktion eine unabhängige Variable zu finden, insbesondere während der Studienzeit parallele Linien im Unendlichen. Angesichts der Ausnahme liegt die Notwendigkeit auf der Hand. Der Polaritätsunterschied ist eindeutig. Aus der Erfahrung des Unterrichtens in Instituten hat unser Lehrer gewonnen Hauptlektion, auf dem Gleichungen online im vollen mathematischen Sinne untersucht wurden. Hier ging es um höhere Anstrengungen und besondere Fähigkeiten in der Anwendung der Theorie. Für unsere Schlussfolgerungen sollte man nicht durch ein Prisma schauen. Bis vor Kurzem glaubte man, dass eine geschlossene Menge schnell über die Fläche wächst und die Lösung von Gleichungen lediglich untersucht werden muss. Im ersten Schritt haben wir nicht alles berücksichtigt Möglichkeiten, aber ein solcher Ansatz ist gerechtfertigter denn je. Zusätzliche Aktionen mit Klammern rechtfertigen einige Fortschritte entlang der Ordinaten- und Abszissenachse, die mit bloßem Auge nicht zu übersehen sind. Es gibt einen Wendepunkt im Sinne eines breiten proportionalen Anstiegs einer Funktion. Wieder einmal beweisen wir, wie notwendige Bedingung wird während des gesamten absteigenden Intervalls der einen oder anderen absteigenden Position des Vektors angewendet. Auf engstem Raum wählen wir eine Variable aus dem ersten Block unseres Skripts aus. Das auf drei Vektoren basierende System ist für das Fehlen des Hauptkraftmoments verantwortlich. Der Gleichungsrechner leitete jedoch alle Terme der konstruierten Gleichung ab und half dabei, sie sowohl über der Oberfläche als auch entlang paralleler Linien zu finden. Beschreiben wir einen Kreis um den Startpunkt. Wir beginnen also, uns entlang der Schnittlinien nach oben zu bewegen, und die Tangente beschreibt den Kreis über seine gesamte Länge. Als Ergebnis erhalten wir eine Kurve, die als Evolvente bezeichnet wird. Lassen Sie uns übrigens ein wenig über die Geschichte dieser Kurve sprechen. Tatsache ist, dass es in der Mathematik historisch gesehen keinen Begriff der Mathematik selbst im reinen Sinne gab, wie er heute der Fall ist. Zuvor waren alle Wissenschaftler damit beschäftigt gemeinsame Ursache d.h. Wissenschaft. Später, einige Jahrhunderte später, als die wissenschaftliche Welt mit einer kolossalen Menge an Informationen gefüllt war, hat die Menschheit dennoch viele Disziplinen herausgegriffen. Sie bleiben weiterhin unverändert. Und doch versuchen Wissenschaftler auf der ganzen Welt jedes Jahr zu beweisen, dass die Wissenschaft grenzenlos ist und dass man eine Gleichung nicht lösen kann, wenn man nicht über Kenntnisse in den Naturwissenschaften verfügt. Möglicherweise wird es nicht möglich sein, dem endgültig ein Ende zu setzen. Darüber nachzudenken ist genauso sinnlos wie die Luft draußen zu erwärmen. Finden wir das Intervall, in dem das Argument mit seinem positiven Wert den Modul des Wertes in stark ansteigender Richtung bestimmt. Die Reaktion hilft dabei, mindestens drei Lösungen zu finden, diese müssen jedoch überprüft werden. Beginnen wir mit der Tatsache, dass wir die Gleichung online mithilfe des einzigartigen Dienstes unserer Website lösen müssen. Geben wir beide Teile der gegebenen Gleichung ein, drücken Sie die Schaltfläche „LÖSEN“ und erhalten Sie innerhalb weniger Sekunden die genaue Antwort. In besonderen Fällen nehmen wir ein Buch über Mathematik und überprüfen unsere Antwort noch einmal, das heißt, wir schauen uns nur die Antwort an und alles wird klar. Das gleiche Projekt wird auf einem künstlichen Parallelepiped durchgeführt. Es gibt ein Parallelogramm mit seinen parallelen Seiten, und es erklärt viele Prinzipien und Ansätze zur Untersuchung der räumlichen Beziehung des aufsteigenden Prozesses der Ansammlung von Hohlräumen in den Formeln natürliches Aussehen. Mehrdeutige lineare Gleichungen zeigen die Abhängigkeit der gewünschten Variablen von unserem Gemeinsamen dieser Moment Zeit durch Lösung und es ist notwendig, den unechten Bruch irgendwie abzuleiten und auf einen nicht trivialen Fall zu reduzieren. Wir markieren zehn Punkte auf der Geraden und zeichnen durch jeden Punkt eine Kurve in einer bestimmten Richtung und mit einer Konvexität nach oben. Ohne große Schwierigkeiten stellt unser Gleichungsrechner einen Ausdruck so dar, dass seine Prüfung auf die Gültigkeit der Regeln bereits zu Beginn der Aufzeichnung offensichtlich ist. Das System spezieller Stabilitätsdarstellungen steht für Mathematiker an erster Stelle, sofern die Formel nichts anderes vorsieht. Wir werden dies mit einer detaillierten Präsentation eines Berichts über den isomorphen Zustand eines plastischen Körpersystems beantworten und die Online-Lösung von Gleichungen beschreiben die Bewegung jedes materiellen Punktes in diesem System. Auf der Ebene der vertieften Forschung wird es notwendig sein, die Frage der Inversionen zumindest der unteren Raumschicht im Detail zu klären. Aufsteigend auf dem Abschnitt der Diskontinuität der Funktion wenden wir an allgemeine MethodeÜbrigens ein ausgezeichneter Forscher, unser Landsmann, und wir werden weiter unten über das Verhalten des Flugzeugs berichten. Aufgrund der starken Charakteristik der analytisch gegebenen Funktion verwenden wir den Online-Gleichungsrechner nur bestimmungsgemäß im Rahmen der abgeleiteten Befugnisse. Wenn wir weiter argumentieren, beenden wir unsere Überprüfung hinsichtlich der Homogenität der Gleichung selbst, das heißt, ihre rechte Seite wird mit Null gleichgesetzt. Wir werden noch einmal die Richtigkeit unserer Entscheidung in Mathematik überprüfen. Um eine triviale Lösung zu vermeiden, werden wir einige Anpassungen an den Anfangsbedingungen für das Problem der bedingten Stabilität des Systems vornehmen. Stellen wir eine quadratische Gleichung auf, für die wir mit der bekannten Formel zwei Einträge aufschreiben und negative Wurzeln finden. Wenn eine Wurzel die zweite und dritte Wurzel um fünf Einheiten überschreitet, dann durch Änderungen an Hauptargument Wir verzerren somit die Anfangsbedingungen des Teilproblems. Im Kern lässt sich etwas Ungewöhnliches in der Mathematik immer auf das Hundertstel einer positiven Zahl genau beschreiben. Der Bruchrechner ist seinen Pendants auf ähnlichen Ressourcen im besten Moment der Serverauslastung um ein Vielfaches überlegen. Auf der Oberfläche des entlang der y-Achse wachsenden Geschwindigkeitsvektors zeichnen wir sieben in entgegengesetzte Richtungen gebogene Linien. Die Angemessenheit des zugewiesenen Funktionsarguments führt den Wiederherstellungssaldozähler an. In der Mathematik lässt sich dieses Phänomen durch eine kubische Gleichung mit imaginären Koeffizienten sowie durch einen bipolaren Verlauf abnehmender Geraden darstellen. Die kritischen Punkte des Temperaturunterschieds beschreiben in vielerlei Hinsicht den Prozess der Faktorisierung einer komplexen Bruchfunktion. Wenn Sie aufgefordert werden, die Gleichung zu lösen, beeilen Sie sich nicht sofort damit, bewerten Sie auf jeden Fall zunächst den gesamten Aktionsplan und wählen Sie erst dann den richtigen Ansatz. Es wird sicherlich Vorteile geben. Leichtigkeit in der Arbeit ist offensichtlich, und in der Mathematik ist es das Gleiche. Lösen Sie die Gleichung online. Bei allen Online-Gleichungen handelt es sich um eine bestimmte Art von Datensätzen aus Zahlen oder Parametern und einer Variablen, die definiert werden muss. Berechnen Sie genau diese Variable, das heißt, finden Sie bestimmte Werte oder Intervalle einer Wertemenge, für die die Identität erfüllt ist. Die Anfangs- und Endbedingungen hängen direkt davon ab. IN gemeinsame Entscheidung Gleichungen enthalten normalerweise einige Variablen und Konstanten, durch deren Festlegung wir ganze Lösungsfamilien für eine gegebene Problemstellung erhalten. Im Allgemeinen rechtfertigt dies die Bemühungen, die Funktionalität eines räumlichen Würfels mit einer Seitenlänge von 100 Zentimetern zu erhöhen. Sie können einen Satz oder ein Lemma in jeder Phase der Antwortkonstruktion anwenden. Die Site stellt nach und nach einen Gleichungsrechner zur Verfügung, der bei Bedarf den kleinsten Wert in jedem Summationsintervall der Produkte anzeigt. In der Hälfte der Fälle erfüllt eine solche Kugel als Hohlkugel die Voraussetzungen für die Festlegung einer Zwischenantwort nicht in größerem Maße. Zumindest auf der y-Achse in Richtung abnehmender Vektordarstellung wird dieses Verhältnis zweifellos optimaler sein als der vorherige Ausdruck. In der Stunde, in der eine vollständige Punktanalyse linearer Funktionen durchgeführt wird, werden wir tatsächlich alle unsere komplexen Zahlen und bipolaren Ebenenräume zusammentragen. Indem Sie eine Variable in den resultierenden Ausdruck einsetzen, lösen Sie die Gleichung schrittweise und geben die detaillierteste Antwort mit hoher Genauigkeit. Auch hier ist es eine gute Form eines Schülers, seine Leistungen in Mathematik zu überprüfen. Der Anteil im Verhältnis der Brüche fixierte die Integrität des Ergebnisses in allen wichtigen Tätigkeitsbereichen des Nullvektors. Die Trivialität wird am Ende der durchgeführten Aktionen bestätigt. Bei einer einfachen Aufgabenstellung können die Schüler keine Schwierigkeiten haben, wenn sie die Gleichung online in möglichst kurzer Zeit lösen, aber alle möglichen Regeln nicht vergessen. Die Menge der Teilmengen schneidet sich im Bereich der konvergierenden Notation. In verschiedenen Fällen führt das Produkt keine fälschliche Faktorisierung durch. In unserem ersten Abschnitt über die Grundlagen mathematischer Techniken für wichtige Abschnitte für Studierende an Universitäten und technischen Schulen wird Ihnen geholfen, die Gleichung online zu lösen. Die Beantwortung von Beispielen wird uns nicht mehrere Tage warten lassen, da das Verfahren der besten Interaktion der Vektoranalyse mit der sequentiellen Lösungsfindung zu Beginn des letzten Jahrhunderts patentiert wurde. Es stellte sich heraus, dass die Bemühungen, mit dem umliegenden Team in Kontakt zu treten, nicht umsonst waren, sondern dass etwas anderes offensichtlich von vornherein überfällig war. Mehrere Generationen später glaubten Wissenschaftler auf der ganzen Welt, dass die Mathematik die Königin der Wissenschaften sei. Unabhängig davon, ob es sich um die linke oder die rechte Antwort handelt, müssen die erschöpfenden Begriffe ohnehin in drei Zeilen geschrieben werden, da wir in unserem Fall eindeutig nur von der Vektoranalyse der Eigenschaften der Matrix sprechen werden. Nichtlineare und lineare Gleichungen sowie biquadratische Gleichungen haben in unserem Buch einen besonderen Platz eingenommen empfohlene Vorgehensweise Berechnung der Bewegungsbahn im Raum aller materiellen Punkte eines geschlossenen Systems. Eine lineare Analyse des Skalarprodukts dreier aufeinanderfolgender Vektoren wird uns helfen, die Idee zum Leben zu erwecken. Am Ende jeder Einstellung wird die Aufgabe durch die Einführung optimierter numerischer Ausnahmen im Kontext der durchgeführten numerischen Raumüberlagerungen erleichtert. Ein weiteres Urteil wird der gefundenen Antwort in einer willkürlichen Form eines Dreiecks in einem Kreis nicht widersprechen. Der Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält den erforderlichen Spielraumprozentsatz und die Online-Lösung von Gleichungen zeigt im Gegensatz zu den Anfangsbedingungen häufig eine gemeinsame Wurzel der Gleichung. Die Ausnahme spielt die Rolle eines Katalysators im gesamten unvermeidlichen Prozess der Suche nach einer positiven Lösung im Bereich der Funktionsdefinition. Wenn nicht gesagt wird, dass Sie keinen Computer benutzen können, dann ist der Online-Gleichungsrechner genau das Richtige für Ihre schwierigen Aufgaben. Es genügt, Ihre bedingten Daten im richtigen Format einzugeben und unser Server wird in kürzester Zeit eine vollständige Antwort ausgeben. Eine Exponentialfunktion wächst viel schneller als eine lineare. Dies belegen die Talmuds der klugen Bibliotheksliteratur. Führt die Berechnung im allgemeinen Sinne durch, wie es die gegebene quadratische Gleichung mit drei komplexen Koeffizienten tun würde. Die Parabel im oberen Teil der Halbebene kennzeichnet eine geradlinige Parallelbewegung entlang der Punktachsen. Erwähnenswert ist hier der Potentialunterschied im Arbeitsraum des Körpers. Als Gegenleistung für ein suboptimales Ergebnis belegt unser Bruchrechner zu Recht den ersten Platz in der mathematischen Wertung der Übersicht über funktionale Programme im Backend. Die Benutzerfreundlichkeit dieses Dienstes wird von Millionen Internetnutzern geschätzt. Wenn Sie nicht wissen, wie man es benutzt, helfen wir Ihnen gerne weiter. Wir möchten auch die kubische Gleichung aus einer Reihe von Aufgaben für Grundschulkinder hervorheben und hervorheben, wenn es darum geht, schnell ihre Wurzeln zu finden und einen Funktionsgraphen auf einer Ebene darzustellen. höhere Abschlüsse Reproduktion ist eines der schwierigsten mathematischen Probleme am Institut und genug Std. Wie alle linearen Gleichungen bildet auch unsere keine Ausnahme von vielen objektiven Regeln. Betrachten Sie sie aus verschiedenen Blickwinkeln, und es wird sich herausstellen, dass sie einfach und ausreichend ist, um die Anfangsbedingungen festzulegen. Das Anstiegsintervall stimmt mit dem Konvexitätsintervall der Funktion überein. Lösung von Gleichungen online. Das Studium der Theorie basiert auf Online-Gleichungen aus zahlreichen Abschnitten zum Studium der Hauptdisziplin. Bei einem solchen Ansatz ist es bei unsicheren Problemen sehr einfach, die Lösung von Gleichungen in einer vorgegebenen Form darzustellen und nicht nur Schlussfolgerungen zu ziehen, sondern auch das Ergebnis einer solchen positiven Lösung vorherzusagen. Der Dienst wird uns helfen, das Fachgebiet in den besten Traditionen der Mathematik zu erlernen, so wie es im Osten üblich ist. In den besten Momenten des Zeitintervalls wurden ähnliche Aufgaben zehnmal mit einem gemeinsamen Multiplikator multipliziert. Mit einer Fülle von Multiplikationen mehrerer Variablen im Gleichungsrechner begann die Multiplikation anhand der Qualität und nicht anhand quantitativer Variablen, beispielsweise Werte wie Masse oder Körpergewicht. Um Fälle von Ungleichgewichten des materiellen Systems zu vermeiden, ist es für uns ganz offensichtlich, einen dreidimensionalen Konverter auf der trivialen Konvergenz nicht entarteter mathematischer Matrizen abzuleiten. Vervollständigen Sie die Aufgabe und lösen Sie die Gleichung in den angegebenen Koordinaten, da die Ausgabe im Voraus unbekannt ist und alle in der Nachraumzeit enthaltenen Variablen unbekannt sind. An kurzfristig Schieben Sie den gemeinsamen Faktor aus den Klammern und dividieren Sie vorher durch den größten gemeinsamen Teiler beider Teile. Aus der resultierenden abgedeckten Teilmenge der Zahlen extrahieren detaillierte Art und Weise Dreiunddreißig Punkte in Folge in kurzer Zeit. Soweit in von seiner besten Seite Es ist für jeden Schüler möglich, die Gleichung online zu lösen, mit Blick auf die Zukunft, sagen wir mal eine wichtige, aber entscheidende Sache, ohne die es für uns in Zukunft nicht einfach sein wird, zu leben. Im letzten Jahrhundert bemerkte der große Wissenschaftler eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten in der Theorie der Mathematik. In der Praxis entpuppte sich nicht ganz der erwartete Eindruck der Ereignisse. Grundsätzlich trägt jedoch gerade diese Online-Lösung von Gleichungen dazu bei, das Verständnis und die Wahrnehmung einer ganzheitlichen Herangehensweise an das Studium und die praktische Vertiefung des theoretischen Materials der Studierenden zu verbessern. Dies ist während der Studienzeit viel einfacher.

=

I. ax 2 \u003d 0 – unvollständig quadratische Gleichung (b=0, c=0 ). Lösung: x=0. Antwort: 0.

Gleichungen lösen.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Lösung. Erweitern Sie die Klammern durch Multiplikation 2x für jeden Begriff in Klammern:

2x2 +6x=6x-x2 ; Verschieben der Begriffe von der rechten auf die linke Seite:

2x2 +6x-6x+x2=0; Hier sind ähnliche Begriffe:

3x 2 =0, also x=0.

Antwort: 0.

II. ax2+bx=0 –unvollständig quadratische Gleichung (s=0 ). Lösung: x (ax+b)=0 → x 1 =0 oder ax+b=0 → x 2 =-b/a. Antwort: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Lösung. Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus X für Klammern:

x(5x-26)=0; Jeder Faktor kann Null sein:

x=0 oder 5x-26=0→ 5x=26, dividiere beide Seiten der Gleichheit durch 5 und wir erhalten: x \u003d 5,2.

Antwort: 0; 5,2.

Beispiel 3 64x+4x2=0.

Lösung. Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus 4x für Klammern:

4x(16+x)=0. Wir haben also drei Faktoren, 4≠0, oder x=0 oder 16+x=0. Aus der letzten Gleichheit erhalten wir x=-16.

Antwort: -16; 0.

Beispiel 4(x-3) 2 +5x=9.

Lösung.Öffnen Sie die Klammern, indem Sie die Formel für das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke anwenden:

x 2 -6x+9+5x=9; in die Form transformieren: x 2 -6x+9+5x-9=0; Hier sind ähnliche Begriffe:

x2-x=0; aushalten X Außerhalb der Klammern erhalten wir: x (x-1)=0. Von hier bzw x=0 oder x-1=0→ x=1.

Antwort: 0; 1.

III. ax2+c=0 –unvollständig quadratische Gleichung (b=0 ); Lösung: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Wenn (-c/a)<0 , dann gibt es keine wirklichen Wurzeln. Wenn (-s/a)>0

Beispiel 5 x 2 -49=0.

Lösung.

x 2 \u003d 49, von hier x=±7. Antwort:-7; 7.

Beispiel 6 9x2-4=0.

Lösung.

Oft muss man die Summe der Quadrate (x 1 2 + x 2 2) oder die Summe der Kubikzahlen (x 1 3 + x 2 3) der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ermitteln, seltener – die Summe der Kehrwerte der Quadrate der Wurzeln oder die Summe der Arithmetik Quadratwurzeln aus den Wurzeln der quadratischen Gleichung:

Der Satz von Vieta kann dabei helfen:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Äußern durch P Und Q:

1) die Summe der Quadrate der Wurzeln der Gleichung x2+px+q=0;

2) die Summe der Kuben der Wurzeln der Gleichung x2+px+q=0.

Lösung.

1) Ausdruck x 1 2 + x 2 2 erhält man durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; Öffne die Klammern: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; wir drücken den gewünschten Betrag aus: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Wir haben eine nützliche Gleichung: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Ausdruck x 1 3 + x 2 3 durch die Formel der Würfelsumme in der Form darstellen:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).

Eine weitere nützliche Gleichung: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).

Beispiele.

3) x 2 -3x-4=0. Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks, ohne die Gleichung zu lösen x 1 2 + x 2 2.

Lösung.

x 1 + x 2 =-p = 3, und die Arbeit x 1 ∙x 2 = q =im Beispiel 1) Gleichwertigkeit:

x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q. Wir haben -P=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Dann x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.

Antwort: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Berechnen Sie: x 1 3 +x 2 3 .

Lösung.

Nach dem Satz von Vieta ist die Summe der Wurzeln dieser reduzierten quadratischen Gleichung x 1 + x 2 =-p = 2, und die Arbeit x 1 ∙x 2 = q =-4. Wenden wir an, was wir erhalten haben ( im Beispiel 2) Gleichwertigkeit: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.

Antwort: x 1 3 + x 2 3 =32.

Frage: Was wäre, wenn wir eine nichtreduzierte quadratische Gleichung erhalten würden? Antwort: Es kann immer „reduziert“ werden, indem Term für Term durch den ersten Koeffizienten dividiert wird.

5) 2x2 -5x-7=0. Berechnen Sie ohne Lösung: x 1 2 + x 2 2.

Lösung. Wir erhalten eine vollständige quadratische Gleichung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 2 (den ersten Koeffizienten) und erhalten Sie die folgende quadratische Gleichung: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.

Nach dem Satz von Vieta beträgt die Summe der Wurzeln 2,5 ; das Produkt der Wurzeln ist -3,5 .

Wir lösen auf die gleiche Weise wie im Beispiel 3) unter Verwendung der Gleichheit: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Antwort: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2 -5x-2=0. Finden:

Transformieren wir diese Gleichheit und ersetzen wir die Summe der Wurzeln im Sinne des Vieta-Theorems: -P und das Produkt der Wurzeln durch Q erhalten wir eine weitere nützliche Formel. Bei der Ableitung der Formel haben wir Gleichung 1) verwendet: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

In unserem Beispiel x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 = q =-2. Setzen Sie diese Werte in die resultierende Formel ein:

7) x 2 -13x+36=0. Finden:

Lassen Sie uns diese Summe umwandeln und eine Formel erhalten, mit der es möglich ist, die Summe der arithmetischen Quadratwurzeln aus den Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu ermitteln.

Wir haben x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 = q = 36. Setzen Sie diese Werte in die abgeleitete Formel ein:

Beratung : Überprüfen Sie immer die Möglichkeit, die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu finden geeigneter Weg, schließlich 4 überprüft nützliche Formeln ermöglichen es Ihnen, die Aufgabe vor allem dann schnell zu erledigen, wenn die Diskriminante eine „unbequeme“ Zahl ist. Insgesamt einfache Fälle Finden Sie Wurzeln und operieren Sie sie. Im letzten Beispiel wählen wir beispielsweise die Wurzeln mithilfe des Vieta-Theorems aus: Die Summe der Wurzeln sollte gleich sein 13 und das Produkt der Wurzeln 36 . Was sind das für Zahlen? Sicherlich, 4 und 9. Berechnen Sie nun die Summe der Quadratwurzeln dieser Zahlen: 2+3=5. Das ist es!

I. Satz von Vieta für die reduzierte quadratische Gleichung.

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 ist gleich dem zweiten Koeffizienten aus entgegengesetztem Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Finden Sie die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta.

Beispiel 1) x 2 -x-30=0. Dies ist die reduzierte quadratische Gleichung ( x 2 +px+q=0), der zweite Koeffizient p=-1 und der freie Begriff q=-30. Stellen Sie zunächst sicher, dass die gegebene Gleichung Wurzeln hat und dass die Wurzeln (falls vorhanden) als ganze Zahlen ausgedrückt werden. Hierzu reicht es aus, dass die Diskriminante das volle Quadrat einer ganzen Zahl ist.

Die Diskriminante finden D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nach dem Vieta-Theorem muss nun die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten sein, der mit dem umgekehrten Vorzeichen genommen wird, d. h. ( -P), und das Produkt ist gleich dem freien Term, d.h. ( Q). Dann:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Wir müssen diese beiden Zahlen so wählen, dass ihr Produkt gleich ist -30 , und die Summe ist Einheit. Das sind die Zahlen -5 Und 6 . Antwort: -5; 6.

Beispiel 2) x 2 +6x+8=0. Wir haben die reduzierte quadratische Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten p=6 und kostenloses Mitglied q=8. Stellen Sie sicher, dass ganzzahlige Wurzeln vorhanden sind. Finden wir die Diskriminante D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Die Diskriminante D 1 ist das perfekte Quadrat der Zahl 1 , also sind die Wurzeln dieser Gleichung ganze Zahlen. Wir wählen die Wurzeln nach dem Vieta-Theorem: Die Summe der Wurzeln ist gleich –p=-6, und das Produkt der Wurzeln ist q=8. Das sind die Zahlen -4 Und -2 .

Eigentlich: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Antwort: -4; -2.

Beispiel 3) x 2 +2x-4=0. In dieser reduzierten quadratischen Gleichung ist der zweite Koeffizient p=2 und der freie Begriff q=-4. Finden wir die Diskriminante D1, da der zweite Koeffizient eine gerade Zahl ist. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Die Diskriminante ist kein perfektes Quadrat einer Zahl, also tun wir es Abschluss: Die Wurzeln dieser Gleichung sind keine ganzen Zahlen und können nicht mit dem Satz von Vieta gefunden werden. Also lösen wir diese Gleichung wie gewohnt nach den Formeln (in diesem Fall nach den Formeln). Wir bekommen:

Beispiel 4). Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln if x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Lösung. Die gewünschte Gleichung wird in der Form geschrieben: x 2 +px+q=0, außerdem basierend auf dem Vieta-Theorem –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Dann nimmt die Gleichung die Form an: x2 +3x-28=0.

Beispiel 5). Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln, wenn:

II. Satz von Vieta für die vollständige quadratische Gleichung ax2+bx+c=0.

Die Summe der Wurzeln ist minus B geteilt durch A, das Produkt der Wurzeln ist Mit geteilt durch A:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 = c / a.

Beispiel 6). Finden Sie die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung 2x2 -7x-11=0.

Lösung.

Wir sind davon überzeugt, dass diese Gleichung Wurzeln schlagen wird. Dazu reicht es aus, einen Ausdruck für die Diskriminante zu schreiben und ohne diese zu berechnen, einfach sicherzustellen, dass die Diskriminante größer als Null ist. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Und jetzt lasst uns verwenden Satz Vieta für vollständige quadratische Gleichungen.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Beispiel 7). Finden Sie das Produkt der Wurzeln einer quadratischen Gleichung 3x2 +8x-21=0.

Lösung.

Finden wir die Diskriminante D1, da der zweite Koeffizient ( 8 ) ist eine gerade Zahl. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Die quadratische Gleichung hat 2 Wurzel, nach dem Vieta-Theorem das Produkt der Wurzeln x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0 ist eine allgemeine quadratische Gleichung

Diskriminant D=b 2 - 4ac.

Wenn D>0, dann haben wir zwei echte Wurzeln:

Wenn D=0, dann haben wir eine einzelne Wurzel (oder zwei gleiche Wurzeln) x=-b/(2a).

Wenn D<0, то действительных корней нет.

Beispiel 1) 2x2 +5x-3=0.

Lösung. A=2; B=5; C=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 echte Wurzeln.

4x2 +21x+5=0.

Lösung. A=4; B=21; C=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 echte Wurzeln.

II. ax2+bx+c=0 – quadratische Gleichung einer bestimmten Form für eine gerade Sekunde

Koeffizient B

Beispiel 3) 3x2 -10x+3=0.

Lösung. A=3; B\u003d -10 (gerade Zahl); C=3.

Beispiel 4) 5x2-14x-3=0.

Lösung. A=5; B= -14 (gerade Zahl); C=-3.

Beispiel 5) 71x2 +144x+4=0.

Lösung. A=71; B=144 (gerade Zahl); C=4.

Beispiel 6) 9x 2 -30x+25=0.

Lösung. A=9; B\u003d -30 (gerade Zahl); C=25.

III. ax2+bx+c=0 – quadratische Gleichung privater Typ, vorausgesetzt: a-b+c=0.

Die erste Wurzel ist immer minus eins und die zweite Wurzel ist minus Mit geteilt durch A:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

Beispiel 7) 2x2+9x+7=0.

Lösung. A=2; B=9; C=7. Überprüfen wir die Gleichheit: a-b+c=0. Wir bekommen: 2-9+7=0 .

Dann x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3,5. Antwort: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – quadratische Gleichung einer bestimmten Form unter der Bedingung : a+b+c=0.

Die erste Wurzel ist immer gleich eins und die zweite Wurzel ist gleich Mit geteilt durch A:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

Beispiel 8) 2x2 -9x+7=0.

Lösung. A=2; B=-9; C=7. Überprüfen wir die Gleichheit: a+b+c=0. Wir bekommen: 2-9+7=0 .

Dann x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3,5. Antwort: 1; 3,5.

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In diesem Video analysieren wir eine ganze Reihe linearer Gleichungen, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Lassen Sie uns zunächst definieren: Was ist eine lineare Gleichung und welche davon sollte als die einfachste bezeichnet werden?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachsten reduziert:

1. Offene Klammern, falls vorhanden;
2. Verschieben Sie Begriffe, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Begriffe ohne Variable auf die andere.
3. Bringen Sie gleiche Begriffe links und rechts vom Gleichheitszeichen.
4. Teilen Sie die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $x$ .

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass sich nach all diesen Machenschaften manchmal herausstellt, dass der Koeffizient der Variablen $x$ gleich Null ist. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

1. Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn Sie beispielsweise so etwas wie $0\cdot x=8$ erhalten, d. h. links ist Null und rechts ist eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video gehen wir auf mehrere Gründe ein, warum diese Situation möglich ist.
2. Die Lösung sind alle Zahlen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Gleichung auf die Konstruktion $0\cdot x=0$ reduziert wurde. Es ist ziemlich logisch, dass, egal welches $x$ wir ersetzen, immer noch herauskommt: „Null ist gleich Null“, d. h. Korrekte numerische Gleichheit.

Und nun sehen wir uns am Beispiel realer Probleme an, wie das alles funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute beschäftigen wir uns mit linearen Gleichungen, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichheit, die genau eine Variable enthält und nur bis zum ersten Grad reicht.

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

1. Zunächst müssen Sie ggf. die Klammern öffnen (wie in unserem letzten Beispiel);
2. Dann bringen Sie ähnliches mit
3. Isolieren Sie abschließend die Variable, d. h. alles, was mit der Variablen zusammenhängt – die Begriffe, in denen sie enthalten ist – wird auf die eine Seite übertragen, und alles, was ohne sie bleibt, wird auf die andere Seite übertragen.

Dann müssen Sie in der Regel auf jeder Seite der resultierenden Gleichheit das Gleiche berechnen, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten bei „x“ dividieren, und wir erhalten das endgültige Ergebnis.

In der Theorie sieht es schön und einfach aus, aber in der Praxis können selbst erfahrene Gymnasiasten auf ziemlich einfache Weise beleidigende Fehler machen lineare Gleichungen. Normalerweise werden Fehler entweder beim Öffnen von Klammern oder beim Zählen von „Plus“ und „Minus“ gemacht.

Darüber hinaus kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat oder dass die Lösung der gesamte Zahlenstrahl ist, d. h. irgendeine Nummer. Wir werden diese Feinheiten in der heutigen Lektion analysieren. Aber wir beginnen, wie Sie bereits verstanden haben, mit den einfachsten Aufgaben.

Schema zur Lösung einfacher linearer Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen schreiben:

1. Erweitern Sie ggf. die Klammern.
2. Abgeschiedene Variablen, d.h. alles, was „x“ enthält, wird auf die eine Seite übertragen und ohne „x“ auf die andere.
3. Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
4. Wir dividieren alles durch den Koeffizienten bei „x“.

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer, es hat gewisse Feinheiten und Tricks, und jetzt werden wir sie kennenlernen.

Lösen realer Beispiele einfacher linearer Gleichungen

Aufgabe 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern öffnen. Da sie in diesem Beispiel nicht vorhanden sind, überspringen wir diesen Schritt. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen isolieren. Beachten Sie: wir reden nur über einzelne Begriffe. Lass uns schreiben:

Wir geben links und rechts ähnliche Begriffe an, dies wurde hier jedoch bereits getan. Daher gehen wir zum vierten Schritt über: Division durch einen Faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Hier haben wir die Antwort.

Aufgabe Nr. 2

In dieser Aufgabe können wir die Klammern beachten, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr den gleichen Aufbau, aber wir handeln nach dem Algorithmus, d. h. Sequester-Variablen:

Hier sind einige wie:

An welchen Wurzeln funktioniert das? Antwort: für jeden. Daher können wir schreiben, dass $x$ eine beliebige Zahl ist.

Aufgabe Nr. 3

Interessanter ist schon die dritte lineare Gleichung:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Hier gibt es mehrere Klammern, die jedoch nicht mit irgendetwas multipliziert werden, sondern lediglich unterschiedliche Vorzeichen haben. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln:

Wir führen den uns bereits bekannten zweiten Schritt durch:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Berechnen wir:

Wir führen den letzten Schritt durch – wir dividieren alles durch den Koeffizienten bei „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dinge, die Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Wenn wir zu einfache Aufgaben ignorieren, möchte ich Folgendes sagen:

• Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung – manchmal gibt es einfach keine Wurzeln;
• Selbst wenn es Wurzeln gibt, kann null dazwischen reinkommen – daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie der Rest. Sie sollten sie nicht irgendwie diskriminieren oder davon ausgehen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Eine weitere Funktion hängt mit der Erweiterung von Klammern zusammen. Bitte beachten Sie: Wenn davor ein „Minus“ steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Vorzeichen in Gegenteil. Und dann können wir es mit Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten das, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Das Verständnis dieser einfachen Tatsache wird Ihnen helfen, dumme und verletzende Fehler in der Highschool zu vermeiden, wenn solche Handlungen als selbstverständlich angesehen werden.

Komplexe lineare Gleichungen lösen

Kommen wir zu komplexeren Gleichungen. Jetzt werden die Konstruktionen komplizierter und bei der Durchführung verschiedener Transformationen erscheint eine quadratische Funktion. Davor sollten Sie jedoch keine Angst haben, denn wenn wir nach der Absicht des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden im Transformationsprozess zwangsläufig alle Monome reduziert, die eine quadratische Funktion enthalten.

Beispiel 1

Der erste Schritt besteht natürlich darin, die Klammern zu öffnen. Gehen wir dabei ganz vorsichtig vor:

Kommen wir nun zum Datenschutz:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier sind einige wie:

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, daher schreiben wir in der Antwort wie folgt:

\[\Vielfalt \]

oder keine Wurzeln.

Beispiel #2

Wir führen die gleichen Schritte durch. Erster Schritt:

Verschieben wir alles mit einer Variablen nach links und ohne sie nach rechts:

Hier sind einige wie:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, also schreiben wir sie so:

\[\varnothing\],

oder keine Wurzeln.

Nuancen der Lösung

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke haben wir uns noch einmal vergewissert, dass selbst in den einfachsten linearen Gleichungen nicht alles so einfach sein kann: Es kann entweder eine oder keine oder unendlich viele geben. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, in beiden gibt es einfach keine Wurzeln.

Aber ich möchte Sie noch auf eine andere Tatsache aufmerksam machen: wie man mit Klammern umgeht und wie man sie erweitert, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor dem Öffnen müssen Sie alles mit „x“ multiplizieren. Bitte beachten: multiplizieren jeder einzelne Begriff. Im Inneren befinden sich zwei Terme bzw. zwei Terme und wird multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen abgeschlossen sind, kann die Klammer unter dem Gesichtspunkt geöffnet werden, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: Erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns daran, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles darunter nur das Vorzeichen wechselt. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem auch das vordere „Minus“.

Das Gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Fakten achte. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Folge elementare Transformationen, wo die Unfähigkeit, einfache Handlungen klar und kompetent auszuführen, dazu führt, dass Gymnasiasten zu mir kommen und wieder lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen, an dem Sie diese Fähigkeiten zum Automatismus verfeinern. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen, sondern schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade erst lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, kann kaum als die einfachste Aufgabe bezeichnet werden, aber die Bedeutung bleibt dieselbe.

Aufgabe 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Machen wir ein Retreat:

Hier sind einige wie:

Machen wir den letzten Schritt:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier ist unsere endgültige Antwort. Und trotz der Tatsache, dass wir im Lösungsprozess Koeffizienten mit einer quadratischen Funktion hatten, hoben sie sich gegenseitig auf, was die Gleichung exakt linear und nicht quadratisch macht.

Aufgabe Nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Gehen wir den ersten Schritt sorgfältig durch: Multiplizieren Sie jedes Element in der ersten Klammer mit jedem Element in der zweiten. Insgesamt sollten nach Transformationen vier neue Terme erhalten werden:

Und nun führen Sie die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durch:

Verschieben wir die Begriffe mit „x“ nach links und ohne – nach rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wir haben eine definitive Antwort erhalten.

Nuancen der Lösung

Die wichtigste Bemerkung zu diesen beiden Gleichungen ist folgende: Sobald wir beginnen, die Klammern zu multiplizieren, in denen ein größerer Term steht, geschieht dies gemäß nächste Regel: Wir nehmen den ersten Term vom ersten und multiplizieren ihn mit jedem Element vom zweiten; dann nehmen wir das zweite Element vom ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element vom zweiten. Als Ergebnis erhalten wir vier Begriffe.

Zur algebraischen Summe

Mit dem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was eine algebraische Summe ist. In der klassischen Mathematik meinen wir mit 1-7$ einfaches Design: Subtrahiere sieben von eins. In der Algebra meinen wir damit Folgendes: Zur Zahl „eins“ addieren wir eine weitere Zahl, nämlich „minus sieben“. Diese algebraische Summe unterscheidet sich von der üblichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei der Durchführung aller Transformationen, jeder Addition und Multiplikation ähnliche Konstruktionen wie die oben beschriebenen sehen, werden Sie bei der Arbeit mit Polynomen und Gleichungen in der Algebra einfach keine Probleme mehr haben.

Schauen wir uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele an, die noch komplexer sein werden als die, die wir gerade betrachtet haben, und um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit einem Bruch lösen

Um solche Aufgaben zu lösen, muss unserem Algorithmus ein weiterer Schritt hinzugefügt werden. Aber zuerst möchte ich unseren Algorithmus daran erinnern:

1. Offene Klammern.
2. Separate Variablen.
3. Ähnliches mitbringen.
4. Durch einen Faktor dividieren.

Leider ist dieser wunderbare Algorithmus trotz seiner Effizienz nicht ganz geeignet, wenn wir Brüche vor uns haben. Und in dem, was wir weiter unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen links und rechts einen Bruch.

Wie geht man in diesem Fall vor? Ja, es ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion ausgeführt werden kann, nämlich Brüche loszuwerden. Somit sieht der Algorithmus wie folgt aus:

1. Beseitigen Sie Brüche.
2. Offene Klammern.
3. Separate Variablen.
4. Ähnliches mitbringen.
5. Durch einen Faktor dividieren.

Was bedeutet es, „Brüche loszuwerden“? Und warum ist dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt möglich? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche hinsichtlich des Nenners numerisch, d. h. Überall ist der Nenner nur eine Zahl. Wenn wir also beide Teile der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Beispiel 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Bitte beachten Sie: Alles wird einmal mit „vier“ multipliziert, d. h. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede davon mit „vier“ multiplizieren müssen. Lass uns schreiben:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Jetzt öffnen wir es:

Wir führen eine Abschottung einer Variablen durch:

Wir führen die Reduktion ähnlicher Begriffe durch:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nachdem wir die endgültige Lösung erhalten haben, gehen wir zur zweiten Gleichung über.

Beispiel #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier führen wir alle gleichen Aktionen aus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem gelöst.

Das ist eigentlich alles, was ich heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse lauten wie folgt:

• Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
• Möglichkeit, Klammern zu öffnen.
• Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie irgendwo quadratische Funktionen haben, höchstwahrscheinlich werden diese bei weiteren Transformationen reduziert.
• Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst in den einfachsten: eine einzelne Wurzel, die gesamte Zahlenlinie ist eine Wurzel, es gibt überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, dass diese Lektion Ihnen dabei hilft, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für ein besseres Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es warten noch viele weitere interessante Dinge auf Sie!