Zufällige Variable. Numerische Eigenschaften stetiger Zufallsvariablen. Eine stetige Zufallsvariable X sei gegeben durch die Verteilungsfunktion f (x)

Im Gegensatz zu einer diskreten Zufallsvariablen können kontinuierliche Zufallsvariablen nicht in Form einer Tabelle ihres Verteilungsgesetzes angegeben werden, da es unmöglich ist, alle ihre Werte in einer bestimmten Reihenfolge aufzulisten und auszuschreiben. Eine der Möglichkeiten, eine kontinuierliche Zufallsvariable zu definieren, besteht darin, eine Verteilungsfunktion zu verwenden.

DEFINITION. Eine Verteilungsfunktion ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der auf der numerischen Achse durch einen links vom Punkt x liegenden Punkt dargestellt wird, d.h.

Manchmal wird anstelle des Begriffs "Verteilungsfunktion" der Begriff "Summenfunktion" verwendet.

Eigenschaften der Verteilungsfunktion:

1. Die Werte der Verteilungsfunktion gehören zum Segment: 0F (x) 1
2. F (x) ist eine nicht abnehmende Funktion, d.h. F (x 2) F (x 1) wenn x 2> x 1

Korollar 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen im Intervall (a, b) eingeschlossenen Wert annimmt, ist gleich dem Inkrement der Verteilungsfunktion in diesem Intervall:

P (aX

Beispiel 9. Die Zufallsvariable X ist durch die Verteilungsfunktion gegeben:

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X als Ergebnis des Tests einen Wert annimmt, der zum Intervall (0; 2) gehört: P (0

Lösung: Da auf dem Intervall (0; 2) nach Bedingung F (x) = x / 4 + 1/4 ist, dann ist F (2) -F (0) = (2/4 + 1/4) - (0 / 4 + 1/4) = 1/2. Also, P (0

Korollar 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable X einen bestimmten Wert annimmt, ist null.

Korollar 3. Wenn die möglichen Werte der Zufallsvariablen zum Intervall (a; b) gehören, dann: 1) F (x) = 0 für xa; 2) F (x) = 1 für xb.
Es gelten folgende Grenzbeziehungen:

Der Graph der Verteilungsfunktion liegt in einem durch Geraden begrenzten Streifen y = 0, y = 1 (erste Eigenschaft). Wenn x im Intervall (a; b) zunimmt, das alle möglichen Werte der Zufallsvariablen enthält, "steigt" der Graph nach oben. Bei xa sind die Ordinaten des Graphen gleich Null; bei xb sind die Ordinaten des Graphen gleich eins:

Bild 1

Beispiel 10. Die diskrete Zufallsvariable X wird durch die Verteilungstabelle gegeben:

x	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Finden Sie die Verteilungsfunktion und zeichnen Sie sie.
Lösung: Die Verteilungsfunktion kann analytisch wie folgt geschrieben werden:

Figur 2

DEFINITION: Die Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen X ist die Funktion f (x) - die erste Ableitung der Verteilungsfunktion F (x): f (x) = F "(x)

Aus dieser Definition folgt, dass die Verteilungsfunktion die Stammfunktion für die Verteilungsdichte ist.

Satz. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X einen zum Intervall (a; b) gehörenden Wert annimmt, ist gleich einem bestimmten Integral der Verteilungsdichte im Bereich von a bis b:

(8)

Wahrscheinlichkeitsdichteeigenschaften:

1. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine nicht negative Funktion: f (x) 0.
2. Das bestimmte Integral von -∞ bis + ∞ der Wahreiner kontinuierlichen Zufallsvariablen ist gleich 1: f (x) dx = 1.
3. Das bestimmte Integral von -∞ nach x der Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist gleich der Verteilungsfunktion dieser Größe: f (x) dx = F (x)

Beispiel 11. Die Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X ist gegeben

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X als Ergebnis des Tests einen Wert annimmt, der zum Intervall (0,5; 1) gehört.

Lösung: Suche nach Wahrscheinlichkeit:

Erweitern wir die Definition der numerischen Eigenschaften diskreter Größen auf kontinuierliche Größen. Eine stetige Zufallsvariable X sei durch die Verteilungsdichte f (x) gegeben.

DEFINITION. Die mathematische Erwartung einer stetigen Zufallsvariablen X, deren mögliche Werte zu einem Segment gehören, ist ein bestimmtes Integral:

M (x) = xf (x) dx (9)

Wenn die möglichen Werte zur gesamten Ox-Achse gehören, dann:

M (x) = xf (x) dx (10)

Die Mode M 0 (X) einer stetigen Zufallsvariablen X wird ihr möglicher Wert genannt, der dem lokalen Maximum der Verteilungsdichte entspricht.

Der Median M e (X) einer stetigen Zufallsvariablen X wird als möglicher Wert bezeichnet, der durch die Gleichheit bestimmt wird:

P (X e (X)) = P (X > Me (X))

DEFINITION. Die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist die mathematische Erwartung des Quadrats ihrer Abweichung. Wenn die möglichen Werte von X zum Segment gehören, dann:

D (x) = 2 f (x) dx (11)
oder
D (x) = x 2 f (x) dx- 2 (11 *)

Wenn die möglichen Werte zur gesamten x-Achse gehören, dann.

Wie bekannt, zufällige Variable es wird eine Variable aufgerufen, die je nach Fall bestimmte Werte annehmen kann. Zufallsvariablen werden durch Großbuchstaben des lateinischen Alphabets (X, Y, Z) und ihre Werte durch die entsprechenden Kleinbuchstaben (x, y, z) bezeichnet. Zufallsvariablen werden in diskontinuierlich (diskret) und kontinuierlich unterteilt.

Diskrete Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, die nur eine endliche oder unendliche (zählbare) Menge von Werten mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten ungleich null annimmt.

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen aufgerufen wird eine Funktion, die die Werte einer Zufallsvariablen mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten verknüpft. Das Verteilungsgesetz kann auf eine der folgenden Arten spezifiziert werden.

1 . Das Verteilungsgesetz kann durch die Tabelle gegeben werden:

wobei λ> 0, k = 0, 1, 2,….

v) mit Hilfe Verteilungsfunktion F (x) , die für jeden Wert von x die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass eine Zufallsvariable X einen Wert kleiner als x annimmt, d.h. F (x) = P (X< x).

Eigenschaften der Funktion F (x)

3 . Das Verteilungsgesetz kann grafisch eingestellt werden - Polygon-(Polygon-)Verteilung (siehe Aufgabe 3).

Beachten Sie, dass es zur Lösung einiger Probleme nicht erforderlich ist, das Verteilungsgesetz zu kennen. In manchen Fällen reicht es aus, eine oder mehrere Zahlen zu kennen, die die wichtigsten Merkmale des Verteilungsrechts widerspiegeln. Dies kann eine Zahl sein, die den "Durchschnittswert" einer Zufallsvariablen bedeutet, oder eine Zahl, die die durchschnittliche Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Mittelwert angibt. Zahlen dieser Art werden als numerische Merkmale einer Zufallsvariablen bezeichnet.

Grundlegende numerische Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen :

Mathematische Erwartung (Mittelwert) diskrete Zufallsvariable M (X) = Σ x i p i.
Für die Binomialverteilung M (X) = np, für die Poisson-Verteilung M (X) = λ
Dispersion diskrete Zufallsvariable D(X) = M2 oder D (X) = M (X 2) - 2... Die Differenz X – M (X) wird als Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung bezeichnet.
Für die Binomialverteilung D (X) = npq, für die Poisson-Verteilung D (X) = λ
Standardabweichung (Standardabweichung) (X) = √D (X).

Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema "Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen"

Ziel 1.

Es wurden 1000 Lottoscheine ausgegeben: 5 von ihnen erhalten einen Gewinn von 500 Rubel, 10 - einen Gewinn von 100 Rubel, 20 - einen Gewinn von 50 Rubel, 50 - einen Gewinn von 10 Rubel. Bestimmen Sie das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X - eine Auszahlung pro Ticket.

Lösung. Je nach Problemstellung sind folgende Werte der Zufallsvariablen X möglich: 0, 10, 50, 100 und 500.

Die Anzahl der Tickets ohne Gewinn beträgt 1000 - (5 + 10 + 20 + 50) = 915, dann P (X = 0) = 915/1000 = 0,915.

Ebenso finden wir alle anderen Wahrscheinlichkeiten: P (X = 0) = 50/1000 = 0,05, P (X = 50) = 20/1000 = 0,02, P (X = 100) = 10/1000 = 0,01 , P (X = 500) = 5/1000 = 0,005. Das resultierende Gesetz stellen wir in Form einer Tabelle dar:

Finden wir die mathematische Erwartung des Wertes X: M (X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3,5

Ziel 3.

Das Gerät besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements in einem Experiment beträgt 0,1. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der ausgefallenen Elemente in einem Experiment, bauen Sie ein Verteilungspolygon auf. Finden Sie die Verteilungsfunktion F (x) und zeichnen Sie ihren Graphen. Ermitteln Sie die mathematische Erwartung, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen.

Lösung. 1. Eine diskrete Zufallsvariable X = (die Anzahl der ausgefallenen Elemente in einem Experiment) hat die folgenden möglichen Werte: x 1 = 0 (kein Element des Geräts ist ausgefallen), x 2 = 1 (ein Element ausgefallen), x 3 = 2 ( zwei Elemente sind fehlgeschlagen) und x 4 = 3 (drei Elemente sind fehlgeschlagen).

Ausfälle von Elementen sind unabhängig voneinander, die Ausfallwahrscheinlichkeiten jedes Elements sind gleich, daher ist es anwendbar Bernoulli-Formel ... Unter Berücksichtigung der Bedingung n = 3, p = 0,1, q = 1-p = 0,9 bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten der Werte:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Überprüfen Sie: ∑p i = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

Somit hat das gesuchte Binomialverteilungsgesetz für X die Form:

Auf der Abszissenachse legen wir die möglichen Werte von x i und auf der Ordinatenachse die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p i fest. Wir bilden die Punkte M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Wenn wir diese Punkte durch Liniensegmente verbinden, erhalten wir das gewünschte Verteilungspolygon.

3. Finden wir die Verteilungsfunktion F (x) = P (X

Für x ≤ 0 gilt F (x) = P (X<0) = 0;
für 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
für 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
für 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
für x> 3 ist F (x) = 1, da die Veranstaltung ist gültig.

Funktionsgraph F (x)

4. Für Binomialverteilung X:
- mathematischer Erwartungswert M (X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- Varianz D (X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- Standardabweichung σ (X) = √D (X) = √0,27 ≈ 0,52.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie hat man es mit Zufallsvariablen zu tun, deren Werte nicht alle aufgezählt werden können. Zum Beispiel können Sie nicht alle Werte der Zufallsvariablen $ X $ - die Uhrdienstzeit - übernehmen und "übergehen", da die Zeit in Stunden, Minuten, Sekunden, Millisekunden usw. gemessen werden kann. Sie können nur ein bestimmtes Intervall angeben, innerhalb dessen sich die Werte der Zufallsvariablen befinden.

Kontinuierliche Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, deren Werte ein bestimmtes Intervall vollständig ausfüllen.

Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen

Da es nicht möglich ist, alle Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen aufzuzählen, kann diese über die Verteilungsfunktion angegeben werden.

Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen $ X $ heißt die Funktion $ F \ left (x \ right) $, die die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Zufallsvariable $ X $ einen Wert kleiner als ein fester Wert $ x $, also $ F \ links (x \ rechts ) = P \ links (X< x\right)$.

Eigenschaften der Verteilungsfunktion:

1 ... $ 0 \ le F \ links (x \ rechts) \ le 1 $.

2 ... Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $ X $ Werte aus dem Intervall $ \ left (\ alpha; \ \ beta \ right) $ annimmt, ist gleich der Differenz zwischen den Werten der Verteilungsfunktion an den Enden dieser Intervall: $ P \ left (\ alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 ... $ F \ left (x \ right) $ - nicht abnehmend.

4 ... $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ left (x \ right) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ left (x \ rechts) = 1 \) $.

Beispiel 1
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ end (Matrix) \ right.$. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable $ X $ in das Intervall $ \ left (0,3; 0,7 \ right) $ fällt, ergibt sich als Differenz zwischen den Werten der Verteilungsfunktion $ F \ left (x \ right) $ at die Enden dieses Intervalls, das heißt:

$$ P \ links (0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte

Die Funktion $ f \ left (x \ right) = (F) "(x) $ heißt Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung, dh sie ist die Ableitung erster Ordnung aus der Verteilungsfunktion $ F \ left (x \ richtig) $ selbst.

Eigenschaften der Funktion $ f \ left (x \ right) $.

1 ... $ f \ links (x \ rechts) \ ge 0 $.

2 ... $ \ int ^ x _ (- \ infty) (f \ links (t \ rechts) dt) = F \ links (x \ rechts) $.

3 ... Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $ X $ Werte aus dem Intervall $ \ left (\ alpha; \ \ beta \ right) $ annimmt, ist $ P \ left (\ alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 ... $ \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (f \ left (x \ right)) = 1 $.

Beispiel 2 ... Eine stetige Zufallsvariable $ X $ ist gegeben durch die folgende Verteilungsfunktion $ F (x) = \ left \ (\ begin (Matrix)
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ end (Matrix) \ right.$. Dann ist die Dichtefunktion $ f \ left (x \ right) = (F) "(x) = \ left \ (\ begin (Matrix)
0, \ x \ le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0, \ x> 1
\ end (Matrix) \ right. $

Die mathematische Erwartung einer stetigen Zufallsvariablen

Der mathematische Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen $ X $ berechnet sich nach der Formel

$$ M \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ left (x \ right) dx). $$

Beispiel 3 ... Finden Sie $ M \ left (X \ right) $ für die Zufallsvariable $ X $ aus Beispiel $ 2 $.

$$ M \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ left (x \ right) \ dx) = \ int ^ 1_0 (x \ dx) = (( x ^ 2) \ über (2)) \ bigg | _0 ^ 1 = ((1) \ über (2)). $$

Streuung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen $ X $ berechnet sich nach der Formel

$$ D \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ left (x \ right) \ dx) - (\ left) ^ 2. $$

Beispiel 4 ... Finden Sie $ D \ left (X \ right) $ für die Zufallsvariable $ X $ aus Beispiel $ 2 $.

$$ D \ left (X \ right) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ left (x \ right) \ dx) - (\ left) ^ 2 = \ int ^ 1_0 (x ^ 2 \ dx) - (\ links (((1) \ über (2)) \ rechts) ^ 2 = ((x ^ 3) \ über (3)) \ bigg | _0 ^ 1- ( (1) \ über (4)) = ((1) \ über (3)) - ((1) \ über (4)) = ((1) \ über (12)).

Zu finde die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen, müssen Sie diesen Rechner verwenden. Übung 1... Die Verteilungsdichte einer stetigen Zufallsvariablen X hat die Form:
Finden:
a) Parameter A;
b) die Verteilungsfunktion F (x);
c) die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable X im Intervall zu treffen;
d) mathematischer Erwartungswert MX und Varianz DX.
Zeichnen Sie die Funktionen f (x) und F (x).

Aufgabe 2... Bestimmen Sie die Varianz einer Zufallsvariablen X, die durch die Integralfunktion gegeben ist.

Aufgabe 3... Bestimmen Sie die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen X durch eine gegebene Verteilungsfunktion.

Aufgabe 4... Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen wird wie folgt angegeben: f (x) = A / x 4 (x = 1; + ∞)
Bestimmen Sie den Koeffizienten A, die Verteilungsfunktion F (x), die mathematische Erwartung und Varianz und die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Intervall annimmt. Erstellen Sie die Graphen f (x) und F (x).

Aufgabe... Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist wie folgt definiert:

Bestimmen Sie die Parameter a und b, finden Sie einen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte f (x), den mathematischen Erwartungswert und die Varianz sowie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Intervall annimmt. Erstellen Sie die Graphen f (x) und F (x).

Finden wir die Verteilungsdichtefunktion als Ableitung der Verteilungsfunktion.

Wohl wissend, dass

finde den Parameter a:

oder 3a = 1, woraus a = 1/3
Der Parameter b wird aus den folgenden Eigenschaften gefunden:
F (4) = a * 4 + b = 1
1/3 * 4 + b = 1, daher b = -1/3
Daher hat die Verteilungsfunktion die Form: F (x) = (x-1) / 3

Erwarteter Wert.

Dispersion.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Finden wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Intervall annimmt
P (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Beispiel 1. Angegeben ist die Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung f (x) einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X. Erforderlich:

Bestimmen Sie den Koeffizienten A.
Finden Sie die Verteilungsfunktion F (x).
Bauen Sie schematisch die Graphen F (x) und f (x) auf.
Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz von X.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert aus dem Intervall (2; 3) annimmt.

f (x) = A * Quadrat (x), 1 ≤ x ≤ 4.
Lösung:

Die Zufallsvariable X ist durch die Verteilungsdichte f (x) gegeben:

Finden wir den Parameter A aus der Bedingung:

oder
14/3 * A-1 = 0
Wo,
A = 3/14

Die Verteilungsfunktion kann durch die Formel gefunden werden.

Die Wahreiner kontinuierlichen Zufallsvariablen (Differentialverteilungsfunktion) ist die erste Ableitung der kumulativen Verteilungsfunktion: f (x) = F ’(X). Aus dieser Definition und den Eigenschaften der Verteilungsfunktion folgt, dass

Der mathematische Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen X ist die Zahl

Die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen X wird bestimmt durch die Gleichheit

Beispiel 79. Zeitverteilungsdichte T Baugruppen elektronischer Geräte in der Produktionslinie

Koeffizienten finden EIN, die Verteilungsfunktion der Montagezeit des elektronischen Geräts und die Wahrscheinlichkeit, dass die Montagezeit innerhalb des Intervalls (0,1A) liegt.

Lösung. Ausgehend von der Eigenschaft der Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen

Durch zweimaliges Integrieren von Teilen erhalten wir

Die Verteilungsfunktion ist

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Montagezeit des elektronischen Geräts (0; 1 / λ) nicht überschritten wird:

Beispiel 80... Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Abweichung des Ausgangswiderstands der REA-Einheit vom Nennwert R 0 innerhalb des Toleranzbereichs 2δ wird durch das Gesetz beschrieben

Ermitteln Sie die mathematische Erwartung und Varianz der Abweichung des Widerstands vom Nennwert.

Lösung.

Da der Integrand ungerade ist und die Integrationsgrenzen symmetrisch zum Ursprung sind, ist das Integral 0.

Somit, m{R} = 0.

Die Ersetzung vornehmen R = ein Sünde x, werden

Beispiel 81. Die Verteilungsdichte einer stetigen Zufallsvariablen X ist gegeben:

Finden: 1. F (x); 2. M(X); 3. D (X).

Lösung. 1. Um F (x) zu finden, verwenden wir die Formel

Wenn
, dann

ein

Wenn
, dann

Wenn
, dann f (x) = 0, und

Durch zweimalige Integration nach Teilen erhalten wir:

, dann

82. Finden Sie f (x), M (X), D (X) in den Aufgaben 74, 75.

83. Die Verteilungsdichte einer stetigen Zufallsvariablen X ist gegeben:

Finden Sie die Verteilungsfunktion F (x).

84. Die Verteilungsdichte einer stetigen Zufallsvariablen X ist auf der gesamten Achse Ox durch die Gleichheit
... Finden Sie den konstanten Parameter C.

85. Die Zufallsvariable X im Intervall (-3, 3) ist gegeben durch die Verteilungsdichte
; außerhalb dieses Intervalls

a) Bestimmen Sie die Varianz X;

b) was wahrscheinlicher ist: der Test ergibt X<1 или X>1?

86. Bestimme die Varianz einer Zufallsvariablen X gegeben durch die Verteilungsfunktion

87. Die Zufallsvariable ist gegeben durch die Verteilungsfunktion

Ermitteln Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von X.

§acht. Gleichmäßige und exponentielle Verteilung

Die Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X wird als gleichförmig bezeichnet, wenn auf dem Intervall (a, b), zu dem alle möglichen Werte von X gehören, die Dichte konstant bleibt und außerhalb dieses Intervalls gleich Null ist, d.h.

Eine exponentielle (exponentielle) Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen X, die durch die Dichte . beschrieben wird

wobei λ ein konstanter positiver Wert ist. Die Verteilungsfunktion des Exponentialgesetzes

Der mathematische Erwartungswert und die Varianz sind jeweils gleich

;
;

Beispiel 88. Die Skalenteilung des Amperemeters beträgt 0,10A. Amperemeter-Messwerte werden auf die nächste ganze Division gerundet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass während des Countdowns ein Fehler von mehr als 0,02 A auftritt.

Lösung. Der Rundungsfehler kann als Zufallsvariable X betrachtet werden, die gleichmäßig im Intervall (0; 0,1) zwischen zwei ganzzahligen Divisionen verteilt ist. Somit,

Dann
.

Beispiel 89. Die Dauer der Betriebszeit des Elements ist exponentiell verteilt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass für eine Zeitdauer t = 100 Stunden: a) das Element ausfällt; b) das Element wird nicht versagen.

Lösung. a) Definitionsgemäß
, bestimmt also die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Elements in der Zeit t, also

b) Das Ereignis "das Element wird nicht versagen" ist das Gegenteil des betrachteten, daher seine Wahrscheinlichkeit

90. Die Elektronikeinheit wird am Fließband montiert, der Montagezyklus beträgt 2 Minuten. Zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb eines Zyklus wird der fertige Block vom Förderband zur Kontrolle und Justierung entnommen. Ermitteln Sie die mathematische Erwartung und die Standardabweichung der Zeit, in der sich der fertige Block auf dem Förderband befindet. Die von einem Block auf dem Förderband verbrachte Zeit gehorcht dem Gesetz der Gleichverteilung von Zufallsvariablen.

91. Die Ausfallwahrscheinlichkeit des elektronischen Geräts für eine bestimmte Zeit wird durch die Formel ausgedrückt: ... Bestimmen Sie die durchschnittliche Betriebszeit des elektronischen Geräts vor dem Ausfall.

92. Der in Entwicklung befindliche Kommunikationssatellit sollte eine durchschnittliche MTBF von 5 Jahren haben. Betrachten Sie die Echtzeit zwischen Ausfällen als zufällige exponentiell verteilte Größe und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

a) der Satellit wird weniger als 5 Jahre funktionieren,

b) der Satellit wird mindestens 10 Jahre lang funktionieren,

c) der Satellit wird innerhalb des 6. Jahres ausfallen.

93. Ein Mieter kaufte vier Glühbirnen mit einer durchschnittlichen Lebensdauer von 1000 Stunden, eine davon baute er in eine Schreibtischlampe ein und hielt den Rest als Reserve für den Fall, dass die Lampe durchbrennt. Definieren:

a) die erwartete kumulierte Lebensdauer der vier Lampen,

b) die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt vier Lampen 5000 Stunden oder mehr arbeiten,

c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtlebensdauer aller Lampen 2000 Stunden nicht überschreitet.

94. Die Skalenteilung des Messgerätes beträgt 0,2. Gerätemesswerte werden auf die nächste ganze Division gerundet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zählen ein Fehler gemacht wird: a) kleiner als 0,04; b) groß 0,05.

95. Busse auf einer bestimmten Strecke verkehren streng nach Fahrplan. Das Bewegungsintervall beträgt 5 Minuten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein an der Haltestelle ankommender Fahrgast in weniger als 3 Minuten auf den nächsten Bus wartet.

96. Bestimmen Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, die gleichmäßig im Intervall (2, 8) verteilt ist.

97. Bestimmen Sie die Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen X, die gleichmäßig im Intervall verteilt ist (2, 8).

98. Testen Sie zwei unabhängig voneinander arbeitende Elemente. Die Dauer der Betriebszeit des ersten Elements ist exponentiell verteilt
, zweite
... Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass für eine Zeitdauer t = 6 h: a) beide Elemente ausfallen; b) beide Elemente werden nicht versagen; c) nur ein Element wird fehlschlagen; d) mindestens ein Element wird fehlschlagen.