Урвуу матрицын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг онлайнаар шийд. Крамерын дүрэм. Урвуу матрицын арга

Эхний хэсэгт бид бага зэрэг онолын материалыг авч үзсэн, орлуулах арга, мөн системийн тэгшитгэлийг улирал бүрээр нэмэх аргыг авч үзсэн. Энэ хуудсаар дамжуулан сайтад ирсэн бүх хүмүүст эхний хэсгийг уншихыг зөвлөж байна. Зарим зочдод энэ материалыг хэтэрхий энгийн гэж үзэх байх, гэхдээ шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх явцад би математикийн асуудлыг ерөнхийд нь шийдвэрлэхтэй холбоотой маш чухал тайлбар, дүгнэлтийг хийсэн.

Одоо бид Крамерын дүрмийг шинжлэхээс гадна урвуу матриц (матрицын арга) ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх болно. Бүх материалыг энгийн, нарийвчилсан, ойлгомжтой байдлаар танилцуулсан бөгөөд бараг бүх уншигчид дээрх аргуудаар системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар суралцах боломжтой болно.

Нэгдүгээрт, бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг нарийвчлан авч үзье. Юуны төлөө? - Эцсийн эцэст, хамгийн энгийн системийг сургуулийн аргаар, улирал бүрээр нэмэх аргаар шийдэж болно!

Баримт нь заримдаа ч гэсэн ийм даалгавар байдаг - Крамерын томъёоны дагуу хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх. Хоёрдугаарт, энгийн жишээ нь Крамерын дүрмийг илүү төвөгтэй тохиолдолд - гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системд хэрхэн ашиглахыг ойлгоход тусална.

Нэмж дурдахад хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд байдаг бөгөөд үүнийг Крамерын дүрмийн дагуу яг шийдэхийг зөвлөж байна!

Тэгшитгэлийн системийг авч үзье

Эхний алхамд бид тодорхойлогчийг тооцдог, үүнийг нэрлэдэг системийн гол тодорхойлогч.

Гауссын арга.

Хэрэв систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол үндсийг нь олохын тулд бид өөр хоёр тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй.
болон

Практикт дээрх шалгуур үзүүлэлтийг мөн латин үсгээр тэмдэглэж болно.

Бид тэгшитгэлийн үндсийг дараах томъёогоор олно.
,

Жишээ 7

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн коэффициентүүд хангалттай том байгааг бид харж байна, баруун талд таслал бүхий аравтын бутархайнууд байна. Таслал бол математикийн практик дасгалуудад маш ховор зочин бөгөөд би энэ системийг эконометрикийн бодлогоос авсан.

Ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Та нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэхийг оролдож болно, гэхдээ энэ тохиолдолд та ажиллахад туйлын тохиромжгүй аймшигтай гоёмсог фракцуудыг олж авах болно, шийдлийн загвар нь үнэхээр аймшигтай харагдах болно. Та хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж, гишүүнийг гишүүнээр нь хасаж болно, гэхдээ энд ижил бутархайнууд гарч ирнэ.

Юу хийх вэ? Ийм тохиолдолд Крамерын томъёонууд аврах ажилд ирдэг.

;

;

Хариулах: ,

Хоёр үндэс нь төгсгөлгүй сүүлтэй бөгөөд ойролцоогоор олддог бөгөөд энэ нь эконометрикийн асуудлуудад нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц (тэр ч байтугай нийтлэг) юм.

Даалгаврыг бэлэн томъёоны дагуу шийддэг тул энд тайлбар хийх шаардлагагүй, гэхдээ нэг анхааруулга байна. Энэ аргыг хэрэглэх үед албаданДаалгаврын хэсэг нь дараах хэсэг юм. "Энэ нь системд ганцхан шийдэл байна гэсэн үг"... Үгүй бол хянагч таныг Крамерын теоремыг үл хүндэтгэсэн гэж шийтгэж магадгүй юм.

Тооцоологч дээр хийхэд тохиромжтой шалгах нь илүүц байх болно: бид систем дэх тэгшитгэл бүрийн зүүн талд ойролцоогоор утгыг орлуулна. Үүний үр дүнд жижиг алдаа гарвал та зөв хэсэгт байгаа тоонуудыг авах ёстой.

Жишээ 8

Хариултыг энгийн жигд бус бутархай хэлбэрээр үзүүлэв. Чек хийх.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм (дуусгах жишээ ба хичээлийн төгсгөлд хариулт).

Одоо бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг авч үзэх болно.

Системийн гол тодорхойлогчийг ол:

Хэрэв систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байвал (шийдэл байхгүй). Энэ тохиолдолд Крамерын дүрэм тус болохгүй, та Гауссын аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Хэрэв систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол үндсийг нь олохын тулд бид өөр гурван тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
, ,

Эцэст нь хариултыг томъёогоор тооцоолно.

Таны харж байгаагаар "гурав гурваар" гэсэн тохиолдол нь "хоёроос хоёр" тохиолдолоос үндсэндээ ялгаатай биш бөгөөд чөлөөт гишүүдийн багана нь үндсэн тодорхойлогчийн баганын дагуу зүүнээс баруун тийш дараалан "алхдаг".

Жишээ 9

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Шийдэл: Крамерын томьёог ашиглан системийг шийдье.

, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Хариулах: .

Ер нь бол бэлэн томьёоллоор шийдвэр гарч байгааг бодоход энд дахин хэлэх онцгой зүйл алга. Гэхдээ анхаарах хэд хэдэн зүйл байна.

Тооцооллын үр дүнд "муу" бууруулж болохгүй фракцууд гарч ирдэг, жишээлбэл:.
Би дараах "эмчлэх" алгоритмыг санал болгож байна. Хэрэв таны гарт компьютер байхгүй бол бид дараах зүйлийг хийнэ.

1) Тооцооллын алдаа байж магадгүй. "Муу" бутархайтай тулгармагц та тэр даруй шалгах хэрэгтэй нь зөв дахин бичсэн нөхцөл юм... Хэрэв нөхцөлийг алдаагүйгээр дахин бичсэн бол өөр мөр (багана) -аар тэлэх замаар тодорхойлогчдыг дахин тооцоолох шаардлагатай.

2) Хэрэв шалгалтын үр дүнд алдаа олдоогүй бол ажлын нөхцөлд үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай. Энэ тохиолдолд бид даалгавраа эцэс хүртэл тайван, болгоомжтой шийддэг шалгахаа мартуузаймөн шийдвэр гарсны дараа бид үүнийг цэвэр хуулбараар гаргадаг. Мэдээжийн хэрэг, бутархай хариултыг шалгах нь тааламжгүй ажил боловч ямар ч бакагийн дуртай зүйлд хасах дуртай багшийн хувьд зэвсэггүй маргаан гарах болно. Бутархайг хэрхэн зохицуулах талаар жишээ 8-ын хариултанд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Хэрэв таны гарт компьютер байгаа бол үүнийг шалгахын тулд автомат програмыг ашиглана уу, үүнийг хичээлийн эхэнд үнэгүй татаж авах боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, програмыг нэн даруй ашиглах нь хамгийн ашигтай байдаг (шийдэл эхлэхээс өмнө) та алдаа гаргасан завсрын алхамаа шууд харах болно! Ижил тооны машин нь системийн шийдлийг матрицын аргаар автоматаар тооцдог.

Хоёр дахь тэмдэглэл. Үе үе тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй системүүд байдаг, жишээлбэл:

Энд эхний тэгшитгэлд хувьсагч, хоёр дахь нь хувьсагч дутагдалтай байна. Ийм тохиолдолд гол тодорхойлогчийг зөв, болгоомжтой бичих нь маш чухал юм.
- дутуу хувьсагчийн оронд тэг тавина.
Дашрамд хэлэхэд, тооцоолол нь хамаагүй бага тул тэг байгаа мөр (багана) -ын дагуу тодорхойлогчдыг тэгээр нээх нь оновчтой юм.

Жишээ 10

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм (дуусгах жишээ ба хичээлийн төгсгөлд хариулт).

4 үл мэдэгдэх 4 тэгшитгэлийн системийн хувьд Крамерын томъёог ижил төстэй зарчмын дагуу бичдэг. Амьд жишээг Тодорхойлогч шинж чанарууд хичээлээс олж болно. Тодорхойлогчийн дарааллыг бууруулах - 4-р эрэмбийн таван тодорхойлогч нь нэлээд шийдэгдэх боломжтой. Хэдийгээр даалгавар нь аль хэдийн азтай оюутны цээжин дээрх профессорын гутлыг санагдуулдаг.

Урвуу матриц ашиглан системийг шийдэх

Урвуу матрицын арга нь үндсэндээ онцгой тохиолдол юм матрицын тэгшитгэл(заасан хичээлийн №3 жишээг үзнэ үү).

Энэ хэсгийг судлахын тулд тодорхойлогчдыг тэлэх, урвуу матрицыг олох, матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх чадвартай байх ёстой. Холбогдох холбоосыг замын дагуу өгөх болно.

Жишээ 11

Матрицын аргаар системийг шийд

Шийдэл: Системийг матриц хэлбэрээр бичье.
, хаана

Тэгшитгэлийн систем болон матрицуудыг харна уу. Бид ямар зарчмаар элементүүдийг матриц руу бичдэг вэ гэдгийг хүн бүр ойлгосон байх гэж бодож байна. Цорын ганц тайлбар: хэрэв тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй байсан бол матрицын харгалзах газруудад тэгийг оруулах шаардлагатай болно.

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.
, хаана нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.

Эхлээд бид тодорхойлогчтой харьцдаг:

Энд шалгуур үзүүлэлтийг эхний мөрөнд өргөжүүлсэн.

Анхаар! Хэрэв урвуу матриц байхгүй бөгөөд системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд системийг үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргаар (Гаусын арга) шийддэг.

Одоо бид насанд хүрээгүй 9 хүүхдийг тооцоолж, насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичих хэрэгтэй

Лавлагаа:Шугаман алгебр дахь давхар тэмдэгтийн утгыг мэдэх нь ашигтай. Эхний цифр нь энэ элементийн байрласан мөрийн дугаар юм. Хоёр дахь цифр нь энэ элемент байрладаг баганын дугаар юм.

Өөрөөр хэлбэл, давхар тэмдэгт нь тухайн зүйл эхний мөр, гурав дахь багана, жишээлбэл, тухайн зүйл 3-р мөр, 2-р баганад байгааг илтгэнэ.

Санаж үз шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем(SLAE) талаар nүл мэдэгдэх х 1 , x 2 , ..., x n :

Энэ системийг "нурсан" хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

С n i = 1 а ij х ж = б би , i = 1,2, ..., n.

Матрицыг үржүүлэх дүрмийн дагуу шугаман тэгшитгэлийн авч үзсэн системийг бичиж болно матриц хэлбэр Сүх = б, хаана

, ,.

Матриц А, баганууд нь харгалзах үл мэдэгдэх коэффициентүүд, мөрүүд нь харгалзах тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм. системийн матриц... Баганын матриц б, элементүүд нь системийн тэгшитгэлийн баруун гар тал нь баруун талын матриц эсвэл энгийнээр нэрлэгддэг. системийн баруун тал... Баганын матриц х , элементүүд нь үл мэдэгдэх үл мэдэгдэх зүйлсийг дууддаг системийн шийдэл.

хэлбэрээр бичигдсэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем Сүх = б, нь матрицын тэгшитгэл.

Хэрэв системийн матриц доройтдоггүй, дараа нь урвуу матрицтай, дараа нь системийн шийдэлтэй байна Сүх = бтомъёогоор өгөгдсөн:

x = A -1 б.

ЖишээСистемийг шийдэх матрицын арга.

Шийдэлсистемийн коэффициентийн матрицын урвуу матрицыг ол

Тодорхойлогчийг эхний шугамын дагуу өргөжүүлэн тооцоолъё.

Үүний хэрээр Δ ≠ 0 , дараа нь А -1 байдаг.

Урвуу матрицыг зөв олсон.

Системийн шийдлийг олцгооё

Тиймээс, х 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Шалгалт:

7. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлын тухай Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системхарагдаж байна:

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m.

Энд a i j ба b i (i =; j =) өгөгдсөн ба x j нь үл мэдэгдэх бодит тоо юм. Матрицын бүтээгдэхүүний тухай ойлголтыг ашиглан бид (5.1) системийг дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Энд A = (a i j) нь системийн (5.1) үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матрицыг хэлнэ. системийн матриц, X = (x 1, x 2, ..., x n) T, B = (b 1, b 2, ..., b m) T нь тодорхойгүй x j ба чөлөөт гишүүн b i-ээс бүрдсэн баганын векторууд юм.

Захиалсан цуглуулга nбодит тоонууд (c 1, c 2, ..., c n) гэж нэрлэдэг системийн шийдэл(5.1) хэрэв эдгээр тоонуудыг харгалзах x 1, x 2, ..., x n хувьсагчийн оронд орлуулсны үр дүнд системийн тэгшитгэл бүр арифметик ижилсэл болж хувирвал; өөрөөр хэлбэл AC  B байх C = (c 1, c 2, ..., c n) T вектор байгаа бол.

Систем (5.1) гэж нэрлэдэг хамтарсан,эсвэл шийдвэрлэх боломжтой,хэрэв тэр дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. систем гэж нэрлэдэг нийцэхгүйэсвэл уусдаггүйХэрэв шийдэл байхгүй бол.

,

баруун талаас А матрицад чөлөөт нөхцлүүдийн баганыг оноож үүсгэсэн, гэж нэрлэдэг Өргөтгөсөн матрицын систем.

(5.1) системийн нийцтэй байдлын асуудлыг дараах теоремоор шийднэ.

Кронекер-Капелли теорем ... Шугаман тэгшитгэлийн систем нь зөвхөн А ба А матрицуудын зэрэглэлүүд давхцаж байвал нийцтэй байна, өөрөөр хэлбэл, r (A) = r (A) = r.

Системийн (5.1) шийдлийн M багцын хувьд гурван боломж байна:

1) M =  (энэ тохиолдолд систем нь нийцэхгүй байна);

2) M нь нэг элементээс бүрдэнэ, өөрөөр хэлбэл. систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг (энэ тохиолдолд системийг дуудна тодорхой);

3) M нь нэгээс олон элементээс бүрддэг (дараа нь системийг дууддаг тэмдэглэгдээгүй). Гурав дахь тохиолдолд (5.1) систем нь хязгааргүй олон шийдтэй байна.

Зөвхөн r (A) = n тохиолдолд л систем өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос багагүй байна (mn); хэрэв m> n бол m-n тэгшитгэл нь бусдын үр дагавар болно. Хэрэв 0

Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү байх системийг шийдэх чадвартай байх хэрэгтэй. Крамер төрлийн системүүд:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 + ... + a nn x n = b n.

Системийг (5.3) дараахь аргуудын аль нэгээр шийддэг: 1) Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга; 2) Крамерын томъёоны дагуу; 3) матрицын аргаар.

Жишээ 2.12... Тэгшитгэлийн системийг судалж, тохирох бол үүнийг шийднэ үү.

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Шийдэл.Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.

 .

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг тооцоолъё. Мэдээжийн хэрэг, жишээлбэл, зүүн дээд буланд байгаа хоёрдугаар эрэмбийн минор = 7  0; түүнийг агуулсан гурав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү байна:

Үүний үр дүнд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2, i.e. r (A) = 2. Өргөтгөсөн A матрицын зэрэглэлийг тооцоолохын тулд хилийн минорыг авч үзье.

Иймээс өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь r (A) = 3. r (A)  r (A) тул систем нь нийцэхгүй байна.

n-р эрэмбийн квадрат матриц байг

А -1 матрицыг дуудна урвуу матрицА матрицын хувьд, хэрэв A * A -1 = E бол E нь n-р эрэмбийн таних матриц юм.

Нэгж матриц- ийм дөрвөлжин матриц, үүнд зүүн дээд булангаас баруун доод булан руу дамжих үндсэн диагональ дагуух бүх элементүүд нэг, үлдсэн хэсэг нь тэг, жишээлбэл:

урвуу матрицбайж болно зөвхөн квадрат матрицын хувьдтэдгээр. ижил тооны мөр, баганатай матрицуудын хувьд.

Урвуу матриц байх нөхцөлийн тухай теорем

Матриц урвуу матрицтай байхын тулд энэ нь доройтоогүй байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

A = (A1, A2, ... A n) матрицыг дуудна доройтдоггүйбаганын векторууд шугаман хамааралгүй бол. Матрицын шугаман бие даасан баганын векторуудын тоог матрицын зэрэг гэнэ. Тиймээс урвуу матриц оршин тогтнохын тулд матрицын зэрэглэл нь түүний хэмжээстэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай гэж хэлж болно. r = n.

Урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх хүснэгтэд А матрицыг бичээд баруун талд (тэгшитгэлийн баруун талын оронд) Е матрицыг онооно.
2. Жорданы хувиргалтыг ашиглан А матрицыг нэгж баганаас бүрдэх матриц болгон бууруул; Энэ тохиолдолд E матрицыг нэгэн зэрэг хувиргах шаардлагатай.
3. Шаардлагатай бол эхний хүснэгтийн А матрицын доор Е нэгж матрицыг олж авахын тулд сүүлчийн хүснэгтийн мөрүүдийг (тэгшитгэл) дахин байрлуулна.
4. Анхны хүснэгтийн Е матрицын доор байрлах сүүлийн хүснэгтэд байгаа A -1 урвуу матрицыг бич.

Жишээ 1

А матрицын хувьд урвуу А -1 матрицыг ол

Шийдэл: Бид А матрицыг бичиж, баруун талд нь таних матриц Е-г онооно. Жорданы хувиргалтыг ашиглан бид А матрицыг E таних матрицад авчирна. Тооцооллыг 31.1-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Анхны А матриц ба урвуу матриц А -1-ийг үржүүлж тооцоолол зөв эсэхийг шалгая.

Матрицын үржүүлгийн үр дүнд нэгж матрицыг олж авна. Тиймээс тооцоолол нь зөв юм.

Хариулт:

Матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Матрицын тэгшитгэл нь дараахь хэлбэртэй байж болно.

AX = B, XA = B, AXB = C,

Энд A, B, C нь заасан матрицууд, X нь шаардлагатай матрицууд юм.

Матрицын тэгшитгэлийг урвуу матрицаар нь үржүүлэх замаар шийддэг.

Жишээлбэл, тэгшитгэлээс матрицыг олохын тулд тэр тэгшитгэлийг зүүн тийш үржүүлнэ.

Тиймээс тэгшитгэлийн шийдийг олохын тулд урвуу матрицыг олж, тэгшитгэлийн баруун талд байгаа матрицаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Бусад тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар шийддэг.

Жишээ 2

AX = B тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: Матрицын урвуу нь (жишээ 1-ийг үзнэ үү)

Эдийн засгийн шинжилгээнд матрицын арга

Бусадтай зэрэгцэн тэд мөн програмыг олдог матрицын аргууд... Эдгээр аргууд нь шугаман болон вектор матрицын алгебр дээр суурилдаг. Ийм аргуудыг эдийн засгийн цогц, олон талт үзэгдлүүдийг шинжлэхэд ашигладаг. Ихэнхдээ эдгээр аргуудыг байгууллага, тэдгээрийн бүтцийн нэгжийн үйл ажиллагаанд харьцуулсан үнэлгээ хийх шаардлагатай үед ашигладаг.

Матрицын шинжилгээний аргыг хэрэглэх явцад хэд хэдэн үе шатыг ялгаж салгаж болно.

Эхний шатандэдийн засгийн үзүүлэлтүүдийн тогтолцоог бүрдүүлж, түүний үндсэн дээр системийн дугаарыг тусад нь мөрөнд харуулсан хүснэгт болох анхны мэдээллийн матрицыг бүрдүүлдэг. (i = 1,2, ...., n), босоо баганын дагуу - үзүүлэлтүүдийн тоо (j = 1,2, ...., m).

Хоёр дахь шатандбосоо багана бүрийн хувьд боломжит үзүүлэлтүүдийн хамгийн том утгыг нэгж болгон авч үзнэ.

Үүний дараа энэ баганад тусгагдсан бүх дүнг хамгийн том утгад хувааж, стандартчилагдсан коэффициентүүдийн матриц үүснэ.

Гурав дахь шатандматрицын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд квадрат хэлбэртэй байна. Хэрэв тэдгээр нь өөр өөр ач холбогдолтой бол матрицын үзүүлэлт бүрт тодорхой жингийн хүчин зүйл оноогддог к... Сүүлчийн үнэ цэнийг шинжээчийн дүгнэлтээр тодорхойлно.

Хамгийн сүүлд, дөрөв дэх үе шатүнэлгээний утгыг олсон Р жөсөх, буурах дарааллаар бүлэглэв.

Тодорхойлсон матрицын аргуудыг жишээлбэл, янз бүрийн хөрөнгө оруулалтын төслүүдийн харьцуулсан дүн шинжилгээ хийх, түүнчлэн байгууллагын үйл ажиллагааны бусад эдийн засгийн үзүүлэлтүүдийг үнэлэхэд ашиглах ёстой.

Сэдэв 2. ШУГААН АЛГЕБРИЙН ТЭГШИГЧИЛГЭЭНИЙ СИСТЕМҮҮД.

Үндсэн ойлголтууд.

Тодорхойлолт 1... Систем мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь дараах хэлбэрийн систем юм.

хаана ба тоонууд.

Тодорхойлолт 2... Системийн шийдэл (I) нь энэ системийн тэгшитгэл бүр ижил төстэй шинж тэмдэг болж хувирдаг үл мэдэгдэх олонлогийн багц юм.

Тодорхойлолт 3... Системийг (I) гэж нэрлэдэг хамтарсанхэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол ба нийцэхгүйХэрэв шийдэл байхгүй бол. Хамтарсан системийг гэж нэрлэдэг тодорхойхэрэв энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй бол, мөн тэмдэглэгдээгүйөөрөөр.

Тодорхойлолт 4... Маягтын тэгшитгэл

дуудсан тэг, ба хэлбэрийн тэгшитгэл

дуудсан нийцэхгүй... Тохиромжгүй тэгшитгэл агуулсан тэгшитгэлийн систем нь нийцэхгүй нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт 5... Шугаман тэгшитгэлийн хоёр системийг нэрлэдэг -тэй адилХэрэв нэг системийн шийдэл бүр нөгөө системийн шийдэл болж, эсрэгээр хоёр дахь системийн шийдэл бүр эхнийх нь шийдэл болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн матриц тэмдэглэгээ.

(I) системийг авч үзье (§1-ийг үзнэ үү).

гэж тэмдэглэе:

Үл мэдэгдэх коэффициентийн матриц

Матриц - чөлөөт гишүүдийн багана

Матриц - үл мэдэгдэх багана

.

Тодорхойлолт 1.Матриц гэж нэрлэдэг системийн үндсэн матриц(I), матриц нь системийн (I) өргөтгөсөн матриц юм.

Матрицын тэгш байдлын тодорхойлолтоор (I) систем нь матрицын тэгш байдалтай тохирч байна.

.

Матрицын үржвэрийн тодорхойлолтоор энэ тэгш байдлын баруун тал ( 1-р бүлгийн тодорхойлолт 3 § 5-ыг үзнэ үү) хүчин зүйлчилж болно:

, өөрөөр хэлбэл

Тэгш байдал (2) дуудсан системийн матриц тэмдэглэгээ (I).

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх.

Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m = n, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бөгөөд системийн үндсэн матриц нь доройтдоггүй, i.e. ... Дараа нь §1-ээс (I) систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна

хаана Δ = дет Агол гэж нэрлэдэг системийн тодорхойлогч(Би), Δ биΔ тодорхойлогчоос солих замаар олж авна би-Системийн чөлөөт гишүүдийн баганад ногдох багана (I).

Жишээ: Системийг Крамерын аргаар шийд:

.

Томъёогоор (3) .

Бид системийн тодорхойлогчдыг тооцоолно.

,

,

.

Тодорхойлогчийг авахын тулд бид тодорхойлогчийн эхний баганыг чөлөөт гишүүн баганаар сольсон; тодорхойлогч дахь 2-р баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар сольж, бид олж авна; ижил төстэй байдлаар тодорхойлогчийн гурав дахь баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар сольж бид олж авна. Системийн шийдэл:

Урвуу матриц ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m = nмөн системийн үндсэн матриц нь доройтдоггүй. Бид системийг (I) матриц хэлбэрээр бичдэг ( §2-г үзнэ үү):

оноос хойш матриц Адоройтдоггүй бол урвуу матрицтай ( Теорем 1, 6-р хэсэг, 1-р бүлгийг үзнэ үү). Тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлнэ (2) матриц руу, дараа нь

Урвуу матрицын тодорхойлолтоор. Тэгш эрхээс (3) бидэнд байгаа

Урвуу матрицыг ашиглан системийг шийд

.

Бид тэмдэглэж байна

Жишээн дээр (3-р хэсэг) бид тодорхойлогчийг, тиймээс матрицыг тооцоолсон Аурвуу матрицтай. Дараа нь буянаар (4) , өөрөөр хэлбэл

. (5)

матрицыг ол ( §6 1-р бүлгийг үзнэ үү)

, , ,

, , ,

,

.

Гауссын арга.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье.

... (би)

Системийн (I) бүх шийдлийг олох эсвэл систем нь нийцэхгүй байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Тодорхойлолт 1.Бид системийн элементийн өөрчлөлт гэж нэрлэдэг(I) гурван үйлдлийн аль нэг нь:

1) тэг тэгшитгэлийг хасах;

2) тэгшитгэлийн хоёр талд нөгөө тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг l тоогоор үржүүлэх;

3) системийн тэгшитгэл дэх нэр томьёоны газруудыг сольж, бүх тэгшитгэлд ижил тоотой үл мэдэгдэх нь ижил байр эзэлдэг, өөрөөр хэлбэл. хэрэв жишээлбэл, 1-р тэгшитгэлд бид 2, 3-р гишүүнийг өөрчилсөн бол системийн бүх тэгшитгэлд ижил зүйлийг хийх ёстой.

Гауссын арга нь (I) системийг энгийн хувиргалтаар бууруулж, эквивалент систем болгон хувиргаж, түүний шийдлийг шууд олох эсвэл шийдвэрлэх боломжгүй байдлыг тогтоодог.

2-р хэсэгт тайлбарласны дагуу систем (I) нь өргөтгөсөн матрицаар тодорхойлогддог бөгөөд (I) системийн аливаа элементар хувиргалт нь өргөтгөсөн матрицын элементар хувиргалттай тохирч байна.

.

1) хувиргалт нь матрицын тэг мөрийг устгахтай, хувиргалт 2) матрицын харгалзах мөрөнд түүний нөгөө мөрийг l тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцэх, хувиргалт 3) матрицын багануудыг солихтой тэнцүү байна.

Эсрэгээрээ матрицын элементийн хувиргалт бүр нь системийн (I) элементар хувиргалттай тохирч байгааг харахад хялбар байдаг. Дээр дурдсан зүйлсийг харгалзан (I) системтэй ажиллахын оронд бид энэ системийн өргөтгөсөн матрицтай ажиллах болно.

Матрицын 1-р багана нь at гэсэн коэффициентүүдээс бүрдэнэ x 1, 2-р багана - коэффициентүүдээс x 2гэх мэт. Хэрэв та багануудыг дахин цэгцлэх юм бол энэ нөхцөл зөрчигдөж байгааг санаарай. Жишээлбэл, хэрэв бид 1, 2-р баганыг хооронд нь сольсон бол одоо 1-р баганад коэффициентүүдийг агуулна. x 2, мөн 2-р баганад - коэффициентүүд x 1.

Бид (I) системийг Гауссын аргаар шийдэх болно.

1. Хэрэв байгаа бол матрицын бүх тэг мөрийг таслана (өөрөөр хэлбэл (I) систем дэх бүх тэг тэгшитгэлийг таслана).

2. Матрицын мөрүүдийн дунд сүүлчийнхээс бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх мөр байгаа эсэхийг шалгана уу (ийм мөрийг үл нийцэх гэж үзье). Мэдээжийн хэрэг, ийм эгнээ нь (I) систем дэх үл нийцэх тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул (I) системд шийдэл байхгүй бөгөөд процесс энд дуусдаг.

3. Матрицад үл нийцэх мөр байхгүй байг ((I) системд үл нийцэх тэгшитгэл байхгүй). Хэрэв a 11 = 0, дараа нь бид 1-р эгнээнд тэгээс бусад зарим элементийг (сүүлийнхээс бусад) олж, 1-р эгнээнд 1-р эгнээнд тэг байхгүй байхаар багануудыг дахин байрлуулна. Бид одоо (өөрөөр хэлбэл (I) системийн тэгшитгэл дэх харгалзах нэр томъёоны байршлыг өөрчилнө) гэж таамаглах болно.

4. 1-р мөрийг үржүүлж үр дүнг 2-р эгнээнд нэмж, дараа нь 1-р мөрийг үржүүлж үр дүнг 3-р эгнээнд нэмэх гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ үйл явц нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай адил юм x 1Эхнийхээс бусад (I) системийн бүх тэгшитгэлийн . Шинэ матрицад бид элементийн доорх 1-р баганад тэгийг авна а 11:

.

5. Матрицын бүх тэг мөрийг хайчилж, хэрэв байгаа бол зөрчилтэй мөр байгаа эсэхийг шалгана уу (хэрэв байгаа бол систем нь зөрчилтэй бөгөөд шийдэл нь энд төгсдөг). Байх эсэхийг шалгацгаая a 22 / = 0, хэрэв тийм бол бид 2-р эгнээнд тэгээс өөр элементийг олж, багануудыг дахин байрлуулна. Дараа нь бид 2-р эгнээний элементүүдийг үржүүлнэ 3-р эгнээний харгалзах элементүүдээр нэмж, дараа нь - 2-р эгнээний элементүүдийг дараа нь нэмээд 4-р эгнээний харгалзах элементүүдтэй хамт тэгийг авах хүртэл нэмнэ. нь 22 /

.

Гүйцэтгэсэн үйлдлүүд нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай тэнцүү байна x 2 1 ба 2-оос бусад системийн (I) бүх тэгшитгэлээс. Мөрүүдийн тоо хязгаарлагдмал тул тодорхой тооны алхмуудын дараа бид систем нь нийцэхгүй байна, эсвэл шаталсан матрицад хүрнэ ( 1-р бүлгийн тодорхойлолт 2 §7-г үзнэ үү) :

,

Матрицад тохирох тэгшитгэлийн системийг бичье. Энэ систем нь системтэй (I) тэнцүү байна.

.

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ; өмнөх тэгшитгэлд орлуулах, олох гэх мэтийг олж авах хүртэл.

Тайлбар 1.Тиймээс (I) системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхдээ бид дараах тохиолдлуудын аль нэгэнд хүрнэ.

1. Систем (I) зөрчилтэй байна.

2. Матриц дахь мөрийн тоо нь үл мэдэгдэх () тоотой тэнцүү бол систем (I) нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

3. Матриц дахь мөрийн тоо нь үл мэдэгдэх () тооноос бага бол систем (I) нь хязгааргүй олон шийдтэй байна.

Тиймээс дараах теорем биелнэ.

Теорем.Шугаман тэгшитгэлийн систем нь зөрчилтэй, эсвэл өвөрмөц шийдэлтэй, эсвэл хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй байдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдэх эсвэл үл нийцэх байдлыг нотлох:

б) ;

a) Өгөгдсөн системийг дараах байдлаар дахин бичье.

.

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид анхны системийн 1 ба 2-р тэгшитгэлийг сольсон (бутархайн оронд бид зөвхөн бүхэл тоогоор ийм солилтоор ажиллах болно).

Бид өргөтгөсөн матриц үүсгэдэг:

.

Ямар ч хоосон мөр байхгүй; үл нийцэх шугам байхгүй; 1-ээс бусад системийн бүх тэгшитгэлээс 1-р үл мэдэгдэхийг хас. Үүнийг хийхийн тулд матрицын 1-р эгнээний элементүүдийг "-2"-оор үржүүлж, 2-р эгнээний харгалзах элементүүдээр нэмнэ, энэ нь 1-р тэгшитгэлийг "-2"-оор үржүүлж, 2-р тэгшитгэлээр нэмэхтэй тэнцүү байна. . Дараа нь бид 1-р эгнээний элементүүдийг "-3"-аар үржүүлж, гурав дахь эгнээний харгалзах элементүүдээр нэмнэ, өөрөөр хэлбэл. өгөгдсөн системийн 2-р тэгшитгэлийг "-3"-аар үржүүлээд 3-р тэгшитгэлд нэмнэ. Бид авдаг

.

Тэгшитгэлийн систем нь матрицтай тохирч байна). - (1-р бүлгийн 3§7-ийн тодорхойлолтыг үзнэ үү).

Урвуу матрицын арга нь онцгой тохиолдол юм матрицын тэгшитгэл

Матрицын аргаар системийг шийд

Шийдэл: Системийг матриц хэлбэрээр бичээд системийн шийдийг томъёогоор олъё (сүүлийн томъёог харна уу)

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.
, хаана нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.

Эхлээд бид тодорхойлогчтой харьцдаг:

Энд шалгуур үзүүлэлтийг эхний мөрөнд өргөжүүлсэн.

Анхаар! Хэрэв урвуу матриц байхгүй бөгөөд системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд системийг үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргаар (Гауссын арга) шийддэг.

Одоо бид насанд хүрээгүй 9 хүүхдийг тооцоолж, насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичих хэрэгтэй

Лавлагаа:Шугаман алгебр дахь давхар тэмдэгтийн утгыг мэдэх нь ашигтай. Эхний цифр нь энэ элементийн байрласан мөрийн дугаар юм. Хоёр дахь цифр нь энэ элемент байрладаг баганын дугаар юм.

Өөрөөр хэлбэл, давхар тэмдэгт нь тухайн зүйл эхний мөр, гурав дахь багана, жишээлбэл, тухайн зүйл 3-р мөр, 2-р баганад байгааг илтгэнэ.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн тооцооллыг шийдвэрлэх явцад тодорхой туршлагатай бол тэд амаар алдаатай тоолж дассан байж болох ч нарийвчлан зурах нь дээр.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тооцоолох дараалал нь тийм ч чухал биш, энд би тэднийг зүүнээс баруун тийш мөр мөрөөр тооцсон. Насанд хүрээгүй хүмүүсийг баганаар тооцоолох боломжтой байсан (энэ нь илүү тохиромжтой).

Тиймээс:

- матрицын харгалзах элементүүдийн багачуудын матриц.

- алгебрийн нэмэлтүүдийн матриц.

- алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц.

Би давтан хэлье, бидний хийсэн алхмуудыг хичээл дээр нарийвчлан шинжилсэн. Матрицын урвуу утгыг хэрхэн олох вэ?

Одоо бид матрицын урвууг бичнэ:

Ямар ч тохиолдолд бид матрицад оруулахгүй, энэ нь цаашдын тооцооллыг ноцтойгоор хүндрүүлнэ... Хэрэв матриц дахь бүх тоо 60-д үлдэгдэлгүй хуваагдаж байвал хуваах шаардлагатай болно. Гэхдээ энэ тохиолдолд матрицад хасахыг оруулах нь маш чухал бөгөөд эсрэгээр энэ нь цаашдын тооцооллыг хялбарчлах болно.

Энэ нь матрицын үржүүлэлтийг хийх хэвээр байна. Та хичээл дээр матрицыг хэрхэн үржүүлэх талаар сурч болно Матрицын үйлдлүүд... Дашрамд хэлэхэд, яг ижил жишээг тэнд шинжилдэг.

60-д хуваах нь хийгдсэн гэдгийг анхаарна уу сүүлчийн байранд.
Заримдаа энэ нь бүрэн хуваагдаагүй байж болно, i.e. "муу" бутархай гарч болзошгүй. Ийм тохиолдолд яах ёстойг бид Крамерын дүрмийг шинжлэхдээ аль хэдийн хэлсэн.

Хариулах:

Жишээ 12

Урвуу матрицыг ашиглан системийг шийд.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм (дуусгах жишээ ба хичээлийн төгсгөлд хариулт).

Системийг шийдэх хамгийн түгээмэл арга бол үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга (Гауссын арга)... Алгоритмыг тайлбарлахад амаргүй ч би оролдсон!

Танд амжилт хүсье!

Хариултууд:

Жишээ 3:

Жишээ 6:

Жишээ 8: , ... Та энэ жишээний шийдлийн жишээг үзэх эсвэл татаж авах боломжтой (доорх холбоос).

Жишээ 10, 12:

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно. Энэ хичээл нь сэдвийн гурав дахь хичээл юм. Хэрэв та шугаман тэгшитгэлийн систем гэж юу болох талаар тодорхойгүй ойлголттой бол та цайны сав шиг санагдаж байвал би хуудасны үндсээс эхлэхийг зөвлөж байна. Цаашид хичээлийг судлах нь ашигтай байдаг.

Гауссын арга амархан!Яагаад? Германы алдарт математикч Иоганн Карл Фридрих Гаусс амьд ахуйдаа бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикч, суут ухаантан, тэр ч байтугай "математикийн хаан" хочоор хүлээн зөвшөөрөгдсөн. Та бүхний мэдэж байгаагаар ухаалаг бүх зүйл энгийн байдаг!Дашрамд сонирхуулахад, зөвхөн сорогчид төдийгүй суут ухаантнууд мөнгөөр ​​цалинждаг - Гауссын хөрөг 10 Дойчмаркийн дэвсгэрт дээр байсан (евро гаргахаас өмнө) бөгөөд Гаусс жирийн шуудангийн маркнаас германчуудад учир битүүлгээр инээмсэглэдэг хэвээр байна.

Гауссын арга нь энгийн бөгөөд 5-р ангийн сурагчийн мэдлэг түүнийг эзэмшихэд хангалттай байдаг. Та нэмэх, үржүүлэх чадвартай байх ёстой!Сургуулийн математикийн хичээл дээр үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах аргыг багш нар ихэвчлэн авч үздэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Хачирхалтай нь, Гауссын арга нь оюутнуудад хамгийн хэцүү байдаг. Гайхах зүйлгүй - бүх зүйл арга зүйд байгаа бөгөөд би аргын алгоритмын талаар танд хүртээмжтэй хэлбэрээр хэлэхийг хичээх болно.

Эхлээд шугаман тэгшитгэлийн системийн талаарх мэдлэгээ бага зэрэг системчилье. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь:

1) Өвөрмөц шийдэлтэй байх.
2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх.
3) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх нийцэхгүй).

Гауссын арга бол шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, олон талын хэрэгсэл юм ямар чшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний санаж байгаагаар Крамерын дүрэм ба матрицын аргасистем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй. Мөн үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга ямар ч байсанбиднийг хариулт руу хөтөлнө! Энэ хичээл дээр бид 1-р тохиолдлын хувьд Гауссын аргыг дахин авч үзэх болно (системийн цорын ганц шийдэл), нийтлэлийг 2-3 дугаар цэгүүдийн нөхцөл байдалд зориулж хадгалсан болно. Аргын алгоритм нь гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг гэдгийг анхаарна уу.

Хичээлээс хамгийн энгийн систем рүү буцаж орцгооё Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?
Гауссын аргаар шийднэ.

Эхний шатанд та бичих хэрэгтэй Өргөтгөсөн системийн матриц:
... Коэффициентийг ямар зарчмаар бичсэнийг хүн бүр харж байгаа байх. Матриц доторх босоо зураас нь ямар ч математикийн утгыг агуулдаггүй - энэ нь дизайныг хялбар болгох үүднээс доогуур зураас юм.

Лавлагаа: Би санаж байхыг зөвлөж байнанөхцөл шугаман алгебр.Системийн матриц Зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матриц уу, энэ жишээнд системийн матриц: . Өргөтгөсөн системийн матриц - энэ нь системийн ижил матриц ба чөлөөт гишүүдийн багана, энэ тохиолдолд: ... Аливаа матрицыг товчилсон матриц гэж нэрлэж болно.

Өргөтгөсөн матрицын системийг бүртгэсний дараа түүнтэй хамт зарим үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг анхан шатны өөрчлөлтүүд.

Дараах үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг.

1) Мөрматрицууд дахин зохион байгуулж болногазрууд. Жишээлбэл, авч үзэж буй матрицад та эхний болон хоёр дахь эгнээг өвдөлтгүйгээр дахин байрлуулж болно.

2) Хэрэв матриц нь пропорциональ (тусгай тохиолдолд - ижил) мөрүүдийг агуулж байвал (эсвэл гарч ирнэ) дараа нь дараах болно. устгахматрицаас нэгээс бусад бүх мөр. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье ... Энэ матрицад сүүлийн гурван эгнээ пропорциональ байгаа тул тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үлдээхэд хангалттай. .

3) Хэрэв хувиргалт хийх явцад матрицад тэг мөр гарч ирсэн бол энэ нь мөн адил байна устгах... Би зурахгүй, мэдээжийн хэрэг, тэг шугам нь ямар шугам юм нэг тэг.

4) Матрицын мөр байж болно үржүүлэх (хуваах)ямар ч тоогоор, тэг биш... Жишээлбэл, матрицыг авч үзье. Энд эхний мөрийг -3-аар хувааж, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. ... Энэ үйлдэл нь матрицын цаашдын хувиргалтыг хялбарчлах тул маш хэрэгтэй.

5) Энэ өөрчлөлт нь хамгийн хэцүү, гэхдээ үнэндээ тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Матрицын эгнээнд та чадна тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэтэг биш. Практик жишээнээс манай матрицыг авч үзье:. Эхлээд би хөрвүүлэлтийг нарийвчлан тайлбарлах болно. Эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: , ба хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ:. Одоо эхний мөрийг "буцаж" -2: гэж хувааж болно. Таны харж байгаагаар ADD гэсэн мөр ЛЭЭ – өөрчлөгдөөгүй. Үргэлж байдагАЛЬ НЭМЭГДҮҮЛЭХ гэсэн мөрийг өөрчилнө UT.

Практикт мэдээжийн хэрэг тэд тийм ч дэлгэрэнгүй тайлбарладаггүй, гэхдээ богино бичдэг:

Дахин нэг удаа: хоёр дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмсэн... Мөрийг ихэвчлэн амаар эсвэл ноорог дээр үржүүлдэг бол тооцооллын сэтгэцийн явц нь дараах байдалтай байна.

"Матрицыг дахин бичиж, эхний мөрийг дахин бичих:"

“Эхний багана. Доод талд нь би тэг авах хэрэгтэй. Тиймээс би дээд талд байгаа нэгжийг –2:-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: 2 + (–2) = 0. Үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Одоо хоёр дахь баганад. Дээрх -1-ийг -2-оор үржүүлнэ:. Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 1 + 2 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: "

"Ба гурав дахь багана. -5-аас дээшийг -2-оор үржүүлнэ:. Би хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: –7 + 10 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

Энэ жишээг сайтар ойлгож, тооцооллын дараалсан алгоритмыг ойлгоорой, хэрэв та үүнийг ойлгож байгаа бол Гауссын арга бараг таны халаасанд байна. Гэхдээ мэдээж энэ өөрчлөлтийн тал дээр ажиллана.

Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийн шийдийг өөрчилдөггүй

! АНХААРУУЛГА:манипуляци гэж үздэг ашиглаж чадахгүй, хэрэв танд матрицуудыг "өөрсдөө" өгдөг даалгавар санал болгосон бол. Жишээлбэл, "сонгодог" матрицтай үйлдлүүдЯмар ч тохиолдолд та матриц доторх ямар нэг зүйлийг дахин цэгцлэх ёсгүй!

Систем рүүгээ буцаж орцгооё. Бараг шийдэгдчихлээ.

Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан үүнийг багасгадаг шаталсан харах:

(1) Хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлсэн. Дашрамд хэлэхэд, бид яагаад эхний мөрийг -2-оор үржүүлдэг вэ? Доод талд нь тэг авахын тулд хоёр дахь мөрөнд нэг хувьсагчаас сална гэсэн үг.

(2) Хоёр дахь эгнээ 3-аар хуваагдана.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн зорилго– матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах: ... Даалгаврын загварт "шат" -ыг энгийн харандаагаар тэмдэглэж, "алхмууд" дээр байрлах тоонуудыг дугуйлсан байна. "Алхам төрөл" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө онолын шинж чанартай биш бөгөөд шинжлэх ухаан, боловсролын ном зохиолд үүнийг ихэвчлэн нэрлэдэг трапец хэлбэрийн харагдацэсвэл гурвалжин үзэмж.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд бид олж авсан тэнцүүАнхны тэгшитгэлийн систем:

Одоо системийг эсрэг чиглэлд "муйлах" хэрэгтэй - доороос дээш, энэ процессыг нэрлэдэг. хоцрогдсон Гауссын арга.

Доод тэгшитгэлд бид бэлэн үр дүнтэй байна:.

Системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзээд түүнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан "тоглоом" гэсэн утгыг орлуулна уу.

Гауссын арга нь гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийг шаарддаг хамгийн нийтлэг нөхцөл байдлыг авч үзье.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичье.

Одоо би шийдлийн явцад хүрэх үр дүнг нэн даруй зурах болно.

Дахин хэлэхэд бидний зорилго бол энгийн хувиргалтуудыг ашиглан матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах явдал юм. Үйл ажиллагааг хаанаас эхлэх вэ?

Эхлээд бид зүүн дээд талын дугаарыг харна:

Энэ нь бараг үргэлж энд байх ёстой нэгж... Ерөнхийдөө, -1 нь зүгээр байх болно (заримдаа бусад тоонууд), гэхдээ ямар нэгэн байдлаар энэ нэгжийг ихэвчлэн тэнд байрлуулсан байдаг. Хэрхэн нэгжийг зохион байгуулах вэ? Бид эхний баганыг харж байна - бидэнд бэлэн нэгж байна! Эхний хувиргалт: эхний болон гурав дахь мөрийг солино:

Одоо эхний мөр нь шийдлийн төгсгөл хүртэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх болно.... Одоо зүгээр.

Зүүн дээд хэсэгт байрлах нэгж нь зохион байгуулалттай. Одоо та эдгээр газруудад тэг авах хэрэгтэй:

Бид "хэцүү" өөрчлөлтийн тусламжтайгаар тэгүүдийг авдаг. Эхлээд бид хоёр дахь мөрөнд (2, –1, 3, 13) хандана. Эхний байрлалд тэг авахын тулд юу хийх ёстой вэ? Шаардлагатай хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ... Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –2-оор үржүүлнэ: (–2, –4, 2, –18). Мөн бид байнга (дахин оюун ухаанаараа эсвэл ноорог дээр) нэмэлт, өөрчлөлт оруулдаг. Хоёр дахь мөрөнд бид аль хэдийн -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ:

Бид үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ:

Бид гурав дахь мөрийг ижил аргаар (3, 2, –5, –1) харьцдаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд танд хэрэгтэй Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ... Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр эхний мөрийг –3-аар үржүүлнэ: (–3, –6, 3, –27). БА Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ:

Бид үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичнэ.

Практикт эдгээр үйлдлүүдийг ихэвчлэн амаар хийж, нэг алхамаар тэмдэглэдэг.

Та бүгдийг нэг дор, зэрэг тоолох шаардлагагүй... Тооцооллын дараалал, үр дүнг "бичих" тууштайба ихэвчлэн ийм байдаг: эхлээд бид эхний мөрийг дахин бичиж, зальтай зүйл дээр өөрсдийгөө хөөргөдөг - ДАРААЛТ болон АНХААРАЛТАЙ:

Дээр дурдсан тооцооллын сэтгэцийн талаар би аль хэдийн хэлэлцсэн.

Энэ жишээн дээр үүнийг хийхэд хялбар, бид хоёр дахь мөрийг -5-т хуваана (учир нь бүх тоо 5-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг). Үүний зэрэгцээ бид гурав дахь мөрийг -2-т хуваана, учир нь тоо бага байх тусам шийдэл нь хялбар болно.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн эцсийн шатанд та эндээс өөр тэг авах хэрэгтэй.

Үүний төлөө Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг -2-оор үржүүлнэ:

Энэ үйлдлийг өөрөө задлан шинжилж үзээрэй - хоёр дахь мөрийг оюун ухаанаар -2-оор үржүүлж, нэмнэ үү.

Хамгийн сүүлд хийсэн үйлдэл нь үр дүнгийн үс засалт бөгөөд гурав дахь эгнээ 3-аар хуваагдана.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд шугаман тэгшитгэлийн ижил төстэй анхны системийг олж авав.

Сайхан байна.

Одоо Гауссын аргын урвуу арга хэрэгжиж байна. Тэгшитгэлүүд нь доороос дээш "тайлдаг".

Гурав дахь тэгшитгэлд бид аль хэдийн бэлэн үр дүнд хүрсэн байна.

Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье:. "z"-ийн утгыг аль хэдийн мэддэг болсон тул:

Эцэст нь эхний тэгшитгэл:. "Yamek" ба "z" нь мэдэгдэж байгаа, асуудал бага байна:

Хариулт:

Олон удаа дурьдсанчлан тэгшитгэлийн аливаа системийн хувьд олсон шийдлийг шалгах боломжтой бөгөөд шаардлагатай байдаг нь аз болоход энэ нь хялбар бөгөөд хурдан юм.

Жишээ 2

Энэ бол өөрөө хийх дээж, дуусгах загвар, сургалтын төгсгөлд байгаа хариулт юм.

Таны шийдвэрийн курсМиний шийдвэртэй таарахгүй байж магадгүй, бөгөөд энэ нь Гауссын аргын онцлог юм... Гэхдээ хариултууд нь адилхан байх ёстой!

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Бид зүүн дээд талын "алхам" -ыг хардаг. Бид тэнд нэгжтэй байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад нэг ч хүн байхгүй тул мөрүүдийг дахин байрлуулах нь юу ч шийдэхгүй. Ийм тохиолдолд нэгжийг энгийн өөрчлөлтийг ашиглан зохион байгуулах шаардлагатай. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: (1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлнэ... Өөрөөр хэлбэл, бид оюун ухаанаараа хоёр дахь мөрийг –1-ээр үржүүлж, эхний болон хоёр дахь мөрийг нэмсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй.

Одоо зүүн дээд талд -1 байгаа нь бидэнд тохиромжтой. +1 авахыг хүссэн хэн бүхэн биеийн нэмэлт хөдөлгөөнийг хийж болно: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ (тэмдэггээ өөрчлөх).

(2) 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд, 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.

(3) Эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн, зарчмын хувьд энэ нь гоо сайхны төлөө юм. Бид мөн гурав дахь эгнээний тэмдгийг өөрчилж, хоёрдугаарт шилжүүлсэн тул хоёр дахь "алхамдаа шаардлагатай нэгжтэй болсон.

(4) 2-оор үржүүлсэн хоёр дахь эгнээ гурав дахь эгнээнд нэмэгдэв.

(5) Гурав дахь мөрийг 3-т хуваасан.

Тооцооллын алдааг илтгэдэг муу тэмдэг (бага тохиолдолд - үсгийн алдаа) нь "муу" доод шугам юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид доод хэсэгт ийм зүйл авсан бол, үүний дагуу, , дараа нь өндөр магадлалтайгаар анхан шатны өөрчлөлтийн явцад алдаа гарсан гэж маргаж болно.

Бид урвуу цохилтыг цэнэглэдэг, жишээнүүдийн дизайнд систем өөрөө ихэвчлэн дахин бичигддэггүй бөгөөд тэгшитгэлийг "өгөгдсөн матрицаас шууд авдаг." Урвуу хөдөлгөөн нь доороос дээш ажиллана гэдгийг би танд сануулж байна.
Тийм ээ, энд бэлэг гарч ирэв:

Хариулт: .

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Хэн нэгэн андуурвал зүгээр. Сургалтын төгсгөлд иж бүрэн шийдэл, загвар дизайн. Таны шийдэл миний шийдлээс өөр байж магадгүй.

Сүүлийн хэсэгт бид Гауссын алгоритмын зарим шинж чанарыг авч үзэх болно.
Эхний онцлог нь заримдаа системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байдаг, жишээлбэл:

Өргөтгөсөн системийн матрицыг хэрхэн зөв бичих вэ? Энэ мөчийн талаар би аль хэдийн хичээл дээр ярьсан. Крамерын дүрэм. Матрицын арга... Системийн өргөтгөсөн матрицад бид алга болсон хувьсагчдын оронд тэгүүдийг тавьдаг.

Дашрамд хэлэхэд, энэ нь нэлээд хялбар жишээ юм, учир нь эхний баганад аль хэдийн нэг тэг байгаа бөгөөд цөөн тооны энгийн хувиргалт хийх болно.

Хоёр дахь онцлог нь дараах байдалтай байна. Үзсэн бүх жишээн дээр бид "алхам" дээр -1 эсвэл +1-ийн аль нэгийг тавьсан. Өөр тоонууд байж болох уу? Зарим тохиолдолд тэд чадна. Системийг авч үзье: .

Энд зүүн дээд "алхам" дээр бид хоёр байна. Гэхдээ эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг болохыг бид анзаарч байна - үлдсэн хоёр ба зургаа. Мөн зүүн дээд талд байгаа deuce бидэнд тохирох болно! Эхний алхамд та дараах хувиргалтыг хийх хэрэгтэй: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд нэмнэ; Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Энэ нь эхний баганад хүссэн тэгүүдийг өгөх болно.

Эсвэл өөр нөхцөлт жишээ: ... 12 (тэг авах шаардлагатай газар) нь үлдэгдэлгүйгээр 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь "алхам" дээрх гурав нь бидэнд тохирно. Дараахь өөрчлөлтийг хийх шаардлагатай: гурав дахь эгнээнд хоёр дахь эгнээ нэмж -4-ээр үржүүлсний үр дүнд бидэнд хэрэгтэй тэгийг авах болно.

Гауссын арга нь бүх нийтийнх боловч нэг онцлог шинж чанартай байдаг. Та системийг өөр аргуудаар (Крамерын арга, матрицын арга) хэрхэн шийдвэрлэх талаар анх удаа итгэлтэйгээр сурах боломжтой - маш хатуу алгоритм байдаг. Гэхдээ Гауссын аргад итгэлтэй байхын тулд та "гараа дүүргэж", дор хаяж 5-10 арван системийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс, эхэндээ төөрөгдөл, тооцоололд алдаа гарах боломжтой бөгөөд үүнд ер бусын, эмгэнэлтэй зүйл байхгүй.

Цонхны гадна бороотой намрын цаг агаар .... Тиймээс хүн бүрт бие даасан шийдлийн илүү төвөгтэй жишээ:

Жишээ 5

Дөрвөн үл мэдэгдэх 4 шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд.

Практикт ийм даалгавар тийм ч ховор биш юм. Энэ хуудсыг сайтар судалж үзсэн цайны аяга хүртэл ийм системийг шийдэх алгоритм нь зөн совингийн хувьд ойлгомжтой гэж би бодож байна. Үндсэндээ бүх зүйл ижил байна - зүгээр л илүү олон үйлдэл байна.

Хичээл дээр системд шийдэл байхгүй (зөрчил) эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй тохиолдлуудыг авч үзнэ. Тохиромжгүй систем ба системүүд нийтлэг шийдэлтэй... Гауссын аргын авч үзсэн алгоритмыг мөн тэнд засах боломжтой.

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд:
(1) Хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн.Анхаар! Гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасах нь сонирхолтой байж магадгүй, би хасахыг цээрлэдэг - алдаа гарах эрсдэл эрс нэмэгддэг. Зүгээр л нэмээрэй!
(2) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Хоёр, гурав дахь мөрүүдийг сольсон.тэмдэглэл "Алхам" дээр бид зөвхөн нэг төдийгүй -1-д сэтгэл хангалуун байдаг бөгөөд энэ нь илүү тохиромжтой юм.
(3) Гурав дахь эгнээнд хоёр дахь эгнээ нэмж, 5-аар үржүүлэв.
(4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу:


Хариулт: .

Жишээ 4: Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт:
(1) Эхний мөрөнд хоёр дахь нь нэмэгдсэн. Тиймээс хүссэн нэгжийг зүүн дээд "алхам" дээр зохион байгуулдаг.
(2) 7-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд, 6-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж оруулав.

Хоёр дахь алхам нь улам дордож байна , "Нэр дэвшигч" нь 17 ба 23 гэсэн тоо бөгөөд бидэнд нэг эсвэл -1 хэрэгтэй. Өөрчлөлт (3) ба (4) нь хүссэн нэгжийг авахад чиглэгдэх болно

(3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.
(4) Гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн.
Хоёрдахь шатанд шаардлагатай зүйлийг хүлээн авна .
(5) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 6-аар үржүүлсэн.
(6) Хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, гурав дахь мөрийг -83-аар хуваасан.Хавтгай нь нэг шулуун дээр хэвтдэггүй гурван өөр цэгээр өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог нь ойлгомжтой. Тиймээс онгоцны гурван үсэгтэй тэмдэглэгээ нь нэлээд түгээмэл байдаг - тэдгээрт хамаарах цэгүүд, жишээлбэл,; .Хэрэв чөлөөт гишүүд