Урвуу матрицыг тооцоолох томъёо. Алгебрийн нэмэлтүүдийг ашиглан урвуу матрицыг тооцоолох алгоритм: хавсаргасан (нэгдэл) матрицын арга

Бид матрицтай үйлдлийн талаар үргэлжлүүлэн ярьж байна. Тухайлбал, энэ лекцийг судлах явцад та урвуу матрицыг хэрхэн олох талаар сурах болно. Сурах. Хэдийгээр математик хатуу байсан ч гэсэн.

Урвуу матриц гэж юу вэ? Энд бид аналоги зурж болно урвуу тоонууд: Жишээ нь, өөдрөг тоо 5 ба түүний харилцан хамаарлыг авч үзье. Эдгээр тоонуудын үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байна: . Матрицтай адилхан! Матриц ба түүний урвуу үржвэр нь - таних матриц, энэ нь тоон нэгжийн матрицын аналог юм. Гэсэн хэдий ч эхлээд бид чухал практик асуудлыг шийдэх болно, тухайлбал бид энэ урвуу матрицыг хэрхэн олохыг сурах болно.

Урвуу матрицыг олохын тулд та юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Та шийдвэр гаргах чадвартай байх ёстой тодорхойлогч хүчин зүйлүүд. Та юу болохыг ойлгох ёстой матрицмөн тэдэнтэй зарим үйлдлийг гүйцэтгэх чадвартай байх.

Урвуу матрицыг олох хоёр үндсэн арга байдаг:
дамжуулан алгебрийн нэмэлтүүдболон энгийн хувиргалтыг ашиглан.

Өнөөдөр бид эхний хялбар аргыг судлах болно.

Хамгийн аймшигтай, ойлгомжгүй зүйлээс эхэлье. Санаж үз дөрвөлжинматриц. Урвуу матрицыг дараах томъёогоор олж болно:

Матрицын тодорхойлогч хаана байна , матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц байна.

Урвуу матрицын тухай ойлголт зөвхөн үүнд л байдаг квадрат матрицууд , матрицууд "хоёр хоёр", "гурваас гурав" гэх мэт.

Тэмдэглэгээ: Матрицын урвуу талыг дээд бичвэрээр тэмдэглэсэн байх магадлалтай

Хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлцгээе - хоёроос хоёр матриц. Ихэнх тохиолдолд мэдээжийн хэрэг "гурваас гурваар" шаардлагатай байдаг, гэхдээ би сурахын тулд илүү энгийн ажлыг судлахыг зөвлөж байна. ерөнхий зарчимшийдлүүд.

Жишээ:

Матрицын урвуу утгыг ол

Бид шийднэ. Үйлдлүүдийн дарааллыг цэгүүдэд хялбархан задалдаг.

1) Эхлээд бид матрицын тодорхойлогчийг олно.

Хэрэв энэ үйлдлийн талаархи ойлголт сайн биш бол материалыг уншина уу Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Чухал!Хэрэв матрицын тодорхойлогч нь ТЭГ- урвуу матриц БАЙДАГГҮЙ.

Харж байгаа жишээн дээр бүх зүйл эмх цэгцтэй байна гэсэн үг юм.

2) Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицыг ол.

Бидний асуудлыг шийдэхийн тулд насанд хүрээгүй хүн гэж юу болохыг мэдэх шаардлагагүй, гэхдээ нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна. Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ.

Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матриц нь матрицтай ижил хэмжээтэй байна, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд .
Энэ хэрэг нь жижиг, дөрвөн тоог олж, одны оронд байрлуулахад л үлддэг.

Манай матриц руу буцах
Эхлээд зүүн дээд талын элементийг харцгаая:

Яаж олох вэ бага?
Үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: Энэ элемент байрлах мөр, баганыг СЭТГЭЛЭЭР тайрч ав.

Үлдсэн тоо нь бага өгөгдсөн элемент , үүнийг бид насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн матрицад бичдэг:

Дараахь матрицын элементийг авч үзье.

Энэ элемент байрладаг мөр, баганыг оюун ухаанаар хөндлөн зур.

Үлдсэн зүйл бол энэ элементийн багахан хэсэг бөгөөд бид үүнийг матрицдаа бичдэг.

Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь эгнээний элементүүдийг авч үзээд тэдний насанд хүрээгүй хүмүүсийг олно.


Бэлэн.

Энэ бол энгийн. Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад танд хэрэгтэй Тэмдгүүдийг өөрчлөххоёр тооны хувьд:

Эдгээр тоонуудыг би дугуйлсан!

нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн матриц юм.

Тэгээд зүгээр л нэг зүйл ...

4) Алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матрицыг ол.

нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.

5) Хариулт.

Бидний томъёог санаарай
Бүгд олдлоо!

Тэгэхээр урвуу матриц нь:

Хариултыг байгаагаар нь үлдээсэн нь дээр. ХЭРЭГГҮЙбутархай тоо гарах тул матрицын элемент бүрийг 2-т хуваа. Энэ нюансыг ижил нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзсэн болно. Матрицтай үйлдлүүд.

Шийдлийг хэрхэн шалгах вэ?

Матрицын үржүүлгийн аль нэгийг хийх ёстой

Шалгалт:

аль хэдийн дурдсан таних матрицнь нэгжтэй матриц юм үндсэн диагональболон бусад газар тэг.

Тиймээс урвуу матриц зөв олддог.

Хэрэв та үйлдэл хийвэл үр дүн нь мөн адил таних матриц болно. Энэ нь матрицын үржвэрийг солих боломжтой цөөн тохиолдлын нэг юм дэлгэрэнгүй мэдээлэлнийтлэлээс олж болно Матриц дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарууд. Матрицын илэрхийллүүд. Шалгах явцад тогтмол (бутархай) хэсгийг урагшлуулж, хамгийн төгсгөлд нь - матрицыг үржүүлсний дараа боловсруулдаг болохыг анхаарна уу. Энэ бол стандарт хүлээн авалт юм.

Практикт илүү нийтлэг тохиолдол болох гурваас гурван матриц руу шилжье.

Жишээ:

Матрицын урвуу утгыг ол

Алгоритм нь хоёроос хоёр тохиолдолтой яг адилхан.

Бид урвуу матрицыг томъёогоор олно: , энд матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц .

1) Матрицын тодорхойлогчийг ол.

Энд тодорхойлогч тодорхойлогдоно эхний мөрөнд.

Үүнийг бүү мартаарай, энэ нь бүх зүйл сайхан байна гэсэн үг юм - урвуу матриц байдаг.

2) Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицыг ол.

Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матриц нь "гурваас гурав" хэмжээтэй байна. , мөн бид есөн тоог олох хэрэгтэй.

Би насанд хүрээгүй хэд хэдэн хүүхдийг нарийвчлан авч үзэх болно:

Дараахь матрицын элементийг авч үзье.

Энэ элементийн байрлаж буй мөр, баганыг СЭТГЭЛЭЭР тайлж зур:

Үлдсэн дөрвөн тоог тодорхойлогч "хоёр хоёр" гэж бичнэ.

Энэ нь хоёроос хоёр тодорхойлогч ба өгөгдсөн элементийн бага хэсэг юм. Үүнийг тооцоолох шаардлагатай:


Бүх зүйл, насанд хүрээгүй хүн олддог, бид үүнийг насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичдэг.

Таны таамаглаж байсанчлан тооцоолоход есөн хоёрыг хоёр тодорхойлогч байдаг. Энэ үйл явц нь мэдээжийн хэрэг уйтгартай, гэхдээ энэ нь хамгийн хэцүү зүйл биш, үүнээс ч дор байж болно.

За, нэгтгэхийн тулд - зургуудаас өөр насанд хүрээгүй хүүхдийг олоорой:

Насанд хүрээгүй үлдсэн хүүхдүүдийг өөрөө тооцоолохыг хичээ.

Эцсийн үр дүн:
нь матрицын харгалзах элементүүдийн багачуудын матриц юм.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүд бүгд сөрөг болж гарсан нь санамсаргүй тохиолдол юм.

3) Алгебрийн нэмэгдлийн матрицыг ол.

Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад энэ нь зайлшгүй шаардлагатай Тэмдгүүдийг өөрчлөхдараах элементүүдийн хувьд хатуу:

Энэ тохиолдолд:

"Дөрөв дөрөв" матрицын урвуу матрицыг олохыг анхаарч үзэхгүй, учир нь зөвхөн садист багш л ийм даалгавар өгч чадна (Оюутан нэг "дөрөвөөс дөрөв" тодорхойлогч, 16 "гураваас гурав" тодорхойлогчийг тооцоолох) . Миний практикт зөвхөн нэг ийм тохиолдол байсан бөгөөд үйлчлүүлэгч хяналтын ажилМиний тарчлалын төлөө маш их төлсөн =).

Хэд хэдэн сурах бичиг, гарын авлагаас та урвуу матрицыг олох арай өөр аргыг олж болно, гэхдээ би дээрх шийдлийн алгоритмыг ашиглахыг зөвлөж байна. Яагаад? Учир нь тооцоолол, тэмдэгтэнд эргэлзэх магадлал хамаагүй бага байдаг.

Урвуу матрицыг олох арга, . Квадрат матрицыг авч үзье

Δ = det A гэж тэмдэглэнэ.

А квадрат матриц гэж нэрлэдэг доройтдоггүй,эсвэл тусгай бусхэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг биш бол ба доройтох,эсвэл Онцгой, хэрэвΔ = 0.

Хэрэв тэдгээрийн үржвэр A B = B A = E бол ижил дарааллын квадрат А матрицад B квадрат матриц оршино, энд E нь А ба В матрицуудтай ижил эрэмбийн ижил төстэй матриц юм.

Теорем . А матриц урвуу матрицтай байхын тулд тодорхойлогч нь тэгээс өөр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

урвуу матрицА матрицыг А-аар тэмдэглэв- 1 тэгэхээр B = A - 1 томъёогоор тооцоолно

, (1)

Энд А i j - А матрицын a i j элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд.

Өндөр эрэмбийн матрицын хувьд (1) томъёогоор A -1-ийг тооцоолох нь маш их хөдөлмөр шаарддаг тул практик дээр аргыг ашиглан A -1-ийг олоход тохиромжтой. анхан шатны өөрчлөлтүүд(EP). Ямар ч ганц биш матрицыг зөвхөн баганаас (эсвэл зөвхөн мөр) EP-ээр E таних матриц руу буулгаж болно. Хэрэв А матриц дээрх төгс EP-үүдийг ижил дарааллаар Е матрицад хэрэглэвэл үр дүн нь дараах байдалтай байна. урвуу матриц. А ба Е матрицууд дээр нэгэн зэрэг EP хийх нь тохиромжтой бөгөөд хоёр матрицыг шугамаар зэрэгцүүлэн бичнэ. Матрицын каноник хэлбэрийг хайхдаа түүнийг олохын тулд мөр, баганын хувиргалтыг ашиглаж болно гэдгийг бид дахин тэмдэглэж байна. Хэрэв та урвуу матрицыг олох шаардлагатай бол хувиргах явцад зөвхөн мөр эсвэл зөвхөн баганыг ашиглах хэрэгтэй.

Жишээ 2.10. Матрицын хувьд А -1-ийг ол.

Шийдэл.Бид эхлээд А матрицын тодорхойлогчийг олно
урвуу матриц байгаа бөгөөд бид үүнийг дараах томъёогоор олж болно. , энд A i j (i,j=1,2,3) - анхны матрицын a i j элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд.

Хаана .

Жишээ 2.11. Элемент хувиргалтын аргыг ашиглан матрицын A -1-ийг ол: A=.

Шийдэл.Бид баруун талд байгаа анхны матрицад ижил эрэмбийн таних матрицыг оноодог. . Энгийн баганын хувиргалтын тусламжтайгаар бид зүүн "хагас" -ыг ижил төстэй болгож бууруулж, баруун матриц дээр яг ийм хувиргалтыг нэгэн зэрэг гүйцэтгэдэг.
Үүнийг хийхийн тулд эхний болон хоёр дахь баганыг солино уу: ~ . Гурав дахь баганад эхнийхийг нэмж, хоёр дахь баганад эхнийхийг -2-оор үржүүлнэ. . Эхний баганаас бид хоёр дахин нэмэгдсэн хоёрыг хасч, гурав дахь нь хоёр дахь нь 6-аар үржүүлсэн; . Гурав дахь баганыг эхний болон хоёрдугаарт нэмье: . Сүүлийн баганыг -1-ээр үржүүлнэ: . Босоо зураасны баруун талд олж авсан квадрат матриц нь өгөгдсөн А матрицын урвуу матриц юм. Тэгэхээр,
.

n-р эрэмбийн квадрат матриц байг

А -1 матриц гэж нэрлэдэг урвуу матрицА матрицын хувьд, хэрэв A * A -1 = E бол E нь n-р эрэмбийн таних матриц юм.

Таних матриц- зүүн дээд булангаас баруун доод буланд дамждаг үндсэн диагональ дагуух бүх элементүүд нэг, үлдсэн хэсэг нь тэг байх ийм дөрвөлжин матриц, жишээлбэл:

урвуу матрицбайж болно зөвхөн квадрат матрицын хувьдтэдгээр. ижил тооны мөр, баганатай матрицуудын хувьд.

Урвуу матрицын оршихуйн нөхцлийн теорем

Матриц урвуу матрицтай байхын тулд энэ нь доройтоогүй байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

A = (A1, A2,...A n) матрицыг дуудна доройтдоггүйбаганын векторууд шугаман хамааралгүй бол. Матрицын шугаман бие даасан баганын векторуудын тоог матрицын зэрэг гэнэ. Тиймээс урвуу матриц оршин тогтнохын тулд матрицын зэрэглэл нь түүний хэмжээстэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай гэж хэлж болно. r = n.

Урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хүснэгтэд А матрицыг бичээд баруун талд (тэгшитгэлийн баруун хэсгийн оронд) Е матрицыг онооно.
2. Жорданы хувиргалтуудыг ашиглан А матрицыг нэг баганаас бүрдэх матриц руу авчрах; Энэ тохиолдолд E матрицыг нэгэн зэрэг хувиргах шаардлагатай.
3. Шаардлагатай бол сүүлчийн хүснэгтийн мөрүүдийг (тэгшитгэл) дахин зохион байгуулж, E таних матрицыг анхны хүснэгтийн А матрицын доор авна.
4. Анхны хүснэгтийн Е матрицын доор байрлах сүүлийн хүснэгтэд байгаа A -1 урвуу матрицыг бич.

Жишээ 1

А матрицын хувьд урвуу А -1 матрицыг ол

Шийдэл: Бид А матрицыг бичиж, баруун талд нь таних матриц Е-г онооно. Жорданы хувиргалтуудыг ашиглан бид А матрицыг E таних матриц руу буулгана. Тооцооллыг 31.1-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Анхны А матриц болон урвуу матриц А -1-ийг үржүүлж тооцоолол зөв эсэхийг шалгая.

Матрицын үржүүлгийн үр дүнд таних матрицыг олж авдаг. Тиймээс тооцоолол нь зөв юм.

Хариулт:

Матрицын тэгшитгэлийн шийдэл

Матрицын тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.

AX = B, XA = B, AXB = C,

Энд A, B, C матрицууд өгөгдсөн бол X нь хүссэн матриц юм.

Матрицын тэгшитгэлийг урвуу матрицаар үржүүлэх замаар шийддэг.

Жишээлбэл, тэгшитгэлээс матрицыг олохын тулд та энэ тэгшитгэлийг зүүн талд үржүүлэх хэрэгтэй.

Иймд тэгшитгэлийн шийдийг олохын тулд урвуу матрицыг олж, тэгшитгэлийн баруун талд байгаа матрицаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Бусад тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар шийддэг.

Жишээ 2

AX = B тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: Матрицын урвуу нь тэнцүү тул (1-р жишээг үзнэ үү)

Эдийн засгийн шинжилгээнд матрицын арга

Бусадтай зэрэгцэн тэд бас програм олдог матрицын аргууд . Эдгээр аргууд нь шугаман болон вектор матрицын алгебр дээр суурилдаг. Ийм аргуудыг эдийн засгийн цогц, олон хэмжээст үзэгдлийг шинжлэхэд ашигладаг. Ихэнхдээ эдгээр аргуудыг байгууллага, тэдгээрийн бүтцийн хэлтсийн үйл ажиллагааг харьцуулах шаардлагатай үед ашигладаг.

Матрицын шинжилгээний аргыг хэрэглэх явцад хэд хэдэн үе шатыг ялгаж салгаж болно.

Эхний шатандтогтолцоо бүрдэж байна эдийн засгийн үзүүлэлтүүдҮүний үндсэн дээр анхны өгөгдлийн матрицыг эмхэтгэсэн бөгөөд энэ нь системийн дугаарыг тус тусад нь мөрөнд харуулсан хүснэгт юм. (i = 1,2,....., n), босоо графикуудын дагуу - үзүүлэлтүүдийн тоо (j = 1,2,.....,м).

Хоёр дахь шатандбосоо багана бүрийн хувьд шалгуур үзүүлэлтүүдийн хамгийн том утгыг нэгж болгон авч үздэг.

Үүний дараа энэ баганад тусгагдсан бүх дүнг хуваана хамгийн өндөр үнэ цэнэстандартчилагдсан коэффициентүүдийн матриц үүсдэг.

Гурав дахь шатандматрицын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд квадрат хэлбэртэй байна. Хэрэв тэдгээр нь өөр өөр утгатай бол матрицын үзүүлэлт бүрт тодорхой жингийн коэффициентийг оноодог к. Сүүлчийн үнэ цэнийг шинжээч тодорхойлно.

Хамгийн сүүлд дөрөв дэх үе шатүнэлгээний утгыг олсон Ржөсөх, буурах дарааллаар бүлэглэнэ.

Дээрх матрицын аргуудыг, жишээлбэл, хэзээ харьцуулсан шинжилгээянз бүрийн хөрөнгө оруулалтын төслүүд, түүнчлэн байгууллагын эдийн засгийн бусад үзүүлэлтүүдийг үнэлэхэд.

Матрицын үржүүлгийн урвуу үйлдлийг тодорхойлох асуудлыг авч үзье.

А нь n дарааллын квадрат матриц байг. Матриц A^(-1) нь өгөгдсөн А матрицтай хамт дараах тэгшитгэлүүдийг хангана.

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

дуудсан урвуу. А матрицыг нэрлэнэ буцаах боломжтой, хэрэв урвуу утга байвал, өөрөөр хэлбэл - эргэлт буцалтгүй.

Тодорхойлолтоос харахад урвуу матриц A^(-1) байгаа бол энэ нь A-тай ижил дарааллын квадрат болно. Гэсэн хэдий ч квадрат матриц бүр урвуу утгатай байдаггүй. Хэрэв А матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү (\det(A)=0) бол түүний урвуу утга байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, E=A^(-1)A адилтгал матрицын матрицын үржвэрийн тодорхойлогчийн тухай теоремыг ашигласнаар бид зөрчилдөөнийг олж авна.

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

таних матрицын тодорхойлогч нь 1-тэй тэнцүү тул квадрат матрицын тодорхойлогчийн тэгээс зөрүү нь урвуу матриц байх цорын ганц нөхцөл юм. Тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү квадрат матрицыг доройтсон (ганц тоо), өөрөөр хэлбэл ганц биш (ганц бус) гэж нэрлэдэг гэдгийг санаарай.

Урвуу матрицын оршихуй ба өвөрмөц байдлын тухай теорем 4.1. квадрат матриц A=\эхлэх(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \төгсгөл(pmatrix)Тодорхойлогч нь 0 биш, урвуу матрицтай бөгөөд зөвхөн нэг нь:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

Энд A^(+) нь А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдээс бүрдэх матрицад шилжүүлсэн матриц юм.

A^(+) матрицыг дуудна хавсаргасан матрицматрицын хувьд А .

Үнэхээр матриц \frac(1)(\det(A))\,A^(+)\det(A)\ne0 нөхцөлөөр оршино. Энэ нь А-аас урвуу гэдгийг бид харуулах ёстой, i.e. хоёр нөхцлийг хангасан:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\баруун)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\баруун)\!\cdot A=E.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Эхний тэгш байдлыг баталъя. Тайлбар 2.3-ын 4-т зааснаар тодорхойлогчийн шинж чанараас харахад AA^(+)=\det(A)\cdot E. Тэгэхээр

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\баруун)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

харуулах ёстой байсан. Хоёр дахь тэгш байдал нь ижил төстэй байдлаар нотлогддог. Иймд \det(A)\ne0 нөхцөлийн дагуу А матриц урвуу утгатай байна

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Бид урвуу матрицын өвөрмөц байдлыг зөрчилдөөнөөр нотолж байна. A^(-1) матрицаас гадна өөр нэг урвуу матриц B\,(B\ne A^(-1)) байгаа бөгөөд AB=E байна. Зүүн талд байгаа тэгш байдлын хоёр талыг A^(-1) матрицаар үржүүлбэл бид гарна. \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Эндээс B=A^(-1) , энэ нь B\ne A^(-1) таамаглалтай зөрчилдөж байна. Тиймээс урвуу матриц нь өвөрмөц юм.

Тайлбар 4.1

1. Тодорхойлолтоос харахад A ба A^(-1) матрицууд солигддог.

2. Буураагүй диагональтай урвуу матриц мөн диагональ байна:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\баруун)\!.

3. Доод (дээд) гурвалжин матрицын урвуу матриц нь доод (дээд) гурвалжин байна.

4. Элементар матрицууд нь урвуу утгатай байдаг бөгөөд тэдгээр нь мөн элементар байдаг (1.11-ийн Тайлбарын 1-р зүйлийг үз).

Урвуу матрицын шинж чанарууд

Матрицын урвуу үйлдэл нь байна дараах шинж чанарууд:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1) )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

1-4-т заасан үйлдлүүд утга учиртай бол.

2-р өмчийг баталъя: Хэрэв ижил эрэмбийн ганц биш квадрат матрицын AB үржвэр нь урвуу матрицтай бол (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Үнэн хэрэгтээ AB матрицын үржвэрийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш байна

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), хаана \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Тиймээс урвуу матриц (AB)^(-1) байгаа бөгөөд өвөрмөц юм. B^(-1)A^(-1) матриц нь AB матрицтай урвуу байдгийг тодорхойлолтоор харуулъя. Үнэхээр.

Урвуу матрицыг онлайнаар олохын тулд та матрицын хэмжээг өөрөө зааж өгөх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд багана, мөрийн тоо танд тохирох хүртэл "+" эсвэл "-" дүрс дээр дарна уу. Дараа нь талбарт шаардлагатай элементүүдийг оруулна уу. Доорх нь "Тооцоолох" товчийг дарснаар та дэлгэцэн дээр нарийвчилсан шийдэл бүхий хариултыг хүлээн авах болно.

Шугаман алгебрт матрицын урвуу утгыг тооцоолох үйл явц ихэвчлэн тулгардаг. Энэ нь зөвхөн илэрхийлэгдээгүй матрицууд ба квадрат матрицуудад тодорхойлогч нь тэгээс өөр байх тохиолдолд л байдаг. Зарчмын хувьд, ялангуяа жижиг матрицтай харьцаж байгаа бол үүнийг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ хэрэв танд илүү төвөгтэй тооцоолол эсвэл шийдвэрээ сайтар шалгаж үзэх шаардлагатай бол энэ онлайн тооцоолуурыг ашиглах нь дээр. Үүний тусламжтайгаар та урвуу матрицыг хурдан бөгөөд үнэн зөв шийдэж чадна.

Үүний тусламжтайгаар онлайн тооцоолуурТооцооллын хувьд та даалгавраа ихээхэн хөнгөвчлөх боломжтой болно. Нэмж дурдахад энэ нь онолын хувьд олж авсан материалыг нэгтгэхэд тусалдаг - энэ нь тархины нэг төрлийн симулятор юм. Үүнийг гар аргаар тооцоолох орлуулалт гэж үзэж болохгүй, энэ нь танд илүү их зүйлийг өгч, алгоритмыг өөрөө ойлгоход хялбар болгодог. Дээрээс нь өөрийгөө дахин шалгах нь хэзээ ч гэмтэхгүй.