ساده ترین معادلات مثلثاتی برای حل. حل معادلات مثلثاتی. چگونه یک معادله مثلثاتی را حل کنیم

روش های حل معادلات مثلثاتی

مقدمه 2

روشهای حل معادلات مثلثاتی 5

جبری 5

حل معادلات با استفاده از شرط تساوی برای توابع مثلثاتی همنام 7

فاکتورینگ 8

تقلیل به معادله همگن 10

معرفی گوشه کمکی 11

تبدیل کار به مجموع 14

تعویض جهانی 14

نتیجه گیری 17

معرفی

تا کلاس دهم، ترتیب اقدامات بسیاری از تمرینات منجر به هدف، به طور معمول، بدون ابهام تعریف شده است. به عنوان مثال خطی و معادلات درجه دومو نابرابری ها، معادلات کسری و درجه دوم و غیره. بدون بررسی دقیق اصل حل هر یک از مثال های بالا، اجازه دهید آنچه مشترک است که برای حل موفقیت آمیز آنها ضروری است را یادداشت کنیم.

در بیشتر موارد، لازم است مشخص شود که تکلیف به چه نوع وظیفه ای تعلق دارد، دنباله ای از اقدامات منتهی به هدف را به یاد آورید و این اقدامات را انجام دهید. بدیهی است که موفقیت یا عدم موفقیت دانش آموز در تسلط بر روش های حل معادلات عمدتاً به این بستگی دارد که او تا چه اندازه بتواند نوع معادله را به درستی تعیین کند و دنباله تمام مراحل حل آن را به خاطر بسپارد. البته فرض بر این است که دانش آموز مهارت های لازم برای اجرا را دارد تحولات یکسانو محاسبات

زمانی که دانش آموز با معادلات مثلثاتی مواجه می شود، وضعیت کاملاً متفاوتی رخ می دهد. در عین حال، اثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است دشوار نیست. هنگام یافتن ترتیب اقداماتی که منجر به انجام آنها می شود، مشکلات ایجاد می شود نتیجه مثبت... و در اینجا دانش آموز با دو مشکل مواجه می شود. توسط ظاهرتعیین نوع معادلات دشوار است. و بدون دانستن نوع آن، انتخاب فرمول مناسب از بین چندین ده موجود تقریبا غیرممکن است.

برای کمک به دانش‌آموزان در یافتن مسیر درست در پیچ و خم پیچیده‌ای از معادلات مثلثاتی، ابتدا با معادلاتی آشنا می‌شوند که پس از معرفی یک متغیر جدید، به مربع تقلیل می‌یابند. سپس معادلات همگن حل شده و به آنها تقلیل می یابد. همه چیز، به عنوان یک قاعده، با معادلاتی به پایان می رسد، که برای حل آنها باید سمت چپ را فاکتور گرفت، سپس هر یک از عوامل را با صفر برابر کرد.

معلم با درک اینکه یک و نیم دوجین معادله تجزیه و تحلیل شده در درس ها به وضوح برای شروع یک سفر مستقل دانش آموز در "دریا" مثلثاتی کافی نیست، چند توصیه دیگر از خود اضافه می کند.

برای حل معادله مثلثاتی باید سعی کنید:

همه توابع موجود در معادله را به "زوایای برابر" کاهش دهید.

معادله را به "توابع یکسان" کاهش دهید.

سمت چپ معادله و غیره را فاکتور بگیرید.

اما علیرغم آگاهی از انواع اولیه معادلات مثلثاتی و چندین اصل برای یافتن جواب آنها، هنوز بسیاری از دانش آموزان قبل از هر معادله در بن بست قرار می گیرند که با معادلاتی که قبلا حل شده اند کمی متفاوت است. مشخص نیست با داشتن این یا آن معادله برای چه چیزی باید تلاش کرد، چرا در یک مورد لازم است فرمول های زاویه مضاعف، در دیگری - نیمه، و در مورد سوم - فرمول های جمع و غیره را اعمال کنیم.

تعریف 1.مثلثات معادله ای است که در آن مجهول تحت علامت توابع مثلثاتی قرار می گیرد.

تعریف 2.آنها می گویند که یک معادله مثلثاتی دارای زوایای یکسان است اگر همه توابع مثلثاتی موجود در آن آرگومان های مساوی داشته باشند. معادله مثلثاتی اگر فقط یکی از توابع مثلثاتی را داشته باشد، توابع یکسانی دارد.

تعریف 3.درجه یک تک جمله ای حاوی توابع مثلثاتی مجموع توان های توابع مثلثاتی است که در آن گنجانده شده است.

تعریف 4.معادله ای همگن نامیده می شود که تمام تک جمله های موجود در آن دارای درجه یکسانی باشند. این درجه را ترتیب معادله می گویند.

تعریف 5.معادله مثلثاتی که فقط شامل توابع است گناهو cosاگر همه تک جمله ها نسبت به توابع مثلثاتی داشته باشند، همگن نامیده می شود همان درجه، و خود توابع مثلثاتی دارای زوایای مساوی هستند و تعداد تک جمله ها 1 بیشتر از ترتیب معادله است.

روش های حل معادلات مثلثاتی.

حل معادلات مثلثاتی شامل دو مرحله است: تبدیل معادله برای به دست آوردن ساده ترین شکل آن و حل ساده ترین معادله مثلثاتی حاصل. هفت روش اساسی برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد.

من. روش جبری.این روش از جبر به خوبی شناخته شده است. (روش جایگزینی و جایگزینی متغیر).

حل معادلات

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم ایکس=2 گناه3 تی، ما گرفتیم

با حل این معادله بدست می آوریم:
یا

آن ها می توان نوشت

هنگام ثبت تصمیم دریافت شده به دلیل وجود علائم درجه
نوشتن معنی ندارد

پاسخ:

نشان می دهیم

معادله درجه دوم را بدست می آوریم
... ریشه آن اعداد است
و
... از همین رو معادله داده شدهبه ساده ترین معادلات مثلثاتی تقلیل می دهد
و
... با حل آنها، متوجه می شویم که
یا
.

پاسخ:
;
.

نشان می دهیم

شرط را برآورده نمی کند

به معنای

پاسخ:

بیایید سمت چپ معادله را تبدیل کنیم:

بنابراین، این معادله اولیه را می توان به صورت زیر نوشت:

، یعنی

با تعیین
، ما گرفتیم
با حل این معادله درجه دوم، داریم:

شرط را برآورده نمی کند

حل معادله اصلی را می نویسیم:

پاسخ:

تعویض
این معادله را به یک معادله درجه دوم کاهش می دهد
... ریشه آن اعداد است
و
... زیرا
، پس معادله داده شده ریشه ندارد.

پاسخ: هیچ ریشه ای وجود ندارد.

II... حل معادلات با استفاده از شرط برابری توابع مثلثاتی مشابه.

آ)
، اگر

ب)
، اگر

v)
، اگر

با استفاده از این شرایط، حل معادلات زیر را در نظر بگیرید:

با استفاده از آنچه در قسمت الف گفته شد، در می یابیم که معادله یک راه حل دارد اگر و فقط اگر
.

با حل این معادله می یابیم
.

ما دو گروه راه حل داریم:

.

7) معادله را حل کنید:
.

با استفاده از شرط b)، آن را استنباط می کنیم
.

با حل این معادلات درجه دوم به دست می آید:

8) معادله را حل کنید
.

از این معادله استنباط می کنیم که. با حل این معادله درجه دوم، متوجه می شویم که

.

III... فاکتورسازی

ما این روش را با مثال در نظر می گیریم.

9) معادله را حل کنید
.

راه حل. تمام عبارت های معادله را به سمت چپ حرکت دهید:.

عبارت سمت چپ معادله را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:
.

1)
2)

زیرا
و
مقدار صفر را نگیرید

در همان زمان، سپس هر دو قسمت را تقسیم می کنیم

معادلات برای
,

پاسخ:

10) معادله را حل کنید:

راه حل.

یا

پاسخ:

11) معادله را حل کنید

راه حل:

1)
2)
3)

پاسخ:

IV... کاهش به یک معادله همگن.

برطرف كردن معادله همگنلازم:

تمام اعضای آن را به سمت چپ حرکت دهید.

همه عوامل مشترک را از پرانتز خارج کنید.

همه فاکتورها و پرانتزها را صفر کنید.

پرانتزهای برابر با صفر معادله ای همگن با درجه کمتر به دست می دهند که باید تقسیم بر
(یا
) در مقطع ارشد؛

حل دریافت شد معادله جبریبه طور نسبی
.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

12) معادله را حل کنید:

راه حل.

دو طرف معادله را تقسیم بر
,

معرفی نماد
، تحت عنوان

ریشه های این معادله:

از این رو 1)
2)

پاسخ:

13) معادله را حل کنید:

راه حل. با استفاده از فرمول‌های زاویه دوتایی و هویت مثلثاتی پایه، این معادله را به یک آرگومان نیمه تقلیل می‌دهیم:

پس از کاهش چنین اصطلاحاتی، داریم:

تقسیم آخرین معادله همگن بر
، ما گرفتیم

من تعیین خواهم کرد
، معادله درجه دوم را بدست می آوریم
که ریشه آن اعداد است

بدین ترتیب

اصطلاح
ناپدید می شود در
، یعنی در
,
.

راه حل ما برای معادله این اعداد را شامل نمی شود.

پاسخ:
, .

V... معرفی یک زاویه کمکی.

معادله ای از فرم را در نظر بگیرید

جایی که الف، ب، ج- ضرایب ایکس- ناشناخته.

دو طرف این معادله را بر تقسیم می کنیم

حال ضرایب معادله دارای خاصیت سینوس و کسینوس هستند، یعنی: مدول هر یک از آنها از یک تجاوز نمی کند و مجموع مجذورهای آنها 1 است.

سپس می توانیم آنها را بر این اساس مشخص کنیم
(اینجا - زاویه کمکی) و معادله ما به شکل:.

سپس

و تصمیم او

توجه داشته باشید که عناوین معرفی شده قابل تعویض هستند.

14) معادله را حل کنید:

راه حل. اینجا
، بنابراین هر دو طرف معادله را بر تقسیم می کنیم

پاسخ:

15) معادله را حل کنید

راه حل. زیرا
، پس این معادله معادل معادله است

زیرا
، سپس یک زاویه وجود دارد که
,
(آنها
).

ما داریم

زیرا
، سپس در نهایت دریافت می کنیم:

توجه داشته باشید که معادله فرم دارای جواب اگر و فقط اگر باشد

16) معادله را حل کنید:

برای حل این معادله، توابع مثلثاتی را با آرگومان های مشابه گروه بندی می کنیم

دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنید

مجموع توابع مثلثاتی را به یک محصول تبدیل می کنیم:

پاسخ:

VI... تبدیل اثر به جمع.

فرمول های مربوطه در اینجا استفاده می شود.

17) معادله را حل کنید:

راه حل. سمت چپ را به جمع تبدیل کنید:

vii.جایگزینی جهانی

این فرمول ها برای همه صادق است

تعویض
جهانی نامیده می شود.

18) معادله را حل کنید:

راه حل: جایگزین کنید و
به بیان آنها از طریق
و نشان دهند
.

یک معادله منطقی بدست می آوریم
که به مربع تبدیل می شود
.

ریشه های این معادله اعداد هستند
.

بنابراین، مسئله به حل دو معادله خلاصه شد
.

ما آن را پیدا می کنیم
.

مشاهده ارزش
معادله اصلی را برآورده نمی کند، که با بررسی - جایگزینی این مقدار تأیید می شود تیبه معادله اصلی

پاسخ:
.

اظهار نظر. معادله 18 را می توان به روش دیگری حل کرد.

دو طرف این معادله را بر 5 تقسیم کنید (یعنی بر
):
.

زیرا
، پس چنین عددی وجود دارد
، چی
و
... بنابراین، معادله به شکل زیر است:
یا
... از این در می یابیم که
جایی که
.

19) معادله را حل کنید
.

راه حل. از آنجایی که توابع
و
دارای بیشترین مقدار برابر با 1 هستند، سپس مجموع آنها برابر با 2 است، اگر
و
، به طور همزمان، یعنی
.

پاسخ:
.

هنگام حل این معادله از کران توابع و استفاده شد.

نتیجه.

با کار بر روی مبحث "حل معادلات مثلثاتی"، رعایت این توصیه ها برای هر معلم مفید است:

نظام‌بندی روش‌های حل معادلات مثلثاتی.

برای خود مراحل انجام تجزیه و تحلیل معادله و نشانه های مناسب بودن استفاده از یک یا روش حل دیگر را انتخاب کنید.

برای اجرای روش به راههای خودکنترلی فعالیتهای آنها فکر کنید.

یاد بگیرید که معادلات "خود" را برای هر یک از روش های مورد مطالعه بسازید.

پیوست 1

معادلات همگن یا همگن را حل کنید.

1.	پاسخ
	پاسخ

	پاسخ
5.	پاسخ
	پاسخ
7.	پاسخ
	پاسخ

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

وقتی درخواستی را در سایت می گذارید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و پیشنهادات، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده را گزارش کنیم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی، تجزیه و تحلیل داده ها و مطالعات مختلفبه منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم.
اگر در قرعه‌کشی جوایز، مسابقه یا رویداد تبلیغاتی مشابه شرکت می‌کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، حکم دادگاه، در مراحل دادرسی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت، اجرای قانون یا سایر دلایل مهم اجتماعی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث مناسب - جانشین قانونی انتقال دهیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی، افشا، تغییر و تخریب غیرمجاز انجام می دهیم.

به حریم خصوصی خود در سطح شرکت احترام بگذارید

به منظور اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، قوانین محرمانه و امنیتی را برای کارمندان خود آورده و بر اجرای اقدامات محرمانه به شدت نظارت می کنیم.

درس کاربرد پیچیده دانش.

اهداف درس

در نظر گرفتن روش های مختلفحل معادلات مثلثاتی
پرورش خلاقیت دانش آموزان با حل معادلات.
تشویق دانش آموزان به خودکنترلی، کنترل متقابل، درون نگری در فعالیت های آموزشی.

تجهیزات: صفحه نمایش، پروژکتور، مواد مرجع.

در طول کلاس ها

گفتگوی مقدماتی

روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی کاهش آنها به ساده ترین است. در این مورد، راه های معمولبه عنوان مثال، فاکتورسازی ها، و همچنین تکنیک هایی که فقط برای حل معادلات مثلثاتی استفاده می شوند. تعداد کمی از این تکنیک ها وجود دارد، به عنوان مثال، جانشینی های مختلف مثلثاتی، تبدیل زوایا، تبدیل توابع مثلثاتی. استفاده بی رویه از هر تبدیل مثلثاتی معمولاً معادله را ساده نمی کند، اما به طرز فاجعه باری آن را پیچیده می کند. برای تمرین در طرح کلیبرای حل معادله برنامه ریزی کنید، راه کاهش معادله را به ساده ترین حالت ترسیم کنید، ابتدا باید زوایا را تجزیه و تحلیل کنید - آرگومان های توابع مثلثاتی موجود در معادله.

امروز در مورد روش های حل معادلات مثلثاتی صحبت خواهیم کرد. یک روش به درستی انتخاب شده اغلب ساده کردن قابل توجه راه حل را امکان پذیر می کند، بنابراین، تمام روش هایی که مطالعه کرده ایم باید همیشه در منطقه مورد توجه ما قرار گیرند تا حل شود. معادلات مثلثاتیمناسب ترین روش

II. (با استفاده از پروژکتور روش های حل معادلات را تکرار می کنیم.)

1. روش تقلیل معادله مثلثاتی به جبری.

لازم است همه توابع مثلثاتی را بر حسب یک و با همان آرگومان بیان کنیم. این را می توان با استفاده از هویت مثلثاتی اولیه و پیامدهای آن انجام داد. بیایید معادله ای با یک تابع مثلثاتی بدست آوریم. با در نظر گرفتن آن به عنوان یک مجهول جدید، یک معادله جبری به دست می آوریم. ما ریشه های آن را پیدا می کنیم و با حل ساده ترین معادلات مثلثاتی به مجهول قدیمی باز می گردیم.

2. روش فاکتورسازی.

برای تغییر زاویه ها، فرمول های تبدیل، مجموع و تفاضل آرگومان ها و همچنین فرمول های تبدیل مجموع (تفاوت) توابع مثلثاتی به حاصلضرب و بالعکس اغلب مفید هستند.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. روش معرفی یک زاویه اضافی.

4. روش استفاده از جایگزینی جهانی.

معادلات شکل F (sinx، cosx، tgx) = 0 با استفاده از جایگزینی مثلثاتی جهانی به جبری تقلیل می‌یابند.

با بیان سینوس، کسینوس و مماس بر حسب مماس نیم زاویه. این ترفند می تواند به یک معادله مرتبه بالاتر منجر شود. که راه حل آن دشوار است.

معادلات مثلثاتی ساده ترین موضوع نیستند. به طور دردناکی، آنها متنوع هستند.) به عنوان مثال، موارد زیر:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

و غیره...

اما این هیولاهای مثلثاتی (و بقیه) دو ویژگی مشترک و اجباری دارند. اول - باور نمی کنید - توابع مثلثاتی در معادلات وجود دارد.) دوم: تمام عبارات با x پیدا می شوند. داخل همین توابعو فقط آنجا! اگر x در هر جایی ظاهر شود خارج از،مثلا، sin2x + 3x = 3،این قبلا یک معادله خواهد بود نوع مختلط... چنین معادلاتی نیاز به رویکرد فردی دارد. ما آنها را در اینجا در نظر نخواهیم گرفت.

معادلات شیطانی را هم در این درس حل نمی کنیم.) در اینجا به آن می پردازیم ساده ترین معادلات مثلثاتیچرا؟ بله، زیرا راه حل هرمعادلات مثلثاتی دو مرحله دارند. در مرحله اول، معادله شر با دگرگونی های مختلف به یک معادله ساده کاهش می یابد. در دوم، این ساده ترین معادله حل می شود. راه دیگری نیست.

بنابراین، اگر در مرحله دوم مشکل دارید، مرحله اول چندان منطقی نیست.)

معادلات مثلثاتی ابتدایی چگونه هستند؟

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

اینجا آ نشان دهنده هر عددی است هر کسی.

به هر حال، در داخل تابع ممکن است یک x خالص وجود نداشته باشد، اما نوعی عبارت، مانند:

cos (3x + π / 3) = 1/2

و غیره. این امر زندگی را پیچیده می کند، اما به هیچ وجه بر روش حل معادله مثلثاتی تأثیر نمی گذارد.

چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنیم؟

معادلات مثلثاتی را می توان به دو روش حل کرد. راه اول: با استفاده از منطق و دایره مثلثاتی. در اینجا این مسیر را در نظر خواهیم گرفت. راه دوم - استفاده از حافظه و فرمول - در درس بعدی مورد بحث قرار خواهد گرفت.

راه اول واضح، قابل اعتماد است و به سختی فراموش می شود.) برای حل معادلات مثلثاتی، نابرابری ها و انواع مثال های غیراستاندارد مشکل ساز خوب است. منطق قوی تر از حافظه است!)

حل معادلات با استفاده از دایره مثلثاتی

ما شامل منطق ابتدایی و توانایی استفاده از دایره مثلثاتی هستیم. نمیتونی!؟ با این حال ... در مثلثات برای شما سخت است ...) اما مهم نیست. نگاهی به دروس "دایره مثلثاتی ...... چیست؟" و «شمارش زوایا روی دایره مثلثاتی». آنجا همه چیز ساده است. بر خلاف آموزش...)

اوه میدونی!؟ و حتی در "کار عملی با دایره مثلثاتی" تسلط یافت!؟ تبریک می گویم. این موضوع برای شما نزدیک و قابل درک خواهد بود.) آنچه که به خصوص خوشایند است، دایره مثلثاتی اهمیتی نمی دهد که کدام معادله را حل کنید. سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت - همه چیز برای او یکی است. تنها یک اصل راه حل وجود دارد.

بنابراین هر معادله مثلثاتی ابتدایی را در نظر می گیریم. حداقل این:

cosx = 0.5

ما باید X را پیدا کنیم. از نظر انسانی، شما نیاز دارید زاویه (x) را پیدا کنید که کسینوس آن 0.5 است.

چگونه قبلا از دایره استفاده می کردیم؟ گوشه ای روی آن کشیدیم. بر حسب درجه یا رادیان. و بلافاصله مشاهده گردید توابع مثلثاتی این زاویه حالا برعکس عمل کنیم. بیایید یک کسینوس مساوی 0.5 روی دایره و بلافاصله رسم کنیم دیدن تزریق. تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است.) بله، بله!

دایره ای رسم کنید و کسینوس 0.5 را علامت بزنید. البته در محور کسینوس. مثل این:

حالا بیایید زاویه ای را که این کسینوس به ما می دهد ترسیم کنیم. نشانگر ماوس را روی نقاشی حرکت دهید (یا روی تصویر روی رایانه لوحی ضربه بزنید)، و دیدنهمین گوشه NS.

کسینوس 0.5 چه زاویه ای است؟

x = π / 3

cos 60 درجه= cos ( π / 3) = 0,5

کسی با شک می خندد، بله ... آنها می گویند، آیا ارزش دایره را داشت، وقتی همه چیز از قبل مشخص است ... البته می توانید بخندید ...) اما واقعیت این است که این یک پاسخ اشتباه است. یا بهتر است بگوییم ناکافی است. کارشناسان دایره می دانند که هنوز یک دسته کامل از زاویه ها در اینجا وجود دارد که همچنین کسینوس برابر با 0.5 را نشان می دهد.

اگر طرف متحرک OA را بچرخانید نوبت کامل، نقطه A به موقعیت اولیه خود باز می گردد. با کسینوس یکسان برابر با 0.5. آن ها زاویه تغییر خواهد کرد 360 درجه یا 2π رادیان، و کسینوس نیست.زاویه جدید 60 ° + 360 ° = 420 ° نیز راه حل معادله ما خواهد بود، زیرا

شما می توانید تعداد نامحدودی از چنین دورهای کامل را بچرخانید ... و همه این زوایای جدید راه حل هایی برای معادله مثلثاتی ما خواهند بود. و همه آنها باید به نحوی در پاسخ نوشته شوند. همه چيز.در غیر این صورت، تصمیم به حساب نمی آید، بله ...)

ریاضیات می داند که چگونه این کار را به روشی ساده و زیبا انجام دهد. در یک پاسخ کوتاه، بنویسید مجموعه بی پایانراه حل ها این چیزی است که برای معادله ما به نظر می رسد:

x = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

رمزگشایی خواهم کرد. هنوز بنویس معنی دارخوشایندتر از کشیدن احمقانه برخی حروف مرموز، درست است؟)

π / 3 - این همان گوشه ای است که ما داریم ارهروی دایره و شناخته شده استمطابق جدول کسینوس

2π یک انقلاب کامل در رادیان است.

n تعداد کامل است، i.e. کلانقلاب. واضح است که n می تواند 0، 1 ±، 2 ±، 3 ± ... و غیره باشد. که اشاره شده است یک یادداشت کوتاه:

n ∈ Z

n متعلق ( ∈ ) به مجموعه اعداد صحیح ( ز ). اتفاقا به جای نامه n ممکن است از حروف به خوبی استفاده شود k، m، t و غیره.

این ورودی به این معنی است که شما می توانید هر کل را بگیرید n ... حداقل -3، حداقل 0، حداقل +55. آنچه شما می خواهید. اگر آن عدد را به پاسخ متصل کنید، زاویه خاصی به دست می آید که قطعا معادله سخت ما را حل می کند.)

یا به عبارت دیگر x = π / 3 تنها ریشه مجموعه نامتناهی است. برای به دست آوردن تمام ریشه های دیگر، کافی است هر تعداد دور کامل را به π / 3 اضافه کنید ( n ) به رادیان. آن ها 2π n رادیان

همه چيز؟ خیر من عمداً لذت را دراز می کنم. برای اینکه آن را بهتر به خاطر بسپاریم.) ما فقط بخشی از پاسخ های معادله خود را دریافت کردیم. این قسمت اول راه حل را به صورت زیر می نویسم:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 1 - نه یک ریشه، یک سری ریشه کامل است که به صورت کوتاه نوشته شده است.

اما زوایایی هم هست که کسینوس 0.5 را هم می دهد!

بیایید به تصویر خودمان برگردیم که برای نوشتن پاسخ استفاده شده است. او آنجاست:

ماوس را روی عکس ببرید و دیدنگوشه ای دیگر که همچنین کسینوس 0.5 می دهد.به نظر شما برابر با چه چیزی است؟ مثلث ها یکی هستند... بله! برابر است با گوشه NS فقط در جهت منفی قرار می گیرد. این گوشه است -NS. اما ما قبلاً x را کشف کرده ایم. π / 3 یا 60 درجه بنابراین، می توانیم با خیال راحت بنویسیم:

x 2 = - π / 3

خوب، و البته، تمام زوایایی که از طریق چرخش کامل به دست می آیند را اضافه کنید:

x 2 = - π / 3 + 2π n، n ∈ Z

اکنون تمام است.) در دایره مثلثاتی، ما اره(البته کی میفهمه)) همهزاویه هایی که کسینوس برابر با 0.5 می دهد. و این زوایا را به صورت مختصر ریاضی نوشتند. پاسخ دو سری بی پایان ریشه ایجاد کرد:

x 1 = π / 3 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n، n ∈ Z

این جواب درست است.

امید، اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتیاستفاده از دایره واضح است. از معادله داده شده کسینوس (سینوس، مماس، کتانژانت) را روی دایره علامت گذاری می کنیم و زوایای مربوط به آن را رسم می کنیم و پاسخ را یادداشت می کنیم.البته، شما باید بفهمید که ما چه نوع گوشه هایی هستیم ارهروی دایره گاهی اوقات آنقدر واضح نیست. خوب، همانطور که گفتم، منطق در اینجا لازم است.)

به عنوان مثال، اجازه دهید یک معادله مثلثاتی دیگر را تحلیل کنیم:

لطفا توجه داشته باشید که عدد 0.5 تنها عدد ممکن در معادلات نیست!) نوشتن آن از ریشه و کسر برای من راحت تر است.

ما طبق اصل کلی کار می کنیم. یک دایره بکشید، علامت بزنید (البته روی محور سینوسی!) 0.5. همه زوایای مربوط به این سینوس را به یکباره رسم می کنیم. بیایید تصویر زیر را دریافت کنیم:

ابتدا با زاویه برخورد کنید NS در سه ماهه اول جدول سینوس ها را به یاد می آوریم و مقدار این زاویه را تعیین می کنیم. این یک موضوع ساده است:

x = π / 6

ما نوبت های کامل را به یاد می آوریم و با وجدانی آسوده، سری اول پاسخ ها را یادداشت می کنیم:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

نیمه تمام. اما حالا باید تعریف کنیم گوشه دوم...این حیله گرتر از کسینوس است، بله... اما منطق ما را نجات خواهد داد! نحوه تعیین زاویه دوم از طریق x بله آسان! مثلث های تصویر یکسان هستند و گوشه قرمز رنگ NS برابر با زاویه NS ... فقط از زاویه π در جهت منفی شمارش می شود. بنابراین، قرمز است.) و برای پاسخ به یک زاویه نیاز داریم که به درستی اندازه گیری شده باشد، از نیم محور OX مثبت، یعنی. از زاویه 0 درجه

مکان نما را روی عکس ببرید و همه چیز را ببینید. گوشه اول را برداشتم تا تصویر پیچیده نشود. زاویه مورد نظر ما (به رنگ سبز ترسیم شده) برابر خواهد بود با:

π - x

X ما آن را می دانیم π / 6 ... بنابراین، گوشه دوم خواهد بود:

π - π / 6 = 5π / 6

ما دوباره اضافه شدن انقلاب های کامل را به یاد می آوریم و سری دوم پاسخ ها را می نویسیم:

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

همین. پاسخ کامل شامل دو سری ریشه است:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

معادلات با مماس و کتانژانت را می توان با استفاده از همان اصل کلی برای حل معادلات مثلثاتی به راحتی حل کرد. البته اگر بلد باشید که چگونه مماس و کتانژانت را روی یک دایره مثلثاتی رسم کنید.

در مثال های بالا از مقدار سینوس و کسینوس جدول استفاده کردم: 0.5. آن ها یکی از آن معانی که دانش آموز می داند باید.حالا بیایید توانایی های خود را گسترش دهیم تمام ارزش های دیگرتصمیم بگیر پس تصمیم بگیر!)

بنابراین، فرض کنید باید این معادله مثلثاتی را حل کنیم:

در جداول کوتاه چنین مقدار کسینوس وجود ندارد. ما با خونسردی این واقعیت وحشتناک را نادیده می گیریم. یک دایره رسم کنید، 2/3 را روی محور کسینوس علامت بزنید و زوایای مربوطه را رسم کنید. ما این عکس را دریافت می کنیم.

بیایید آن را برای شروع، با یک زاویه در سه ماهه اول مشخص کنیم. اگه میدونستم X برابره چیه همون موقع جواب رو یادداشت میکردن! نمی دانیم ... شکست !؟ آرام! ریاضیات خودش را در مشکل رها نمی کند! او برای این مورد آرکوزین ها را اختراع کرد. نمیدانم؟ بیهوده. دریابید، خیلی ساده تر از آن چیزی است که فکر می کنید. در این پیوند، یک افسانه حیله‌آمیز در مورد "توابع مثلثاتی معکوس" وجود ندارد ... این در این مبحث اضافی است.

اگر می دانید کافی است با خود بگویید: "X زاویه ای است که کسینوس آن 2/3 است". و بلافاصله، صرفاً با تعریف آرکوزین، می توانید بنویسید:

چرخش های اضافی را به یاد می آوریم و با آرامش اولین سری از ریشه های معادله مثلثاتی خود را یادداشت می کنیم:

x 1 = آرکوس 2/3 + 2π n، n ∈ Z

سری دوم ریشه ها نیز تقریباً به طور خودکار برای زاویه دوم ضبط می شود. همه چیز یکسان است، فقط x (arccos 2/3) با منهای خواهد بود:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n، n ∈ Z

و بس! این جواب درست است. حتی ساده تر از مقادیر جدول. لازم نیست چیزی را به خاطر بسپارید.) به هر حال، بیشترین توجه متوجه خواهد شد که این تصویر با راه حل از طریق کسینوس معکوس در اصل، برای معادله cosx = 0.5 با تصویر تفاوتی ندارد.

دقیقا! اصل کلیبرای آن و کلی! من به طور خاص دو تصویر تقریباً یکسان کشیدم. دایره زاویه را به ما نشان می دهد NS توسط کسینوس آن جدول کسینوس است یا نه - دایره نمی داند. این زاویه، π/3، یا چه نوع کسینوس معکوس چیست - این به ما بستگی دارد.

با سینوس، همان آهنگ. مثلا:

دوباره دایره را بکشید، سینوس را برابر با 1/3 علامت بزنید، گوشه ها را بکشید. تصویر به این صورت است:

باز هم، تصویر تقریباً مشابه معادله است sinx = 0.5.باز هم، در کوارتر اول از گوشه شروع کنید. اگر سینوس آن 1/3 باشد x چیست؟ مشکلی نیست!

بنابراین اولین بسته ریشه آماده است:

x 1 = آرکسین 1/3 + 2π n، n∈ Z

ما با گوشه دوم سروکار داریم. در مثال با مقدار جدول 0.5، این بود:

π - x

پس اینجا هم دقیقاً همینطور خواهد بود! فقط x متفاوت است، arcsin 1/3. پس چی!؟ می توانید با خیال راحت بسته دوم ریشه ها را یادداشت کنید:

x 2 = π - آرکسین 1/3 + 2π n، n ∈ Z

این یک پاسخ کاملا درست است. اگرچه خیلی آشنا به نظر نمی رسد. اما قابل درک است، امیدوارم.)

به این ترتیب معادلات مثلثاتی با استفاده از دایره حل می شوند. این مسیر روشن و قابل درک است. این اوست که در معادلات مثلثاتی با انتخاب ریشه ها در یک بازه معین، در نابرابری های مثلثاتی صرفه جویی می کند - آنها معمولاً تقریباً همیشه در یک دایره حل می شوند. به طور خلاصه، در هر کاری که کمی دشوارتر از کارهای استاندارد است.

بیایید دانش خود را در عمل به کار ببریم؟)

حل معادلات مثلثاتی:

در ابتدا از این درس ساده تر است.

حالا سخت تر

نکته: اینجاست که باید روی دایره فکر کنید. شخصا.)

و اکنون آنها ظاهراً بی تکلف هستند ... به آنها موارد خاص نیز می گویند.

سینکس = 0

سینکس = 1

cosx = 0

cosx = -1

نکته: در اینجا شما باید در یک دایره بفهمید که کجا دو سری پاسخ وجود دارد و یکی کجا ... و چگونه به جای دو سری پاسخ، یکی را یادداشت کنید. بله، به طوری که حتی یک ریشه از تعداد نامتناهی گم نمی شود!)

خب موارد خیلی ساده):

سینکس = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

نکته: در اینجا باید بدانید که آرکسین چیست، آرکسین؟ مماس قوس، کوتانژانت قوس چیست؟ اکثر تعاریف ساده... اما شما نیازی به به خاطر سپردن مقادیر جدول ندارید!)

پاسخ ها البته به هم ریخته است:

x 1= arcsin0،3 + 2π n، n ∈ Z
x 2= π - arcsin0،3 + 2

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. دوباره درس را بخوانید. فقط متفکرانه(همچین چیزی وجود دارد کلمه منسوخ...) و لینک ها را دنبال کنید. لینک های اصلی در مورد دایره هستند. بدون آن، در مثلثات، مانند عبور از جاده با چشم بند است. گاهی اوقات کار می کند.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را بیابید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

زیاد مسائل ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 اتفاق می افتند، ترتیب اقداماتی که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین مسائلی عبارتند از، برای مثال، معادلات خطی و درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسری و معادلاتی که به درجه دوم کاهش می یابند. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: باید مشخص شود که چه نوع مشکلی باید حل شود، دنباله ای از اقدامات لازم را که منجر به نتیجه مطلوب می شود، به خاطر بسپارید. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله ای که باید حل شود به درستی تعیین می شود، چگونه دنباله تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته داشتن مهارت برای انجام تبدیل ها و محاسبات یکسان ضروری است.

وضعیت با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است اصلاً دشوار نیست. در تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلاتی به وجود می آید.

ظاهر یک معادله گاهی اوقات برای تعیین نوع آن دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی، مناسب را انتخاب کنید.

برای حل معادله مثلثاتی باید سعی کنید:

1. تمام توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. برای آوردن معادله به "توابع یکسان"؛
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور کنید.

در نظر گرفتن روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.بیان تابع مثلثاتیاز طریق اجزای شناخته شده

گام 2.آرگومان یک تابع را با فرمول های زیر بیابید:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x = (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tg x = a; x = آرکتان a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3.متغیر ناشناخته را پیدا کنید

مثال.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

راه حل.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn، n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn، n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z.

پاسخ: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

طرح راه حل

مرحله 1.معادله را با توجه به یکی از توابع مثلثاتی به شکل جبری بیاورید.

گام 2.تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3.معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4.یک جایگزین معکوس انجام دهید.

مرحله 5.ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

راه حل.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x / 2) = t، جایی که | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2، شرط را برآورده نمی کند | t | ≤ 1.

4) گناه (x/2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول های کاهش درجه برای این، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x)؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x)؛

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn، n Є Z;

x = ± π / 6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ± π / 6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

طرح راه حل

مرحله 1.این معادله را به شکل بیاورید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به ذهن

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2.دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tg x را بدست آورید:

الف) a tg x + b = 0;

ب) a tg 2 x + b آرکتان x + c = 0.

مرحله 3.معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4، بنابراین

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π / 4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn، n Є Z; x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله حل شده با روش های I, II, III, IV برسانید.

گام 2.معادله به دست آمده را با روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π / 2 + πn، n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π / 4 + πn / 2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ± (π - π / 3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه، x = π / 4 + πn / 2، n Є Z. x = ± 2π / 3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x = π / 4 + πn / 2، n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk، k Є Z.

مهارت و توانایی حل معادلات مثلثاتی بسیار است مهم است، توسعه آنها نیازمند تلاش های قابل توجهی است، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط است.فرآیند حل چنین مسائلی، همانطور که گفته شد، حاوی دانش و مهارت های بسیاری است که در هنگام مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند آموزش ریاضیات و به طور کلی رشد شخصیت دارند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.