سیستم تصمیم گیری بنیادی (مثال خاص). سیستم های همگن معادلات خطی

ماتریس های داده شده

پیدا کنید: 1) aA - bB،

راه حل: 1) با استفاده از قوانین ضرب یک ماتریس در عدد و جمع ماتریس آن را به ترتیب پیدا کنید.

2. اگر A * B را پیدا کنید

راه حل: با استفاده از قانون ضرب ماتریس

پاسخ:

3. برای یک ماتریس داده شده، مینور M 31 را پیدا کنید و تعیین کننده را محاسبه کنید.

راه حل: مینور M 31 تعیین کننده ماتریس است که از A به دست می آید

بعد از خط زدن سطر 3 و ستون 1. پیدا کنید

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

ماتریس A را بدون تغییر دترمینان آن تبدیل می کنیم (صفرهای ردیف 1 می سازیم)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

اکنون تعیین کننده ماتریس A را با تجزیه در ردیف 1 محاسبه می کنیم

پاسخ: M 31 = 0، detA = 0

با روش گاوس و روش کرامر حل کنید.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

راه حل: بررسی

روش کرامر را می توان اعمال کرد

راه حل سیستم: x 1 = D 1 / D = 2، x 2 = D 2 / D = -5، x 3 = D 3 / D = 3

بیایید روش گاوس را اعمال کنیم.

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را به شکل مثلثی بیاوریم.

برای راحتی محاسبات، بیایید خطوط را با هم عوض کنیم:

ردیف دوم را در (k = -1 / 2 =) ضرب کنید -1 / 2 ) و به 3 اضافه کنید:

	1 / 2		7 / 2

ردیف اول را در (k = -2 / 2 =) ضرب کنید -1 ) و به دومی اضافه کنید:

اکنون سیستم اصلی را می توان به صورت زیر نوشت:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x3)

از خط 2 بیان می کنیم

از خط 1 بیان می کنیم

راه حل همین است.

پاسخ: (2؛ -5؛ 3)

یک راه حل کلی برای سیستم و SDF پیدا کنید

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

راه حل: بیایید روش گاوسی را اعمال کنیم. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را به شکل مثلثی بیاوریم.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

ردیف اول را در (-11) ضرب کنید. ردیف دوم را در (13) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به 1 اضافه کنیم:

	-2		-2	-3

ردیف دوم را در (5-) ضرب کنید. ردیف سوم را در (11) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:

ردیف سوم را در (7-) ضرب کنید. ردیف چهارم را در (5) ضرب کنید. خط 4 را به 3 اضافه کنید:

معادله دوم ترکیبی خطی از بقیه است

بیایید رتبه ماتریس را پیدا کنیم.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

مینور برجسته شده بالاترین مرتبه (از مینورهای ممکن) را دارد و غیر صفر است (برابر حاصلضرب عناصر در مورب مقابل است)، بنابراین، زنگ (A) = 2 است.

این مینور پایه است. این شامل ضرایب برای مجهولات x 1، x 2 است، به این معنی که مجهولات x 1، x 2 وابسته (اساسی) هستند و x 3، x 4، x 5 آزاد هستند.

سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:

18 x 2 = 24 x 3 + 18 x 4 + 27 x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

با حذف مجهولات می یابیم تصمیم مشترک:

x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

ما سیستم تصمیم گیری اساسی (FDS) را پیدا می کنیم که از راه حل های (n-r) تشکیل شده است. در مورد ما، n = 5، r = 2، بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها از 3 راه حل تشکیل شده است و این راه حل ها باید به صورت خطی مستقل باشند.

برای اینکه سطرها به صورت خطی مستقل باشند، لازم و کافی است که رتبه ماتریس تشکیل شده از عناصر سطرها برابر با تعداد سطرها یعنی 3 باشد.

کافی است مجهولات رایگان x 3، x 4، x 5 را از ردیف های تعیین کننده مرتبه 3، به غیر از صفر، داده و x 1، x 2 را محاسبه کنید.

ساده ترین تعیین کننده غیر صفر، ماتریس هویت است.

اما در اینجا گرفتن راحت تر است

ما با استفاده از راه حل کلی پیدا می کنیم:

الف) x 3 = 6، x 4 = 0، x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2، x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

راه حل I FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)

ب) x 3 = 0، x 4 = 6، x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0، x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

راه حل دوم SDF: (0؛ -6؛ 0؛ 6؛ 0)

ج) x 3 = 0، x 4 = 0، x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0، x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

راه حل III SDF: (0؛ - 9؛ 0؛ 0؛ 6)

Þ FSR: (-2؛ -4؛ 6؛ 0؛ 0)، (0؛ -6؛ 0؛ 6؛ 0؛ (0؛ - 9؛ 0؛ 0؛ 6)

6. داده شده: z 1 = -4 + 5i، z 2 = 2 - 4i. پیدا کنید: a) z 1 - 2z 2 ب) z 1 z 2 ج) z 1 / z 2

راه حل: الف) z 1 - 2z 2 = -4 + 5i + 2 (2-4i) = -4 + 5i + 4-8i = -3i

ب) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

پاسخ: الف) -3i ب) 12 + 26i ج) -1.4 - 0.3i

روش گاوس دارای معایبی است: تا زمانی که تمام تغییرات لازم در روش گاوس انجام نشده باشد، نمی توان فهمید که آیا سیستم سازگار است یا خیر. روش گاوسی برای سیستم هایی با ضرایب حرفی مناسب نیست.

روش های دیگری را برای حل سیستم های معادلات خطی در نظر بگیرید. این روش ها از مفهوم رتبه یک ماتریس استفاده می کنند و حل هر سیستم مشترک را به حل سیستمی که قانون کرامر در مورد آن اعمال می شود کاهش می دهد.

مثال 1.جواب کلی سیستم معادلات خطی زیر را با استفاده از سیستم اساسی راه حل های سیستم همگن کاهش یافته و راه حل خاصی از سیستم ناهمگن بیابید.

1. ترکیب ماتریس آو ماتریس سیستم توسعه یافته (1)

2. سیستم را بررسی کنید (1) برای سازگاری برای این کار، رتبه های ماتریس ها را پیدا می کنیم آو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). اگر معلوم شد که پس سیستم (1) ناسازگار. اگر ما آن را دریافت کنیم ، پس این سیستم سازگار است و ما آن را حل خواهیم کرد. (مطالعه سازگاری بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی است.)

آ. ما پیدا می کنیم rA.

برای پیدا کردن rA، ما به طور متوالی مینورهای غیرصفر اول، دوم و غیره، دستورات ماتریس را در نظر خواهیم گرفت. آو خردسالان هم مرز با آنها.

M1= 1 ≠ 0 (1 از گوشه سمت چپ بالای ماتریس گرفته شده است آ).

مرز M1سطر دوم و ستون دوم این ماتریس. ... به مرز ادامه می دهیم M1ردیف دوم و ستون سوم M2 "مرتبه دوم.

ما داریم: (چون دو ستون اول یکسان هستند)

(چون خط دوم و سوم متناسب هستند).

ما آن را می بینیم rA = 2، a مینور اصلی ماتریس است آ.

ب ما پیدا می کنیم.

به اندازه کافی جزئی اولیه M2 "ماتریس ها آبا ستونی از اعضای آزاد و همه سطرها مرز (فقط آخرین ردیف را داریم).

... از این رو نتیجه می شود که М3 "مینور اصلی ماتریس باقی می ماند https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75"> (2)

زیرا M2 "- مینور پایه ماتریس آسیستم های (2) ، پس این سیستم معادل سیستم است (3) از دو معادله اول سیستم تشکیل شده است (2) (برای M2 "در دو ردیف اول ماتریس A قرار دارد.

(3)

از ابتدای مینور https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51"> (4)

در این سیستم دو مجهول رایگان ( x2 و x4 ). از همین رو FSR سیستم های (4) از دو راه حل تشکیل شده است برای یافتن آنها، مجهولات رایگان را به آن اضافه می کنیم (4) اول ارزش ها x2 = 1 , x4 = 0 ، و سپس - x2 = 0 , x4 = 1 .

در x2 = 1 , x4 = 0 ما گرفتیم:

.

این سیستم قبلاً دارد تنها چیزی راه حل (می توان آن را با قانون کرامر یا هر راه دیگری پیدا کرد). با کم کردن معادله اول از معادله دوم به دست می آید:

راه حل او خواهد بود x1 = -1 , x3 = 0 ... با توجه به مقادیر x2 و x4 که ما داده ایم، اولین راه حل اساسی برای سیستم را می گیریم (2) : .

حالا می گذاریم (4) x2 = 0 , x4 = 1 ... ما گرفتیم:

.

ما این سیستم را با قضیه کرامر حل می کنیم:

.

ما دومین راه حل اساسی سیستم را دریافت می کنیم (2) : .

راه حل ها β1 , β2 و آرایش کنید FSR سیستم های (2) ... سپس راه حل کلی آن خواهد بود

γ= C1 β1 + C2β2 = C1 (‑1، 1، 0، 0) + C2 (5، 0، 4، 1) = (- C1 + 5C2، C1، 4C2، C2)

اینجا C1 , C2 - ثابت های دلخواه

4. یکی را پیدا کنید خصوصی راه حل سیستم ناهمگن(1) ... همانطور که در پاراگراف است 3 ، به جای سیستم (1) سیستم معادل را در نظر بگیرید (5) از دو معادله اول سیستم تشکیل شده است (1) .

(5)

مجهولات رایگان را به سمت راست منتقل کنید x2و x4.

(6)

مجهولات مجانی بدهیم x2 و x4 برای مثال مقادیر دلخواه x2 = 2 , x4 = 1 و آنها را جایگزین کنید (6) ... ما سیستم را دریافت می کنیم

این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (از آنجایی که تعیین کننده است М2′0). با حل آن (با قضیه کرامر یا با روش گاوس)، به دست می آوریم x1 = 3 , x3 = 3 ... با توجه به مقادیر مجهولات رایگان x2 و x4 ، ما گرفتیم راه حل خاص یک سیستم ناهمگن(1)α1 = (3،2،3،1).

5. حالا دیگر ضبط باقی مانده است راه حل کلی α سیستم ناهمگن(1) : برابر با جمع است راه حل خصوصیاین سیستم و راه حل کلی سیستم همگن کاهش یافته آن (2) :

α = α1 + γ = (3، 2، 3، 1) + (- C1 + 5C2، C1، 4C2، C2).

این یعنی: (7)

6. معاینه.برای بررسی اینکه آیا سیستم را به درستی حل کرده اید یا خیر (1) ، ما به یک راه حل کلی نیاز داریم (7) جایگزین در (1) ... اگر هر معادله به هویت تبدیل شود ( C1 و C2 باید از بین برود)، سپس راه حل به درستی پیدا می شود.

جایگزین خواهیم کرد (7) به عنوان مثال، فقط آخرین معادله سیستم (1) (ایکس1 + ایکس2 + ایکس3 ‑9 ایکس4 =‑1) .

ما دریافت می کنیم: (3 - С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) -9 (1 + С2) = - 1

(C1 – C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

از آنجا -1 = -1. ما هویت گرفتیم ما این کار را با تمام معادلات دیگر سیستم انجام می دهیم (1) .

اظهار نظر.چک معمولاً بسیار سنگین است. "بررسی جزئی" زیر را می توان توصیه کرد: در راه حل کلی سیستم (1) برای اختصاص مقادیری به ثابت های دلخواه و جایگزینی راه حل خاص به دست آمده فقط در معادلات دور ریخته شده (یعنی در آن معادلات از (1) که شامل نمی شوند (5) ). اگر هویت پیدا کردید، پس، به احتمال زیادراه حل سیستم (1) به درستی پیدا شده است (اما چنین چکی تضمین کاملی از صحت نمی دهد!). به عنوان مثال، اگر در (7) قرار دادن C2 =- 1 , C1 = 1، سپس دریافت می کنیم: x1 = -3، x2 = 3، x3 = -1، x4 = 0. با جایگزینی آخرین معادله سیستم (1) داریم: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، یعنی -1 = -1. ما هویت گرفتیم

مثال 2.جواب کلی یک سیستم معادلات خطی را پیدا کنید (1) ، مجهولات اساسی را بر حسب مجهولات آزاد بیان می کند.

راه حل.همانطور که در مثال 1، ماتریس ها را بنویسید آو https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> از این ماتریس ها حالا فقط آن معادلات سیستم را باقی می گذاریم. (1) ، که ضرایب آن در این مینور اصلی قرار می گیرد (یعنی دو معادله اول را داریم) و سیستمی متشکل از آنها را در نظر می گیریم که معادل سیستم (1) است.

مجهولات آزاد را به سمت راست این معادلات منتقل می کنیم.

سیستم (9) ما با روش گاوس حل می کنیم و سمت راست را اصطلاحات آزاد در نظر می گیریم.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "width =" 202 height = 106 "height =" 106 ">

گزینه 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

گزینه 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

گزینه 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "width =" 179 height = 106 "height =" 106 ">

گزینه 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

ما به صیقل دادن تکنیک ادامه خواهیم داد تحولات ابتداییبر سیستم همگن معادلات خطی.
در پاراگراف های اول، مطالب ممکن است خسته کننده و معمولی به نظر برسد، اما این تصور فریبنده است. علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک ها، اطلاعات جدید زیادی وجود خواهد داشت، بنابراین لطفاً سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

سیستم همگن معادلات خطی چیست؟

پاسخ خود را نشان می دهد. سیستم معادلات خطی اگر جمله آزاد باشد همگن است از هرمعادلات سیستم برابر با صفر است. مثلا:

کاملا واضح است که یک سیستم همگن همیشه سازگار استیعنی همیشه راه حل دارد. و بالاتر از همه، به اصطلاح بدیهیراه حل ... Trivial برای کسانی که اصلاً معنی صفت را نمی فهمند به معنای بسپونتوف است. البته نه آکادمیک ولی قابل فهم =) ... چرا دور بوش بزنیم ببینیم این سیستم راه حل دیگه ای داره یا نه:

مثال 1

راه حل: برای حل یک سیستم همگن باید بنویسید ماتریس سیستمو با کمک دگرگونی های ابتدایی آن را به شکل گام به گام درآورد. لطفاً توجه داشته باشید که نیازی به نوشتن نوار عمودی و ستون صفر اعضای رایگان در اینجا نیست - در نهایت، هر کاری که با صفر انجام دهید، آنها صفر باقی می مانند:

(1) خط اول ضرب در -2 به خط دوم اضافه شد. خط اول ضرب در -3 به خط سوم اضافه شد.

(2) خط دوم ضرب در -1 به خط سوم اضافه شد.

تقسیم ردیف سوم بر 3 چندان منطقی نیست.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم همگن معادل به دست آمد و با استفاده از سیر معکوس روش گاوس، به راحتی می توان تأیید کرد که راه حل منحصر به فرد است.

پاسخ:

اجازه دهید یک معیار واضح را تدوین کنیم: سیستم همگن معادلات خطی دارد تنها راه حل بی اهمیت، اگر رتبه ماتریس سیستم(در این مورد 3) برابر است با تعداد متغیرها (در این مورد - 3 عدد).

ما گیرنده رادیویی خود را گرم می کنیم و با موج دگرگونی های ابتدایی تنظیم می کنیم:

مثال 2

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

برای ادغام نهایی الگوریتم، بیایید کار نهایی را تجزیه و تحلیل کنیم:

مثال 7

یک سیستم همگن را حل کنید، پاسخ را به صورت برداری بنویسید.

راه حل: ماتریس سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به صورت گام به گام در می آوریم:

(1) علامت سطر اول عوض شد. یک بار دیگر، توجه شما را به تکنیکی که مکرراً با آن مواجه می شوید جلب می کنم، که به شما امکان می دهد تا عمل بعدی را به طور قابل توجهی ساده کنید.

(1) خط اول به خطوط 2 و 3 اضافه شد. خط اول ضرب در 2 به خط 4 اضافه شد.

(3) سه سطر آخر متناسب است، دو تا از آنها حذف شده است.

در نتیجه، یک ماتریس پله ای استاندارد به دست می آید و راه حل در امتداد مسیر خنثی شده ادامه می یابد:

- متغیرهای اساسی؛
- متغیرهای رایگان

اجازه دهید متغیرهای اساسی را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم. از معادله 2:

- جایگزین در معادله 1:

بنابراین راه حل کلی این است:

از آنجایی که در مثال مورد بررسی سه متغیر آزاد وجود دارد، سیستم بنیادی شامل سه بردار است.

سه مقدار را جایگزین کنید حل کلی را وارد کنید و برداری را بدست آورید که مختصات آن هر معادله سیستم همگن را برآورده کند. و دوباره تکرار می کنم که بررسی هر بردار حاصل بسیار مطلوب است - زمان زیادی نمی برد، اما صد درصد از خطاها نجات می یابد.

برای ارزش های سه گانه بردار را پیدا کنید

و در نهایت، برای تروئیکا بردار سوم را دریافت می کنیم:

پاسخ: ، جایی که

کسانی که مایل به اجتناب از مقادیر کسری هستند ممکن است سه گانه را در نظر بگیرند. و یک پاسخ معادل دریافت کنید:

صحبت از کسری. بیایید به ماتریس به دست آمده در مسئله نگاه کنیم و از خود یک سوال بپرسیم - آیا می توان راه حل بیشتر را ساده کرد؟ از این گذشته، در اینجا ابتدا متغیر پایه را از طریق کسری بیان کردیم، سپس از طریق کسری متغیر پایه را بیان کردیم، و باید بگویم که این فرآیند آسان‌ترین و خوشایندترین فرآیند نبود.

راه حل دوم:

ایده این است که تلاش کنید سایر متغیرهای اساسی را انتخاب کنید... بیایید به ماتریس نگاه کنیم و به دو مورد در ستون سوم توجه کنیم. پس چرا یک صفر در بالا نمی گیریم؟ بیایید یک تغییر اساسی دیگر را انجام دهیم:

محلول های یک سیستم همگن دارای خواص زیر هستند. اگر بردار = (α 1، α 2، ...، α n) یک راه حل برای سیستم (15.14) و سپس برای هر عدد است کبردار k = (kα 1 ، kα 2 ، ...، kα n)راه حل این سیستم خواهد بود. اگر راه حل سیستم (15.14) بردار = (γ 1، γ 2، ...، γ باشد. n، سپس مجموع + همچنین راه حل این سیستم خواهد بود. از این رو نتیجه می شود که هر ترکیب خطی از راه حل های یک سیستم همگن نیز راه حلی برای این سیستم است.

همانطور که از بخش 12.2 می دانیم، هر سیستمی n-بردارهای بعدی متشکل از بیش از NSبردارها به صورت خطی وابسته است. بنابراین، از مجموعه بردارهای محلول سیستم همگن (15.14)، می توان مبنایی را انتخاب کرد، یعنی. هر بردار حل یک سیستم معین، ترکیبی خطی از بردارهای این مبنا خواهد بود. هر چنین مبنایی نامیده می شود سیستم تصمیم گیری اساسیسیستم همگن معادلات خطی قضیه زیر درست است که بدون اثبات آن را ارائه می کنیم.

قضیه 4. اگر رتبه r سیستم معادلات همگن باشد(15.14) کمتر از تعداد مجهولات n است، سپس هر سیستم اساسی از راه حل های سیستم (15.14) از n - r راه حل تشکیل شده است.

اجازه دهید اکنون روشی را برای یافتن سیستم اساسی راه حل ها (FSS) نشان دهیم. اجازه دهید سیستم معادلات همگن (15.14) دارای رتبه باشد r< п. سپس، طبق قوانین کرامر، مجهولات اساسی این سیستم ایکس 1 , ایکس 2 , … x rبه صورت خطی بر حسب متغیرهای آزاد بیان می شوند x r + 1 ، x r + 2 , ..., x n:

اجازه دهید راه حل های خاص سیستم همگن (15.14) را طبق اصل زیر مشخص کنیم. برای پیدا کردن اولین بردار حل 1، قرار دهید x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. سپس راه حل دوم 2 را پیدا می کنیم: می گیریم x r+2 = 1 و بقیه r- 1 متغیر رایگان به عنوان صفر تنظیم شده است. به عبارت دیگر، ما به طور متوالی به هر متغیر آزاد یک مقدار اختصاص می دهیم و بقیه را با صفر قرار می دهیم. بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها به صورت برداری، با در نظر گرفتن اولین rمتغیرهای پایه (15.15) دارای فرم است

FSR (15.16) یکی از مجموعه های اساسی راه حل برای سیستم همگن است (15.14).

مثال 1.جواب و FSR سیستم معادلات همگن را بیابید

راه حل. این سیستم را با روش گاوس حل خواهیم کرد. از آنجایی که تعداد معادلات در سیستم کمتر از تعداد مجهولات است، فرض می کنیم NS 1 ، ایکس 2 , NS 3 مجهول اساسی و ایکس 4 ، NS 5 ، ایکس 6 - متغیرهای رایگان بیایید یک ماتریس توسعه یافته از سیستم بسازیم و اقداماتی را انجام دهیم که مسیر مستقیم روش را تشکیل می دهند.

بگذار باشد م 0 مجموعه ای از راه حل های سیستم همگن (4) معادلات خطی است.

تعریف 6.12.بردارها با 1 ,با 2 , …, با صکه راه حل های یک سیستم همگن از معادلات خطی نامیده می شوند مجموعه ای اساسی از راه حل ها(به اختصار FNR) اگر

1) بردارها با 1 ,با 2 , …, با صمستقل خطی (یعنی هیچ یک از آنها را نمی توان بر حسب دیگران بیان کرد).

2) هر راه حل دیگری از یک سیستم همگن معادلات خطی را می توان بر حسب جواب بیان کرد با 1 ,با 2 , …, با ص.

توجه داشته باشید که اگر با 1 ,با 2 , …, با ص- هر f.n.r.، سپس عبارت ک 1× با 1 + ک 2× با 2 + … + k p× با صکل مجموعه م 0 راه حل سیستم (4)، بنابراین نامیده می شود نمای کلی راه حل سیستم (4).

قضیه 6.6.هر سیستم همگن نامشخصی از معادلات خطی دارای مجموعه ای اساسی از راه حل ها است.

راه یافتن مجموعه اساسی راه حل ها به شرح زیر است:

حل کلی یک سیستم همگن معادلات خطی را بیابید.

ساختن ( n – r) راه حل های خاص این سیستم، در حالی که مقادیر مجهولات آزاد باید یک ماتریس واحد تشکیل دهند.

یک نمای کلی از راه حل موجود در آن بنویسید م 0 .

مثال 6.5.مجموعه ای اساسی از راه حل ها را برای سیستم زیر بیابید:

راه حل... بیایید یک راه حل کلی برای این سیستم پیدا کنیم.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ در این سیستم، پنج مجهول ( n= 5)، که دو مجهول اصلی هستند ( r= 2)، سه مجهول رایگان ( n – r) یعنی مجموعه راه حل اساسی شامل سه بردار راه حل است. بیایید آنها را بسازیم. ما داریم ایکس 1 و ایکس 3 - مجهولات اصلی ایکس 2 , ایکس 4 , ایکس 5 - مجهولات رایگان

ارزش مجهولات رایگان ایکس 2 , ایکس 4 , ایکس 5 ماتریس هویت را تشکیل دهید Eمرتبه سوم ما آن بردارها را دریافت کردیم با 1 ,با 2 , با 3 فرم f.n.r. این سیستم سپس مجموعه راه حل های این سیستم همگن خواهد بود م 0 = {ک 1× با 1 + ک 2× با 2 + ک 3× با 3 , ک 1 , ک 2 , ک 3 Î R).

حال اجازه دهید شرایط وجود راه حل های غیر صفر یک سیستم همگن معادلات خطی، به عبارت دیگر، شرایط وجود یک مجموعه اساسی از راه حل ها را روشن کنیم.

یک سیستم همگن از معادلات خطی راه حل های غیر صفر دارد، یعنی نامشخص است اگر

1) رتبه ماتریس اصلی سیستم کمتر از تعداد مجهولات است.

2) در یک سیستم همگن معادلات خطی، تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات است.

3) اگر در یک سیستم همگن معادلات خطی تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات و تعیین کننده ماتریس پایه برابر با صفر باشد (یعنی | آ| = 0).

مثال 6.6... در چه مقدار پارامتر آسیستم همگن معادلات خطی راه حل های غیر صفر دارد؟

راه حل... بیایید ماتریس اصلی این سیستم را بسازیم و تعیین کننده آن را پیدا کنیم: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - آ- 4. تعیین کننده این ماتریس برابر با صفر برای است آ = –4.

پاسخ: –4.

7. حساب nفضای برداری بعدی

مفاهیم اساسی

در قسمت های قبل با مفهوم مجموعه ای از اعداد حقیقی که به ترتیب خاصی چیده شده اند مواجه شده ایم. این یک ماتریس ردیف (یا ستون) و راه حلی برای یک سیستم معادلات خطی است nناشناس. این اطلاعات را می توان خلاصه کرد.

تعریف 7.1. n-بردار حسابی ابعادیمجموعه مرتب شده ای از نامیده می شود nاعداد واقعی.

به معنای آ= (a 1, a 2, ..., a n) جایی که الف منÎ R، من = 1, 2, …, n- نمای کلی بردار عدد nتماس گرفت بعد، ابعاد، اندازهبردار و اعداد a منآن را نامید مختصات.

مثلا: آ= (1, –8, 7, 4,) یک بردار پنج بعدی است.

کل مجموعه n-بردارهای بعدی معمولاً به صورت نشان داده می شوند R n.

تعریف 7.2.دو بردار آ= (a 1, a 2, ..., a n) و ب= (ب 1، ب 2، ...، ب n) از همین بعد برابر هستنداگر و فقط اگر مختصات متناظر آنها برابر باشد، یعنی a 1 = b 1، a 2 = b 2، ...، a n= ب n.

تعریف 7.3.مجموعدو n-بردارهای بعدی آ= (a 1, a 2, ..., a n) و ب= (ب 1، ب 2، ...، ب n) بردار نامیده می شود آ + ب= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+ ب n).

تعریف 7.4. بر اساس محصولعدد واقعی کدر هر بردار آ= (a 1, a 2, ..., a n) بردار نامیده می شود ک× آ = (ک× a 1، ک× a 2،…، ک× a n)

تعریف 7.5.بردار O= (0، 0، ...، 0) فراخوانی می شود صفر(یا بردار صفر).

به راحتی می توان بررسی کرد که اقدامات (عملیات) جمع بردارها و ضرب آنها در یک عدد واقعی دارای ویژگی های زیر هستند: " آ, ب, ج Î R n, " ک, لÎ R:

1) آ + ب = ب + آ;

2) آ + (ب+ ج) = (آ + ب) + ج;

3) آ + O = آ;

4) آ+ (–آ) = O;

5) 1× آ = آ, 1 Î R;

6) ک×( ل× آ) = ل×( ک× آ) = (ل× ک)× آ;

7) (ک + ل)× آ = ک× آ + ل× آ;

8) ک×( آ + ب) = ک× آ + ک× ب.

تعریف 7.6.بسیاری از R nبا عملیات جمع بردارها و ضرب آنها در یک عدد واقعی داده شده روی آن فراخوانی می شود فضای برداری n بعدی حسابی.