زمینه ها به همان درجه است. قوانین ضرب درجه با پایه های مختلف. نمایی
اگر می خواهید یک عدد خاص را به یک نیرو برسانید ، می توانید استفاده کنید. و اکنون ما با جزئیات بیشتری در مورد آن صحبت خواهیم کرد خواص درجه.
اعداد نمایی امکانات بزرگی را باز کنید ، آنها به ما امکان می دهند ضرب را به جمع تبدیل کنیم ، و جمع کردن بسیار ساده تر از ضرب است.
به عنوان مثال ، ما باید 16 را در 64 ضرب کنیم. حاصل ضرب این دو عدد 1024 است. اما 16 4x4 است و 64 4x4x4 است. یعنی 16 در 64 \u003d 4x4x4x4x4 که این هم 1024 است.
عدد 16 را می توان به صورت 2x2x2x2 و 64 به صورت 2x2x2x2x2x2 نشان داد و اگر ضرب کنیم ، دوباره 1024 بدست می آوریم.
حالا بیایید از قانون استفاده کنیم. 16 \u003d 4 2 یا 2 4 ، 64 \u003d 4 3 یا 2 6 ، در همان زمان 1024 \u003d 6 4 \u003d 4 5 یا 2 10.
بنابراین ، مشکل ما را می توان متفاوت نوشت: 4 2 x4 3 \u003d 4 5 یا 2 4 x2 6 \u003d 2 10 ، و هر بار 1024 می گیریم.
ما می توانیم تعدادی از نمونه های مشابه را حل کنیم و ببینیم که ضرب اعداد با توان به کاهش می یابد علاوه بر بیان، یا نمایی ، البته به شرطی که پایه عوامل برابر باشد.
بنابراین ، بدون ضرب ، بلافاصله می توان گفت که 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
این قانون هنگام تقسیم اعداد با قدرت نیز درست است ، اما در این حالت ، e مبلغ مقسوم علیه از مبلغ سود تقسیم می شود... بنابراین ، 2 5: 2 3 \u003d 2 2 ، که در اعداد معمولی 32: 8 \u003d 4 است ، یعنی 2 2. بیایید خلاصه کنیم:
a m х a n \u003d a m + n، a m: a n \u003d a m-n ، جایی که m و n عدد صحیح هستند.
در نگاه اول ، ممکن است به نظر برسد که چیست ضرب و تقسیم اعداد با قدرت خیلی راحت نیست ، زیرا ابتدا باید عدد را به صورت نمایی نشان دهید. نمایش اعداد 8 و 16 در این فرم ، یعنی 2 3 و 2 4 کار دشواری نیست ، اما چگونه این کار را با اعداد 7 و 17 انجام دهیم؟ یا وقتی می توان عدد را به صورت نمایی نشان داد چه باید کرد ، اما پایه های بیان نمایی اعداد بسیار متفاوت است. به عنوان مثال ، 8 × 9 2 3 × 3 2 است ، در این صورت ما نمی توانیم مفسرها را جمع کنیم. نه 2 5 و نه 3 5 پاسخ نیستند ، و نه جواب در فاصله بین این دو عدد قرار دارد.
پس آیا اصلاً ارزش آزار و اذیت این روش را دارد؟ قطعاً ارزشش را دارد. این مزایای فوق العاده ای به ویژه برای محاسبات پیچیده و وقت گیر دارد.
چگونه درجه را ضرب می کنید؟ کدام درجه را می توان ضرب کرد و کدام را نمی توان؟ چگونه عدد را در درجه ضرب کنیم؟
در جبر ، محصول درجه را می توان در دو حالت یافت:
1) اگر درجه ها پایه های یکسانی دارند ؛
2) اگر درجه ها شاخص های یکسانی دارند.
هنگام ضرب درجه با پایه های یکسان ، پایه باید یکسان باشد و شاخص ها باید اضافه شوند:
هنگام ضرب درجه با همان شاخص ها ، می توان شاخص کل را از براکت ها خارج کرد:
بیایید نحوه ضرب درجه را با استفاده از مثالهای خاص بررسی کنیم.
واحد در نما نوشته نشده است ، اما هنگامی که درجه ها ضرب می شوند ، آنها را در نظر می گیرند:
هنگام ضرب ، تعداد درجه می تواند هر درجه باشد. لازم به یادآوری است که لازم نیست علامت ضرب را قبل از حرف بنویسید:
در عبارات ، ابتدا بیان انجام می شود.
اگر می خواهید یک عدد را در یک قدرت ضرب کنید ، ابتدا باید ضرب را انجام دهید و فقط پس از آن ضرب را انجام دهید:
www.algebraclass.ru
جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم قدرت
نیروها را جمع و کم کنید
بدیهی است که اعداد با قدرت را می توان مانند سایر کمیت ها اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یک به یک با علائم آنها.
بنابراین ، جمع 3 و b 2 3 + b 2 است.
حاصل جمع 3 - b n و h 5 -d 4 3 - b n + h 5 - d 4 است.
شانس همان درجه از متغیرهای مشابه قابل جمع یا تفریق است.
بنابراین ، جمع 2a 2 و 3a 2 5a 2 است.
همچنین واضح است که اگر دو مربع a ، یا سه مربع a ، یا پنج مربع a بگیرید.
اما درجات متغیرهای مختلف و درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه شدن آنها با علائم آنها اضافه شود.
بنابراین ، حاصل جمع 2 و 3 جمع 2 + 3 است.
بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست ، بلکه دو برابر مکعب a است.
حاصل جمع 3 b n و 3a 5 b 6 3 b n + 3a 5 b 6 است.
منها کردن درجه به همان روش جمع انجام می شود ، با این تفاوت که علائم کسر باید متناسب با آن تغییر کند.
یا:
2a 4 - (-6a 4) \u003d 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6
ضرب درجات
اعداد با قدرت را می توان مانند سایر کمیت ها با نوشتن آنها پشت سر هم ، با علامت ضرب یا بدون آنها ضرب کرد.
بنابراین ، حاصل ضرب 3 در b 2 ، 3 b 2 یا aaabb است.
یا:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
نتیجه را در آخرین مثال می توان با افزودن متغیرهای مشابه ترتیب داد.
این عبارت به شکل زیر خواهد بود: a 5 b 5 y 3.
با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ، می توان دریافت که اگر هر دو از آنها ضرب شوند ، نتیجه یک عدد (متغیر) با قدرتی برابر است جمع درجه اصطلاحات
بنابراین ، a 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.
در اینجا 5 درجه نتیجه ضرب است ، برابر با 2 + 3 ، مجموع قدرت اصطلاحات.
بنابراین ، a n .a m \u003d a m + n
برای n n ، a به عنوان فاکتور هر چند برابر با قدرت n برابر می شود ؛
و یک متر به عنوان چند برابر قدرت m به عنوان یک عامل در نظر گرفته می شود.
از این رو، درجه هایی با همان ساقه ها را می توان با اضافه کردن توان ضرب کرد.
بنابراین ، a 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. و x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.
یا:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1
ضرب کنید (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
جواب: x 4 - y 4.
ضرب کنید (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
این قانون برای اعدادی که نمایانگر آنها نیز صادق است - منفی.
1. بنابراین ، -2 .a -3 \u003d a -5. این را می توان به صورت (1 / aa) نوشت. (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m \u003d y -n-m.
3.a -n .a m \u003d a m-n
اگر a + b در a - b ضرب شود ، نتیجه 2 - b 2 می شود: یعنی
نتیجه ضرب حاصل جمع یا اختلاف دو عدد برابر با جمع یا اختلاف مربع آنها است.
اگر حاصل جمع و اختلاف دو عدد باشد مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارم درجه.
بنابراین ، (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.
تقسیم درجات
اعداد توان را می توان مانند سایر اعداد ، با کسر از تقسیم کننده یا با قرار دادن آنها به صورت کسری ، تقسیم کرد.
بنابراین 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر است با 3.
5 تقسیم بر 3 به نظر می رسد $ \\ frac $ اما این برابر است با 2. در یک سری اعداد
a +4 ، a +3 ، a +2 ، a +1 ، a 0 ، a -1 ، a -2 ، a -3 ، a -4.
هر عددی را می توان با عدد دیگر تقسیم کرد و نماینده برابر خواهد بود تفاوت نمایندگان اعداد قابل تقسیم
هنگام تقسیم درجه ها با همان پایه ، شاخص های آنها کم می شود..
بنابراین ، y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. یعنی $ \\ frac \u003d y $.
و a n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. یعنی $ \\ frac \u003d a ^ n $.
یا:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3
این قانون برای اعداد با صحیح نیز صادق است منفی مقادیر درجه ها
نتیجه تقسیم -5 به -3 -2 است.
همچنین $ \\ frac: \\ frac \u003d \\ frac. \\ Frac \u003d \\ frac \u003d \\ frac $.
h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 یا $ h ^ 2: \\ frac \u003d h ^ 2. \\ frac \u003d h ^ 3 $
تسلط بر ضرب و تقسیم درجه بسیار خوب است ، زیرا چنین عملیاتی به طور گسترده ای در جبر استفاده می شود.
نمونه هایی از حل مثالها با کسرهای حاوی اعداد دارای قدرت
1. نمایانگرها را به $ \\ frac $ پاسخ کاهش دهید: $ \\ frac $.
2. نمادها را در $ \\ frac $ کاهش دهید. پاسخ: $ \\ frac $ یا 2x.
3- نماهای a 2 / a 3 و -3 / a -4 را کاهش دهید و آنها را به مخرج مشترک برسانید.
a 2 .a -4 یک عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 یک عدد 0 \u003d 1 است ، دومین عدد.
a 3 .a -4 یک -1 است ، یک عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 / a -1 و 1 / a -1.
4- نماهای 2a 4 / 5a 3 و 2 / a 4 را کاهش دهید و آنها را به مخرج مشترک برسانید.
پاسخ: 2a 3 / 5a 7 و 5a 5 / 5a 7 یا 2a 3 / 5a 2 و 5 / 5a 2.
5. (a 3 + b) / b 4 را در (a - b) / 3 ضرب کنید.
6. (a 5 + 1) / x 2 را در (b 2 - 1) / (x + a) را ضرب کنید.
7. b 4 / a -2 را در h -3 / x و a n / y -3 ضرب کنید.
8. 4 / y 3 را بر 3 / y 2 تقسیم کنید. پاسخ: a / y
خصوصیات درجه
ما یادآوری می کنیم که این درس می فهمد خواص قدرت با شاخص های طبیعی و صفر. دروس پایه 8 و خصوصیات آنها درج خواهد شد.
یک نمایشگر طبیعی دارای چندین ویژگی مهم است که محاسبه آن را در مثال های نمایان آسان تر می کند.
شماره املاک 1
محصول درجه
هنگام ضرب درجه با پایه های یکسان ، پایه بدون تغییر می ماند و نمادها به آن اضافه می شوند.
a m · a n \u003d a m + n ، جایی که "a" هر عددی است و "m" ، "n" هر عدد طبیعی است.
این خاصیت درجه نیز بر محصول سه درجه یا بیشتر تأثیر می گذارد.
b b 2 b 3 b 4 b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15
6 15 36 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 17
(0.8) 3 (0.8) 12 \u003d (0.8) 3 + 12 \u003d (0.8) 15
لطفا توجه داشته باشید که در ویژگی مشخص شده فقط در مورد ضرب قدرت با همان مبانی بود. ... در مورد جمع آنها صدق نمی کند.
نمی توانید مقدار (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
شمارش (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36 و 3 5 \u003d 243
شماره ملک 2
مدارک خصوصی
هنگام تقسیم درجه با پایه های یکسان ، پایه بدون تغییر باقی می ماند و نماینده مقسوم علیه از مبلغ سود تقسیم می شود.
(2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 \u003d 11 4 \u003d 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت مدارک خصوصی استفاده می کنیم.
3 8: t \u003d 3 4
پاسخ: t \u003d 3 4 \u003d 81
با استفاده از ویژگی های شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کرده و محاسبات را انجام دهید.
- مثال. بیان را ساده کنید.
4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 \u003d 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 \u003d 4 6 متر + 8 - 4 متر - 3 \u003d 4 2 متر + 5
مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از خصوصیات درجه پیدا کنید.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
توجه داشته باشید که ویژگی 2 فقط در مورد تقسیم درجه با پایه های یکسان بود.
شما نمی توانید اختلاف (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر محاسبه کنیم (4 3 −4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48 و 4 1 \u003d 4
شماره 3
نمایی
هنگام بالا بردن درجه به یک قدرت ، پایه درجه بدون تغییر باقی می ماند و نمایان ها چند برابر می شوند.
(a n) m \u003d a n · m ، جایی که "a" هر عددی است و "m" ، "n" هر شماره طبیعی است.
توجه داشته باشید که ویژگی شماره 4 ، مانند سایر خصوصیات درجه ، به ترتیب معکوس اعمال می شود.
(a n b n) \u003d (a b) n
یعنی ، برای ضرب درجه با همان شاخص ها ، می توانید پایه ها را ضرب کنید ، و نماد می تواند بدون تغییر باقی بماند.
2 4 5 4 \u003d (2 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10،000
0.5 16 2 16 \u003d (0.5 2) 16 \u003d 1
در مثالهای پیچیده تر ، ممکن است مواردی وجود داشته باشد که ضرب و تقسیم باید بر روی درجه با پایه های مختلف و نماهای مختلف انجام شود. در این حالت به شما توصیه می کنیم به شرح زیر عمل کنید.
به عنوان مثال ، 4 5 3 2 \u003d 4 3 4 2 3 2 \u003d 4 3 (4 3) 2 \u003d 64 12 2 \u003d 64 144 \u003d 9216
نمونه ای از افزایش به یک مقدار اعشاری.
4 21 (.20.25) 20 \u003d 4 4 20 (.20.25) 20 \u003d 4 (4 (.20.25)) 20 \u003d 4 (−1) 20 \u003d 4 1 \u003d چهار
خواص 5
درجه ضریب (کسر)
برای بالا بردن یک ضریب به یک قدرت ، می توانید یک سود جداگانه و یک تقسیم کننده برای این قدرت بدست آورید و نتیجه اول را به دوم تقسیم کنید.
(a: b) n \u003d a n: b n ، جایی که "a" ، "b" هر عدد منطقی است ، b ≠ 0 ، n هر عدد طبیعی است.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
ما به شما یادآوری می کنیم که ضریب را می توان به عنوان کسری نشان داد. بنابراین ، در صفحه بعد با جزئیات بیشتر به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.
درجه و ریشه
عملیاتی با قدرت و ریشه. درجه با منفی ,
صفر و کسری نشانگر درباره عباراتی که منطقی نیستند.
عملیات با درجه.
1. هنگام ضرب درجه با یک پایه ، شاخص های آنها اضافه می شود:
صبح · a n \u003d a m + n.
2. هنگام تقسیم درجه ها با یک پایه ، شاخص های آنها کسر .
3. درجه حاصلضرب دو یا چند عامل برابر است با حاصلضرب درجه این عوامل.
4. درجه نسبت (کسر) برابر است با نسبت درجات سود سهام (عدد) و تقسیم کننده (مخرج):
(a / b) n \u003d a n / b n.
5. هنگام بالا بردن درجه به درجه ، شاخص های آنها ضرب می شود:
همه فرمول های فوق در هر دو جهت از چپ به راست و بالعکس خوانده و اجرا می شوند.
مثال (2 · 3 · 5/15) = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4 .
عملیات ریشه. در تمام فرمول های زیر ، نماد به معنی است ریشه حسابی (بیان رادیکال مثبت است).
1. ریشه حاصل از چندین عامل برابر با محصول ریشه این عوامل است:
2. ریشه نسبت برابر است با نسبت ریشه های سود سهام و تقسیم کننده:
3. هنگام بالا بردن ریشه به یک قدرت ، کافی است که به این قدرت برسید شماره ریشه:
4. اگر درجه ریشه را m برابر کنیم و همزمان عدد رادیکال را به توان m-th برسانیم ، مقدار ریشه تغییر نمی کند:
5- اگر درجه ریشه را به میزان m کاهش دهیم و همزمان ریشه درجه m را از عدد رادیکال استخراج کنیم ، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:
گسترش مفهوم درجه. تا کنون ، ما درجه ها را فقط با یک نمای طبیعی در نظر گرفته ایم. اما اقدامات با قدرت و ریشه نیز می تواند منجر شود منفی, صفر و کسری شاخص ها. تمام این شاخص های درجه نیاز به تعریف اضافی دارند.
درجه با نماد منفی. توان یک عدد با نمایشگر منفی (صحیح) به عنوان یک واحد تقسیم بر قدرت همان تعداد با یک نمایشگر برابر با مقدار مطلق یک نمایشگر منفی تعریف می شود:
حالا فرمول صبح : a n = a m - n می تواند نه تنها برای استفاده شود متر بزرگتر از n ، بلکه در متر کمتر از n .
مثال آ 4: آ 7 \u003d الف 4 — 7 \u003d الف — 3 .
اگر فرمول می خواهیم صبح : a n = صبح — n منصفانه بود وقتی m \u003d n ، ما به تعریفی از درجه صفر نیاز داریم.
درجه صفر. قدرت هر عدد غیر صفر با نماد صفر 1 است.
مثال 2 0 \u003d 1 ، ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
نمای کسری. برای اینکه یک عدد واقعی a را به توان m / n برسانید ، باید nth ریشه قدرت mth این عدد a را استخراج کنید:
درباره عباراتی که منطقی نیستند. چندین عبارت از این دست وجود دارد.
جایی که آ ≠ 0 , وجود ندارد.
در واقع ، با فرض این که ایکس - تعدادی ، پس مطابق با تعریف عملیات تقسیم ما: آ = 0· ایکس، یعنی آ \u003d 0 ، که با شرط مخالف است: آ ≠ 0
— هر عددی
در واقع ، اگر فرض کنیم این عبارت برابر با عددی باشد ایکس، بنابراین ، با توجه به تعریف عملیات تقسیم ، ما باید: 0 \u003d 0 ایکس ... اما این برابری پایدار است هر عدد x، همانطور که برای اثبات لازم است.
0 0 — هر عددی
راه حل: سه مورد اصلی را در نظر بگیرید:
1) ایکس = 0 – این مقدار معادله داده شده را برآورده نمی کند
2) در ایکس \u003e 0 دریافت می کنیم: x / x \u003d 1 ، یعنی 1 \u003d 1 ، از آنجا نتیجه می گیرد
چی ایکس - هر تعداد ؛ اما با توجه به اینکه در
مورد ما ایکس \u003e 0 ، پاسخ این است ایکس > 0 ;
قوانینی برای ضرب درجه با رادیکس متفاوت
درجه با شاخص منطقی ،
عملکرد درجه IV
§ 69. ضرب و تقسیم درجه با پایه های یکسان
قضیه 1 برای ضرب درجه با پایه های یکسان ، کافی است که نمادها را اضافه کنید ، و پایه را همان بگذارید ، یعنی
شواهد و مدارک. با تعریف مدرک
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
ما محصول دو درجه را در نظر گرفته ایم. در واقع ، ویژگی اثبات شده برای هر تعداد درجه با پایه های یکسان صادق است.
قضیه 2 برای تقسیم قدرت با مبناهای یکسان ، وقتی شاخص سود سهام بیشتر از شاخص مقسوم علیه است ، کافی است که شاخص مقسم را از شاخص سود تقسیم کنید ، و پایه را همان بگذارید ، یعنی در m\u003e n
(آ =/= 0)
شواهد و مدارک. به یاد بیاورید که ضریب تقسیم یک عدد بر عدد دیگر عددی است که وقتی در یک مقسوم ضرب شود ، سود تقسیم می شود. بنابراین ، فرمول را در کجا ثابت کنید آ \u003d / \u003d 0 ، مانند اثبات فرمول است
اگر یک m\u003e n ، سپس شماره t - n طبیعی خواهد بود بنابراین ، توسط قضیه 1
قضیه 2 اثبات شده است.
لازم به ذکر است که فرمول
توسط ما فقط با این فرض ثابت شد که m\u003e n ... بنابراین ، هنوز نمی توان از آنچه ثابت شده است ، به عنوان مثال ، چنین نتیجه گیری کرد:
بعلاوه ، ما هنوز درجه هایی با نمایشگرهای منفی در نظر نگرفته ایم و هنوز نمی دانیم که چه معنایی می توان به عبارت 3 داد - 2 .
قضیه 3. برای بالا بردن توان به یک قدرت ، کافی است که شاخص ها را ضرب کنید ، پایه قدرت یکسان باقی بماند، یعنی
شواهد و مدارک. با استفاده از تعریف درجه و قضیه 1 این بخش ، به دست می آوریم:
q.E.D.
به عنوان مثال ، (2 3) 2 \u003d 2 6 \u003d 64 ؛
518 (به صورت شفاهی) تعریف کنید ایکس از معادلات:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 ایکس ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 ایکس ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 ایکس ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 ایکس .
519. (در مورد آن.) برای ساده کردن:
520. برای ساده سازی:
521. این عبارات باید به صورت درجه با پایه های یکسان ارائه شوند:
1) 32 و 64 ؛ 3) 8 5 و 16 3 ؛ 5) 4 100 و 32 50 ؛
2) 1000 و 100 4) -27 و -243 ؛ 6) 81 75 8 200 و 3 600 4 150.
بدیهی است که اعداد با قدرت را می توان مانند سایر کمیت ها اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یک به یک با علائم آنها.
بنابراین ، جمع 3 و b 2 3 + b 2 است.
حاصل جمع 3 - b n و h 5 -d 4 3 - b n + h 5 - d 4 است.
شانس همان درجه از متغیرهای مشابه قابل جمع یا تفریق است.
بنابراین ، جمع 2a 2 و 3a 2 5a 2 است.
همچنین واضح است که اگر دو مربع a ، یا سه مربع a ، یا پنج مربع a بگیرید.
اما درجات متغیرهای مختلف و درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه شدن آنها با علائم آنها اضافه شود.
بنابراین ، حاصل جمع 2 و 3 جمع 2 + 3 است.
بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست ، بلکه دو برابر مکعب a است.
حاصل جمع 3 b n و 3a 5 b 6 3 b n + 3a 5 b 6 است.
منها کردن درجه به همان روش جمع انجام می شود ، با این تفاوت که علائم کسر باید متناسب با آن تغییر کند.
یا:
2a 4 - (-6a 4) \u003d 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6
ضرب درجات
اعداد با قدرت را می توان مانند سایر کمیت ها با نوشتن آنها پشت سر هم ، با علامت ضرب یا بدون آنها ضرب کرد.
بنابراین ، حاصل ضرب 3 در b 2 ، 3 b 2 یا aaabb است.
یا:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
نتیجه را در آخرین مثال می توان با افزودن متغیرهای مشابه ترتیب داد.
این عبارت به شکل زیر خواهد بود: a 5 b 5 y 3.
با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ، می توان دریافت که اگر هر دو از آنها ضرب شوند ، نتیجه یک عدد (متغیر) با قدرتی برابر است جمع درجه اصطلاحات
بنابراین ، a 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.
در اینجا 5 درجه نتیجه ضرب است ، برابر با 2 + 3 ، مجموع قدرت اصطلاحات.
بنابراین ، a n .a m \u003d a m + n
برای n n ، a به عنوان فاکتور هر چند برابر با قدرت n برابر می شود ؛
و یک متر به عنوان چند برابر قدرت m به عنوان یک عامل در نظر گرفته می شود.
از این رو، درجه هایی با همان ساقه ها را می توان با اضافه کردن توان ضرب کرد.
بنابراین ، a 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. و x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.
یا:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1
ضرب کنید (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
جواب: x 4 - y 4.
ضرب کنید (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
این قانون برای اعدادی که نمایانگر آنها نیز صادق است - منفی.
1. بنابراین ، -2 .a -3 \u003d a -5. این را می توان به صورت (1 / aa) نوشت. (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m \u003d y -n-m.
3.a -n .a m \u003d a m-n
اگر a + b در a - b ضرب شود ، نتیجه 2 - b 2 می شود: یعنی
نتیجه ضرب حاصل جمع یا اختلاف دو عدد برابر با جمع یا اختلاف مربع آنها است.
اگر حاصل جمع و اختلاف دو عدد باشد مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارم درجه.
بنابراین ، (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.
تقسیم درجات
اعداد توان را می توان مانند سایر اعداد ، با کسر از تقسیم کننده یا با قرار دادن آنها به صورت کسری ، تقسیم کرد.
بنابراین 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر است با 3.
یا:
$ \\ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) \u003d -3y ^ 4 $
$ \\ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) \u003d \\ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) \u003d b + 3 $
$ \\ frac (d \\ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) \u003d d $
5 تقسیم بر 3 به نظر می رسد $ \\ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. اما این برابر است با 2. در یک سری اعداد
a +4 ، a +3 ، a +2 ، a +1 ، a 0 ، a -1 ، a -2 ، a -3 ، a -4.
هر عددی را می توان با عدد دیگر تقسیم کرد و نماینده برابر خواهد بود تفاوت نمایندگان اعداد قابل تقسیم
هنگام تقسیم درجه ها با همان پایه ، شاخص های آنها کم می شود..
بنابراین ، y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. یعنی $ \\ frac (yyy) (yy) \u003d y $.
و a n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. یعنی $ \\ frac (aa ^ n) (a) \u003d a ^ n $.
یا:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3
این قانون برای اعداد با صحیح نیز صادق است منفی مقادیر درجه ها
نتیجه تقسیم -5 به -3 -2 است.
همچنین ، $ \\ frac (1) (aaaaa): \\ frac (1) (aaa) \u003d \\ frac (1) (aaaaa). \\ Frac (aaa) (1) \u003d \\ frac (aaa) (aaaaa) \u003d \\ frac (1) (aa) $.
h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 یا $ h ^ 2: \\ frac (1) (h) \u003d h ^ 2. \\ frac (h) (1) \u003d h ^ 3 $
تسلط بر ضرب و تقسیم درجه بسیار خوب است ، زیرا چنین عملیاتی به طور گسترده ای در جبر استفاده می شود.
نمونه هایی از حل مثالها با کسرهای حاوی اعداد دارای قدرت
1. نمادها را در $ \\ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ کاهش دهید: $ جواب: $ \\ frac (5a ^ 2) (3) $.
2. نماها را در $ \\ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $ کاهش دهید. پاسخ: $ \\ frac (2x) (1) $ یا 2x.
3- نماهای a 2 / a 3 و -3 / a -4 را کاهش دهید و آنها را به مخرج مشترک برسانید.
a 2 .a -4 یک عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 یک عدد 0 \u003d 1 است ، دومین عدد.
a 3 .a -4 یک -1 است ، یک عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 / a -1 و 1 / a -1.
4- نماهای 2a 4 / 5a 3 و 2 / a 4 را کاهش دهید و آنها را به مخرج مشترک برسانید.
پاسخ: 2a 3 / 5a 7 و 5a 5 / 5a 7 یا 2a 3 / 5a 2 و 5 / 5a 2.
5. (a 3 + b) / b 4 را در (a - b) / 3 ضرب کنید.
6. (a 5 + 1) / x 2 را در (b 2 - 1) / (x + a) را ضرب کنید.
7. b 4 / a -2 را در h -3 / x و a n / y -3 ضرب کنید.
8. 4 / y 3 را بر 3 / y 2 تقسیم کنید. پاسخ: a / y
9. (h 3 - 1) / d 4 را بر (d n + 1) / h تقسیم کنید.
محتوای درسدرجه چیست؟
درجه محصولی از چندین عامل یکسان است. برای مثال:
2 × 2 × 2
مقدار این عبارت 8 است
2 × 2 × 2 \u003d 8
سمت چپ این برابری را می توان کوتاهتر کرد - ابتدا فاکتور تکرار شده را یادداشت کنید و در بالای آن چند بار تکرار کنید. عامل تکرار در این حالت 2 است. سه بار تکرار می شود. بنابراین ، بر روی این دو ، این سه را می نویسیم:
2 3 = 8
این عبارت اینگونه خوانده می شود: قدرت دو تا سوم برابر با هشت " یا " قدرت سوم 2 8 "است.
از فرم کوتاه نت برای ضرب همان عوامل بیشتر استفاده می شود. بنابراین ، باید بخاطر داشته باشیم که اگر عدد دیگری بالای یک عدد خاص نوشته شده باشد ، این ضرب چندین عامل یکسان است.
به عنوان مثال ، اگر عبارت 5 3 آورده شده باشد ، باید در نظر داشت که این عبارت معادل نوشتن 5 × 5 × 5 است.
شماره ای که تکرار می شود تماس گرفته می شود درجه پایه... در عبارت 5 3 ، پایه توان عدد 5 است.
و عدد درج شده در بالای عدد 5 نامیده می شود نماینده... در عبارت 5 3 ، نما عدد 3 است. نما نشان می دهد که چند بار پایه بیان تکرار شده است. در مورد ما ، پایه 5 سه بار تکرار می شود.
به عمل ضرب عوامل مشابه گفته می شود نمایی.
به عنوان مثال ، اگر شما نیاز به یافتن محصولی از چهار عامل یکسان دارید که هر یک برابر با 2 است ، آنها می گویند که عدد 2 به درجه چهارم ارتقا یافته است:
می بینیم که عدد 2 در قدرت چهارم ، عدد 16 است.
توجه داشته باشید که در این درس در نظر داریم نماینده طبیعی... نوعی درجه است که با عدد طبیعی نشان داده می شود. به یاد بیاورید که اعداد صحیح اعداد طبیعی بزرگتر از صفر هستند. به عنوان مثال ، 1 ، 2 ، 3 و غیره.
به طور کلی ، تعریف درجه با نشانگر طبیعی به شرح زیر است:
درجه آ با نرخ طبیعی n آیا بیان فرم است a nکه برابر با محصول است n عواملی که هر یک برابر است آ
مثال ها:
هنگام بالا بردن عدد به توان باید مراقب باشید. غالباً ، از طریق بی توجهی ، شخص پایه مدرک را در یک نماینده ضرب می کند.
به عنوان مثال ، عدد 5 در توان دوم حاصل دو عامل است که هر یک از آنها 5 است. این محصول برابر با 25 است
حال تصور کنید که ناخواسته پایه 5 را در نمای 2 ضرب کنیم
ما یک خطا گرفتیم زیرا 5 برابر 10 با قدرت دوم نیست.
علاوه بر این ، لازم به ذکر است که قدرت یک عدد با نماد 1 خود این عدد است:
به عنوان مثال ، عدد 5 در درجه اول خود عدد 5 است
بر این اساس ، اگر یک عدد نشانگر نداشته باشد ، باید فرض شود که شاخص برابر با یک باشد.
به عنوان مثال ، اعداد 1 ، 2 ، 3 بدون اندیکاتور داده می شوند ، بنابراین شاخص های آنها برابر با یک خواهد بود. هر یک از این اعداد را می توان با بیان 1 نوشت
و اگر 0 را تا حدی بالا ببرید ، 0 بدست می آورید. در واقع ، مهم نیست که هر چند بار چیزی به خودی خود ضرب شود ، هیچ چیز اتفاق نخواهد افتاد. مثال ها:
و عبارت 0 0 معنایی ندارد. اما در بعضی از زمینه های ریاضیات ، به ویژه تحلیل و تئوری مجموعه ها ، ممکن است عبارت 0 0 منطقی باشد.
برای آموزش ، بیایید چند مثال از بالا بردن اعداد به توانها حل کنیم.
مثال 1 عدد 3 را به توان دوم برسانید.
عدد 3 در توان دوم حاصل دو عامل است که هر یک برابر با 3 است
3 2 \u003d 3 × 3 \u003d 9
مثال 2 عدد 2 را به توان چهارم برسانید.
عدد 2 تا توان چهارم حاصل چهار عامل است که هر یک برابر با 2 است
2 4 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 \u003d 16
مثال 3 عدد 2 را به قدرت سوم برسانید.
عدد 2 تا توان سوم حاصل سه عامل است که هر یک برابر با 2 است
2 3 \u003d 2 × 2 × 2 \u003d 8
ضرب 10
برای بالا بردن عدد 10 به توان ، کافی است بعد از یکی تعداد صفر برابر با توان جمع کنید.
به عنوان مثال ، بیایید عدد 10 را به توان دوم برسانیم. ابتدا خود عدد 10 را یادداشت می کنیم و عدد 2 را به عنوان شاخص نشان می دهیم.
10 2
حالا یک علامت مساوی قرار می دهیم ، یک عدد می نویسیم و بعد از این یکی دو صفر می نویسیم ، زیرا تعداد صفرها باید برابر با توان باشد
10 2 = 100
از این رو ، عدد 10 در قدرت دوم عدد 100 است. این به این دلیل است که عدد 10 در قدرت دوم حاصل دو عامل است که هر یک برابر با 10 است
10 2 \u003d 10 × 10 \u003d 100
مثال 2... بیایید عدد 10 را به قدرت سوم برسانیم.
در این حالت ، سه صفر بعد از یک وجود دارد:
10 3 = 1000
مثال 3... بیایید عدد 10 را به توان چهارم برسانیم.
در این حالت ، چهار صفر بعد از یک وجود دارد:
10 4 = 10000
مثال 4... بیایید عدد 10 را به قدرت اول برسانیم.
در این حالت ، یک صفر پس از یک وجود دارد:
10 1 = 10
نمایش اعداد 10 ، 100 ، 1000 به عنوان قدرت با پایه 10
برای نشان دادن اعداد 10 ، 100 ، 1000 و 10000 به صورت قدرت با پایه 10 ، باید پایه 10 را یادداشت کنید و عددی برابر با تعداد صفرها را در شماره اصلی به عنوان نشانگر مشخص کنید.
بیایید عدد 10 را به عنوان قدرتی با پایه 10 نشان دهیم. می بینیم که یک صفر دارد. از این رو ، عدد 10 به عنوان یک قدرت با پایه 10 به عنوان 10 1 نشان داده می شود
10 = 10 1
مثال 2... بیایید عدد 100 را به عنوان توان پایه 10 نشان دهیم. می بینیم که عدد 100 شامل دو صفر است. از این رو ، عدد 100 به صورت قدرتی با پایه 10 به عنوان 10 2 نشان داده می شود
100 = 10 2
مثال 3... بیایید عدد 1000 را به عنوان یک قدرت با پایه 10 نشان دهیم.
1 000 = 10 3
مثال 4... بیایید عدد 10،000 را به عنوان یک قدرت با پایه 10 نشان دهیم.
10 000 = 10 4
بیان یک عدد منفی
هنگام بالا بردن عدد منفی به توان ، باید آن را درون پرانتز قرار دهید.
به عنوان مثال ، بیایید عدد منفی −2 را به توان دوم برسانیم. عدد −2 تا توان دوم حاصل دو عامل است که هر یک از آنها (−2) است
(−2) 2 \u003d (−2) × (−2) \u003d 4
اگر عدد −2 را درون پرانتز قرار نداده بودیم ، می توانستیم عبارت −2 2 را محاسبه کنیم ، که نا برابر چهار عبارت −2² برابر با −4 خواهد بود. برای درک دلیل ، اجازه دهید برخی از نکات را لمس کنیم.
هنگامی که منفی را در مقابل عدد مثبت قرار می دهیم ، بدین ترتیب عمل می کنیم عملیات مقابل.
فرض کنید عدد 2 داده شده است ، و شما باید شماره مخالف آن را پیدا کنید. می دانیم که نقطه مقابل 2 −2 است. به عبارت دیگر ، برای یافتن عدد مخالف برای 2 ، فقط یک منفی در مقابل این عدد قرار دهید. درج منهای قبل از یک عدد در حال حاضر عملی کامل در ریاضیات محسوب می شود. این عمل همانطور که در بالا نشان داده شد ، عمل گرفتن مقدار مخالف نامیده می شود.
در مورد عبارت 22 2 ، دو عمل وجود دارد: عملکرد گرفتن مقدار مخالف و افزایش نیرو. بیان بر گرفتن مقدار مخالف اولویت دارد.
بنابراین ، عبارت −2 2 در دو مرحله ارزیابی می شود. ابتدا عمل بازنمایی انجام می شود. در این حالت ، عدد مثبت 2 به توان دوم رسید
سپس مقدار مخالف گرفته شد. این مقدار مخالف برای مقدار 4 پیدا شده است و مقدار مخالف برای 4 برابر است با 4
−2 2 = −4
پرانتزها بیشترین اولویت اجرا را دارند. بنابراین ، در صورت محاسبه عبارت (−2) 2 ، ابتدا مقدار مخالف گرفته می شود و سپس عدد منفی −2 به توان دوم می رسد. نتیجه پاسخ مثبت 4 است ، زیرا حاصلضرب اعداد منفی عدد مثبت است.
مثال 2... عدد −2 را به توان سوم برسانید.
عدد −2 تا توان سوم حاصل سه عامل است که هر یک از آنها (−2) است
(−2) 3 \u003d (−2) × (−2) × (−2) \u003d −8
مثال 3... عدد −2 را به توان چهارم برسانید.
عدد −2 تا توان چهارم حاصل چهار عامل است که هر یک از آنها (−2) است
(−2) 4 \u003d (−2) × (−2) × (−2) × (−2) \u003d 16
به راحتی می توان فهمید که افزایش یک عدد منفی به یک قدرت می تواند منجر به یک جواب مثبت یا یک پاسخ منفی شود. علامت پاسخ به شاخص درجه اولیه بستگی دارد.
اگر توان یکنواخت است ، پاسخ مثبت است. اگر نماینده فرد باشد ، پاسخ منفی است. اجازه دهید این را با مثال عدد show3 نشان دهیم
در حالت اول و سوم ، شاخص بود فرد تعداد ، بنابراین پاسخ تبدیل شد منفی.
در حالت دوم و چهارم ، شاخص بود زوج تعداد ، بنابراین پاسخ تبدیل شد مثبت.
مثال 7 عدد −5 را به توان سوم برسانید.
عدد −5 تا توان سوم حاصل سه عامل است که هر یک is5 است. نمایانگر 3 یک عدد فرد است ، بنابراین می توان پیشاپیش گفت که جواب منفی خواهد بود:
(−5) 3 \u003d (−5) × (−5) × (−5) \u003d −125
مثال 8 عدد −4 را به توان چهارم برسانید.
عدد −4 تا توان چهارم حاصل چهار عامل است که هر یک is4 است. در این حالت ، شاخص 4 یکنواخت است ، بنابراین می توانیم از قبل بگوییم که جواب مثبت خواهد بود:
(−4) 4 \u003d (−4) × (−4) × (−4) × (−4) \u003d 256
یافتن مقادیر بیان
وقتی مقادیر عباراتی که حاوی پرانتز نیستند پیدا شد ، ابتدا تفسیر انجام می شود ، سپس ضرب و تقسیم به ترتیب آنها و سپس جمع و تفریق به ترتیب آنها انجام می شود.
مثال 1... مقدار عبارت 2 + 5 2 را پیدا کنید
ابتدا ، نماسازی انجام می شود. در این حالت ، عدد 5 به توان دوم افزایش می یابد - معلوم می شود 25. سپس این نتیجه به عدد 2 اضافه می شود
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
مثال 10... مقدار عبارت −6 2 Find (−12) را پیدا کنید
ابتدا ، نماسازی انجام می شود. توجه داشته باشید که عدد −6 داخل پرانتز قرار نگرفته است ، بنابراین عدد 6 به توان دوم افزایش می یابد ، سپس یک منفی در مقابل نتیجه قرار می گیرد:
−6 2 × (−12) \u003d −36 × (−12)
تکمیل مثال با ضرب 36 by در (12 −)
−6 2 × (−12) \u003d −36 × (−12) \u003d 432
مثال 11... مقدار عبارت −3 × 2 2 را پیدا کنید
ابتدا ، نماسازی انجام می شود. سپس نتیجه با عدد −3 ضرب می شود
−3 × 2 2 \u003d −3 × 4 \u003d −12
اگر عبارت حاوی پرانتز باشد ، ابتدا باید اقدامات داخل پرانتز را انجام دهید ، سپس بیان ، سپس ضرب و تقسیم ، و سپس جمع و تفریق را انجام دهید.
مثال 12... مقدار عبارت (3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 را پیدا کنید
ابتدا اقدامات را در براکت انجام می دهیم. در داخل براکت ها ، ما قوانین قبلاً مطالعه شده را اعمال می کنیم ، یعنی ابتدا عدد 3 را به توان دوم می رسانیم ، سپس ضرب 1 × 3 را انجام می دهیم ، سپس نتایج افزایش را به قدرت عدد 3 و ضرب 1 × 3. در مرحله بعد ، تفریق و جمع به ترتیب ظاهر آنها انجام می شود. بیایید ترتیب زیر را برای انجام اقدامات بر روی عبارت اصلی ترتیب دهیم:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 \u003d 12 - 15 + 5 \u003d 2
مثال 13... مقدار عبارت 2 × 5 3 + 5 × 2 3 را پیدا کنید
ابتدا اعداد را به توان می رسانیم ، سپس ضرب را انجام می دهیم و نتایج را جمع می کنیم:
2 × 5 3 + 5 2 3 \u003d 2 × 125 + 5 × 8 \u003d 250 + 40 \u003d 290
تبدیلات درجه یکسان
تبدیل های یکسان مختلف را می توان در درجه انجام داد ، در نتیجه آنها را ساده می کند.
فرض کنیم برای محاسبه عبارت (2 3) 2 لازم بود. در این مثال ، دو تا قدرت سوم به قدرت دوم رسیده است. به عبارت دیگر ، درجه به درجه دیگری افزایش می یابد.
(2 3) 2 حاصل دو درجه است که هر کدام برابر با 2 3 است
علاوه بر این ، هر یک از این درجه ها حاصل سه عامل است که هر یک برابر با 2 است
محصول 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ، که برابر است با 64. بنابراین مقدار عبارت (2 3) 2 یا برابر با 64
این مثال را می توان بسیار ساده کرد. برای این کار ، نمایان های عبارت (2 3) 2 می توانند ضرب شوند و این محصول را می توان روی پایه 2 نوشت.
دریافت شده 6 دو تا قدرت ششم حاصل شش فاکتور است که هر یک از آنها 2 است. این محصول 64 است
این ویژگی به این دلیل کار می کند که 2 3 محصولی 2 × 2 × 2 است که به نوبه خود دو بار تکرار می شود. سپس مشخص می شود که پایه 2 شش بار تکرار می شود. از اینجا می توانیم بنویسیم که 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6 است
به طور کلی ، به هر دلیلی آ با شاخص ها متر و n ، برابری زیر برقرار است:
(a n) m \u003d a n × m
این تغییر شکل یکسان نامیده می شود نمایی... می توان اینگونه خواند: "هنگام بالا بردن درجه به درجه ، پایه بدون تغییر می ماند و شاخص ها چند برابر می شوند" .
پس از ضرب شاخص ها ، درجه دیگری می گیرید که مقدار آن را می توان یافت.
مثال 2... مقدار عبارت (3 2) را پیدا کنید 2
در این مثال ، پایه 3 است و اعداد 2 و 2 شاخص هستند. بیایید از قانون افزایش نیرو به یک قدرت استفاده کنیم. پایه را بدون تغییر بگذارید و شاخص ها را ضرب کنید:
دریافت شده 3 4. و عدد 3 در قدرت چهارم 81 است
بیایید بقیه تحولات را در نظر بگیریم.
ضرب درجات
برای ضرب درجه ، باید هر درجه را جداگانه محاسبه کنید و نتایج بدست آمده را ضرب کنید.
مثلاً 2 2 را در 3 3 ضرب کنید.
2 2 4 و 3 3 27 است. اعداد 4 و 27 را ضرب می کنیم ، 108 می گیریم
2 2 × 3 3 \u003d 4 × 27 \u003d 108
در این مثال ، پایه های درجه متفاوت بود. اگر پایه ها یکسان هستند ، می توانید یک پایه را یادداشت کنید و به عنوان شاخص ، مجموع شاخص های درجه های اصلی را یادداشت کنید.
به عنوان مثال ، 2 2 را در 2 3 ضرب کنید
در این مثال ، پایه های درجه یکسان هستند. در این حالت ، می توانید یک پایه 2 را یادداشت کنید و مجموع عناصر 2 2 و 2 3 را به عنوان شاخص بنویسید. به عبارت دیگر ، پایه را بدون تغییر بگذارید و شاخص های درجه های اصلی را اضافه کنید. شبیه این خواهد شد:
دریافت شده 2 5. عدد 2 تا قدرت پنجم 32 است
این ویژگی به این دلیل کار می کند که 2 2 محصولی 2 × 2 و 2 3 محصولی 2 × 2 × 2 است. سپس محصول از پنج عامل یکسان حاصل می شود که هر یک برابر با 2 است. این اثر را می توان به عنوان 2 5 نشان داد
به طور کلی ، برای هر کسی آ و شاخص ها متر و n برابری زیر برقرار است:
این تغییر شکل یکسان نامیده می شود خاصیت اصلی درجه... می توان اینگونه خواند: پهنگام ضرب درجه با پایه های مشابه ، پایه بدون تغییر می ماند و شاخص ها اضافه می شوند " .
توجه داشته باشید که این تغییر شکل را می توان در هر تعداد درجه اعمال کرد. نکته اصلی این است که پایه یکسان است.
به عنوان مثال ، بیایید مقدار عبارت 2 1 × 2 2 × 2 3 را پیدا کنیم. پایه 2
در بعضی از مشکلات ، ممکن است انجام تحول مناسب بدون محاسبه درجه نهایی کافی باشد. این البته بسیار راحت است ، زیرا محاسبه توانهای بزرگ کار چندان آسانی نیست.
مثال 1... عبارت 5 8 × 25 را تغذیه کنید
در این مشکل ، شما باید آن را طوری درست کنید که به جای عبارت 5 8 × 25 ، یک درجه بگیرید.
عدد 25 را می توان 5 5 نشان داد. سپس عبارت زیر را بدست می آوریم:
در این عبارت ، شما می توانید ویژگی اصلی درجه را اعمال کنید - پایه 5 را بدون تغییر بگذارید و شاخص های 8 و 2 را اضافه کنید:
بیایید راه حل را کوتاهتر بنویسیم:
مثال 2... عبارت 2 9 × 32 را تغذیه کنید
عدد 32 را می توان 2 5 نشان داد. سپس عبارت 2 9 × 2 5 را بدست می آوریم. بعد ، می توانید ویژگی پایه درجه را اعمال کنید - پایه 2 را بدون تغییر بگذارید ، و شاخص های 9 و 5 را اضافه کنید. نتیجه راه حل زیر خواهد بود:
مثال 3... محاسبه محصول 3 × 3 با استفاده از ویژگی اصلی قدرت.
همه می دانند که سه برابر سه برابر نه است ، اما مشکل نیاز به استفاده از ویژگی اصلی درجه در طول راه حل دارد. چگونه انجامش بدهیم؟
ما یادآوری می کنیم که اگر یک عدد بدون اندیکاتور داده شود ، پس باید شاخص را برابر با یک در نظر گرفت. بنابراین می توان فاکتورهای 3 و 3 را 3 1 و 3 1 نوشت
3 1 × 3 1
اکنون ما از ویژگی اصلی درجه استفاده خواهیم کرد. پایه 3 را بدون تغییر می گذاریم و شاخص های 1 و 1 را اضافه می کنیم:
3 1 × 3 1 \u003d 3 2 \u003d 9
مثال 4... محاسبه محصول 2 × 2 × 3 2 × 3 3 با استفاده از ویژگی اصلی قدرت.
محصول 2 × 2 با 2 1 × 2 1 ، سپس با 2 1 + 1 و سپس با 2 2 جایگزین می شود. محصول 3 2 × 3 3 با 3 2 + 3 و سپس با 3 5 جایگزین می شود
مثال 5... ضرب را انجام دهید x × x
اینها دو فاکتور الفبایی یکسان با شاخصها هستند. برای وضوح ، این شاخصها را می نویسیم. پایه بیشتر ایکس ما بدون تغییر می رویم و شاخص ها را اضافه می کنیم:
در حالی که در تخته سیاه هستید ، نباید ضرب درجه ها را با همان مبانی با جزئیات آنچه در اینجا انجام می شود ، یادداشت کنید. چنین محاسباتی باید در ذهن انجام شود. ورود دقیق به احتمال زیاد معلم را آزار می دهد و او نمره را برای آن پایین می آورد. در اینجا ، یک رکورد دقیق ارائه می شود تا مطالب برای درک حداکثر امکان پذیر باشد.
مطلوب است که راه حل این مثال را به شرح زیر بنویسید:
مثال 6... ضرب را انجام دهید ایکس 2 × x
نمایانگر عامل دوم برابر با یک است. بیایید برای شفافیت آن را یادداشت کنیم. علاوه بر این ، ما پایه را بدون تغییر باقی خواهیم گذاشت و شاخص ها را اضافه خواهیم کرد:
مثال 7... ضرب را انجام دهید بله 3 بله 2 بله
نمایانگر عامل سوم برابر با یک است. بیایید آن را برای وضوح بنویسیم. بعلاوه ، ما پایه را بدون تغییر خواهیم گذاشت و شاخص ها را اضافه خواهیم کرد:
مثال 8... ضرب را انجام دهید aa 3 a 2 a 5
نمایانگر فاکتور اول برابر با یک است. بیایید آن را برای وضوح بنویسیم. علاوه بر این ، ما پایه را بدون تغییر باقی خواهیم گذاشت و شاخص ها را اضافه خواهیم کرد:
مثال 9... درجه 3 8 را به عنوان محصول درجه با همان پایه ها نشان دهید.
در این مشکل ، شما باید محصول درجه ها را بسازید ، پایه های آن 3 خواهد بود و مجموع نشانگرهای آن برابر با 8 خواهد بود. از هر معیاری می توان استفاده کرد. ما قدرت 3 8 را به عنوان محصول قدرتهای 3 5 و 3 3 نشان می دهیم
در این مثال ، ما دوباره به ویژگی اصلی درجه اعتماد کردیم. از این گذشته ، می توان عبارت 3 5 × 3 3 را به صورت 3 5 + 3 نوشت ، از آنجا 3 8.
البته نشان دادن درجه 3 8 در قالب محصول درجه های دیگر نیز امکان پذیر بود. به عنوان مثال ، به شکل 3 7 × 3 1 ، از آنجا که این محصول نیز 3 8 است
ارائه مدرک به عنوان محصول درجه با همان پایه ها بیشتر کار خلاقانه ای است. بنابراین از آزمایش نترسید.
مثال 10... ارسال مدرک ایکس 12 به عنوان محصولات مختلف درجه با پایه ایکس .
بیایید از ویژگی اصلی درجه استفاده کنیم. تصور کنید ایکس 12 در قالب کارهایی با پایه ایکس ، و مجموع شاخص های آن برابر با 12 است
سازه ها با مجموع شاخص ها برای وضوح ثبت شده اند. غالباً می توان از آنها چشم پوشی کرد. سپس یک راه حل فشرده دریافت می کنید:
بیان یک اثر
برای بالا بردن یک محصول به توان ، باید هر فاکتور از این محصول را به توان مشخص شده برسانید و نتایج بدست آمده را چند برابر کنید.
به عنوان مثال ، بیایید محصول را 2 × 3 به توان دوم برسانیم. ما این محصول را درون براکت قرار می دهیم و 2 را نشان می دهیم
اکنون هر فاکتور از محصول را به توان دوم 2 × 3 رسانده و نتایج بدست آمده را ضرب می کنیم:
اصل این قاعده بر اساس تعریف درجه است که در همان ابتدا ارائه شد.
بالا بردن یک محصول 2 × 3 به توان دوم به معنای تکرار محصول داده شده دو بار است. و اگر آن را دو بار تکرار کنید ، می توانید موارد زیر را دریافت کنید:
2 × 3 × 2 × 3
محصول از جایگزینی مکان عوامل تغییر نمی کند. این به شما امکان می دهد عوامل مشابه را گروه بندی کنید:
2 × 2 × 3 × 3
ضرایب تکراری را می توان با ورودی های کوتاه جایگزین کرد - پایه ها با نشانگرها. محصول 2 × 2 را می توان 2 2 و محصول 3 × 3 را می توان 3 2 جایگزین کرد. سپس عبارت 2 × 2 × 3 × 3 به عبارت 2 2 × 3 2 تبدیل می شود.
بگذار آب کار اصلی برای بالا بردن یک کار معین به قدرت n ، شما باید عوامل را جداگانه مطرح کنید آ و ب به درجه مشخص شده n
این ویژگی برای هر تعداد ضربی معتبر است. عبارات زیر نیز معتبر هستند:
مثال 2... مقدار عبارت را پیدا کنید (2 × 3 Find 4) 2
در این مثال ، شما باید محصول را 2 × 3 × 4 به توان دوم برسانید. برای انجام این کار ، باید هر فاکتور از این محصول را به توان دوم برسانید و نتایج بدست آمده را ضرب کنید:
مثال 3... کار را به قدرت سوم برسانید a × b × c
ما این محصول را درون براکت قرار می دهیم و به عنوان شاخص عدد 3 را نشان می دهیم
مثال 4... محصول 3 را به توان سوم برسانید xyz
ما این محصول را درون براکت قرار می دهیم و به عنوان شاخص 3 را نشان می دهیم
(3xyz) 3
بیایید هر فاکتور از این محصول را به قدرت سوم برسانیم:
(3xyz) 3 = 3 3 ایکس 3 بله 3 z 3
عدد 3 تا توان سوم برابر با عدد 27 است. بقیه را بدون تغییر بگذارید:
(3xyz) 3 = 3 3 ایکس 3 بله 3 z 3 = 27ایکس 3 بله 3 z 3
در برخی از مثال ها ، ضرب توان ها با همان بیان را می توان با ضلع بازها با یک نماد جایگزین کرد.
به عنوان مثال ، بیایید مقدار عبارت 5 2 3 2 را محاسبه کنیم. بیایید هر عدد را به توان دوم برسانیم و نتایج بدست آمده را ضرب کنیم:
5 2 × 3 2 \u003d 25 × 9 \u003d 225
اما نیازی نیست که هر درجه را جداگانه محاسبه کنید. در عوض ، محصول معین درجه را می توان با محصولی با یک نمایشگر (5 × 3) 2 جایگزین کرد. بعد ، مقدار داخل پرانتز را محاسبه کنید و نتیجه را به قدرت دوم برسانید:
5 2 × 3 2 \u003d (5 × 3) 2 \u003d (15) 2 \u003d 225
در این حالت ، باز هم از قانون بالا بردن قدرت یک اثر استفاده شد. پس از همه ، اگر (a × b) n = a n × b n سپس a n × b n \u003d (a × b) n ... یعنی طرفهای چپ و راست برابری معکوس می شوند.
نمایی
ما هنگامی که سعی در فهمیدن ماهیت تحولات درجه یکسان داشتیم این تحول را به عنوان نمونه در نظر گرفتیم.
هنگام بالا بردن درجه به درجه ، پایه بدون تغییر می ماند و شاخص ها چند برابر می شوند:
(a n) m \u003d a n × m
به عنوان مثال ، عبارت (2 3) 2 در حال افزایش نیرو به یک قدرت است - دو در قدرت سوم به قدرت دوم افزایش می یابد. برای یافتن مقدار این عبارت ، می توان پایه را بدون تغییر و شاخص ها را ضرب کرد:
(2 3) 2 \u003d 2 3 × 2 \u003d 2 6
(2 3) 2 \u003d 2 3 × 2 \u003d 2 6 \u003d 64
این قانون بر اساس قوانین قبلی است: افزایش محصول به قدرت و دارایی اصلی درجه.
برگردیم به عبارت (2 3) 2. عبارت موجود در براکت 2 3 محصولی از سه فاکتور یکسان است که هر یک 2 عامل است. سپس در عبارت (2 3) 2 می توان نیروی داخل براکت را با محصول 2 × 2 × 2 جایگزین کرد.
(2 × 2 × 2) 2
و این باعث افزایش کاری می شود که قبلاً مطالعه کردیم. به یاد بیاورید که برای بالا بردن یک محصول به توان ، باید هر فاکتور از این محصول را به توان مشخص شده برسانید و نتایج بدست آمده را ضرب کنید:
(2 2 2 × 2) 2 \u003d 2 2 × 2 2 × 2 2
اکنون ما با دارایی اصلی مدرک سر و کار داریم. ما پایه را بدون تغییر می گذاریم و شاخص ها را اضافه می کنیم:
(2 × 2 × 2) 2 \u003d 2 2 × 2 2 × 2 2 \u003d 2 2 + 2 + 2 \u003d 2 6
مثل قبل ، ما 2 6 دریافت کردیم. مقدار این قدرت 64 است
(2 × 2 × 2) 2 \u003d 2 2 × 2 2 × 2 2 \u003d 2 2 + 2 + 2 \u003d 2 6 \u003d 64
یک محصول همچنین می تواند به قدرتی برسد که فاکتورهای آن نیز قدرت هستند.
به عنوان مثال ، بیایید مقدار عبارت را پیدا کنیم (2 2 find 3 2) 3. در اینجا ، شاخص های هر ضرب باید در شاخص کل 3 ضرب شود. بعد ، مقدار هر درجه را پیدا کنید و محصول را محاسبه کنید:
(2 2 × 3 2) 3 \u003d 2 2 × 3 × 3 2 × 3 \u003d 2 6 × 3 6 \u003d 64 × 729 \u003d 46656
تقریباً همین اتفاق در هنگام بالا بردن قدرت یک اثر رخ می دهد. گفتیم که هنگام بالا بردن یک محصول به توان ، هر فاکتور از این محصول به توان مشخص شده افزایش می یابد.
به عنوان مثال ، برای بالا بردن ضریب 2 × 4 به توان سوم ، باید عبارت زیر را بنویسید:
اما پیش از این گفته شده بود که اگر عددی بدون اندیکاتور داده شود ، باید این شاخص را برابر با یک در نظر گرفت. به نظر می رسد که فاکتورهای محصول 2 × 4 در ابتدا شاخص هایی برابر با 1 دارند. بنابراین عبارت 2 1 × 4 1 \u200b\u200bبه توان سوم رسیده است. و این افزایش قدرت به قدرتی است.
بیایید راه حل را با استفاده از قانون قدرت به قدرت بازنویسی کنیم. ما باید همان نتیجه را بگیریم:
مثال 2... مقدار عبارت (3 3) را پیدا کنید 2
ما پایه را بدون تغییر می گذاریم و شاخص ها را ضرب می کنیم:
دریافت شده 3 6. عدد 3 تا قدرت ششم عدد 729 است
مثال 3xy)³
مثال 4... انجام بیان در عبارت ( abc)⁵
بیایید هر ضرب محصول را به قدرت پنجم برسانیم:
مثال 5تبر) 3
بیایید هر ضرب محصول را به توان سوم برسانیم:
از آنجا که عدد منفی −2 به توان سوم افزایش یافت ، در پرانتز محصور شد.
مثال 6... بیان را در عبارت انجام دهید (10 xy) 2
مثال 7... بیان را در عبارت انجام دهید (−5 ایکس) 3
مثال 8... بیان را در عبارت انجام دهید (−3 بله) 4
مثال 9... بیان را در عبارت انجام دهید (−2 abx)⁴
مثال 10... بیان را ساده کنید ایکس 5 ( ایکس 2) 3
قدرت ایکس 5 در حال حاضر بدون تغییر باقی می ماند ، و در عبارت ( ایکس 2) 3 نماد قدرت را انجام می دهیم:
ایکس 5 × (ایکس 2) 3 \u003d x 5 × x 2 × 3 \u003d x 5 × x 6
حالا بیایید ضرب را انجام دهیم ایکس 5 × x 6 برای انجام این کار ، ما از ویژگی اصلی درجه - پایه استفاده خواهیم کرد ایکس ما بدون تغییر می رویم و شاخص ها را اضافه می کنیم:
ایکس 5 × (ایکس 2) 3 \u003d x 5 × x 2 × 3 \u003d x 5 × x 6 = ایکس 5 + 6 = ایکس 11
مثال 9... با استفاده از ویژگی اصلی درجه ، مقدار عبارت 4 3 × 2 2 را پیدا کنید.
اگر پایه های درجه های اصلی یکسان باشند می توان از ویژگی اصلی درجه استفاده کرد. در این مثال ، پایه ها متفاوت هستند ، بنابراین ، برای شروع ، باید بیان اصلی کمی اصلاح شود ، یعنی اینکه پایه های درجه یکسان شوند.
بیایید به درجه 4 3 دقت کنیم. پایه این درجه عدد 4 است که می تواند به صورت 2 2 نمایش داده شود. سپس عبارت اصلی به شکل (2 2) 3 × 2 2 در می آید. پس از انجام بیان در عبارت (2 2) 3 ، 2 6 بدست می آوریم. سپس عبارت اصلی به شکل 2 6 × 2 2 در می آید که با استفاده از ویژگی اصلی درجه می توان آن را محاسبه کرد.
بیایید راه حل این مثال را یادداشت کنیم:
تقسیم درجات
برای تقسیم درجه ها ، باید مقدار هر درجه را پیدا کنید ، سپس اعداد معمولی را تقسیم کنید.
به عنوان مثال ، 4 3 را بر 2 2 تقسیم کنید.
بیایید 4 3 را محاسبه کنیم ، 64 می گیریم. 2 2 را محاسبه کنید ، 4 بدست آورید. حال 64 را بر 4 تقسیم کنید ، 16 کنید
اگر هنگام تقسیم درجه مبناها ، یکسان شوند ، می توان پایه را بدون تغییر باقی گذاشت و نماینده مقسوم علیه را از مبلغ سود تقسیم کرد.
به عنوان مثال ، بیایید مقدار عبارت 2 3: 2 2 را پیدا کنیم
پایه 2 را بدون تغییر بگذارید ، و نماینده تقسیم کننده را از مبلغ سود سهام تقسیم کنید:
از این رو ، مقدار عبارت 2 3: 2 2 برابر 2 است.
این ویژگی بر اساس ضرب درجات با همان مبانی یا همانطور که قبلاً در خصوص اصلی اصلی درجه می گفتیم بنا شده است.
برگردیم به مثال قبلی 2 3: 2 2. در اینجا سود سهام 2 3 و تقسیم کننده 2 2 است.
تقسیم یک عدد بر عدد دیگر به معنای یافتن عددی است که وقتی در یک مقسوم ضرب شود ، سود حاصل می شود.
در مورد ما ، تقسیم 2 3 به 2 2 به معنای یافتن درجه ای است که اگر در یک مقسوم علیه 2 2 ضرب شود ، منجر به 2 3 می شود. و چه درجه ای را می توانید در 2 2 ضرب کنید تا 2 3 بدست آورید؟ بدیهی است که فقط درجه 2 1 است. از ویژگی اصلی درجه ما:
برای تأیید اینکه مقدار عبارت 2 3: 2 2 برابر با 2 1 است ، می توانید مستقیماً عبارت 2 3: 2 2 را ارزیابی کنید. برای این کار ابتدا مقدار توان 2 3 را می یابیم ، 8 بدست می آوریم. سپس مقدار توان 2 2 را پیدا می کنیم ، 4 بدست می آوریم. 8 را بر 4 تقسیم کنید ، ما 2 یا 2 1 می گیریم ، زیرا 2 \u003d 2 1.
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
بنابراین ، هنگام تقسیم درجه با همان مبانی ، برابری زیر برقرار است:
همچنین ممکن است اتفاق بیفتد که نه تنها زمینه ها ، بلکه شاخص ها نیز یکسان باشند. در این حالت ، پاسخ یک خواهد بود.
به عنوان مثال ، بیایید مقدار عبارت 2 2: 2 2 را پیدا کنیم. ما مقدار هر درجه را محاسبه می کنیم و تقسیم اعداد حاصل را انجام می دهیم:
هنگام حل مثال 2 2: 2 2 ، می توانید قانون تقسیم قدرت را با همان مبانی نیز اعمال کنید. نتیجه یک عدد تا درجه صفر است ، زیرا تفاوت بین قدرتهای 2 2 و 2 2 صفر است:
چرا عدد 2 در درجه صفر برابر با یک است ، در بالا متوجه شدیم. اگر 2 2: 2 2 را به روش معمول محاسبه کنید ، بدون استفاده از قانون تقسیم قدرت ، یکی بدست می آورید.
مثال 2... مقدار عبارت 4 12: 4 10 را پیدا کنید
ما 4 را بدون تغییر می گذاریم ، و از مبلغ سود سهام ، مبلغ تقسیم کننده را کم می کنیم:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
مثال 3... ارسال خصوصی ایکس 3: ایکس به عنوان یک درجه با یک رادیکس ایکس
بیایید از قانون تقسیم درجه استفاده کنیم. پایه ایکس آن را بدون تغییر بگذارید ، و نماینده تقسیم کننده را از مبلغ سود سهام تقسیم کنید. نماینده تقسیم کننده برابر با یک است. برای شفافیت ، بیایید آن را بنویسیم:
مثال 4... ارسال خصوصی ایکس 3: ایکس 2 به عنوان یک قدرت با یک رادیکس ایکس
بیایید از قانون تقسیم درجه استفاده کنیم. پایه ایکس
تقسیم درجات را می توان به صورت کسر نوشت. بنابراین ، مثال قبلی را می توان به صورت زیر نوشت:
عدد و مخرج کسر مجاز است که به شکل منبسط شده ، یعنی به صورت محصولی از همان عوامل ، نوشته شود. قدرت ایکس 3 را می توان به صورت نوشت x × x × x و درجه ایکس 2 چگونه x × x ... سپس ساخت و ساز ایکس 3 - 2 می توانید از کسر کسر کنید و استفاده کنید. در مخرج و مخرج ، لغو دو عامل امکان پذیر است ایکس ... در نتیجه ، یک عامل باقی خواهد ماند ایکس
یا حتی کوتاه تر:
همچنین مفید است که بتوان کسرهای متشکل از قدرت را به سرعت کاهش داد. به عنوان مثال ، کسر می تواند توسط لغو شود ایکس 2 برای کاهش کسر توسط ایکس 2 شما باید عدد و مخرج کسر را بر تقسیم کنید ایکس 2
تقسیم درجات را می توان با جزئیات حذف کرد. این مخفف را می توان کوتاه تر کرد:
یا حتی کوتاه تر:
مثال 5... تقسیم را انجام دهید ایکس 12 : ایکس 3
بیایید از قانون تقسیم درجه استفاده کنیم. پایه ایکس ما آن را بدون تغییر می گذاریم ، و نماینده تقسیم کننده را از شاخص سود سهام کم می کنیم:
بگذارید با کاهش کسر ، محلول را یادداشت کنیم. تقسیم درجات ایکس 12 : ایکس 3 ما در فرم می نویسیم. بعد ، می توانیم این کسر را با کاهش دهیم ایکس 3 .
مثال 6... مقدار یک عبارت را پیدا کنید
در عدد ، ضرب قدرت را با همان مبانی انجام می دهیم:
اکنون قانون تقسیم درجه ها با همان پایه ها را اعمال می کنیم. پایه 7 را بدون تغییر می گذاریم ، و نماینده مقسم را از مبلغ سود سهام کم می کنیم:
با محاسبه درجه 7 2 مثال را تمام کنید
مثال 7... مقدار یک عبارت را پیدا کنید
بیایید ضرب را در عدد انجام دهیم. شما باید این کار را با عبارت (2 3) 4 انجام دهید
حال بیایید ضرب قدرت ها را با همان مبانی در عدد انجام دهیم.
