Was ist die Identität des Ausdrucks a b 2. Identische Transformationen von Ausdrücken

Dieser Artikel bietet eine Initiale Vorstellung von Identitäten... Hier definieren wir eine Identität, führen die verwendete Notation ein und geben natürlich verschiedene Beispiele für Identitäten.

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Was ist Identität?

Es ist logisch, die Präsentation des Materials mit zu beginnen Definitionen von Identität... Im Lehrbuch von Yu. N. Makarychev, Algebra für 7 Klassen, wird die Definition einer Identität wie folgt angegeben:

Definition.

Identität- dies gilt für alle Werte der Variablen. jede gültige numerische Gleichheit ist auch eine Identität.

In diesem Fall weist der Autor sofort darauf hin, dass diese Definition in Zukunft klargestellt wird. Diese Verfeinerung findet in Klasse 8 statt, nachdem Sie sich mit der Definition der zulässigen Werte von Variablen und OVS vertraut gemacht haben. Die Definition wird so:

Definition.

Identitäten- Dies sind echte numerische Gleichheiten sowie Gleichheiten, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gelten.

Warum sprechen wir bei der Definition einer Identität in der 7. Klasse über alle Werte der Variablen und in der 8. Klasse über die Werte der Variablen aus ihrer ODZ? Bis zur 8. Klasse wird ausschließlich mit ganzzahligen Ausdrücken (insbesondere mit Monomen und Polynomen) gearbeitet, und sie sind für beliebige Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll. Daher sagen wir in der 7. Klasse, dass Identität eine Gleichheit ist, die für alle Werte der Variablen gilt. Und in der 8. Klasse tauchen Ausdrücke auf, die bereits nicht für alle Werte von Variablen Sinn machen, sondern nur für Werte aus deren ODZ. Daher beginnen wir, Identitäten Gleichheiten zu nennen, die für alle zulässigen Werte der Variablen wahr sind.

Identität ist also besonderer Fall Gleichberechtigung. Das heißt, jede Identität ist eine Gleichheit. Aber nicht jede Gleichheit ist eine Identität, sondern nur eine solche Gleichheit, die für beliebige Werte von Variablen aus ihrem zulässigen Wertebereich gilt.

Identitätszeichen

Es ist bekannt, dass in der Notation von Gleichheiten ein Gleichheitszeichen der Form "=" verwendet wird, links und rechts davon einige Zahlen oder Ausdrücke. Wenn wir diesem Zeichen eine weitere horizontale Linie hinzufügen, erhalten wir Identitätszeichen"≡", oder wie es auch genannt wird Identitätszeichen.

Das Identitätszeichen wird normalerweise nur verwendet, wenn betont werden muss, dass wir nicht nur mit Gleichheit, sondern mit Identität konfrontiert sind. In anderen Fällen unterscheidet sich die Notation von Identitäten in der Form nicht von Gleichheiten.

Beispiele für Identitäten

Es ist Zeit zu führen Beispiele für Identitäten... Dabei hilft uns die Definition von Identität im ersten Absatz.

Numerische Gleichheiten 2 = 2 und sind Beispiele für Identitäten, da diese Gleichheiten wahr sind und jede wahre numerische Gleichheit per Definition eine Identität ist. Sie können als 2≡2 und geschrieben werden.

Numerische Gleichheiten der Form 2 + 3 = 5 und 7−1 = 2 · 3 sind ebenfalls Identitäten, da diese Gleichungen wahr sind. Das heißt, 2 + 3≡5 und 7−1≡2 · 3.

Wir wenden uns Beispielen für Identitäten zu, die nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen in ihrer Notation enthalten.

Betrachten Sie die Gleichheit 3 (x + 1) = 3 x + 3. Für jeden Wert der Variablen x gilt die geschriebene Gleichheit aufgrund der Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Addition, daher ist die ursprüngliche Gleichheit ein Beispiel für eine Identität. Hier ist ein weiteres Identitätsbeispiel: y (x − 1) ≡ (x − 1) x: x y 2: y, hier setzt sich der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x und y aus allen Paaren (x, y) zusammen, wobei x und y beliebige Zahlen außer Null sind.

Aber die Gleichheiten x + 1 = x − 1 und a + 2 · b = b + 2 · a sind keine Identitäten, da es Werte von Variablen gibt, für die diese Gleichheiten falsch sind. Für x = 2 wird beispielsweise die Gleichheit x + 1 = x − 1 zur falschen Gleichheit 2 + 1 = 2−1. Außerdem wird die Gleichheit x + 1 = x − 1 für keinen Wert der Variablen x erreicht. Und die Gleichheit a + 2 b = b + 2 a wird zu einer falschen Gleichheit, wenn wir unterschiedliche Werte der Variablen a und b annehmen. Für a = 0 und b = 1 erhalten wir beispielsweise die falsche Gleichheit 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0. Die Gleichheit | x | = x, wobei | x | - Variable x, ist ebenfalls keine Identität, da sie für negative Werte von x nicht gültig ist.

Beispiele für die bekanntesten Identitäten sind sin 2 α + cos 2 α = 1 und a log a b = b.

Abschließend möchte ich anmerken, dass wir im Mathematikstudium ständig auf Identitäten stoßen. Die Eigenschaftsdatensätze von Aktionen mit Zahlen sind Identitäten, zum Beispiel a + b = b + a, 1 a = a, 0 a = 0 und a + (- a) = 0. Auch die Identitäten sind

Identische Konvertierungen stellen die Arbeit dar, die wir mit numerischen und literalen Ausdrücken sowie Ausdrücken, die Variablen enthalten, ausführen. Wir führen alle diese Transformationen durch, um den ursprünglichen Ausdruck in eine Form zu bringen, die für die Lösung des Problems geeignet ist. Wir werden die Haupttypen identischer Transformationen in diesem Thema betrachten.

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Identische Konvertierung eines Ausdrucks. Was ist das?

Erstmals begegnen wir dem Konzept der identisch transformierten, wir befinden uns im Algebra-Unterricht in der 7. Klasse. Gleichzeitig lernen wir zunächst das Konzept der identisch gleichen Ausdrücke kennen. Lassen Sie uns die Konzepte und Definitionen verstehen, um das Thema leichter verständlich zu machen.

Definition 1

Identische Konvertierung eines Ausdrucks Sind Aktionen, die mit dem Ziel durchgeführt werden, den ursprünglichen Ausdruck durch einen Ausdruck zu ersetzen, der identisch mit dem ursprünglichen Ausdruck ist.

Oft wird diese Definition in abgekürzter Form verwendet, in der das Wort „identisch“ weggelassen wird. Es wird davon ausgegangen, dass wir in jedem Fall die Transformation des Ausdrucks so durchführen, dass ein mit dem ursprünglichen Ausdruck identischer Ausdruck erhalten wird, und dies braucht nicht gesondert hervorgehoben zu werden.

Lass uns veranschaulichen diese Definition Beispiele.

Beispiel 1

Wenn wir den Ausdruck ersetzen x + 3 - 2 zu einem identischen Ausdruck x + 1, dann führen wir die identische Transformation des Ausdrucks x + 3 - 2.

Beispiel 2

Ersetzen von Ausdruck 2 a 6 durch Ausdruck ein 3 Ist die identische Transformation, während die Ersetzung des Ausdrucks x auf Ausdruck x 2 ist nicht identische Transformation da die Ausdrücke x und x 2 sind nicht identisch.

Wir machen Sie auf die Form von schriftlichen Ausdrücken aufmerksam, wenn Sie identische Transformationen durchführen. Normalerweise schreiben wir den ursprünglichen Ausdruck und den resultierenden Ausdruck als Gleichheit. Das Schreiben von x + 1 + 2 = x + 3 bedeutet also, dass der Ausdruck x + 1 + 2 auf die Form x + 3 reduziert wurde.

Die sequentielle Ausführung von Aktionen führt uns zu einer Kette von Gleichheiten, die aus mehreren identischen Transformationen hintereinander besteht. Wir verstehen also die Notation x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x als sequentielles Ausführen von zwei Transformationen: Zuerst wurde der Ausdruck x + 1 + 2 in die Form x + 3 gebracht, und es - zu die Form 3 + x.

Identische Transformationen und ODU

Eine Reihe von Ausdrücken, die wir in der 8. Klasse zu lernen beginnen, sind nicht für alle Werte der Variablen sinnvoll. Um in diesen Fällen identische Transformationen durchzuführen, müssen wir auf den Bereich der zulässigen Werte von Variablen (ADV) achten. Das Durchführen identischer Transformationen kann die ODZ unverändert lassen oder eingrenzen.

Beispiel 3

Beim Springen vom Ausdruck a + (-b) zum Ausdruck a - b variabler Bereich ein und B Bleibt das selbe.

Beispiel 4

Gehe von Ausdruck x zu Ausdruck x 2 x führt zu einer Einengung des zulässigen Wertebereichs der Variablen x von der Menge aller reellen Zahlen auf die Menge aller reellen Zahlen, aus der Null ausgeschlossen wurde.

Beispiel 5

Identische Konvertierung eines Ausdrucks x 2 x Ausdruck x führt zur Erweiterung des Bereichs der zulässigen Werte der Variablen x von der Menge aller reellen Zahlen außer Null auf die Menge aller reellen Zahlen.

Die Einengung oder Erweiterung des Bereichs der zulässigen Werte von Variablen bei der Durchführung identischer Transformationen ist bei der Lösung von Problemen wichtig, da dies die Genauigkeit von Berechnungen beeinträchtigen und zu Fehlern führen kann.

Grundlegende identische Transformationen

Sehen wir uns nun an, was identische Transformationen sind und wie sie durchgeführt werden. Lassen Sie uns diejenigen Arten von identischen Transformationen herausgreifen, mit denen wir am häufigsten zu tun haben, in der Hauptgruppe.

Neben den grundlegenden identischen Transformationen gibt es eine Reihe von Transformationen, die sich auf Ausdrücke eines bestimmten Typs beziehen. Für Brüche sind dies Methoden der Reduktion und Reduktion auf einen neuen Nenner. Bei Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen alle Aktionen, die basierend auf den Eigenschaften von Wurzeln und Potenzen ausgeführt werden. Bei logarithmischen Ausdrücken Aktionen, die basierend auf den Eigenschaften von Logarithmen ausgeführt werden. Bei trigonometrischen Ausdrücken sind alle Aktionen mit trigonometrische Formeln... Alle diese privaten Transformationen werden in separaten Themen beschrieben, die in unserer Ressource zu finden sind. In dieser Hinsicht werden wir in diesem Artikel nicht auf sie eingehen.

Kommen wir zu den wichtigsten identischen Transformationen.

Permutation von Begriffen, Faktoren

Beginnen wir mit der Neuordnung der Begriffe. Wir haben es am häufigsten mit dieser identischen Transformation zu tun. Und als Grundregel kann hier folgende Aussage gelten: In jeder Summe hat die stellenweise Permutation der Terme keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Diese Regel basiert auf den Verschiebungs- und Kombinationseigenschaften der Addition. Diese Eigenschaften ermöglichen es uns, die Terme stellenweise neu anzuordnen und so Ausdrücke zu erhalten, die identisch mit den ursprünglichen Ausdrücken sind. Deshalb ist die Permutation der Terme an Stellen in der Summe die Identitätstransformation.

Beispiel 6

Wir haben die Summe der drei Terme 3 + 5 + 7. Wenn wir die Begriffe 3 und 5 vertauschen, nimmt der Ausdruck die Form 5 + 3 + 7 an. In diesem Fall gibt es mehrere Möglichkeiten, die Begriffe der Begriffe neu anzuordnen. Sie alle führen zu Ausdrücken, die mit dem ursprünglichen identisch sind.

Nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke können als Terme in der Summe fungieren. Sie können, genau wie Zahlen, stellenweise neu angeordnet werden, ohne das Endergebnis der Berechnungen zu beeinflussen.

Beispiel 7

In der Summe der drei Terme 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 und - 12 a der Form 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) · a-Terme können beispielsweise wie folgt umgeordnet werden (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3. Im Gegenzug können Sie die Terme im Nenner des Bruchs 1 a + b neu anordnen, und der Bruch nimmt die Form 1 b + a an. Und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen a 2 + 2 a + 5 ist auch die Summe, in der die Bedingungen getauscht werden können.

Auf die gleiche Weise wie bei den Termen können Sie in den ursprünglichen Ausdrücken die Stellen der Faktoren ändern und erhalten identisch korrekte Gleichungen. Diese Aktion unterliegt der folgenden Regel:

Definition 2

In einem Produkt hat die punktuelle Neuordnung der Multiplikatoren keinen Einfluss auf das Berechnungsergebnis.

Diese Regel basiert auf den Verschiebungs- und Kombinationseigenschaften der Multiplikation, die die Richtigkeit der identischen Transformation bestätigen.

Beispiel 8

Arbeit 3 5 7 Permutation von Faktoren kann in einer der folgenden Formen dargestellt werden: 5 · 3 · 7, 5 · 7 · 3, 7 · 3 · 5, 7 · 5 · 3 oder 3 7 5.

Beispiel 9

Die Umordnung der Faktoren im Produkt x + 1 x 2 - x + 1 x ergibt x 2 - x + 1 x x + 1

Erweiterungsklammern

Die Klammern können numerische und variable Ausdrücke enthalten. Diese Ausdrücke können in identische Ausdrücke umgewandelt werden, in denen es keine oder weniger Klammern gibt als in den ursprünglichen Ausdrücken. Diese Art der Konvertierung von Ausdrücken wird als Klammererweiterung bezeichnet.

Beispiel 10

Lassen Sie uns Aktionen mit Klammern in einem Ausdruck der Form ausführen 3 + x - 1 x um einen identisch korrekten Ausdruck zu erhalten 3 + x - 1 x.

Der Ausdruck 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x kann identisch umgewandelt werden gleicher Ausdruck ohne Klammern 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

Wir haben die Regeln für das Konvertieren von Ausdrücken mit Klammern im Thema "Klammern erweitern", das auf unserer Ressource veröffentlicht wird, detailliert beschrieben.

Gruppierung von Begriffen, Faktoren

In Fällen, in denen es sich um drei und handelt Große anzahl Begriffen können wir auf eine Form von Identitätstransformationen wie die Gruppierung von Begriffen zurückgreifen. Bei dieser Transformationsmethode werden mehrere Begriffe zu einer Gruppe zusammengefasst, indem sie neu angeordnet und in Klammern eingeschlossen werden.

Beim Gruppieren werden die Begriffe vertauscht, sodass die zu gruppierenden Begriffe im Ausdruck nebeneinander erscheinen. Sie können dann in Klammern eingeschlossen werden.

Beispiel 11

Nehmen wir den Ausdruck 5 + 7 + 1 ... Wenn wir den ersten Term mit dem dritten gruppieren, erhalten wir (5 + 1) + 7 .

Die Gruppierung von Faktoren erfolgt ähnlich wie die Gruppierung von Begriffen.

Beispiel 12

Auf der Arbeit 2 3 4 5 wir können den ersten Faktor mit dem dritten und den zweiten mit dem vierten gruppieren und erhalten den Ausdruck the (2 4) (3 5)... Und wenn wir den ersten, zweiten und vierten Faktor gruppieren, erhalten wir den Ausdruck (2 3 5) 4.

Die gruppierten Terme und Faktoren können sowohl durch Primzahlen als auch durch Ausdrücke dargestellt werden. Gruppierungsregeln wurden im Thema "Gruppierung von Begriffen und Faktoren" ausführlich behandelt.

Ersetzen von Differenzen durch Summen, Teilprodukte und umgekehrt

Das Ersetzen der Differenzen durch Summen wurde dank unserer Bekanntschaft mit Gegenübern möglich. Jetzt von einer Zahl subtrahieren ein die Zahlen B kann als Ergänzung zur Nummer angesehen werden ein die Zahlen - B... Gleichberechtigung a - b = a + (-b) als gerecht angesehen werden kann und auf dieser Grundlage die Differenzen durch Summen zu ersetzen.

Beispiel 13

Nehmen wir den Ausdruck 4 + 3 − 2 , wobei die Differenz der Zahlen 3 − 2 Wir können die Summe aufschreiben 3 + (− 2) ... Wir bekommen 4 + 3 + (− 2) .

Beispiel 14

Alle Unterschiede im Ausdruck 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 kann durch Summen ersetzt werden wie 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

Wir können aus allen Differenzen Summen ziehen. Ebenso können wir den umgekehrten Austausch durchführen.

Das Ersetzen der Division durch die Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors wird durch das Konzept der Gegenseitigkeit möglich Kehrzahlen... Diese Transformation kann geschrieben werden durch die Gleichheit a: b = a (b - 1).

Diese Regel war die Grundlage für die Regel zum Teilen von gewöhnlichen Brüchen.

Beispiel 15

Privat 1 2: 3 5 kann durch ein Produkt der Form . ersetzt werden 1 2 5 3.

Analog kann die Division durch die Multiplikation ersetzt werden.

Beispiel 16

Im Fall des Ausdrucks 1 + 5: x: (x + 3) Division durch . ersetzen x kann mit multipliziert werden 1 x... Division durch x + 3 wir können durch Multiplikation mit ersetzen 1 x + 3... Die Transformation ermöglicht es uns, einen mit dem Original identischen Ausdruck zu erhalten: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Das Ersetzen der Multiplikation durch Division erfolgt nach dem Schema a b = a: (b - 1).

Beispiel 17

Im Ausdruck 5 x x 2 + 1 - 3 kann die Multiplikation durch Division als 5 ersetzt werden: x 2 + 1 x - 3.

Aktionen für Zahlen ausführen

Das Ausführen von Aktionen mit Zahlen gehorcht der Regel der Aktionsreihenfolge. Zunächst werden Aktionen mit Potenzen von Zahlen und Zahlenwurzeln ausgeführt. Danach ersetzen wir Logarithmen, trigonometrische und andere Funktionen durch ihre Werte. Dann werden die Aktionen in Klammern ausgeführt. Und dann können alle anderen Aktionen von links nach rechts ausgeführt werden. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass Multiplikation und Division vor der Addition und Subtraktion durchgeführt werden.

Operationen mit Zahlen ermöglichen es Ihnen, den ursprünglichen Ausdruck in einen identischen Ausdruck umzuwandeln.

Beispiel 18

Schreiben Sie den Ausdruck 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x um und führen Sie alle möglichen Aktionen mit den Zahlen aus.

Lösung

Achten wir zunächst auf den Abschluss 2 3 und Wurzel 4 und berechnen ihre Werte: 2 3 = 8 und 4 = 2 2 = 2.

Setzen Sie die erhaltenen Werte in den ursprünglichen Ausdruck ein und erhalten Sie: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Nun führen wir die Aktionen in Klammern aus: 8 − 1 = 7 ... Und fahren Sie mit dem Ausdruck 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) fort.

Es bleibt uns, die Multiplikation der Zahlen durchzuführen 3 und 7 ... Wir erhalten: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).

Antworten: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Aktionen für Zahlen können andere Arten von identischen Transformationen vorausgehen, z. B. das Gruppieren von Zahlen oder das Erweitern von Klammern.

Beispiel 19

Nehmen wir den Ausdruck 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Lösung

Zunächst ersetzen wir den Quotienten in Klammern 6: 3 auf seinen Wert 2 ... Wir erhalten: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

Erweitern wir die Klammern: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

Lassen Sie uns die numerischen Faktoren im Produkt sowie die Begriffe, die Zahlen sind, gruppieren: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Führen wir die Aktionen in Klammern aus: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Antworten:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Wenn wir mit numerischen Ausdrücken arbeiten, wird es das Ziel unserer Arbeit sein, die Bedeutung des Ausdrucks zu finden. Wenn wir Ausdrücke mit Variablen transformieren, besteht das Ziel unserer Aktionen darin, den Ausdruck zu vereinfachen.

Den gemeinsamen Faktor herausrechnen

In Fällen, in denen die Terme im Ausdruck den gleichen Faktor haben, können wir diesen gemeinsamen Faktor aus den Klammern herausnehmen. Dazu müssen wir zunächst den ursprünglichen Ausdruck als Produkt aus dem gemeinsamen Faktor und dem Ausdruck in Klammern darstellen, der aus den ursprünglichen Termen ohne den gemeinsamen Faktor besteht.

Beispiel 20

Numerisch 2 7 + 2 3 Wir können den gemeinsamen Faktor herausnehmen 2 Klammern und erhalten einen identisch korrekten Ausdruck der Form 2 (7 + 3).

Sie können Ihre Erinnerung an die Regeln zum Setzen des gemeinsamen Faktors außerhalb der Klammern im entsprechenden Abschnitt unserer Ressource auffrischen. Das Material diskutiert ausführlich die Regeln, um den gemeinsamen Faktor außerhalb der Klammern zu setzen, und bietet zahlreiche Beispiele.

Reduzierung ähnlicher Begriffe

Kommen wir nun zu den Summen, die ähnliche Begriffe enthalten. Es gibt zwei mögliche Optionen: die Summen, die die gleichen Terme enthalten, und die Summen, deren Terme sich durch einen numerischen Koeffizienten unterscheiden. Aktionen mit Summen, die solche Terme enthalten, werden als Reduktion solcher Terme bezeichnet. Es geht wie folgt: Wir nehmen den allgemeinen Buchstabenteil außerhalb der Klammern heraus und berechnen die Summe der numerischen Koeffizienten in Klammern.

Beispiel 21

Betrachten Sie den Ausdruck 1 + 4 x - 2 x... Wir können den wörtlichen Teil von x außerhalb der Klammern setzen und erhalten den Ausdruck 1 + x (4 - 2)... Berechnen wir den Wert des Ausdrucks in Klammern und erhalten die Summe der Form 1 + x · 2.

Ersetzen von Zahlen und Ausdrücken durch identisch gleiche Ausdrücke

Die Zahlen und Ausdrücke, aus denen sich der ursprüngliche Ausdruck zusammensetzt, können durch identisch gleiche Ausdrücke ersetzt werden. Eine solche Transformation des ursprünglichen Ausdrucks führt zu einem ihm identischen Ausdruck.

Beispiel 22 Beispiel 23

Betrachten Sie den Ausdruck 1 + 5, in dem wir den Grad von a 5 durch ein identisch gleiches Produkt ersetzen können, zum Beispiel der Form a a 4... Dies gibt uns den Ausdruck 1 + a a 4.

Die durchgeführte Transformation ist künstlich. Es macht nur in Vorbereitung auf andere Transformationen Sinn.

Beispiel 24

Betrachten Sie die Transformation der Summe 4 x 3 + 2 x 2... Hier der Begriff 4 x 3 können wir uns als Arbeit vorstellen 2 x 2 2 x... Als Ergebnis hat der ursprüngliche Ausdruck die Form 2 x 2 2 x + 2 x 2... Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor auswählen 2 x 2 und setze es außerhalb der Klammern: 2x2 (2x+1).

Addiere und subtrahiere dieselbe Zahl

Das gleichzeitige Addieren und Subtrahieren derselben Zahl oder eines Ausdrucks ist eine künstliche Technik zum Transformieren von Ausdrücken.

Beispiel 25

Betrachten Sie den Ausdruck x 2 + 2 x... Wir können eine davon addieren oder subtrahieren, wodurch wir in Zukunft eine weitere identische Transformation durchführen können - um das Quadrat des Binomials auszuwählen: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

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§ 2. Identische Ausdrücke, Identität. Identische Konvertierung eines Ausdrucks. Identitätsnachweise

Finden Sie die Werte der Ausdrücke 2 (x - 1) 2x - 2 für die angegebenen Werte der Variablen x. Schreiben wir die Ergebnisse in die Tabelle:

Sie können zu dem Schluss kommen, dass die Werte der Ausdrücke 2 (x - 1) 2x - 2 für jeden gegebenen Wert der Variablen x gleich sind. Aufgrund der Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion 2 (x - 1) = 2x - 2. Daher ist für jeden anderen Wert der Variablen x auch der Wert des Ausdrucks 2 (x - 1) 2x - 2 gleich zueinander. Solche Ausdrücke werden identisch gleich genannt.

Zum Beispiel sind die Ausdrücke 2x + 3x und 5x Synonyme, da diese Ausdrücke für jeden Wert der Variablen x erhalten identische Werte(dies folgt aus der Verteilungseigenschaft der Multiplikation bezüglich der Addition, da 2x + 3x = 5x).

Betrachten Sie nun die Ausdrücke 3x + 2y und 5xy. Wenn x = 1 und b = 1 sind, sind die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke gleich:

3x + 2y = 3 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 1 ∙ 1 = 5.

Sie können jedoch solche Werte von x und y angeben, bei denen die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Zum Beispiel, wenn x = 2; y = 0, dann

3x + 2y = 3 2 + 2 ∙ 0 = 6,5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Folglich gibt es Werte von Variablen, für die die entsprechenden Werte der Ausdrücke 3x + 2y und 5xy nicht gleich sind. Daher sind die Ausdrücke 3x + 2y und 5xy nicht identisch.

Basierend auf dem Vorstehenden sind Identitäten insbesondere Gleichheiten: 2 (x - 1) = 2x - 2 und 2x + 3x = 5x.

Eine Identität ist jede Gleichheit, die die bekannten Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen enthält. Beispielsweise,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a (b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab) c = a (bc); a (b - c) = ab - ac.

Es gibt auch solche Gleichheiten wie Identitäten:

a + 0 = a; a 0 = 0; a (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a 1 = a; a (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Wenn wir ähnliche Terme im Ausdruck -5x + 2x - 9 reduzieren, erhalten wir 5x + 2x - 9 = 7x - 9. In diesem Fall sagen sie, dass der Ausdruck 5x + 2x - 9 durch den Ausdruck 7x - ersetzt wurde - 9, die damit identisch ist.

Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden unter Verwendung der Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen durchgeführt. Insbesondere identische Transformationen mit der Erweiterung von Klammern, der Konstruktion ähnlicher Terme und dergleichen.

Beim Vereinfachen des Ausdrucks müssen identische Transformationen durchgeführt werden, d. h. beim Ersetzen eines Ausdrucks durch einen identischen Ausdruck, der kürzer sein sollte.

Beispiel 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - ).).

1) -0,3 m 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn;

2) 2 (3x 4) + 3 (-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - aber + 2 B + 3 B - aber= 3a + 5b + 2.

Um zu beweisen, dass Gleichheit eine Identität ist (mit anderen Worten, um Identität zu beweisen, verwenden Sie identische Transformationen von Ausdrücken.

Die Identität kann auf eine der folgenden Arten nachgewiesen werden:

führe identische Transformationen der linken Seite durch und reduziere sie dadurch auf die Form der rechten Seite;
führe identische Transformationen der rechten Seite durch und reduziere sie dadurch auf die Form der linken Seite;
führen identische Transformationen beider Teile davon durch, wodurch beide Teile zu denselben Ausdrücken erhoben werden.

Beispiel 2. Beweisen Sie die Identität:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

R a z v 'Ich bin z und n ich.

1) Wir transformieren die linke Seite dieser Gleichheit:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - NS- 5 - 11 = x - 16.

Durch identische Transformationen wurde der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichheit auf die Form der rechten Seite reduziert und damit bewiesen, dass diese Gleichheit eine Identität ist.

2) Wir transformieren die rechte Seite dieser Gleichheit:

5 (2а - 3b) - 7 (2а - 5b) = 10 A - 15 B - 14a + 35 B= 20b - 4a.

Durch identische Transformationen wurde die rechte Seite der Gleichheit auf die Form der linken Seite reduziert und damit bewiesen, dass diese Gleichheit eine Identität ist.

3) In diesem Fall ist es praktisch, sowohl die linke als auch die rechte Seite der Gleichheit zu vereinfachen und die Ergebnisse zu vergleichen:

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

Durch identische Transformationen wurden die linke und rechte Seite der Gleichheit auf die gleiche Form reduziert: 26x - 44. Daher ist diese Gleichheit eine Identität.

Welche Ausdrücke heißen identisch? Nennen Sie ein Beispiel für identische Ausdrücke. Welche Gleichheit nennt man Identität? Nennen Sie ein Identitätsbeispiel. Wie nennt man die Identitätsumwandlung eines Ausdrucks? Wie kann man die Identität nachweisen?

(mündlich) Oder es gibt Ausdrücke, die identisch gleich sind:

1) 2a + a und 3a;

2) 7x + 6 und 6 + 7x;

3) x + x + x und x 3;

4) 2 (x - 2) und 2x - 4;

5) m – n und n – m;

6) 2a p und 2p ∙ a?

Sind die Ausdrücke:

1) 7x - 2x und 5x;

2) 5a - 4 und 4 - 5a;

3) 4m + n und n + 4m;

4) a + a und a 2;

5) 3 (a - 4) und 3a - 12;

6) 5m n und 5m + n?

(Verbal) ist die Lüge-Identität:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7p - 1 = -1 + 7p;

3) 3 (x - y) = 3x - 5y?

Klammer öffnen:

Klammer öffnen:

Kombiniere ähnliche Begriffe:

Nennen Sie mehrere Ausdrücke, die mit den Ausdrücken 2a + 3a identisch sind.
Vereinfachen Sie Ihren Ausdruck mit den Permutations- und Verbindungseigenschaften der Multiplikation:

1) -2,5 x 4;

2) 4p (-1,5);

3) 0,2 x (0,3 g);

4) - x<-7у).

Den Ausdruck vereinfachen:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a (-1.2);

3) 0,2 x (-3y);

4) - 1 m∙ (-3n).

(Verbal) Vereinfachen Sie den Ausdruck:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a (-2b).

Kombiniere ähnliche Begriffe:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) - (3m - 5) + 2 (3m - 7).

Erweitern Sie die Klammern und reduzieren Sie die ähnlichen Begriffe:

1) 3 (8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4 (x - 20) wenn x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 wenn a = 10;

3) 1,2 (m – 5) – 1,8 (10 – m), wenn m = –3,7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y, wenn x = -1, y = 1.

Vereinfachen Sie den Ausdruck und finden Sie seine Bedeutung:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4) wenn x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, wenn b = 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1) wenn a = -1;

4) 5 (m – n) – 4m + 7n, wenn m = 1,8; n = -0,9.

Beweisen Sie die Identität:

1) – (2x – y) = y – 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s – 2 = 5 (s + 2) – 4 (s + 3).

Beweisen Sie die Identität:

1) – (m – 3n) = 3n – m;

2) 7 (2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7m - 3.

Die Länge einer der Seiten des Dreiecks beträgt 1 cm und die Länge der anderen beiden Seiten ist jeweils 2 cm länger. Schreiben Sie den Umfang des Dreiecks als Ausdruck auf und vereinfachen Sie den Ausdruck.
Die Breite des Rechtecks beträgt x cm und die Länge ist 3 cm länger als die Breite. Schreiben Sie den Umfang des Rechtecks als Ausdruck auf und vereinfachen Sie den Ausdruck.

1) x – (x – (2x – 3));

2) 5m – ((n – m) + 3n);

3) 4p – (3p – (2p – (r + 1)));

4) 5x – (2x – ((y – x) – 2y));

5) (6a - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2 n - 0,48 m).

Erweitern Sie die Klammern und vereinfachen Sie den Ausdruck:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 Jahre - (6 Jahre - (7 Jahre - (8 Jahre - 1)));

6) (2,1a - 2,8b) - (1a - 1b).

Beweisen Sie die Identität:

1) 10x - (- (5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) – (– 3p) – (– (8 – 5p)) = 2 (4 – d);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

Beweisen Sie die Identität:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4 (4 - 5a);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Beweisen Sie, dass der Wert des Ausdrucks

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2m) hängt nicht vom Wert der Variablen ab.

Beweisen Sie, dass für jeden Wert der Variablen der Wert des Ausdrucks

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

ist die gleiche Nummer.

Beweisen Sie, dass die Summe von drei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen durch 6 teilbar ist.
Beweisen Sie, dass, wenn n eine natürliche Zahl ist, der Wert des Ausdrucks -2 (2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) eine gerade Zahl ist.

Wiederholungsübungen

Die 1,6 kg schwere Legierung enthält 15 % Kupfer. Wie viel kg Kupfer sind in dieser Legierung enthalten?
Wie viel Prozent ist die eigene Zahl 20:

1) ein Quadrat;

Der Tourist ging 2 Stunden und fuhr 3 Stunden mit dem Fahrrad. Insgesamt legte der Tourist 56 km zurück. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, mit der der Tourist gefahren ist, wenn sie 12 km / h höher ist als die Geschwindigkeit, mit der er gelaufen ist.

Interessante Aufgaben für faule Schüler

11 Mannschaften nehmen an der Stadtfußballmeisterschaft teil. Jedes Team spielt ein Match mit den anderen. Beweisen Sie, dass es zu jedem Zeitpunkt des Wettbewerbs eine Mannschaft gibt, die zu diesem Zeitpunkt eine gerade Anzahl von Spielen bestritten hat oder noch kein einziges gespielt hat.

Thema "Identitätsnachweise"Klasse 7 (KRO)

Lehrbuch Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Lernziele

Lehrreich:

die Begriffe "identisch gleiche Ausdrücke", "Identität", "identische Transformationen" vertraut zu machen und zunächst zu festigen;

über Möglichkeiten des Identitätsnachweises nachdenken, zur Entwicklung von Fähigkeiten zum Identitätsnachweis beitragen;

die Assimilation des Gelernten durch die Studierenden zu überprüfen, die Fähigkeiten zu formen, das Gelernte für die Wahrnehmung des Neuen anzuwenden.

Entwicklung:

Entwicklung der mathematischen Sprache der Schüler (bereichern und komplizieren Sie den Wortschatz, wenn Sie spezielle mathematische Begriffe verwenden),

Denken entwickeln,

Pädagogisch: Sorgfalt, Genauigkeit, Richtigkeit der Aufzeichnung der Lösung von Übungen zu erziehen.

Unterrichtstyp: Neues Material lernen

Während des Unterrichts

1 ... Zeit organisieren.

Hausaufgaben-Check.

Fragen zu Hausaufgaben.

Analyse der Lösung an der Tafel.

Mathematik ist gefragt
Du kannst nicht ohne sie leben
Wir lehren, wir lehren, Freunde,
Woran erinnern wir uns vom Morgen?

2 ... Lass uns ein Aufwärmen machen.

Additionsergebnis. (Summe)

Wie viele Zahlen kennen Sie? (Zehn)

Ein Hundertstel der Zahl. (Prozent)

Ergebnis der Division? (Privat)

Die kleinste natürliche Zahl? (eins)

Ist es möglich, beim Teilen natürlicher Zahlen Null zu erhalten? (Nein)

Was ist die größte negative ganze Zahl. (-eins)

Durch welche Zahl lässt sich nicht teilen? (0)

Das Ergebnis der Multiplikation? (Arbeit)

Ergebnis der Subtraktion. (Unterschied)

Die Verschiebungseigenschaft der Addition. (Durch die Neuordnung der Terme ändert sich die Summe nicht)

Die Reiseeigenschaft der Multiplikation. (Das Produkt ändert sich nicht durch Permutation der Multiplikatoren)

Erlernen eines neuen Themas (Definition mit Schreiben in ein Notizbuch)

Finden Sie den Wert der Ausdrücke für x = 5 und y = 4

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27

3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27

Wir haben das gleiche Ergebnis. Aus der Verteilungseigenschaft folgt, dass im Allgemeinen für alle Werte der Variablen die Werte der Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y gleich sind.

Betrachten Sie nun die Ausdrücke 2x + y und 2xy. Für x = 1 und y = 2 nehmen sie gleiche Werte an:

Sie können jedoch Werte für x und y angeben, sodass die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Wenn zum Beispiel x = 3, y = 4, dann

Definition: Zwei Ausdrücke, deren Werte für beliebige Werte der Variablen gleich sind, werden identisch gleich genannt.

Die Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y sind identisch gleich, aber die Ausdrücke 2x + y und 2xy sind nicht identisch.

Die Gleichheit 3 (x + y) und 3x + 3y gilt für alle Werte von x und y. Solche Gleichheiten werden Identitäten genannt.

Definition: Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt, wird als Identität bezeichnet.

Echte Zahlengleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet. Wir haben uns bereits mit Identitäten getroffen. Identitäten sind Gleichheiten, die die grundlegenden Eigenschaften von Handlungen auf Zahlen ausdrücken (Schüler kommentieren jede Eigenschaft und sprechen sie aus).

a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab) c = a (bc)
a (b + c) = ab + ac

Nennen Sie andere Beispiele für Identitäten

Definition: Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, identisch gleichen Ausdruck wird als Identitätstransformation oder einfach als Ausdruckstransformation bezeichnet.

Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen durchgeführt.

Identische Transformationen von Ausdrücken werden häufig verwendet, um die Werte von Ausdrücken zu berechnen und andere Probleme zu lösen. Sie haben bereits einige identische Transformationen durchgeführt, z. B. ähnliche Begriffe umwandeln oder Klammern erweitern.

5 ... Nr. 691, Nr. 692 (mit der Aussprache der Regeln zum Öffnen von Klammern, Multiplikation von negativen und positiven Zahlen)

Identitäten für die Wahl einer rationalen Lösung:(Frontalarbeit)

6 ... Zusammenfassung der Lektion.

Der Lehrer stellt Fragen, und die Schüler beantworten sie nach Belieben.

Welche zwei Ausdrücke sind identisch gleich? Nenne Beispiele.

Welche Gleichheit nennt man Identität? Gib ein Beispiel.

Welche identischen Transformationen kennen Sie?

7. Hausaufgaben. Lernen Sie Definitionen, geben Sie Beispiele für identische Ausdrücke (mindestens 5), schreiben Sie sie in ein Notizbuch

Grundlegende Eigenschaften der Addition und Multiplikation von Zahlen.

Die Verschiebungseigenschaft der Addition: Der Wert der Summe ändert sich nicht durch die Permutation der Terme. Für beliebige Zahlen a und b gilt die Gleichheit

Kombinationseigenschaft der Addition: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Zahlen zu addieren, können Sie die Summe der zweiten und dritten zur ersten Zahl addieren. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit

Bewegungseigenschaft der Multiplikation: Der Wert des Produkts ändert sich nicht durch die Permutation von Faktoren. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit

Kombinationseigenschaft der Multiplikation: Um das Produkt zweier Zahlen mit der dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.

Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit

Verteilungseigenschaft: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit jedem Term multiplizieren und die Ergebnisse addieren. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit

Aus den verschiebbaren und kombinativen Eigenschaften der Addition folgt: In jeder Summe können Sie die Terme beliebig neu anordnen und beliebig zu Gruppen zusammenfassen.

Beispiel 1 Berechnen wir die Summe 1,23 + 13,5 + 4,27.

Dazu ist es zweckmäßig, den ersten Term mit dem dritten zu kombinieren. Wir bekommen:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Aus den transponierbaren und kombinativen Eigenschaften der Multiplikation folgt: In jedem Produkt können Sie die Faktoren beliebig neu anordnen und beliebig zu Gruppen zusammenfassen.

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Produkts 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5.

Kombinieren wir den ersten Faktor mit dem vierten und den zweiten mit dem dritten, erhalten wir:

1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 = 14,4.

Die Verteilungseigenschaft gilt auch, wenn die Zahl mit der Summe von drei oder mehr Termen multipliziert wird.

Zum Beispiel gilt für alle Zahlen a, b, c und d die Gleichheit

a (b + c + d) = ab + ac + ad.

Wir wissen, dass die Subtraktion durch Addition ersetzt werden kann, indem die entgegengesetzte Zahl zur zu subtrahierenden Zahl addiert wird:

Dadurch kann ein numerischer Ausdruck der Form ab als Summe der Zahlen a und -b betrachtet werden, ein numerischer Ausdruck der Form a + bcd als Summe der Zahlen a, b, -c, -d usw Die berücksichtigten Eigenschaften von Einwirkungen gelten auch für solche Summen.

Beispiel 3 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 3,27-6,5-2,5 + 1,73.

Dieser Ausdruck ist die Summe der Zahlen 3,27, -6,5, -2,5 und 1,73. Durch Anwenden der Additionseigenschaften erhalten wir: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (-6,5-2,5) = 5 + (- 9) = -4.

Beispiel 4 Berechnen wir das Produkt 36 · ().

Den Multiplikator kann man sich als Summe der Zahlen und - vorstellen. Mit der Verteilungseigenschaft der Multiplikation erhalten wir:

36 () = 36 -36 = 9-10 = -1.

Identitäten

Definition. Zwei Ausdrücke, deren entsprechende Werte für beliebige Werte der Variablen gleich sind, werden als identisch gleich bezeichnet.

Definition. Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt, wird als Identität bezeichnet.

Finden Sie die Werte der Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y bei x = 5, y = 4:

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,

3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.

Wir haben das gleiche Ergebnis. Aus der Verteilungseigenschaft folgt, dass im Allgemeinen für alle Werte der Variablen die entsprechenden Werte der Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y gleich sind.

Betrachten Sie nun die Ausdrücke 2x + y und 2xy. Für x = 1, y = 2 nehmen sie gleiche Werte an:

Sie können jedoch Werte für x und y angeben, damit die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Wenn zum Beispiel x = 3, y = 4, dann

Die Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y sind identisch gleich, aber die Ausdrücke 2x + y und 2xy sind nicht identisch.

Die Gleichheit 3 (x + y) = x + 3y, wahr für alle Werte von x und y, ist eine Identität.

Echte Zahlengleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet.

Identitäten sind also Gleichheiten, die die grundlegenden Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen ausdrücken:

a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),

ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.

Andere Beispiele für Identitäten können angeführt werden:

a + 0 = a, a + (-a) = 0, a-b = a + (- b),

a 1 = a, a (-b) = - ab, (-a) (-b) = ab.

Konvertierungen identischer Ausdrücke

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, ihm identischen Ausdruck wird als identische Transformation oder einfach als Transformation des Ausdrucks bezeichnet.

Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen durchgeführt.

Um den Wert des Ausdrucks xy-xz anhand der Werte von x, y, z zu ermitteln, müssen Sie drei Schritte ausführen. Für x = 2,3, y = 0,8, z = 0,2 erhalten wir beispielsweise:

xy-xz = 2,3 0,8-2,3 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.

Dieses Ergebnis kann durch Ausführen von nur zwei Schritten erhalten werden, wenn wir den Ausdruck x (y-z) verwenden, der mit dem Ausdruck xy-xz identisch ist:

xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Wir haben die Berechnungen vereinfacht, indem wir den Ausdruck xy-xz durch den identisch gleichen Ausdruck x (y-z) ersetzt haben.

Identische Transformationen von Ausdrücken werden häufig verwendet, um die Werte von Ausdrücken zu berechnen und andere Probleme zu lösen. Einige der identischen Transformationen wurden bereits durchgeführt, zum Beispiel die Reduzierung ähnlicher Terme, die Erweiterung von Klammern. Erinnern wir uns an die Regeln für die Durchführung dieser Transformationen:

Um solche Terme anzugeben, müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und das Ergebnis mit dem gesamten Buchstabenteil multiplizieren.

wenn vor den Klammern ein Pluszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, wobei das Vorzeichen jedes Begriffs in Klammern eingeschlossen bleibt;

Steht vor den Klammern ein Minuszeichen, können die Klammern weggelassen werden, indem das Vorzeichen jedes in Klammern eingeschlossenen Begriffs geändert wird.

Beispiel 1 Geben wir ähnliche Terme in der Summe 5x + 2x-3x an.

Wir werden die Regel der Reduzierung solcher Bedingungen anwenden:

5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.

Diese Transformation basiert auf der Verteilungseigenschaft der Multiplikation.

Beispiel 2 Erweitern Sie die Klammern im Ausdruck 2a + (b-3c).

Anwenden der Regel zum Erweitern von Klammern, denen ein Pluszeichen vorangestellt ist:

2a + (b-3c) = 2a + b-3c.

Die durchgeführte Transformation basiert auf der Kombinationseigenschaft der Addition.

Beispiel 3 Erweitern Sie die Klammern im Ausdruck a- (4b-c).

Verwenden wir die Regel zum Erweitern von Klammern, denen ein Minuszeichen vorangestellt ist:

a- (4b-c) = a-4b + c.

Die durchgeführte Transformation basiert auf der Verteilungseigenschaft der Multiplikation und der Kombinationseigenschaft der Addition. Zeigen wir es. Wir stellen in diesem Ausdruck den zweiten Term - (4b-c) als Produkt (-1) (4b-c) dar:

a-(4b-c) = a + (-1) (4b-c).

Durch Anwenden der angegebenen Aktionseigenschaften erhalten wir:

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.