Arten von numerischen Intervallen. Numerisches Intervall

Unterrichtsplan

Das Datum ________ Lektion #______

Gegenstand Nummer Lücken.

Lehr- und Erziehungsaufgaben:

1. Die Schüler mit dem Aufzeichnen der Lösung von Ungleichungen unter Verwendung von Lücken vertraut machen.

2. Förderung der Entwicklung des Denkens, der Rede der Schüler, der Fähigkeit zu analysieren, zu verallgemeinern, die Hauptsache hervorzuheben, zu vereinfachen.

3. Um Genauigkeit, Konsistenz, Unabhängigkeit und Interesse am Thema zu kultivieren.

Ziel: Bringen Sie den Schülern bei, wie sie Ungleichungen mithilfe von Lücken lösen können.

Visuelle Hilfen: Buch, Laptop. (Präsentation 91479 )

Unterrichtstyp: Eine Lektion im Erlernen von neuem Material.

Methoden: Verbal, visuell, praktisch.

Während des Unterrichts:

1. Zeit organisieren:

Studenten grüßen.

2. Kontrolle der Hausaufgaben:

An der Tafel

3. Das Stadium der Assimilation von neuem Wissen:

Lücken auf der Zahlen- (Koordinaten-) Linie.

Betrachten Sie die Koordinatenlinie, dieses Mal wird die Koordinatenlinie gezeigt, ohne den Ursprung und den Wert des Einheitssegments anzugeben.

Auf der Koordinatenlinie wird ein Punkt markiert a . Alle rechts liegenden Punkte sind schraffiert - das sind Zahlen große Zahlen a. Eine solche Menge von Punkten wird aufgerufen Freistrahl u benennen - symbolischer Eintritt. Es lautet: „Von a bis plus unendlich. Für jede Zahl x aus dieser Menge ist die Ungleichung xa

Geben Sie den Schülern Gelegenheit, selbst zu erraten, wie ein solcher offener Balken bezeichnet wird und welche Ungleichung für alle zugehörigen Zahlen gilt.

Check: Ein solcher offener Balken ist gekennzeichnet , das Vorzeichen lautet „minus unendlich“ / Für jede Zahl x aus dieser Menge gilt die Ungleichung xa.

Überprüfen Sie die Zeichnungen und vergleichen Sie sie mit früheren Zeichnungen. Was ist die Ähnlichkeit. Was ist der Unterschied? Warum ein Punkt einem Punkt entspricht a schwarz lackiert?

In der Abbildung bezeichnen sie also das Übliche Strahl. Um beim Schreiben einen Strahl zu bezeichnen, verwenden Sie die eckige Klammer [ a;), (;a].

Solche Ungleichheiten werden genannt nicht streng im Gegensatz zu Ungleichungen der Form xa,xa, die man nennt strikt.

Stellen Sie fest, welche Zeichnungen Träger zeigen und welche offenen Träger und machen Sie sich entsprechende Notizen. (mit Klammern und mit Ungleichheitszeichen). Gleiten

In dieser Figur markiert eine Schraffur Punkte (Zahlen), die sich zwischen den Punkten a und b befinden. Eine solche Menge von Punkten wird aufgerufen Intervall und bezeichnen (a;b) .Die Ungleichung hat die Form axb

Diese Abbildung zeigt das gleiche Intervall, aber dieses Mal sind seine Enden, die Punkte a und b, daran befestigt. Eine solche Menge heißt Segment, was mit bezeichnet wird. Die Ungleichung hat die Form axb

Bestimmen Sie, welche Figuren Segmente und welche Intervalle zeigen, und machen Sie entsprechende Einträge (mit Klammern und mit Ungleichheitszeichen). Folie11

5. Befestigung:

Folie 9-11

4. Arbeiten Sie nach Lehrbuch.

№ 990 mündlich,

№ 991-992 am Brett "Kette",

5. Selbständiges Arbeiten

6. Das Ergebnis der Lektion:

Lassen Sie uns nun unsere Arbeit zusammenfassen. Welche neuen Konzepte hast du heute im Unterricht gelernt? Was bedeutet der ungefüllte (schattierte) Kreis auf dem Zahlenstrahl? Wann werden runde (eckige) Klammern geschrieben, wenn ein Zahlenintervall angegeben wird?

Was ist dir heute im Unterricht schwergefallen? Gibt es Fragen zum neuen Material?

Eine Unterrichtsstunde benoten.

7. Hausaufgaben:

Lernen Sie die Regeln№ 9 94-№995

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Beschriftungen der Folien:

Klasse 7 Numerische Intervalle Mathematiklehrerin: Bakhvalova G.S. Gymnasium №52

Unterrichtsziele: 1. Einführung in das Konzept eines numerischen Intervalls; 2. Die Fähigkeit zu vermitteln, numerische Lücken auf dem Zahlenstrahl darzustellen und sie zu benennen. 3. Entwickeln logisches Denken: analysieren, vergleichen. Unterrichtsplan: 1. Wissensaktualisierung: "Koordinatenachse". 2. Neues Thema: "Numerische Intervalle". 3.Pädagogisch selbstständige Arbeit. 4. Die Ergebnisse des Unterrichts.

Beende die Aufgabe: 1. Markiere Punkte auf dem Zahlenstrahl mit Koordinaten: A (-2); UM 5); O(0); C(5); D(-3).

Antwort: 1. A(-2); UM 5); O(0); C(3); D(-3). 0 A B C 1 0 D

Beende die Aufgabe: 2. Vergleiche die Zahlen: -2 und 5; 5 und 0; -2 und -3; 5 und 3; 0 und -2.

Antwort: -2 0; -2 > -3; 5 > 3; 0 > -2. überprüfe dich selbst

Vervollständigen Sie die Aufgabe mündlich: 3. Welche der angegebenen Zahlen auf dem Zahlenstrahl ist links: -2 oder 5; 5 oder 0; -2 oder -3; 5 oder 3; 0 oder -2. SCHLUSSFOLGERUNG: Von den beiden Zahlen auf dem Zahlenstrahl befindet sich die kleinere Zahl links und die größere rechts.

Wir markieren Punkte auf der Koordinatenlinie mit den Koordinaten - 3 und 2. Wenn sich der Punkt zwischen ihnen befindet, entspricht er einer Zahl, die größer als -3 und kleiner als 2 ist. Das Gegenteil gilt auch: Wenn die Zahl x die Bedingung erfüllt - 3Folie 9

Die Menge aller Zahlen, die die Bedingung erfüllen 3Folie 10

Die Zahl x, die die Bedingung -3 ≤ x ≤ 2 erfüllt, wird durch einen Punkt dargestellt, der entweder zwischen den Punkten mit den Koordinaten -3 und 2 liegt oder mit einem von ihnen zusammenfällt. Die Menge solcher Zahlen wird mit [-3;2] bezeichnet. - 3 2 Schreiben Sie in Ihr Heft. Schreiben Sie in Ihr Heft. Schreiben Sie in Ihr Heft

Die Zahl x, die die Bedingung x ≤ 2 erfüllt, wird durch einen Punkt dargestellt, der entweder links vom Punkt mit der Koordinate 2 liegt oder mit ihm zusammenfällt. Die Menge solcher Zahlen wird mit (-∞;2) bezeichnet. 2 Schreibe in dein Heft. Schreibe in dein Heft. Schreibe in dein Heft

Die Zahl x, die die Bedingung x>-3 erfüllt, wird durch einen Punkt dargestellt, der entweder rechts vom Punkt mit der Koordinate -3 liegt. Die Menge solcher Zahlen bezeichnet (-3; +∞). - 3 Schreiben Sie in ein Notizbuch. Schreiben Sie in ein Notizbuch. Schreiben Sie in ein Notizbuch

3 5 3 5 3 5 3 5 5 -7 3

Selbständiges Arbeiten OPTION 1 OPTION 4 OPTION 2 OPTION 3 WÄHLE EINE OPTION Hilf mir! Und ich und ich. Wähle mich! Wirst du mir helfen?

OPTION 1 1. Zeichnen Sie numerische Intervalle auf die Koordinatenlinie: a). ; b). (-2; +∞); in). [ 3;5) ; d) (- ∞ ; 5 ). 2. Schreiben Sie das in der Abbildung gezeigte Zahlenintervall auf: 3. Welche der Zahlen -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 gehören zum Intervall: a) . [-1,5;6,5]; b).(3; + ∞); in). (- ∞ ;1). 3 7 -5 6 -7 c). a). b). 4. Geben Sie die größte ganze Zahl an, die zum Intervall gehört: a). [-12;-9]; b). (-1;17). DANKE!

OPTION 2 1. Zeichnen Sie numerische Intervalle auf die Koordinatenlinie: a). [ - 3; 0) ; b). [ - 3 ; +∞); in). (- dreißig) ; d).(-∞ ; 0) . 2. Notieren Sie das in der Abbildung gezeigte Zahlenintervall: 3. Welche der Zahlen - 2, 2; - 2, 1; -ein; 0; 0,5; ein; 8, 9 gehören zum Intervall: a). (- 2 , 2 ; 8 , 9 ]; b).(- ∞ ;0 ] ; c). (1 ;+ ∞) . -5 6 3 7 c). a). b). 4. Geben Sie die größte ganze Zahl an, die zum Intervall gehört: a). [-12;-9) ; b). [ -1;17 ] . 2 Hilf mir!

OPTION 3 1. Zeichnen Sie numerische Intervalle auf die Koordinatenlinie: a). (-0,44 ;5) ; b). (10 ; + ∞); in). [0; dreizehn) ; d) (- ∞ ; -0,44 ). 2. Schreiben Sie das in der Abbildung gezeigte Zahlenintervall auf: 3. Nennen Sie alle ganzen Zahlen, die zum Intervall gehören: a). [- 3 ; ein ]; b).(- 3; 1); in 3 ; ein) ; G). (- 3; 1]; . 7 20 -8 6 -7 c). a). b). 4. Geben Sie die kleinste ganze Zahl an, die zum Intervall gehört: a). [-12;-9]; b). (-1;17 ] . Danke, ich freue mich sehr!

OPTION 4 1. Zeichnen Sie numerische Intervalle auf die Koordinatenlinie: a). [-4 ; -0,29]; b). (- ∞ ;+ ∞); in). [ 1,7 ;5 ,9) ; d).(0.01;+ ∞) . 2. Notieren Sie das in der Abbildung gezeigte Zahlenintervall: 3. Nennen Sie alle ganzen Zahlen, die zum Intervall gehören: a). [- 4 ; 3]; b).(-4 ; 3); um 4 ; 3) ; G). (- 4 ; 3 ]; . -4 -1 -5 25 c). a). b). 4. Geben Sie die kleinste ganze Zahl an, die zum Intervall gehört: a). [-12;-9) ; b). (-1;17 ] . -8 Gut gemacht!

Wir rufen das Testprogramm auf Wenn Sie freie Minuten haben, rufen Sie das Testprogramm auf, indem Sie auf das Wort "ANRUFEN" klicken Hausaufgabe Sie können sich für eine andere OPTION entscheiden

Hausaufgaben 1). Zeichnen Sie zwei numerische Intervalle auf derselben Koordinatenlinie, sodass sie gemeinsame Punkte haben (2 Beispiele). 2). Zeichnen Sie zwei numerische Intervalle auf derselben Koordinatenlinie, sodass sie keine gemeinsamen Punkte haben (2 Beispiele). Abschalten

DANKE FÜR DEINE ARBEIT!!!

B) Zahlenstrahl

Betrachten Sie den Zahlenstrahl (Abb. 6):

Betrachten Sie die Menge der rationalen Zahlen

Jede rationale Zahl wird durch einen Punkt auf dem Zahlenstrahl dargestellt. Die Zahlen sind also in der Abbildung markiert.

Beweisen wir das.

Nachweisen. Es sei ein Bruch : . Wir haben das Recht, diesen Bruch als irreduzibel zu betrachten. Seit , dann ist die Zahl gerade: - ungerade. Setzen wir stattdessen den Ausdruck ein, finden wir: , woraus folgt, dass das eine gerade Zahl ist. Wir haben einen Widerspruch erhalten, der die Behauptung beweist.

Es sind also nicht alle Punkte der Zahlenachse vertreten Rationale Zahlen. Die Punkte, die keine rationalen Zahlen darstellen, stellen angerufene Zahlen dar irrational.

Jede Zahl der Form , , ist entweder ganzzahlig oder irrational.

Numerische Spannen

Numerische Segmente, Intervalle, Halbintervalle und Strahlen werden als numerische Intervalle bezeichnet.

Ungleichheit, die eine numerische Lücke definiert	Zahlenlückennotation	Der Name des Nummernkreises	Es liest sich so:
a ≤ x ≤ b	[a; b]	Numerisches Segment	Strecke von a nach b
a< x < b	(a; b)	Intervall	Intervall von a nach b
a ≤ x< b	[a; b)	Halbe Pause	Halbzeit ab a Vor b, einschließlich a.
a< x ≤ b	(a; b]	Halbe Pause	Halbzeit ab a Vor b, einschließlich b.
x ≥ a	[a; +∞)	Zahlenstrahl	Zahlenstrahl aus a bis plus unendlich
x > a	(a; +∞)	Zahlenstrahl öffnen	Nummernstrahl aus öffnen a bis plus unendlich
x ≤ a	(-∞; a]	Zahlenstrahl	Zahlenstrahl von minus unendlich bis a
x< a	(-∞; a)	Zahlenstrahl öffnen	Offener Zahlenstrahl von minus unendlich bis a

Lassen Sie uns auf der Koordinatenlinie die Zahlen darstellen a und b, sowie die Nummer x zwischen ihnen.

Die Menge aller Zahlen, die die Bedingung erfüllen a ≤ x ≤ b, wird genannt numerisches Segment oder nur ein Schnitt. Es ist so gekennzeichnet: a; b]-Es liest sich so: ein Segment von a nach b.

Die Menge der Zahlen, die die Bedingung erfüllen a< x < b , wird genannt Intervall. Es ist so gekennzeichnet: a; b)

Es liest sich so: das Intervall von a nach b.

Mengen von Zahlen, die die Bedingungen a ≤ x erfüllen< b или a<x ≤ b, werden genannt halbe Intervalle. Bezeichnungen:

Setze a ≤ x< b обозначается так:[a; b), wird so gelesen: eine halbe Pause von a Vor b, einschließlich a.

Ein Haufen a<x ≤ b so markiert: a; b], liest sich so: eine halbe Pause von a Vor b, einschließlich b.

Nun stellen Sie sich vor Strahl mit einem Punkt a, rechts und links davon eine Reihe von Zahlen.

a, erfüllt die Bedingung x ≥ a, wird genannt Zahlenstrahl.

Es ist so gekennzeichnet: a; +∞) - Es liest sich so: ein Zahlenstrahl aus a bis plus unendlich.

Viele Zahlen rechts vom Punkt a entsprechend der Ungleichheit x > a, wird genannt Nummernstrahl öffnen.

Es ist so gekennzeichnet: a; +∞) - Es liest sich so: ein offener Zahlenstrahl aus a bis plus unendlich.

a, erfüllt die Bedingung x ≤ a, wird genannt Zahlenstrahl von minus unendlich bisa .

Es ist so beschriftet: -∞; a]-Es liest sich so: ein numerischer Strahl von minus unendlich bis a.

Zahlenreihe links vom Punkt a entsprechend der Ungleichheit x< a , wird genannt Öffnen Sie den numerischen Strahl von minus unendlich bisa .

Es ist so gekennzeichnet: -∞; a) - Es liest sich so: ein offener numerischer Strahl von minus unendlich bis a.

Die Menge der reellen Zahlen wird durch die gesamte Koordinatenlinie dargestellt. Sein Name ist Zahlenreihe. Es ist so beschriftet: - ∞; + ∞ )

3) Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen, ihre Lösungen:

Eine Gleichung, die eine Variable enthält, heißt eine Gleichung mit einer Variablen oder eine Gleichung mit einer Unbekannten. Eine Gleichung mit einer Variablen ist beispielsweise 3(2x+7)=4x-1.

Die Wurzel oder Lösung einer Gleichung ist der Wert einer Variablen, bei dem die Gleichung eine echte numerische Gleichheit wird. Zum Beispiel ist die Zahl 1 die Lösung der Gleichung 2x+5=8x-1. Die Gleichung x2+1=0 hat keine Lösung, weil die linke Seite der Gleichung ist immer größer als Null. Die Gleichung (x+3)(x-4)=0 hat zwei Wurzeln: x1= -3, x2=4.

Das Lösen einer Gleichung bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt.

Gleichungen heißen äquivalent, wenn alle Wurzeln der ersten Gleichung Wurzeln der zweiten Gleichung sind und umgekehrt, alle Wurzeln der zweiten Gleichung Wurzeln der ersten Gleichung sind oder wenn beide Gleichungen keine Wurzeln haben. Beispielsweise sind die Gleichungen x-8=2 und x+10=20 äquivalent, weil die Wurzel der ersten Gleichung x=10 ist auch die Wurzel der zweiten Gleichung, und beide Gleichungen haben die gleiche Wurzel.

Beim Lösen von Gleichungen werden die folgenden Eigenschaften verwendet:

Wenn wir in der Gleichung den Term von einem Teil auf einen anderen übertragen, indem wir sein Vorzeichen ändern, erhalten wir eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.

Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.

Die Gleichung ax=b, wobei x eine Variable und a und b einige Zahlen sind, wird als lineare Gleichung mit einer Variablen bezeichnet.

Wenn a¹0, dann hat die Gleichung eine eindeutige Lösung.

Wenn a=0, b=0, dann erfüllt jeder Wert von x die Gleichung.

Wenn a=0, b¹0, dann hat die Gleichung keine Lösungen, weil 0x=b wird für keinen Wert der Variablen ausgeführt.
Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Lassen Sie uns die Klammern in beiden Teilen der Gleichung öffnen, alle Terme mit x auf die linke Seite der Gleichung verschieben und die Terme, die kein x enthalten, auf die rechte Seite, wir erhalten:

16x-15x=88-40-12

Beispiel 2. Gleichungen lösen:

x3-2x2-98x+18=0;

Diese Gleichungen sind nicht linear, aber wir werden zeigen, wie solche Gleichungen gelöst werden können.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Das Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist, erhalten wir x1=0; x2= .

Antwort: 0; .

Faktorisierung der linken Seite der Gleichung:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), d.h. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Das zeigt, dass die Lösungen dieser Gleichung die Zahlen x1=2, x2=3, x3=-3 sind.

c) Stellen wir 7x als 3x+4x dar, dann haben wir: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4) = 0, also x1=-3, x2=-4.

Antwort: -3; - 4.
Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Erinnern Sie sich an die Definition des Moduls einer Zahl:

Zum Beispiel: ½3½=3, ½0½=0, ½-4½= 4.

In dieser Gleichung stehen unter dem Modulzeichen die Zahlen x-1 und x + 1. Wenn x kleiner als -1 ist, dann ist x+1 negativ, dann ist ½x+1½=-x-1. Und wenn x>-1, dann ½x+1½=x+1. Für x=-1 ½x+1½=0.

Auf diese Weise,

Ähnlich

a) Bedenke gegebene Gleichung½x+1½+½x-1½=3 für x£-1, es ist äquivalent zur Gleichung -x-1-x+1=3, -2x=3, x= , diese Zahl gehört zur Menge x£-1 .

b) Sei -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Betrachten Sie den Fall x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Diese Zahl gehört zur Menge x>1.

Antwort: x1=-1,5; x2=1,5.
Beispiel 4. Lösen Sie die Gleichung:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Lass es uns zeigen kurze Anmerkung Lösung der Gleichung, die das Vorzeichen des Moduls "durch Intervalle" offenbart.

x £-2, -(x + 2) -3x \u003d -2 (x-1), - 4x \u003d 4, x \u003d -2О (-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2W(1; +¥)

Antwort: [-2; 0]
Beispiel 5. Lösen Sie die Gleichung: (a-1) (a + 1) x \u003d (a-1) (a + 2) für alle Werte des Parameters a.

Diese Gleichung hat eigentlich zwei Variablen, betrachtet aber x als Unbekannte und a als Parameter. Es ist erforderlich, die Gleichung in Bezug auf die Variable x für jeden Wert des Parameters a zu lösen.

Wenn a=1, dann hat die Gleichung die Form 0×x=0, jede Zahl erfüllt diese Gleichung.

Wenn a \u003d -1, dann hat die Gleichung die Form 0 × x \u003d -2, diese Gleichung erfüllt keine Zahl.

Wenn a¹1, a¹-1, dann hat die Gleichung eine eindeutige Lösung.

Antwort: Wenn a=1, dann ist x eine beliebige Zahl;

wenn a=-1, dann gibt es keine Lösungen;

wenn a¹±1, dann .

B) Lineare Ungleichungen mit einer Variablen.

Wenn der Variablen x ein numerischer Wert gegeben wird, erhalten wir eine numerische Ungleichung, die entweder eine wahre oder eine falsche Aussage ausdrückt. Gegeben sei zum Beispiel die Ungleichung 5x-1>3x+2. Mit x=2 erhalten wir 5 2-1> 3 2+2 - wahre Aussage (wahre Zahlenaussage); für x=0 erhalten wir 5·0-1>3·0+2 – eine falsche Aussage. Jeder Wert einer Variablen, für den sich eine gegebene Ungleichung mit einer Variablen in eine echte numerische Ungleichung verwandelt, wird als Lösung der Ungleichung bezeichnet. Das Lösen einer Ungleichung mit einer Variablen bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen zu finden.

Zwei Ungleichungen mit einer Variablen x heißen äquivalent, wenn die Lösungsmengen dieser Ungleichungen gleich sind.

Die Hauptidee zur Lösung der Ungleichung ist wie folgt: Wir ersetzen die gegebene Ungleichung durch eine andere, einfachere, aber der gegebenen gleichwertige; die resultierende Ungleichung wird wieder durch eine einfachere äquivalente Ungleichung ersetzt und so weiter.

Solche Ersetzungen werden auf der Grundlage der folgenden Behauptungen durchgeführt.

Satz 1. Wenn ein beliebiger Term der Ungleichung mit einer Variablen von einem Teil der Ungleichung auf einen anderen mit übertragen wird entgegengesetztem Vorzeichen, wobei wir das Ungleichheitszeichen unverändert lassen, dann erhalten wir eine Ungleichung, die der gegebenen entspricht.

Satz 2. Wenn beide Teile einer Ungleichung mit einer Variablen mit derselben positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden, während das Ungleichheitszeichen unverändert bleibt, dann erhält man eine der gegebenen äquivalente Ungleichung.

Satz 3. Wenn beide Teile einer Ungleichung mit einer Variablen mit derselben negativen Zahl multipliziert oder dividiert werden, während das Vorzeichen der Ungleichung in das entgegengesetzte geändert wird, dann wird eine der gegebenen äquivalente Ungleichung erhalten.

Eine Ungleichung der Form ax+b>0 (bzw. ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Beispiel 1. Lösen Sie die Ungleichung: 2(x-3) + 5(1-x)³3(2x-5).

Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir 2x-6 + 5-5x³6x-15,

Numerisches Intervall

Lücke, offene Spanne, Intervall- die Menge der Punkte auf dem Zahlenstrahl, der zwischen zwei gegebenen Zahlen eingeschlossen ist a und b, also eine Reihe von Zahlen x, die Bedingung erfüllt: a < x < b . Das Intervall enthält keine Enden und wird mit ( a,b) (manchmal ] a,b[ ), anders als das Segment [ a,b] (geschlossene Lücke), einschließlich der Enden, dh bestehend aus Punkten.

Bei der Aufnahme ( a,b), Zahlen a und b werden Intervallenden genannt. Das Intervall umfasst alle reellen Zahlen, das Intervall - alle Zahlen kleiner a und Lücke - alle Zahlen sind groß a .

Begriff Lücke in komplexen Begriffen verwendet:

• beim Integrieren - Intervall der Integration,
• beim Verfeinern der Wurzeln der Gleichung - Isolationslücke
• bei der Bestimmung der Konvergenz von Potenzreihen - Konvergenzintervall einer Potenzreihe.

Übrigens, im Englischen das Wort Intervall Schnitt genannt. Und um das Konzept des Intervalls zu bezeichnen, wird der Begriff verwendet offenes Intervall.

Literatur

• Vygodsky M. Ya. Handbuch der höheren Mathematik. Moskau: Astrel, AST, 2002

siehe auch

Verknüpfungen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie, was "Numerisches Intervall" in anderen Wörterbüchern ist:

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Nummer Lücken. Kontext. Definition

Gleichheit (Gleichung) hat einen Punkt auf dem Zahlenstrahl (obwohl dieser Punkt von den durchgeführten Transformationen und der gewählten Wurzel abhängt). Die Lösung der Gleichung selbst ist ein numerischer Satz (manchmal bestehend aus einer einzelnen Zahl). All dies wird jedoch auf dem Zahlenstrahl (Visualisierung der Menge der reellen Zahlen) nur punktweise angezeigt, aber es gibt auch allgemeinere Arten von Beziehungen zwischen zwei Zahlen - Ungleichungen. In ihnen wird der Zahlenstrahl durch eine bestimmte Zahl geteilt und ein bestimmter Teil davon abgeschnitten - der Wert des Ausdrucks oder die numerische Lücke.

Es ist logisch, das Thema Zahlenintervalle zusammen mit Ungleichungen zu diskutieren, aber das bedeutet keineswegs, dass es nur mit ihnen zusammenhängt. Numerische Intervalle (Intervalle, Segmente, Strahlen) sind eine Menge variabler Werte, die eine bestimmte Ungleichheit erfüllen. Das heißt, dies ist tatsächlich die Menge aller Punkte auf dem Zahlenstrahl, begrenzt durch eine Art Rahmen. Daher ist das Thema der numerischen Intervalle am engsten mit dem Konzept verbunden Variable. Wo es eine Variable gibt, oder einen beliebigen Punkt x auf dem Zahlenstrahl, und es wird verwendet, verwendet, gibt es auch numerische Lücken, Intervalle - x-Werte. Oft kann der Wert alles sein, aber das ist auch ein Zahlenbereich, der den gesamten Zahlenstrahl abdeckt.

Lassen Sie uns das Konzept vorstellen Zahlenspanne. Unter Zahlenmengen, also Mengen, deren Objekte Zahlen sind, werden die sogenannten Zahlenintervalle unterschieden. Ihr Wert besteht darin, dass es sehr einfach ist, sich eine Menge vorzustellen, die einem bestimmten Zahlenbereich entspricht, und umgekehrt. Daher ist es mit ihrer Hilfe bequem, die Menge der Lösungen der Ungleichung aufzuschreiben. Während die Lösungsmenge der Gleichung kein Zahlenintervall sein wird, sondern einfach mehrere Zahlen auf dem Zahlenstrahl, treten bei Ungleichungen, also etwaigen Beschränkungen des Wertes der Variablen, Zahlenintervalle auf.

Ein Zahlenintervall ist die Menge aller Punkte auf einem Zahlenstrahl, begrenzt durch eine bestimmte Zahl oder Zahlen (Punkte auf dem Zahlenstrahl).

Ein numerisches Intervall jeglicher Art (eine Menge von x-Werten, die zwischen einigen Zahlen eingeschlossen sind) kann immer durch drei Arten mathematischer Notation dargestellt werden: spezielle Notation für Intervalle, Ketten von Ungleichungen (einfache Ungleichung oder doppelte Ungleichung) oder geometrisch auf a Zahlenreihe. Tatsächlich haben alle diese Bezeichnungen dieselbe Bedeutung. Sie geben eine oder mehrere Einschränkungen für die Werte eines mathematischen Objekts, einer Variablen (einer Variablen, eines beliebigen Ausdrucks mit einer Variablen, einer Funktion usw.) an.

Aus dem Vorstehenden ist ersichtlich, dass die Arten von numerischen Intervallen unterschiedlich sind, da es möglich ist, den Bereich der Zahlenlinie auf unterschiedliche Weise zu begrenzen (es gibt verschiedene Arten von Ungleichungen).

Arten von numerischen Intervallen

Jede Art von numerischem Intervall hat einen eigenen Namen, eine spezielle Bezeichnung. Um numerische Intervalle anzugeben, verwenden Sie runde und eckige Klammern. Die Klammer bedeutet, dass der letzte Punkt auf dem Zahlenstrahl (das Ende) dieser Klammer, der die Grenze definiert, nicht in der Menge der Punkte des angegebenen Intervalls enthalten ist. Die eckige Klammer bedeutet, dass das Ende in der Lücke enthalten ist. Verwenden Sie bei unendlich (auf dieser Seite ist die Spanne nicht begrenzt) eine Klammer. Manchmal können Sie anstelle von runden Klammern auch entgegengesetzt gedrehte eckige Klammern schreiben: (a;b) ⇔]a;b[

Lückentyp (Name)	Geometrische Darstellung (auf dem Zahlenstrahl)	Bezeichnung	Notation mit Ungleichungen (der Kürze halber immer in Ketten)
Intervall (offen)		(a;b)	a< x < b
Abschnitt (Schnitt)			a ≤ x ≤ b
Halbes Intervall (halbes Segment)			a< x ≤ b
Strahl			x ≤ b
offener Strahl		(a;+∞)	x > a
offener Strahl		(-∞;b)	x< b
Die Menge aller Zahlen (auf der Koordinatenlinie)		(-∞;+∞) , obwohl hier der spezifische Mengenträger der Algebra angegeben werden muss, mit der die Arbeit durchgeführt wird; Beispiel:	x ∈(normalerweise sprechen sie über die Menge der reellen Zahlen, um komplexe Zahlen darzustellen, verwenden sie die komplexe Ebene, nicht die gerade Linie)
Gleichberechtigung		oder x=a	x = a (besonderer Fall nicht strenge Ungleichung: a ≤ x ≤ a- ein Intervall der Länge 1, bei dem beide Enden zusammenfallen - ein Segment, das aus einem Punkt besteht)
Leeres Set		∅	Die leere Menge ist auch ein Intervall – die Variable x hat keine Werte (die leere Menge). Bezeichnung: x∈∅⇔x∈( ).

Bei den Namen der Intervalle kann es zu Verwechslungen kommen: Es gibt große Menge Optionen. Daher ist es immer besser, sie genau anzugeben. In der englischen Literatur wird nur der Begriff verwendet Intervall ("Intervall") - offen, geschlossen, halboffen (halbgeschlossen). Es gibt viele Variationen.

Mit Hilfe von Lücken in der Mathematik, einem sehr große Menge Dinge: es gibt Isolationsintervalle beim Lösen von Gleichungen, Integrationsintervalle, Konvergenzintervalle von Reihen. Bei der Untersuchung einer Funktion ist es üblich, ihren Wertebereich und ihren Definitionsbereich immer mit Intervallen zu bezeichnen. Intervalle sind sehr wichtig, zum Beispiel gibt es Satz von Bolzano-Cauchy(mehr dazu auf Wikipedia).

Systeme und Sammlungen von Ungleichungen

System der Ungleichheiten

Die Variable x oder der Wert eines Ausdrucks kann also mit einem konstanten Wert verglichen werden - dies ist eine Ungleichung, aber dieser Ausdruck kann mit mehreren Werten verglichen werden - eine doppelte Ungleichung, eine Kette von Ungleichungen usw. Das ist was wurde oben gezeigt - als Intervall und als Segment. Sowohl dies als auch das ist System der Ungleichheiten.

Also, wenn die Aufgabe darin besteht, eine Menge zu finden gemeinsame Lösungen zwei oder mehr Ungleichungen, dann können wir davon sprechen, ein System von Ungleichungen zu lösen (genau wie bei Gleichungen - obwohl wir sagen können, dass Gleichungen ein Sonderfall sind).

Dann ist es offensichtlich, dass der Wert der in den Ungleichungen verwendeten Variablen, bei dem sich jede von ihnen in den richtigen verwandelt, die Lösung des Systems von Ungleichungen genannt wird.

Alle im System enthaltenen Ungleichungen werden mit einer geschweiften Klammer kombiniert - "(". Manchmal werden sie in Form geschrieben Doppelte Ungleichheit(wie oben gezeigt) oder sogar Kette von Ungleichheiten. Ein Beispiel für eine typische Schreibweise: f x ≤ 30 g x 5 .

Systeme linearer Ungleichungen mit einer Variablen in lösen Allgemeiner Fall kommt auf diese 4 Typen an: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.

Jedes System kann grafisch mithilfe eines Zahlenstrahls gelöst werden. Wo sich die Lösungen der Ungleichungen, aus denen das System besteht, schneiden, gibt es eine Lösung für das System selbst.

Wir präsentieren für jeden Fall eine grafische Lösung.

(1) x>b (2) a Was passiert also? Im Fall (1) ist die Lösung das Intervall (a;+∞). Im Fall (2) ist die Lösung das Intervall (a;b). Fall (3) ist ein Beispiel für einen offenen Balken (-∞;a). Im Fall (4) schneiden sich die Lösungen einzelner Ungleichungen nicht – das System hat keine Lösungen.

Ferner können Ungleichungssysteme als äquivalent klassifiziert werden, wenn sie einen gemeinsamen Lösungssatz haben. Daraus folgt (wie oben zu sehen ist), dass komplexere Systeme vereinfacht werden können (z. B. durch eine geometrische Lösung).

Die geschweifte Klammer kann bedingt, grob gesagt, als das Äquivalent der Vereinigung bezeichnet werden " Und„Für Ungleichheiten

Satz von Ungleichungen

Es gibt jedoch auch andere Fälle. Neben dem Schnittpunkt von Lösungsmengen gibt es also ihre Vereinigung: Wenn die Aufgabe darin besteht, die Menge aller solcher Werte einer Variablen zu finden, von denen jeder eine Lösung für mindestens eine dieser Ungleichungen ist, dann Sie sagen, dass es notwendig ist, eine Reihe von Ungleichungen zu lösen.

Alle Ungleichheiten im Aggregat werden also durch die Klammer des Aggregats "[" vereint. Erfüllt der Wert einer Variablen mindestens eine Ungleichung aus der Menge, so gehört sie zur Lösungsmenge der gesamten Menge. Auch mit Gleichungen (auch hier können sie als Sonderfall bezeichnet werden).

Wenn die geschweifte Klammer ist und, dann ist die Klammer der Sammlung bedingt, vereinfacht ausgedrückt, das Äquivalent der Vereinigung " ODER" für Ungleichungen (obwohl dies natürlich ein logisches Oder sein wird, einschließlich eines Falls, der beide Bedingungen erfüllt).

Die Lösung einer Menge von Ungleichungen ist also der Wert der Variablen, bei dem mindestens eine Ungleichung wahr wird.

Die Menge der Lösungen, sowohl Sammlungen als auch Systeme von Ungleichungen, kann durch zwei grundlegende binäre Operationen zum Arbeiten mit Mengen definiert werden – Schnittmenge und Vereinigung. Die Menge der Lösungen des Systems der Ungleichungen ist Überschneidung Sätze von Lösungen für die Ungleichungen, aus denen sie bestehen. Die Menge der Lösungen einer Menge von Ungleichungen ist Union Sätze von Lösungen für die Ungleichungen, aus denen sie bestehen. Auch das lässt sich veranschaulichen. Angenommen, wir haben ein System und eine Menge von zwei Ungleichungen. Die Lösungsmenge der ersten ist bezeichnet EIN, und bezeichnen die Lösungsmenge der zweiten B. Eine hervorragende Illustration wäre das Euler-Venn-Diagramm.

A ∪ B - Lösung eines Systems von Ungleichungen A ∩ B - Lösung eines Satzes von Ungleichungen