Irrationale Zahlennotation. Was sind rationale und irrationale zahlen

Ganze Zahlen

Die Definition natürlicher Zahlen sind positive ganze Zahlen. Natürliche Zahlen werden zum Zählen von Objekten und für viele andere Zwecke verwendet. Hier sind die Zahlen:

Das ist eine natürliche Zahlenreihe.
Null ist eine natürliche Zahl? Nein, Null ist keine natürliche Zahl.
Wie viele natürliche Zahlen gibt es? Es gibt eine unendliche Menge natürlicher Zahlen.
Was ist die kleinste natürliche Zahl? Eins ist die kleinste natürliche Zahl.
Was ist die größte natürliche Zahl? Sie kann nicht angegeben werden, da es eine unendliche Menge natürlicher Zahlen gibt.

Die Summe natürlicher Zahlen ist eine natürliche Zahl. Also die Addition der natürlichen Zahlen a und b:

Das Produkt natürlicher Zahlen ist eine natürliche Zahl. Also das Produkt der natürlichen Zahlen a und b:

c ist immer eine natürliche Zahl.

Unterschied natürlicher Zahlen Nicht immer gibt es eine natürliche Zahl. Ist der Minuend größer als der Subtrahend, dann ist die Differenz natürlicher Zahlen eine natürliche Zahl, sonst nicht.

Der Quotient natürlicher Zahlen Es gibt nicht immer eine natürliche Zahl. Wenn für die natürlichen Zahlen a und b

wobei c eine natürliche Zahl ist, bedeutet dies, dass a durch b teilbar ist. In diesem Beispiel ist a der Dividende, b der Divisor, c der Quotient.

Der Teiler einer natürlichen Zahl ist die natürliche Zahl, durch die die erste Zahl ohne Restzahl teilbar ist.

Jede natürliche Zahl ist durch 1 und sich selbst teilbar.

Einfache natürliche Zahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Hier meinen wir komplett geteilt. Beispiel, Zahlen 2; 3; 5; 7 ist nur durch 1 und sich selbst teilbar. Das sind einfache natürliche Zahlen.

Eins gilt nicht als Primzahl.

Zahlen, die größer als eins und keine Primzahlen sind, heißen zusammengesetzte Zahlen. Beispiele für zusammengesetzte Zahlen:

Eins gilt nicht als zusammengesetzte Zahl.

Die Menge der natürlichen Zahlen besteht aus Eins, Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem lateinischen Buchstaben N bezeichnet.

Eigenschaften der Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen:

Kommutative Eigenschaft der Addition

Assoziativgesetz der Addition

(a + b) + c = a + (b + c);

Kommutativgesetz der Multiplikation

Assoziativgesetz der Multiplikation

(ab)c = a(bc);

Distributivgesetz der Multiplikation

A (b + c) = ab + ac;

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen sind natürliche Zahlen, Null und das Gegenteil von natürlichen Zahlen.

Den natürlichen Zahlen entgegengesetzte Zahlen sind negative ganze Zahlen, zum Beispiel:

1; -2; -3; -4;...

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem lateinischen Buchstaben Z bezeichnet.

Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind ganze Zahlen und Brüche.

Jede rationale Zahl kann als periodischer Bruch dargestellt werden. Beispiele:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Aus den Beispielen ist ersichtlich, dass jede ganze Zahl ein periodischer Bruch mit einer Periode von Null ist.

Jede rationale Zahl kann als Bruch m/n dargestellt werden, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Stellen wir die Zahl 3,(6) aus dem vorherigen Beispiel als solchen Bruch dar.

Zahlen zu verstehen, insbesondere natürliche Zahlen, ist eine der ältesten mathematischen "Fähigkeiten". Viele Zivilisationen, auch moderne, schrieben Zahlen aufgrund ihrer großen Bedeutung für die Beschreibung der Natur einige mystische Eigenschaften zu. Obwohl moderne Wissenschaft und die Mathematik diese "magischen" Eigenschaften nicht bestätigt, ist die Bedeutung der Zahlentheorie unbestreitbar.

Historisch gesehen tauchten zunächst viele natürliche Zahlen auf, dann wurden ihnen ziemlich bald Brüche und positive Zahlen hinzugefügt. irrationale Zahlen. Null und negative Zahlen wurden nach diesen Teilmengen der Menge der reellen Zahlen eingeführt. Die letzte Menge, die Menge der komplexen Zahlen, erschien erst mit der Entwicklung der modernen Wissenschaft.

In der modernen Mathematik werden Zahlen nicht in historischer Reihenfolge eingeführt, obwohl sie ihr ziemlich nahe kommen.

Natürliche Zahlen $\mathbb(N)$

Die Menge der natürlichen Zahlen wird oft als $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ bezeichnet und oft mit Null aufgefüllt, um $\mathbb(N)_0$ zu bezeichnen.

$\mathbb(N)$ definiert die Operationen Addition (+) und Multiplikation ($\cdot$) mit die folgenden Eigenschaften für beliebige $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ die Menge $\mathbb(N)$ ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ Kommutativität
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ Assoziativität
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ Distributivität
5. $a\cdot 1=a$ ist das neutrale Element für die Multiplikation

Da die Menge $\mathbb(N)$ ein neutrales Element für die Multiplikation, aber nicht für die Addition enthält, stellt das Hinzufügen von Null zu dieser Menge sicher, dass sie ein neutrales Element für die Addition enthält.

Zusätzlich zu diesen beiden Operationen sind auf der Menge $\mathbb(N)$ die Relationen "kleiner als" ($

1. $a b$ Trichotomie
2. wenn $a\leq b$ und $b\leq a$, dann ist $a=b$ eine Antisymmetrie
3. wenn $a\leq b$ und $b\leq c$, dann ist $a\leq c$ transitiv
4. wenn $a\leq b$, dann $a+c\leq b+c$
5. wenn $a\leq b$, dann $a\cdot c\leq b\cdot c$

Ganze Zahlen $\mathbb(Z)$

Beispiele für Ganzzahlen:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Die Lösung der Gleichung $a+x=b$, wobei $a$ und $b$ bekannte natürliche Zahlen sind und $x$ eine unbekannte natürliche Zahl ist, erfordert die Einführung einer neuen Operation - Subtraktion(-). Wenn es eine natürliche Zahl $x$ gibt, die diese Gleichung erfüllt, dann ist $x=b-a$. Diese spezielle Gleichung hat jedoch nicht unbedingt eine Lösung auf der Menge $\mathbb(N)$, daher erfordern praktische Überlegungen, die Menge der natürlichen Zahlen so zu erweitern, dass sie Lösungen für eine solche Gleichung enthält. Dies führt zur Einführung einer Menge von ganzen Zahlen: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Da $\mathbb(N)\subset\mathbb(Z)$, ist es logisch anzunehmen, dass die zuvor eingeführten Operationen $+$ und $\cdot$ und die Relation $ 1. $0+a=a+0=a$ es gibt ein neutrales Element für Ergänzungen
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ zu $a$ gibt es eine Gegenzahl $-a$

5. Eigentum:
5. wenn $0\leq a$ und $0\leq b$, dann $0\leq a\cdot b$

Auch die Menge $\mathbb(Z) $ ist subtraktionsabgeschlossen, also $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Rationale Zahlen $\mathbb(Q)$

Beispiele Rationale Zahlen:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Betrachten Sie nun Gleichungen der Form $a\cdot x=b$, wobei $a$ und $b$ bekannte ganze Zahlen und $x$ unbekannt sind. Um die Lösung zu ermöglichen, ist es notwendig, die Divisionsoperation ($:$) einzuführen, und die Lösung wird zu $x=b:a$, d. h. $x=\frac(b)(a)$. Auch hier tritt das Problem auf, dass $x$ nicht immer zu $\mathbb(Z)$ gehört, also muss die Menge der ganzen Zahlen erweitert werden. Wir führen also die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb(Q)$ mit den Elementen $\frac(p)(q)$ ein, wobei $p\in \mathbb(Z)$ und $q\in \mathbb(N) $. Die Menge $\mathbb(Z)$ ist eine Teilmenge, in der jedes Element $q=1$ ist, also $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ und die Operationen der Addition und Multiplikation erstrecken sich auch auf diese Menge . die folgenden Regeln, die alle obigen Eigenschaften auch auf der Menge $\mathbb(Q)$ bewahren:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Die Teilung wird wie folgt eingegeben:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Auf der Menge $\mathbb(Q)$ hat die Gleichung $a\cdot x=b$ für jedes $a\neq 0$ eine eindeutige Lösung (es ist keine Division durch Null definiert). Das bedeutet, dass es ein inverses Element $\frac(1)(a)$ oder $a^(-1)$ gibt:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Die Ordnung der Menge $\mathbb(Q)$ lässt sich wie folgt erweitern:
$\frac(p_1)(q_1)

Die Menge $\mathbb(Q)$ hat eine wichtige Eigenschaft: Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen gibt es unendlich viele andere rationale Zahlen, daher gibt es im Gegensatz zu den Mengen natürlicher und ganzzahliger Zahlen keine zwei benachbarten rationalen Zahlen.

Irrationale Zahlen $\mathbb(I)$

Beispiele für irrationale Zahlen:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Da es zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen unendlich viele andere rationale Zahlen gibt, kann leicht der irrtümliche Schluss gezogen werden, dass die Menge der rationalen Zahlen so dicht ist, dass sie nicht weiter erweitert werden muss. Sogar Pythagoras hat einmal einen solchen Fehler gemacht. Diese Schlussfolgerung wurde jedoch bereits von seinen Zeitgenossen widerlegt, als sie Lösungen der Gleichung $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) auf der Menge der rationalen Zahlen untersuchten. Um eine solche Gleichung zu lösen, ist es notwendig, das Konzept einer Quadratwurzel einzuführen, und dann hat die Lösung dieser Gleichung die Form $x=\sqrt(2)$. Eine Gleichung vom Typ $x^2=a$, wobei $a$ eine bekannte rationale Zahl und $x$ eine unbekannte ist, hat nicht immer eine Lösung auf der Menge der rationalen Zahlen, und auch hier besteht ein Bedarf um den Satz zu erweitern. Es entsteht eine Menge irrationaler Zahlen, und solche Zahlen wie $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... gehören zu dieser Menge.

Reelle Zahlen $\mathbb(R)$

Die Vereinigung der Mengen rationaler und irrationaler Zahlen ist die Menge der reellen Zahlen. Wegen $\mathbb(Q)\subset\mathbb(R)$ ist es wiederum logisch anzunehmen, dass die eingeführten arithmetischen Operationen und Relationen ihre Eigenschaften auf der neuen Menge behalten. Der formale Beweis dafür ist sehr schwierig, deshalb werden die oben erwähnten Eigenschaften von Rechenoperationen und Relationen auf der Menge der reellen Zahlen als Axiome eingeführt. In der Algebra wird ein solches Objekt als Körper bezeichnet, daher wird die Menge der reellen Zahlen als geordneter Körper bezeichnet.

Damit die Definition der Menge der reellen Zahlen vollständig ist, muss noch ein weiteres Axiom eingeführt werden, das die Mengen $\mathbb(Q)$ und $\mathbb(R)$ unterscheidet. Nehmen Sie an, dass $S$ eine nicht leere Teilmenge der Menge der reellen Zahlen ist. Ein Element $b\in \mathbb(R)$ heißt obere Schranke von $S$, wenn $\für alle x\in S$ $x\leq b$ erfüllt. Dann heißt die Menge $S$ von oben beschränkt. Die kleinste obere Schranke einer Menge $S$ heißt Supremum und wird mit $\sup S$ bezeichnet. Die Begriffe einer unteren Grenze, einer nach unten begrenzten Menge und eines Infinums $\inf S$ werden auf ähnliche Weise eingeführt. Nun wird das fehlende Axiom wie folgt formuliert:

Jede nicht leere und von oben begrenzte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen hat ein Supremum.
Es kann auch bewiesen werden, dass der oben definierte Körper der reellen Zahlen eindeutig ist.

Komplexe Zahlen$\mathbb(C)$

Beispiele für komplexe Zahlen:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ wobei $i = \sqrt(-1)$ oder $i^2 = -1$

Die Menge der komplexen Zahlen sind alle geordneten Paare reeller Zahlen, also $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, auf denen die Operationen der Addition und Multiplikation sind wie folgt definiert:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Es gibt mehrere Möglichkeiten, komplexe Zahlen zu schreiben, die gebräuchlichste ist $z=a+ib$, wobei $(a,b)$ ein Paar reeller Zahlen ist, und die Zahl $i=(0,1)$ heißt imaginäre Einheit.

Es ist leicht zu zeigen, dass $i^2=-1$. Die Erweiterung der Menge $\mathbb(R)$ zur Menge $\mathbb(C)$ ermöglicht uns die Definition Quadratwurzel negativer Zahlen, was der Grund für die Einführung der Menge der komplexen Zahlen war. Es ist auch leicht zu zeigen, dass eine Teilmenge der Menge $\mathbb(C)$ gegeben als $\mathbb(C)_0=\lbrace(a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ alle erfüllt die Axiome für reelle Zahlen, also $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, oder $R\subset\mathbb(C)$.

Die algebraische Struktur der Menge $\mathbb(C)$ bezüglich der Additions- und Multiplikationsoperationen hat folgende Eigenschaften:
1. Kommutativität von Addition und Multiplikation
2. Assoziativität von Addition und Multiplikation
3. $0+i0$ - neutrales Element für die Addition
4. $1+i0$ - neutrales Element für die Multiplikation
5. Multiplikation ist distributiv in Bezug auf Addition
6. Es gibt ein einziges inverses Element sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation.

Die Menge der irrationalen Zahlen wird normalerweise mit einem lateinischen Großbuchstaben bezeichnet Ich (\displaystyle \mathbb (I) ) fett ohne Füllung. Auf diese Weise: Ich = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), das heißt, die Menge der irrationalen Zahlen ist die Differenz zwischen der Menge der reellen und der rationalen Zahlen.

Die Existenz irrationaler Zahlen, genauer gesagt Segmente, die mit einem Segment der Einheitslänge inkommensurabel sind, war bereits den alten Mathematikern bekannt: Sie kannten beispielsweise die Inkommensurabilität der Diagonalen und der Seite des Quadrats, was der Irrationalität entspricht der Nummer.

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Irrational sind:

Beispiele für Irrationalitätsbeweise

Wurzel von 2

Sagen wir das Gegenteil: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rational, das heißt als Bruch dargestellt mn (\displaystyle (\frac (m)(n))), wo m (\displaystyle m) ist eine ganze Zahl, und n (\displaystyle n)- natürliche Zahl .
Lassen Sie uns die vermeintliche Gleichheit quadrieren:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rechtspfeil m^(2)=2n^(2)).
Geschichte

Antike

Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde von indischen Mathematikern im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit übernommen, als Manawa (ca. 750 v. Chr. - ca. 690 v. Chr.) herausfand, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können [ ] .
Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird gewöhnlich Hippasus von Metapontus (ca. 500 v. Chr.), einem Pythagoräer, zugeschrieben. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gibt, die ausreichend klein und unteilbar ist und eine ganzzahlige Anzahl von Malen in jedem Segment enthalten ist [ ] .
Es gibt keine genauen Daten über die Irrationalität dieser Zahl, die von Hippasus bewiesen wurde. Der Legende nach fand er es, indem er die Seitenlängen des Pentagramms studierte. Daher ist es vernünftig anzunehmen, dass dies der goldene Schnitt war [ ] .
Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen Alogos(unaussprechlich), aber den Legenden nach wurde Hippasus nicht der gebührende Respekt gezollt. Es gibt eine Legende, dass Hippasus die Entdeckung während einer Seereise machte und von anderen Pythagoräern über Bord geworfen wurde, „weil er ein Element des Universums erschaffen hatte, das die Doktrin leugnet, dass alle Wesen im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können. " Die Entdeckung des Hippas stellte die pythagoreische Mathematik vor ernstes Problem, was die Annahme zerstört, die der ganzen Theorie zugrunde liegt, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar sind.

Rationale Zahl ist eine Zahl, die durch einen gewöhnlichen Bruch m/n dargestellt wird, wobei der Zähler m eine ganze Zahl und der Nenner n eine natürliche Zahl ist. Jede rationale Zahl kann als periodisch unendlich dargestellt werden Dezimalbruch. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.

Wenn eine reelle Zahl nicht rational ist, dann ist sie es irrationale Zahl. Dezimalbrüche, die irrationale Zahlen ausdrücken, sind unendlich und nicht periodisch. Die Menge der irrationalen Zahlen wird üblicherweise mit dem lateinischen Großbuchstaben I bezeichnet.

Die reale Nummer wird angerufen algebraisch, wenn es sich um eine Wurzel eines Polynoms (Grad ungleich Null) mit rationalen Koeffizienten handelt. Jede nicht algebraische Zahl wird aufgerufen transzendent.

Einige Eigenschaften:
Beim Lösen von Problemen ist es zweckmäßig, zusammen mit der irrationalen Zahl a + b√ c (wobei a, b rationale Zahlen sind, c eine ganze Zahl ist, die kein Quadrat einer natürlichen Zahl ist), die Zahl mit „konjugiert“ zu betrachten it a - b√ c: seine Summe und sein Produkt mit den ursprünglichen - rationalen Zahlen. Also sind a + b√ c und a – b√ c Wurzeln quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.

Probleme mit Lösungen

1. Beweisen Sie das

a) Zahl √ 7;

b) Nummer lg 80;

c) Zahl √ 2 + 3 √ 3;

ist irrational.

a) Nehmen Sie an, dass die Zahl √ 7 rational ist. Dann gibt es teilerfremde p und q mit √ 7 = p/q, woraus wir p 2 = 7q 2 erhalten. Da p und q teilerfremd sind, ist p 2, und daher ist p durch 7 teilbar. Dann ist р = 7k, wobei k eine natürliche Zahl ist. Daher ist q 2 = 7k 2 = pk, was der Tatsache widerspricht, dass p und q teilerfremd sind.

Die Annahme ist also falsch, also ist die Zahl √ 7 irrational.

b) Nehmen Sie an, dass die Zahl lg 80 rational ist. Dann gibt es natürliche p und q mit lg 80 = p/q oder 10 p = 80 q , woraus wir 2 p–4q = 5 q–p erhalten. Unter Berücksichtigung, dass die Zahlen 2 und 5 teilerfremd sind, erhalten wir, dass die letzte Gleichheit nur für p–4q = 0 und q–p = 0 möglich ist. Daraus folgt p = q = 0, was unmöglich ist, da p und q sind gewählt, um natürlich zu sein.

Die Annahme ist also falsch, also ist die Zahl lg 80 irrational.

c) Bezeichnen wir diese Zahl mit x.

Dann (x - √ 2) 3 \u003d 3 oder x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). Nachdem wir diese Gleichung quadriert haben, erhalten wir, dass x die Gleichung erfüllen muss

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Seine rationalen Wurzeln können nur die Zahlen 1 und -1 sein. Die Prüfung zeigt, dass 1 und -1 keine Wurzeln sind.

Die gegebene Zahl √ 2 + 3 √ 3 ist also irrational.

2. Es ist bekannt, dass die Zahlen a, b, √ ein –√ b ,- Vernünftig. Beweise das √a und √b sind ebenfalls rationale Zahlen.

Betrachten Sie das Produkt

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Nummer √ a + √ b , was gleich dem Verhältnis der Zahlen a – b und ist √ ein –√ b , ist rational, weil der Quotient zweier rationaler Zahlen eine rationale Zahl ist. Summe zweier rationaler Zahlen

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

ist eine rationale Zahl, ihre Differenz,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

ebenfalls eine rationale Zahl ist, was zu beweisen war.

3. Beweisen Sie, dass es positive irrationale Zahlen a und b gibt, für die die Zahl a b natürlich ist.

4. Gibt es rationale Zahlen a, b, c, d, die die Gleichheit erfüllen?

(a+b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

wobei n eine natürliche Zahl ist?

Wenn die in der Bedingung gegebene Gleichheit erfüllt ist und die Zahlen a, b, c, d rational sind, dann ist auch die Gleichheit erfüllt:

(a-b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Aber 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Der resultierende Widerspruch beweist, dass die ursprüngliche Gleichheit unmöglich ist.

Antwort: Sie existieren nicht.

5. Wenn Strecken mit den Längen a, b, c ein Dreieck bilden, dann gilt für alle n = 2, 3, 4, . . . Segmente mit den Längen n √ a , n √ b , n √ c bilden ebenfalls ein Dreieck. Beweise es.

Bilden Strecken mit den Längen a, b, c ein Dreieck, so ergibt sich die Dreiecksungleichung

Deshalb haben wir

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ ein + n √ b > n √ c .

Die restlichen Fälle der Überprüfung der Dreiecksungleichung werden ähnlich betrachtet, woraus die Schlussfolgerung folgt.

6. Beweisen Sie, dass der unendliche Dezimalbruch 0,1234567891011121314... (alle natürlichen Zahlen sind der Reihe nach nach dem Komma aufgelistet) eine irrationale Zahl ist.

Wie Sie wissen, werden rationale Zahlen als Dezimalbrüche ausgedrückt, die ab einem bestimmten Vorzeichen einen Punkt haben. Es genügt also zu beweisen, dass dieser Bruch vorzeichenlos periodisch ist. Angenommen, dies ist nicht der Fall, und eine Folge T, die aus n Ziffern besteht, ist die Periode eines Bruchs, beginnend mit der m-ten Dezimalstelle. Es ist klar, dass es nach der m-ten Ziffer Nicht-Null-Ziffern gibt, also gibt es in der Ziffernfolge T eine Nicht-Null-Ziffer. Das bedeutet, dass ab der m-ten Ziffer nach dem Komma unter n beliebigen Ziffern in einer Reihe eine Ziffer ungleich Null steht. In der Dezimalschreibweise dieses Bruchs muss es jedoch eine Dezimalschreibweise für die Zahl 100...0 = 10 k geben, wobei k > m und k > n. Es ist klar, dass dieser Eintrag rechts von der m-ten Ziffer steht und mehr als n Nullen hintereinander enthält. Damit erhalten wir einen Widerspruch, der den Beweis vervollständigt.

7. Gegeben sei ein unendlicher Dezimalbruch 0,a 1 a 2 ... . Beweisen Sie, dass die Ziffern in ihrer Dezimalschreibweise so umgestellt werden können, dass der resultierende Bruch eine rationale Zahl ausdrückt.

Denken Sie daran, dass ein Bruch genau dann eine rationale Zahl ausdrückt, wenn er periodisch ist und von einem Vorzeichen ausgeht. Wir unterteilen die Zahlen von 0 bis 9 in zwei Klassen: in die erste Klasse zählen wir die Zahlen, die endlich oft im ursprünglichen Bruch vorkommen, in die zweite Klasse die, die im ursprünglichen Bruch vorkommen Unendliche Nummer Einmal. Beginnen wir mit dem Schreiben eines periodischen Bruchs, der aus der ursprünglichen Permutation der Ziffern erhalten werden kann. Zuerst schreiben wir nach Null und Komma in zufälliger Reihenfolge alle Zahlen der ersten Klasse – jede so oft, wie sie in der Eingabe des ursprünglichen Bruchs vorkommt. Die geschriebenen erstklassigen Ziffern werden dem Punkt im Bruchteil der Dezimalzahl vorangestellt. Als nächstes schreiben wir die Zahlen aus der zweiten Klasse einmal in irgendeiner Reihenfolge auf. Wir werden diese Kombination als Punkt deklarieren und unendlich oft wiederholen. Somit haben wir den erforderlichen periodischen Bruch ausgeschrieben, der eine rationale Zahl ausdrückt.

8. Beweisen Sie, dass es in jedem unendlichen Dezimalbruch eine Folge von Dezimalziffern beliebiger Länge gibt, die bei der Erweiterung des Bruchs unendlich oft vorkommt.

Sei m eine beliebig gegebene natürliche Zahl. Lassen Sie uns diesen unendlichen Dezimalbruch in Segmente mit jeweils m Ziffern aufteilen. Es wird unendlich viele solcher Segmente geben. Andererseits gibt es nur 10 m verschiedene Systeme, die aus m Ziffern bestehen, also eine endliche Zahl. Folglich muss hier mindestens eines dieser Systeme unendlich oft wiederholt werden.

Kommentar. Für irrationale Zahlen √ 2 , π bzw e wir wissen nicht einmal, welche Ziffer in den unendlichen Dezimalzahlen, die sie darstellen, unendlich oft wiederholt wird, obwohl leicht gezeigt werden kann, dass jede dieser Zahlen mindestens zwei verschiedene solcher Ziffern enthält.

9. Beweisen Sie auf elementare Weise, dass die positive Wurzel der Gleichung

ist irrational.

Für x > 0 wächst die linke Seite der Gleichung mit x, und es ist leicht zu erkennen, dass sie bei x = 1,5 kleiner als 10 und bei x = 1,6 größer als 10 ist. Daher ist die einzige positive Wurzel von die Gleichung liegt innerhalb des Intervalls (1,5 ; 1,6).

Wir schreiben die Wurzel als irreduziblen Bruch p/q, wobei p und q einige teilerfremde natürliche Zahlen sind. Dann nimmt die Gleichung für x = p/q die folgende Form an:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

woraus folgt, dass p ein Teiler von 10 ist, daher ist p gleich einer der Zahlen 1, 2, 5, 10. Wenn wir jedoch Brüche mit den Zählern 1, 2, 5, 10 ausschreiben, bemerken wir sofort, dass keine von sie in das Intervall (1,5; 1,6) fällt.

Die positive Wurzel der ursprünglichen Gleichung kann also nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden, was bedeutet, dass es sich um eine irrationale Zahl handelt.

10. a) Gibt es drei Punkte A, B und C in der Ebene, so dass für jeden Punkt X die Länge mindestens einer der Strecken XA, XB und XC irrational ist?

b) Die Koordinaten der Ecken des Dreiecks sind rational. Beweisen Sie, dass auch die Koordinaten des Mittelpunktes ihres umschriebenen Kreises rational sind.

c) Gibt es eine Sphäre, auf der es genau einen rationalen Punkt gibt? (Ein rationaler Punkt ist ein Punkt, für den alle drei kartesischen Koordinaten rationale Zahlen sind.)

a) Ja, das gibt es. Sei C der Mittelpunkt der Strecke AB. Dann ist XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Wenn die Zahl AB 2 irrational ist, dann können die Zahlen XA, XB und XC nicht gleichzeitig rational sein.

b) Seien (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) und (a 3 ; b 3) die Koordinaten der Ecken des Dreiecks. Die Koordinaten des Mittelpunktes seines umschriebenen Kreises sind durch das Gleichungssystem gegeben:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Es ist leicht zu überprüfen, dass diese Gleichungen linear sind, was bedeutet, dass die Lösung des betrachteten Gleichungssystems rational ist.

c) Eine solche Sphäre existiert. Zum Beispiel eine Kugel mit der Gleichung

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Punkt O mit den Koordinaten (0; 0; 0) ist ein rationaler Punkt, der auf dieser Kugel liegt. Die restlichen Punkte der Kugel sind irrational. Beweisen wir es.

Nehmen Sie das Gegenteil an: Sei (x; y; z) ein rationaler Punkt der Kugel, verschieden vom Punkt O. Es ist klar, dass x von 0 verschieden ist, denn für x = 0 gibt es eine eindeutige Lösung (0; 0 ;0), was uns jetzt nicht interessieren kann. Lassen Sie uns die Klammern erweitern und √ 2 ausdrücken:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

was für rationales x, y, z und irrationales √ 2 nicht gelten kann. Also ist O(0; 0; 0) der einzige rationale Punkt auf der betrachteten Kugel.

Probleme ohne Lösungen

1. Beweisen Sie, dass die Zahl

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

ist irrational.

2. Für welche ganzen Zahlen m und n gilt die Gleichheit (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Gibt es eine Zahl a, bei der die Zahlen a - √ 3 und 1/a + √ 3 ganze Zahlen sind?

4. Können die Zahlen 1, √ 2, 4 Mitglieder (nicht unbedingt benachbarte) einer arithmetischen Folge sein?

5. Beweisen Sie, dass für jede positive ganze Zahl n die Gleichung (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 keine Lösungen in rationalen Zahlen (x; y) hat.

Definition einer irrationalen Zahl

Irrationale Zahlen sind solche Zahlen, die in Dezimalschreibweise unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche sind.

So sind zum Beispiel Zahlen, die durch Ziehen der Quadratwurzel aus natürlichen Zahlen erhalten werden, irrational und keine Quadrate von natürlichen Zahlen. Aber nicht alle irrationalen Zahlen werden durch das Ziehen von Quadratwurzeln erhalten, da die durch Dividieren erhaltene Zahl "pi" ebenfalls irrational ist und Sie sie wahrscheinlich nicht erhalten werden, wenn Sie versuchen, die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl zu ziehen.

Eigenschaften irrationaler Zahlen

Im Gegensatz zu Zahlen, die in unendlichen Dezimalbrüchen geschrieben werden, werden nur irrationale Zahlen in nichtperiodischen unendlichen Dezimalbrüchen geschrieben.
Die Summe zweier nicht negativer irrationaler Zahlen kann schließlich eine rationale Zahl sein.
Irrationale Zahlen definieren Dedekind-Abschnitte in der Menge der rationalen Zahlen, die in der Unterklasse keine haben eine große Anzahl, und es gibt keinen kleineren im oberen.
Jede reelle transzendente Zahl ist irrational.
Alle irrationalen Zahlen sind entweder algebraisch oder transzendent.
Die Menge der irrationalen Zahlen auf der Linie ist dicht gepackt, und zwischen zwei beliebigen ihrer Zahlen muss zwangsläufig eine irrationale Zahl stehen.
Die Menge der irrationalen Zahlen ist unendlich, nicht abzählbar und ist eine Menge der 2. Kategorie.
Wenn Sie eine arithmetische Operation mit rationalen Zahlen ausführen, außer der Division durch 0, ist das Ergebnis eine rationale Zahl.
Bei der Addition einer rationalen Zahl zu einer irrationalen Zahl ist das Ergebnis immer eine irrationale Zahl.
Wenn wir irrationale Zahlen addieren, können wir als Ergebnis eine rationale Zahl erhalten.
Die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht gerade.

Zahlen sind nicht irrational

Manchmal ist es ziemlich schwierig, die Frage zu beantworten, ob eine Zahl irrational ist, insbesondere in Fällen, in denen die Zahl in Form eines Dezimalbruchs oder in Form eines numerischen Ausdrucks, einer Wurzel oder eines Logarithmus vorliegt.
Daher ist es nicht überflüssig zu wissen, welche Zahlen nicht irrational sind. Wenn wir der Definition irrationaler Zahlen folgen, wissen wir bereits, dass rationale Zahlen nicht irrational sein können.
Irrationale Zahlen sind nicht:
Erstens alle natürlichen Zahlen;
Zweitens ganze Zahlen;
Drittens gewöhnliche Brüche;
Viertens verschiedene gemischte Nummern;
Fünftens sind dies unendliche periodische Dezimalbrüche.
Zusätzlich zu all dem oben Gesagten kann jede Kombination von rationalen Zahlen, die durch die Vorzeichen von arithmetischen Operationen wie +, -, , :, ausgeführt wird, keine irrationale Zahl sein, da in diesem Fall das Ergebnis von zwei rationalen Zahlen ebenfalls sein wird eine rationale Zahl sein.
Lassen Sie uns nun sehen, welche der Zahlen irrational sind:

Wissen Sie von der Existenz eines Fanclubs, in dem Fans dieses mysteriösen mathematischen Phänomens nach immer mehr Informationen über Pi suchen und versuchen, sein Geheimnis zu lüften? Mitglied dieses Clubs kann jeder werden, der eine bestimmte Anzahl von Pi-Zahlen nach dem Komma auswendig kennt;
Wussten Sie, dass es in Deutschland unter dem Schutz der UNESCO den Palast Castadel Monte gibt, dank dessen Proportionen Sie Pi berechnen können? Dieser Zahl wurde von König Friedrich II. ein ganzes Schloss gewidmet.
Es stellt sich heraus, dass versucht wurde, die Zahl Pi im Bauwesen zu verwenden Turm von Babylon. Dies führte jedoch zu unserem großen Bedauern zum Scheitern des Projekts, da damals die genaue Berechnung des Pi-Wertes nicht ausreichend untersucht wurde.
Sängerin Kate Bush nahm auf ihrer neuen CD einen Song namens "Pi" auf, der einhundertvierundzwanzig Nummern aus der berühmten Nummernreihe 3, 141 erklang ... ..

Irrationale Zahlennotation. Was sind rationale und irrationale zahlen

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen

Rationale Zahlen

Natürliche Zahlen $\mathbb(N)$

Ganze Zahlen $\mathbb(Z)$

Rationale Zahlen $\mathbb(Q)$

Irrationale Zahlen $\mathbb(I)$

Reelle Zahlen $\mathbb(R)$

Komplexe Zahlen$\mathbb(C)$

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Beispiele für Irrationalitätsbeweise

Wurzel von 2

Geschichte

Antike

Probleme mit Lösungen

Probleme ohne Lösungen

Definition einer irrationalen Zahl

Eigenschaften irrationaler Zahlen

Zahlen sind nicht irrational