Numerische Lücken Erklärung des Themas. Numerische Segmente, Intervalle, Halbintervalle und Strahlen werden als numerische Intervalle bezeichnet

Unter den Zahlensätzen, das heißt setzt, deren Objekte Zahlen sind, unterscheiden die sogenannten Nummer Lücken. Ihr Wert besteht darin, dass es sehr einfach ist, sich eine Menge vorzustellen, die einem bestimmten Zahlenbereich entspricht, und umgekehrt. Daher ist es mit ihrer Hilfe bequem, die Menge der Lösungen der Ungleichung aufzuschreiben.

In diesem Artikel werden wir alle Arten von numerischen Intervallen analysieren. Hier geben wir ihre Namen, führen die Notation ein, zeichnen numerische Intervalle auf die Koordinatenlinie und zeigen auch, welche einfachsten Ungleichungen ihnen entsprechen. Abschließend werden wir alle Informationen in Form einer Tabelle mit numerischen Intervallen visuell darstellen.

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Arten von numerischen Intervallen

Jedes numerische Intervall hat vier untrennbar miteinander verbundene Dinge:

der Name des Nummernkreises,
entsprechende Ungleichung oder doppelte Ungleichung,
Bezeichnung,
und sein geometrisches Bild in Form eines Bildes auf einer Koordinatenlinie.

Jedes numerische Intervall kann auf eine der letzten drei Arten in der Liste angegeben werden: entweder durch eine Ungleichung oder durch eine Bezeichnung oder durch sein Bild auf einer Koordinatenlinie. Und gem diese Methode Aufgaben, zum Beispiel durch Ungleichung, andere werden leicht wiederhergestellt (in unserem Fall die Notation und das geometrische Bild).

Kommen wir zu den Einzelheiten. Lassen Sie uns alle numerischen Intervalle auf den vier oben angegebenen Seiten beschreiben.

Beginnen wir mit einer Beschreibung des numerischen Intervalls, genannt Nummernstrahl öffnen. Beachten Sie, dass das Adjektiv "offen" oft weggelassen wird, wodurch der Name offen bleibt.

Dieses Zahlenintervall entspricht den einfachsten Ungleichungen mit Eins Variable eingeben x a , wobei a eine reelle Zahl ist. Das heißt, gemäß der Bedeutung der geschriebenen Ungleichungen besteht der offene Zahlenstrahl aus allen, die kleiner als die Zahl a sind (im Fall der Ungleichung x a).

Die Menge der Zahlen, die die Ungleichung x erfüllen a , wie (a, +∞) .

Es bleibt das geometrische Bild des offenen Strahls zu zeigen, daraus wird deutlich, dass das betrachtete numerische Intervall nicht zufällig einen solchen Namen erhielt. Wenden wir uns zu. Es ist bekannt, dass zwischen seinen Punkten und reellen Zahlen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung besteht, wodurch die Koordinatenlinie als Zahlenlinie bezeichnet werden kann. Und wenn man darüber spricht Zahlen vergleichen Wir haben festgestellt, dass sich die größere Zahl auf der Koordinatenlinie rechts von der kleineren befindet und die kleinere links von der größeren. Aus diesen Überlegungen ergibt sich die Ungleichung x a - Punkte, die rechts von Punkt a liegen. Die Zahl a selbst erfüllt diese Ungleichungen nicht, um dies in der Zeichnung zu betonen, wird sie als Punkt mit leerem Zentrum dargestellt. Über den Punkten, die Zahlen entsprechen, die die Ungleichung erfüllen, ist eine schräge Schattierung dargestellt:

Aus den obigen Zeichnungen ist ersichtlich, dass diese Zahlenintervalle Teilen der Zahlenreihe entsprechen, die sind Strahlen beginnend bei Punkt a , aber ohne Punkt a selbst. Mit anderen Worten, sie sind Strahlen ohne Anfang. Daher der Name - offener Zahlenstrahl.

Lassen Sie uns einige konkrete Beispiele für offene numerische Strahlen geben. Die strenge Ungleichung x>−3 definiert also einen offenen Zahlenstrahl. Sie wird auch durch die Notation (−3, ∞) definiert. Und auf der Koordinatenlinie ist dieses numerische Intervall eine Menge von Punkten, die rechts von dem Punkt mit der Koordinate −3 liegen, ohne diesen Punkt selbst einzuschließen. Ein weiteres Beispiel: Ungleichung x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой

Wir gehen zu den numerischen Intervallen der folgenden Form über - Zahlenstrahlen. Geometrisch unterscheiden sie sich von offenen Trägern dadurch, dass der Trägeranfang nicht verworfen wird. Mit anderen Worten, das geometrische Bild solcher Zahlenintervalle ist ein vollwertiger Strahl.

Was das Spezifizieren numerischer Strahlen unter Verwendung von Ungleichungen betrifft, so entsprechen sie den nicht strengen Ungleichungen x≤a oder x≥a . Sie werden mit (−∞, a] und bezeichnet. Und das geometrische Bild einer numerischen Strecke ist eine Strecke zusammen mit ihren Enden:

Beispielsweise kann ein numerisches Segment, das durch eine doppelte Ungleichung gegeben ist, als bezeichnet werden, auf der Koordinatenlinie entspricht es einem Segment, das an Punkten endet, die die Koordinatenwurzel von zwei und Wurzel von drei haben.

Es bleibt nur noch über die genannten numerischen Intervalle zu sprechen halbe Intervalle. Sie stellen sozusagen eine Zwischenmöglichkeit zwischen einem Intervall und einem Segment dar, da sie einen der Randpunkte beinhalten. Die Halbzeiten sind durch doppelte Ungleichungen a gegeben

Tabelle der numerischen Intervalle

Im vorherigen Absatz haben wir also die folgenden numerischen Intervalle definiert und beschrieben:

offener Zahlenstrahl;
Zahlenstrahl;
Intervall;
Halbzeit.

Der Einfachheit halber fassen wir alle Daten zu numerischen Intervallen in einer Tabelle zusammen. Geben wir den Namen des numerischen Intervalls, die zugehörige Ungleichung, die Notation und das Bild auf der Koordinatenlinie ein. Wir bekommen folgendes Bereichstabelle:

Referenzliste.

Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkowitsch A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.

Numerisches Intervall

Lücke, offene Lücke, Intervall- die Menge der Punkte auf dem Zahlenstrahl, der zwischen zwei gegebenen Zahlen eingeschlossen ist a und b, also eine Reihe von Zahlen x, die Bedingung erfüllt: a < x < b . Das Intervall enthält keine Enden und wird mit ( a,b) (manchmal ] a,b[ ), anders als das Segment [ a,b] (geschlossene Lücke), einschließlich der Enden, dh bestehend aus Punkten.

Bei der Aufnahme ( a,b), Zahlen a und b werden Intervallenden genannt. Das Intervall umfasst alle reellen Zahlen, das Intervall - alle Zahlen kleiner a und Lücke - alle Zahlen sind groß a .

Begriff Lücke in komplexen Begriffen verwendet:

beim Integrieren - Intervall der Integration,
beim Verfeinern der Wurzeln der Gleichung - Isolationslücke
bei der Bestimmung der Konvergenz von Potenzreihen - Konvergenzintervall einer Potenzreihe.

Übrigens, im Englischen das Wort Intervall Schnitt genannt. Und um das Konzept des Intervalls zu bezeichnen, wird der Begriff verwendet offenes Intervall.

Literatur

Vygodsky M. Ya. Handbuch der höheren Mathematik. Moskau: Astrel, AST, 2002

siehe auch

Verknüpfungen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie, was "Numerisches Intervall" in anderen Wörterbüchern ist:

Von lat. Intervall Intervall, Abstand: In der Musik: Intervall ist das Verhältnis der Tonhöhen zweier Töne; das Verhältnis der Schallfrequenzen dieser Töne. In der Mathematik: Ein Intervall (Geometrie) ist eine Menge von Punkten auf einer geraden Linie, die zwischen den Punkten A und B eingeschlossen ist, ... ... Wikipedia

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Ein Intervall, ein offenes Intervall, ein Intervall ist eine Menge von Punkten einer Zahlengerade, die zwischen zwei gegebenen Zahlen a und b eingeschlossen ist, dh eine Menge von Zahlen x, die die Bedingung erfüllen: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

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Beschriftungen der Folien:

Klasse 7 Numerische Intervalle Mathematiklehrerin: Bakhvalova G.S. Gymnasium №52

Unterrichtsziele: 1. Einführung in das Konzept eines numerischen Intervalls; 2. Die Fähigkeit zu vermitteln, numerische Lücken auf dem Zahlenstrahl darzustellen und sie zu benennen. 3. Logisches Denken entwickeln: analysieren, vergleichen. Unterrichtsplan: 1. Wissensaktualisierung: "Koordinatenachse". 2. Neues Thema: "Numerische Intervalle". 3. Pädagogisch selbstständiges Arbeiten. 4. Die Ergebnisse des Unterrichts.

Beende die Aufgabe: 1. Markiere Punkte auf dem Zahlenstrahl mit Koordinaten: A (-2); UM 5); O(0); C(5); D(-3).

Antwort: 1. A(-2); UM 5); O(0); C(3); D(-3). 0 A B C 1 0 D

Beende die Aufgabe: 2. Vergleiche die Zahlen: -2 und 5; 5 und 0; -2 und -3; 5 und 3; 0 und -2.

Antwort: -2 0; -2 > -3; 5 > 3; 0 > -2. überprüfe dich selbst

Vervollständigen Sie die Aufgabe mündlich: 3. Welche der angegebenen Zahlen auf dem Zahlenstrahl ist links: -2 oder 5; 5 oder 0; -2 oder -3; 5 oder 3; 0 oder -2. SCHLUSSFOLGERUNG: Von den beiden Zahlen auf dem Zahlenstrahl befindet sich die kleinere Zahl links und die größere rechts.

Wir markieren auf der Koordinatenlinie Punkte mit den Koordinaten - 3 und 2. Wenn sich der Punkt zwischen ihnen befindet, entspricht er einer Zahl, die größer als -3 und kleiner als 2 ist. Das Gegenteil gilt auch: Wenn die Zahl x die Bedingung erfüllt - 3Folie 9

Die Menge aller Zahlen, die die Bedingung erfüllen 3Folie 10

Die Zahl x, die die Bedingung -3 ≤ x ≤ 2 erfüllt, wird durch einen Punkt dargestellt, der entweder zwischen den Punkten mit den Koordinaten -3 und 2 liegt oder mit einem von ihnen zusammenfällt. Die Menge solcher Zahlen wird mit [-3;2] bezeichnet. - 3 2 Schreiben Sie in Ihr Heft. Schreiben Sie in Ihr Heft. Schreiben Sie in Ihr Heft

Die Zahl x, die die Bedingung x ≤ 2 erfüllt, wird durch einen Punkt dargestellt, der entweder links vom Punkt mit der Koordinate 2 liegt oder mit ihm zusammenfällt. Die Menge solcher Zahlen wird mit (-∞;2) bezeichnet. 2 Schreibe in dein Heft. Schreibe in dein Heft. Schreibe in dein Heft

Die Zahl x, die die Bedingung x>-3 erfüllt, wird durch einen Punkt dargestellt, der entweder rechts vom Punkt mit der Koordinate -3 liegt. Die Menge solcher Zahlen bezeichnet (-3; +∞). - 3 Schreiben Sie in ein Notizbuch. Schreiben Sie in ein Notizbuch. Schreiben Sie in ein Notizbuch

3 5 3 5 3 5 3 5 5 -7 3

Selbständiges Arbeiten OPTION 1 OPTION 4 OPTION 2 OPTION 3 WÄHLE EINE OPTION Hilf mir! Und ich und ich. Wähle mich! Wirst du mir helfen?

OPTION 1 1. Zeichnen Sie numerische Intervalle auf die Koordinatenlinie: a). ; b). (-2; +∞); in). [ 3;5) ; d) (- ∞ ; 5 ). 2. Schreiben Sie das in der Abbildung gezeigte Zahlenintervall auf: 3. Welche der Zahlen -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 gehören zum Intervall: a) . [-1,5;6,5]; b).(3; + ∞); in). (- ∞ ;1). 3 7 -5 6 -7 c). a). b). 4. Geben Sie die größte ganze Zahl an, die zum Intervall gehört: a). [-12;-9]; b). (-1;17). DANKE!

OPTION 2 1. Zeichnen Sie numerische Intervalle auf die Koordinatenlinie: a). [ - 3; 0) ; b). [ - 3 ; +∞); in). (- dreißig) ; d).(-∞ ; 0) . 2. Notieren Sie das in der Abbildung gezeigte Zahlenintervall: 3. Welche der Zahlen - 2, 2; - 2, 1; -ein; 0; 0,5; ein; 8, 9 gehören zum Intervall: a). (- 2 , 2 ; 8 , 9 ]; b).(- ∞ ;0 ] ; c). (1 ;+ ∞) . -5 6 3 7 c). a). b). 4. Geben Sie die größte ganze Zahl an, die zum Intervall gehört: a). [-12;-9) ; b). [ -1;17 ] . 2 Hilf mir!

OPTION 3 1. Zeichnen Sie numerische Intervalle auf die Koordinatenlinie: a). (-0,44 ;5) ; b). (10 ; + ∞); in). [0; dreizehn) ; d) (- ∞ ; -0,44 ). 2. Schreiben Sie das in der Abbildung gezeigte Zahlenintervall auf: 3. Nennen Sie alle ganzen Zahlen, die zum Intervall gehören: a). [- 3 ; ein ]; b).(- 3; 1); in 3 ; ein) ; G). (- 3; 1]; . 7 20 -8 6 -7 c). a). b). 4. Geben Sie die kleinste ganze Zahl an, die zum Intervall gehört: a). [-12;-9]; b). (-1;17 ] . Danke, ich freue mich sehr!

OPTION 4 1. Zeichnen Sie numerische Intervalle auf die Koordinatenlinie: a). [-4 ; -0,29]; b). (- ∞ ;+ ∞); in). [ 1,7 ;5 ,9) ; d).(0.01;+ ∞) . 2. Notieren Sie das in der Abbildung gezeigte Zahlenintervall: 3. Nennen Sie alle ganzen Zahlen, die zum Intervall gehören: a). [- 4 ; 3]; b).(-4 ; 3); um 4 ; 3) ; G). (- 4 ; 3 ]; . -4 -1 -5 25 c). a). b). 4. Geben Sie die kleinste ganze Zahl an, die zum Intervall gehört: a). [-12;-9) ; b). (-1;17 ] . -8 Gut gemacht!

Wir rufen das Testprogramm auf Wenn Sie freie Minuten haben, rufen Sie das Testprogramm auf, indem Sie auf das Wort "ANRUFEN" klicken Hausaufgabe Sie können sich für eine andere OPTION entscheiden

Hausaufgaben 1). Zeichnen Sie zwei numerische Intervalle auf derselben Koordinatenlinie, sodass sie gemeinsame Punkte haben (2 Beispiele). 2). Zeichnen Sie auf derselben Koordinatenlinie zwei numerische Intervalle, sodass sie keine haben Gemeinsame Punkte(2 Beispiele). Abschalten

DANKE FÜR DEINE ARBEIT!!!

Antwort - Die Menge (-∞;+∞) wird als Zahlengerade bezeichnet, und jede Zahl wird als Punkt dieser Geraden bezeichnet. Sei a ein beliebiger Punkt auf der reellen Geraden und δ

Positive Zahl. Das Intervall (a-δ; a+δ) heißt die δ-Umgebung des Punktes a.

Die Menge X ist von oben (von unten) beschränkt, wenn es eine solche Zahl c gibt, dass für jedes x ∈ X die Ungleichung x≤с (x≥c) erfüllt ist. Die Zahl c heißt in diesem Fall die obere (untere) Grenze der Menge X. Eine sowohl nach oben als auch nach unten beschränkte Menge heißt beschränkt. Die kleinste (größte) der oberen (unteren) Flächen einer Menge wird die exakte obere (untere) Grenze dieser Menge genannt.

Ein Zahlenintervall ist eine zusammenhängende Menge reeller Zahlen, das heißt, wenn 2 Zahlen zu dieser Menge gehören, dann gehören auch alle dazwischen eingeschlossenen Zahlen zu dieser Menge. Es gibt gewissermaßen verschiedene Arten von nicht leeren numerischen Intervallen: Linie, offener Strahl, geschlossener Strahl, Liniensegment, halbes Intervall, Intervall

Zahlenreihe

Die Menge aller reellen Zahlen wird auch Zahlenstrahl genannt. Sie schreiben.

In der Praxis besteht keine Notwendigkeit, zwischen dem Begriff eines Koordinaten- oder Zahlenstrahls im geometrischen Sinne und dem durch diese Definition eingeführten Begriff eines Zahlenstrahls zu unterscheiden. Daher werden diese unterschiedlichen Konzepte mit dem gleichen Begriff bezeichnet.

offener Strahl

Die Zahlenmenge mit oder heißt offener Zahlenstrahl. Schreiben bzw.: .

geschlossener Strahl

Die Zahlenmenge mit oder heißt geschlossener Zahlenstrahl. Schreiben bzw.:

Die Menge von Zahlen, die als Zahlensegment bezeichnet wird.

Kommentar. Die Definition sagt das nicht. Es wird davon ausgegangen, dass der Fall möglich ist. Dann verwandelt sich das numerische Intervall in einen Punkt.

Intervall

Eine Reihe von Zahlen wie z. B. wird als numerisches Intervall bezeichnet.

Kommentar. Die Übereinstimmung der Bezeichnungen eines offenen Balkens, einer geraden Linie und eines Intervalls ist kein Zufall. Ein offener Strahl kann als Intervall verstanden werden, dessen eines Ende ins Unendliche entfernt ist, und eine Zahlenlinie - als Intervall, dessen beide Enden ins Unendliche entfernt sind.

Halbe Pause

Die Menge von Zahlen, bei denen oder als numerisches Halbintervall bezeichnet wird.

Schreiben bzw.

3.Funktion.Funktionsdiagramm. Möglichkeiten, eine Funktion einzustellen.

Antwort - Wenn zwei Variablen x und y gegeben sind, dann sagen sie, dass die Variable y eine Funktion der Variablen x ist, wenn eine solche Beziehung zwischen diesen Variablen gegeben ist, die es jedem Wert ermöglicht, den Wert von y eindeutig zu bestimmen.

Die Notation F = y(x) bedeutet, dass wir eine Funktion betrachten, die es ermöglicht, dass jeder Wert der unabhängigen Variablen x (von denen, die das Argument x überhaupt annehmen kann) den entsprechenden Wert der abhängigen Variablen y findet.

Möglichkeiten, eine Funktion einzustellen.

Eine Funktion kann durch eine Formel definiert werden, zum Beispiel:

y \u003d 3x2 - 2.

Die Funktion kann durch einen Graphen angegeben werden. Anhand des Diagramms können Sie bestimmen, welcher Wert der Funktion dem angegebenen Wert des Arguments entspricht. Normalerweise ist dies ein Näherungswert der Funktion.

4. Die Hauptmerkmale der Funktion: Monotonie, Parität, Periodizität.

Antworten - Periodizitätsdefinition. Eine Funktion f heißt periodisch, falls es eine solche Zahl gibt
, dass f(x+
)=f(x), für alle x D(w). Natürlich gibt es unendlich viele solcher Zahlen. Die kleinste positive Zahl ^ T heißt Periode der Funktion. Beispiele. A. y \u003d cos x, T \u003d 2 . B. y \u003d tg x, T \u003d . S. y = (x), T = 1. D. y = , diese Funktion ist nicht periodisch. Paritätsdefinition. Eine Funktion f wird auch dann aufgerufen, wenn für alle x aus D(f) die Eigenschaft f(-x) = f(x) erfüllt ist. Wenn f (-x) = -f (x), dann heißt die Funktion ungerade. Ist keine dieser Beziehungen erfüllt, so heißt die Funktion Funktion allgemeiner Form. Beispiele. A. y \u003d cos (x) - gerade; B. y \u003d tg (x) - ungerade; S. y \u003d (x); y=sin(x+1) – allgemeine Funktionen. Monotonie-Definition. Eine Funktion f: X -> R heißt steigend (fallend), wenn überhaupt
Bedingung ist erfüllt:
Definition. Eine Funktion X -> R heißt monoton auf X, wenn sie auf X zu- oder abnimmt. Wenn f auf einigen Teilmengen von X monoton ist, dann heißt es stückweise monoton. Beispiel. y \u003d cos x ist eine stückweise monotone Funktion.

Benennen Sie nach diesem analytischen Modell das entsprechende Zahlenintervall, klicken Sie dazu auf die Zahl, daneben stehen. x>12 x 12 RICHTIG! OFFENER STRAHL prüfen 12 x 12 RICHTIG! Prüfen Sie 1 2 4 3 FREISTRAHL "> 12 x 12 RICHTIG! Prüfen Sie 1 2 4 3 FREISTRAHL" > 12 x 12 RICHTIG! Check 1 2 4 3 OPEN BEAM" title="(!LANG: Benennen Sie anhand dieses Berechnungsmodells das entsprechende Zahlenintervall, klicken Sie dazu auf die Zahl daneben. x> 12 x 12 RICHTIG! Check 1 2 4 3 OFFENER STRAHL"> title="Benennen Sie nach diesem analytischen Modell das entsprechende Zahlenintervall, klicken Sie dazu auf die Zahl daneben. x>12 x 12 RICHTIG! Überprüfen Sie 1 2 4 3 OFFENER STRAHL"> !}

Benennen Sie nach diesem analytischen Modell das entsprechende Zahlenintervall, klicken Sie dazu auf die Zahl daneben. x x -7 RICHTIG! BEAM-Check

Benennen Sie nach diesem geometrischen Modell das entsprechende Zahlenintervall, klicken Sie dazu auf die Zahl daneben. x -3 RICHTIG! BEAM-Check

Benennen Sie nach diesem geometrischen Modell das entsprechende Zahlenintervall, klicken Sie dazu auf die Zahl neben RICHTIG! Überprüfen Sie x HALBINTERVALL

X17 RICHTIG! Kontrolle Nach diesem geometrischen Muster benennen Sie das entsprechende Zahlenintervall, klicken Sie dazu mit der Maus auf die Zahl daneben. OFFENER STRAHL

Benennen Sie zu dieser Bezeichnung das entsprechende geometrische Modell, klicken Sie dazu auf die Zahl daneben. RECHTS! x 7 9 x 7 9 x 9 7 x SELBSTINTERVALL

RECHTS! Benennen Sie nach dieser Bezeichnung das entsprechende geometrische Modell, klicken Sie dazu auf die daneben stehende Zahl x 8 x 8 x 8 x INTERCEPT

RECHTS! Benennen Sie zu dieser Bezeichnung das entsprechende geometrische Modell, klicken Sie dazu auf die Zahl daneben. -8 x x x x OFFENER STRAHL

3 x -10-3, Wählen Sie die Zahlen aus, die zu diesem Intervall gehören, klicken Sie dazu auf die Zahl.

8 19 х Wählen Sie die zu dem angegebenen Intervall gehörenden Zahlen aus, klicken Sie dazu auf die Zahl. 8 19 х Wählen Sie die zu dem angegebenen Intervall gehörenden Zahlen aus, klicken Sie dazu auf die Zahl.

Geometrisches Modell Bezeichnung Name des numerischen Intervalls Analytisches Modell Tabelle ausfüllen 2 x x x 3 ? Liniensegment? ? ? Strahl?? x 25?? Intervall? x -3 ??? ? Halbe Pause?? 2x???