Энэ тохиолдолд түүний цэгүүдийн координатыг тогтооно оновчтой илэрхийллүүд t хувьсагчаас? Энэ асуултын хариулт нь муруйн тэгшитгэлээс хамаарна. Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талд хамгийн ихдээ хоёр зэрэгтэй x ба y олон гишүүнт байвал нэг хувьсагчийн рационал функцийг ашиглан муруйны цэгүүдийг тодорхойлох боломжтой (жишээ нь Бодлого 21.11). Хэрэв муруйг 2-оос их градусын тэгшитгэлээр өгсөн бол дүрмээр бол түүний цэгүүдийн координатыг рационал функцээр тогтоох боломжгүй: энэ нь x3 + y3 = 1 муруйн хувьд аль хэдийн тохиолдсон тохиолдол юм.

Даалгавар 21.11. Дараах муруйнуудын цэгүүдийн координатыг оновчтой функцуудыг ашиглан тодорхойлно уу.

a) x2 + 4y2 = 1 тэгшитгэлтэй эллипс;

б) xy = 1 тэгшитгэлтэй гипербол;

в) x2 - y2 = 1 тэгшитгэлтэй гиперболууд.

Чиглэл. b) Хэрэв x = t бол у = 1 / t болно. в) Зүүн талыг хүчин зүйл.

Даалгавар 21.12. a) x2 + y2 = 1 тэгшитгэлийн таван шийдийг эерэг рационал тоогоор илэрхийл.

б) a2 + b2 = c2 тэгшитгэлийн таван шийдийг натурал тоогоор илэрхийл.

§ 22. Бүтээлийг нийлбэр болгон, нийлбэрийг бүтээл болгон хувиргах

Нийлбэрийн синус ба зөрүүний синусын томъёог нэг дор бичье.

нүгэл (α + β) = sin α cos β + cos α sin β; нүгэл (α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

Эдгээр томьёог нэмснээр бид нүгэл (α + β) + нүгэл (α − β) = 2 sin α cos β, эсвэл олж авна.

sin α cos β = 1 2 (нүгэл (α + β) + нүгэл (α - β)).

Нийлбэрийн косинус ба зөрүүний томъёог ашиглан ижил төстэй байдлаар бид дараахь зүйлийг авна.

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β; cos (α + β) - cos (α - β) = −2 sin α sin β,

Ийм томъёог хаанаас олж авдаг:

cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β))

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β))

Бид тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс тэдгээрийн нийлбэр рүү шилжих боломжийг олгодог томьёог олж авсан. Одоо нийлбэрээс бүтээгдэхүүн рүү шилжих шилжилтийг өөр чиглэлд хэрхэн хийхийг сурцгаая.

Жишээлбэл, томъёог авч үзье

2 sin α cos β = нүгэл (α + β) + нүгэл (α - β).

Бид энэ томьёоны баруун талд α + β-г х, α - β-г у гэж тэмдэглэв. α + β = x ба α - β = у тэгшитгэлүүдийг нэмж хасахад α = (x + y) / 2, β = (x - y) / 2 байна. Эдгээр илэрхийллийг томьёоны зүүн талд орлуулж, томъёог баруунаас зүүн тийш уншвал эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна.

sin x + sin y = 2 sin x + y cosx - y. 2 2

Сая олж авсан томъёонд y-ийн оронд −y-г орлуулж,

sin x - sin y = 2 sin x - y cosx + y. 2 2

Хэрэв бид cos α cos β болон sin α sin β-ийн томъёог sin α cos β-ийн томьёотой ижил аргаар боловсруулбал дараах зүйлийг олж авна.

(хоёр дахь томьёоны хасах тэмдгийг анхаарна уу).

Даалгавар 22.1. Эдгээр томъёог батал.

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах томъёог геометрийн аргаар олж авч болно. Маш их

үнэндээ бид векторын гарал үүслийг хойшлуулдаг

1-ийн урттай ба бүрэлдэх

тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй

абсцисса өнцөг α ба β тус тус; байг

(зураг 22.1). Дараа нь мэдээжийн хэрэг

OA = (cos α; sin α),

OB = (cos β; sin β),

= (cos α + cos β; sin α + sin β).

Нөгөө талаас, OA = OB = 1 тул OACB параллелограмм нь ромб юм. Иймд OC нь AOB өнцгийн биссектриса,

эндээс BOC =

α − 2

Мөн OBC тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд

Вектороос хойш

абсцисса тэнхлэгтэй β + өнцөг үүсгэнэ

Вектор координатын хоёр илэрхийлэлийг харьцуулах

cos α + cos β = 2 cos

нүгэл α + нүгэл β = 2 нүгэл

бидний гаргаж авсан томъёоны дагуу.

Даалгавар 22.2. Тодорхойлолтыг нотлох:

a) нүгэл (α + β) нүгэл (α - β) + нүгэл (β + γ) нүгэл (β - γ) +

Нүгэл (γ + α) нүгэл (γ - α) = 0;

б) 4 нүгэл α нүгэл (π / 3 - α) нүгэл (π / 3 + α) = нүгэл 3α;

в) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α = 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Даалгавар 22.3. α + β + γ = π гэж үзвэл тэгш байдлыг батал.

б) нүгэл α + нүгэл β + нүгэл γ = 4 cos

в) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Даалгавар 22.4. a, b, c талуудын эсрэг гурвалжинд α, β, γ өнцгүүд хэвтэнэ. Томьёог батлах:

			α − 2 β					α − 2 β

Эдгээр томъёог Региомонтаны томьёо буюу шүргэгч теорем гэж нэрлэдэг.

Даалгавар 22.5. a) α + β + γ + δ = π гэсэн таамаглалын дагуу ижил төстэй байдлыг батална уу:

нүгэл α нүгэл γ + нүгэл β нүгэл δ = нүгэл (α + β) нүгэл (β + γ).

б) ABCD дөрвөн өнцөгтийг тойрог дотор бичжээ. AB CD + BC AD = AC BD (бичлэгдсэн дөрвөлжинд эсрэг талуудын үржвэрийн нийлбэр нь диагональуудын үржвэртэй тэнцүү байна - Птолемейн теорем) гэдгийг батал.

Энэ хэсэгт бидний судалсан томъёог радио инженерчлэлд ашигладаг. Бид радиогоор хөтлөгчийн дуу хоолойг 300 давтамжтайгаар дамжуулах хэрэгтэй гэж бодъё. Ийм дээр бага давтамжуудрадио дамжуулах боломжгүй: өргөн нэвтрүүлэгт ашигладаг радио долгионы давтамжийг сая саяар хэмжиж болно. Долгион

ийм давтамжийг дараах байдлаар ашигладаг. Хөтлөгч чимээгүй байхад зөвхөн радио долгион цацагдана өндөр давтамжω (зөөгч давтамж - 22.2 а-р зураг дээрх графикийг харна уу).

Энэ дохиогоор ямар ч мэдээлэл дамжуулахгүй. Одоо чанга яригч η давтамжтай дуу чимээ гаргаж эхэлье (η ω-ээс хамаагүй бага); дараа нь u = (A sin ηt) sin ωt дохио агаарт гарна. Түүний ойролцоох графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 22.2 б. Өндөр давтамжийн ω хэлбэлзлийн далайц нь өөрөө бага давтамжтай η хэлбэлзэлтэй байдаг гэж бид хэлж чадна. Тэдний хэлснээр өндөр давтамжийн дохиог бага давтамжийн дохиогоор зохицуулдаг (энэ бүхэн хүлээн авагчид юу болж байгааг харуулсан бүдүүлэг диаграмм юм).

Бид модуляцлагдсан дохионы илэрхийлэлийг хувиргадаг.

u = A sin ηt sin ωt = A 2 cos (ω - η) t −A 2 cos (ω + η) t.

Таны харж байгаагаар бидний модуляцлагдсан дохио нь ω + η ба ω - η давтамжтай дохионы нийлбэрээс өөр зүйл биш юм. Тиймээс тэд радио станцыг ω = 10 давтамжтайгаар дамжуулж байна гэж хэлэхэд үнэндээ зөвхөн ω давтамжийн радио долгионууд агаарт ордоггүй, мөн интервалаас бүх давтамжийн долгионууд ордог гэдгийг санах хэрэгтэй. ω −η; ω + η] энд η нь радио станцаас дамжуулж буй ашигтай дохионы хамгийн их давтамж юм. Энэ нь өөр өөр радио станцуудын зөөвөрлөгчийн давтамж нь бие биедээ хэт ойр байж болохгүй гэсэн үг юм: хэрвээ сегментүүд [ω −η; ω + η] давхцаж, дараа нь радио станцууд бие биедээ саад болно.

Энэ хэсгийн томъёоны өөр нэг хэрэглээ бол арифметикийг бүрдүүлдэг тоонуудын косинус эсвэл синусуудын нийлбэрийг тооцоолох явдал юм.

физик прогресс (физикийн хувьд ийм тооцоог дифракцийн үзэгдлийг судлахад ашигладаг).

Бид илэрхийллийг хялбарчлах хэрэгтэй гэж бодъё

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10 цаг).

Эхлэхийн тулд бид энэ асуудлыг геометрийн аргаар шийдэж, дараа нь томъёогоо түүнд хэрхэн ашиглахыг харуулах болно. Дараах векторуудыг авч үзье: a0 = (cos α; sin α), a1 = (cos (α + h); sin (α + h)),. ... ... , a10 = (cos (α + 10 цаг); нүгэл (α + 10 цаг)). Шаардлагатай нийлбэр нь a0 + a1 + векторын абсцисса байх нь ойлгомжтой. ... ... + a10. Энэ векторуудын нийлбэрийг олъё.

Үүнийг хийхийн тулд бид эх үүсвэрээс OA1 = a0, A1 цэгээс A1 A2 = a1 гэх мэтийг хойшлуулна (Зураг 22.3). Дараа нь a0 + a1 +. ... ... + a10 = OA11.

Цагаан будаа. 22.3. OA1 = a0, A1 A2 = a1,. ... ... , A10 A11 = a10.

OA векторын координатыг олохын тулд түүний урт ба абсцисса тэнхлэгт налуу өнцгийг олно. Үүнийг хийхийн тулд OA1, A1 A2, сегмент бүрийг анхаарна уу. ... ... 1-ийн урттай бөгөөд өмнөхтэй харьцуулахад ижил өнцөг h радианаар эргэлддэг. Тиймээс О, А1, А2, цэгүүд. ... ... , A11 нэг тойрог дээр хэвтэж байна. Түүний төв Z нь OA1 ба A1 A2 сегментүүдийн перпендикуляр огтлолцох цэг юм. Хэрэв FZ ба GZ нь эдгээр перпендикуляр бол F ZG = h, ингэснээр F ZA1 = h / 2 ба R тойргийн радиус нь F A1 / sin F ZA1 = 1/2 sin (h / 2) -тай тэнцүү байна (санах хэрэгтэй). уртаас

OA1 ба A1 A2 зүсэлт нь нэгтэй тэнцүү). Учир нь OZA1 = = A1 ZA2 =. ... ... = A10 ZA11 = h, дараа нь OZA11 = 11 цаг, мөн OZA11 тэгш өнцөгт гурвалжнаас бид байна.

OA11		OZA11

OA11 векторын абсцисса тэнхлэгт налуу өнцгийг олохын тулд солино

Төвийн өнцөг A1 ZA11 = 10h гэдгийг анхаарна уу, ингэснээр бичээстэй байна

A1 A11 нуман дээр тулгуурласан A11 OA1 өнцөг нь 10 цаг / 2 = 5 цаг, A11 OX = A11 OA1 + α = α + 5 цаг байна. Тэр бол,

OA11 = (OA11 cos (α + 5 цаг); OA11 sin (α + 5 цаг)) =
	нүгэл 11 цаг cos (α + 5 цаг)	нүгэл 11 цаг нүгэл (α + 5 цаг)

OA11 векторын координатын хоёр бичлэгийг харьцуулж үзвэл бид томъёог авна.

cos α + cos (α + h) + cos (α + 2h) +. ... ... + cos (α + 10h) =

	нүгэл 11 цаг cos (α + 5 цаг)
нүгэл α + нүгэл (α + h) + нүгэл (α + 2ц) +. ... ... + нүгэл (α + 10цаг) =
			нүгэл 11 цаг нүгэл (α + 5 цаг)

Эдгээр томъёоны эхнийх нь бидний зорьж байсан зүйл, хоёр дахь нь дагалдах бүтээгдэхүүн болж гарсан.

Таны харж байгаагаар тооцоолол нэлээд урт болсон. Нэмж дурдахад, 22.3-р зурагт байгаа зургийг зөвхөн хангалттай жижиг h-д авсан бөгөөд том h-ийн хувьд тасархай шугам OA1 · · · A10 A11 нь бүхэл бүтэн тойргийг тойрч, нэгээс олон удаа тойрч болно гэдгийг педант уншигч анзаарч магадгүй юм. зураг нь өөр байх болно. Үнэн хэрэгтээ бидний томъёолол бүх α ба h-ийн хувьд үнэн (хэрэв хуваагч sin (h / 2) нь тэг биш бол); гэхдээ сүүлийнх нь зөвхөн зарим бүхэл n тооны хувьд h = 2πn тохиолдолд л боломжтой бөгөөд дараа нь ямар ч томьёогүйгээр тодорхой байна. нийлбэр байна

- нүгэл α + м -

Үүнийг томьёодоо орлуулбал нийлбэр нь тэнцүү байна

α + 2

Нүгэл α + 10 + 2

h - нүгэл α + 9 + 2

Хэрэв та хаалтыг нээвэл, үүнээс бусад бүх нөхцөл хүчингүй болно

- нүгэл α -							h ба нийлбэр нь байх болно
	нүгэл (α + (10 + 2 1) ц) - нүгэл (α −h 2)							2 син 11 2 цаг cos (α + 5 цаг)

(бид нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хөрвүүлсэн). Тоолуур ба хуваагч дахь хоёрыг цуцалснаар бид геометрийн аргаар олсон ижил томьёог авна.

Бидний хоёр дахь тооцоо илүү богино бөгөөд эхнийхээс хялбаргэхдээ бага байгалийн. Комплекс тоонуудтай танилцсанаар бид ийм нийлбэрийг хамгийн натурал (хамгийн богино биш ч гэсэн) аргаар хэрхэн олохыг сурах болно.

Аравдугаар ангид сурагчид алгебрийн тригонометр гэх мэт хэсгийг үзэх болно. Үүнийг олон тооны хичээлээр судлах болно.

Тригонометр нь өөрөө шинжлэх ухааны хувьд хоёр мянга гаруй жилийн өмнө гарч ирсэн. Тригонометрийн функцийг илэрхийлэхэд ердийн алгебрийн үйлдлүүд хангалтгүй байсан тул эрдэмтэд шинэ тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх шаардлагатай болсон. Энэ шинжлэх ухаан нь гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалдаг. Геометрийн, алгебрийн олон асуудалд энэ талбарыг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Физикийн асуудлууд заримдаа тригонометрийн функцүүдэд хүргэдэг.

Сургуулийн сурагчид тригонометрийн үндсэн функцуудыг аль хэдийн судалж, графикийг хэрхэн бүтээх, хувиргах, тригонометрийн үндсэн томъёог хэрхэн яаж хийх, тригонометрт ихэвчлэн олддог аргументуудын утгын хүснэгтийг ашиглах гэх мэтийг сурч мэдсэн. Энэ видео хичээлийг судлахын тулд тэд аль хэдийн даван туулсан их хэмжээнийтригонометрийн илэрхийлэл ба тэгшитгэл.

Зарим жишээнд тригонометрийн функцийн нийлбэрийн томъёог бүтээгдэхүүн болгон хувиргах шаардлагатай болдог. Та энэ үйлдлийг ашиглан асар том илэрхийллийг богиносгож, хялбарчлах, тэгшитгэл, тэгшитгэлийн систем зэргийг шийдвэрлэх боломжтой.

"Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг ажил болгон хувиргах" видео бичлэг нь энэ сэдвийг судлахад маш сайн дагалдах материал юм. Багш нар эх сурвалж, тодорхойлолт, томъёонд өгөгдсөн жишээг ашиглаж болно. Медиа файл нь маш сайн чанартай. Үүнийг хичээлийн үеэр тоглож болно. Энэ нь суралцагсдад судалж буй сэдэв дээр анхаарлаа төвлөрүүлэхэд тусална.

Видео хичээлийн эхэнд тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд туслах зарим нийлбэрийн томъёог дэлгэцэн дээр харуулах болно гэж хөтлөгч хэлэв.

Юуны өмнө синусын нийлбэрийг авч үздэг. Эхний илэрхийлэл нь хоёр аргументийн нийлбэрийн синусын нийлбэр ба ижил аргументуудын зөрүүний синусын нийлбэр юм. Гишүүн бүр өмнө нь судалсан томъёоны дагуу гарын үсэг зурдаг. Оюутнуудад сануулахын тулд тэдгээрийг дэлгэцийн баруун талд харуулав.

Бүрэн тэмдэглэгээ, хашилтыг өргөтгөх, хялбаршуулах замаар бид ажил олж авдаг. Хувьсагчаар солих ажлыг гүйцэтгэдэг. X-р аргументуудын нийлбэрийг, y-р - ялгааг илэрхийлнэ. Үүссэн илэрхийлэлд орлуулснаар бид тригонометрийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах эхний томъёог авна.

Сургуулийн хүүхдүүдэд томъёог санаж байхын тулд түүнийг авах арга замыг зааж өгөх нь хангалтгүй юм. Үүнийг жишээгээр шийдэхийг хичээх хэрэгтэй. Зарим утгын синусын нийлбэрийг өгсөн болно. Томъёогоор бүтээгдэхүүн болгон хувиргасан.

Хүлээн авалтыг алхам алхмаар харуулах хоёр дахь томьёо нь синусын зөрүү юм. Өмнөх алхмуудыг нэмж хийхгүйн тулд та дүнгийн хувьд аль хэдийн олж авсан томъёог ашиглаж болно. Синус нь сондгой функц гэдгийг санаарай. Хэрэв бид зөрүүг нийлбэрээр бичиж, нийлбэрийн томъёонд хасахыг орлуулах юм бол зөрүүг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах шинэ дүрэм гарч ирнэ.

Үүнтэй адил жишээг өгсөн болно. Хөтлөгч шийдвэрээ дэлгэрэнгүй тайлбарлав.

Косинусын нийлбэр ба ялгааг жишээн дээр ижил дарааллаар өгсөн болно. Өмнө нь судалж байсан томьёог ижил төстэй байдлаар хэрэглэж, орлуулалтыг өгч, үр дүнг харуулна. Ялгааны томьёог гаргахдаа косинус нь тэгш функц байдаг гэсэн баримтыг ашиглаж болно.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед зүүн тал нь бүтээгдэхүүн болж хувирдаг. Таны мэдэж байгаагаар зарим хүчин зүйлүүд тэгтэй тэнцүү байх үед энэ нь тэгтэй тэнцүү болно. Тиймээс бүтээл болгон хувиргах нь маш ашигтай байх болно.

Эцэст нь хэлэхэд, өөр нэг жишээ байна, илүү төвөгтэй. Та оюутнуудад зөв чиглэлийг хэлж чадна, хэрэв тэд зарчмыг бүхэлд нь ойлговол тэд жишээг бие даан даван туулах болно.

Видео бичлэг нь гэртээ сурдаг сургуулийн хүүхдүүдэд маш их хэрэгтэй болно. Үүний тусламжтайгаар та эзэмшиж чадна чухал томъёонууд, үүнгүйгээр тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь хэцүү, заримдаа боломжгүй байх болно.

ТЕКСТИЙН КОД:

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах

Өнөөдөр бид хэд хэдэн зүйлийг авч үзэх болно тригонометрийн томъёо, энэ нь синус эсвэл косинусын нийлбэрийг (ялгааг) хүчин зүйлчлэх боломжийг олгодог. Эдгээр томьёо нь тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

Эхний томьёо нь СИНУСИЙН нийлбэр юм.

sin (s + t) + sin (s - t) илэрхийлэлийг авч үзье, энд s ба t нь тригонометрийн функцүүдийн аргументууд юм.

Бид синусын нийлбэр ба синусын зөрүүг аль хэдийн мэддэг томъёог ашигладаг.

нүгэл (x - y) = sin xcos y - cos xsin y,

дараа нь нүгэл ( с +т) нүгэл хэлбэртэй байх болно с cos т+ cos снүгэл т

болон илэрхийлэлнүгэл (s - t) нь нүгэл болно с cos т- cos снүгэл т,

тэгвэл бид:

нүгэл ( с +т) + нүгэл ( с - т) = (нүгэл с cos т+ cos снүгэл т) + (нүгэл с cos т- cos снүгэл т)

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

нүгэл с cos т+ cos снүгэл т+ нүгэл с cos т- cos снүгэл т

Бид тооцооллыг хийдэг:

cos снүгэл т- cos снүгэл т=0

нүгэл с cos т+ нүгэл с cos т= 2 нүгэл с cos т.

нүгэл ( с +т) + нүгэл ( с - т) = (нүгэл с cos т+ cos снүгэл т) + (нүгэл с cos т- cos снүгэл т) = нүгэл с cos т+ cos снүгэл т+ нүгэл с cos т- cos снүгэл т= 2 нүгэл с cos т.

Тиймээс бид нүгэл (s + t) + нүгэл (s - t) = 2 нүгэл гэсэн илэрхийлэлийг олж авдаг с cos т.

Шинэ хувьсагчдыг танилцуулъя x =с +т болон у =с- т.

Бид эдгээр тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмээд, бид авдаг

x + y= с +т + с- т.

x + y= 2с

Утгыг олс

с= .

Хоёр дахь тохиолдолд бид эдгээр тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нь хасч, олж авна

NS - цагт= с +т- (с - т)

NS - цагт= с +т- с + т

x - y= 2т

Утгыг олт

Гэм (s + t) + нүгэл (s - t) = 2 нүгэл гэсэн илэрхийлэлд с cos т

солихБидний оруулсан шинэ хувьсагчдын хувьд s ба t:

с +тх-ээр солино

с- т-ээр солино цагт

сдээр

тдээр.

Дараа нь бид:

синх + сину = 2 sincos

(хоёр аргументын синусын нийлбэр нь эдгээр аргументуудын хагас нийлбэрийн синусын хагас ялгааны косинусын давхар үржвэртэй тэнцүү байна).

нүгэл 7х + нүгэл3х = 2 нүгэл cos = 2 sin5x cos2x.

Хоёрдахь томьёо нь SINUS DIFFERENCE юм.

Бид хоёр аргументийн синусын нийлбэрийн аль хэдийн гаргаж авсан томъёог ашиглах боломжтой байхын тулд sinх + sinu = 2 sincos

Синус нь сондгой функц байдгийг ашиглацгаая, өөрөөр хэлбэл. - сину = нүгэл (- у),

синх - сину = синх + нүгэл (- у)

Одоо бид синусын нийлбэрийн томъёог ашиглан бид олж авна

2 гэм cos = 2 нүгэл cos.

нүгэл х - нүгэл у = нүгэл х + нүгэл (- у) = 2 нүгэл cos = 2 нүгэл cos.

Тиймээс бид синусын зөрүүний томъёог олж авлаа.

синх - сину = 2 нүгэл cos (хоёр аргументын синусын зөрүү нь эдгээр аргументуудын хагас ялгааны синусын хагас нийлбэрийн косинусын давхар үржвэртэй тэнцүү).

Жишээ. Гэм 77 ° - нүгэл 17 ° гэсэн илэрхийллийг хялбарчлах.

нүгэл 77 ° - нүгэл 17 ° = 2 нүгэл cos = 2 нүгэл учир нь 47º.

(нүгэл 30º =, дараа нь) = 2 ∙ ∙ cos = cos.

Гурав дахь томьёо нь COSINUS-ийн нийлбэр юм.

Cos (s + t) + cos (s - t) -ийг илэрхийлэхийн тулд бид нийлбэрийн косинус ба ялгааны косинусын аль хэдийн мэдэгдэж байсан томъёог ашигладаг.

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y,

Cos (s + t) + cos (s - t) илэрхийлэлд бид томъёоны утгыг орлуулж, дараахь зүйлийг авна.

учир нь ( с+т) + учир ( с - т) = cos с cos т- нүгэл снүгэл т+ cos с cos т+ нүгэл снүгэл т= 2 cos с cos т

Тиймээс ( с+т) + учир ( с - т) = 2 cos с cos т

Шинэ хувьсагчдыг танилцуулъя x =с +т болон у =с - т... SUM OF SINUSES томъёоны гарал үүсэлтэй адил.

с +тх-ээр солино

с- т-ээр солино цагт

сдээр

тдээр.

Мөн бид косинусын нийлбэрийн томъёог авна

cos x + cozy = 2 cos cos

(хоёр аргументийн косинусын нийлбэр нь эдгээр аргументуудын хагас нийлбэрийн косинусын хагас ялгааны косинусын давхар үржвэртэй тэнцүү байна).

Жишээ. cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) илэрхийллийг хялбарчил.

cos (x + 2y) + cos (3x - 2y) = 2 coscos =

2cos 2x cos (- x + 2y) = 2cos 2x cos (- (x - 2y)) (мөн cos (- t) = зардал, тэгвэл) =

2cos2x cos (x - 2y).

Дөрөв дэх томьёо нь косинусын ялгаа юм.

Cos (s + t) - cos (s - t) -ийг илэрхийлэхийн тулд бид нийлбэрийн косинус ба ялгааны косинусын аль хэдийн мэдэгдэж байсан томъёог ашигладаг.

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) = cos xcos y + sin x sin y, бид авна

учир нь ( с+т) - учир нь ( с - т) = cos с cos т- нүгэл снүгэл т- cos с cos т- нүгэл снүгэл т= - 2 нүгэл снүгэл т... Шинэ хувьсагчдыг нэвтрүүлэх NS= с +тболон цагт= с - т, гэсэн үг, s = болон t =... Оруулсан тэмдэглэгээг томъёонд орлуулах:

учир нь ( с+т) - учир нь ( с - т) = - 2sin снүгэл т, бид косинусын зөрүүний томъёог олж авна.

cosх - cosу = -2sin нүгэл (хоёр аргументын косинусын зөрүү нь эдгээр аргументуудын хагас нийлбэрийн синусын хоёр үржвэртэй тэнцүү бөгөөд хасах тэмдгээр авсан хагас ялгааны синустай тэнцүү).

Жишээ. cos - cos илэрхийллийг хялбарчлах.

cos - cos = - 2sin нүгэл = - 2 нүгэл нүгэл (нүгэл оноос хойш = дараа нь) =

2 ∙ ∙ нүгэл = - нүгэл.

ЖИШЭЭ 1. cos6x + cos2x = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. Дараах томъёог ашиглан косинусын нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах:

(cos х + cosу = 2 cos cos,

Бид 2cos4x cos2x = 0-г авна. Хэрэв энэ тэгшитгэл жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирна.

ЖИШЭЭ 2. sin7x + sin3x - sin5x = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. Эхний болон хоёр дахь гишүүний нийлбэрийн хувьд бид синусын нийлбэрийн томъёог хэрэглэнэ

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

(sin7x + sin3x) - sin5x = 0

2 sincos - sin5x = 0

sin5x (2 cos2x - 1) = 0.

sin5x = 0 эсвэл 2 cos2x - 1 = 0,

a = 0-ийн хувьд sint = a тэгшитгэлийн шийдлүүдийг авсан:

t = πk-ийн хувьд sint = 0,

тэгвэл бид авна

x =, (pi en тавд хуваагдана)

Косинусын хүснэгтийн утгыг ашиглан үнэ = a тэгшитгэлийн шийдлийг тодорхойлоход (| a | 1) ерөнхий хэлбэрээр бичнэ.

t = arccos а+ 2πк

cos2x = хоёр дахь тэгшитгэл нь дараах шийдлүүдтэй байна

2х = arccos + 2πn,

(нэмэх хасах пи-г зургаа нэмэх pi en).

Дүгнэлт хийхэд амжилтанд хүрэх түлхүүр нь нэг нийлбэрийг нөгөө нийлбэр болгон хувиргах чадварт оршдог - эхийг хялбарчлах эсвэл зорилгодоо ойртуулах. Мөн та хувиргах хэд хэдэн үндсэн дүрмийг сурч, дадлагажуулсны дараа та энэ чадварыг хялбархан эзэмшиж чадна.

K нь бүхэл тоонуудын төгсгөлтэй олонлог байг. K элементийн нийлбэрийг гурван энгийн дүрмийн дагуу хөрвүүлж болно.

Хуваарилалтын хууль нь тэмдгийн дор болон тэмдгийн гадна тогтмол тоонуудыг оруулах, хасахыг зөвшөөрдөг. Хосолсон хууль нь нэг дүнг хоёр болгон хуваах эсвэл хоёр дүнг нэг болгон нэгтгэх боломжийг олгодог. Шилжилтийн тухай хуульд нийлбэрийн нөхцлийг хүссэн дарааллаар нь өөрчилж болно гэж заасан; Энд бүх бүхэл тоонуудын олонлогийн зарим нэг солилт байна. Жишээлбэл, хэрэв тийм бол энэ гурван хуульд тус тус заасан

Гауссын заль мэх нь Ч. 1-ийг эдгээр гурван үндсэн хуулийн хэрэглээний нэг гэж үзэж болно. Бид хүсч байна гэж бодъё

дүнг тооцоол арифметик прогрессерөнхий үзэл

Транспозиция хуулийн дагуу k-г орлуулснаар бид авна

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг хослолын хуулийг ашиглан нэмж болно.

Одоо хуваарилалтын хуулийг хэрэглэж, өчүүхэн нийлбэрийг тооцоолъё:

2-т хуваахад бид үүнийг олж мэднэ

Баруун талыг эхний болон сүүлчийн нэр томъёоны дундаж, тухайлбал нэр томъёоны тоогоор үржүүлсэн байдлаар санаж болно.

Шилжилтийн хуулийн (2.17) ерөнхий хэлбэр дэх функц нь бүх бүхэл тоонуудын сэлгэлт гэж тооцогддог гэдгийг санах нь зүйтэй. Өөрөөр хэлбэл, бүхэл бүрийн хувьд яг нэг бүхэл k байх ёстой. Үгүй бол шилжүүлгийн хууль хэрэгжихгүй байж магадгүй - дасгал. 3 бол сайн жишээ юм. c төрлийн хөрвүүлэлтүүд эсвэл c нь бүхэл тоон тогтмол байх нь үргэлж сэлгэлт байдаг тул зүгээр байдаг.

Гэсэн хэдий ч, солих хязгаарлалтыг бага зэрэг сулруулж болно: зөвхөн нэг бүхэл тоо байх нь хангалттай бөгөөд К индексийн олонлогийн элемент нь хэзээ байх болно. Хэрэв (өөрөөр хэлбэл энэ нь K-д хамаарахгүй бол) нийлбэрт оролцдоггүй тул ижил төстэй байр суурьтай байдаг тул чухал биш юм. Тиймээс, жишээлбэл, үүнийг маргаж болно

учир нь тэгш байх үед яг нэг k байдаг.

Тодорхой томьёоны хүрээнд логик илэрхийллийн утгууд болох 0 эсвэл 1-ийг олж авах боломжийг олгодог Айверсоны тэмдэглэгээ нь нийлбэрийн нэмэлт шинж чанарыг илрүүлэхийн тулд хуваарилах, хослуулах, шилжүүлэх хуулиудтай хамт хэрэглэж болно. Жишээлбэл, чухал дүрэмЯнз бүрийн индексүүдийн нэгдэл: хэрэв бүхэл тоонуудын зарим багц байвал

Энэ нь ерөнхий томъёоноос үүдэлтэй

Ихэвчлэн (2.20) дүрмийг жишээн дээрх шиг бараг салангид хоёр индексийн багцыг холбоход ашигладаг.

эсхүл тухайн тохиолдлын адил хэмжээгээр тусад нь гишүүнээр хуваарилах

Гишүүнийг хуваарилах энэхүү үйлдэл нь бууруулах аргын үндэс суурь бөгөөд энэ нь ихэвчлэн тодорхой нийлбэрийг хаалттай хэлбэрээр тооцоолох боломжийг олгодог. Энэ аргын мөн чанар нь тооцоолох дүнгээс эхэлж, түүнийг тодорхойлох явдал юм

(Зааж, байлдан дагуулаарай.) Дараа нь бид сүүлийн болон эхний нөхцлүүдийг хоёуланг нь онцолж хоёр аргаар дахин бичнэ:

Одоо бид сүүлчийн нийлбэртэй харьцаж, үүнийг томъёогоор илэрхийлэхийг оролдож болно. Хэрэв оролдлого амжилттай болвол бид тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүний шийдэл нь хүссэн нийлбэр байх болно.

Жишээлбэл, нийлбэрийг олохын тулд энэ аргыг ашиглацгаая геометрийн прогрессерөнхий үзэл

-ын дагуу ерөнхий схембууруулах (2.24), нийлбэрийг хэлбэрээр дахин бичнэ

баруун талд байгаа нийлбэр нь хуваарилалтын хуультай тэнцүү байна. Тиймээс, энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар бид олж авна

(Х = 1-ийн хувьд энэ нийлбэр нь мэдээжийн хэрэг энэ томьёоны баруун талтай тэнцүү бөгөөд эхний болон эхний ороогүй нөхцлийн хоорондох зөрүүг 1-ийн зөрүү ба хуваагчаар хуваах байдлаар цээжилж болно. дэвшил.

Энэ бүхэн маш энгийн байсан, тиймээс арай хэцүү нийлбэр дээр цутгах аргыг туршиж үзье.

Энэхүү видео хичээлийг 10-р ангийн сурагчдад зориулан эмхэтгэсэн болно. Үүний тусламжтайгаар тэд "Тригонометрийн илэрхийллийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах" сэдвийг судлах боломжтой болно. Сургалтын материалыг тайван эрэгтэй дуу хоолой дагалддаг. Үүний тусламжтайгаар та сургуульд сонирхолтой, мэдээлэл сайтай хичээл хийх боломжтой. Дэлгэц дээр тодорхой бичвэрээр харуулсан дүрслэл, тодорхойлолтуудын тусламжтайгаар оюутнууд сэдвийг илүү хурдан, илүү үр дүнтэй ойлгох боломжтой болно.

Тригонометри нь шинжлэх ухааны хувьд нэлээд эрт гарч ирсэн хэдий ч өнөөг хүртэл ач холбогдлоо алдаагүй байна. Төрөл бүрийн шинжлэх ухаанд асуудал гарч ирдэг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд сургуулийн сурагчид энэ чиглэлээр тулгарах ёстой. Ийм учраас тэд янз бүрийн нарийн төвөгтэй байдлын жишээг даван туулах, синус, косинус, тангенс, котангенс гэх мэт функцуудыг авч үзэх чадвартай байх ёстой.

Учир нь тригонометр нь их хэмжээнийтомъёо, үүнгүйгээр энэ эсвэл бусад илэрхийллийг хялбарчлахад асар их цаг хугацаа шаардагдана. Тиймээс эдгээр томъёог цээжилж, ойлгох нь маш чухал юм. Хэрэв та тэдгээрийн гарал үүслийг ойлгож байгаа бол тэдгээрийг амархан санаж, практикт хэрэгжүүлэх боломжтой. Тэдний дурсамжинд үлдэхийн тулд урт хугацаа, тэдгээрийг практикт бэхжүүлэх шаардлагатай байна. Тиймээс багш нар гэрээсээ асууж байх шаардлагатай олон тооныСургуулийн хүүхдүүдэд зориулсан тригонометрийн илэрхийлэл ба тэгшитгэл.

Энэхүү видео хичээлийг мэргэжлийн хүмүүс эмхэтгэсэн. Тогтвортой бүтэцтэй, сургалтын хөтөлбөрөөс гажсан шаардлагагүй, шаардлагагүй мэдээлэл байхгүй.

Сургуулийн хүүхдүүд нийлбэрийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн үржвэр болгон хувиргахаа аль хэдийн мэддэг болсон. Шаардлагатай бол яаж хийх вэ урвуу үйл явц? Заримдаа энэ эсвэл тэр илэрхийллийг хялбарчлах шаардлагатай болно.

Анхаарах зүйл нь жишээнээс эхэлдэг. Зарим t-ийн синусын косинусын үржвэрийг ижил утгатай бичнэ. Энэ илэрхийллийг бутархайгаар хөрвүүлдэг бөгөөд эндээс бид аргументуудын нийлбэрийн синусын нийлбэр ба зөрүүг 2-т хуваана.

Үүний нэгэн адил зарим s-ийн синусын үржвэр ба t-ийн синусын үржвэр өөрчлөгдөнө.

Эдгээр илэрхийлэлийг практикт нэгтгэхийн тулд зарим жишээг шийдвэрлэхийг санал болгож байна. Тэдгээрийн эхнийх нь 2х синусын косинус 9х үржвэр болох илэрхийллийн тоон хариултыг олохыг санал болгож байна. Шийдвэр гаргахдаа энэ жишээӨмнө нь сурсан томъёог ашигласан болно. Дэлгэц харагдана нарийвчилсан шийдэлЖишээ нь, энэ нь бас ямар томьёог ашиглаж байгааг харуулдаг.

Дараа нь бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хөрвүүлэхийг санал болгож буй өөр нэг жишээг авч үзье. Бүх тооцоолол, тайлбарыг баруун талд харуулав. Энэ жишээг хэрхэн шийдэж байгааг ойлгоход тийм ч хэцүү биш, учир нь хөтлөгч бүх зүйлийг нарийвчлан тайлбарладаг.

Гурав дахь жишээ нь зарим градусын утгын гурван синусын үржвэрээс бүрдэх илэрхийлэлийг хялбарчлахыг санал болгож байна. Хялбарчлал нь синусын үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах томъёог ашигладаг. Энэ жишээг шийдвэрлэхдээ косинусын функц нь тэгш функц байдагт анхаарлаа хандуулдаг. Тиймээс шинж тэмдгүүд нь зөв тодорхойлогддог. Хариулт гарч ирнэ. Шийдэл нь нэлээд том боловч хэрэв та үүнийг алхам алхмаар авч үзвэл ойлгомжгүй зүйл үлдэхгүй.

Дөрөв дэх жишээг агуулна тригонометрийн тэгшитгэл, үүнийг шийдвэрлэхдээ судалсан томъёог ашиглах шаардлагатай энэ хичээлмөн өмнөх видеонуудад.

Өмнө дурьдсанчлан, энэ танилцуулгыг аравдугаар ангийн хүүхдүүдэд сонирхолтой хичээл заахад ашиглаж болно. Багш, сургуулийн сурагчид хоёулаа материалыг татаж авах боломжтой. Үүний тусламжтайгаар та сурагчийг нүдээр харуулах боломжтой алхам алхмаар шийдэлЖишээ нь, сургуулийн сурагчид гэрийн даалгавар, бие даан хийх явцад тааралддаг хяналтын ажилсургууль дээр.

ТЕКСТИЙН КОД:

Тригонометрийн илэрхийллийн үржвэрийг нийлбэр болгон хөрвүүлэх

Практикт ямар ч математикийн томъёог баруунаас зүүн тийш, зүүнээс баруун тийш ашигладаг гэдгийг та аль хэдийн мэддэг болсон. Тиймээс томъёог эсрэг чиглэлд ашигласнаар бид тригонометрийн функцийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргаж чадна.

Жишээ авч үзье:

ec ба te аргументуудын синусын нийлбэрийг sin үржвэр болгон хувиргах томъёоноос с +т) + нүгэл ( с - т) = 2 нүгэл с cos т

Та өөр томъёог авч болно:

нүгэл с cos т= (es ба аргументын косинусын үржвэр нь es ба te аргументуудын нийлбэрийн синусын хагас нийлбэр ба es ба te аргументуудын зөрүүний синусын хагастай тэнцүү, косинусын тэмдгийн доор байгаа өнцгийг синус тэмдгийн доорх аргументаас хасахын тулд ялгааг авна.)

нүгэл ( с +т) + нүгэл ( с - т) = 2 нүгэл с cos т

нүгэл с cos т =

Үүнтэй адилаар ec ба te аргументуудын косинусын нийлбэрийг cos ( үржвэр) болгон хувиргах томъёоноос с+т) + учир ( с - т) = 2 cos с cos тавах

cos с cos т= (es ба te аргументуудын косинусын үржвэр нь эдгээр аргументуудын нийлбэрийн косинусын хагас нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний косинустай тэнцүү).

Мөн ec ба te аргументуудын косинусын зөрүүг cos бүтээгдэхүүн болгон хувиргах томъёоноос. с+т) - учир нь ( с - т) = - 2sin снүгэл тбидэнд байгаа

нүгэл снүгэл т= (es ба te аргументуудын синусын үржвэр нь эдгээр аргументуудын хоорондох косинусын зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн косинусын хагасын зөрүүтэй тэнцүү).

Зарим жишээг харцгаая.

ЖИШЭЭ 1. Үржвэрийг sin2x cos9x нийлбэр болгон хувирга.

Шийдэл. Шийдэхдээ бид нүгэл гэсэн томъёог ашиглана с cos т=, энд s = 2x, t = 9x. Дараа нь бид бичнэ

sin2хcos 9х = = ( үүнийг харгалзан үзвэл

нүгэл(-y) = -нүгэлу, бид авна) = (синус арван нэгэн х ба синус долоон х-ийн хагасын зөрүү).

Хариулт: sin2x cos9x =.

ЖИШЭЭ 2. Үржвэрийг cos (2x - y) cos (x + 4y) нийлбэр (х + 4y) (аргументийн косинусын хоёр х хасах у аргументийн косинусыг х нэмэх дөрвөн у-ийн үржвэр) болгон хувирга.

Шийдэл. Шийдэхдээ cos томъёог ашиглана с cos т=, энд s = (2x-y), t = (x + 4y). Дараа нь

cos (2x - y) cos (x + 4y) = = хаалт нээх =, тооцоо хийж, авна.

= (аргументын косинусын хагасын нийлбэр гурван х нэмэх гурван у ба аргументийн косинус х хасах таван у).

ЖИШЭЭ 3. sin20 ° sin40 ° sin80 ° илэрхийллийг хялбарчлах.

Шийдэл. Томъёог хэрэгжүүлье: нүгэл снүгэл т= .

нүгэл 20 ° нүгэл 40 ° нүгэл 80 ° = ∙ гэм 80 ° = ∙ гэм 80 ° =

(косинус нь тэгш функц гэдгийг бид анхаарч үздэг бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм

= ∙ нүгэл 80 ° оноос хойш cos60 ° =

= ∙ нүгэл 80 ° = ∙) ∙ нүгэл 80 ° =

(нүгэл 80 ° = нүгэл (90 ° - 10 °) = cos10 ° гэдгийг анхаарна уу, тэгэхээр бид үүнийг олж авдаг)

= ∙) ∙ cos10 ° = хаалт нээх = ∙ cos10 ° - ∙ cos10 °

(cos томъёог хэрэглэнэ с cos т =)

= ∙ - ∙ cos10 ° = ∙ () - ∙ cos10 ° =

хаалтуудыг өргөжүүлнэ

(үүнийг санаарай =)

Хариулт: sin20 ° sin40 ° sin80 ° =.

ЖИШЭЭ 4. 2 sin2x cos9x - sin11x = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Томьёог ашиглан тэгшитгэлийн зүүн талыг хувирга

нүгэл с cos т=, энд s = 2x, ба t = 9x байна:

2 ∙ - sin11x = sin11x =.

Тэгэхээр энэ тэгшитгэл нь = 0 (долоон х-ийн синусыг хасвал тэгтэй тэнцүү) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Эндээс = πn, үүнээс х =,.