Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх томьёо нь жишээ юм. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Тригонометрийн тэгшитгэл бол хамгийн хялбар сэдэв биш юм. Тэд олон янз байдаг.) ​​Жишээ нь:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

гэх мэт...

Гэхдээ эдгээр (болон бусад бүх) тригонометрийн мангасууд нь нийтлэг бөгөөд заавал байх ёстой хоёр шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт - та итгэхгүй байх болно - тэгшитгэлд тригонометрийн функцууд байдаг.) ​​Хоёрдугаарт: x-тэй бүх илэрхийлэл Эдгээр ижил функцүүдийн хүрээнд.Зөвхөн тэнд! Хэрэв x хаа нэгтээ гарч ирвэл гадаа,Жишээлбэл, sin2x + 3x = 3,энэ нь тэгшитгэл байх болно холимог төрөл. Ийм тэгшитгэл нь хувь хүний ​​хандлагыг шаарддаг. Энд бид тэдгээрийг авч үзэхгүй.

Бид энэ хичээл дээр бас муу тэгшитгэлийг шийдэхгүй.) Энд бид шийдвэрлэх болно Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.Яагаад? Тийм ээ, учир нь шийдвэр ямар чтригонометрийн тэгшитгэл нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ. Эхний шатанд муу тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалтаар энгийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг. Хоёр дахь нь - энэ хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдсэн. Өөр арга байхгүй.

Тиймээс, хэрэв танд хоёр дахь шатанд асуудал байгаа бол эхний шат нь тийм ч их утгагүй болно.)

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд ямар харагддаг вэ?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Энд гэхдээ ямар ч тоог илэрхийлнэ. Ямар ч.

Дашрамд хэлэхэд, функц дотор цэвэр x биш, харин зарим төрлийн илэрхийлэл байж болно, тухайлбал:

cos(3x+π /3) = 1/2

гэх мэт. Энэ нь амьдралыг хүндрүүлдэг боловч тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргад нөлөөлөхгүй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдэж болно. Эхний арга: логик ба тригонометрийн тойрог ашиглах. Бид энэ замыг эндээс судлах болно. Хоёрдахь арга - санах ой, томъёог ашиглах - дараагийн хичээл дээр авч үзэх болно.

Эхний арга нь ойлгомжтой, найдвартай, мартахад хэцүү.) Энэ нь тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, бүх төрлийн төвөгтэй стандарт бус жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Логик нь ой санамжаас илүү хүчтэй!

Бид тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэлийг шийддэг.

Бид энгийн логик, тригонометрийн тойрог ашиглах чадварыг багтаасан. Чи чадахгүй гэж үү!? Гэсэн хэдий ч ... Тригонометрийн хувьд танд хэцүү байх болно ...) Гэхдээ энэ нь хамаагүй. "Тригонометрийн тойрог ...... Энэ юу вэ?" хичээлүүдийг үзээрэй. болон "Тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийг тоолох". Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Сурах бичгээс ялгаатай ...)

Аа, чи мэдэж байна уу!? Тэгээд бүр "Тригонометрийн тойрогтой практик ажил"-ыг эзэмшсэн!? Баяр хүргэе. Энэ сэдэв танд ойр, ойлгомжтой байх болно.) Хамгийн таатай нь тригонометрийн тойрогт таны аль тэгшитгэлийг шийдэх нь хамаагүй. Синус, косинус, тангенс, котангенс - түүний хувьд бүх зүйл адилхан. Шийдлийн зарчим нь адилхан.

Энд бид ямар ч анхан шатны хичээлийг авдаг тригонометрийн тэгшитгэл. Наад зах нь энэ:

cosx = 0.5

Би X-г олох хэрэгтэй байна. Хүний хэлээр ярих юм бол хэрэгтэй косинус нь 0.5 (x) өнцгийг ол.

Бид өмнө нь тойргийг хэрхэн ашигладаг байсан бэ? Бид үүн дээр булан зурсан. градус эсвэл радианаар. Тэгээд тэр даруй харсан Энэ өнцгийн тригонометрийн функцууд. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе. Тойрог дээр 0.5-тай тэнцэх косинусыг нэн даруй зур бид харна тарилга. Хариултыг бичихэд л үлдлээ.) Тийм ээ, тийм!

Бид тойрог зурж, косинусыг 0.5-тай тэнцүү гэж тэмдэглэнэ. Мэдээжийн хэрэг косинусын тэнхлэг дээр. Үүн шиг:

Одоо энэ косинусын бидэнд өгч буй өнцгийг зуръя. Зурган дээр хулганаа аваач (эсвэл таблет дээрх зураг дээр хүрнэ үү). үзнэ үүэнэ ижил булан X.

Аль өнцгийн косинус 0.5 байх вэ?

x \u003d π / 3

cos 60°= учир( π /3) = 0,5

Зарим хүмүүс эргэлзэж гонгинох болно, тийм ээ... Тэд ямар ч байсан бүх зүйл тодорхой байхад тойргийг хашаалах нь үнэ цэнэтэй байсан гэж хэлдэг ... Та мэдээж гонгинож болно ...) Гэхдээ энэ бол алдаа юм. хариулах. Өөрөөр хэлбэл, хангалтгүй. Тойрог мэддэг хүмүүс 0.5-тай тэнцэх косинусыг өгдөг олон тооны өнцөг байсаар байгааг ойлгодог.

Хэрэв та хөдлөх тал OA эргүүлэх бол бүтэн эргэлт хийх, А цэг анхны байрлалдаа буцаж ирнэ. Ижил косинус нь 0.5-тай тэнцүү байна. Тэдгээр. өнцөг өөрчлөгдөнө 360° буюу 2π радиан, ба косинус биш.Шинэ өнцөг 60° + 360° = 420° нь мөн бидний тэгшитгэлийн шийдэл байх болно, учир нь

Ийм бүрэн эргэлтүүд хязгааргүй олон байдаг... Мөн эдгээр бүх шинэ өнцөг нь бидний тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. Тэгээд бүгдийг нь ямар нэгэн байдлаар бичих хэрэгтэй. Бүх зүйл.Үгүй бол шийдвэрийг тооцохгүй, тийм ээ ...)

Математик үүнийг энгийн бөгөөд дэгжин хийж чадна. Нэг богино хариултанд бичээрэй хязгааргүй олонлогшийдлүүд. Энэ нь бидний тэгшитгэлийн хувьд дараах байдалтай байна.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Би тайлах болно. Одоо ч бичнэ утга учиртайТэнэг байдлаар нууцлаг үсэг зурахаас илүү сайхан, тийм үү?)

π /3 бидэнтэй ижил өнцөг юм харсантойрог дээр ба тодорхойлсонкосинусын хүснэгтийн дагуу.

2π радианаар нэг бүтэн эргэлт байна.

n - энэ нь бүрэн гүйцэд тоо, i.e. бүхэлд ньхувьсгалууд. Энэ нь ойлгомжтой n 0, ±1, ±2, ±3.... гэх мэт байж болно. Юуг зааж өгсөн богино тэмдэглэл:

n ∈ Z

n харьяалагддаг ( ∈ ) бүхэл тооны олонлогт ( З ). Дашрамд хэлэхэд, захидлын оронд n үсэг хэрэглэж болно к, м, т гэх мэт.

Энэ тэмдэглэгээ нь та ямар ч бүхэл тоо авч болно гэсэн үг юм n . Хамгийн багадаа -3, хамгийн багадаа 0, хамгийн багадаа +55. Та юу хүсч байна. Хэрэв та энэ дугаарыг хариултдаа оруулбал тодорхой өнцгийг олж авах бөгөөд энэ нь бидний хатуу тэгшитгэлийн шийдэл байх нь дамжиггүй.)

Эсвэл өөрөөр хэлбэл, x \u003d π / 3 хязгааргүй олонлогийн цорын ганц үндэс юм. Бусад бүх үндсийг авахын тулд π / 3 дээр хэдэн ч бүтэн эргэлт нэмэхэд хангалттай. n ) радианаар. Тэдгээр. 2πn радиан.

Бүх зүйл? Үгүй Би ялангуяа таашаалыг сунгаж байна. Илүү сайн санахын тулд.) Бид тэгшитгэлийнхээ хариултуудын зөвхөн хэсгийг л авсан. Би уг шийдлийн эхний хэсгийг дараах байдлаар бичнэ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - нэг үндэс биш, энэ нь богино хэлбэрээр бичигдсэн бүхэл бүтэн цуврал үндэс юм.

Гэхдээ 0.5-тай тэнцэх косинусыг өгдөг өөр өнцөгүүд байдаг!

Хариултаа бичсэн зураг руугаа буцаж орцгооё. Тэр энд байна:

Зураг дээр хулганыг хөдөлгөж, үзнэ үүөөр нэг булан мөн 0.5 косинусыг өгдөг.Энэ нь юутай тэнцүү гэж та бодож байна вэ? Гурвалжингууд нь адилхан ... Тийм ээ! Энэ нь өнцөгтэй тэнцүү байна X , зөвхөн сөрөг чиглэлд зурсан. Энэ бол булан -Х. Гэхдээ бид x-г аль хэдийн тооцоолсон. π /3 эсвэл 60°. Тиймээс бид аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 \u003d - π / 3

Мэдээжийн хэрэг, бид бүрэн эргэлтээр олж авсан бүх өнцгийг нэмнэ.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол одоо.) Тригонометрийн тойрогт бид харсан(Мэдээжийн хэрэг хэн ойлгох вэ)) бүгд 0.5-тай тэнцүү косинусыг өгөх өнцөг. Мөн тэд эдгээр өнцгүүдийг богино математик хэлбэрээр бичжээ. Хариулт нь хоёр төгсгөлгүй цуврал үндэс юм:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол зөв хариулт юм.

Найдвар, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий зарчимтойргийн тусламжтайгаар ойлгомжтой. Өгөгдсөн тэгшитгэлээс бид косинусыг (синус, тангенс, котангенс) тойрог дээр тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зурж, хариултыг бичнэ.Мэдээжийн хэрэг, та бид ямар булангуудтай болохыг олж мэдэх хэрэгтэй харсантойрог дээр. Заримдаа энэ нь тийм ч тодорхой биш байдаг. Миний хэлсэнчлэн энд логик хэрэгтэй.)

Жишээлбэл, өөр тригонометрийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе.

0.5 тоо нь тэгшитгэлийн цорын ганц боломжтой тоо биш гэдгийг анхаарна уу!) Үүнийг бичих нь надад үндэс, бутархай гэхээсээ илүү тохиромжтой.

Бид ерөнхий зарчмаар ажилладаг. Бид тойрог зурж, тэмдэглэнэ (мэдээж синус тэнхлэг дээр!) 0.5. Бид энэ синустай тохирох бүх өнцгийг нэг дор зурдаг. Бид энэ зургийг авна:

Эхлээд өнцгийг нь авч үзье. X эхний улиралд. Бид синусын хүснэгтийг эргэн санаж, энэ өнцгийн утгыг тодорхойлно. Асуудал энгийн:

x \u003d π / 6

Бид бүрэн эргэлтүүдийг санаж, цэвэр ухамсартайгаар эхний цуврал хариултуудыг бичнэ.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ажлын тал нь дууссан. Одоо бид тодорхойлох хэрэгтэй хоёр дахь булан ...Энэ нь косинусуудаас илүү төвөгтэй, тийм ээ ... Гэхдээ логик биднийг аврах болно! Хоёр дахь өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ х-ээр дамжуулан? Тиймээ хялбар! Зурган дээрх гурвалжин нь адилхан, улаан булан X өнцөгтэй тэнцүү байна X . Зөвхөн энэ нь сөрөг чиглэлд π өнцгөөс тоологддог. Тийм ч учраас улаан өнгөтэй байна.) Мөн хариултын хувьд OX эерэг хагас тэнхлэгээс зөв хэмжсэн өнцөг хэрэгтэй, i.e. 0 градусын өнцгөөс.

Зурган дээр курсорыг аваачиж, бүгдийг харна уу. Зургийг төвөгтэй болгохгүйн тулд би эхний буланг арилгасан. Бидний сонирхох өнцөг (ногооноор зурсан) нь дараахтай тэнцүү байх болно.

π - x

x бид үүнийг мэднэ π /6 . Тэгэхээр хоёр дахь өнцөг нь:

π - π /6 = 5π /6

Дахин хэлэхэд бид бүрэн хувьсгалуудыг нэмж санаж, хоёр дахь цуврал хариултыг бичнэ.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд л болоо. Бүрэн хариулт нь хоёр цуврал үндэсээс бүрдэнэ.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенс ба котангенс бүхий тэгшитгэлийг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ижил ерөнхий зарчмыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Мэдээжийн хэрэг, та тригонометрийн тойрог дээр тангенс ба котангенсыг хэрхэн зурахаа мэдэхгүй л бол.

Дээрх жишээнүүдэд би синус ба косинусын хүснэгтийн утгыг ашигласан: 0.5. Тэдгээр. оюутны мэддэг утгын нэг ёстой.Одоо боломжоо өргөжүүлье бусад бүх үнэт зүйлс.Шийдээрэй, шийдээрэй!)

Тиймээс бид дараах тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

Богино хүснэгтэд косинусын ийм утга байдаггүй. Бид энэ аймшигт баримтыг үл тоомсорлодог. Бид тойрог зурж, косинусын тэнхлэг дээр 2/3-ыг тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зурна. Бид энэ зургийг авдаг.

Бид эхлээд эхний улиралд өнцгөөр ойлгож байна. X нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдэхийн тулд тэр даруй хариултыг бичнэ! Бид мэдэхгүй... Бүтэлгүйтэл!? Тайвшир! Математик өөрөө асуудалд ордоггүй! Тэрээр энэ тохиолдолд нуман косинусыг зохион бүтээжээ. Мэдэхгүй? Дэмий. Үүнийг олж мэд. Энэ нь таны бодож байгаагаас хамаагүй хялбар юм. Энэ холбоос дээр "урвуу" тухай ганц ч заль мэх байхгүй тригонометрийн функцууд“Үгүй ээ... Энэ сэдэвт илүүц байна.

Хэрэв та мэдэж байгаа бол "X бол косинус нь 2/3" гэж өөртөө хэлээрэй. Тэгээд тэр даруй, арккосины тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Бид нэмэлт хувьсгалуудын талаар санаж, тригонометрийн тэгшитгэлийнхээ язгуурын эхний цувралыг тайван бичнэ.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёрдахь өнцгийн хувьд хоёр дахь цуврал үндэс нь бараг автоматаар бичигдсэн байдаг. Бүх зүйл адилхан, зөвхөн x (arccos 2/3) хасахтай байна:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд бүх зүйл! Энэ бол зөв хариулт юм. Хүснэгтийн утгуудаас ч хялбар. Та юу ч санах шаардлагагүй.) Дашрамд хэлэхэд, нумын косинусын уусмал бүхий энэ зургийг хамгийн анхааралтай ажиглах болно. cosx = 0.5 тэгшитгэлийн зурагнаас үндсэндээ ялгаагүй.

Яг! Ерөнхий зарчимийм учраас энэ нь нийтлэг байдаг! Би бараг ижилхэн хоёр зураг тусгайлан зурсан. Тойрог нь бидэнд өнцгийг харуулж байна X косинусаар. Энэ нь хүснэгтийн косинус юм уу үгүй ​​юу - тойрог мэдэхгүй. Энэ ямар өнцөг вэ, π / 3, эсвэл ямар нумын косинусыг бид шийдэх ёстой.

Синустай ижил дуу. Жишээлбэл:

Дахин бид тойрог зурж, синусыг 1/3-тай тэнцүү болгож, булангуудыг зурна. Энэ зураг гарч ирэв:

Мөн дахин зураг нь тэгшитгэлтэй бараг ижил байна sinx = 0.5.Дахин бид эхний улиралд булангаас эхэлдэг. Түүний синус 1/3 бол х хэдтэй тэнцүү вэ? Асуудалгүй!

Тиймээс эхний багц үндэс бэлэн боллоо.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёр дахь өнцгийг харцгаая. Хүснэгтийн 0.5 утгатай жишээнд энэ нь дараахтай тэнцүү байна.

π - x

Тэгэхээр энд яг адилхан байх болно! Зөвхөн x нь ялгаатай, arcsin 1/3. Тэгээд юу гэж!? Та хоёр дахь үндэсийг аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 = π - нумын 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол бүрэн зөв хариулт юм. Хэдийгээр энэ нь тийм ч танил биш юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, би найдаж байна.)

Тойрог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Энэ зам нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой. Тэр бол өгөгдсөн интервал дахь үндсийг сонгох тригонометрийн тэгшитгэлд, тригонометрийн тэгш бус байдалд хадгалдаг хүн юм - тэдгээрийг ерөнхийдөө бараг үргэлж тойрог хэлбэрээр шийддэг. Товчхондоо, стандартаас арай илүү төвөгтэй аливаа ажилд.

Мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлэх үү?

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх:

Эхлээд энэ нь илүү энгийн, шууд энэ хичээл дээр.

Одоо илүү хэцүү болсон.

Зөвлөгөө: энд та тойргийн талаар бодох хэрэгтэй. Хувь хүний ​​хувьд.)

Тэгээд одоо гаднаас нь мадаггүй зөв ... Тэднийг мөн онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг.

синкс = 0

синкс = 1

cosx = 0

cosx = -1

Зөвлөмж: Энд та тойрог дотор хоёр цуврал хариулт, хаана нэг хариулт байгааг олж мэдэх хэрэгтэй ... Мөн хоёр хариултын оронд нэгийг хэрхэн бичих вэ. Тийм ээ, ингэснээр хязгааргүй тооны нэг ч үндэс алга болохгүй!)

За, маш энгийн):

синкс = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Зөвлөгөө: Энд та арксинус, арккосин гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй байна уу? Нуман тангенс, нуман тангенс гэж юу вэ? Ихэнх энгийн тодорхойлолтууд. Гэхдээ та хүснэгтийн утгыг санах шаардлагагүй!)

Хариултууд нь мэдээж эмх замбараагүй байна):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Бүх зүйл болохгүй байна уу? Энэ нь тохиолддог. Хичээлээ дахин унш. Зөвхөн бодолтойгоор(ийм байна хуучирсан үг...) Мөн холбоосыг дагана уу. Гол холбоосууд нь тойргийн тухай юм. Тригонометрийн хувьд үүнгүйгээр - нүдийг нь боосон замыг хэрхэн хөндлөн гарах вэ. Заримдаа энэ нь ажилладаг.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)

функц болон деривативтай танилцах боломжтой.

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглаж, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбогдох үед ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан танд чухал мэдэгдэл, мессеж илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно янз бүрийн судалгааүзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн дагуу хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон нийтийн ашиг сонирхлын бусад зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны талаарх мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон физикийн зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Тригонометрийн үндсэн томъёоны талаархи мэдлэгийг шаарддаг - синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр, синус ба косинусаар шүргэгчийг илэрхийлэх болон бусад. Тэднийг мартсан эсвэл мэдэхгүй хүмүүст "" нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна.
Тиймээс бид тригонометрийн үндсэн томъёог мэддэг тул тэдгээрийг хэрэгжүүлэх цаг болжээ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхЗөв арга барилаар бол энэ нь жишээлбэл, Рубикийн шоо тайлах гэх мэт сэтгэл хөдөлгөм үйл ажиллагаа юм.

Нэрнээс нь харахад тригонометрийн тэгшитгэл нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх нь байдаг тэгшитгэл гэдэг нь тодорхой байна.
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлүүд байдаг. Эдгээр нь дараах байдалтай байна: sinх = a, cos x = a, tg x = a. авч үзье, Ийм тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх, тодорхой болгохын тулд бид аль хэдийн танил болсон тригонометрийн тойргийг ашиглах болно.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

ор x = a

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр үе шаттайгаар шийддэг: бид тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулж, дараа нь хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийддэг.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 7 үндсэн арга байдаг.

1. Хувьсах ба орлуулах арга

2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Бууруулах томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Энгийн байхын тулд cos(x + /6)-г y-ээр сольж, ердийн квадрат тэгшитгэлийг авъя:

2ж 2 – 3ж + 1 + 0

y 1 = 1, y 2 = 1/2 байх үндэс

Одоо хойшоо явцгаая

Бид y-ийн олсон утгыг орлуулж, хоёр хариулт авна.

2. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх

sin x + cos x = 1 тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Баруун талд 0 үлдэхийн тулд бүгдийг зүүн тийш шилжүүлье:

sin x + cos x - 1 = 0

Бид тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд дээрх таних тэмдгүүдийг ашигладаг.

нүгэл х - 2 нүгэл 2 (х/2) = 0

Хүчин зүйлчлэлийг хийцгээе:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Бид хоёр тэгшитгэл авдаг

3. Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Тэгшитгэл нь синус ба косинустай холбоотой бүх гишүүн нь ижил өнцгийн зэрэгтэй байвал синус ба косинусын хувьд нэгэн төрлийн байна. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд дараах алхмуудыг хийнэ.

а) бүх гишүүдээ зүүн тал руу шилжүүлэх;

б) бүх нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах;

в) бүх хүчин зүйл болон хаалтыг 0-тэй тэнцүүлэх;

г) хаалтанд хүлээн авсан нэгэн төрлийн тэгшитгэлбага хэмжээгээр, энэ нь эргээд синус эсвэл косинус руу илүү их хэмжээгээр хуваагддаг;

e) tg-ийн үр дүнд үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 тэгшитгэлийг шийд.

sin 2 x + cos 2 x = 1 томъёог ашиглаад баруун талд байгаа нээлттэй хоёрыг хасъя:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cosx-д хуваах:

тг 2 х + 4 тг х + 3 = 0

Бид tg x-г y-ээр сольж, квадрат тэгшитгэлийг авна.

y 2 + 4y +3 = 0 үндэс нь y 1 =1, y 2 = 3

Эндээс бид анхны тэгшитгэлийн хоёр шийдлийг олно.

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Хагас өнцөгт шилжих замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

3sin x - 5cos x = 7 тэгшитгэлийг шийд

x/2 руу шилжье:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Бүгдийг зүүн тийш шилжүүлэх:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2)-д хуваах:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Туслах өнцгийн танилцуулга

Үүнийг авч үзэхийн тулд дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье: a sin x + b cos x \u003d c,

Үүнд: a, b, c нь дурын коэффициент, x нь үл мэдэгдэх коэффициент юм.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваа.



Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн дагуу тригонометрийн томъёо sin болон cos шинж чанаруудтай, тухайлбал: тэдгээрийн модуль нь 1-ээс ихгүй ба квадратуудын нийлбэр = 1. Бид тэдгээрийг тус тусад нь cos болон sin гэж тэмдэглэдэг, үүнд туслах өнцөг гэж нэрлэгддэг. Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

эсвэл sin(x + ) = C

Энэхүү энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, хаана



Cos болон sin гэсэн тэмдэглэгээг сольж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

sin 3x - cos 3x = 1 тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэлд коэффициентүүд нь:

a \u003d, b \u003d -1 тул бид хоёр хэсгийг \u003d 2-т хуваана.

"A авах" видео хичээл нь танд хэрэгтэй бүх сэдвүүдийг багтаасан болно амжилттай хүргэлт 60-65 оноогоор математикийн хичээлд ХЭРЭГЛЭЭ. Профайлын 1-13-р бүх даалгаврыг математикт ашиглах. Математикийн үндсэн хэрэглээг давахад тохиромжтой. Шалгалтаа 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд зуун оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгч ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Түргэн арга замуудшалгалтын шийдэл, занга, нууц. FIPI Банкны даалгаврын 1-р хэсгийн холбогдох бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Уг сургалт нь USE-2018 стандартын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн.

Олон зуун шалгалтын даалгавар. Текстийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Онол, лавлах материал, бүх төрлийн USE даалгаврын дүн шинжилгээ. Стереометр. Заль мэхшийдэл, ашигтай хууран мэхлэх хуудас, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь - 13-р даалгавар руу. Шатлахын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын визуал тайлбар. Алгебр. Үндэс, зэрэглэл ба логарифм, функц ба дериватив. Уусмалын суурь сорилттой даалгаваруудШалгалтын 2 хэсэг.

"Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.

1С-ийн 10-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Бид геометрийн асуудлыг шийддэг. Сансарт барих интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик байгуулагч 6.1"

Бид юу судлах вэ:
1. Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.
4. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
5. Жишээ.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

Залуус аа, бид аль хэдийн арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенсыг судалж үзсэн. Одоо тригонометрийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэлүүд - тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэлүүд.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэлбэрийг давтана.

1) Хэрэв |а|≤ 1 бол cos(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Хэрэв |а|≤ 1 бол sin(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

3) Хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin(x) = a ба cos(x) = a тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй 4) tg(x)=a тэгшитгэл нь шийдтэй байна: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arcctg(a)+ πk

Бүх томьёоны хувьд k нь бүхэл тоо юм

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл нь Т(kx+m)=a, T- дурын тригонометрийн функц хэлбэртэй байна.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) sin(3x)= √3/2

Шийдэл:

A) 3x=t гэж тэмдэглээд тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn болно.

Утгын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг авна: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Хувьсагч руугаа буцъя: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Дараа нь x= ​​((-1)^n)×π/9+ πn/3

Хариулт: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, энд n нь бүхэл тоо. (-1)^n - n-ийн хүчийг хасах нэг.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн бусад жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Шийдэл:

A) Энэ удаад бид тэгшитгэлийн язгуурын тооцоонд шууд очно.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тэгвэл x/5= πk => x=5πk болно

Хариулт: x=5πk, энд k нь бүхэл тоо.

B) Бид 3x- π/3=arctg(√3)+ πk хэлбэрээр бичнэ. arctg(√3)= π/3 гэдгийг бид мэднэ

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Хариулт: x=2π/9 + πk/3, энд k нь бүхэл тоо.

Тэгшитгэлийг шийд: cos(4x)= √2/2. Мөн сегмент дээрх бүх үндсийг олоорой.

Шийдэл:

Бид дотроо шийднэ ерөнхий үзэлбидний тэгшитгэл: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Одоо манай сегмент дээр ямар үндэс суурь болохыг харцгаая. k хувьд k=0, x= π/16 хувьд бид өгөгдсөн сегментэд байна.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 байхад тэд дахин цохив.
k=2-ийн хувьд x= π/16+ π=17π/16, гэхдээ энд бид оноогүй, энэ нь том k-г ч онохгүй гэсэн үг.

Хариулт: x= π/16, x= 9π/16

Шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн боловч илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүд байдаг. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга, хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашигладаг. Жишээнүүдийг харцгаая.

Тэгшитгэлийг шийдье:

Шийдэл:
Тэгшитгэлээ шийдэхийн тулд бид t=tg(x) гэж тэмдэглэсэн шинэ хувьсагчийг оруулах аргыг ашигладаг.

Орлуулалтын үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна: t 2 + 2t -1 = 0

Үндсийг нь олъё квадрат тэгшитгэл: t=-1 ба t=1/3

Дараа нь tg(x)=-1 ба tg(x)=1/3, бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлтэй болсон, түүний үндсийг олъё.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Хариулт: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Шийдэл:

Шинжилгээг ашиглая: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Бидний тэгшитгэл: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0 болно.

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулъя.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь язгуурууд юм: t=2 ба t=-1/2

Дараа нь cos(x)=2 ба cos(x)=-1/2.

Учир нь косинус нэгээс их утгыг авч чадахгүй бол cos(x)=2 нь үндэсгүй болно.

cos(x)=-1/2-ийн хувьд: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Хариулт: x= ±2π/3 + 2πk

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.

Тодорхойлолт: a sin(x)+b cos(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэнэ.

Маягтын тэгшитгэл

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Нэгдүгээр зэргийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид үүнийг cos(x)-д хуваана: Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол косинусыг хуваах боломжгүй, энэ нь тийм биш эсэхийг шалгацгаая.
cos(x)=0 байг, тэгвэл asin(x)+0=0 => sin(x)=0, гэхдээ синус ба косинус нь тэгтэй тэнцүү биш тул бид зөрчилтэй байгаа тул бид аюулгүй хувааж болно. тэгээр.

Тэгшитгэлийг шийд:
Жишээ: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Шийдэл:

Нийтлэг хүчин зүйлийг гарга: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

cos(x)=0 ба cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk-ийн хувьд Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 тэгшитгэлийг авч үзье Бидний тэгшитгэлийг cos(x)-д хуваа.

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Хариулт: x= π/2 + πk ба x= -π/4+πk

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Залуус аа, эдгээр дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөөрэй!

1. a коэффициент нь хэдтэй тэнцүү болохыг харна уу, хэрэв a \u003d 0 бол бидний тэгшитгэл cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) хэлбэртэй байх бөгөөд үүний шийдлийн жишээ нь өмнөх хувилбар дээр байна. слайд

2. Хэрэв a≠0 бол тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг косинусын квадратаар хуваах шаардлагатай бол бид дараахь зүйлийг авна.

Бид t=tg(x) хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийснээр тэгшитгэл гарна.

Жишээ №3-ийг шийд

Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваа.

Бид t=tg(x) хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийнэ: t 2 + 2 t - 3 = 0

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол: t=-3 ба t=1

Дараа нь: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Хариулт: x=-arctg(3) + πk ба x= π/4+ πk

Жишээ №4-ийг шийд

Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

Бид ийм тэгшитгэлийг шийдэж чадна: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

Хариулт: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

Жишээ №5-ыг шийд

Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

Бид tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулж байна.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь язгуурууд байх болно: t=-2 ба t=1/2

Дараа нь бид: tg(2x)=-2 ба tg(2x)=1/2 болно
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Хариулт: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ба x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Бие даасан шийдлийн даалгавар.

1) Тэгшитгэлийг шийд

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Тэгшитгэлийг шийд: sin(3x)= √3/2. Мөн сегмент дэх бүх үндсийг олоорой [π/2; π].

3) Тэгшитгэлийг шийд: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Тэгшитгэлийг шийд: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Тэгшитгэлийг шийд: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Тэгшитгэлийг шийд: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)