Геометр прогрессийн элементүүдийн нийлбэр. Алгебр: Арифметик ба геометрийн прогрессууд
Хэрэв натурал тоо бүр бол n бодит тоог тааруулна a n , дараа нь тэд өгсөн гэж хэлдэг тооны дараалал :
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .
Тэгэхээр тоон дараалал нь байгалийн аргументийн функц юм.
Тоо а 1 дуудсан дарааллын эхний гишүүн , тоо а 2 — дарааллын хоёр дахь гишүүн , тоо а 3 — гурав дахь гэх мэт. Тоо a n дуудсан дарааллын n-р гишүүн , ба натурал тоо n — түүний дугаар .
Хоёр хөршийн гишүүнээс a n болон a n +1 гишүүдийн дараалал a n +1 дуудсан дараагийн ( зүг a n ), a a n — өмнөх ( зүг a n +1 ).
Дараалалыг зааж өгөхийн тулд та дурын дугаартай дарааллын гишүүнийг олох боломжийг олгох аргыг зааж өгөх ёстой.
Ихэнхдээ дарааллыг нь өгдөг n-р хугацааны томьёо , өөрөөр хэлбэл, дарааллын гишүүнийг дугаараар нь тодорхойлох боломжийг олгодог томьёо.
Тухайлбал,
эерэг сондгой тооны дарааллыг томъёогоор өгч болно
a n= 2n- 1,
болон ээлжлэн солих дараалал 1 болон -1 - томьёо
б n = (-1)n +1 . ◄
Дарааллыг тодорхойлж болно давтагдах томъёо, өөрөөр хэлбэл, өмнөх (нэг ба түүнээс дээш) гишүүдээр дамжуулан заримаас эхлэн дарааллын аль нэг гишүүнийг илэрхийлэх томъёо юм.
Тухайлбал,
хэрэв а 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5
а 1 = 1,
а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Хэрэв a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно.
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
а 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,
а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Дараалал байж болно эцсийн болон эцэс төгсгөлгүй .
Дараалал гэж нэрлэдэг эцсийн хязгаарлагдмал тооны гишүүдтэй бол. Дараалал гэж нэрлэдэг эцэс төгсгөлгүй хязгааргүй олон гишүүнтэй бол.
Тухайлбал,
Хоёр оронтой натурал тооны дараалал:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
эцсийн.
Анхны тооны дараалал:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
эцэс төгсгөлгүй. ◄
Дараалал гэж нэрлэдэг нэмэгдэх , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө их байвал.
Дараалал гэж нэрлэдэг суларч байна , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө бага байвал.
Тухайлбал,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . өсөх дараалал;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . нь буурах дараалал юм. ◄
Элементүүд нь тоо нэмэгдэх тусам багасдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ өсдөггүй дарааллыг нэрлэдэг нэг хэвийн дараалал .
Ялангуяа монотоник дараалал нь дараалал нэмэгдэж, дараалал буурч байна.
Арифметик прогресс
Арифметик прогресс дарааллыг дууддаг бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн өмнөхтэй нь тэнцүү бөгөөд ижил тоог нэмнэ.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .
аль нэг натурал тооны хувьд арифметик прогресс юм n нөхцөл хангагдсан:
a n +1 = a n + г,
хаана г - хэдэн тоо.
Тиймээс өгөгдсөн арифметик прогрессийн дараагийн болон өмнөх гишүүдийн хоорондын ялгаа үргэлж тогтмол байна:
a 2 - а 1 = a 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = г.
Тоо г дуудсан арифметик прогрессийн ялгаа.
Арифметик прогрессийг тогтоохын тулд түүний эхний гишүүн ба ялгааг зааж өгөхөд хангалттай.
Тухайлбал,
хэрэв а 1 = 3, г = 4 , дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.
a 1 =3,
a 2 = a 1 + г = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + г= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + г= 11 + 4 = 15,
а 5 = а 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄
Эхний гишүүнтэй арифметик прогрессийн хувьд а 1 ба ялгаа г түүнийг n
a n = a 1 + (n- 1)г.
Тухайлбал,
арифметик прогрессийн гучин гишүүнийг ол
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, г = 3,
нь 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)г,
a n= a 1 + (n- 1)г,
a n +1 = а 1 + nd,
тэгвэл ойлгомжтой
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.
a, b, c тоонууд нь зөвхөн аль нэг нь нөгөө хоёрын арифметик дундажтай тэнцүү байвал зарим арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болно.
Тухайлбал,
a n = 2n- 7 , нь арифметик прогресс юм.
Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Тиймээс,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Тэрийг тэмдэглэ n -Арифметик прогрессийн 1-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олохгүй а 1 , гэхдээ өмнөх ямар ч байсан a k
a n = a k + (n- к)г.
Тухайлбал,
төлөө а 5 бичиж болно
а 5 = a 1 + 4г,
а 5 = a 2 + 3г,
а 5 = a 3 + 2г,
а 5 = a 4 + г. ◄
a n = а н-к + кд,
a n = a n+k - кд,
тэгвэл ойлгомжтой
| a n=
| а н-к
+ a n+k
|
| 2
|
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн аль ч гишүүн нь энэ арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Үүнээс гадна аливаа арифметик прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Тухайлбал,
арифметик прогрессоор
1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;
2) 28 = а 10 = a 3 + 7г= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, учир нь
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
эхлээд n Арифметик прогрессийн гишүүд нь туйлын гишүүний нийлбэрийн хагасыг гишүүний тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
Эндээс, тухайлбал, хэрэв шаардлагатай бол нэр томьёог нэгтгэн дүгнэх хэрэгтэй
a k, a k +1 , . . . , a n,
Дараа нь өмнөх томьёо нь бүтэцээ хадгална:
Тухайлбал,
арифметик прогрессоор 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Хэрэв арифметик прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд а 1 , a n, г, nболонС n хоёр томъёогоор холбогдсон:
Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын утгыг өгөгдсөн бол хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэсэн эдгээр томъёоноос бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг тодорхойлно.
Арифметик прогресс нь монотон дараалал юм. Үүнд:
- хэрэв г > 0 , дараа нь энэ нь нэмэгдэж байна;
- хэрэв г < 0 , дараа нь буурч байна;
- хэрэв г = 0 , дараа нь хөдөлгөөнгүй байх болно.
Геометрийн прогресс
геометрийн прогресс дараалал гэж нэрлэгддэг бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоогоор үржүүлнэ.
б 1 , б 2 , б 3 , . . . , б н, . . .
аль нэг натурал тооны хувьд геометр прогресс юм n нөхцөл хангагдсан:
б н +1 = б н · q,
хаана q ≠ 0 - хэдэн тоо.
Тиймээс энэ геометрийн прогрессийн дараагийн гишүүний өмнөхтэй харьцуулсан харьцаа нь тогтмол тоо юм.
б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = б н +1 / б н = q.
Тоо q дуудсан геометр прогрессийн хуваагч.
Геометр прогрессийг тогтоохын тулд түүний эхний гишүүн болон хуваагчийг зааж өгөхөд хангалттай.
Тухайлбал,
хэрэв б 1 = 1, q = -3 , дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.
б 1 = 1,
б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,
б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,
б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,
б 5 = б 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
б 1 ба хуваагч q түүнийг n -р гишүүнийг дараах томъёогоор олж болно.
б н = б 1 · q n -1 .
Тухайлбал,
геометр прогрессийн долоо дахь гишүүнийг ол 1, 2, 4, . . .
б 1 = 1, q = 2,
б 7 = б 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = б 1 · q n -2 ,
б н = б 1 · q n -1 ,
б н +1 = б 1 · q n,
тэгвэл ойлгомжтой
б н 2 = б н -1 · б н +1 ,
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометрийн прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн геометрийн дундажтай (пропорциональ) тэнцүү байна.
Эсрэг заалт нь бас үнэн тул дараах баталгааг баримтална.
a, b, c тоонууд нь аль нэгнийх нь квадрат нь нөгөө хоёрын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл аль нэг нь нөгөө хоёрын геометрийн дундаж нь байвал геометрийн зарим прогрессийн дараалсан гишүүд болно.
Тухайлбал,
томъёогоор өгөгдсөн дараалал гэдгийг баталъя б н= -3 2 n , нь геометрийн прогресс юм. Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:
б н= -3 2 n,
б н -1 = -3 2 n -1 ,
б н +1 = -3 2 n +1 .
Тиймээс,
б н 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = б н -1 · б н +1 ,
Энэ нь шаардлагатай мэдэгдлийг баталж байна. ◄
Тэрийг тэмдэглэ n Геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно б 1 , гэхдээ өмнөх нэр томъёо б к , үүний тулд томъёог ашиглахад хангалттай
б н = б к · q n - к.
Тухайлбал,
төлөө б 5 бичиж болно
б 5 = б 1 · q 4 ,
б 5 = б 2 · q 3,
б 5 = б 3 · q2,
б 5 = б 4 · q. ◄
б н = б к · q n - к,
б н = б н - к · q k,
тэгвэл ойлгомжтой
б н 2 = б н - к· б н + к
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометр прогрессийн аль ч гишүүний квадрат нь түүнээс ижил зайд байгаа энэ прогрессийн гишүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Үүнээс гадна аливаа геометр прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.
б м· б н= б к· б л,
м+ n= к+ л.
Тухайлбал,
экспоненциалаар
1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;
2) 1024 = б 11 = б 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;
4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , учир нь
б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,
б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + б н
эхлээд n хуваагчтай геометр прогрессийн гишүүд q ≠ 0 томъёогоор тооцоолно:
Тэгээд хэзээ q = 1 - томьёоны дагуу
S n= n.b. 1
Хэрэв бид нөхцөлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол гэдгийг анхаарна уу
б к, б к +1 , . . . , б н,
Дараа нь томъёог ашиглана:
| S n- С к -1 = б к + б к +1 + . . . + б н = б к · | 1 - q n -
к +1
| . |
| 1 - q
|
Тухайлбал,
экспоненциалаар 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Хэрэв геометрийн прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд б 1 , б н, q, nболон S n хоёр томъёогоор холбогдсон:
Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын аль нэгийн утгыг өгсөн бол хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэсэн эдгээр томъёоноос бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг тодорхойлно.
Эхний гишүүнтэй геометр прогрессийн хувьд б 1 ба хуваагч q дараах үйл явдал болно монотон шинж чанарууд :
- Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил нэмэгдэж байна.
б 1 > 0 болон q> 1;
б 1 < 0 болон 0 < q< 1;
- Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил буурч байна.
б 1 > 0 болон 0 < q< 1;
б 1 < 0 болон q> 1.
Хэрэв q< 0 , тэгвэл геометр прогресс тэмдэг ээлжлэн байна: түүний сондгой тоотой гишүүний эхний гишүүнтэй ижил тэмдэгтэй, тэгш тоотой гишүүн нь эсрэг тэмдэгтэй байна. Хувьсах геометрийн прогресс нь монотон биш гэдэг нь ойлгомжтой.
Анхны бүтээгдэхүүн n Геометр прогрессийн нөхцөлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
П н= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · б н = (б 1 · б н) n / 2 .
Тухайлбал,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Хязгааргүй буурах геометр прогресс
Хязгааргүй буурах геометр прогресс хуваарийн модуль нь түүнээс бага хязгааргүй геометр прогресс гэж нэрлэдэг 1 , тэр бол
|q| < 1 .
Хязгааргүй буурч буй геометрийн прогресс нь буурах дараалал биш байж болохыг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд тохирно
1 < q< 0 .
Ийм хуваагчтай бол дараалал нь тэмдэг ээлжлэн солигддог. Тухайлбал,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр эхнийх нь нийлбэр гарах тоог нэрлэнэ үү n тооны хязгааргүй өсөх явцын нөхцөл n . Энэ тоо үргэлж хязгаарлагдмал бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ
| С= б 1 + б 2 + б 3 + . . . = | б 1
| . |
| 1 - q
|
Тухайлбал,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Арифметик ба геометр прогрессийн хамаарал
Арифметик ба геометрийн прогрессууд хоорондоо нягт холбоотой. Хоёрхон жишээг авч үзье.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . г , дараа нь
б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . б г .
Тухайлбал,
1, 3, 5, . . . - ялгавартай арифметик прогресс 2 болон
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . нь хуваагчтай геометр прогресс юм 7 2 . ◄
б 1 , б 2 , б 3 , . . . нь хуваагчтай геометр прогресс юм q , дараа нь
log a b 1, бүртгэл a b 2, бүртгэл a b 3, . . . - ялгавартай арифметик прогресс бүртгэл аq .
Тухайлбал,
2, 12, 72, . . . нь хуваагчтай геометр прогресс юм 6 болон
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ялгавартай арифметик прогресс lg 6 . ◄
Арифметикийн хамт геометрийн прогресс нь сургуулийн 9-р ангийн алгебрийн хичээлд судлагдсан чухал тооны цуврал юм. Энэ нийтлэлд бид геометрийн прогрессийн хуваагч, түүний утга нь шинж чанарт хэрхэн нөлөөлдөг талаар авч үзэх болно.
Геометр прогрессийн тодорхойлолт
Эхлэхийн тулд бид энэ тооны цувралын тодорхойлолтыг өгдөг. Геометрийн прогресс гэдэг нь эхний элементээ хуваагч хэмээх тогтмол тоогоор дараалан үржүүлснээр үүссэн рационал тоонуудын цуваа юм.
Жишээлбэл, 3, 6, 12, 24, ... цувралын тоонууд нь геометрийн прогресс юм, учир нь бид 3-ыг (эхний элемент) 2-оор үржүүлбэл 6, 6-г 2-оор үржүүлбэл 6-ыг авна. 12 гэх мэт.
Харж буй дарааллын гишүүдийг ихэвчлэн ai тэмдгээр тэмдэглэдэг ба энд i нь цувралын элементийн тоог харуулсан бүхэл тоо юм.
Прогрессийн дээрх тодорхойлолтыг математикийн хэлээр дараах байдлаар бичиж болно: an = bn-1 * a1, энд b нь хуваагч юм. Энэ томъёог шалгахад хялбар байдаг: хэрэв n = 1 бол b1-1 = 1, бид a1 = a1 авна. Хэрэв n = 2 бол an = b * a1, бид дахин авч үзэж буй тооны цувралын тодорхойлолтод хүрнэ. Үүнтэй төстэй үндэслэлийг n-ийн том утгын хувьд үргэлжлүүлж болно.
Геометр прогрессийн хуваагч
b тоо нь бүх тооны цуврал ямар тэмдэгттэй байхыг бүрэн тодорхойлдог. Б хуваагч нь эерэг, сөрөг, нэгээс их, бага байж болно. Дээрх бүх сонголтууд нь өөр өөр дараалалд хүргэдэг:
- b > 1. Рационал тооны өсөн нэмэгдэж буй цуваа байна. Жишээлбэл, 1, 2, 4, 8, ... Хэрэв a1 элемент сөрөг байвал бүх дараалал нь зөвхөн модуль нэмэгдэх боловч тоонуудын тэмдгийг харгалзан бууруулна.
- b = 1. Ижил рационал тоонуудын энгийн цуваа байдаг тул ийм тохиолдлыг ихэвчлэн прогресс гэж нэрлэдэггүй. Жишээлбэл, -4, -4, -4.
Нийлбэрийн томъёо
Харж байгаа прогрессийн төрлийг хуваагчийг ашиглан тодорхой асуудлыг авч үзэхийн өмнө түүний эхний n элементийн нийлбэрийн чухал томъёог өгөх хэрэгтэй. Томъёо нь: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Хэрэв та явцын гишүүдийн рекурсив дарааллыг авч үзвэл энэ илэрхийллийг өөрөө авч болно. Дээрх томъёонд дурын тооны гишүүний нийлбэрийг олохын тулд зөвхөн эхний элемент болон хуваагчийг мэдэхэд хангалттай гэдгийг анхаарна уу.
Хязгааргүй буурах дараалал
Энэ нь юу болохыг дээр тайлбарлав. Одоо Sn-ийн томъёог мэдэж байгаа тул үүнийг энэ тооны цувралд хэрэглэцгээе. Модуль нь 1-ээс хэтрэхгүй аливаа тоо том зэрэглэлд шилжихэд тэг болох хандлагатай байдаг тул -1 бол b∞ => 0 болно.
Зөрүү (1 - b) нь хуваагчийн утгаас үл хамааран үргэлж эерэг байх тул хязгааргүй багасах геометр прогрессийн S∞-ийн нийлбэрийн тэмдгийг түүний эхний элементийн a1 тэмдгээр онцгойлон тодорхойлно.
Одоо бид хэд хэдэн асуудлыг авч үзэх бөгөөд олж авсан мэдлэгээ тодорхой тоонд хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.
Даалгаврын дугаар 1. Прогрессийн үл мэдэгдэх элементүүд ба нийлбэрийг тооцоолох
Өгөгдсөн геометр прогрессийн хуваагч нь 2, эхний элемент нь 3. Түүний 7 ба 10 дахь гишүүн хэд байх ба эхний долоон элементийн нийлбэр хэд вэ?
Асуудлын нөхцөл нь маш энгийн бөгөөд дээрх томъёог шууд ашиглах явдал юм. Тиймээс n тоотой элементийг тооцоолохдоо an = bn-1 * a1 илэрхийллийг ашиглана. 7-р элементийн хувьд бид дараах байдалтай байна: a7 = b6 * a1, мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулж, бид дараахийг авна: a7 = 26 * 3 = 192. Бид 10-р гишүүний хувьд ижил зүйлийг хийнэ: a10 = 29 * 3 = 1536.
Бид нийлбэрийн хувьд сайн мэддэг томьёог ашиглаж, цувралын эхний 7 элементийн хувьд энэ утгыг тодорхойлно. Бидэнд: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Даалгаврын дугаар 2. Прогрессийн дурын элементүүдийн нийлбэрийг тодорхойлох
-2 нь экспоненциал прогрессийн хуваагч bn-1 * 4 байх ба энд n нь бүхэл тоо юм. Энэ цувралын 5-аас 10-р элементийн нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай.
Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан асуудлыг шууд шийдвэрлэх боломжгүй. Үүнийг 2 өөр аргаар шийдэж болно. Бүрэн гүйцэд байлгах үүднээс бид хоёуланг нь танилцуулж байна.
Арга 1. Үүний санаа нь энгийн: та эхний нөхцлийн харгалзах хоёр нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь нөгөөг нь нэгээс хасах хэрэгтэй. Бага нийлбэрийг тооцоол: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Одоо бид том нийлбэрийг тооцоолно: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Сүүлийн илэрхийлэлд зөвхөн 4 гишүүнийг нэгтгэсэн болохыг анхаарна уу, учир нь 5 дахь нь асуудлын нөхцөлийн дагуу тооцоолох шаардлагатай нийлбэрт аль хэдийн орсон байна. Эцэст нь бид ялгааг авна: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Арга 2. Тоонуудыг орлуулах, тоолохын өмнө тухайн цувралын m ба n гишүүний хоорондох нийлбэрийн томъёог гаргаж болно. Бид 1-р аргын адилаар ажилладаг, зөвхөн бид эхлээд нийлбэрийн бэлгэдлийн дүрслэлээр ажилладаг. Бидэнд: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Та үүссэн илэрхийлэлд мэдэгдэж буй тоонуудыг орлуулж, эцсийн үр дүнг тооцоолж болно: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Даалгаврын дугаар 3. Хуваагч нь юу вэ?
Хязгааргүй нийлбэр нь 3 байх тохиолдолд геометр прогрессийн хуваагчийг a1 = 2 гэж олоорой, энэ нь буурч буй тооны цуваа гэдгийг мэдэж байгаа.
Асуудлын нөхцөл байдлын дагуу үүнийг шийдвэрлэхийн тулд аль томъёог ашиглахыг таахад хэцүү биш юм. Мэдээжийн хэрэг, хязгааргүй буурах прогрессийн нийлбэрийн хувьд. Бидэнд: S∞ = a1 / (1 - b). Бид хуваагчийг илэрхийлдэг газраас: b = 1 - a1 / S∞. Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулж, шаардлагатай тоог авах нь хэвээр байна: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1/3 эсвэл -0.333 (3). Хэрэв бид энэ төрлийн дарааллын хувьд модуль b нь 1-ээс хэтрэхгүй байх ёстойг санаж байвал энэ үр дүнг чанарын хувьд шалгаж болно. Таны харж байгаагаар |-1 / 3|
Даалгаврын дугаар 4. Цуврал тоонуудыг сэргээх
Тоон цувааны 2 элементийг өгье, жишээлбэл, 5 дахь нь 30, 10 нь 60-тай тэнцүү. Энэ нь геометр прогрессийн шинж чанарыг хангаж байгааг мэдэж байгаа тул эдгээр өгөгдлөөс цувралыг бүхэлд нь сэргээх шаардлагатай.
Асуудлыг шийдэхийн тулд эхлээд мэдэгдэж буй гишүүн бүрийн харгалзах илэрхийлэлийг бичих хэрэгтэй. Бидэнд: a5 = b4 * a1 ба a10 = b9 * a1 байна. Одоо бид хоёр дахь илэрхийлэлийг эхнийх нь хуваавал: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Эндээс бодлогын нөхцлөөс мэдэгдэж буй гишүүдийн харьцааны тав дахь язгуурыг авч хуваагчийг тодорхойлно b = 1.148698. Бид үүссэн тоог мэдэгдэж буй элементийн илэрхийллүүдийн аль нэгэнд орлуулж, бид дараахийг авна: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Ингээд bn прогрессийн хуваагч, геометр прогресс bn-1 * 17.2304966 = an, энд b = 1.148698 болохыг олж мэдэв.
Геометрийн прогрессийг хаана ашигладаг вэ?
Хэрэв энэ тоон цувралыг практикт ашиглахгүй байсан бол түүнийг судлах нь зөвхөн онолын сонирхол болж буурах байсан. Гэхдээ ийм програм байдаг.
Хамгийн алдартай 3 жишээг доор жагсаав.
- Хөдөлгөөнт Ахиллес удаан яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй гэсэн Зеногийн парадоксыг тоонуудын төгсгөлгүй бууралтын дарааллын тухай ойлголтыг ашиглан шийддэг.
- Шатрын тавцангийн нүд тус бүр дээр улаан буудайн үр тариа байрлуулснаар 1-р нүдэнд 1 ширхэг, 2-т 2 ширхэг, 3-т 3 ширхэг гэх мэтээр байрлуулсан бол бүх нүдийг дүүргэхэд 18446744073709551615 ширхэг шаардлагатай болно. самбар!
- "Ханой цамхаг" тоглоомонд дискийг нэг саваагаас нөгөөд шилжүүлэхийн тулд 2n - 1 үйлдэл хийх шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн тоо ашигласан дискний тооноос н экспоненциалаар өсдөг.
Эртний Египтэд тэд зөвхөн арифметик төдийгүй геометрийн прогрессийг мэддэг байсан. Жишээлбэл, Ринд папирусын даалгавар: "Долоон нүүр нь долоон мууртай; муур бүр долоон хулгана иддэг, хулгана бүр долоон эрдэнэ шиш иддэг, чих бүр долоон хэмжүүр арвай ургуулдаг. Энэ цувралын тоонууд болон тэдгээрийн нийлбэр нь хэр их вэ?
 |
|
Цагаан будаа. 1. Эртний Египетийн геометрийн прогрессийн бодлого |
Энэ даалгавар нь бусад ард түмний дунд өөр өөр цаг үед олон удаа давтагдсан. Жишээлбэл, XIII зуунд бичсэн. Пизагийн Леонардогийн (Фибоначчийн) "Абакийн ном"-д Ром руу явах замд 7 хөгшин эмэгтэй (мэдээж мөргөлчид) гарч ирдэг бөгөөд тус бүр нь 7 луустай, тус бүр нь 7 ууттай байдаг. 7 талх, тус бүр нь 7 хутгатай, 7 ширхэг бүрээстэй. Асуудал нь хичнээн зүйл байгааг асууж байна.
Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Энэ томъёог жишээлбэл, дараах байдлаар баталж болно: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
b 1 q n тоог S n дээр нэмээд дараахийг гаргацгаая.
|
Эндээс S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) бөгөөд бид шаардлагатай томьёог авна.
6-р зуунд хамаарах Эртний Вавилоны шавар шахмалуудын нэг дээр аль хэдийн байдаг. МЭӨ д., нийлбэр агуулсан 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Үнэн, бусад хэд хэдэн тохиолдлын адилаар энэ баримтыг вавилончуудад хаана мэддэг байсныг бид мэдэхгүй. .
Хэд хэдэн соёл, тэр дундаа Энэтхэгт геометрийн дэвшлийн хурдацтай өсөлтийг орчлон ертөнцийн хязгааргүй байдлын тод бэлгэдэл болгон дахин дахин ашигладаг. Шатрын дүр төрхийн тухай алдартай домогт захирагч зохион бүтээгчдээ өөрөө шагнал сонгох боломжийг олгодог бөгөөд тэрээр шатрын тавцангийн эхний үүрэн дээр байрлуулсан тохиолдолд авах боломжтой тооны улаан буудайн үр тариа авахыг хүсдэг. , хоёр дахь нь хоёр, гурав дахь нь дөрөв, дөрөв дэх нь найм гэх мэт тоо хоёр дахин нэмэгдэх бүрд. Владика үүнийг хамгийн ихдээ хэдэн шуудай гэж бодсон ч тэр буруу тооцоолжээ. Шатрын тавцангийн бүх 64 квадратын хувьд зохион бүтээгч нь 20 оронтой тоогоор илэрхийлэгдэх үр тариа (2 64 - 1) авах ёстой гэдгийг харахад хялбар байдаг; Дэлхийн гадаргууг бүхэлд нь тариалсан ч шаардлагатай тооны үр тариа цуглуулахад дор хаяж 8 жил шаардлагатай. Энэ домог нь шатрын тоглоомд нуугдаж буй бараг хязгааргүй боломжуудын тухай ишлэл гэж заримдаа тайлбарладаг.
Энэ тоо үнэхээр 20 оронтой гэдгийг харахад амархан:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (илүү нарийвчлалтай тооцоолол нь 1.84 10 19-ийг өгдөг). Гэхдээ энэ тоо ямар оронтой тоогоор төгссөнийг олж мэдэх болов уу?
Хэрэв хуваарь абсолют утгаараа 1-ээс их бол геометр прогресс нэмэгдэж, нэгээс бага бол буурна. Сүүлчийн тохиолдолд хангалттай том n-ийн хувьд q n тоо дур зоргоороо жижиг болж болно. Өсөн нэмэгдэж буй экспоненциал гэнэтийн хурдацтай өсдөг бол буурч буй экспоненциал мөн адил хурдан буурдаг.
N том байх тусам qn тоо нь тэгээс ялгаатай байх тусам S n \u003d b 1 (1 - qn) / (1 - q) геометр прогрессийн n гишүүний нийлбэр нь S \u003d b 1 тоотой ойртох тусам / (1 - q) . (Жишээ нь, Ф.Вьет ийм үндэслэлтэй). S тоог хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр гэнэ. Гэсэн хэдий ч олон зууны туршид хязгааргүй тооны гишүүнчлэлтэй БҮХ геометрийн прогрессийн нийлбэр нь ямар утгатай вэ гэсэн асуулт математикчдад хангалттай тодорхойгүй байв.
Жишээлбэл, Зеногийн "Хазах", "Ахиллес ба яст мэлхий" гэсэн апориауудаас геометрийн прогресс буурч байгааг харж болно. Эхний тохиолдолд зам бүхэлдээ (уртыг 1 гэж бодъё) 1/2, 1/4, 1/8 гэх мэт хязгааргүй тооны сегментүүдийн нийлбэр гэдгийг тодорхой харуулсан. Мэдээжийн хэрэг, ийм байна. Хязгааргүй геометр прогрессийн төгсгөлтэй нийлбэрийн талаархи санаа бодлын үүднээс. Гэсэн хэдий ч - энэ нь яаж байж болох вэ?
|
Цагаан будаа. 2. 1/2 хүчин зүйлтэй ахиц дэвшил |
Ахиллесийн тухай апорид нөхцөл байдал арай илүү төвөгтэй байдаг, учир нь энд прогрессийн хуваагч нь 1/2-тэй тэнцүү биш, харин бусад тоотой тэнцүү байна. Жишээлбэл, Ахиллес v хурдтайгаар гүйж, яст мэлхий u хурдаар хөдөлж, тэдгээрийн хоорондох анхны зай нь l байна. Ахиллес энэ зайг l / v хугацаанд гүйх болно, яст мэлхий энэ хугацаанд lu / v зайд шилжих болно. Ахиллес энэ сегментийг дайран өнгөрөхөд яст мэлхий хоёрын хоорондох зай l (u / v) 2 гэх мэт болно. Яст мэлхийг гүйцэх нь эхнийх нь хязгааргүй буурч буй геометрийн прогрессийн нийлбэрийг олох гэсэн үг юм. l нэр томъёо ба хуваагч u / v. Энэ нийлбэр - Ахиллес эцэст нь яст мэлхийтэй уулзах цэг хүртэл гүйх сегмент нь l / (1 - u / v) = lv / (v - u) -тэй тэнцүү байна. Гэхдээ дахин хэлэхэд, энэ үр дүнг хэрхэн тайлбарлах, яагаад энэ нь ямар ч утга учиртай болох нь удаан хугацааны туршид тодорхойгүй байв.
|
Цагаан будаа. 3. 2/3 коэффициенттэй геометр прогресс |
Архимед параболын сегментийн талбайг тодорхойлохдоо геометрийн прогрессийн нийлбэрийг ашигласан. Параболын өгөгдсөн хэрчмийг AB хөвчөөр тусгаарлаж, параболын D цэг дээрх шүргэгчийг AB-тай параллель болгоё. C нь AB - ийн дунд цэг , E нь АС - ийн дунд цэг , F нь CB - ийн дунд цэг байг . A , E , F , B цэгүүдээр DC-тэй параллель шугам татах; D цэг дээр зурсан шүргэгч, эдгээр шугамууд K, L, M, N цэгүүдээр огтлолцоно. Мөн AD ба DB сегментүүдийг зурцгаая. EL шулуун нь AD шулууныг G цэгт, параболыг H цэгт огтолцгооё; FM шугам нь DB шугамыг Q цэгт, параболыг R цэг дээр огтолж байна. Конус огтлолын ерөнхий онолын дагуу DC нь параболын диаметр (өөрөөр хэлбэл түүний тэнхлэгтэй параллель сегмент); энэ ба D цэг дээрх тангенс нь параболын тэгшитгэлийг y 2 \u003d 2px хэлбэрээр бичсэн координатын тэнхлэгүүдийн үүрэг гүйцэтгэж чаддаг (x нь D-ээс өгөгдсөн диаметрийн аль ч цэг хүртэлх зай, y нь a урт юм. Энэ диаметрийн цэгээс параболын зарим цэг хүртэл өгөгдсөн шүргэгчтэй параллель сегмент).
Параболын тэгшитгэлийн ачаар DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, DK = 2DL тул KA = 4LH болно. KA = 2LG тул LH = HG . Параболын АХБ сегментийн талбай нь ΔADB гурвалжны талбай ба AHD ба DRB сегментүүдийн талбайн нийлсэн талбайтай тэнцүү байна. Хариуд нь AHD сегментийн талбай нь AHD гурвалжин ба үлдсэн AH ба HD сегментүүдийн талбайтай ижил төстэй бөгөөд тэдгээр нь тус бүртэй ижил үйлдлийг гүйцэтгэх боломжтой - гурвалжин (Δ) болон хуваагдана. үлдсэн хоёр сегмент () гэх мэт:
ΔAHD гурвалжны талбай нь ΔALD гурвалжны талбайн талтай тэнцүү (тэдгээр нь нийтлэг AD суурьтай, өндөр нь 2 дахин ялгаатай) бөгөөд энэ нь эргээд талбайн талтай тэнцүү байна. ΔAKD гурвалжин, тиймээс ΔACD гурвалжны талбайн тал хувь. Тиймээс ΔAHD гурвалжны талбай нь ΔACD гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна. Үүний нэгэн адил ΔDRB гурвалжны талбай нь ΔDFB гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна. Тэгэхээр ∆AHD ба ∆DRB гурвалжны талбайг нийлээд авч үзвэл ∆ADB гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна. AH, HD, DR, RB сегментүүдэд хэрэглэсэн энэ үйлдлийг давтан хийснээр тэдгээрээс гурвалжнуудыг сонгох бөгөөд тэдгээрийн талбай нь ΔAHD ба ΔDRB гурвалжны талбайгаас 4 дахин бага байх болно. хамтад нь авч үзвэл ΔADB гурвалжны талбайгаас 16 дахин бага. гэх мэт:
Ийнхүү Архимед "шулуун шугам ба параболын хооронд хүрээлэгдсэн сегмент бүр нь ижил суурьтай, түүнтэй ижил өндөртэй гурвалжны гуравны дөрөв" гэдгийг баталжээ.
"Тооны дараалал. Геометрийн прогресс" сэдвээр хичээл, танилцуулга
Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.
9-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симулятор
Хүчин чадал ба үндэс Функц ба график
Залуус аа, өнөөдөр бид өөр төрлийн дэвшилттэй танилцах болно.
Өнөөдрийн хичээлийн сэдэв бол геометрийн прогресс юм.
Геометрийн прогресс
Тодорхойлолт. Хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх болон зарим тогтмол тооны үржвэртэй тэнцүү байх тоон дарааллыг геометр прогресс гэж нэрлэдэг.Дарааллаа рекурсив байдлаар тодорхойлъё: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
b ба q нь тодорхой тоонууд юм. q тоог прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.
Жишээ. 1,2,4,8,16... Эхний гишүүн нь нэгтэй тэнцүү геометр прогресс, $q=2$.
Жишээ. 8,8,8,8... Эхний гишүүн нь наймтай геометр прогресс
ба $q=1$.
Жишээ. 3,-3,3,-3,3... Эхний гишүүн нь гурав болох геометр прогресс,
ба $q=-1$.
Геометрийн прогресс нь монотон шинж чанартай байдаг.
Хэрэв $b_(1)>0$, $q>1$,
дараа нь дараалал нэмэгдэж байна.
Хэрэв $b_(1)>0$ бол $0 Дарааллыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Арифметик прогрессийн нэгэн адил геометр прогрессийн элементүүдийн тоо төгсгөлтэй байвал уг прогрессийг төгсгөлтэй геометр прогресс гэж нэрлэдэг.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Хэрэв дараалал нь геометрийн прогресс бол квадрат гишүүний дараалал мөн геометр прогресс болно гэдгийг анхаарна уу. Хоёрдахь дараалалд эхний гишүүн $b_(1)^2$ ба хуваагч $q^2$ байна.
Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо
Геометрийн прогрессийг мөн аналитик хэлбэрээр тодорхойлж болно. Үүнийг хэрхэн хийхийг харцгаая:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Бид загварыг хялбархан харж болно: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Бидний томъёог "геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо" гэж нэрлэдэг.
Бид өөрсдийн жишээн рүү буцаж орцгооё.
Жишээ. 1,2,4,8,16... Эхний гишүүн нь нэгтэй тэнцүү геометр прогресс,
ба $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Жишээ. 16,8,4,2,1,1/2… Эхний гишүүн нь арван зургаан ба $q=\frac(1)(2)$ байх геометр прогресс.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Жишээ. 8,8,8,8… Эхний гишүүн нь найм, $q=1$ байх геометр прогресс.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Жишээ. 3,-3,3,-3,3… Эхний гишүүн нь гурван ба $q=-1$ болох геометр прогресс.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Жишээ. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ геометр прогресс өгөгдсөн.
a) $b_(1)=6, q=3$ гэдгийг мэддэг. $b_(5)$ олох.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ гэдгийг мэддэг. n-ийг олох.
в) $q=-2, b_(6)=96$ гэдгийг мэддэг. $b_(1)$ олох.
г) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ гэдгийг мэддэг. q-г ол.
Шийдэл.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ оноос хойш $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
в) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
г) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Жишээ. Геометр прогрессийн долоо, тав дахь гишүүдийн зөрүү 192, прогрессийн тав, зургаа дахь гишүүдийн нийлбэр нь 192. Энэ прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.
Шийдэл.
Бид мэднэ: $b_(7)-b_(5)=192$ ба $b_(5)+b_(6)=192$.
Бид бас мэднэ: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Дараа нь:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Бид тэгшитгэлийн системийг авсан:
$\begin(тохиолдол)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\төгсгөл(тохиолдол)$.
Тэгшүүлснээр бидний тэгшитгэлүүд:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Бид q хоёр шийдлийг авсан: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Хоёр дахь тэгшитгэлд дараалан орлуул:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ шийдэл байхгүй.
Бид үүнийг авсан: $b_(1)=4, q=2$.
Арав дахь гишүүнийг олъё: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Хязгаарлагдмал геометр прогрессийн нийлбэр
Бидэнд хязгаарлагдмал геометрийн прогресс байна гэж бодъё. Арифметик прогрессийн хувьд түүний гишүүдийн нийлбэрийг тооцоод үзье.$b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$ гэсэн хязгаарлагдмал геометр прогресс өгье.
Түүний гишүүдийн нийлбэрийн тэмдэглэгээг танилцуулъя: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ байх тохиолдолд. Геометр прогрессийн бүх гишүүд эхний гишүүнтэй тэнцүү бол $S_(n)=n*b_(1)$ болох нь тодорхой байна.
Одоо $q≠1$ тохиолдлыг авч үзье.
Дээрх дүнг q-аар үржүүлнэ.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Жич:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Бид төгсгөлтэй геометрийн прогрессийн нийлбэрийн томъёог олж авлаа.
Жишээ.
Эхний гишүүн нь 4, хуваагч нь 3 бол геометр прогрессийн эхний долоон гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Жишээ.
Мэдэгдэж байгаа геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Шийдэл.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365к-1365=1024к-1$.
$341к=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Геометр прогрессийн онцлог шинж чанар
Залуус аа, геометрийн прогресс өгөгдсөн. Түүний дараалсан гурван гишүүнийг авч үзье: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Үүнийг бид мэднэ:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Дараа нь:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Хэрэв дэвшил нь төгсгөлтэй бол эхний ба сүүлчийнхээс бусад бүх гишүүний хувьд энэ тэгш байдал хэрэгжинэ.
Хэрэв дараалал нь ямар төрлийн дараалалтай болох нь урьдаас тодорхойгүй боловч мэдэгдэж байгаа бол: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Энэ бол геометрийн прогресс гэж бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.
Тоон дараалал нь түүний гишүүн гишүүн бүрийн квадрат нь прогрессийн хоёр хөрш гишүүний үржвэртэй тэнцүү байх үед л геометр прогресс болно. Хязгаарлагдмал дэвшлийн хувьд энэ нөхцөл нь эхний болон сүүлийн үед хангагдахгүй гэдгийг бүү мартаарай.
Энэ таних тэмдгийг харцгаая: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$-ийг a ба b-ийн геометрийн дундаж гэж нэрлэдэг.
Геометр прогрессийн аль ч гишүүний модуль нь түүний хажууд байгаа хоёр гишүүний геометрийн дундажтай тэнцүү байна.
Жишээ.
$x+2 байхаар x-г ол; 2х+2; 3x+3$ нь геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн байв.
Шийдэл.
Онцлог шинж чанарыг ашиглая:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ба $x_(2)=-1$.
Анхны илэрхийлэлд дарааллаар орлуулаарай, бидний шийдлүүд:
$x=2$ байхад бид дараах дарааллыг олж авлаа: 4;6;9 нь $q=1.5$-тай геометр прогресс юм.
$x=-1$-ын тусламжтайгаар бид 1;0;0 дарааллыг авсан.
Хариулт: $x=2.$
Бие даасан шийдлийн даалгавар
1. Геометр прогрессийн найм дахь эхний гишүүнийг ол 16;-8;4;-2 ....2. 11,22,44... геометр прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.
3. $b_(1)=5, q=3$ гэдгийг мэддэг. $b_(7)$ олох.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ гэдгийг мэддэг. n-ийг олох.
5. 3;12;48... геометр прогрессийн эхний 11 гишүүний нийлбэрийг ол.
6. $3x+4 байхаар x-г ол; 2х+4; x+5$ нь геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн юм.
Геометрийн прогрессматематикт арифметикээс дутахааргүй чухал. Геометр прогресс гэдэг нь b1, b2,..., b[n] тоонуудын дараагийн гишүүн бүрийг өмнөхийг нь тогтмол тоогоор үржүүлээд олдог ийм дарааллыг хэлнэ. Прогрессийн өсөлт, бууралтын хурдыг тодорхойлдог энэ тоог мөн нэрлэдэг геометр прогрессийн хуваагчболон тэмдэглэнэ
Геометр прогрессийг бүрэн хуваарилахын тулд хуваагчаас гадна түүний эхний гишүүнийг мэдэх эсвэл тодорхойлох шаардлагатай. Хуваарийн эерэг утгын хувьд прогресс нь нэгэн хэвийн дараалал бөгөөд хэрэв энэ тоон дараалал нь монотон буурч, монотон нэмэгдэж байвал. Хүсэгч нь нэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд практикт авч үзэхгүй, учир нь бид ижил тооны дараалалтай бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь практик сонирхолгүй байдаг.
Геометр прогрессийн ерөнхий гишүүнтомъёоны дагуу тооцоолно
Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэртомъёогоор тодорхойлно
Сонгодог геометр прогрессийн бодлогын шийдлүүдийг авч үзье. Хамгийн энгийн ойлгомжтой зүйлээс эхэлцгээе.
Жишээ 1. Геометр прогрессийн эхний гишүүн 27, хуваагч нь 1/3. Геометр прогрессийн эхний зургаан гишүүнийг ол.
Шийдэл: Бид асуудлын нөхцөлийг маягт дээр бичнэ
Тооцооллын хувьд бид геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашигладаг
Үүний үндсэн дээр бид ахиц дэвшлийн үл мэдэгдэх гишүүдийг олдог
Таны харж байгаагаар геометрийн прогрессийн нөхцөлийг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш юм. Прогресс нь өөрөө иймэрхүү харагдах болно
Жишээ 2. Геометр прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: 6; -12; 24. Хугацаа ба долоо дахь гишүүнийг ол.
Шийдэл: Бид геометр прогрессийн хуваагчийг түүний тодорхойлолт дээр үндэслэн тооцдог
Бид хуваарь нь -2 байх ээлжлэн геометрийн прогрессийг авсан. Долоо дахь гишүүнийг томъёогоор тооцоолно
Энэ даалгаврыг шийдэж байна.
Жишээ 3. Геометр прогрессийг түүний хоёр гишүүн өгсөн 
. Прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.
Шийдэл:
Өгөгдсөн утгуудыг томъёогоор бичье
Дүрэм журмын дагуу хуваагчийг олж, дараа нь хүссэн утгыг хайх шаардлагатай байсан ч арав дахь гишүүний хувьд бид байна.
Оролтын өгөгдөлтэй энгийн залруулга хийх үндсэн дээр ижил томъёог олж авч болно. Бид цувралын зургаа дахь гишүүнийг нөгөөгөөр нь хувааж, үр дүнд нь бид авдаг
Хэрэв үр дүнгийн утгыг зургаа дахь гишүүнээр үржүүлбэл бид арав дахь хэсгийг авна
Тиймээс, ийм асуудлуудын хувьд энгийн өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар та зөв шийдлийг хурдан олох боломжтой.
Жишээ 4. Геометр прогрессийг давтагдах томьёогоор тодорхойлно
Геометр прогрессийн хуваагч ба эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:
Бид өгөгдсөн өгөгдлийг тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр бичдэг
Хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь хуваах замаар хуваагчийг илэрхийл
Эхний тэгшитгэлээс прогрессийн эхний гишүүнийг ол
Геометр прогрессийн нийлбэрийг олохын тулд дараах таван гишүүнийг тооцоол
