Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх томъёо. Тригонометрийн тэгшитгэл. Цогц гарын авлага (2019)

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай ойлголт.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг буюу хэд хэдэн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлд хөрвүүлнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцсийн эцэст дөрвөн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг.

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

• Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийн 4 төрөл байдаг.
• sin x = a; cos x = a
• tg x = a; ctg x = a
• Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэгж тойрог дээрх янз бүрийн x байрлалыг харж, хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглана.
• Жишээ 1.sin x = 0.866. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авна: x = π / 3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: 2π / 3. Санаж байгаарай: бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн утгууд давтагддаг. Жишээлбэл, sin x ба cos x-ийн үечлэл 2πn, tg x ба ctg x-ийн үечлэл πn байна. Тиймээс хариултыг дараах байдлаар бичнэ.
• x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
• Жишээ 2.cos x = -1/2. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авна: x = 2π / 3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: -2π / 3.
• x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
• Жишээ 3.tg (x - π / 4) = 0.
• Хариулт: x = π / 4 + πn.
• Жишээ 4. ctg 2x = 1.732.
• Хариулт: x = π / 12 + πn.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг хувиргалтууд.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг хувиргахын тулд ашиглана уу алгебрийн хувиргалт(факторжуулалт, нэгэн төрлийн нэр томъёог багасгах гэх мэт) болон тригонометрийн ижилсэл.
• Жишээ 5. Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан sin x + sin 2x + sin 3x = 0 тэгшитгэлийг 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 тэгшитгэл болгон хувиргав. Тиймээс та үүнийг шийдэх хэрэгтэй. дараах үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд: cos x = 0; нүгэл (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.

• Булангийн булангуудыг хайж байна мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэфункцууд.

  • Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг сурахаасаа өмнө функцүүдийн мэдэгдэж буй утгуудаас өнцгийг хэрхэн олохыг сурах хэрэгтэй. Үүнийг хөрвүүлэх хүснэгт эсвэл тооцоолуур ашиглан хийж болно.
  • Жишээ нь: cos x = 0.732. Тооцоологч х = 42.95 градусын хариултыг өгнө. Нэгж тойрог нь нэмэлт өнцгийг өгөх бөгөөд косинус нь мөн 0.732 байна.

• Уусмалыг нэгжийн тойрог дээр хойш тавь.

  • Та нэгж тойрог дээрх тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хойшлуулж болно. Нэгж тойрог дээрх тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүд нь ердийн олон өнцөгтийн оройнууд юм.
  • Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π / 3 + πn / 2 шийдлүүд нь квадратын оройнууд юм.
  • Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π / 4 + πn / 3 шийдлүүд нь ердийн зургаан өнцөгтийн оройг илэрхийлдэг.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.

  • Хэрэв өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэгийг агуулна тригонометрийн функц, энэ тэгшитгэлийг үндсэн триг тэгшитгэл болгон шийд. Хэрэв өгөгдсөн тэгшитгэлхоёр ба түүнээс дээш тригонометрийн функцийг багтаасан бол ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 арга байдаг (түүний хувиргалтын боломжоос хамааран).
    • Арга 1.
  • Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга: f (x) * g (x) * h (x) = 0, энд f (x), g (x), h (x) нь тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлүүд юм.
  • Жишээ 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Шийдэл. sin 2x = 2 * sin x * cos x гэсэн давхар өнцгийн томьёог ашиглан sin 2x-ийг солино.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Одоо cos x = 0 ба (sin x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
  • Жишээ 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг cos 2x (2cos x + 1) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. Одоо cos 2x = 0 ба (2cos x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
  • Жишээ 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Одоо хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд: cos 2x = 0 ба (2sin x + 1) = 0 .
    • Арга 2.
  • Өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэлийг зөвхөн нэг тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэл болгон хувирга. Дараа нь энэ тригонометрийн функцийг зарим үл мэдэгдэх функцээр солино, жишээлбэл, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t гэх мэт).
  • Жишээ 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
  • Шийдэл. Энэ тэгшитгэлд (cos ^ 2 x) -ийг (1 - sin ^ 2 x) (танихлалаар) орлуулаарай. Хувиргасан тэгшитгэл нь:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x-г t-ээр солино. Одоо тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Энэ нь t1 = -1 ба t2 = 9/5 гэсэн хоёр үндэстэй квадрат тэгшитгэл юм. Хоёрдахь үндэс t2 нь функцийн утгын мужийг хангадаггүй (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Жишээ 10.тг x + 2 тг ^ 2 x = ctg x + 2
  • Шийдэл. tg x-г t-ээр солино. Анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ үү: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Одоо t-ийг олоод t = tg x-ийн хувьд х-г ол.

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл түүнтэй холбоо тогтооход ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

• Таныг сайтад хүсэлт үлдээх үед бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох үйл явдлын талаар мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, мессеж илгээдэг.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно янз бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, тэмцээн эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгааны арга хэмжээнд оролцвол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн шийдвэрийн дагуу, шүүх хуралдаанд болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн үндсэн дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад нийгмийн чухал шалтгааны улмаас ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны талаарх мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ зохих гуравдагч этгээд буюу хууль ёсны өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэ

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид ажилтнууддаа нууцлал, аюулгүй байдлын дүрмийг хүргэж, нууцлалын арга хэмжээний хэрэгжилтэд хатуу хяналт тавьдаг.

Тригонометрийн үндсэн томъёоны талаархи мэдлэгийг шаарддаг - синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр, синус ба косинусын шүргэгчийг илэрхийлэх болон бусад. Тэднийг мартсан эсвэл мэдэхгүй хүмүүст "" нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна.
Тиймээс гол тригонометрийн томъёотэдгээрийг хэрэгжүүлэх цаг болсныг бид мэднэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхЗөв арга барилаар бол энэ нь жишээлбэл, Рубикийн шоо тайлах гэх мэт сэтгэл хөдөлгөм үйл ажиллагаа юм.

Нэрнээс нь харахад тригонометрийн тэгшитгэл нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн доор үл мэдэгдэх нь байгаа тэгшитгэл гэдэг нь тодорхой байна.
Хамгийн энгийн гэж нэрлэгддэг тригонометрийн тэгшитгэлүүд байдаг. Тэд ингэж харагдаж байна: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Санаж үз Ийм тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх, тодорхой болгохын тулд бид аль хэдийн танил болсон тригонометрийн тойргийг ашиглах болно.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

ор x = a

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр үе шаттайгаар шийддэг: бид тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулж, дараа нь хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийддэг.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 7 үндсэн арга байдаг.

1. Хувьсах орлуулалт ба орлуулах арга

2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Бууруулах томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Энгийн байхын тулд cos (x + / 6) -г y-ээр сольж, ердийн квадрат тэгшитгэлийг авна уу:

2 жил 2 - 3 жил + 1 + 0

Хэний үндэс y 1 = 1, y 2 = 1/2

Одоо урвуу дарааллаар явцгаая

Бид олсон y утгыг орлуулж, хоёр хариултыг авна.

2. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр шийдвэрлэх

sin x + cos x = 1 тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Баруун талд 0 үлдэхийн тулд бүгдийг зүүн тийш шилжүүлнэ үү:

sin x + cos x - 1 = 0

Бид тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд дээрх таних тэмдгүүдийг ашиглана.

нүгэл х - 2 нүгэл 2 (х / 2) = 0

Бид хүчин зүйлчлэлийг хийдэг:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2sin (x / 2) * = 0

Бид хоёр тэгшитгэл авдаг

3. Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Тэгшитгэл нь синус ба косинустай холбоотой бүх гишүүн нь ижил өнцгийн чадалтай бол синус ба косинусын хувьд нэгэн төрлийн байна. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд дараах алхмуудыг хийнэ.

а) бүх гишүүдээ зүүн талд шилжүүлэх;

б) бүх нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах;

в) бүх хүчин зүйл болон хаалтыг 0-тэй тэнцүүлэх;

г) хаалтанд бичнэ нэгэн төрлийн тэгшитгэлбага хэмжээгээр, энэ нь эргээд хамгийн дээд зэрэглэлийн синус эсвэл косинусаар хуваагддаг;

e) tg-ийн үр дүнд үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 тэгшитгэлийг шийд.

sin 2 x + cos 2 x = 1 томьёог ашиглаад баруун талд байгаа нээлттэй хоёрыг хасъя:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x-т хуваах:

тг 2 х + 4 тг х + 3 = 0

tg x-г у-аар сольж квадрат тэгшитгэл гарга.

y 2 + 4y +3 = 0, үндэс нь y 1 = 1, y 2 = 3

Эндээс бид анхны тэгшитгэлийн хоёр шийдлийг олно.

x 2 = арктан 3 + k

4. Хагас өнцөгт шилжих замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

3sin x - 5cos x = 7 тэгшитгэлийг шийд

x / 2 руу шилжих:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Бүгдийг зүүн тийш шилжүүлэх:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

cos (x / 2) -д хуваах:

тг 2 (х / 2) - 3тг (х / 2) + 6 = 0

5. Туслах өнцгийг танилцуулж байна

Үүнийг авч үзэхийн тулд дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна уу: a sin x + b cos x = c,

Үүнд: a, b, c нь зарим дурын коэффициент бөгөөд x нь тодорхойгүй байна.

Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваана.



Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь тригонометрийн томъёоны дагуу нүгэл ба cos шинж чанаруудтай, тухайлбал: тэдгээрийн модуль нь 1-ээс ихгүй ба квадратуудын нийлбэр = 1. Тэдгээрийг тус тусад нь cos ба sin гэж тэмдэглэе. туслах өнцөг гэж нэрлэгддэг. Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

cos * sin x + sin * cos x = С

эсвэл нүгэл (x +) = C

Энэхүү хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь байх болно

x = (-1) k * arcsin С - + k, энд



Cos болон sin хоёрыг орлуулж хэрэглэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

sin 3x - cos 3x = 1 тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэлд коэффициентүүд нь:

a =, b = -1 тул бид хоёр талыг = 2-т хуваана

Олон математикийн асуудлууд, ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Эдгээр ажлуудад жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл ба квадрат болж буурдаг тэгшитгэл. Дээр дурдсан асуудлууд тус бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: ямар төрлийн асуудлыг шийдэхийг тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. гэж хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилт эсвэл бүтэлгүйтэл нь шийдвэрлэх тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргаж байгаагаас ихээхэн хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд та гүйцэтгэх чадвартай байх ёстой ижил төстэй өөрчлөлтүүдболон тооцоолох.

Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг тогтоох нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

By Гадаад төрхтэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлоход заримдаа хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.

Санаж үз тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн схем

1-р алхам.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2.Функцийн аргументыг дараах томъёогоор ол.

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Хариулт: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Хувьсах солих

Шийдлийн схем

1-р алхам.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебрийн хэлбэрт оруул.

Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.

Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2 (1 - нүгэл 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Гэм (x / 2) = t, хаана | t | ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2, нөхцөлийг хангахгүй | t | ≤ 1.

4) нүгэл (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга

Шийдлийн схем

1-р алхам.Зэрэг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино уу.

нүгэл 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн схем

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруул

a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)

эсвэл санаанд

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tg x-ийн тэгшитгэлийг ол:

a) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.

Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) тг 2 х + 3тг х - 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4, тиймээс

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π / 4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн схем

1-р алхам.Бүх төрлийн тригонометрийн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргаар шийдсэн тэгшитгэлд оруул.

Алхам 2.Үүссэн тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй аргуудаар шийд.

Жишээ.

нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π / 2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, чадвар маш их чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаардагдана.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг.Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судлах явцад олж авсан олон мэдлэг, чадварыг агуулдаг.

Тригонометрийн тэгшитгэлматематикийн сургалтын үйл явцад чухал байр суурь эзэлдэг, ерөнхийдөө хувь хүний ​​​​хөгжил.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

блог. сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулбарласан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Олон математикийн асуудлууд, ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм бодлогод жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл, квадрат болж буурдаг тэгшитгэл орно. Дээр дурдсан асуудлууд тус бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: ямар төрлийн асуудлыг шийдэхийг тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. гэж хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилт эсвэл бүтэлгүйтэл нь шийдвэрлэх тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргаж байгаагаас ихээхэн хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.

Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг тогтоох нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

Тэгшитгэлийн харагдах байдал заримдаа түүний төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.

Санаж үз тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн схем

1-р алхам.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2.Функцийн аргументыг дараах томъёогоор ол.

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Хариулт: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Хувьсах солих

Шийдлийн схем

1-р алхам.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебрийн хэлбэрт оруул.

Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.

Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2 (1 - нүгэл 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Гэм (x / 2) = t, хаана | t | ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2, нөхцөлийг хангахгүй | t | ≤ 1.

4) нүгэл (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга

Шийдлийн схем

1-р алхам.Зэрэг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино уу.

нүгэл 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн схем

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруул

a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)

эсвэл санаанд

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tg x-ийн тэгшитгэлийг ол:

a) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.

Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) тг 2 х + 3тг х - 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4, тиймээс

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π / 4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн схем

1-р алхам.Бүх төрлийн тригонометрийн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргаар шийдсэн тэгшитгэлд оруул.

Алхам 2.Үүссэн тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй аргуудаар шийд.

Жишээ.

нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π / 2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, чадвар маш их чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаардагдана.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг.Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судлах явцад олж авсан олон мэдлэг, чадварыг агуулдаг.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь математикийн сургалтын үйл явц, ерөнхийдөө хувь хүний ​​​​хөгжилд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулсан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.