Арифметик прогрессийн хувьд n-тэй тэнцүү байна. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёо
Арифметик ба геометрийн прогресс
Онолын мэдээлэл
Онолын мэдээлэл
Арифметик прогресс |
Геометрийн прогресс |
|
Тодорхойлолт |
Арифметик прогресс a nдараалал гэж нэрлэгддэг бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнтэй ижил тоогоор нэмэгдсэнтэй тэнцүү байна. г (г- явцын ялгаа) |
Геометрийн прогресс б нЭнэ нь тэгээс өөр тооны дараалал бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүний ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. q (qпрогрессийн хуваагч юм) |
Давтагдах томъёо |
Аливаа байгалийн хувьд n |
Аливаа байгалийн хувьд n |
N-р хугацааны томъёо |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| Онцлог шинж чанар |  |
|
| n-эхний гишүүдийн нийлбэр |  |
 |
Тайлбар бүхий даалгаврын жишээ
Дасгал 1
Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6, a 2
n-р гишүүний томъёоны дагуу:
а 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 д
Нөхцөлөөр:
a 1= -6, тэгэхээр а 22= -6 + 21 d.
Прогрессийн хоорондох ялгааг олох шаардлагатай:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Хариулт: а 22 = -48.
Даалгавар 2
Геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: -3; 6; ....
1-р арга (n-н хугацааны томъёог ашиглан)
Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёогоор:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Учир нь б 1 = -3,
2-р арга (давтагдах томъёог ашиглах)
Прогрессийн хуваагч нь -2 (q = -2) тул:
б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Хариулт: б 5 = -48.
Даалгавар 3
Арифметик прогрессоор ( a n) a 74 = 34; нь 76= 156. Энэ прогрессийн далан тав дахь гишүүнийг ол.
Арифметик прогрессийн хувьд шинж чанар нь байна 
.
Тиймээс:
.
Өгөгдлийг томъёонд орлуулъя:
Хариулт: 95.
Даалгавар 4
Арифметик прогрессоор ( a n) a n= 3n - 4. Эхний арван долоон гишүүний нийлбэрийг ол.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олохын тулд дараах хоёр томъёог ашиглана.
.
Энэ тохиолдолд тэдгээрийн алийг нь ашиглах нь илүү тохиромжтой вэ?
Нөхцөлөөр анхны прогрессийн n-р гишүүний томъёо мэдэгдэж байна ( a n) a n= 3n - 4. Та нэн даруй олж болно a 1, ба а 16ололгүйгээр d. Тиймээс бид эхний томъёог ашиглана.
Хариулт: 368.
Даалгавар 5
Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Прогрессийн хорин хоёр дахь гишүүнийг ол.
n-р гишүүний томъёоны дагуу:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 өдөр.
Нөхцөлөөр, хэрэв a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21d. Прогрессийн хоорондох ялгааг олох шаардлагатай:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Хариулт: а 22 = -48.
Даалгавар 6
Геометр прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүдийг бичнэ:
Х үсгээр тэмдэглэсэн прогрессийн гишүүнийг ол.
Шийдэхдээ бид n-р гишүүний томъёог ашигладаг b n = b 1 ∙ q n - 1геометр прогрессийн хувьд. Прогрессийн анхны гишүүн. q прогрессийн хуваагчийг олохын тулд прогрессийн өгөгдсөн гишүүдээс аль нэгийг нь авч өмнөх гишүүнд хуваах хэрэгтэй. Бидний жишээн дээр та авч, хувааж болно. Бид q = 3 гэдгийг олж авна. Томъёоны n-ийн оронд 3-ыг орлуулна, учир нь геометр прогрессоор өгөгдсөн гурав дахь гишүүнийг олох шаардлагатай.
Олсон утгыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
.
Хариулт:.
Даалгавар 7
n-р гишүүний томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессуудаас нөхцөл тохирохыг нь сонго а 27 > 9:
Өгөгдсөн нөхцөл нь прогрессийн 27-р гишүүний хувьд биелэх ёстой тул дөрвөн прогресс бүрт n-ийн оронд 27-г орлуулна. 4-р шатанд бид дараахь зүйлийг авна.
.
Хариулт: 4.
Даалгавар 8
Арифметик прогрессоор a 1= 3, d = -1.5. Тэгш бус байдлыг хангах хамгийн том n утгыг тодорхойлно уу a n > -6.
I. V. Яковлев | Математикийн материал | MathUs.ru
Арифметик прогресс
Арифметик прогресс бол тусгай төрлийн дараалал юм. Тиймээс арифметик (дараа нь геометрийн) прогрессийг тодорхойлохын өмнө бид тооны дарааллын чухал ойлголтыг товч ярих хэрэгтэй.
Дараалал
Дэлгэц дээр зарим тоонууд ар араасаа гарч ирдэг төхөөрөмжийг төсөөлөөд үз дээ. 2 гэж хэлье; 7; 13; 1; 6; 0; 3; ::: Энэ тооны багц нь зүгээр л дарааллын жишээ юм.
Тодорхойлолт. Тоон дараалал гэдэг нь тоо бүрт өвөрмөц дугаар (өөрөөр хэлбэл нэг натурал тоог холбох) оноож болох тооны багц юм. n тоог дарааллын n-р гишүүн гэнэ.
Тиймээс, дээрх жишээнд эхний тоо нь 2-ын тоотой, энэ нь дарааллын эхний гишүүн бөгөөд үүнийг a1 гэж тэмдэглэж болно; тавын тоо нь 6 дугаартай бөгөөд энэ нь дарааллын тав дахь гишүүн бөгөөд үүнийг a5 гэж тэмдэглэж болно. Ерөнхийдөө дарааллын n-р гишүүнийг an (эсвэл bn, cn гэх мэт) гэж тэмдэглэнэ.
Дарааллын n-р гишүүнийг ямар нэгэн томьёогоор тодорхойлж болох үед нөхцөл байдал маш тохиромжтой. Жишээлбэл, an = 2n 3 томъёо нь дарааллыг тодорхойлдог: 1; 1; 3; 5; 7; ::: an = (1) n томъёо нь дарааллыг тодорхойлдог: 1; 1; 1; 1; :::
Тоонуудын багц бүр дараалал биш юм. Тиймээс сегмент нь дараалал биш юм; Энэ нь дахин дугаарлахад "хэт олон" тоо агуулсан байна. Бүх бодит тоонуудын R олонлог нь дараалал биш юм. Эдгээр баримтууд нь математикийн шинжилгээний явцад нотлогддог.
Арифметик прогресс: үндсэн тодорхойлолтууд
Одоо бид арифметик прогрессийг тодорхойлоход бэлэн боллоо.
Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэдэг нь гишүүн бүр (хоёр дахь үеэс эхлэн) өмнөх гишүүний нийлбэр ба зарим тогтмол тооны (арифметик прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг) тэнцүү дараалал юм.
Жишээлбэл, дараалал 2; 5; найман; арван нэгэн; ::: эхний гишүүн 2 ба ялгаа 3-тай арифметик прогресс юм. Дараалал 7; 2; 3; найман; ::: эхний гишүүн 7 ба зөрүү 5-тай арифметик прогресс юм. Дараалал 3; 3; 3; ::: нь тэг зөрүүтэй арифметик прогресс юм.
Эквивалент тодорхойлолт: an + 1 an ялгаа нь тогтмол утга (n-ээс хамааралгүй) байвал a дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
Арифметик прогрессийн зөрүү нь эерэг байвал өсөх, сөрөг байвал буурах прогресс гэнэ.
1 Энд илүү товч тодорхойлолт байна: дараалал нь натурал тооны олонлог дээр тодорхойлогдсон функц юм. Жишээлбэл, бодит тоонуудын дараалал нь f функц юм: N! Р.
Анхдагч байдлаар, дарааллыг хязгааргүй гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл хязгааргүй тооны тоог агуулдаг. Гэхдээ хэн ч хязгаарлагдмал дарааллыг авч үзэхээс санаа зовдоггүй; үнэн хэрэгтээ аливаа төгсгөлтэй тооны багцыг төгсгөлтэй дараалал гэж нэрлэж болно. Жишээлбэл, эцсийн дараалал нь 1; 2; 3; 4; 5 нь таван тооноос бүрдэнэ.
Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёо
Арифметик прогресс нь эхний гишүүн ба зөрүү гэсэн хоёр тоогоор бүрэн тодорхойлогддог гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Тиймээс асуулт гарч ирнэ: эхний гишүүн ба ялгааг мэдэж, арифметик прогрессийн дурын гишүүнийг хэрхэн олох вэ?
Арифметик прогрессийн n-р гишүүний шаардлагатай томьёог олж авахад хэцүү биш. А байг
ялгавартай арифметик прогресс d. Бидэнд байгаа: | |
an + 1 = an + d (n = 1; 2;:: :): | |
Ялангуяа бид бичнэ: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
бөгөөд одоо an-ийн томъёо нь: | |
an = a1 + (n 1) d: |
Бодлого 1. Арифметик прогресс 2-т; 5; найман; арван нэгэн; ::: n-р гишүүний томьёог олоод зуу дахь гишүүнийг тооцоол.
Шийдэл. (1) томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Арифметик прогрессийн шинж чанар, тэмдэг
Арифметик прогрессийн шинж чанар. Арифметик прогрессийн хувьд дурын
Өөрөөр хэлбэл, арифметик прогрессийн гишүүн бүр (хоёр дахь үеэс эхлэн) нь хөрш гишүүдийн арифметик дундаж юм.
Баталгаа. Бидэнд байгаа: | ||||
a n 1+ a n + 1 | (d) + (an + d) | |||
шаардлагын дагуу.
Ерөнхийдөө арифметик прогресс a нь тэгш байдлыг хангадаг
a n = a n k + a n + k
дурын n>2 ба аливаа натурал k-ийн хувьд< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Дараалал нь арифметик прогресс байхын тулд (2) томъёо нь зайлшгүй төдийгүй хангалттай нөхцөл болох нь харагдаж байна.
Арифметик прогрессийн шинж тэмдэг. Хэрэв тэгш байдал (2) бүх n> 2-д биелдэг бол a дараалал нь арифметик прогресс болно.
Баталгаа. (2) томъёог дараах байдлаар дахин бичье.
a na n 1 = a n + 1a n:
Энэ нь an + 1 an ялгаа нь n-ээс хамаарахгүй гэдгийг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь зөвхөн a дараалал нь арифметик прогресс байна гэсэн үг юм.
Арифметик прогрессийн шинж чанар, шинж чанарыг нэг өгүүлбэр болгон томъёолж болно; Тохиромжтой болгохын тулд бид үүнийг гурван тоогоор хийх болно (энэ нь асуудалд ихэвчлэн тохиолддог нөхцөл байдал юм).
Арифметик прогрессийн шинж чанар. a, b, c гурван тоо нь зөвхөн 2b = a + c тохиолдолд арифметик прогресс үүсгэдэг.
Бодлого 2. (Москвагийн Улсын Их Сургууль, Эдийн засгийн факультет, 2007) Заасан дарааллаар 8х, 3 х2, 4 гэсэн гурван тоо нь буурч буй арифметик прогрессийг үүсгэдэг. х-г олоод энэ прогрессийн зөрүүг заа.
Шийдэл. Арифметик прогрессийн шинж чанараар бид дараах байдалтай байна.
2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:
Хэрэв x = 1 бол бид буурч буй прогресс 8, 2, 4-ийн зөрүүтэй 6. Хэрэв x = 5 бол 40, 22, 4 нэмэгдэж буй прогрессийг авна; энэ хэрэг сайн биш байна.
Хариулт: x = 1, ялгаа нь 6 байна.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр
Нэгэн удаа багш хүүхдүүдэд 1-ээс 100 хүртэлх тооны нийлбэрийг олоорой гэж хэлээд сонин уншаад тайван сууж байсан гэж домогт өгүүлдэг. Гэтэл хэдхэн хором ч болоогүй байхад нэг хүү асуудлаа шийдчихлээ гэж хэлсэн. Энэ бол хожим түүхэн дэх хамгийн агуу математикчдын нэг болсон 9 настай Карл Фридрих Гаусс байв.
Бяцхан Гауссын санаа ийм байв. Байцгаая
S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:
Энэ дүнг урвуу дарааллаар бичье.
S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;
мөн эдгээр хоёр томъёог нэмнэ үү:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Хаалтанд байгаа гишүүн гишүүн бүр 101-тэй тэнцүү бөгөөд нийт 100 ийм гишүүн байна.Иймээс
2S = 101 100 = 10100;
Бид энэ санааг нийлбэрийн томъёог гаргахдаа ашигладаг
S = a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)
n-р гишүүний an = a1 + (n 1) d томъёог түүнд орлуулах замаар (3) томъёоны ашигтай өөрчлөлтийг олж авна.
2a1 + (n 1) d | |||||
Бодлого 3. 13-т хуваагдах бүх эерэг гурван оронтой тооны нийлбэрийг ол.
Шийдэл. Гурван оронтой тоо, 13-ын үржвэр нь эхний гишүүн 104, зөрүү 13-тай арифметик прогресс үүсгэдэг; Энэ прогрессийн n-р гишүүн нь:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Манай дэвшил хэдэн гишүүнтэй болохыг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгш бус байдлыг шийднэ.
6999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Тэгэхээр манай дэвшилд 69 гишүүн байна. Томъёо (4) ашиглан бид шаардлагатай нийлбэрийг олно.
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Арифметик прогресстооны дараалал гэж нэрлэдэг (прогрессийн гишүүд)
Дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө шинэ нэр томъёогоор ялгаатай байдаг бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг алхам эсвэл дэвшлийн ялгаа.
Тиймээс, прогрессийн алхам ба түүний эхний гишүүнийг тохируулснаар та түүний аль ч элементийг томъёогоор олох боломжтой
Арифметик прогрессийн шинж чанарууд
1) Хоёр дахь тооноос эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь прогрессийн өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.
Эсрэг заалт нь бас үнэн юм. Прогрессийн зэргэлдээх сондгой (тэгш) гишүүдийн арифметик дундаж нь тэдгээрийн хоорондох гишүүнтэй тэнцүү бол энэ тооны дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ мэдэгдэл нь аливаа дарааллыг шалгахад маш хялбар болгодог.
Мөн арифметик прогрессийн шинж чанараар дээрх томъёог дараах байдлаар ерөнхийлж болно
Хэрэв бид тэгшитгэлийн тэмдгийн баруун талд нөхцөлийг бичвэл үүнийг шалгахад хялбар болно
Бодлогын тооцооллыг хялбарчлахын тулд үүнийг практикт ихэвчлэн ашигладаг.
2) Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг томъёогоор тооцоолно
Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог сайн санаарай, энэ нь тооцоололд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд энгийн амьдралын нөхцөлд нэлээд түгээмэл байдаг.
3) Хэрэв та бүхэл нийлбэрийг биш, харин k -р гишүүнээс эхлэн дарааллын нэг хэсгийг олох шаардлагатай бол дараах нийлбэрийн томьёо хэрэг болно.
4) k-р тооноос эхлэн арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг олох нь практик сонирхолтой юм. Үүнийг хийхийн тулд томъёог ашиглана уу
Энэ нь онолын материалыг дуусгаж, практикт нийтлэг асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шилжинэ.
Жишээ 1. Арифметик прогрессийн дөчин гишүүнийг ол 4;7; ...
Шийдэл:
Нөхцөлийн дагуу бол бидэнд байгаа
Явцын алхамыг тодорхойл
Сайн мэддэг томьёог ашиглан бид прогрессийн дөчин гишүүнийг олно
Жишээ 2. Арифметик прогрессийг гурав, долоо дахь гишүүнээр нь өгнө. Прогрессийн эхний гишүүн ба арвын нийлбэрийг ол.
Шийдэл:
Прогрессийн өгөгдсөн элементүүдийг томьёо ашиглан бичье
Бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасч, үр дүнд нь прогрессийн алхамыг олдог
Арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг олохын тулд олсон утгыг тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулна.
Бид прогрессийн эхний арван гишүүний нийлбэрийг тооцдог
Нарийн төвөгтэй тооцоололгүйгээр бид шаардлагатай бүх утгыг олсон.
Жишээ 3. Арифметик прогрессийг хуваагч болон түүний аль нэг гишүүн өгнө. Прогрессийн эхний гишүүн, 50-аас эхэлсэн 50 гишүүний нийлбэр, эхний 100 гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:
Прогрессийн зуу дахь элементийн томъёог бичье
мөн эхнийхийг нь олоорой
Эхнийх нь дээр үндэслэн бид прогрессийн 50 гишүүнийг олдог
Прогрессийн хэсгийн нийлбэрийг ол
ба эхний 100-ийн нийлбэр
Нийт явц нь 250 байна.
Жишээ 4.
Дараах тохиолдолд арифметик прогрессийн гишүүдийн тоог ол.
a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.
Шийдэл:
Бид тэгшитгэлийг эхний гишүүн, прогрессийн алхамаар бичиж, тодорхойлно
Бид олж авсан утгыг нийлбэрийн томъёонд орлуулж, нийлбэр дэх гишүүдийн тоог тодорхойлно
Хялбаршуулж байна
мөн квадрат тэгшитгэлийг шийд
Асуудлын нөхцөлд олдсон хоёр утгаас зөвхөн 8 тоо тохиромжтой. Ийнхүү дэвшлийн эхний найман гишүүний нийлбэр нь 111 байна.
Жишээ 5.
Тэгшитгэлийг шийд
1 + 3 + 5 + ... + x = 307.
Шийдэл: Энэ тэгшитгэл нь арифметик прогрессийн нийлбэр юм. Түүний эхний гишүүнийг бичээд прогрессийн зөрүүг олъё
Арифметик прогрессийн асуудлууд эрт дээр үед аль хэдийн байсан. Тэд практик хэрэгцээтэй тул гарч ирээд шийдлийг шаардсан.
Тиймээс, математикийн агуулгатай Эртний Египетийн папирусуудын нэг болох Ринд папирус (МЭӨ XIX зуун) нь дараахь асуудлыг агуулж байна: арван хэмжүүр талхыг арван хүнд хуваа, хэрэв тэдгээрийн хоорондын ялгаа нэг байвал. - хэмжүүрийн наймны нэг."
Мөн эртний Грекчүүдийн математикийн бүтээлүүдэд арифметик прогресстой холбоотой гоёмсог теоремууд байдаг. Тиймээс, Александрын Hypsicles (II зуун, олон сонирхолтой бодлого боловсруулж, Евклидийн "Зарчмууд"-д арван дөрөв дэх номыг нэмсэн" санааг томъёолсон: "Тэгш тооны гишүүдтэй арифметик прогрессийн хувьд гишүүдийн нийлбэр. хоёрдугаар хагас нь гишүүдийн 1/2 квадрат тутамд эхний хагасын гишүүдийн нийлбэрээс их байна ".
Дараалал нь ангаар тэмдэглэгдсэн байна. Дарааллын тоог гишүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн энэ гишүүний дарааллын дугаарыг (a1, a2, a3 ... уншина уу: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" гэсэн индекс бүхий үсгээр тэмдэглэдэг. гэх мэт).
Дараалал нь төгсгөлгүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно.
Арифметик прогресс гэж юу вэ? Прогрессийн зөрүү болох d тоотой ижил тооны өмнөх гишүүн (n)-ийг нэмснээр олж авсан гэж ойлгодог.
Хэрэв d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 бол ийм прогрессийг өсөх хандлагатай гэж үзнэ.
Арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн цөөхөн хэсгийг л авч үзвэл төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Маш олон гишүүнтэй энэ бол эцэс төгсгөлгүй дэвшил юм.
Аливаа арифметик прогрессийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
an = kn + b, харин b ба k нь зарим тоо юм.
Эсрэг заалт нь туйлын үнэн юм: хэрэв дараалал нь ижил төстэй томъёогоор өгөгдсөн бол энэ нь яг дараах шинж чанартай арифметик прогресс юм.
- Прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.
- Эсрэгээр нь: хэрэв 2-оос эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүний арифметик дундаж, дараагийнх нь, i.e. хэрэв нөхцөл хангагдсан бол энэ дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ тэгш байдал нь бас дэвшлийн шинж тэмдэг тул үүнийг ихэвчлэн прогрессийн шинж чанар гэж нэрлэдэг.
Үүний нэгэн адил энэ шинж чанарыг тусгасан теорем үнэн: 2-оос эхлэн дарааллын аль ч гишүүнд энэ тэгш байдал үнэн байвал дараалал нь арифметик прогресс болно.
Арифметик прогрессийн дурын дөрвөн тооны шинж чанарыг n + m = k + l (m, n, k нь прогрессийн тоонууд) бол an + am = ak + al томъёогоор илэрхийлж болно.
Арифметик прогрессод шаардлагатай (N-р) гишүүнийг дараах томъёогоор олж болно.
Жишээ нь: арифметик прогрессийн эхний гишүүн (a1) өгөгдсөн бөгөөд гуравтай тэнцүү, зөрүү (d) нь дөрөвтэй тэнцүү байна. Та энэ дэвшлийн дөчин тав дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177
an = ak + d (n - k) томьёо нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг түүний k-р гишүүний аль нэгээр нь тодорхойлох боломжийг олгоно.
Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийг (эцсийн прогрессийн 1-р n гишүүн гэсэн үг) дараах байдлаар тооцоолно.
Sn = (a1 + an) n / 2.
Хэрэв 1-р нэр томъёо нь бас мэдэгдэж байгаа бол тооцоолоход өөр томъёо тохиромжтой.
Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.
n гишүүнтэй арифметик прогрессийн нийлбэрийг дараах байдлаар тооцоолно.
Тооцооллын томъёоны сонголт нь асуудлын нөхцөл, анхны өгөгдлөөс хамаарна.
1,2,3, ..., n, ... зэрэг дурын тооны натурал цуваа нь арифметик прогрессийн хамгийн энгийн жишээ юм.
Арифметик прогрессоос гадна өөрийн гэсэн шинж чанар, шинж чанартай геометрийн прогресс байдаг.
Онлайн тооцоолуур.
Арифметик прогрессийн шийдэл.
Өгөгдсөн: a n, d, n
Олно: a 1
Энэ математикийн программ нь хэрэглэгчийн тодорхойлсон \ (a_n, d \) болон \ (n \) тоон дээр үндэслэн \ (a_1 \) арифметик прогрессийг олдог.
\ (a_n \) ба \ (d \) тоонуудыг бүхэлд нь төдийгүй бутархай байдлаар зааж өгч болно. Түүнээс гадна бутархай тоог аравтын бутархай (\ (2.5 \)) ба энгийн бутархай (\ (- 5 \ frac (2) (7) \)) хэлбэрээр оруулж болно.
Програм нь зөвхөн асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдлийг олох үйл явцыг харуулдаг.
Энэхүү онлайн тооцоолуур нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад шалгалт, шалгалтанд бэлтгэх, шалгалтын өмнө мэдлэгээ шалгах, эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянахад тустай. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байх болов уу? Эсвэл та математик, алгебрийн гэрийн даалгавраа аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.
Ингэснээр та өөрөө болон/эсвэл дүү нартаа хичээл заах боломжтой, харин шийдвэрлэж буй асуудлынхаа боловсролын түвшин нэмэгддэг.
Хэрэв та тоо оруулах дүрмийг мэдэхгүй бол тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.
Дугаар оруулах дүрэм
\ (a_n \) ба \ (d \) тоонуудыг бүхэлд нь төдийгүй бутархай байдлаар зааж өгч болно.
\ (n \) тоо нь зөвхөн эерэг бүхэл тоо байж болно.
Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээлбэл, та 2.5 эсвэл 2.5 гэх мэт аравтын бутархайг оруулж болно
Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоог бутархайн тоо, хуваагч болон бүхэл хэсэг болгон ашиглаж болно.
Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.
Тоон бутархай оруулах үед тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Оруулах:
Үр дүн: \ (- \ frac (2) (3) \)
Бүх хэсгийг бутархайгаас амперсандаар тусгаарлана: &
Оруулах:
Үр дүн: \ (- 1 \ frac (2) (3) \)
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Магадгүй та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байх.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.
Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс маш олон байна, таны хүсэлт дараалалд байна.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээж байгаарай сек ...
Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөчи шийднэ, юу гэж талбаруудад оруулна уу.
Манай тоглоом, оньсого, эмуляторууд:
Жаахан онол.
Тоон дараалал
Өдөр тутмын практикт янз бүрийн объектын дугаарлалт нь тэдгээрийн байршлын дарааллыг зааж өгөхөд ихэвчлэн ашиглагддаг. Тухайлбал, гудамж бүрийн байшинг дугаарласан. Уншигчдын захиалгыг номын санд дугаарлаж, дараа нь тусгай картын индекст заасан дугаарын дарааллаар байрлуулна.
Хадгаламжийн банкинд хадгаламж эзэмшигчийн нэрийн дансны дугаараар энэ дансыг хялбархан олж, ямар төрлийн хадгаламж байгааг харах боломжтой. 1-р дансанд a1 рублийн хадгаламж, 2-р дансанд a2 рубль гэх мэт хадгаламж орсон байг. тоон дараалал
a 1, a 2, a 3, ..., a N
Энд N нь бүх дансны тоо юм. Энд 1-ээс N хүртэлх натурал n тоо бүрт a n тоо оноогдсон.
Математик бас сурдаг Хязгааргүй тооны дараалал:
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
a 1 тоог дууддаг дарааллын эхний гишүүн, дугаар a 2 - хоёр дахь хугацаа, дугаар a 3 - гурав дахь хугацаагэх мэт.
a n тоог дууддаг дарааллын n-р (n-р) гишүүн, мөн натурал n тоо нь түүний байна тоо.
Жишээлбэл, 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ба 1 = 1 натурал тоонуудын квадратуудын дараалалд дарааллын эхний гишүүн байна; ба n = n 2 нь дарааллын n-р гишүүн; a n + 1 = (n + 1) 2 нь дарааллын (n + 1) th (en нэмэх эхний) гишүүн юм. Ихэнхдээ дарааллыг түүний n-р гишүүний томъёогоор өгч болно. Жишээ нь, томъёо \ (a_n = \ frac (1) (n), \; n \ in \ mathbb (N) \) дарааллыг тодорхойлдог \ (1, \; \ frac (1) (2), \; \ frac ( 1) (3), \; \ frac (1) (4), \ цэгүүд, \ frac (1) (n), \ цэгүүд \)
Арифметик прогресс
Жилийн үргэлжлэх хугацаа ойролцоогоор 365 хоног байна. Илүү нарийвчлалтай утга нь \ (365 \ frac (1) (4) \) хоног тул дөрвөн жил тутамд нэг өдрийн алдаа хуримтлагддаг.
Энэ алдааг тооцохын тулд дөрөв дэх жил тутамд нэг өдрийг нэмж, уртасгасан жилийг үсрэлтийн жил гэж нэрлэдэг.
Тухайлбал, 3-р мянганы хувьд үсрэнгүй он жилүүд нь 2004, 2008, 2012, 2016, ... жилүүд юм.
Энэ дарааллаар түүний гишүүн бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн өмнөхтэй тэнцүү бөгөөд ижил тооны 4-ээр нэмэгдэнэ. Ийм дарааллыг нэрлэдэг. арифметик прогрессууд.
Тодорхойлолт.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... гэсэн тоон дарааллыг гэнэ. арифметик прогрессхэрэв бүх байгалийн n тэгш байдал
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \)
энд d ямар нэг тоо.
Энэ томьёо нь a n + 1 - a n = d гэсэн утгатай. d тоог ялгаа гэж нэрлэдэг арифметик прогресс.
Арифметик прогрессийн тодорхойлолтоор бид:
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \ quad a_ (n-1) = a_n-d, \)
хаана
\ (a_n = \ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \), энд \ (n> 1 \)
Ийнхүү хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хажууд байгаа хоёр гишүүний арифметик дундажтай тэнцүү байна. Энэ нь "арифметик" прогрессийн нэрийг тайлбарладаг.
Хэрэв a 1 ба d өгөгдсөн бол арифметик прогрессийн үлдсэн гишүүдийг a n + 1 = a n + d давтагдах томъёогоор тооцоолж болно гэдгийг анхаарна уу. Ийм байдлаар прогрессийн эхний хэдэн нөхцлүүдийг тооцоолоход хэцүү биш боловч жишээлбэл, 100 нь аль хэдийн маш их тооцоолол хийх шаардлагатай болно. Үүнд ихэвчлэн n-р гишүүний томъёог ашигладаг. Арифметик прогрессийн тодорхойлолтоор
\ (a_2 = a_1 + d, \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d, \)
\ (a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d \)
гэх мэт.
Ерөнхийдөө,
\ (a_n = a_1 + (n-1) d, \)
d тоог (n-1) үржүүлснээр арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг эхний гишүүнээс гаргаж авдаг.
Энэ томъёог гэж нэрлэдэг арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёогоор.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр
1-ээс 100 хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг олъё.
Энэ нийлбэрийг хоёр янзаар бичье.
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Эдгээр тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмье:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Энэ нийлбэр нь 100 нөхцөлтэй
Тиймээс 2S = 101 * 100, үүнээс S = 101 * 50 = 5050 байна.
Одоо дурын арифметик прогрессийг авч үзье
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Энэ прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг S n гэж үзье.
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
Дараа нь арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) тул энэ томъёонд n-ийг орлуулснаар бид олох өөр томьёог олж авна. арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \)
