Энэхүү онлайн тооцоолуур нь дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. Тохирох талбарт тэгшитгэлээ "функцийн дериватив" -ийг таслах тэмдэгээр оруулаад "тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" товчийг дарахад хангалттай. Мөн алдартай WolframAlpha сайтын үндсэн дээр хэрэгжсэн систем нь дэлгэрэнгүй мэдээллийг өгөх болно. дифференциал тэгшитгэлийн шийдэлтуйлын үнэ төлбөргүй. Боломжит шийдлүүдийн бүх багцаас өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох хэсгийг сонгохын тулд та Кошийн асуудлыг тавьж болно. Кошигийн асуудлыг тусдаа талбарт оруулсан болно.

Дифференциал тэгшитгэл

Тэгшитгэл дэх анхдагч функц нь yхувьсагчийн функц юм х... Гэсэн хэдий ч та хувьсагчийн хувьд өөрийн тэмдэглэгээг тохируулж болно, хэрэв та тэгшитгэлд жишээ нь y (t) гэж бичвэл тооцоолуур автоматаар үүнийг таних болно. yхувьсагчийн функц байдаг т... Тооны машинтай бол та чадна дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхаливаа нарийн төвөгтэй байдал, төрөл: нэгэн төрлийн ба нэг төрлийн бус, шугаман эсвэл шугаман бус, нэгдүгээр зэрэгтэй эсвэл хоёр дахь ба түүнээс дээш эрэмбүүд, салгах эсвэл салгах боломжгүй хувьсагчтай тэгшитгэлүүд гэх мэт. Дифференциал шийдэл тэгшитгэлийг аналитик хэлбэрээр өгсөн бөгөөд нарийвчилсан тайлбартай байна. Дифференциал тэгшитгэл нь физик, математикт маш түгээмэл байдаг. Тэдгээрийг тооцоолохгүйгээр олон асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй (ялангуяа математик физикийн хувьд).

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үе шатуудын нэг бол функцүүдийн интеграцчлал юм. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх стандарт аргууд байдаг. Тэгшитгэлийг y ба x салангид хувьсагчтай хэлбэрт оруулж, тусгаарлагдсан функцүүдийг тусад нь нэгтгэх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд заримдаа тодорхой орлуулалт хийх шаардлагатай болдог.

Физикийн зарим асуудалд процессыг дүрсэлсэн хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд шууд холбоо тогтоох боломжгүй байдаг. Гэхдээ судалж буй функцүүдийн деривативуудыг агуулсан тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Ингэж дифференциал тэгшитгэл үүсч үл мэдэгдэх функцийг олохын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог.

Энэхүү нийтлэл нь үл мэдэгдэх функц нь нэг хувьсагчийн функц болох дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудалтай тулгарсан хүмүүст зориулагдсан болно. Онол нь дифференциал тэгшитгэлийн 0 төлөөлөлтэй бол та даалгавраа даван туулах чадвартай байхаар бүтэцлэгдсэн.

Дифференциал тэгшитгэлийн төрөл бүрд ердийн жишээ, асуудлын нарийвчилсан тайлбар, шийдэл бүхий шийдлийн аргыг хуваарилдаг. Та асуудлынхаа дифференциал тэгшитгэлийн хэлбэрийг тодорхойлж, ижил төстэй дүн шинжилгээ хийсэн жишээг олж, ижил төстэй үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй.

Дифференциал тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та янз бүрийн функцүүдийн эсрэг деривативуудыг (тодорхойгүй интеграл) олох чадвартай байх шаардлагатай. Шаардлагатай бол энэ хэсэгт хандахыг зөвлөж байна.

Нэгдүгээрт, бид деривативын хувьд шийдэж болох эхний эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүдийг авч үзэх болно, дараа нь бид хоёр дахь дарааллын ODE руу шилжиж, дараа нь дээд эрэмбийн тэгшитгэлүүд дээр анхаарлаа хандуулж, дифференциал системээр дуусгана. тэгшитгэл.

Хэрэв y нь х аргументийн функц бол гэдгийг санаарай.

Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Маягтын эхний эрэмбийн хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлүүд.

Ийм DE-ийн зарим жишээг бичье .

Дифференциал тэгшитгэл тэгш байдлын хоёр талыг f (x) -д хуваах замаар деривативын талаар шийдэж болно. Энэ тохиолдолд бид f (x) ≠ 0-ийн хувьд анхныхтай тэнцэх тэгшитгэлд хүрнэ. Ийм ODE-ийн жишээнүүд.

Хэрэв f (x) ба g (x) функцууд нэгэн зэрэг алга болох х аргументийн утгууд байвал нэмэлт шийдлүүд гарч ирнэ. Тэгшитгэлийн нэмэлт шийдлүүд өгөгдсөн x нь тэдгээр аргументын утгуудад тодорхойлогдсон аливаа функцууд юм. Ийм дифференциал тэгшитгэлийн жишээг өгч болно.

Хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл.

Тогтмол коэффициент бүхий LODE нь дифференциал тэгшитгэлийн маш түгээмэл хэлбэр юм. Тэдний шийдэл нь тийм ч хэцүү биш юм. Нэгдүгээрт, шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг олно ... Өөр өөр p ба q-ийн хувьд гурван тохиолдол боломжтой: шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба тодорхой, бодит ба давхцал байж болно. эсвэл нарийн төвөгтэй коньюгат. Онцлог тэгшитгэлийн язгуурын утгуудаас хамааран дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ. , эсвэл , эсвэл тус тус.

Жишээлбэл, тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Түүний шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь k 1 = -3 ба k 2 = 0 байна. Үндэс нь бодит бөгөөд ялгаатай тул тогтмол коэффициент бүхий LODE-ийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна


Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл.

Тогтмол коэффициент y хоёр дахь эрэмбийн LDE-ийн ерөнхий шийдлийг харгалзах LDE-ийн ерөнхий шийдлийн нийлбэр хэлбэрээр хайж байна. мөн анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл, өөрөөр хэлбэл,. Өмнөх хэсэг нь тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олоход зориулагдсан болно. Тодорхой шийдлийг анхны тэгшитгэлийн баруун талд байрлах f (x) функцийн тодорхой хэлбэрийн тодорхой бус коэффициентийн аргаар эсвэл дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргаар тодорхойлно.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь дарааллын LDE-ийн жишээ болгон бид өгдөг


Онолыг ойлгож, жишээнүүдийн нарийвчилсан шийдлүүдтэй танилцахын тулд бид танд тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг санал болгож байна.

Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл (LODE) болон хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл (LDE).

Энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол бол тогтмол коэффициент бүхий LODE ба LDE юм.

Тодорхой сегмент дээрх LODE-ийн ерөнхий шийд нь энэ тэгшитгэлийн y 1 ба y 2 шугаман бие даасан хоёр шийдлийн шугаман хослолоор илэрхийлэгдэнэ. .

Гол бэрхшээл нь энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан тодорхой шийдлүүдийг олоход оршдог. Ихэвчлэн шугаман бие даасан функцүүдийн дараах системүүдээс тодорхой шийдлүүдийг сонгодог.


Гэсэн хэдий ч хувийн шийдлүүдийг энэ хэлбэрээр үргэлж танилцуулдаггүй.

LODU-ийн жишээ бол .

LDE-ийн ерөнхий шийдлийг маягтаар хайж байгаа бөгөөд энэ нь харгалзах LDE-ийн ерөнхий шийдэл бөгөөд анхны дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм. Бид дөнгөж сая олох тухай ярьсан боловч дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашиглан тодорхойлж болно.

LNDE-ийн жишээ бол .

Дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл.

Захиалгын бууралтыг зөвшөөрөх дифференциал тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал , хүссэн функц болон түүний уламжлалыг k-1 хүртэлх дарааллаар агуулаагүй, орлуулах замаар n-k хүртэл бууруулж болно.

Энэ тохиолдолд анхны дифференциал тэгшитгэлийг бууруулна. Түүний шийдлийг p (x) олсны дараа орлуулалт руу буцаж, үл мэдэгдэх y функцийг тодорхойлоход үлддэг.

Жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэл Өөрчлөлтийн дараа энэ нь салгаж болох тэгшитгэл болж, дараалал нь гурав дахь хэсгээс эхнийх хүртэл буурах болно.

Ердийн дифференциал тэгшитгэл бие даасан хувьсагч, энэ хувьсагчийн үл мэдэгдэх функц болон янз бүрийн эрэмбийн деривативуудыг (эсвэл дифференциал) холбосон тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал түүнд агуулагдах хамгийн дээд деривативын дараалал гэж нэрлэдэг.

Энгийнээс гадна хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг судалдаг. Эдгээр нь бие даасан хувьсагчдыг холбосон тэгшитгэлүүд, эдгээр хувьсагчийн үл мэдэгдэх функц, ижил хувьсагчидтай холбоотой түүний хэсэгчилсэн деривативууд юм. Гэхдээ бид зөвхөн авч үзэх болно энгийн дифференциал тэгшитгэл тиймээс бид товчилбол "энгийн" гэдэг үгийг орхих болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Тэгшитгэл (1) нь дөрөв дэх, (2) нь гуравдугаар, (3) ба (4) нь хоёр дахь, (5) нь нэгдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэл юм.

Дифференциал тэгшитгэл n--р дараалал нь функцийг, түүний бүх уламжлалыг эхнийхээс агуулсан байх албагүй n-р эрэмб ба бие даасан хувьсагч. Энэ нь зарим тушаалын дериватив, функц, бие даасан хувьсагчийг агуулаагүй байж болно.

Жишээлбэл, (1) тэгшитгэлд гурав, хоёрдугаар эрэмбийн дериватив, түүнчлэн функц байхгүй байна; (2) тэгшитгэлд - хоёр дахь дарааллын дериватив ба функц; тэгшитгэлд (4) - бие даасан хувьсагч; (5) тэгшитгэлд - функцууд. Зөвхөн (3) тэгшитгэлд бүх дериватив, функц болон бие даасан хувьсагчийг тодорхой агуулна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх замаар аливаа функцийг дууддаг у = f (x), тэгшитгэлд орлуулах үед энэ нь таних тэмдэг болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг олох үйл явцыг үүнийг гэнэ нэгтгэх.

Жишээ 1.Дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг ол.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье. Үүний шийдэл нь функцийг деривативаар нь олох явдал юм. Интеграл тооцооноос мэдэгдэж байгаа анхны функц нь эсрэг дериватив юм, i.e.

Ийм л байна Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл ... Дотор нь өөрчлөгдөж байна C, бид янз бүрийн шийдлүүдийг хүлээн авах болно. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хязгааргүй олон шийдэл байдгийг бид олж мэдсэн.

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл n--р дараалал нь үл мэдэгдэх функцтэй холбоотой тодорхой илэрхийлэгдсэн түүний шийдэл юм nбие даасан дурын тогтмолууд, i.e.

Жишээ 1 дэх дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь ерөнхий байна.

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлээр түүний шийдлийг дурын тогтмолуудад тодорхой тоон утгыг өгдөг гэж нэрлэдэг.

Жишээ 2.Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба тусгай шийдлийг ол .

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дифференциал тэгшитгэлийн дарааллаар олон удаа интегралчилдаг.

,

.

Үүний үр дүнд бид ерөнхий шийдэлтэй болсон -

Гурав дахь эрэмбийн өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл.

Одоо бид тогтоосон нөхцөлд тодорхой шийдлийг олох болно. Үүнийг хийхийн тулд дурын коэффициентүүдийн оронд тэдгээрийн утгыг орлуулж, олж авна уу

.

Хэрэв дифференциал тэгшитгэлээс гадна анхны нөхцөлийг маягтаар өгвөл ийм бодлогыг дуудна Кошигийн асуудал ... Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд ба утгыг орлуулж, дурын тогтмолын утгыг олно. C, дараа нь олсон утгын тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл C... Энэ бол Кошигийн асуудлын шийдэл юм.

Жишээ 3. 1-р жишээн дээрх дифференциал тэгшитгэлийн Кошигийн бодлогыг нөхцлийн дагуу шийд.

Шийдэл. Анхны нөхцлийн утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулъя y = 3, х= 1. Бид авдаг

Өгөгдсөн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн Кошигийн асуудлын шийдлийг бид бичнэ.

Дифференциал тэгшитгэлийг, тэр ч байтугай хамгийн энгийнийг нь шийдэхийн тулд дериватив, түүний дотор нарийн төвөгтэй функцүүдийг нэгтгэх, авах сайн ур чадвар шаардагдана. Үүнийг дараах жишээнээс харж болно.

Жишээ 4.Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг та түүний хоёр хэсгийг шууд нэгтгэх боломжтой байдлаар бичсэн.

.

Бид хувьсагчийн өөрчлөлтөөр (орлуулах) интеграцийн аргыг хэрэглэдэг. За тэгье.

Үүнийг авах шаардлагатай dxмөн одоо - анхаарал - бид үүнийг нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу хийдэг, учир нь хмөн нарийн төвөгтэй функц байдаг ("алим" нь квадрат язгуурыг гарган авах, эсвэл "нэг тал"-ын экспоненциал, "татсан мах" нь язгуурын доорх илэрхийлэл юм):

Интегралыг ол:

Хувьсагч руу буцах х, бид авах:

.

Энэ бол нэгдүгээр зэргийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зөвхөн дээд математикийн өмнөх хэсгүүдийн ур чадвараас гадна бага ангийн, өөрөөр хэлбэл сургуулийн математикийн ур чадвар шаардагдана. Өмнө дурьдсанчлан аливаа дарааллын дифференциал тэгшитгэлд бие даасан хувьсагч, өөрөөр хэлбэл хувьсагч байж болохгүй. х... Сургуулиас мартаагүй (гэхдээ хэн ч яаж) пропорцын талаархи мэдлэг нь энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална. Энэ бол дараагийн жишээ юм.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Манай онлайн үйлчилгээний ачаар та ямар ч төрлийн, нарийн төвөгтэй дифференциал тэгшитгэлийг шийдэж чадна: нэг төрлийн бус, нэгэн төрлийн, шугаман бус, шугаман, нэгдүгээр, хоёрдугаар эрэмбийн, салгах эсвэл салгах боломжгүй хувьсагчтай гэх мэт. Та нарийвчилсан тайлбар бүхий аналитик хэлбэрээр дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг авах болно. Олон хүмүүс гайхдаг: яагаад дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх шаардлагатай байна вэ? Энэ төрлийн тэгшитгэл нь математик, физикийн шинжлэх ухаанд түгээмэл байдаг тул дифференциал тэгшитгэлийг тооцоолохгүйгээр олон асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй юм. Дифференциал тэгшитгэл нь эдийн засаг, анагаах ухаан, биологи, хими болон бусад шинжлэх ухаанд түгээмэл байдаг. Ийм тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх нь таны өгсөн даалгаврыг ихээхэн хөнгөвчлөх, материалыг илүү сайн шингээж, өөрийгөө шалгах боломжийг олгоно. Дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхийн ашиг тус. Орчин үеийн математик үйлчилгээний сайт нь ямар ч төвөгтэй байдлын дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Та бүхний мэдэж байгаагаар дифференциал тэгшитгэлийн олон төрөл байдаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн гэсэн шийдэлтэй байдаг. Манай үйлчилгээнээс та ямар ч дараалал, төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг онлайнаар олох боломжтой. Шийдэл олж авахын тулд бид анхны өгөгдлийг бөглөж, "Шийдвэр" товчийг дарна уу. Үйлчилгээний алдаа хасагдсан тул та зөв хариултыг хүлээн авсан гэдэгт 100% итгэлтэй байж болно. Манай үйлчилгээгээр дифференциал тэгшитгэлийг шийдээрэй. Дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдээрэй. Анхдагч байдлаар, ийм тэгшитгэлд y функц нь x хувьсагчийн функц юм. Гэхдээ та өөрийн хувьсагчийн тэмдэглэгээг бас зааж өгч болно. Жишээлбэл, хэрэв та дифференциал тэгшитгэлд y (t) -ийг зааж өгвөл манай үйлчилгээ y нь t хувьсагчийн функц гэдгийг автоматаар тодорхойлох болно. Бүх дифференциал тэгшитгэлийн дараалал нь тэгшитгэлд байгаа функцийн деривативын хамгийн их дарааллаас хамаарна. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь хүссэн функцийг олох гэсэн үг юм. Манай үйлчилгээ танд дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэхэд тусална. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танаас нэг их хүчин чармайлт гаргах шаардлагагүй. Та зүгээр л шаардлагатай талбарт тэгшитгэлийнхээ зүүн ба баруун талыг оруулаад "Шийдвэр" товчийг дарна уу. Функцийн деривативыг оруулахдаа түүнийг таслах тэмдэгээр тэмдэглэх шаардлагатай. Хэдхэн секундын дотор та дифференциал тэгшитгэлийн бэлэн нарийвчилсан шийдлийг хүлээн авах болно. Манай үйлчилгээ үнэхээр үнэ төлбөргүй. Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлүүд. Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн зүүн талд у-аас хамаарах илэрхийлэл, баруун талд х-ээс хамаарах илэрхийлэл байвал ийм дифференциал тэгшитгэлийг салгах хувьсагчтай гэж нэрлэдэг. Зүүн талд y-ийн дериватив байж болно, энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь тэгшитгэлийн баруун талын интегралаар илэрхийлэгдэх y функц хэлбэртэй байна. Хэрэв y функцийн дифференциал зүүн талд байвал тэгшитгэлийн хоёр тал интеграл болно. Дифференциал тэгшитгэлийн хувьсагчдыг салгахгүй бол хуваах дифференциал тэгшитгэлийг олж авахын тулд тэдгээрийг хуваах шаардлагатай болно. Шугаман дифференциал тэгшитгэл. Шугаман дифференциал тэгшитгэл нь функц болон түүний бүх деривативууд нь нэгдүгээр зэрэгтэй байх дифференциал тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн ерөнхий дүр төрх: y ’+ a1 (x) y = f (x). f (x) ба a1 (x) нь х-ийн тасралтгүй функцууд юм. Энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг салангид хувьсагчтай хоёр дифференциал тэгшитгэлийн интеграл болгон бууруулна. Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал. Дифференциал тэгшитгэл нь эхний, хоёр, n-р дараалалтай байж болно. Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал нь түүнд агуулагдах хамгийн дээд деривативын дарааллыг тодорхойлдог. Манай үйлчилгээнд та дифференциал тэгшитгэлийг онлайнаар нэгдүгээр, хоёрдугаар, гуравдугаар гэх мэтээр шийдвэрлэх боломжтой. захиалга. Тэгшитгэлийн шийдэл нь y = f (x) ямар ч функц байх бөгөөд үүнийг тэгшитгэлд орлуулснаар та ижил төстэй байдлыг олж авна. Дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг олох үйл явцыг интеграл гэнэ. Кошигийн асуудал. Хэрэв дифференциал тэгшитгэлээс гадна y (x0) = y0 анхны нөхцөлийг зааж өгсөн бол үүнийг Коши бодлого гэнэ. Тэгшитгэлийн шийдэлд y0 ба x0 индексүүдийг нэмж, дурын тогтмол С-ийн утгыг тодорхойлж, дараа нь С-ийн энэ утгад тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг тодорхойлно. Энэ бол Кошигийн асуудлын шийдэл юм. Коши бодлогыг мөн физик механикт их түгээмэл байдаг хилийн нөхцлийн бодлого гэж нэрлэдэг. Мөн танд Кошигийн асуудлыг тавих, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн бүх боломжит шийдлүүдээс өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан хэсгийг сонгох боломжтой.

Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ.
Салгаж болох дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэл (DE). Эдгээр хоёр үг ихэвчлэн энгийн энгийн хүмүүсийг айлгадаг. Дифференциал тэгшитгэл нь олон оюутнуудад сургамжтай, сурахад хэцүү зүйл мэт санагддаг. Ууууууу ... дифференциал тэгшитгэл, би энэ бүгдийг яаж даван туулах вэ ?!

Энэ үзэл бодол, энэ хандлага үндсэндээ буруу, учир нь үнэндээ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИГЭЛТҮҮД НЬ ЭНГИЙН, БҮР ХӨГЖИЛТЭЙ... Дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахын тулд та юу мэдэж, чадвартай байх ёстой вэ? Диффураг амжилттай судлахын тулд та нэгтгэх, ялгах чадвар сайтай байх ёстой. Сэдвүүдийг илүү сайн судалдаг Нэг хувьсагчийн функцийн деривативболон Тодорхой бус интеграл, дифференциал тэгшитгэлийг ойлгоход хялбар байх болно. Би илүү ихийг хэлэх болно, хэрэв та илүү их эсвэл бага зохистой интеграцийн ур чадвартай бол энэ сэдвийг практикт эзэмшсэн болно! Төрөл бүрийн интегралуудыг шийдэж чадах тусам сайн. Яагаад? Интеграцчлах зүйл их байна. Мөн ялгах. Мөн маш их зөвлөж байнаолж сур.

Тохиолдлын 95% -д хяналтын баримт бичигт 3 төрлийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлтэй тулгардаг. салгаж болох тэгшитгэлүүдҮүнийг бид энэ хичээл дээр авч үзэх болно; нэгэн төрлийн тэгшитгэлболон шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл... Тархалтыг судалж эхлэгчдэд би энэ дарааллаар хичээлүүдтэй танилцахыг зөвлөж байна, эхний хоёр өгүүллийг судалсны дараа нэмэлт семинарт ур чадвараа нэгтгэх нь гэмтэхгүй. нэгэн төрлийн болгон бууруулж буй тэгшитгэлүүд.

Илүү ховор дифференциал тэгшитгэлүүд байдаг: нийт дифференциал дахь тэгшитгэл, Бернулли тэгшитгэл болон бусад. Сүүлийн хоёр төрлөөс хамгийн чухал нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэлүүд юм, учир нь энэ DE-ээс гадна би шинэ материалыг авч үзэх болно - хэсэгчилсэн интеграци.

Хэрэв танд ганц хоёр хоног үлдсэн бол, дараа нь хэт хурдан бэлтгэх зориулалттайбайдаг блиц курс pdf форматаар.

Тиймээс, тэмдэглэгээг тогтоосон - явцгаая:

Эхлээд ердийн алгебрийн тэгшитгэлүүдийг эргэн санацгаая. Эдгээр нь хувьсагч, тоонуудыг агуулдаг. Хамгийн энгийн жишээ:. Энгийн тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Олно гэсэн үг маш олон тооЭнэ тэгшитгэлийг хангадаг. Хүүхдүүдийн тэгшитгэл нь нэг үндэстэй болохыг харахад хялбар байдаг. Хөгжилтэй байхын тулд шалгаад олсон үндсийг тэгшитгэлдээ орлъё:

- зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Ялгаанууд нь адилхан!

Дифференциал тэгшитгэл эхний захиалгаерөнхийдөө агуулсан:
1) бие даасан хувьсагч;
2) хамааралтай хувьсагч (функц);
3) функцийн эхний дериватив:.

1-р эрэмбийн зарим тэгшитгэлд "х" эсвэл (ба) "тоглоом" байхгүй байж болох ч энэ нь чухал биш юм - чухалтэгэхээр DU-д байсананхны дериватив ба байхгүй байсандээд эрэмбийн дериватив - гэх мэт.

Юу гэж байгаан ?Дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь олно гэсэн үг олон функцуудЭнэ тэгшитгэлийг хангадаг. Ийм функцүүдийн багц нь ихэвчлэн хэлбэртэй байдаг (дурын тогтмол юм) гэж нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.

Жишээ 1

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Бүрэн сумны ачаалал. Хаанаас эхлэх вэ шийдэл?

Юуны өмнө та деривативыг арай өөр хэлбэрээр дахин бичих хэрэгтэй. Та нарын ихэнх нь инээдтэй, шаардлагагүй мэт санагдаж байсан нүсэр тэмдэглэгээг бид санаж байна. Диффурад яг л жолооддог!

Хоёр дахь шатанд энэ нь боломжтой эсэхийг харцгаая хувьсагчдыг хуваах уу?Хувьсагчдыг хуваах нь юу гэсэн үг вэ? Бүдүүлэг хэлэхэд, зүүн талдбид явах хэрэгтэй зөвхөн "тоглогчид", a баруун талдзохион байгуулах зөвхөн "x"... Хувьсагчдыг салгах нь "сургуулийн" заль мэхийг ашиглан хийгддэг: хаалт, тэмдэгтийн өөрчлөлтөөр нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйлийг хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх гэх мэт.

Дифференциалууд нь бүрэн үржүүлэгч, дайны ажиллагаанд идэвхтэй оролцогчид юм. Харж буй жишээн дээр хувьсагчдыг пропорциональ дүрмийн дагуу үржүүлэгчийг шидэх замаар амархан салгаж болно.

Хувьсагчдыг тусгаарласан. Зүүн талд зөвхөн "тоглоомууд", баруун талд нь зөвхөн "X" байдаг.

Дараагийн шат - дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх... Энэ нь энгийн, бид хоёр талдаа интегралуудыг өлгөдөг.

Мэдээжийн хэрэг, интегралуудыг авах ёстой. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь хүснэгт хэлбэртэй байна:

Бидний санаж байгаагаар аливаа антидеривативт тогтмолыг оноодог. Энд хоёр интеграл байгаа боловч тогтмолыг нэг удаа бичихэд хангалттай (тогтмол + тогтмол нь өөр тогтмолтой тэнцүү хэвээр байгаа тул)... Ихэнх тохиолдолд энэ нь баруун талд байрладаг.

Хатуухан хэлэхэд интегралуудыг авсны дараа дифференциал тэгшитгэлийг шийдсэн гэж үзнэ. Ганц зүйл бол бидний "тоглоом" нь "х"-ээр илэрхийлэгдээгүй, өөрөөр хэлбэл шийдлийг танилцуулсан явдал юм далд хэлбэрээрхэлбэр. Дифференциал тэгшитгэлийн далд хэлбэрээр шийдлийг гэж нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл... Энэ нь ерөнхий интеграл юм.

Энэ маягтын хариултыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой, гэхдээ илүү сайн сонголт байхгүй гэж үү? Авахыг хичээцгээе нийтлэг шийдвэр.

Гуйя, Эхний техникийг санаарай, энэ нь маш түгээмэл бөгөөд практик дасгалуудад ихэвчлэн ашиглагддаг: хэрэв интеграл хийсний дараа логарифм баруун гар талд гарч байвал олон тохиолдолд (гэхдээ үргэлж биш!) логарифмын доор тогтмолыг бичихийг зөвлөж байна..

Тэр бол, ОРОНДоруулгуудыг ихэвчлэн бичдэг .

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Мөн "тоглоом" -ыг илэрхийлэхэд хялбар болгохын тулд. Логарифмын шинж чанарыг ашиглах ... Энэ тохиолдолд:

Одоо логарифм болон модулиудыг устгаж болно:

Функцийг тодорхой харуулсан. Энэ бол ерөнхий шийдэл юм.

Хариулах: нийтлэг шийдвэр: .

Олон дифференциал тэгшитгэлийн хариултыг шалгахад маш хялбар байдаг. Манай тохиолдолд үүнийг маш энгийнээр хийдэг, бид олсон шийдлийг авч, ялгадаг.

Дараа нь бид деривативыг анхны тэгшитгэлд орлуулна.

- зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь ерөнхий шийдэл нь баталгаажуулах шаардлагатай тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Тогтмол өөр утгыг өгснөөр та хязгааргүй олон утгыг авах боломжтой хувийн шийдлүүддифференциал тэгшитгэл. Аль нэг функц гэх мэт нь тодорхой байна. дифференциал тэгшитгэлийг хангана.

Ерөнхий шийдлийг заримдаа гэж нэрлэдэг функцүүдийн гэр бүл... Энэ жишээнд ерөнхий шийдэл байна Энэ нь шугаман функцүүдийн гэр бүл, эс тэгвээс шууд пропорциональ гэр бүл юм.

Эхний жишээг сайтар зажилсны дараа дифференциал тэгшитгэлийн талаархи хэд хэдэн гэнэн асуултанд хариулах нь зүйтэй юм.

1)Энэ жишээнд бид хувьсагчдыг хувааж чадсан. Үүнийг үргэлж хийх боломжтой юу?Үгүй ээ, үргэлж биш. Бүр илүү олон удаа хувьсагчдыг хувааж болохгүй. Жишээлбэл, in нэгэн төрлийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл, та эхлээд солих хэрэгтэй. Бусад төрлийн тэгшитгэлд, жишээлбэл, шугаман нэг төрлийн бус нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд ерөнхий шийдлийг олохын тулд янз бүрийн техник, аргуудыг ашиглах хэрэгтэй. Бидний эхний хичээлд авч үзэх салдаг тэгшитгэлүүд нь дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрөл юм.

2) Дифференциал тэгшитгэлийг үргэлж интегралдах боломжтой юу?Үгүй ээ, үргэлж биш. Интегралдах боломжгүй "сайхан" тэгшитгэлийг гаргах нь маш амархан бөгөөд үүнээс гадна өчүүхэн бус интегралууд байдаг. Гэхдээ ийм DE-ийг тусгай аргыг ашиглан ойролцоогоор шийдэж болно. Д'Аламберт, Коши хоёр баталгаатай ... ... өө, lurkmore.зүгээр л "нөгөө ертөнцөөс" гэж нэмж бараг л их уншина.

3) Энэ жишээн дээр бид ерөнхий интеграл хэлбэрээр шийдлийг олж авсан ... Ерөнхий интегралаас ерөнхий шийдлийг олох, өөрөөр хэлбэл "тоглоом" -ыг тодорхой хэлбэрээр илэрхийлэх боломжтой юу?Үгүй ээ, үргэлж биш. Жишээлбэл: . За, би "тоглоом" -ыг яаж илэрхийлэх вэ ?! Ийм тохиолдолд хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Нэмж хэлэхэд, заримдаа ерөнхий шийдлийг олох боломжтой боловч энэ нь маш төвөгтэй, болхи бичсэн тул хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үлдээсэн нь дээр.

4) ... одоохондоо хангалттай байх. Эхний жишээнд бид уулзсан бас нэг чухал зүйл, гэхдээ "дамми" -ыг шинэ мэдээллийн нурангид оруулахгүйн тулд би дараагийн хичээл хүртэл үлдээх болно.

Яарах хэрэггүй. Өөр нэг энгийн алсын удирдлага ба өөр нэг энгийн шийдэл:

Жишээ 2

Анхны нөхцөлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол

Шийдэл: нөхцөлөөр нь олох шаардлагатай хувийн шийдэлӨгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан DE. Асуултын энэхүү томъёоллыг мөн гэж нэрлэдэг Кошигийн асуудал.

Эхлээд бид ерөнхий шийдлийг олдог. Тэгшитгэлд "х" хувьсагч байхгүй, гэхдээ энэ нь төөрөгдүүлэх ёсгүй, гол зүйл бол эхний деривативыг агуулсан байх явдал юм.

Бид деривативыг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

Мэдээжийн хэрэг, хувьсагчдыг хувааж болно, хөвгүүд зүүн талд, охид баруун талд:

Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг:

Ерөнхий интегралыг олж авна. Энд би дээд тэмдэгт одтой тогтмолыг зурсан бөгөөд энэ нь тун удахгүй өөр тогтмол болж хувирах болно.

Одоо бид ерөнхий интегралыг ерөнхий шийдэл болгон хувиргах гэж оролдож байна ("тоглоом" -ыг тодорхой илэрхийлэх). Бид хуучин, сайн сургуулиа санаж байна: ... Энэ тохиолдолд:

Индикатор дахь тогтмол нь ямар нэгэн байдлаар кошер биш харагддаг тул ихэвчлэн тэнгэрээс дэлхий рүү буулгадаг. Нарийвчилсан байдлаар энэ нь иймэрхүү тохиолддог. Эрчим хүчний шинж чанарыг ашиглан бид функцийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

Хэрэв тогтмол бол энэ нь бас тогтмол байна, бид үүнийг үсгээр дахин тэмдэглэнэ.

Тогтмол нь "нураах" гэдгийг санаарай хоёр дахь техник, энэ нь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ихэвчлэн хэрэглэгддэг.

Тэгэхээр ерөнхий шийдэл нь:. Экспоненциал функцүүдийн ийм сайхан гэр бүл.

Эцсийн шатанд өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг олох шаардлагатай. Бас амархан.

Даалгавар юу вэ? Энэ нь авах шаардлагатай байна иймхангах нөхцөлийн тогтмолын утга.

Та янз бүрийн аргаар дизайн хийж болно, гэхдээ хамгийн ойлгомжтой, магадгүй тийм байх болно. Ерөнхий шийдэлд "x"-ийн оронд бид тэгийг, "тоглоом"-ын оронд хоёрыг орлуулна.



Тэр бол,

Стандарт дизайны хувилбар:

Одоо бид олсон тогтмол утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулна.
- Энэ бол бидэнд хэрэгтэй тодорхой шийдэл юм.

Хариулах: хувийн шийдэл:

Шалгацгаая. Хувийн шийдлийг баталгаажуулах нь хоёр үе шаттай:

Нэгдүгээрт, олсон тодорхой шийдэл нь анхны нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай байна. "x"-ийн оронд бид тэгийг орлуулж, юу болохыг харна уу:
- тийм ээ, үнэхээр хоёрыг авсан бөгөөд энэ нь анхны нөхцөл биелсэн гэсэн үг юм.

Хоёр дахь шат нь аль хэдийн танил болсон. Бид тодорхой шийдлийг гаргаж, деривативыг олно.

Анхны тэгшитгэлд орлуулах:

- зөв тэгш байдлыг олж авсан.

Дүгнэлт: тодорхой шийдлийг зөв олсон.

Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжинэ.

Жишээ 3

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:Бид деривативыг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

Хувьсагчдыг хувааж болох эсэхийг үнэлэх үү? Чадах. Бид хоёрдахь нэр томъёог тэмдгийн өөрчлөлтөөр баруун гар талд шилжүүлнэ.

Мөн бид үржүүлэгчийг пропорциональ дүрмийн дагуу шиддэг.

Хувьсагчдыг тусгаарласан, бид хоёр хэсгийг нэгтгэдэг:

Би та нарт анхааруулах ёстой, шүүлтийн өдөр ирж байна. Хэрэв та сайн сураагүй бол тодорхойгүй интегралууд, цөөн хэдэн жишээг шийдсэн бол явах газар байхгүй - та одоо тэдгээрийг эзэмших хэрэгтэй болно.

Зүүн талын интегралыг олоход хялбар тул бид хичээл дээр авч үзсэн стандарт техникийг ашиглан котангентын интегралыг шийдэж чадна. Тригонометрийн функцүүдийн интеграцчлалӨнгөрсөн жил:

Баруун талд нь логарифм байгаа бөгөөд миний анхны техникийн зөвлөмжийн дагуу тогтмолыг логарифмын доор бичих ёстой.

Одоо бид ерөнхий интегралыг хялбарчлахыг оролдож байна. Бид ижил логарифмуудтай тул тэднээс салах бүрэн боломжтой (мөн шаардлагатай). Ашиглах замаар мэдэгдэж байгаа шинж чанаруудБид логарифмуудыг аль болох их хэмжээгээр багцалдаг. Би маш дэлгэрэнгүй бичих болно:

Сав баглаа боодол нь харгис хэрцгийгээр хуулагдсан:

Та "тоглоом"-ыг илэрхийлж чадах уу? Чадах. Хоёр тал нь дөрвөлжин хэлбэртэй байх ёстой.

Гэхдээ та үүнийг хийх шаардлагагүй.

Гурав дахь техникийн зөвлөгөө:Хэрэв ерөнхий шийдлийг олж авахын тулд та хүч чадлыг өсгөх эсвэл үндсийг нь гаргаж авах шаардлагатай бол Ихэнх тохиолдолдЭдгээр үйлдлээс татгалзаж, хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үлдээх хэрэгтэй. Баримт нь ерөнхий шийдэл нь зүгээр л аймшигтай харагдах болно - том үндэс, тэмдэг болон бусад хогийн савтай.

Тиймээс бид хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр бичдэг. Үүнийг хэлбэрт оруулах нь сайн хэлбэр гэж тооцогддог, өөрөөр хэлбэл баруун талд, боломжтой бол зөвхөн тогтмолыг үлдээх хэрэгтэй. Үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ профессорыг баярлуулах нь үргэлж ашигтай байдаг ;-)

Хариулт:ерөнхий интеграл:

! Жич: аливаа тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг нэгээс олон аргаар бичиж болно. Тиймээс, хэрэв таны үр дүн өмнө нь мэдэгдэж байсан хариулттай давхцахгүй бол энэ нь та тэгшитгэлийг буруу шийдсэн гэсэн үг биш юм.

Ерөнхий интегралыг бас амархан шалгадаг, гол зүйл бол олох боломжтой байх явдал юм далд функцийн дериватив... Хариултыг ялгаж үзвэл:

Бид хоёр нэр томъёог дараах байдлаар үржүүлнэ.

Мөн бид дараахь байдлаар хуваана.

Яг анхны дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан нь ерөнхий интеграл зөв олдсон гэсэн үг юм.

Жишээ 4

Анхны нөхцөлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол. Шалгах.

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм.

Алгоритм нь хоёр үе шатаас бүрддэг гэдгийг танд сануулъя.
1) нийтлэг шийдлийг олох;
2) шаардлагатай хувийн шийдлийг олох.

Шалгалт нь мөн хоёр үе шаттайгаар явагдана (Жишээ №2 дээрх дээжийг үзнэ үү), танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.
1) олсон тодорхой шийдэл нь анхны нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах;
2) тодорхой шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхийд нь хангаж байгаа эсэхийг шалгана.

Бүрэн шийдэл, зааварчилгааны төгсгөлд хариулна уу.

Жишээ 5

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол анхны нөхцөлийг хангах. Шалгах.

Шийдэл:Эхлээд бид ерөнхий шийдлийг олно.Энэ тэгшитгэл нь аль хэдийн бэлэн дифференциалуудыг агуулж байгаа тул шийдлийг хялбаршуулсан болно. Хувьсагчдыг ялгах:

Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг:

Зүүн талын интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй, баруун талын интегралыг авсан функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах аргаар:

Ерөнхий интеграл гарлаа, ерөнхий шийдийг амжилттай илэрхийлэх боломжтой юу? Чадах. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг. Тэдгээр нь эерэг тул модулийн тэмдгүүд нь илүүц юм:

(Хүн бүр өөрчлөлтийг ойлгосон байх гэж найдаж байна, ийм зүйлийг аль хэдийн мэддэг байх ёстой)

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирсон тодорхой шийдлийг олъё.
Ерөнхий шийдэлд "x"-ийн оронд бид тэгийг, "тоглоом"-ын оронд хоёр логарифмыг орлуулна.

Илүү танил загвар:

Тогтмолын олсон утгыг ерөнхий шийдэлд орлуулна.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Шалгаж байна: Эхлээд эхний нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая:
- бүх зүйл сайн байна.

Одоо олдсон тодорхой шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Деривативыг ол:

Бид анхны тэгшитгэлийг харна: - үүнийг дифференциал хэлбэрээр үзүүлэв. Шалгах хоёр арга бий. Олдсон деривативаас ялгахыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Бид олсон тодорхой шийдэл болон үр дүнгийн дифференциалыг анхны тэгшитгэлд орлуулна :

Бид үндсэн логарифмын таних тэмдгийг ашигладаг:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь тодорхой шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Шалгалтын хоёр дахь арга бол толин тусгал бөгөөд илүү танил юм: тэгшитгэлээс Бид деривативыг илэрхийлдэг бөгөөд үүний тулд бид бүх хэсгүүдийг дараахь байдлаар хуваадаг.

Мөн хувиргасан DE-д бид олж авсан тодорхой шийдэл болон үүссэн деривативыг орлуулна. Хялбаршуулсаны үр дүнд зөв тэгш байдлыг олж авах ёстой.

Жишээ 6

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд. Хариултыг ерөнхий интеграл хэлбэрээр үзүүлэв.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ, бүрэн шийдэл бөгөөд сургалтын төгсгөлд хариулах болно.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ямар бэрхшээл тулгардаг вэ?

1) Хувьсагчдыг хуваалцаж болох нь үргэлж тодорхой байдаггүй (ялангуяа "цайны" хувьд). Болзолт жишээг авч үзье:. Энд та хаалтанд хүчин зүйл ангилах хэрэгтэй: үндсийг нь салгах:. Яаж үргэлжлүүлэх нь тодорхой.

2) Интеграцчлалын хүндрэлүүд. Интеграл нь ихэвчлэн тийм ч энгийн биш бөгөөд хэрэв олох ур чадварт дутагдалтай байвал тодорхойгүй интеграл, дараа нь олон сарнисан нь хэцүү байх болно. Нэмж дурдахад, цуглуулга, гарын авлагыг эмхэтгэгчдийн дунд "дифференциал тэгшитгэл нь энгийн тул хамгийн багадаа интегралууд илүү төвөгтэй байх болно" гэсэн логик түгээмэл байдаг.

3) Тогтмол тоо бүхий хөрвүүлэлтүүд. Хүн бүрийн тэмдэглэснээр дифференциал тэгшитгэл дэх тогтмолыг маш чөлөөтэй зохицуулж болох бөгөөд зарим хувиргалтыг эхлэгчдэд тэр бүр ойлгодоггүй. Өөр нэг нөхцөлт жишээг авч үзье: ... Үүнд бүх нэр томъёог 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. ... Үүссэн тогтмол нь мөн нэг төрлийн тогтмол бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно. ... Тийм ээ, логарифм нь баруун талд байгаа тул тогтмолыг өөр тогтмол хэлбэрээр дахин бичихийг зөвлөж байна. .

Асуудал нь тэд ихэвчлэн индексийн талаар санаа зовдоггүй бөгөөд ижил үсгийг ашигладаг. Үүний үр дүнд шийдвэрийн бүртгэл дараах хэлбэртэй байна.

Ямар гаж урсгал? Алдаанууд байна! Хатуухан хэлэхэд тийм ээ. Гэсэн хэдий ч утга учиртай үүднээс авч үзвэл алдаа байхгүй, учир нь хувьсагчийн тогтмолыг хувиргасны үр дүнд хувьсах тогтмолыг олж авсан хэвээр байна.

Эсвэл өөр нэг жишээ, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ерөнхий интеграл гарлаа гэж бодъё. Энэ хариулт нь муухай харагдаж байгаа тул нэр томъёо бүрийн тэмдгийг өөрчлөхийг зөвлөж байна. ... Албан ёсоор энд өөр нэг алдаа байна - үүнийг баруун талд бичих ёстой. Гэхдээ албан бусаар "хасах tse" нь тогтмол хэвээр байна гэсэн үг юм ( Энэ нь ямар ч үнэ цэнийг амархан авдаг!), тиймээс "хасах" нь утгагүй бөгөөд та ижил үсгийг ашиглаж болно.

Би хайхрамжгүй хандлагаас зайлсхийхийг хичээх болно, мөн тэдгээрийг хөрвүүлэхдээ тогтмол үзүүлэлтүүдэд өөр өөр индекс оноох болно.

Жишээ 7

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд. Шалгах.

Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь хувьсагчдыг салгах боломжийг олгодог. Хувьсагчдыг ялгах:

Бид нэгтгэдэг:

Эндхийн тогтмолыг логарифм гэж тодорхойлох шаардлагагүй, учир нь үүнээс сайн зүйл гарахгүй.

Хариулт:ерөнхий интеграл:

Баталгаажуулах: Хариултыг ялгах (далд функц):

Бид бутархай хэсгүүдээс салж, үүний тулд бид хоёр нэр томъёог дараах байдлаар үржүүлнэ.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд энэ нь ерөнхий интеграл зөв олдсон гэсэн үг юм.

Жишээ 8

Алсын удирдлагын хувийн шийдлийг олоорой.
,

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Цорын ганц сэжүүр бол эндээс та ерөнхий интегралыг олж авах бөгөөд илүү зөв бол та тодорхой шийдлийг олохгүй байх хэрэгтэй. хэсэгчилсэн интеграл... Бүрэн шийдэл, зааварчилгааны төгсгөлд хариулна уу.