Функцийг бүрэн судлах алгоритм. Функцийг судлах ерөнхий схем, график

Функцийг бүрэн судалж, түүний графикийг зурахын тулд дараахь схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

1) функцийн хамрах хүрээг олох;

2) функцын тасалдал ба босоо асимптотуудыг (хэрэв байгаа бол) олох;

3) хязгааргүй дэх функцийн зан төлөвийг судлах, хэвтээ ба ташуу асимптотуудыг олох;

4) тэгш байдал (сонин) ба үечилсэн байдлын хувьд (тригонометрийн функцүүдийн хувьд) функцийг судлах;

5) функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг олох;

6) гүдгэр ба гулзайлтын цэгүүдийн интервалыг тодорхойлох;

7) боломжтой бол координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд болон графикийг сайжруулах нэмэлт цэгүүдийг ол.

Функцийг судлах нь түүний графикийг бүтээхтэй зэрэгцэн явагддаг.

Жишээ 9Функцийг судалж, график байгуул.

1. Тодорхойлолтын домэйн: ;

2. Функц цэг дээр тасардаг
,
;

Бид босоо асимптот байгаа эсэхийг шалгах функцийг судалдаг.

;
,
─ босоо асимптот.

;
,
─ босоо асимптот.

3. Бид ташуу ба хэвтээ асимптот байгаа эсэх функцийг судалдаг.

Чигээрээ
─ ташуу асимптот, хэрэв
,
.

,
.

Чигээрээ
─ хэвтээ асимптот.

4. Функц нь тэгш, учир нь
. Функцийн паритет нь y тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийн тэгш хэмийг илэрхийлдэг.

5. Функцийн монотон ба туйлын интервалыг ол.

Чухал цэгүүдийг олцгооё, өөрөөр хэлбэл. Дериватив нь 0 эсвэл байхгүй цэгүүд:
;
. Бидэнд гурван оноо бий
;

. Эдгээр цэгүүд бодит тэнхлэгийг бүхэлд нь дөрвөн интервалд хуваадаг. Шинж тэмдгүүдийг тодорхойлъё тус бүр дээр.

(-∞; -1) ба (-1; 0) интервалд функц нэмэгдэж, (0; 1) ба (1; +∞) интервалд буурна. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх үед
дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг тул энэ үед функц хамгийн их байна
.

6. Гүдгэрийн интервал, гулзайлтын цэгүүдийг олъё.

Хаана байгаа цэгүүдийг олцгооё 0 эсвэл байхгүй байна.

жинхэнэ үндэс байхгүй.
,
,

оноо
Тэгээд
бодит тэнхлэгийг гурван интервалд хуваа. Тэмдгийг тодорхойлъё интервал бүрт.

Тиймээс интервалуудын муруй
Тэгээд
гүдгэр доош, интервал дээр (-1;1) гүдгэр дээш; цэгүүд дэх функцээс хойш гулзайлтын цэг байхгүй
Тэгээд
тодорхойгүй байна.

7. Тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.

тэнхлэгтэй
функцийн график нь (0; -1) цэг дээр, тэнхлэгтэй огтлолцоно
график огтлолцохгүй, учир нь Энэ функцийн тоологч нь жинхэнэ үндэсгүй.

Өгөгдсөн функцийн графикийг 1-р зурагт үзүүлэв.

Зураг 1 ─ Функцийн график

Дериватив ойлголтыг эдийн засагт хэрэглэх. Функцийн уян хатан байдал

Эдийн засгийн үйл явцыг судлах, бусад хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд функциональ уян хатан байдлын тухай ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг.

Тодорхойлолт.Функцийн уян хатан байдал
функцийн харьцангуй өсөлтийн харьцааны хязгаар гэнэ хувьсагчийн харьцангуй өсөлтөд цагт
, . (VII)

Функцийн уян хатан чанар нь функц хэдэн хувиар өөрчлөгдөхийг харуулдаг
бие даасан хувьсагчийг өөрчлөх үед 1%-иар.

Функцийн уян хатан чанарыг эрэлт, хэрэглээний шинжилгээнд ашигладаг. Хэрэв эрэлтийн мэдрэмж (үнэмлэхүй утгаар)
, тэгвэл эрэлтийг уян хатан гэж үзнэ
─ төвийг сахисан бол
─ үнийн (эсвэл орлогын) хувьд уян хатан бус.

Жишээ 10Функцийн уян хатан чанарыг тооцоол
-ийн уян хатан байдлын индексийн утгыг ол = 3.

Шийдэл: (VII) томъёоны дагуу функцийн уян хатан чанарыг:

Тэгвэл x=3 байг
Энэ нь бие даасан хувьсагч 1%-иар өссөн тохиолдолд хамааралтай хувьсагчийн утга 1.42%-иар өснө гэсэн үг.

Жишээ 11Эрэлт үйлчилнэ үнийн талаар хэлбэртэй байна
, хаана ─ тогтмол коэффициент. Эрэлтийн функцийн уян хатан байдлын индексийн утгыг х = 3 ден үнээр ол. нэгж

Шийдэл: (VII) томъёог ашиглан эрэлтийн функцийн уян хатан чанарыг тооцоол.

Таамаглаж байна
мөнгөний нэгж, бид авдаг
. Энэ нь үнээр гэсэн үг юм
мөнгөний нэгж 1% -иар үнийн өсөлт нь эрэлтийг 6% -иар бууруулна, өөрөөр хэлбэл. эрэлт уян хатан байна.

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан танд чухал мэдэгдэл, мессеж илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно янз бүрийн судалгааүзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн дагуу хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон нийтийн ашиг сонирхлын бусад зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны талаарх мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон физикийн зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Заавар

Функцийн хамрах хүрээг ол. Жишээлбэл, sin(x) функц нь -∞-аас +∞ хүртэлх бүхэл интервалд, 1/x функц нь x = 0 цэгээс бусад тохиолдолд -∞-аас +∞ хүртэл тодорхойлогддог.

Тасралтгүй байдал ба таслах цэгүүдийг тодорхойлох. Ихэвчлэн функц нь тодорхойлогдсон ижил домэйнд тасралтгүй байдаг. Тасралтгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд аргумент нь тодорхойлолтын хүрээн дэх тусгаарлагдсан цэгүүдэд ойртох үед тооцоолох хэрэгтэй. Жишээ нь: 1/x функц нь x→0+ үед хязгааргүй, x→0- үед хасах хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Энэ нь x = 0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна гэсэн үг юм.
Хэрэв тасалдалын цэг дээрх хязгаар нь төгсгөлтэй боловч тэнцүү биш бол энэ нь эхний төрлийн тасалдал юм. Хэрэв тэдгээр нь тэнцүү бол функц нь тусгаарлагдсан цэг дээр тодорхойлогдоогүй боловч тасралтгүй гэж тооцогддог.

Хэрэв байгаа бол босоо асимптотуудыг ол. Босоо асимптот нь хоёр дахь төрлийн тасалдал дээр бараг үргэлж байдаг тул өмнөх алхамын тооцоолол танд туслах болно. Гэсэн хэдий ч заримдаа энэ нь тодорхой цэгээс хасагдсан бие даасан цэгүүд биш, харин цэгүүдийн бүхэл бүтэн интервалууд бөгөөд дараа нь босоо асимптотуудыг эдгээр интервалуудын ирмэг дээр байрлуулж болно.

Функц нь тэгш, сондгой, үе үе гэсэн тусгай шинж чанартай эсэхийг шалгана уу.
Энэ функц нь f(x) = f(-x) домэйны аль ч х-ийн хувьд тэгш байх болно. Жишээлбэл, cos(x) ба x^2 нь тэгш функцууд юм.

Үе үе гэдэг нь ямар ч x f(x) = f(x + T) -ийн хувьд үе гэж нэрлэгддэг тодорхой T тоо байдаг гэсэн шинж чанар юм. Жишээлбэл, бүх гол тригонометрийн функцууд(синус, косинус, тангенс) - үе үе.

Оноо олох. Үүнийг хийхийн тулд деривативыг тооцоол өгөгдсөн функцмөн тэдгээр x утгуудыг алга болсон газраас олоорой. Жишээлбэл, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 функц нь x = 0 ба x = -6 үед алга болох g(x) = 3x^2 + 18x деривативтай.

Аль экстремум цэгүүд нь максимум, аль нь минимум болохыг тодорхойлохын тулд олдсон тэг дэх деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг мөрдөнө. g(x) x = -6 үед нэмэх тэмдгийг, x = 0 үед хасахаас нэмэх тэмдгийг буцаана. Иймд f(x) функц нь эхний цэг дээр минимум, хоёр дахь цэг дээр минимумтай байна.

Иймд та нэгэн хэвийн байдлын талбаруудыг мөн олсон байна: f(x) -∞;-6 интервал дээр монотон нэмэгдэж, -6;0 дээр нэг хэвийн буурч, 0;+∞ дээр дахин нэмэгддэг.

Хоёр дахь деривативыг ол. Өгөгдсөн функцийн график хаана гүдгэр, хаана нь хотгор байхыг түүний үндэс харуулна. Жишээлбэл, f(x) функцийн хоёр дахь дериватив нь h(x) = 6x + 18 байх болно. Энэ нь x = -3 үед алга болж, тэмдгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчилдөг. Тиймээс энэ цэгийн өмнөх f (x) график нь гүдгэр, түүний дараа нь хотгор байх ба энэ цэг нь өөрөө гулзайлтын цэг болно.

Функц нь босоо тэнхлэгээс бусад асимптотуудтай байж болно, гэхдээ зөвхөн түүний тодорхойлолтын домайн нь . Тэдгээрийг олохын тулд x→∞ эсвэл x→-∞ үед f(x)-ийн хязгаарыг тооцоол. Хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал бол та хэвтээ асимптотыг олсон болно.

Ташуу асимптот нь kx + b хэлбэрийн шулуун шугам юм. k-г олохын тулд f(x)/x-ийн хязгаарыг x→∞ гэж тооцоол. Ижил x→∞-тэй b - хязгаарыг (f(x) – kx) олох.

Тооцоолсон өгөгдөл дээр функцийг зур. Хэрэв байгаа бол асимптотуудыг тэмдэглэ. Экстремум цэгүүд болон тэдгээрийн функцүүдийн утгыг тэмдэглэ. Графикийг илүү нарийвчлалтай болгохын тулд функцийн утгыг хэд хэдэн завсрын цэг дээр тооцоол. Судалгаа дууссан.

\(y= \frac(x^3)(1-x) \) функцийг судалж, графикийг нь байгуулъя.

1. Тодорхойлолтын домэйн.
Рационал функцийг (бутархай) тодорхойлох домэйн нь: хуваагч нь тэгтэй тэнцүү биш, өөрөөр хэлбэл. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Домэйн $$D_f= (-\infty; 1) \аяга (1;+\infty)$$

2. Функцийн таслах цэг ба тэдгээрийн ангилал.
Функц нь нэг таслах цэгтэй байна x = 1
x= цэгийг шалгана уу 1. Тасархайн цэгийн баруун ба зүүн талд байрлах функцийн хязгаарыг олоорой $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x) )) = -\infty $$ ба цэгийн зүүн талд $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ нэг талын хязгаарлалт нь \(\infty\).

\(x = 1\) шулуун шугам нь босоо асимптот юм.

3. Функцийн тэгш байдал.
\(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) тэгш бус, сондгой биш байна.

4. Функцийн тэг (Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд). Функцийн тогтмол байдлын интервалууд.
Функцийн тэг ( Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэг): \(y=0\) тэнцүүлэвэл \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \) авна. Муруй нь \((0;0)\ координаттай Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй байна.

Функцийн тогтмол байдлын интервалууд.
Үзэж буй интервалууд дээр \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) муруй нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй тул бид гурван интервал дээр тодорхойлолтын мужийг авч үзэх болно.

Тодорхойлолтын домайн интервалууд дээрх функцийн тэмдгийг тодорхойлъё.
интервал \((-\infty; 0) \) дурын цэг дэх функцийн утгыг олох \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; 1) \) дурын цэг дэх функцийн утгыг олох \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), энэ интервал дээр функц эерэг байна. \(f(x) > 0 \), i.e. x тэнхлэгээс дээш байна.
интервал \((1;+\infty) \) дурын цэг дэх функцийн утгыг ол \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: тэнцүүлэх \(x=0 \), бид \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\) авна. Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат \((0; 0)\)

6. Нэг хэвийн байдлын интервалууд. Функцийн хэт туйлшрал.
Критик (хөдөлгөөнгүй) цэгүүдийг олцгооё, үүний тулд бид эхний деривативыг олж, тэгтэй тэнцүү $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ нь 0-тэй тэнцүү $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Энэ цэг дэх функцийн утгыг ол \(f) (0) = 0\) ба \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). \((0;0)\) ба \((1.5;-6.75)\) координаттай хоёр чухал оноо авсан.

Нэг хэвийн байдлын интервалууд.
Функц нь хоёр чухал цэгтэй (боломжтой экстремум цэгүүд) тул бид дөрвөн интервалаар монотон байдлыг авч үзэх болно.
интервал \((-\infty; 0) \) интервалын дурын цэг дэх эхний деривативын утгыг олох \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
интервал \((0;1)\) интервалын дурын цэг дэх эхний деривативын утгыг олох \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , функц энэ интервал дээр нэмэгдэнэ.
интервал \((1;1.5)\) интервалын дурын цэг дэх эхний деривативын утгыг олох \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , функц энэ интервал дээр нэмэгдэнэ.
интервал \((1.5; +\infty)\) интервалын дурын цэг дэх эхний деривативын утгыг ол \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Функцийн хэт туйлшрал.

Функцийг судлахдаа тодорхойлолтын хүрээний интервал дээр хоёр чухал (хөдөлгөөнгүй) цэгийг олж авсан. Тэдгээр нь экстремум мөн эсэхийг тодорхойлъё. Чухал цэгүүдийг дайран өнгөрөхдөө деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг анхаарч үзээрэй.

цэг \(x = 0\) дериватив тэмдэг нь \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\)-аас өөрчлөгддөг - цэг нь экстремум биш юм.
цэг \(x = 1.5\) дериватив тэмдэг нь \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\)-аас өөрчлөгддөг - цэг нь хамгийн их цэг юм.

7. Гүдгэр ба гүдгэр хоорондын зай. Гулзайлтын цэгүүд.

Гүдгэр ба хотгорын интервалыг олохын тулд функцийн хоёр дахь деривативыг олж, тэгтэй тэнцүү $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Тэгтэй тэнцүү $$ тохируулах \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Функц нь координаттай хоёр дахь төрлийн нэг чухал цэгтэй байна \((0;0)\ ).
Хоёрдахь төрлийн эгзэгтэй цэгийг (боломжтой гулзайлтын цэг) харгалзан тодорхойлолтын хүрээний интервалууд дээр гүдгэрийг тодорхойлъё.

интервал \((-\infty; 0)\) аль ч цэг дэх хоёр дахь деривативын утгыг ол \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-) x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; 1)\) аль ч цэг дэх хоёр дахь деривативын утгыг ол \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), энэ интервал дээр функцийн хоёр дахь дериватив эерэг байна \(f""(x) > 0 \) функц нь доошоо гүдгэр (гүдгэр).
интервал \((1; \infty)\) аль ч цэг дэх хоёр дахь деривативын утгыг олох \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Гулзайлтын цэгүүд.

Хоёрдахь төрлийн эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөх үед хоёр дахь деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг авч үзье.
\(x =0\) цэг дээр хоёр дахь дериватив нь \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\) -аас тэмдгийг өөрчилдөг, функцийн график нь гүдгэр байдлыг өөрчилдөг, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь координаттай гулзайлтын цэг юм \((0;0)\).

8. Асимптотууд.

Босоо асимптот. Функцийн график нь нэг босоо асимптоттой \(x =1\) (2-р зүйлийг үз).
Ташуу асимптот.
\(x \to \infty\) функцийн графикийг \(y= \frac(x^3)(1-x) \) болгохын тулд ташуу асимптот \(y = kx+b\) байх болно. , энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай бөгөөд ингэснээр хоёр хязгаар байх болно $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ үүнийг олох $$ \lim_(x \) -аас \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ ба хоёр дахь хязгаар $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, учир нь \(k = \infty\) - ташуу асимптот байхгүй.

Хэвтээ асимптот:Хэвтээ асимптот байхын тулд $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ хязгаар байх шаардлагатай бөгөөд үүнийг $$ \lim_(x \to +\infty) олоорой. (\ frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Хэвтээ асимптот байхгүй.

9. Функцийн график.

Функцийг судлах, тэдгээрийн графикийг байгуулах лавлах цэгүүд нь тасалдал, экстремум, гулзайлтын цэгүүд, координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд юм. Дифференциал тооцооллын тусламжтайгаар хүн тогтоож болно шинж чанаруудфункцийн өөрчлөлт: өсөлт ба бууралт, максимум ба минимум, графикийн гүдгэр ба хотгорын чиглэл, асимптот байгаа эсэх.

Асимптот ба экстремум цэгүүдийг олсны дараа функцийн графикийн ноорог зурах боломжтой (мөн хийх ёстой) бөгөөд судалгааны явцад функцийн судалгааны хураангуй хүснэгтийг бөглөх нь тохиромжтой.

Ихэвчлэн функциональ судалгааны дараах схемийг ашигладаг.

1.Функцийн домэйн, тасралтгүй байдлын интервал, таслах цэгийг ол.

2.Функцийг тэгш эсвэл сондгой (графикийн тэнхлэгийн эсвэл төв тэгш хэм) эсэхийг шалгана уу.

3.Асимптотуудыг олох (босоо, хэвтээ эсвэл ташуу).

4.Функцийн өсөлт, бууралтын интервал, түүний экстремум цэгүүдийг олж, судал.

5.Муруйн гүдгэр ба хотгорын интервал, түүний гулзайлтын цэгүүдийг ол.

6.Хэрэв тэдгээр нь байгаа бол муруйн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.

7.Судалгааны хураангуй хүснэгтийг эмхэтгэх.

8.Дээрх цэгүүдийн дагуу гүйцэтгэсэн функцийн судалгааг харгалзан график байгуул.

Жишээ.Функцийг судлах

мөн үүнийг төлөвлө.

7. Функцийн судалгааны хураангуй хүснэгтийг гаргаж, бүх шинж чанарын цэгүүд болон тэдгээрийн хоорондох интервалуудыг оруулна. Функцийн паритетийг харгалзан бид дараах хүснэгтийг авна.

				Графикийн онцлог
[-1, 0[			Нэмэгдэх	Гүдгэр
				(0; 1) - хамгийн дээд цэг
]0, 1[			Багасна	Гүдгэр
				Гулзайлтын цэг, тэнхлэгтэй хамт хэлбэрүүд Үхэрмохоо өнцөг