Kaip parašyti tiesios linijos lygtį. Tiesės, einančios per tašką, lygtis, tiesės, einančios per du taškus, kampo tarp dviejų tiesių, tiesės nuolydžio lygtis

Šiame straipsnyje mes apsvarstysime bendrąją tiesės plokštumoje lygtį. Pateiksime bendrosios tiesės lygties sudarymo pavyzdžius, jei žinomi du šios tiesės taškai arba vienas taškas ir šios tiesės normalusis vektorius. Pateiksime bendrosios formos lygties transformavimo į kanonines ir parametrines formas metodus.

Tegu pateikta savavališka Dekarto stačiakampių koordinačių sistema Oxy. Apsvarstykite pirmojo laipsnio lygtį arba tiesinę lygtį:

Ax+By+C=0,

(1)

kur A, B, C yra tam tikros konstantos ir bent vienas iš elementų A ir B skiriasi nuo nulio.

Parodysime, kad tiesinė lygtis plokštumoje apibrėžia tiesę. Įrodykime tokią teoremą.

1 teorema. Savavališkoje Dekarto stačiakampių koordinačių sistemoje plokštumoje kiekviena tiesė gali būti nurodyta tiesine lygtimi. Ir atvirkščiai, kiekviena tiesinė lygtis (1) savavališkoje Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje apibrėžia tiesę.

Įrodymas. Pakanka įrodyti, kad linija L yra nustatomas pagal tiesinę lygtį bet kuriai Dekarto stačiakampių koordinačių sistemai, nes tada ji bus nustatyta tiesine lygtimi ir bet kokiai Dekarto stačiakampių koordinačių sistemos pasirinkimui.

Tegu plokštumoje nurodyta tiesi linija L. Pasirenkame tokią koordinačių sistemą, kad ašis Jautis suderinta su linija L, ir ašis Oy buvo jai statmenas. Tada linijos lygtis L bus tokia forma:

y=0.

(2)

Visi taškai tiesėje L tenkins tiesinę lygtį (2), o visi už šios tiesės esantys taškai netenkins (2) lygties. Įrodyta pirmoji teoremos dalis.

Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema ir tiesinė lygtis (1), kurioje bent vienas iš elementų A ir B skiriasi nuo nulio. Raskite taškų, kurių koordinatės atitinka (1) lygtį, vietą. Kadangi bent vienas iš koeficientų A ir B skiriasi nuo nulio, tada (1) lygtis turi bent vieną sprendimą M(x 0 ,y 0). (Pavyzdžiui, kada A≠0, taškas M 0 (−C/A, 0) priklauso nurodytam taškų lokusui). Pakeitę šias koordinates į (1), gauname tapatybę

Ax 0 +Autorius 0 +C=0.

(3)

Iš (1) atimkime tapatybę (3):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Akivaizdu, kad (4) lygtis yra lygiavertė (1) lygčiai. Todėl pakanka įrodyti, kad (4) apibrėžia kokią nors tiesę.

Kadangi nagrinėjame Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą, iš lygybės (4) išplaukia, kad vektorius su komponentais ( x−x 0 , y-y 0 ) yra statmenas vektoriui n su koordinatėmis ( A, B}.

Apsvarstykite kokią nors eilutę L einantis per tašką M 0 (x 0 , y 0) ir statmenai vektoriui n(1 pav.). Tegul taškas M(x,y) priklauso eilutei L. Tada vektorius su koordinatėmis x−x 0 , y-y 0 statmenai n ir (4) lygtis tenkinama (vektorių skaliarinė sandauga). n ir lygus nuliui). Ir atvirkščiai, jei taškas M(x,y) nėra ant linijos L, tada vektorius su koordinatėmis x−x 0 , y-y 0 nėra statmena vektoriui n ir (4) lygtis netenkinama. Teorema įrodyta.

Įrodymas. Kadangi linijos (5) ir (6) apibrėžia tą pačią liniją, normalieji vektoriai n 1 ={A 1 ,B 1) ir n 2 ={A 2 ,B 2) yra kolinearinės. Kadangi vektoriai n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, tada yra skaičius λ , ką n 2 =n 1 λ . Taigi mes turime: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Įrodykime tai C 2 =C 1 λ . Akivaizdu, kad sutampančios linijos turi bendrą tašką M 0 (x 0 , y 0). Lygtį (5) padauginus iš λ ir iš jos atėmę lygtį (6), gauname:

Kadangi pirmosios dvi lygybės iš reiškinių (7) yra tenkinamos, tada C 1 λ −C 2=0. Tie. C 2 =C 1 λ . Pastaba pasitvirtino.

Atkreipkite dėmesį, kad (4) lygtis apibrėžia tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0 (x 0 , y 0) ir turintis normalųjį vektorių n={A, B). Todėl jei yra žinomas tiesės normalusis vektorius ir jai priklausantis taškas, tai bendrąją tiesės lygtį galima sudaryti naudojant (4) lygtį.

1 pavyzdys. Tiesė eina per tašką M=(4,−1) ir turi normalųjį vektorių n=(3, 5). Sukurkite bendrąją tiesės lygtį.

Sprendimas. Mes turime: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Norėdami sudaryti bendrąją tiesės lygtį, šias reikšmes pakeičiame (4) lygtimi:

Atsakymas:

Vektorius lygiagretus linijai L taigi yra statmenas tiesės normaliajam vektoriui L. Sukurkime normaliosios linijos vektorių L, atsižvelgiant į tai, kad vektorių skaliarinė sandauga n ir yra lygus nuliui. Galime rašyti pvz. n={1,−3}.

Norėdami sudaryti bendrąją tiesės lygtį, naudojame formulę (4). Pakeiskime (4) taško koordinates M 1 (taip pat galime paimti taško koordinates M 2) ir normalusis vektorius n:

Taško koordinačių pakeitimas M 1 ir M 2 (9) galime įsitikinti, kad (9) lygties nurodyta tiesė eina per šiuos taškus.

Atsakymas:

Iš (1) atimkite (10):

Gavome kanoninę tiesės lygtį. Vektorius q={−B, A) yra tiesės (12) krypties vektorius.

Žiūrėkite atvirkštinę transformaciją.

3 pavyzdys. Tiesė plokštumoje pavaizduota tokia bendra lygtimi:

Perkelkite antrąjį narį į dešinę ir padalykite abi lygties puses iš 25.

Bendroji tiesės lygtis:

Konkretūs bendrosios tiesės lygties atvejai:

ir jeigu C= 0, (2) lygtis turės formą

Ax + Autorius = 0,

o šia lygtimi apibrėžta tiesė eina per pradžios tašką, nes pradžios koordinatės x = 0, y= 0 tenkina šią lygtį.

b) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) B= 0, tada lygtis įgauna formą

Ax + Su= 0 arba .

Lygtyje nėra kintamojo y, o šia lygtimi apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Oy.

c) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) A= 0, tada ši lygtis įgauna formą

Autorius + Su= 0 arba ;

lygtyje nėra kintamojo x, o jo apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Jautis.

Reikėtų prisiminti: jei tiesė yra lygiagreti bet kuriai koordinačių ašiai, tada jos lygtyje nėra termino, kuriame yra to paties pavadinimo koordinatė su šia ašimi.

d) Kada C= 0 ir A= 0 (2) lygtis įgauna formą Autorius= 0 arba y = 0.

Tai yra ašies lygtis Jautis.

e) Kada C= 0 ir B= 0 lygtis (2) gali būti įrašyta forma Ax= 0 arba x = 0.

Tai yra ašies lygtis Oy.

Abipusis tiesių išdėstymas plokštumoje. Kampas tarp linijų plokštumoje. Lygiagrečių linijų būklė. Linijų statmenumo sąlyga.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektoriai S 1 ir S 2 vadinami jų linijų kreiptuvais.

Kampas tarp tiesių l 1 ir l 2 nustatomas pagal kampą tarp krypties vektorių.
1 teorema: cos kampas tarp l 1 ir l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

2 teorema: Kad 2 eilutės būtų lygios, būtina ir pakanka:

3 teorema: kad 2 linijos būtų statmenos, būtina ir pakanka:

L 1 l 2 – A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Bendroji plokštumos lygtis ir jos konkretūs atvejai. Plokštumos atkarpomis lygtis.

Bendroji plokštumos lygtis:

Ax + By + Cz + D = 0

Ypatingi atvejai:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - plokštuma eina per pradžią

2. С=0 Ax+By+D = 0 – plokštuma || oz

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – plokštuma || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plokštuma || JAUTIS

5. A=0 ir D=0 By+Cz = 0 - plokštuma eina per OX

6. B=0 ir D=0 Ax+Cz = 0 - plokštuma eina per OY

7. C=0 ir D=0 Ax+By = 0 - plokštuma eina per OZ

Abipusis plokštumų ir tiesių išdėstymas erdvėje:

1. Kampas tarp tiesių erdvėje yra kampas tarp jų krypties vektorių.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. Kampas tarp plokštumų nustatomas per kampą tarp jų normaliųjų vektorių.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. Kampo tarp tiesės ir plokštumos kosinusą galima rasti per kampo tarp tiesės krypties vektoriaus ir plokštumos normaliojo vektoriaus sin.

4. 2 eilutės || erdvėje, kai jų || vektoriniai vadovai

5. 2 lėktuvai || kada || normalūs vektoriai

6. Panašiai įvedamos tiesių ir plokštumų statmenumo sąvokos.

14 klausimas

Įvairių tipų tiesės lygtis plokštumoje (tiesės lygtis atkarpose, su nuolydžiu ir kt.)

Tiesios linijos atkarpomis lygtis:
Tarkime, kad bendrojoje tiesės lygtyje:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - tiesi linija eina per pradžią.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. in \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis:

Bet kuri tiesi linija, kuri nėra lygi y ašiai (B ne = 0), gali būti parašyta toliau. forma:

k = tgα α yra kampas tarp tiesės ir teigiamai nukreiptos linijos ОХ

b - tiesės susikirtimo taškas su OS ašimi

Doc-in:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Dviejų taškų tiesės lygtis:

16 klausimas

Baigtinė funkcijos riba taške ir x→∞

Pabaigos riba taške x 0:

Skaičius A vadinamas funkcijos y \u003d f (x) riba x → x 0, jei bet kurio E > 0 atveju yra b > 0, kad esant x ≠ x 0, tenkinant nelygybę |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Riba žymima: = A

Pabaigos riba taške +∞:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) riba x → + ∞ , jei bet kuriam E > 0 egzistuoja C > 0, kad x > C nelygybė |f(x) - A|< Е

Riba žymima: = A

Pabaigos riba taške -∞:

Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) for riba x→-∞, jei dėl kokių nors E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ah + Wu + C = 0,

o konstantos A, B tuo pačiu metu nėra lygios nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis. Atsižvelgiant į konstantų A, B ir C vertes, galimi šie specialūs atvejai:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linija eina per pradžią

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (pagal + C \u003d 0) - linija lygiagreti Ox ašiai

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linija lygiagreti Oy ašiai

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - tiesi linija sutampa su Oy ašimi

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - tiesi linija sutampa su Ox ašimi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.

Taško ir normaliojo vektoriaus tiesės lygtis

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B) yra statmenas tiesei, kurią suteikia lygtis Ax + By + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką A(1, 2), statmeną (3, -1), lygtį.

Sprendimas. Esant A = 3 ir B = -1, sudarome tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C, gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates. 3 - 2 + C = 0, todėl C = -1 . Iš viso: norima lygtis: 3x - y - 1 \u003d 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis:

Jei kuris nors iš vardiklių lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Plokštumoje aukščiau parašyta tiesės lygtis supaprastinama:

jei x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2.

vadinama trupmena = k nuolydžio koeficientas tiesiai.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:

Tiesios linijos iš taško ir nuolydžio lygtis

Jei bendras Ax + Wu + C = 0 veda į formą:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu lygtisk.

Tiesės lygtis su tašku ir krypties vektoriumi

Analogiškai su tašku, atsižvelgiant į tiesės per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti tiesės priskyrimą per tašką ir nukreipiamąjį tiesės vektorių.

Apibrėžimas. Kiekvienas nenulinis vektorius (α 1, α 2), kurio komponentai tenkina sąlygą A α 1 + B α 2 = 0, vadinamas tiesės nukreipiamuoju vektoriumi.

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą koeficientai turi atitikti sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0. jei x = 1, y = 2 gauname C / A = -3, t.y. norima lygtis:

Tiesios linijos atkarpose lygtis

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ah + Wu + C = 0 C≠0, tai dalijant iš –C gauname: arba

Koeficientų geometrinė reikšmė yra ta, kad koeficientas a yra tiesės susikirtimo su x ašimi taško koordinatė ir b- tiesės susikirtimo su Oy ašimi taško koordinatė.

Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpose.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Normali tiesės lygtis

Jei abi lygties pusės Ax + Vy + C = 0 padauginamos iš skaičiaus , kuris vadinamas normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ – p = 0 –

normalioji tiesės lygtis. Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip, kad μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis 12x - 5y - 65 = 0. Šiai eilutei reikia parašyti įvairių tipų lygtis.

šios tiesios linijos atkarpomis lygtis:

šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės, lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Pavyzdys. Tiesi linija nupjauna lygias teigiamas atkarpas koordinačių ašyse. Parašykite tiesės lygtį, jei iš šių atkarpų sudaryto trikampio plotas yra 8 cm 2.

Sprendimas. Tiesios linijos lygtis yra tokia: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką A (-2, -3) ir pradžios lygtį.

Sprendimas. Tiesios linijos lygtis turi tokią formą: , kur x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Kampas tarp linijų plokštumoje

Apibrėžimas. Jei dvi tiesės pateiktos y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , smailusis kampas tarp šių linijų bus apibrėžtas kaip

.

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2 . Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Tiesės Ax + Vy + C \u003d 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB yra proporcingi. Jei taip pat С 1 = λС, tai linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y \u003d kx + b, pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Teorema. Jei nurodytas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki linijos Ax + Vy + C \u003d 0 apibrėžiamas kaip

.

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į duotąją tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną tam tikrai tiesei, lygtis. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x - 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y - 3 = 0 yra statmenos.

Sprendimas. Randame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, todėl linijos yra statmenos.

Pavyzdys. Pateikiamos trikampio A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.

Sprendimas. Randame kraštinės AB lygtį: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3m + 3 = 0;

Norima aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: iš kur b = 17. Iš viso: .

Atsakymas: 3x + 2m - 34 = 0.

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Yra be galo daug linijų, kurias galima nubrėžti per bet kurį tašką.

Per bet kuriuos du nesutampančius taškus yra tik viena tiesi linija.

Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:

• linijos susikerta;

• tiesios linijos yra lygiagrečios;

• susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija- pirmos eilės algebrinė kreivė: Dekarto koordinačių sistemoje tiesė

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ah + Wu + C = 0,

ir pastovus A, B nelygu nuliui tuo pačiu metu. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B ir Su Galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija eina per pradžią

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija sutampa su ašimi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pavaizduota įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją

pradines sąlygas.

Taško ir normaliojo vektoriaus tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas. Sudarykime ties A \u003d 3 ir B \u003d -1 tiesės lygtį: 3x - y + C \u003d 0. Norėdami rasti koeficientą C

gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates. Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: norima lygtis: 3x - y - 1 \u003d 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesios linijos lygtis,

einantis per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Ant

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jeigu x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydžio koeficientas tiesiai.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:

Tiesės lygtis su tašku ir nuolydžiu.

Jei bendroji tiesės lygtis Ah + Wu + C = 0 atnešti į formą:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Taško tiesės ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį

tiesi linija per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą

Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino tiesės krypties vektorius.

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 mes gauname C/ A = -3, t.y. norima lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada dalijant iš -C gauname:

arba kur

Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi Oi, a b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Normali tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ah + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus , kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ * C< 0.

R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki linijos,

a φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalingas įvairių tipų lygtims parašyti

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Tiesios linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp linijų plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos

jeigu k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ah + Wu + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai yra proporcingi

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jei taip pat С 1 \u003d λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygtis yra statmena nurodytai tiesei.

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei duodamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki linijos Ah + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- statmeno pagrindas nukrito nuo taško M už duotą

tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 ir 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis

duota linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Yra be galo daug linijų, kurias galima nubrėžti per bet kurį tašką.

Per bet kuriuos du nesutampančius taškus yra tik viena tiesi linija.

Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:

• linijos susikerta;

• tiesios linijos yra lygiagrečios;

• susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija- pirmos eilės algebrinė kreivė: Dekarto koordinačių sistemoje tiesė

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ah + Wu + C = 0,

ir pastovus A, B nelygu nuliui tuo pačiu metu. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B ir Su Galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija eina per pradžią

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija sutampa su ašimi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pavaizduota įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją

pradines sąlygas.

Taško ir normaliojo vektoriaus tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas. Sudarykime ties A \u003d 3 ir B \u003d -1 tiesės lygtį: 3x - y + C \u003d 0. Norėdami rasti koeficientą C

gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates. Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: norima lygtis: 3x - y - 1 \u003d 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesios linijos lygtis,

einantis per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Ant

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jeigu x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydžio koeficientas tiesiai.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:

Tiesės lygtis su tašku ir nuolydžiu.

Jei bendroji tiesės lygtis Ah + Wu + C = 0 atnešti į formą:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Taško tiesės ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį

tiesi linija per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą

Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino tiesės krypties vektorius.

Ah + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 mes gauname C/ A = -3, t.y. norima lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada dalijant iš -C gauname:

arba kur

Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi Oi, a b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Normali tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ah + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus , kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ * C< 0.

R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki linijos,

a φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalingas įvairių tipų lygtims parašyti

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Tiesios linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp linijų plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos

jeigu k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ah + Wu + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai yra proporcingi

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jei taip pat С 1 \u003d λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygtis yra statmena nurodytai tiesei.

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei duodamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki linijos Ah + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- statmeno pagrindas nukrito nuo taško M už duotą

tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 ir 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis

duota linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.