Naudojant pagrindinių elementariųjų funkcijų išplėtimą. Taylor serijos išplėtimas

Funkcinių eilučių teorijoje centrinę vietą užima skyrius, skirtas funkcijos išplėtimui serijoje.

Taigi iškeliama problema: tam tikrai funkcijai reikia rasti tokią galių eilutę

kuri konvergavo kokiame nors intervale ir jo suma buvo lygi
, tie.

= ..

Ši užduotis vadinama funkcijos išplėtimo laipsnių eilutėje problema.

Būtina sąlyga funkcijos išplėtimui laipsnio eilutėje ar jo diferencijuojamumas yra begalinis kartų skaičius – tai išplaukia iš konverguojančių laipsnių eilučių savybių. Ši sąlyga, kaip taisyklė, yra įvykdyta elementarioms funkcijoms jų apibrėžimo srityje.

Taigi, tarkime, funkcija
turi bet kokios eilės išvestinių. Ar įmanoma ją išplėsti galios serijoje, jei įmanoma, kaip rasti šią seriją? Antrąją problemos dalį lengviau išspręsti, ir nuo jos pradėsime.

Tarkime, kad funkcija
gali būti pavaizduota kaip laipsnių eilutės, susiliejančios intervale, kuriame yra taškas, suma NS 0 :

= .. (*)

kur a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a NS ,... - neapibrėžti (dar) koeficientai.

Į lygybę (*) įdedame vertę x = x 0 , tada gauname

Atskirkime laipsnių eilutę (*) pagal terminą

= ..

ir darant prielaidą, kad čia x = x 0 , gauti

Atlikdami kitą diferenciaciją, gauname seriją

= ..

darant prielaidą x = x 0 , gauti
, kur
.

Po to NS-kartų diferenciacija, gauname

Nustatymas paskutinėje lygybėje x = x 0 , gauti
, kur

Taigi, koeficientai rasti

,
,
, …,
,….,

pakeitę juos į seriją (*), gauname

Gauta serija vadinama šalia Teiloro už funkciją
.

Taigi mes tai nustatėme jei funkcija gali būti išplėsta laipsnių eilėje laipsniais (x - x 0 ), tada šis išplėtimas yra unikalus ir gaunama serija būtinai yra Taylor serija.

Atkreipkite dėmesį, kad Taylor eilutę galima gauti bet kuriai funkcijai, turinčiai bet kokios eilės išvestines taške x = x 0 . Bet tai nereiškia, kad tarp funkcijos ir gautos serijos galima dėti lygybės ženklą, t.y. kad serijos suma lygi pradinei funkcijai. Pirma, tokia lygybė gali turėti prasmę tik konvergencijos srityje, o funkcijai gautos Taylor eilutės gali skirtis, o antra, jei Teiloro eilutė suartėja, tada jos suma gali nesutapti su pradine funkcija.

3.2. Pakankamos sąlygos funkcijai išplėsti Taylor serijoje

Suformuluokime teiginį, kurio pagalba bus išspręsta iškelta užduotis.

Jei funkcija
kažkurioje taško x kaimynystėje 0 turi išvestinių iki (n+ 1) eilės imtinai, tada šioje kaimynystėjeformulę Teiloras

kurR n (NS)yra Taylor formulės likusioji dalis – turi formą (Lagrange forma)

kur taškąξ yra tarp x ir x 0 .

Atkreipkite dėmesį, kad tarp Teiloro serijos ir Teiloro formulės yra skirtumas: Teiloro formulė yra baigtinė suma, t.y. NS - fiksuotas numeris.

Prisiminkite, kad serijos suma S(x) galima apibrėžti kaip dalinių sumų funkcinės sekos ribą S NS (x) tam tikru intervalu NS:

Atitinkamai, išplėsti funkciją Taylor serijoje reiškia rasti tokią seriją, kuri tinka bet kuriai NSX

Taylor formulę rašome formoje, kur

pastebėti, kad
apibrėžia gautą klaidą, pakeiskite funkciją f(x) daugianario S n (x).

Jeigu
, tada
, tie. funkcija išplečiama į Taylor seriją. Ir atvirkščiai, jei
, tada
.

Taigi, mes įrodėme Taylor serijos funkcijos išplėtimo kriterijus.

Kad tam tikru intervalu funkcijaf(x) išplėsta į Taylor seriją, būtina ir pakanka, kad šiame intervale
, kurR n (x) yra likusi Taylor serijos dalis.

Naudojantis suformuluotu kriterijumi galima gauti pakankamaisąlygos, kad funkcija būtų išplėsta Taylor serijoje.

Jei įtam tikra taško x kaimynystė 0 visų funkcijos išvestinių absoliučios vertės yra ribojamos tuo pačiu skaičiumi M≥ 0, t.y.

, To šioje kaimynystėje funkcija išplečiama Taylor serijoje.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia algoritmasfunkcijų skaidymas f(x) Taylor serijoje taško apylinkėse NS 0 :

1. Raskite funkcijos išvestines f(x):

f (x), f '(x), f" (x), f '" (x), f (n) (x),...

2. Apskaičiuojame funkcijos reikšmę ir jos išvestinių reikšmes taške NS 0

f (x 0 ), f '(x 0 ), f “(x 0 ), f ’“ (x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Formaliai užrašykite Teiloro eilutes ir raskite gautų laipsnių eilučių konvergencijos sritį.

4. Patikriname pakankamų sąlygų įvykdymą, t.y. nustatome, kam NS iš konvergencijos srities, likusi dalis R n (x) linkęs į nulį ties
arba
.

Funkcijų išplėtimas Taylor serijoje pagal šį algoritmą vadinamas funkcijos išplėtimas Taylor serijoje pagal apibrėžimą arba tiesioginis skilimas.

Aukštosios matematikos studentai turėtų žinoti, kad tam tikros laipsnių eilutės, priklausančios mums duotam eilučių konvergencijos intervalui, suma yra ištisinė ir be galo daug kartų diferencijuota funkcija. Kyla klausimas: ar galima teigti, kad duota savavališka funkcija f (x) yra tam tikros laipsnių eilutės suma? Tai yra, kokiomis sąlygomis f-ija f (x) gali būti pavaizduota laipsnių eilute? Tokio klausimo svarba slypi tame, kad f-yu f (x) galima apytiksliai pakeisti kelių pirmųjų laipsnių eilutės narių suma, tai yra daugianario. Toks funkcijos pakeitimas gana paprasta išraiška – polinomu – patogus ir sprendžiant kai kuriuos uždavinius, būtent: sprendžiant integralus, skaičiuojant ir pan.

Įrodyta, kad kai kuriems fu ir f (x), kuriuose galima apskaičiuoti išvestines iki (n + 1) eilės, įskaitant pastarąją, kaimynystėje (α - R; x 0 + R) tam tikras taškas x = α tai galioja formulė:

Ši formulė pavadinta garsaus mokslininko Brooko Tayloro vardu. Serija, gauta iš ankstesnės, vadinama Maclaurin serija:

Taisyklė, leidžianti išplėsti Maclaurin seriją:

Nustatykite pirmosios, antrosios, trečiosios ... eilių išvestines.
Apskaičiuokite, kam lygios išvestinės, kai x = 0.
Užrašykite šios funkcijos Maclaurin eilutes ir nustatykite jos konvergencijos intervalą.
Nustatykite intervalą (-R; R), kur yra Maklaurino formulės likutinė dalis

R n (x) -> 0 kaip n -> begalybė. Jei toks yra, joje funkcija f (x) turi sutapti su Maclaurin serijos suma.

Dabar panagrinėkime Maclaurin seriją atskiroms funkcijoms.

1. Taigi pirmasis bus f (x) = e x. Žinoma, pagal savo požymius tokia funkcija turi įvairios eilės išvestines, o f (k) (x) = e x, kur k lygus visoms Pakeiskite x = 0. Gauname f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2 ... Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, eilutė e x atrodys taip:

2. Maklaurino eilutė funkcijai f (x) = sin x. Iš karto paaiškinkime, kad visų nežinomųjų f-s turės išvestines, be f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2 *) n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), kur k yra lygus bet kuriam natūraliajam skaičiui. Tai yra, atlikę paprastus skaičiavimus, galime padaryti išvadą kad f (x) = sin x eilutė bus tokios formos:

3. Dabar pabandykime apsvarstyti f-yu f (x) = cos x. Visiems nežinomiesiems jis turi savavališkos eilės išvestinius ir | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Taigi, mes išvardijome svarbiausias funkcijas, kurias galima išplėsti iki Maclaurin serijos, tačiau kai kurioms funkcijoms jas papildo Taylor serija. Dabar išvardinsime ir juos. Taip pat verta paminėti, kad Taylor ir Maclaurin serijos yra svarbi aukštosios matematikos eilių sprendimo seminaro dalis. Taigi, Taylor gretas.

1. Pirmoji bus f-ii f (x) = ln (1 + x) eilutė. Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, esant tam tikram f (x) = ln (1 + x), galime pridėti eilutę naudodami bendrą Maclaurin serijos formą. tačiau Maclaurin seriją šiai funkcijai galima gauti daug paprasčiau. Integravę tam tikrą geometrinę eilutę, gauname tokios imties f (x) = ln (1 + x) eilutę:

2. O antrasis, kuris mūsų straipsnyje bus galutinis, bus f (x) = arctan x serija. Jei x priklauso intervalui [-1; 1], galioja skilimas:

Tai viskas. Šiame straipsnyje buvo nagrinėjamos dažniausiai naudojamos Taylor ir Maclaurin serijos aukštojoje matematikoje, ypač ekonomikos ir technikos universitetuose.

16.1. Elementariųjų funkcijų išplėtimas Taylor serijoje ir

Maclaurinas

Parodykime, kad jei aibėje apibrėžta savavališka funkcija
, netoli taško
turi daug išvestinių ir yra laipsnių eilutės suma:

tada galima rasti šios serijos koeficientus.

Pakaitalas galios eilėje
... Tada
.

Raskite pirmąją funkcijos išvestinę
:

At
:
.

Dėl antrosios išvestinės gauname:

At
:
.

Tęsiant šią procedūrą n kai tik gausime:
.

Taigi, mes gavome formos laipsnius:

kuris vadinamas šalia Teiloro už funkciją
taško apylinkėse
.

Ypatingas Taylor serijos atvejis yra Maclaurin serija adresu
:

Likusi Taylor (Maclaurin) serijos dalis gaunama išmetus pagrindines eilutes n pirmieji nariai ir žymimi kaip
... Tada funkcija
galima parašyti kaip sumą n ankstyvieji numerio nariai
o likusią dalį
:,

Likusi dalis paprastai yra
išreikštas skirtingomis formulėmis.

Vienas iš jų yra Lagrange forma:

, kur
.
.

Atkreipkite dėmesį, kad praktikoje Maclaurin serija naudojama dažniau. Taigi, norint parašyti funkciją
laipsnių eilutės suma, būtina:

1) rasti Maclaurin (Taylor) eilučių koeficientus;

2) rasti gautų laipsnių eilučių konvergencijos sritį;

3) įrodyti, kad duotoji eilutė konverguoja į funkciją
.

Teorema1 (būtina ir pakankama Maclaurino eilučių konvergencijos sąlyga). Tegul serijos konvergencijos spindulys
... Kad ši serija suartėtų intervale
funkcionuoti
, būtina ir pakanka, kad sąlyga būtų įvykdyta:
nurodytu intervalu.

2 teorema. Jei funkcijos bet kurios eilės išvestinės
tam tikru intervalu
absoliučia verte apribotas tuo pačiu skaičiumi M, tai yra
, tada šiame intervale funkcija
gali būti išplėsta į Maclaurin seriją.

Pavyzdys1 . Išplėskite Taylor eilutę aplink tašką
funkcija.

Sprendimas.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergencijos regionas
.

Pavyzdys2 . Išplėsti funkciją Teiloro eilėje aplink tašką
.

Sprendimas:

Raskite funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
.

,
;

...........……………………………

,
.

Mes pakeičiame šias reikšmes iš eilės. Mes gauname:

arba
.

Raskime šios eilutės konvergencijos sritį. Pagal d'Alemberto bruožą serija susilieja, jei

Todėl bet kuriam ši riba yra mažesnė nei 1, todėl eilučių konvergencijos sritis bus:
.

Panagrinėkime keletą pagrindinių elementariųjų funkcijų Maclaurin serijos išplėtimo pavyzdžių. Prisiminkite, kad Maclaurin serija:

susilieja į intervalą
funkcionuoti
.

Atminkite, kad norint išplėsti funkciją serijoje, būtina:

a) raskite šios funkcijos Maklaurino eilučių koeficientus;

b) apskaičiuokite gautų eilučių konvergencijos spindulį;

c) įrodyti, kad gauta eilutė konverguoja į funkciją
.

3 pavyzdys. Apsvarstykite funkciją
.

Sprendimas.

Apskaičiuokime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę
.

Tada serijos skaitiniai koeficientai yra:

bet kam n. Pakeiskite rastus koeficientus į Maclaurin seriją ir gaukite:

Raskite gautų eilučių konvergencijos spindulį, būtent:

Vadinasi, serija susilieja į intervalą
.

Ši serija susilieja su funkcija bet kokioms vertybėms nes bet koks tarpas
funkcija o jo išvestines absoliučia verte riboja skaičius .

Pavyzdys4 . Apsvarstykite funkciją
.

Sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad tolygios eilės vediniai
, o išvestinės yra nelyginės eilės. Rastus koeficientus pakeičiame į Maclaurin seriją ir gauname išplėtimą:

Raskime šios eilutės konvergencijos intervalą. Remiantis d'Alembert:

bet kam ... Vadinasi, serija susilieja į intervalą
.

Ši serija susilieja su funkcija
, nes visi jo dariniai apsiriboja vienu.

Pavyzdys5 .
.

Sprendimas.

Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
:

Taigi šios serijos koeficientai:
ir
, taigi:

Panašiai kaip ir ankstesnėje eilutėje, konvergencijos regionas
... Serija susilieja su funkcija
, nes visi jo dariniai apsiriboja vienu.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija
nelyginis ir serijos plėtimas nelyginiais laipsniais, funkcija
- tolygus ir serijos išplėtimas lygiomis galiomis.

Pavyzdys6 . Dvejetainė serija:
.

Sprendimas.

Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
:

Iš to aišku, kad:

Pakeiskite šias Maclaurin serijos koeficientų reikšmes ir gaukite šios funkcijos išplėtimą galios eilutėje:

Raskite šios eilutės konvergencijos spindulį:

Vadinasi, serija susilieja į intervalą
... Ribiniuose taškuose ties
ir
eilutė gali suartėti arba nekonverguoti priklausomai nuo eksponento
.

Tiriamos serijos susilieja su intervalu
funkcionuoti
, tai yra mokesčio suma
adresu
.

Pavyzdys7 . Išplėskime funkciją Maclaurin serijoje
.

Sprendimas.

Šios funkcijos serijos išplėtimui naudojame dvinarę eilutę
... Mes gauname:

Remdamiesi laipsnių eilučių savybe (laipsnių eilutę galima integruoti jos konvergencijos srityje), randame šios eilutės kairiosios ir dešinės pusės integralą:

Raskime šios serijos konvergencijos sritį:
,

tai yra, šios eilutės konvergencijos sritis yra intervalas
... Apibrėžkime eilučių konvergenciją intervalo galuose. At

... Ši eilutė yra harmoninga, tai yra, ji skiriasi. At
gauname skaičių eilutę su bendru terminu
.

Leibnizo serija susilieja. Taigi šios eilutės konvergencijos sritis yra intervalas
.

16.2. Galios serijų taikymas apytiksliuose skaičiavimuose

Apytiksliuose skaičiavimuose galios eilutės vaidina labai svarbų vaidmenį. Jų pagalba buvo sudarytos trigonometrinių funkcijų lentelės, logaritmų lentelės, kitų funkcijų reikšmių lentelės, kurios naudojamos įvairiose žinių srityse, pavyzdžiui, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje. Be to, funkcijų išplėtimas laipsnio eilutėje yra naudingas jų teoriniam tyrimui. Apytiksliuose skaičiavimuose naudojant laipsnio eilutes pagrindinė problema yra klaidos įvertinimas, kai serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma. n nariai.

Apsvarstykite du atvejus:

funkcija išplečiama į kintamąsias serijas;

funkcija išplečiama į pastovią seriją.

Skaičiavimas naudojant kintamąsias eilutes

Tegul funkcija
išplėsta į kintamos galios eilutę. Tada apskaičiuojant šią funkciją konkrečiai vertei gauname skaitinę eilutę, kuriai galima pritaikyti Leibnizo testą. Pagal šią savybę, jei serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma n terminai, tada absoliuti paklaida neviršija pirmo likusios šios serijos dalies, ty:
.

Pavyzdys8 . Apskaičiuoti
tikslumas 0,0001.

Sprendimas.

Tam naudosime Maclaurin seriją
, pakeičiant kampo reikšmę radianais:

Jei palyginsime pirmąją ir antrąją serijos sąlygas tam tikru tikslumu, tada:

Trečiasis plėtros terminas:

mažesnis už nurodytą skaičiavimo tikslumą. Todėl norint apskaičiuoti
užtenka palikti du serialo narius, t

Taigi
.

Pavyzdys9 . Apskaičiuoti
0,001 tikslumu.

Sprendimas.

Naudosime dvinario eilutės formulę. Norėdami tai padaryti, parašykite
kaip:
.

Šioje išraiškoje
,

Palyginkime kiekvieną iš serijos narių nurodytu tikslumu. Tai aišku
... Todėl norint apskaičiuoti
užtenka palikti tris eilės narius.

arba
.

Skaičiavimas naudojant teigiamas eilutes

Pavyzdys10 . Apskaičiuokite skaičių tikslumu 0,001.

Sprendimas.

Iš eilės funkcijai
pakaitalas
... Mes gauname:

Įvertinkime paklaidą, kuri atsiranda, kai eilutės suma pakeičiama pirmosios suma nariai. Užrašykime akivaizdžią nelygybę:

tai yra 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Pagal problemos būklę reikia rasti n kad galiotų ši nelygybė:
arba
.

Nesunku tai patikrinti n= 6:
.

Vadinasi,
.

Pavyzdys11 . Apskaičiuoti
0,0001 tikslumu.

Sprendimas.

Atminkite, kad norint apskaičiuoti logaritmus, funkcijai galima taikyti seriją
, tačiau ši serija konverguoja labai lėtai, o norint pasiekti nurodytą tikslumą reikėtų paimti 9999 terminus! Todėl logaritmams apskaičiuoti, kaip taisyklė, funkcijos serija
kuris susilieja į intervalą
.

Paskaičiuokime
naudojant šią eilutę. Leisti būti
, tada .

Vadinasi,
,

Norint apskaičiuoti
tam tikru tikslumu imame pirmųjų keturių terminų sumą:
.

Likusios eilutės
išmesti. Įvertinkime klaidą. Tai akivaizdu

arba
.

Taigi eilėje, kuri buvo naudojama skaičiuojant, užteko paimti tik pirmuosius keturis funkcijos eilės narius, o ne 9999
.

Savęs patikrinimo klausimai

1. Kas yra Taylor serija?

2. Kokios buvo Maclaurin serijos?

3. Suformuluokite funkcijos išplėtimo teoremą Teiloro eilutėje.

4. Parašykite pagrindinių funkcijų Maclaurin serijos išplėtimą.

5. Nurodykite nagrinėjamų eilučių konvergencijos sritis.

6. Kaip įvertinti apytikslių skaičiavimų paklaidą naudojant galių eilutes?

Jei funkcija f (x) turi visų eilių išvestines tam tikrame intervale, kuriame yra taškas a, tada jai galima pritaikyti Teiloro formulę:
,
kur r n- vadinamoji liekana arba likusi serijos dalis, ją galima įvertinti naudojant Lagranžo formulę:
, kur skaičius x yra tarp x ir a.

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Jei už kokią nors vertę NS r n→ 0 už n→ ∞, tada riboje Teiloro formulė šiai reikšmei virsta konvergentine Taylor serija:
,
Taigi funkcija f (x) gali būti išplėsta Taylor serijoje nagrinėjamame taške x, jei:
1) turi visų eilučių išvestinius;
2) sudarytos eilutės konverguoja šioje vietoje.

Jei a = 0, gauname eilutę, vadinamą netoli Maclaurino:
,
Paprasčiausių (elementarių) funkcijų išplėtimas Maclaurin serijoje:
Orientacinės funkcijos
, R = ∞
Trigonometrinės funkcijos
, R = ∞
, R = ∞
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx nesiplečia x laipsniais, nes ctg0 = ∞
Hiperbolinės funkcijos

Logaritminės funkcijos
, -1
Dvejetainė serija
.

1 pavyzdys. Išplėskite funkciją laipsnių serijoje f (x) = 2x.
Sprendimas... Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmes NS=0
f (x) = 2x, f ( 0) = 2 0 =1;
f "(x) = 2x ln2, f "( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f "" (x) = 2x 2 2, f "" ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Pakeisdami gautas išvestinių vertes į Taylor serijos formulę, gauname:

Šios eilutės konvergencijos spindulys lygus begalybei, todėl ši plėtra galioja -∞<x<+∞.

2 pavyzdys. Parašykite Taylor seriją galiomis ( NS+4) funkcijai f (x) = e x.
Sprendimas... Raskite funkcijos e išvestines x ir jų vertės taške NS=-4.
f (x)= e x, f (-4) = e -4 ;
f "(x)= e x, f "(-4) = e -4 ;
f "" (x)= e x, f "" (-4) = e -4 ;
…
f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .
Todėl reikiamos Taylor funkcijos serijos forma yra tokia:

Šis išskaidymas galioja ir -∞<x<+∞.

3 pavyzdys. Išplėsti funkciją f (x)= ln x galių serijoje ( NS- 1),
(t. y. Taylor serijoje netoli taško NS=1).
Sprendimas... Raskite šios funkcijos išvestinius.
f (x) = lnx,,,,

f (1) = ln1 = 0, f "(1) = 1, f" "(1) = - 1, f" "" (1) = 1 * 2, ..., f (n) = (- 1) n-1 (n-1)!
Pakeitę šias reikšmes į formulę, gauname reikiamą Taylor seriją:

Naudojant d'Alembert testą, galima įsitikinti, kad serijos konverguoja ½x-1½<1 . Действительно,

Serija susilieja, jei ½ NS- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При NS= 2 gauname kintamąją eilutę, atitinkančią Leibnizo testo sąlygas. Jei x = 0, funkcija neapibrėžta. Taigi Teiloro eilutės konvergencijos sritis yra pusiau atviras intervalas (0; 2]).

4 pavyzdys. Išplėskite funkciją laipsnio serijoje.
Sprendimas... Išplėtime (1) pakeičiame x į -x 2, gauname:
, -∞

5 pavyzdys. Išplėskite Maclaurin serijos funkciją .
Sprendimas... Mes turime
Naudodami (4) formulę galime parašyti:

vietoj x formulėje -x, gauname:

Iš čia randame: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
Išplėsdami skliaustus, pertvarkydami serijos sąlygas ir sumažinę panašius terminus, gauname
... Ši eilutė susilieja intervale (-1; 1), nes ji gaunama iš dviejų eilučių, kurių kiekviena suartėja šiame intervale.

komentuoti .
Formulės (1) - (5) taip pat gali būti naudojamos atitinkamoms funkcijoms išplėsti Taylor serijoje, t.y. funkcijoms plėsti teigiamus sveikuosius laipsnius ( Ha). Norėdami tai padaryti, tam tikroje funkcijoje reikia atlikti tokias identiškas transformacijas, kad būtų gauta viena iš funkcijų (1) - (5), kurioje vietoj NS kainuoja k ( Ha) m, kur k yra pastovus skaičius, m yra teigiamas sveikasis skaičius. Dažnai patogu keisti kintamąjį t=Ha ir išplėskite gautą funkciją t atžvilgiu Maclaurino serijoje.

Šis metodas pagrįstas funkcijos išplėtimo laipsnių eilutėje unikalumo teorema. Šios teoremos esmė ta, kad šalia to paties taško negalima gauti dviejų skirtingų laipsnių eilučių, kurios susilietų į tą pačią funkciją, kad ir kaip būtų atlikta jos išplėtimas.

5a pavyzdys. Išplėskite funkciją Maclaurin eilutėje, nurodykite konvergencijos sritį.
Sprendimas. Pirmiausia raskite 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x),.
į pradinę:

Trupmeną 3 / (1-3x) galima žiūrėti kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos su vardikliu 3x sumą, jei | 3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

su konvergencijos sritimi | x |< 1/3.

6 pavyzdys. Išplėskite funkciją Teiloro serijoje šalia taško x = 3.
Sprendimas... Šią problemą, kaip ir anksčiau, galima išspręsti naudojant Taylor serijos apibrėžimą, kuriai reikia rasti funkcijos išvestines ir jų reikšmes NS= 3. Tačiau bus lengviau naudoti esamą skaidymą (5):
=
Gautos eilutės suartėja ties arba –3

Pavyzdys Nr.7. Funkcijos ln (x + 2) laipsniais (x -1) parašykite Teiloro eilutę.
Sprendimas.

Serija susilieja ties arba -2< x < 5.

8 pavyzdys. Išplėskite funkciją f (x) = sin (πx / 4) Teiloro eilutėje šalia taško x = 2.
Sprendimas... Padarykime pakeitimą t = x-2:

Naudodami išplėtimą (3), kuriame vietoj x pakeičiame π / 4 t, gauname:

Gauta eilutė konverguoja į nurodytą funkciją ties -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Taigi,
, (-∞

Apytiksliai skaičiavimai naudojant galios seriją

Galios serijos plačiai naudojamos apytiksliems skaičiavimams. Su jų pagalba tam tikru tikslumu galite apskaičiuoti šaknų, trigonometrinių funkcijų, skaičių logaritmų, apibrėžtųjų integralų reikšmes. Serija taip pat naudojama integruojant diferencialines lygtis.
Apsvarstykite funkcijos išplėtimą laipsnių eilutėje:

Norint apskaičiuoti apytikslę funkcijos reikšmę tam tikrame taške NS priklausantis nurodytų eilučių konvergencijos sričiai, pirmasis n nariai ( n Yra baigtinis skaičius), o likę terminai atmetami:

Norint įvertinti gautos apytikslės reikšmės paklaidą, reikia įvertinti išmestą likutį r n (x). Tam naudojami šie metodai:

jei gauta serija kinta su ženklais, naudojama ši savybė: kintamos serijos, atitinkančios Leibnizo sąlygas, likusios absoliučios vertės eilutės dalis neviršija pirmojo atmesto nario.
jei duotoje eilutėje ženklas yra pastovus, tada eilutė, sudaryta iš atmestų terminų, lyginama su be galo mažėjančia geometrine progresija.
bendruoju atveju, norint įvertinti likusią Teiloro serijos dalį, galima naudoti Lagranžo formulę: a x ).

1 pavyzdys. Apskaičiuokite ln (3) 0,01 tikslumu.
Sprendimas... Naudokime skaidymą, kur x = 1/2 (žr. 5 pavyzdį ankstesnėje temoje):

Patikrinkime, ar galime atmesti likutį po pirmųjų trijų plėtimosi narių, tam įvertiname naudodami be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą:

Taigi galime išmesti šią likutį ir gauti

2 pavyzdys. Apskaičiuokite 0,0001 tikslumu.
Sprendimas... Naudokime dvinarę eilutę. Kadangi 5 3 yra sveikojo skaičiaus, artimiausio 130, kubas, skaičių 130 patartina pavaizduoti kaip 130 = 5 3 +5.

kadangi jau ketvirtasis gautos kintamos eilės narys, atitinkantis Leibnizo kriterijų, yra mažesnis už reikalaujamą tikslumą:
, todėl jo ir po jo einančių narių galima atmesti.
Daugelio praktiškai būtinų apibrėžtųjų arba netinkamų integralų negalima apskaičiuoti naudojant Niutono-Leibnizo formulę, nes jos taikymas yra susijęs su antidarinės suradimu, kuri elementariose funkcijose dažnai neturi išraiškos. Taip pat atsitinka, kad rasti antidarinį įmanoma, bet be reikalo sunku. Tačiau, jei integralas išplečiamas į laipsnių eilutę, o integravimo ribos priklauso šios eilutės konvergencijos intervalui, tada galimas apytikslis integralo apskaičiavimas iš anksto nustatytu tikslumu.

3 pavyzdys. Įvertinkite integralą ∫ 0 1 4 sin (x) x iki 10 -5.
Sprendimas... Atitinkamas neapibrėžtas integralas negali būti išreikštas elementariomis funkcijomis, t.y. yra „nepalaužiamas integralas“. Čia neįmanoma pritaikyti Niutono-Leibnizo formulės. Apskaičiuokime integralą apytiksliai.
Padalijus seriją už nuodėmę xįjungta x, mes gauname:

Integruodami šią eilutę po termino (tai įmanoma, nes integravimo ribos priklauso šios eilutės konvergencijos intervalui), gauname:

Kadangi gauta serija atitinka Leibnizo sąlygas, pakanka paimti pirmųjų dviejų narių sumą, kad gautume norimą reikšmę tam tikru tikslumu.
Taigi, mes randame
.

4 pavyzdys. Integralą ∫ 0 1 4 e x 2 įvertinkite 0,001 tikslumu.
Sprendimas.
... Patikrinkime, ar galime atmesti likutį po antrojo gautos serijos termino.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Iš karto padarysiu išlygą, kad straipsnyje kalbama apie liestinės išplėtimą ties nuliu, kuris daugelyje vadovėlių vadinamas Maclaurino plėtra.

Na, visos funkcijos bus be galo skirtingos ten, kur mums jų reikia.

Nors daugumą kitų paprasčiausių elementarių funkcijų galima nesunkiai išplėsti į Teiloro eilutę, o dėsnis, pagal kurį formuojami plėtimosi nariai, dažniausiai nėra sudėtingas ir tiesiog atspėjamas, liestinės atveju taip nėra. Nors atrodytų, kad pastarasis yra tik sinuso ir kosinuso santykis, funkcijos, su kuriomis plečiant nekyla problemų. Tuo tarpu norėdami nurodyti bendrinio liestinės termino formą, turėsime pradėti nuo atstumo ir taikyti dirbtinius metodus. Tačiau praktikoje dažnai nebūtina žinoti visų eilučių koeficientų, pakanka kelių išplėtimo terminų. Su tokia problemos formuluote studentai susiduria dažniausiai. Taigi mes pradėsime nuo jos. Kad ypač nesivargintume, ieškosime penktojo laipsnio koeficiento išplėtimo.

Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra pabandyti tiesiogiai naudoti Taylor formulę. Dažnai žmonės tiesiog neturi supratimo apie kitus plėtros būdus iš eilės. Beje, mūsų seminaristas ant kilimėlio. analize, antrame kurse ieskojau kaip tik dekompozicijos, nors nieko blogo apie tai negaliu pasakyti, protingas vyrukas, gal tik norejo parodyti savo gebejima imti darinius. Kaip ten bebūtų, bet paimti aukštesnių laipsnių išvestinius iš liestinės yra malonumas, be galo niūri užduotis, tiesiog tokia, kurią lengviau patikėti mašinai, o ne žmogui. Bet, kaip tikriems sportininkams, mus domina ne rezultatas, o procesas, ir norisi, kad procesas būtų paprastesnis. Išvestinės yra tokios (apskaičiuotos maksimumų sistemoje): , , , ,. Kas mano, kad išvestinius lengva ranka gauti, tegul tai daro, nemokamai. Bet kokiu atveju, dabar galime parašyti skaidymą: .

Štai ką čia galima supaprastinti, mes tai pastebime taigi, pirmoji liestinės išvestinė išreiškiama per liestinę, be to, iš to išplaukia, kad visos kitos liestinės išvestinės bus liestinės polinomai, o tai leidžia nesijaudinti dėl sinusų dalinio išvestinių ir kosinusai:
,
,
,
.
Skilimas, žinoma, yra tas pats.

Apie kitą serijos išplėtimo metodą sužinojau tiesiai iš kilimėlio egzamino. analizę ir už šio metodo nežinojimą tada gavau chorą. vietoj ex.-a. Metodo prasmė ta, kad žinome ir sinuso, ir kosinuso eilės plėtimą, taip pat funkciją, paskutinis išplėtimas leidžia rasti sekanto skaidymą:. Išplėsdami skliaustus, gauname seriją, kurią reikia padauginti iš sinuso plėtimosi. Dabar mums tereikia padauginti dvi eilutes. Jei mes kalbame apie sudėtingumą, tada abejoju, ar jis yra prastesnis už pirmąjį metodą, ypač todėl, kad skaičiavimų apimtis sparčiai auga didėjant reikiamų rasti išplėtimo terminų laipsniui.

Kitas metodas yra neapibrėžtų koeficientų metodo variantas. Pirmiausia užduokime klausimą, ką mes apskritai žinome apie liestinę, iš to, kas gali padėti sukurti plėtrą, taip sakant a priori. Čia svarbiausia, kad liestinės funkcija yra nelyginė, todėl visi koeficientai lyginėms laipsnėms yra lygūs nuliui, kitaip tariant, nereikia rasti pusės koeficientų. Tada galite rašyti arba, išplėsdami sinusą ir kosinusą serijoje, gauname. Ir sulyginę tų pačių laipsnių koeficientus, gauname , ir apskritai ... Taigi, naudojant kartotinį procesą, plėtinyje galime rasti bet kokį terminų skaičių.

Ketvirtasis metodas taip pat yra neapibrėžtų koeficientų metodas, tačiau jam nereikia jokių kitų funkcijų skaidymo. Mes apsvarstysime liestinės diferencialinę lygtį. Aukščiau matėme, kad liestinės išvestinė gali būti išreikšta kaip liestinės funkcija. Į šią lygtį pakeitę neapibrėžtų koeficientų seriją, galite rašyti. Paskaičiavus kvadratą ir iš čia vėlgi, kartotiniu procesu, bus galima rasti plėtimosi koeficientus.

Šie metodai jokiu būdu nėra paprastesni nei pirmieji du, tačiau tokiu būdu rasti posakius bendram serijos terminui nepavyks, bet norėtume. Kaip ir sakiau pradžioje, teks pradėti nuo toli (laikysiuosi Courant vadovėliu). Pradėsime išplėsdami funkciją. Dėl to gauname seriją, kuri bus parašyta formoje kur skaičiai yra Bernulio skaičiai.
Iš pradžių šiuos skaičius rado Jacobas Bernoulli, kai surado natūraliųjų skaičių m-ųjų galių sumas. ... Atrodytų, ką su tuo turi trigonometrija? Vėliau Euleris, spręsdamas natūraliųjų skaičių eilės atvirkštinių kvadratų sumos uždavinį, gavo atsakymą iš sinuso išplėtimo į begalinę sandaugą. Be to, paaiškėjo, kad kotangento skaidymas turi formos sumas visiems natūraliems skaičiams n. Ir jau remdamasis tuo, Euleris gavo tokių sumų išraiškas Bernulio skaičiais. Taigi čia yra sąsajų, ir nereikia stebėtis, kad liestinės skaidyme yra ši seka.
Bet grįžkime prie frakcijos išplėtimo. Išplėsdami eksponentą, atėmę vieną ir padalydami iš "x", galiausiai gauname. Iš to jau akivaizdu, kad pirmasis iš Bernulli skaičių lygus vienetui, antrasis – minus viena sekundė ir t.t. Užrašykime k-ojo Bernulio skaičiaus išraišką, pradedant nuo vieneto. Padauginę šią išraišką iš, perrašome išraišką tokia forma. Ir iš šios išraiškos galime paeiliui gauti Bernoulli skaičius, ypač:,,