Իռացիոնալ թվի նշանակում. Որոնք են ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը

Ամբողջ թվեր

Բնական թվերը սահմանվում են որպես դրական ամբողջ թվեր։ Բնական թվերն օգտագործվում են առարկաները հաշվելու և շատ այլ նպատակների համար։ Այս թվերն են.

Սա թվերի բնական շարք է։
Արդյո՞ք զրոն բնական թիվ է: Ոչ, զրոն բնական թիվ չէ։
Քանի՞ բնական թիվ կա: Կան անսահման թվով բնական թվեր։
Ո՞րն է ամենափոքր բնական թիվը: Մեկը ամենափոքր բնական թիվն է։
Ո՞րն է ամենամեծ բնական թիվը: Անհնար է նշել, քանի որ կան անսահման թվով բնական թվեր։

Բնական թվերի գումարը բնական թիվ է։ Այսպիսով, a և b բնական թվերի գումարումը.

Բնական թվերի արտադրյալը բնական թիվ է։ Այսպիսով, a և b բնական թվերի արտադրյալը.

c-ն միշտ բնական թիվ է:

Բնական թվերի տարբերությունը միշտ չէ, որ բնական թիվ կա։ Եթե հանվածը հանվածից մեծ է, ապա բնական թվերի տարբերությունը բնական թիվ է, հակառակ դեպքում՝ ոչ։

Բնական թվերի գործակիցը Միշտ չէ, որ բնական թիվ կա: Եթե a և b բնական թվերի համար

որտեղ c-ն բնական թիվ է, սա նշանակում է, որ a-ն ամբողջությամբ բաժանվում է b-ի: Այս օրինակում a-ն շահաբաժինն է, b-ն բաժանարարն է, c-ը՝ քանորդը:

Բնական թվի բաժանարարը այն բնական թիվն է, որով առաջին թիվը հավասարապես բաժանվում է։

Յուրաքանչյուր բնական թիվ բաժանվում է մեկի և ինքն իր վրա։

Պարզ բնական թվերը բաժանվում են միայն մեկի և իրենց վրա։ Այստեղ նախատեսված է ամբողջությամբ բաժանել։ Օրինակ, թվեր 2; 3; 5; 7-ը բաժանվում են միայն մեկի և իրենց վրա։ Սրանք պարզ բնական թվեր են:

Միավորը չի համարվում պարզ թիվ:

Մեկից մեծ և պարզ թվերը կոչվում են բաղադրյալ թվեր։ Բաղադրյալ թվերի օրինակներ.

Միավորը կոմպոզիտային թիվ չի համարվում:

Բնական թվերի բազմությունը մեկն է, պարզ թվերը և բաղադրյալ թվերը։

Բնական թվերի բազմությունը նշանակվում է լատինական N տառով։

Բնական թվերի գումարման և բազմապատկման հատկությունները.

ավելացման տեղաշարժի հատկությունը

հավելման համակցված հատկություն

(ա + բ) + գ = ա + (բ + գ);

ճամփորդության բազմապատկման հատկություն

բազմապատկման համակցված հատկություն

(ab) c = a (bc);

բազմապատկման բաշխման հատկությունը

A (b + c) = ab + ac;

Ամբողջ թվեր

Ամբողջ թվերը բնական թվեր են՝ զրո և բնական թվերի հակադիր։

Բնական թվերին հակառակ թվերը բացասական ամբողջ թվեր են, օրինակ.

1; -2; -3; -4;...

Ամբողջ թվերի բազմությունը նշվում է լատիներեն Z տառով։

Ռացիոնալ թվեր

Ռացիոնալ թվերն ամբողջ թվերն են և կոտորակները:

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել որպես պարբերական կոտորակ: Օրինակներ.

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Օրինակները ցույց են տալիս, որ ցանկացած ամբողջ թիվ զրոյական պարբերությամբ պարբերական կոտորակ է:

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել որպես m/n կոտորակ, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ: Նման կոտորակի տեսքով ներկայացնենք նախորդ օրինակի 3, (6) թիվը։

Թվերը, հատկապես բնական թվերը հասկանալը մաթեմատիկական ամենահին «հմտություններից» է։ Բազմաթիվ քաղաքակրթություններ, նույնիսկ ժամանակակիցները, թվերին որոշ առեղծվածային հատկություն են վերագրել՝ բնության նկարագրության մեջ նրանց մեծ կարևորության պատճառով: Չնայած ժամանակակից գիտիսկ մաթեմատիկան չի հաստատում այդ «կախարդական» հատկությունները, անհերքելի է թվերի տեսության նշանակությունը։

Պատմականորեն շատ բնական թվեր սկզբում ի հայտ են եկել, ապա շուտով դրանք լրացվել են կոտորակներով և դրականով իռացիոնալ թվեր... Իրական թվերի բազմության այս ենթաբազմություններից հետո ներմուծվել են զրո և բացասական թվեր։ Վերջին բազմությունը՝ կոմպլեքս թվերի բազմությունը, հայտնվեց միայն ժամանակակից գիտության զարգացմամբ։

Ժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ թվերը մուտքագրվում են ոչ պատմական հերթականությամբ, թեև դրան բավականին մոտ:

Բնական թվեր $ \ mathbb (N) $

Բնական թվերի բազմությունը հաճախ նշվում է որպես $ \ mathbb (N) = \ lbrace 1,2,3,4 ... \ rbrace $, և հաճախ զրոյական ծածկույթով նշվում է $ \ mathbb (N) _0 $:

$ \ mathbb (N) $-ում գումարման (+) և բազմապատկման ($ \ cdot $) գործողությունները. հետևյալ հատկություններըցանկացած $ a, b, c \ in \ mathbb (N) $:

1. $ a + b \ in \ mathbb (N) $, $ a \ cdot b \ in \ mathbb (N) $ բազմությունը $ \ mathbb (N) $ փակվում է գումարման և բազմապատկման գործողությունների ներքո.
2. $ a + b = b + a $, $ a \ cdot b = b \ cdot a $ փոխադարձություն
3. $ (a + b) + c = a + (b + c) $, $ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot գ) $ ասոցիատիվություն
4. $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ բաշխիչ
5. $ a \ cdot 1 = a $-ը բազմապատկման չեզոք տարրն է

Քանի որ $ \ mathbb (N) $ բազմությունը պարունակում է չեզոք տարր բազմապատկման համար, բայց ոչ գումարման համար, այս բազմությանը զրո ավելացնելը երաշխավորում է, որ այն ներառում է չեզոք տարր գումարման համար։

Ի հավելումն այս երկու գործողությունների, $ \ mathbb (N) $ բազմության վրա «պակաս» ($) հարաբերությունները

1. $ a b $ տրիխոտոմիա
2.եթե $ a \ leq b $ և $ b \ leq a $, ապա $ a = b $ հակասիմետրիա
3. եթե $ a \ leq b $ և $ b \ leq c $, ապա $ a \ leq c $-ը անցողիկ է
4.եթե $ a \ leq b $, ապա $ a + c \ leq b + c $
5.եթե $ a \ leq b $, ապա $ a \ cdot c \ leq b \ cdot c $

Ամբողջ թվեր $ \ mathbb (Z) $

Ամբողջ թվերի օրինակներ.
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

$ a + x = b $ հավասարման լուծումը, որտեղ $ a $ և $ b $-ը հայտնի բնական թվեր են, իսկ $ x $-ը անհայտ բնական թիվ է, պահանջում է նոր գործողության ներդրում՝ հանում (-): Եթե կա $ x $ բնական թիվ, որը բավարարում է այս հավասարումը, ապա $ x = b-a $: Այնուամենայնիվ, այս կոնկրետ հավասարումը պարտադիր չէ, որ լուծում ունենա $ \ mathbb (N) $ բազմության վրա, ուստի գործնական նկատառումները պահանջում են ընդլայնել բնական թվերի բազմությունը՝ ներառելով նման հավասարման լուծումները: Սա հանգեցնում է ամբողջ թվերի հավաքածուի ներդրմանը. $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $:

Քանի որ $ \ mathbb (N) \ ենթաբազմություն \ mathbb (Z) $, տրամաբանական է ենթադրել, որ նախկինում ներկայացված $ + $ և $ \ cdot $ գործողությունները և $ 1 հարաբերությունները: $ 0 + a = a + 0 = a $ կա չեզոք տարր հավելումների համար
2. $ a + (- a) = (- a) + a = 0 $ կա հակառակ թիվ $ -a $ $ a $-ի դիմաց

Գույք 5 .:
5. եթե $ 0 \ leq a $ և $ 0 \ leq b $, ապա $ 0 \ leq a \ cdot b $

$ \ mathbb (Z) $ հավաքածուն նույնպես փակ է հանման գործողության ներքո, այսինքն $ (\ forall a, b \ in \ mathbb (Z)) (a-b \ in \ mathbb (Z)) $:

Ռացիոնալ թվեր $ \ mathbb (Q) $

Օրինակներ ռացիոնալ թվեր:
$ \ ֆրակ (1) (2), \ ֆրակ (4) (7), - \ ֆրակ (5) (8), \ ֆրակ (10) (20) ... $

Այժմ դիտարկենք $ a \ cdot x = b $ ձևի հավասարումները, որտեղ $ a $ և $ b $ հայտնի ամբողջ թվեր են, իսկ $ x $-ն անհայտ է: Որպեսզի լուծումը հնարավոր լինի, անհրաժեշտ է ներկայացնել բաժանման գործողությունը ($: $), և լուծումը ստանում է $ x = b: a $, այսինքն, $ x = \ frac (b) (a) $: . Կրկին խնդիր է առաջանում, որ $ x $-ը միշտ չէ, որ պատկանում է $ \ mathbb (Z) $-ին, ուստի ամբողջ թվերի բազմությունը պետք է ընդլայնվի։ Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք $ \ mathbb (Q) $ ռացիոնալ թվերի բազմությունը $ \ frac (p) (q) $ տարրերով, որտեղ $ p \ in \ mathbb (Z) $ և $ q \ \ in \ mathbb (N) $. $ \ mathbb (Z) $ բազմությունը ենթաբազմություն է, որտեղ յուրաքանչյուր տարր $ q = 1 $ է, հետևաբար $ \ mathbb (Z) \ ենթաբազմություն \ mathbb (Q) $ և գումարման և բազմապատկման գործողությունները տարածվում են այս բազմության վրա: կողմից հետևելով կանոններինորոնք պահպանում են վերը նշված բոլոր հատկությունները $ \ mathbb (Q) $ հավաքածուի վրա.
$ \ frac (p_1) (q_1) + \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot q_2 + p_2 \ cdot q_1) (q_1 \ cdot q_2) $
$ \ frac (p-1) (q_1) \ cdot \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot p_2) (q_1 \ cdot q_2) $

Բաժանումը ներկայացվում է հետևյալ կերպ.
$ \ frac (p_1) (q_1): \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1) (q_1) \ cdot \ frac (q_2) (p_2) $

$ \ mathbb (Q) $ բազմության վրա $ a \ cdot x = b $ հավասարումը ունի յուրահատուկ լուծում յուրաքանչյուր $ a \ neq 0 $-ի համար (զրոյի բաժանումը սահմանված չէ): Սա նշանակում է, որ կա հակադարձ $ \ frac (1) (a) $ կամ $ a ^ (- 1) $:
$ (\ all a \ in \ mathbb (Q) \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace) (\ գոյություն ունի \ frac (1) (a)) (a \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (ա) \ cdot a = a) $

$ \ mathbb (Q) $ բազմության կարգը կարող է ընդլայնվել հետևյալ կերպ.
$ \ ֆրակ (p_1) (q_1)

$ \ mathbb (Q) $ բազմությունը ունի մեկ կարևոր հատկություն. ցանկացած երկու ռացիոնալ թվերի միջև կան անսահման շատ այլ ռացիոնալ թվեր, հետևաբար, չկան երկու հարակից ռացիոնալ թվեր, ի տարբերություն բնականների և ամբողջ թվերի բազմությունների:

Իռացիոնալ թվեր $ \ mathbb (I) $

Իռացիոնալ թվերի օրինակներ.
$0.333333...$
$ \ sqrt (2) \ մոտ 1,41422135 ... $
$ \ pi \ մոտ 3,1415926535 ... $

Հաշվի առնելով այն փաստը, որ ցանկացած երկու ռացիոնալ թվերի միջև կան անսահման շատ այլ ռացիոնալ թվեր, հեշտ է սխալ եզրակացություն անել, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունն այնքան խիտ է, որ դրա հետագա ընդլայնման կարիք չկա: Նույնիսկ Պյութագորասը իր ժամանակ նման սխալ թույլ տվեց. Այնուամենայնիվ, արդեն նրա ժամանակակիցները հերքեցին այս եզրակացությունը ռացիոնալ թվերի բազմության վրա $ x \ cdot x = 2 $ ($ x ^ 2 = 2 $) հավասարման լուծումներն ուսումնասիրելիս։ Նման հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է ներկայացնել քառակուսի արմատ հասկացությունը, այնուհետև այս հավասարման լուծումն ունի $ x = \ sqrt (2) $ ձև: $ x ^ 2 = a $ տիպի հավասարումը, որտեղ $ a $-ը հայտնի ռացիոնալ թիվ է, իսկ $ x $-ը անհայտ է, միշտ չէ, որ լուծում ունի ռացիոնալ թվերի բազմության վրա, և կրկին կա. անհրաժեշտ է ընդլայնել հավաքածուն: Առաջանում է իռացիոնալ թվերի մի շարք, և այնպիսի թվեր, ինչպիսիք են $ \ sqrt (2) $, $ \ sqrt (3) $, $ \ pi $ ... պատկանում են այս բազմությանը:

Իրական թվեր $ \ mathbb (R) $

Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի բազմությունների միավորումը իրական թվերի բազմությունն է։ Քանի որ $ \ mathbb (Q) \ ենթաբազմություն \ mathbb (R) $, կրկին տրամաբանական է ենթադրել, որ ներկայացված թվաբանական գործողությունները և հարաբերությունները պահպանում են իրենց հատկությունները նոր բազմության վրա։ Սրա ֆորմալ ապացույցը շատ դժվար է, հետևաբար թվաբանական գործողությունների վերը նշված հատկությունները և իրական թվերի բազմության վրա առնչությունները ներկայացվում են որպես աքսիոմներ։ Հանրահաշվում նման առարկան կոչվում է դաշտ, ուստի ասում են, որ իրական թվերի բազմությունը դասավորված դաշտ է։

Որպեսզի իրական թվերի բազմության սահմանումը ամբողջական լինի, անհրաժեշտ է ներմուծել լրացուցիչ աքսիոմ՝ տարբերակելով $ \ mathbb (Q) $ և $ \ mathbb (R) $ բազմությունները։ Ենթադրենք, որ $ S $-ը իրական թվերի բազմության ոչ դատարկ ենթաբազմություն է։ $ b \ in \ mathbb (R) $ տարրը կոչվում է $ S $ բազմության վերին սահման, եթե $ \ forall x \ S $-ում ճշմարիտ է $ x \ leq b $: Այնուհետև ասում են, որ $ S $ բազմությունը սահմանափակված է վերևում: $ S $ բազմության ամենափոքր վերին սահմանը կոչվում է supremum և նշվում է $ \ sup S $-ով: Ներքևի սահմանի, ներքևից սահմանափակված բազմության և infinum $ \ inf S $ հասկացությունները նույնպես ներկայացվում են: Բացակայող աքսիոմն այժմ ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

Իրական թվերի բազմության ցանկացած ոչ դատարկ և վերին սահման ունեցող ենթաբազմություն ունի գերագույն գումար:
Կարող եք նաև ապացուցել, որ վերը նշված ձևով սահմանված իրական թվերի դաշտը եզակի է։

Կոմպլեքս թվեր $ \ mathbb (C) $

Կոմպլեքս թվերի օրինակներ.
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$ 1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i ... $ որտեղ $ i = \ sqrt (-1) $ կամ $ i ^ 2 = -1 $

Կոմպլեքս թվերի բազմությունը ներկայացնում է իրական թվերի բոլոր դասավորված զույգերը, այսինքն՝ $ \ mathbb (C) = \ mathbb (R) ^ 2 = \ mathbb (R) \ անգամ \ mathbb (R) $, որոնց վրա կատարվում են գործողությունները. գումարումը և բազմապատկումը սահմանվում են հետևյալ կերպ.
$ (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) $
$ (a, b) \ cdot (c, d) = (ac-bd, ad + bc) $

Գոյություն ունեն բարդ թվերի նշագրման մի քանի ձևեր, որոնցից ամենատարածվածն է $ z = a + ib $, որտեղ $ (a, b) $-ը իրական թվերի զույգ է, իսկ $ i = (0,1) թիվը: $-ը կոչվում է երևակայական միավոր:

Հեշտ է ցույց տալ, որ $ i ^ 2 = -1 $: $ \ mathbb (R) $ բազմության ընդլայնումը $ \ mathbb (C) $ բազմությանը թույլ է տալիս սահմանել Քառակուսի արմատբացասական թվերի, որն էլ պատճառ դարձավ բարդ թվերի բազմության ներդրման համար։ Հեշտ է նաև ցույց տալ, որ $ \ mathbb (C) $ բազմության ենթաբազմությունը տրված է որպես $ \ mathbb (C) _0 = \ lbrace (a, 0) | a \ in \ mathbb (R) \ rbrace $, բավարարում է իրական թվերի բոլոր աքսիոմները, հետևաբար $ \ mathbb (C) _0 = \ mathbb (R) $, կամ $ R \ ենթաբազմություն \ mathbb (C) $:

$ \ mathbb (C) $ բազմության հանրահաշվական կառուցվածքը գումարման և բազմապատկման գործողությունների նկատմամբ ունի հետևյալ հատկությունները.
1. գումարման և բազմապատկման փոխարկելիություն
2. գումարման և բազմապատկման ասոցիատիվություն
3. $ 0 + i0 $ - չեզոք տարր ավելացման համար
4. $ 1 + i0 $ - չեզոք տարր բազմապատկման համար
5.Բազմապատկումը բաշխիչ է գումարման նկատմամբ
6. կա մեկ հակադարձ տարր և՛ գումարման, և՛ բազմապատկման համար:

Շատ իռացիոնալ թվեր սովորաբար նշվում են լատինատառ մեծատառով I (\ displaystyle \ mathbb (I))թավով, առանց լրացման: Այսպիսով. I = R ∖ Q (\ displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q)), այսինքն՝ իռացիոնալ թվերի բազմությունը իրական և ռացիոնալ թվերի բազմությունների տարբերությունն է։

Հին մաթեմատիկոսներն արդեն գիտեին իռացիոնալ թվերի, ավելի ճիշտ՝ միավորի երկարության հատվածի հետ անհամեմատելի հատվածների գոյության մասին. նրանք գիտեին, օրինակ, քառակուսու անկյունագծի և կողմի անհամեմատելիությունը, ինչը հավասարազոր է իռացիոնալության։ թիվ.

Կոլեգիալ YouTube

1 / 5
Իռացիոնալ են.

Իռացիոնալության ապացույցի օրինակներ

2-ի արմատը

Ենթադրենք հակառակը. 2 (\ ցուցադրման ոճ (\ sqrt (2)))ռացիոնալ, այսինքն՝ ներկայացված է որպես կոտորակ m n (\ ցուցադրման ոճ (\ ֆրակ (մ) (n))), որտեղ m (\ ցուցադրման ոճ m)ամբողջ թիվ է, և n (\ ցուցադրման ոճ n)- բնական թիվ.
Ենթադրված հավասարությունը քառակուսի դարձնենք.
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ ցուցադրման ոճ (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ Աջ սլաք 2 = (\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \ Աջ սլաք m ^ (2) = 2n ^ (2)).
Պատմություն

Հնություն

Իռացիոնալ թվերի հայեցակարգը անուղղակիորեն ընդունվել է հնդիկ մաթեմատիկոսների կողմից մ.թ.ա. 7-րդ դարում, երբ Մանավան (մ.թ.ա. մոտ 750 - մոտ մ.թ.ա. 690) հասկացավ, որ որոշ բնական թվերի քառակուսի արմատները, ինչպիսիք են 2-ը և 61-ը, չեն կարող հստակ լինել: արտահայտված [ ] .
Իռացիոնալ թվերի գոյության առաջին ապացույցը սովորաբար վերագրվում է Պյութագորասի Հիպպաս Մետապոնտացուն (մ.թ.ա. մոտ 500 թ.): Պյութագորասի ժամանակ ենթադրվում էր, որ գոյություն ունի երկարության մեկ միավոր, բավական փոքր և անբաժանելի, որը ցանկացած հատվածում ներառված անգամների ամբողջ թիվ է [ ] .
Չկա ստույգ տվյալներ այն մասին, թե որ թվի իռացիոնալությունն է ապացուցել Հիպասը։ Ըստ լեգենդի՝ նա գտել է այն՝ ուսումնասիրելով հնգագրամի կողմերի երկարությունները։ Հետևաբար, խելամիտ է ենթադրել, որ դա եղել է ոսկե հարաբերակցությունը [ ] .
Հույն մաթեմատիկոսներն անվանել են անհամեմատելի մեծությունների այս հարաբերակցությունը աալոգոս(անասելի), սակայն, ըստ լեգենդների, նրանք Հիպպասին արժանի հարգանք չեն տվել։ Լեգենդն ասում է, որ Հիպասոնը ծովային ճանապարհորդության ժամանակ հայտնագործություն է արել և նրան ծովից դուրս են նետել այլ Պյութագորացիներ «տիեզերքի մի տարր ստեղծելու համար, որը հերքում է այն ուսմունքը, որ տիեզերքի բոլոր էակները կարող են կրճատվել մինչև ամբողջական թվեր և դրանց փոխհարաբերություններ»: Հիպասի հայտնագործությունը բախվեց Պյութագորասի մաթեմատիկային լուրջ խնդիր, ոչնչացնելով ամբողջ տեսության հիմքում ընկած ենթադրությունը, որ թվերն ու երկրաչափական առարկաները մեկ են և անբաժանելի։

Ռացիոնալ թիվ- թիվ, որը ներկայացված է սովորական m / n կոտորակի միջոցով, որտեղ m համարիչը ամբողջ թիվ է, իսկ n հայտարարը բնական թիվ է: Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել որպես պարբերական անվերջ տասնորդական... Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակվում է Ք.

Եթե իրական թիվը ռացիոնալ չէ, ապա այն իռացիոնալ թիվ... Իռացիոնալ թվեր արտահայտող տասնորդական կոտորակները անվերջ են և պարբերական չեն: Իռացիոնալ թվերի բազմությունը սովորաբար նշվում է I մեծատառով։

Իրական թիվը կոչվում է հանրահաշվականեթե դա ռացիոնալ գործակիցներով ինչ-որ բազմանդամի (ոչ զրոյական աստիճանի) արմատ է։ Ցանկացած ոչ հանրահաշվական թիվ կոչվում է տրանսցենդենտալ.

Որոշ հատկություններ.
Խնդիրներ լուծելիս հարմար է a + b√ c իռացիոնալ թվի հետ միասին (որտեղ a, b-ը ռացիոնալ թվեր են, c-ն ամբողջ թիվ է, որը բնական թվի քառակուսին չէ) դիտարկել «խոնարհված» թիվը: - b√ c. դրա գումարը և արտադրյալը սկզբնականի հետ՝ ռացիոնալ թվեր: Այսպիսով, a + b√ c և a - b√ c արմատներ են քառակուսի հավասարումամբողջ թվային գործակիցներով։

Լուծումների հետ կապված խնդիրներ

1. Ապացուցեք, որ

ա) թիվ √ 7;

բ) lg 80 թիվը;

գ) √ 2 + 3 √ 3 թիվը;

իռացիոնալ է.

ա) Ենթադրենք, որ √ 7 թիվը ռացիոնալ է: Այնուհետև կան նույնական p և q այնպիսին, որ √ 7 = p / q, որտեղից մենք ստանում ենք p 2 = 7q 2: Քանի որ p-ն և q-ն միաժամանակ պարզ են, p-ն 2-ն է, հետևաբար p-ն բաժանվում է 7-ի: Այնուհետև p = 7k, որտեղ k-ը բնական թիվ է: Հետևաբար, q 2 = 7k 2 = pk, ինչը հակասում է այն փաստին, որ p-ն և q-ն միաժամանակ պարզ են:

Այսպիսով, ենթադրությունը սխալ է, ինչը նշանակում է, որ √ 7 թիվը իռացիոնալ է:

բ) Ենթադրենք, որ lg 80 թիվը ռացիոնալ է: Այնուհետև կան p և q բնական թվեր, ինչպիսիք են lg 80 = p / q, կամ 10 p = 80 q, որտեղից մենք ստանում ենք 2 p – 4q = 5 q – p: Հաշվի առնելով, որ 2 և 5 թվերը համապարփակ են, մենք տեսնում ենք, որ վերջին հավասարությունը հնարավոր է միայն p – 4q = 0 և q – p = 0: Այստեղից p = q = 0, ինչը անհնար է, քանի որ p և q. ընտրված բնական.

Այսպիսով, ենթադրությունը կեղծ է, ինչը նշանակում է, որ lg 80 թիվը իռացիոնալ է:

գ) Այս թիվը նշանակենք x-ով:

Այնուհետև (x - √ 2) 3 = 3, կամ x 3 + 6x - 3 = √ 2 · (3x 2 + 2): Այս հավասարումը քառակուսացնելուց հետո մենք գտնում ենք, որ x-ը պետք է բավարարի հավասարումը

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0:

Դրա ռացիոնալ արմատները կարող են լինել միայն 1 և –1 թվերը: Ստուգումը ցույց է տալիս, որ 1-ը և –1-ը արմատներ չեն:

Այսպիսով, տրված √ 2 + 3 √ 3 թիվը իռացիոնալ է:

2. Հայտնի է, որ a, b, թվերը. √ a –√ բ,- ռացիոնալ: Ապացուցեք դա √ ա և √ բՆաև ռացիոնալ թվեր են:

Հաշվի առեք ապրանքը

(√ a - √ բ) (√ a + √ b) = a - b.

Թիվ √ a + √ b,որը հավասար է a - b և թվերի հարաբերությանը √ a –√ բ,ռացիոնալ է, քանի որ երկու ռացիոնալ թվերի բաժանման գործակիցը ռացիոնալ թիվ է։ Երկու ռացիոնալ թվերի գումարը

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

- ռացիոնալ թիվը, դրանց տարբերությունը,

½ (√ a + √ բ) - ½ (√ a - √ բ) = √ բ,

ըստ պահանջի նաև ռացիոնալ թիվ է:

3. Ապացուցե՛ք, որ կան a և b դրական իռացիոնալ թվեր, որոնց համար a b թիվը բնական է:

4. Կա՞ն արդյոք հավասարությունը բավարարող a, b, c, d ռացիոնալ թվեր

(a + b √ 2) 2n + (c + d√ 2) 2n = 5 + 4√ 2,

որտեղ n-ն բնական թիվ է:

Եթե պայմանում տրված հավասարությունը գործում է, և a, b, c, d թվերը ռացիոնալ են, ապա հավասարությունը գործում է.

(ա - բ √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n = 5 - 4√ 2.

Բայց 5 - 4√ 2 (a - b√ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n> 0։ Ստացված հակասությունն ապացուցում է, որ սկզբնական հավասարությունն անհնար է։

Պատասխան՝ գոյություն չունեն։

5. Եթե a, b, c երկարություններով հատվածները կազմում են եռանկյուն, ապա բոլորի համար n = 2, 3, 4,: ... ... n √ a, n √ b, n √ c երկարություններով հատվածները նույնպես կազմում են եռանկյուն: Ապացուցիր.

Եթե a, b, c երկարությամբ հատվածները կազմում են եռանկյուն, ապա եռանկյան անհավասարությունը տալիս է.

Ուստի մենք ունենք

(n √ a + n √ բ) n> a + b> c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b> n √ c.

Նմանապես դիտարկվում են եռանկյունի անհավասարության ստուգման մյուս դեպքերը, որից բխում է եզրակացությունը.

6. Ապացուցե՛ք, որ 0,1234567891011121314 ... անվերջ տասնորդական կոտորակը (տասնորդական կետից հետո հերթականությամբ դուրս են գրվում բոլոր բնական թվերը) իռացիոնալ թիվ է։

Ինչպես գիտեք, ռացիոնալ թվերն արտահայտվում են տասնորդական կոտորակներով, որոնք ունեն որոշակի նշանից սկսվող կետ։ Ուստի բավական է ապացուցել, որ տվյալ կոտորակը ոչ մի նշանից պարբերական չէ։ Ենթադրենք, որ դա այդպես չէ, և որոշ T հաջորդականություն, որը բաղկացած է n թվանշանից, կոտորակի պարբերությունն է՝ սկսած մթ տասնորդականից։ Պարզ է, որ m-րդ նիշից հետո թվանշանների մեջ կան ոչ զրոյականներ, հետևաբար T թվանշանների հաջորդականության մեջ կա ոչ զրոյական թվանշան։ Սա նշանակում է, որ տասնորդական կետից հետո m-րդ թվանշանից սկսած՝ անընդմեջ ցանկացած n թվանշանի մեջ կա ոչ զրոյական նիշ։ Այնուամենայնիվ, այս կոտորակի տասնորդական նշումներում պետք է լինի 100 ... 0 = 10 k թվի տասնորդական նշում, որտեղ k> m և k> n: Հասկանալի է, որ այս գրառումը տեղի կունենա m-րդ թվանշանի աջ կողմում և պարունակում է ավելի քան n զրո անընդմեջ: Այսպիսով, մենք ստանում ենք հակասություն, որն ավարտում է ապացույցը:

7. Ձեզ տրվում է անվերջ տասնորդական կոտորակ 0, a 1 a 2 .... Ապացուցեք, որ իր տասնորդական նշումով թվերը կարող են վերադասավորվել այնպես, որ ստացված կոտորակը արտահայտի ռացիոնալ թիվ:

Հիշեցնենք, որ կոտորակն արտահայտում է ռացիոնալ թիվ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն պարբերական է՝ սկսած որոշակի նշանից: Մենք 0-ից 9 թվերը բաժանում ենք երկու դասի. առաջին դասում կներառենք այն թվերը, որոնք տեղի են ունենում սկզբնական կոտորակի մեջ վերջավոր թվով անգամներ, երկրորդ դասում՝ նրանք, որոնք հանդիպում են սկզբնական կոտորակի մեջ։ անսահման թիվմեկ անգամ. Սկսենք գրել պարբերական կոտորակը, որը կարելի է ստանալ թվերի սկզբնական փոխարկումից։ Նախ, զրոյից և ստորակետից հետո պատահական կարգով գրեք առաջին դասի բոլոր թվերը՝ յուրաքանչյուրը այնքան անգամ, որքան տեղի է ունենում սկզբնական կոտորակի մեջ: Արձանագրված առաջին կարգի թվանշանները նախորդելու են տասնորդական կոտորակի կոտորակային մասի կետին: Այնուհետև մենք գրում ենք հաջորդականությամբ, մեկ առ մեկ, երկրորդ դասի թվերը: Մենք այս համակցությունը կհայտարարենք որպես կետ և կկրկնենք անսահման թվով անգամ։ Այսպիսով, մենք դուրս ենք գրել անհրաժեշտ պարբերական կոտորակը, որն արտահայտում է ինչ-որ ռացիոնալ թիվ։

8. Ապացուցե՛ք, որ յուրաքանչյուր անվերջ տասնորդական կոտորակի մեջ կա կամայական երկարության տասնորդական թվերի հաջորդականություն, որը անսահման շատ անգամ է լինում կոտորակի ընդլայնման ժամանակ։

Թող m լինի կամայականորեն տրված բնական թիվ։ Տրված անվերջ տասնորդական կոտորակը բաժանենք հատվածների՝ յուրաքանչյուրում m թվանշաններով։ Նման հատվածները անսահման շատ կլինեն։ Մյուս կողմից, կան ընդամենը 10 մ տարբեր համակարգեր, որոնք բաղկացած են m թվանշաններից, այսինքն՝ վերջավոր թվից։ Հետևաբար, այս համակարգերից առնվազն մեկը պետք է կրկնվի այստեղ անսահման շատ անգամ։

Մեկնաբանություն. Իռացիոնալ թվերի համար √ 2, π կամ եմենք նույնիսկ չգիտենք, թե որ թվանշանն է անվերջ կրկնվում անսահման տասնորդական կոտորակներում, որոնք ներկայացնում են դրանք, թեև այս թվերից յուրաքանչյուրը, ինչպես կարելի է հեշտությամբ ապացուցել, պարունակում է առնվազն երկու տարբեր նման թվանշաններ։

9. Տարրական եղանակով ապացուցեք, որ հավասարման դրական արմատը

իռացիոնալ է.

x> 0-ի դեպքում հավասարման ձախ կողմը մեծանում է x-ի մեծացման հետ, և հեշտ է տեսնել, որ x = 1.5-ի համար այն 10-ից փոքր է, իսկ x = 1.6-ի համար՝ 10-ից ավելի: Հետևաբար, միակ դրական արմատը. հավասարումը գտնվում է միջակայքում (1.5; 1.6):

Արմատը գրում ենք որպես անկրճատելի կոտորակ p/q, որտեղ p-ն և q-ն որոշ համապարփակ բնական թվեր են: Այնուհետև x = p / q-ի համար հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.

p 5 + pq 4 = 10q 5,

որտեղից հետևում է, որ p-ը 10-ի բաժանարար է, հետևաբար, p-ը հավասար է 1, 2, 5, 10 թվերից մեկին: Այնուամենայնիվ, 1, 2, 5, 10 համարիչներով կոտորակները դուրս գրելով, անմիջապես նկատում ենք, որ ոչ մեկը. դրանք ընկնում են միջակայքի ներսում (1.5; 1.6):

Այսպիսով, սկզբնական հավասարման դրական արմատը չի կարող ներկայացվել որպես սովորական կոտորակ, ինչը նշանակում է, որ այն իռացիոնալ թիվ է:

10. ա) Հարթության վրա կա՞ն A, B և C երեք կետեր, որ X ցանկացած կետի համար XA, XB և XC հատվածներից գոնե մեկի երկարությունը իռացիոնալ է:

բ) Եռանկյան գագաթների կոորդինատները ռացիոնալ են. Ապացուցեք, որ նրա շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները նույնպես ռացիոնալ են:

գ) Կա՞ այնպիսի ոլորտ, որի վրա կա ճիշտ մեկ ռացիոնալ կետ։ (Ռացիոնալ կետը այն կետն է, որտեղ բոլոր երեք դեկարտյան կոորդինատները ռացիոնալ թվեր են):

ա) Այո, կան: Թող C լինի AB հատվածի միջնակետը: Այնուհետև XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2: Եթե AB 2 թիվը իռացիոնալ է, ապա XA, XB և XC թվերը չեն կարող միաժամանակ ռացիոնալ լինել։

բ) Եկեք (a 1; b 1), (a 2; b 2) և (a 3; b 3) լինեն եռանկյան գագաթների կոորդինատները: Նրա շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները տրված են հավասարումների համակարգով.

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 = (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 = (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Հեշտ է ստուգել, որ այդ հավասարումները գծային են, ինչը նշանակում է, որ դիտարկված հավասարումների համակարգի լուծումը ռացիոնալ է։

գ) Նման ոլորտ գոյություն ունի. Օրինակ՝ հավասարումով գունդ

(x - √ 2) 2 + y 2 + z 2 = 2:

O կետը կոորդինատներով (0; 0; 0) ռացիոնալ կետ է, որը ընկած է այս ոլորտի վրա: Ոլորտի մնացած կետերը իռացիոնալ են։ Եկեք ապացուցենք դա։

Ենթադրենք հակառակը. թող (x; y; z) լինի ոլորտի ռացիոնալ կետ, որը տարբերվում է O կետից: Պարզ է, որ x-ը տարբերվում է 0-ից, քանի որ x = 0-ում կա եզակի լուծում (0; 0): ; 0), որն այժմ մեզ չի հետաքրքրում: Ընդլայնենք փակագծերը և արտահայտենք √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

որը չի կարող լինել ռացիոնալ x, y, z և իռացիոնալ √ 2: Այսպիսով, O (0; 0; 0) միակ ռացիոնալ կետն է դիտարկվող ոլորտի վրա:

Առաջադրանքներ առանց լուծումների

1. Ապացուցե՛ք, որ թիվը

\ [\ sqrt (10+ \ sqrt (24) + \ sqrt (40) + \ sqrt (60)) \]

իռացիոնալ է.

2. Ո՞ր m և n ամբողջ թվերի համար է (5 + 3√ 2) m = (3 + 5√ 2) n հավասարությունը։

3. Կա՞ այնպիսի թիվ, որ a - √ 3 և 1 / a + √ 3 թվերը ամբողջ թվեր լինեն:

4. Կարո՞ղ են 1, √ 2, 4 թվերը լինել թվաբանական առաջընթացի անդամներ (պարտադիր չէ, որ հարակից լինել):

5. Ապացուցե՛ք, որ ցանկացած բնական թվի համար n հավասարումը (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 չունի ռացիոնալ թվերի լուծումներ (x; y):

Իռացիոնալ թվի սահմանում

Իռացիոնալ են այն թվերը, որոնք տասնորդական նշումով անսահման ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակներ են:

Այսպիսով, օրինակ, բնական թվերի քառակուսի արմատը հանելով ստացված թվերը իռացիոնալ են և բնական թվերի քառակուսիներ չեն։ Բայց ոչ բոլոր իռացիոնալ թվերն են ստացվում քառակուսի արմատներ հանելով, քանի որ բաժանման արդյունքում ստացված pi թիվը նույնպես իռացիոնալ է, և դժվար թե ստանաք այն՝ փորձելով հանել բնական թվի քառակուսի արմատը։

Իռացիոնալ թվերի հատկությունները

Ի տարբերություն անվերջ տասնորդական կոտորակներով գրված թվերի, ոչ պարբերական անվերջ տասնորդական կոտորակներով գրվում են միայն իռացիոնալ թվերը։
Երկու ոչ բացասական իռացիոնալ թվերի գումարը կարող է ավարտվել որպես ռացիոնալ թիվ:
Իռացիոնալ թվերը սահմանում են Dedekind բաժինները ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ, ստորին դասում, որոնք չունեն առավելագույնը մեծ թվով, իսկ վերևում ավելի փոքր չկա։
Ցանկացած իրական տրանսցենդենտալ թիվ իռացիոնալ է:
Բոլոր իռացիոնալ թվերը կա՛մ հանրահաշվական են, կա՛մ տրանսցենդենտալ:
Ուղիղ գծի վրա իռացիոնալ թվերի բազմությունը խիտ է, և դրա ցանկացած երկու թվերի միջև պետք է լինի իռացիոնալ թիվ:
Իռացիոնալ թվերի բազմությունը անսահման է, անհաշվելի և 2-րդ կարգի բազմություն է։
Ռացիոնալ թվերով որևէ թվաբանական գործողություն կատարելիս, բացի 0-ի բաժանումից, արդյունքը կլինի ռացիոնալ թիվ:
Իռացիոնալ թվին ռացիոնալ թիվ գումարելիս արդյունքը միշտ իռացիոնալ թիվ է:
Իռացիոնալ թվեր գումարելիս արդյունքում կարող ենք ռացիոնալ թիվ ստանալ։
Իռացիոնալ թվերի բազմությունը զույգ չէ։

Թվերը իռացիոնալ չեն

Երբեմն դժվար է պատասխանել այն հարցին, թե թիվը իռացիոնալ է, հատկապես այն դեպքերում, երբ թիվը գտնվում է տասնորդական կոտորակի կամ թվային արտահայտության, արմատի կամ լոգարիթմի տեսքով:
Հետեւաբար, ավելորդ չի լինի իմանալ, թե որ թվերն իռացիոնալ չեն։ Եթե հետևենք իռացիոնալ թվերի սահմանմանը, ապա արդեն գիտենք, որ ռացիոնալ թվերը չեն կարող իռացիոնալ լինել։
Իռացիոնալ թվերը չեն.
Նախ, բոլոր բնական թվերը.
Երկրորդ, ամբողջ թվեր;
Երրորդ, սովորական կոտորակներ;
Չորրորդ, տարբեր խառը թվեր;
Հինգերորդ, դրանք անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակներ են:
Ի հավելումն վերը նշված բոլորի, իռացիոնալ թիվ չի կարող լինել ռացիոնալ թվերի ցանկացած համակցություն, որը կատարվում է թվաբանական գործողությունների նշաններով, ինչպիսիք են +, -,,:, քանի որ այս դեպքում երկու ռացիոնալ թվերի արդյունքը նույնպես ռացիոնալ կլինի։ թիվ.
Հիմա տեսնենք, թե թվերից որոնք են իռացիոնալ.

Գիտե՞ք արդյոք ֆան ակումբի գոյության մասին, որտեղ այս առեղծվածային մաթեմատիկական ֆենոմենի երկրպագուները նոր տեղեկություններ են փնտրում Պիի մասին՝ փորձելով բացահայտել նրա գաղտնիքը։ Այս ակումբի անդամ կարող է դառնալ ցանկացած մարդ, ով տասնորդական կետից հետո անգիր գիտի pi-ի որոշակի քանակ;
Իսկ դուք գիտեի՞ք, որ Գերմանիայում ՅՈՒՆԵՍԿՕ-ի պաշտպանության ներքո գտնվում է Կաստադել Մոնթե պալատը, որի համամասնությունների շնորհիվ կարելի է հաշվել պը։ Այս թվին մի ամբողջ պալատ է նվիրել Ֆրիդրիխ II թագավորը։
Պարզվում է՝ Pi-ին փորձել են օգտագործել շինարարության մեջ։ Բաբելոնի աշտարակ... Բայց, ի մեծ ափսոսանք, դա հանգեցրեց նախագծի փլուզմանը, քանի որ այդ ժամանակ pi-ի արժեքի ճշգրիտ հաշվարկը բավականաչափ ուսումնասիրված չէր:
Երգիչ Քիթ Բուշն իր նոր սկավառակում ձայնագրել է «Pi» երգը, որը հնչում է հարյուր քսանչորս թվով հանրահայտ համարների շարքից 3, 141… ..

Իռացիոնալ թվի նշանակում. Որոնք են ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը

Ամբողջ թվեր

Ամբողջ թվեր

Ռացիոնալ թվեր

Բնական թվեր $ \ mathbb (N) $

Ամբողջ թվեր $ \ mathbb (Z) $

Ռացիոնալ թվեր $ \ mathbb (Q) $

Իռացիոնալ թվեր $ \ mathbb (I) $

Իրական թվեր $ \ mathbb (R) $

Կոմպլեքս թվեր $ \ mathbb (C) $

Կոլեգիալ YouTube

Իռացիոնալության ապացույցի օրինակներ

2-ի արմատը

Պատմություն

Հնություն

Լուծումների հետ կապված խնդիրներ

Առաջադրանքներ առանց լուծումների

Իռացիոնալ թվի սահմանում

Իռացիոնալ թվերի հատկությունները

Թվերը իռացիոնալ չեն