Լրացրեք կրճատված քառակուսի հավասարումը: Առցանց հաշվիչ. Քառակուսային հավասարման լուծում

Այս թեման սկզբում կարող է բարդ թվալ՝ բազմաթիվ բարդ բանաձեւերի պատճառով։ Ոչ միայն քառակուսի հավասարումներն իրենք ունեն երկար գրառումներ, այլև արմատները հայտնաբերվում են տարբերակիչի միջոցով: Ընդհանուր առմամբ կան երեք նոր բանաձեւեր. Հեշտ չէ հիշելը: Դա հնարավոր է միայն նման հավասարումների հաճախակի լուծումից հետո։ Այնուհետև բոլոր բանաձևերը կհիշվեն ինքնուրույն:

Քառակուսային հավասարման ընդհանուր տեսք

Այստեղ առաջարկվում է դրանց բացահայտ արձանագրումը, երբ նախ գրանցվում է ամենաբարձր աստիճանը, իսկ հետո՝ նվազման կարգով։ Հաճախ լինում են իրավիճակներ, երբ ժամկետները շարքից դուրս են գալիս։ Այնուհետև ավելի լավ է վերաշարադրել հավասարումը փոփոխականի աստիճանի նվազման կարգով:

Ներկայացնենք նշումը. Դրանք ներկայացված են ստորև բերված աղյուսակում:

Եթե ​​ընդունենք այս նշանակումները, բոլոր քառակուսի հավասարումները կրճատվում են հետևյալ գրառումով.

Ընդ որում, գործակիցը a ≠ 0. Թող այս բանաձևը նշանակվի թիվ մեկով:

Երբ տրված է հավասարումը, պարզ չէ, թե քանի արմատ կլինի պատասխանում։ Քանի որ երեք տարբերակներից մեկը միշտ հնարավոր է.

• լուծման մեջ կլինի երկու արմատ.
• պատասխանը մեկ թիվ է;
• հավասարումն ընդհանրապես արմատներ չի ունենա։

Եվ քանի դեռ որոշումը մինչև վերջ չի հասցվել, դժվար է հասկանալ, թե կոնկրետ դեպքում տարբերակներից որն է ընկնելու։

Քառակուսային հավասարումների գրառումների տեսակները

Առաջադրանքները կարող են պարունակել իրենց տարբեր գրառումները: Նրանք միշտ չէ, որ նման կլինեն ընդհանուր քառակուսի բանաձեւի։ Երբեմն այն կբացակայի որոշ պայմաններից: Վերևում գրվածը ամբողջական հավասարում է։ Եթե ​​դուք հանեք դրա մեջ երկրորդ կամ երրորդ տերմինը, ապա կստանաք այլ բան: Այս գրառումները կոչվում են նաև քառակուսային հավասարումներ՝ միայն թերի։

Ընդ որում, միայն այն տերմինները, որոնցում կարող են անհետանալ «b» և «c» գործակիցները։ «ա» թիվը ոչ մի դեպքում չի կարող հավասար լինել զրոյի։ Քանի որ այս դեպքում բանաձեւը վերածվում է գծային հավասարման։ Հավասարումների ոչ լրիվ ձևի բանաձևերը կլինեն հետևյալը.

Այսպիսով, կա ընդամենը երկու տեսակ, բացի ամբողջականներից, կան նաև թերի քառակուսի հավասարումներ։ Թող առաջին բանաձևը լինի թիվ երկու, իսկ երկրորդը` երեքը:

Արմատների քանակի տարբերություն և կախվածություն դրա արժեքից

Դուք պետք է իմանաք այս թիվը, որպեսզի հաշվարկեք հավասարման արմատները: Այն միշտ կարելի է հաշվարկել՝ անկախ քառակուսի հավասարման բանաձևից: Խտրականությունը հաշվարկելու համար հարկավոր է օգտագործել ստորև գրված հավասարությունը, որը կունենա չորս թիվը։

Գործակիցների արժեքները այս բանաձևով փոխարինելուց հետո կարող եք տարբեր նշաններով թվեր ստանալ: Եթե ​​պատասխանը դրական է, ապա հավասարման պատասխանը կլինի երկու տարբեր արմատներ: Եթե ​​թիվը բացասական է, ապա քառակուսի հավասարման արմատները կբացակայեն: Եթե ​​այն հավասար է զրոյի, ապա պատասխանը կլինի մեկ։

Ինչպե՞ս է լուծվում ամբողջական քառակուսի հավասարումը:

Փաստորեն, այս հարցի քննարկումն արդեն սկսվել է։ Որովհետև նախ պետք է գտնել խտրականին: Այն բանից հետո, երբ պարզվեց, որ կան քառակուսի հավասարման արմատներ, և դրանց թիվը հայտնի է, դուք պետք է օգտագործեք փոփոխականների բանաձևերը: Եթե ​​կան երկու արմատներ, ապա դուք պետք է կիրառեք այս բանաձեւը.

Քանի որ այն պարունակում է «±» նշանը, կլինի երկու արժեք: Քառակուսի արմատ արտահայտությունը տարբերակիչն է: Հետևաբար, բանաձևը կարելի է այլ կերպ վերաշարադրել։

Բանաձև թիվ հինգ. Նույն գրառումը ցույց է տալիս, որ եթե դիսկրիմինատորը զրոյական է, ապա երկու արմատները կունենան նույն արժեքները:

Եթե ​​քառակուսի հավասարումների լուծումը դեռ մշակված չէ, ապա ավելի լավ է գրել բոլոր գործակիցների արժեքները նախքան տարբերակիչ և փոփոխական բանաձևերը կիրառելը: Հետագայում այս պահը դժվարություններ չի առաջացնի։ Բայց հենց սկզբում շփոթություն է առաջանում.

Ինչպե՞ս է լուծվում ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը:

Այստեղ ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է. Նույնիսկ լրացուցիչ բանաձեւերի կարիք չկա։ Իսկ դրանք, որոնք արդեն գրանցված են խտրականի ու անհայտի համար, ձեզ պետք չեն։

Նախ հաշվի առեք թերի թիվ երկու հավասարումը: Այս հավասարության մեջ ենթադրվում է փակագծից հանել անհայտ մեծությունը և լուծել գծային հավասարումը, որը մնում է փակագծերում։ Պատասխանը կունենա երկու արմատ. Առաջինն անպայման հավասար է զրոյի, քանի որ կա գործոն, որը բաղկացած է հենց փոփոխականից։ Երկրորդը ստացվում է գծային հավասարում լուծելով։

Թերի երրորդ հավասարումը լուծվում է՝ թիվը հավասարման ձախ կողմից աջ տեղափոխելով։ Այնուհետև պետք է բաժանել անհայտի դիմաց գործակից: Մնում է միայն հանել քառակուսի արմատը և հիշել այն երկու անգամ գրել հակառակ նշաններով։

Ստորև բերված են մի քանի քայլեր, որոնք կօգնեն ձեզ սովորել, թե ինչպես լուծել բոլոր տեսակի հավասարումները, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների: Նրանք կօգնեն աշակերտին խուսափել անզգույշ սխալներից։ Այս թերությունները պատճառ են դառնում «Քառակուսի հավասարումներ (8-րդ դասարան)» ծավալուն թեման ուսումնասիրելիս վատ գնահատականների համար: Հետագայում այդ գործողությունները անընդհատ կատարելու կարիք չեն ունենա։ Որովհետև կհայտնվի կայուն հմտություն։

• Նախ, դուք պետք է գրեք հավասարումը ստանդարտ ձևով: Այսինքն՝ սկզբում փոփոխականի ամենաբարձր աստիճան ունեցող տերմինը, իսկ հետո՝ առանց աստիճանի և վերջինը՝ ընդամենը թիվ։

• Եթե ​​«ա» գործակցի դիմաց մինուս է հայտնվում, ապա դա կարող է բարդացնել սկսնակին քառակուսի հավասարումներ ուսումնասիրելու աշխատանքը։ Ավելի լավ է ազատվել դրանից։ Այդ նպատակով բոլոր հավասարությունները պետք է բազմապատկվեն «-1»-ով: Սա նշանակում է, որ բոլոր տերմիններն իրենց նշանը կփոխեն հակառակի։

• Նույն կերպ խորհուրդ է տրվում ազատվել ֆրակցիաներից։ Պարզապես բազմապատկեք հավասարումը համապատասխան գործակցով, որպեսզի չեղարկվեն հայտարարները:

Օրինակներ

Պահանջվում է լուծել հետևյալ քառակուսի հավասարումները.

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2):

Առաջին հավասարումը` x 2 - 7x = 0: Այն թերի է, հետևաբար այն լուծվում է այնպես, ինչպես նկարագրված է թիվ երկու բանաձևի համար:

Փակագծերը թողնելուց հետո ստացվում է՝ x (x - 7) = 0։

Առաջին արմատը վերցնում է արժեքը՝ x 1 = 0: Երկրորդը կգտնվի գծային հավասարումից՝ x - 7 = 0: Հեշտ է տեսնել, որ x 2 = 7:

Երկրորդ հավասարումը` 5x 2 + 30 = 0. Կրկին թերի: Միայն այն լուծվում է, ինչպես նկարագրված է երրորդ բանաձեւի համար:

30-ը հավասարության աջ կողմը փոխանցելուց հետո՝ 5x 2 = 30։ Այժմ պետք է բաժանել 5-ի։ Ստացվում է՝ x 2 = 6։ Պատասխանները կլինեն թվեր՝ x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Երրորդ հավասարումը. 15 - 2x - x 2 = 0: Այսուհետ քառակուսի հավասարումների լուծումը կսկսվի դրանք վերաշարադրելով ստանդարտ ձևով. - x 2 - 2x + 15 = 0: Այժմ ժամանակն է օգտագործել երկրորդ օգտակար խորհուրդը և ամեն ինչ բազմապատկել մինուս մեկով... Ստացվում է x 2 + 2x - 15 = 0. Չորրորդ բանաձեւի համաձայն պետք է հաշվարկել դիսկրիմինանտը՝ D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Դա դրական թիվ է։ Վերևում ասվածից պարզվում է, որ հավասարումն ունի երկու արմատ. Նրանք պետք է հաշվարկվեն հինգերորդ բանաձևով. Ստացվում է, որ x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Այնուհետեւ x 1 = 3, x 2 = - 5:

Չորրորդ x 2 + 8 + 3x = 0 հավասարումը վերածվում է հետևյալի` x 2 + 3x + 8 = 0: Նրա դիսկրիմինանտը հավասար է այս արժեքին` -23: Քանի որ այս թիվը բացասական է, այս առաջադրանքի պատասխանը կլինի հետևյալ գրառումը՝ «Արմատներ չկան»։

Հինգերորդ 12x + x 2 + 36 = 0 հավասարումը պետք է վերաշարադրվի հետևյալ կերպ. x 2 + 12x + 36 = 0: Տարբերիչի բանաձևը կիրառելուց հետո ստացվում է զրո թիվը: Սա նշանակում է, որ այն կունենա մեկ արմատ, այն է՝ x = -12 / (2 * 1) = -6:

Վեցերորդ հավասարումը (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) պահանջում է փոխակերպումներ, որոնք բաղկացած են նրանից, որ փակագծերը բացելուց առաջ անհրաժեշտ է բերել նմանատիպ տերմիններ: Առաջինի փոխարեն կլինի այսպիսի արտահայտություն՝ x 2 + 2x + 1։ Հավասարումից հետո կհայտնվի այս գրառումը՝ x 2 + 3x + 2։ Նման անդամները հաշվելուց հետո հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը՝ x. 2 - x = 0. Այն վերածվեց թերի ... Դրա նմանը արդեն համարվում է մի փոքր ավելի բարձր: Սրա արմատները կլինեն 0 և 1 թվերը:

Խտրականը երկիմաստ տերմին է։ Այս հոդվածում մենք կկենտրոնանանք բազմանդամի դիսկրիմինանտի վրա, որը թույլ է տալիս որոշել, թե արդյոք տվյալ բազմանդամն ունի վավեր լուծումներ։ Քառակուսի բազմանդամի բանաձևը գտնվում է հանրահաշվի և վերլուծության դպրոցական դասընթացում: Ինչպե՞ս գտնել խտրականին: Ի՞նչ է անհրաժեշտ հավասարումը լուծելու համար:

Քառակուսի բազմանդամը կամ երկրորդ աստիճանի հավասարումը կոչվում է i * w ^ 2 + j * w + k հավասար է 0-ի, որտեղ «i»-ն և «j»-ը համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ գործակիցներն են, «k»-ն հաստատուն է, որը երբեմն կոչվում է «ազատ անդամ», և «w»-ը փոփոխական է: Դրա արմատները կլինեն այն փոփոխականի բոլոր արժեքները, որոնց դեպքում այն ​​վերածվում է ինքնության: Նման հավասարությունը կարող է վերագրվել որպես i, (w - w1) և (w - w2) արտադրյալ, որը հավասար է 0-ի: Այս դեպքում ակնհայտ է, որ եթե «i» գործակիցը չի վերանում, ապա ձախ կողմում գտնվող ֆունկցիան. կողմը զրո կդառնա միայն այն դեպքում, եթե x-ը w1 կամ w2 է: Այս արժեքները բազմանդամը զրո դնելու արդյունք են:

Փոփոխականի արժեքը գտնելու համար, որի դեպքում քառակուսի բազմանդամը անհետանում է, օգտագործվում է օժանդակ կառուցվածք, որը կառուցված է նրա գործակիցների վրա և կոչվում է դիսկրիմինանտ: Այս դիզայնը հաշվարկվում է ըստ բանաձեւի D հավասար է j * j - 4 * i * k. Ինչու է այն օգտագործվում:

1. Նա ասում է, որ եթե լինեն վավեր արդյունքներ:
2. Նա օգնում է դրանք հաշվարկել:

Ինչպես է այս արժեքը ցույց տալիս իրական արմատների առկայությունը.

• Եթե ​​դրական է, ապա իրական թվերի միջակայքում կարող եք գտնել երկու արմատ։
• Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրո է, ապա երկու լուծումները համընկնում են: Կարելի է ասել, որ լուծումը մեկն է, այն էլ իրական թվերի ոլորտից է։
• Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, ապա բազմանդամը իրական արմատներ չունի:

Նյութը ամրացնելու համար հաշվարկային տարբերակներ

Գումարի համար (7 * w ^ 2; 3 * w; 1) հավասար է 0-իմենք հաշվարկում ենք D-ն ըստ 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 բանաձևի, մենք ստանում ենք -19: Զրոյից ցածր դիսկրիմինացիոն արժեքը ցույց է տալիս, որ իրական գծի վրա արդյունքներ չկան:

Հաշվի առնելով 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 0-ին համարժեք, ապա D-ն հաշվարկվում է որպես (-3) քառակուսի հանած (4; 2; 1) թվերի արտադրյալը և հավասար է 9 - 8-ի, այսինքն՝ 1-ի: Դրական արժեքը ցույց է տալիս իրական գծի երկու արդյունք:

Եթե ​​վերցնենք գումարը (w ^ 2; 2 * w; 1) և հավասարենք 0-ի, D-ը հաշվարկվում է որպես երկու քառակուսի հանած թվերի արտադրյալը (4; 1; 1): Այս արտահայտությունը կպարզեցվի մինչև 4-4 և կվերանա: Ստացվում է, որ արդյունքները նույնն են. Եթե ​​ուշադիր նայեք այս բանաձեւին, ապա պարզ է դառնում, որ սա «լիարժեք քառակուսի» է։ Այսպիսով, հավասարությունը կարող է վերաշարադրվել (w + 1) ^ 2 = 0 ձևով: Ակնհայտ դարձավ, որ այս խնդրի արդյունքը «-1» է։ Այն իրավիճակում, երբ D-ը հավասար է 0-ի, հավասարության ձախ կողմը միշտ կարող է ծալվել «գումարի քառակուսի» բանաձևի համաձայն։

Արմատները հաշվարկելիս դիսկրիմինանտի օգտագործումը

Այս օժանդակ կոնստրուկցիան ոչ միայն ցույց է տալիս իրական լուծումների քանակը, այլեւ օգնում է դրանք գտնել։ Երկրորդ աստիճանի հավասարման ընդհանուր հաշվարկման բանաձևը հետևյալն է.

w = (-j +/- d) / (2 * i), որտեղ d-ը 1/2 հզորության դիսկրիմինատորն է:

Ենթադրենք, դիսկրիմինատորը զրոյից ցածր է, ապա d-ն երևակայական է, իսկ արդյունքները՝ երևակայական:

D-ն զրո է, ապա d-ն հավասար է D-ին 1/2-ի հզորությանը նույնպես զրո է։ Լուծում` -j / (2 * i). Կրկին հաշվի առնելով 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, մենք գտնում ենք -2 / (2 * 1) = -1-ին համարժեք արդյունքներ:

Ենթադրենք D> 0, ուրեմն d-ն իրական թիվ է, և այստեղ պատասխանը բաժանվում է երկու մասի՝ w1 = (-j + d) / (2 * i) և w2 = (-j - d) / (2 * i) ... Երկու արդյունքներն էլ վավեր կլինեն։ Եկեք նայենք 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0: Այստեղ դիսկրիմինանտը և d-ը մեկն են: Ստացվում է, որ w1-ը (3 + 1) բաժանված է (2 * 2) կամ 1-ի, իսկ w2-ը հավասար է (3 - 1) բաժանված 2 * 2-ի կամ 1/2-ի:

Քառակուսի արտահայտությունը զրոյի հավասարեցնելու արդյունքը հաշվարկվում է ըստ ալգորիթմի.

1. Վավեր որոշումների քանակի որոշում.
2. Հաշվարկ d = D ^ (1/2):
3. Արդյունքը գտնելը ըստ (-j +/- d) / (2 * i) բանաձևի.
4. Ստացված արդյունքի փոխարինումը փորձարկման սկզբնական հավասարության մեջ:

Որոշ հատուկ դեպքեր

Կախված գործակիցներից՝ լուծումը կարող է որոշ չափով պարզեցվել։ Ակնհայտորեն, եթե երկրորդ աստիճանի փոփոխականի դիմաց գործակիցը հավասար է զրոյի, ապա ստացվում է գծային հավասարություն։ Երբ փոփոխականի դիմաց գործակիցը գտնվում է զրոյական առաջին աստիճանում, ապա հնարավոր է երկու տարբերակ.

1. բազմանդամը տարրալուծվում է բացասական ընդհատում ունեցող քառակուսիների տարբերության մեջ.
2. դրական հաստատունի համար իրական լուծումներ չեն գտնվել:

Եթե ​​ազատ անդամը զրո է, ապա արմատները կլինեն (0; -j)

Բայց կան այլ հատուկ դեպքեր, որոնք հեշտացնում են լուծում գտնելը։

Երկրորդ աստիճանի կրճատված հավասարումը

Տրվածը կոչվում էայսպիսի եռանդամ քառակուսի, որտեղ առաջատար անդամի դիմաց գործակիցը մեկն է։ Այս իրավիճակի համար կիրառելի է Վիետայի թեորեմը, որն ասում է, որ արմատների գումարը հավասար է առաջին ուժի փոփոխականի գործակցին բազմապատկած -1-ով, իսկ արտադրյալը համապատասխանում է «k» հաստատունին։

Հետևաբար, w1 + w2 հավասար է -j, իսկ w1 * w2 հավասար է k, եթե առաջին գործակիցը մեկ է։ Համոզվելու համար, որ այս ներկայացումը ճիշտ է, մենք կարող ենք w2 = -j - w1 արտահայտել առաջին բանաձևից և այն փոխարինել երկրորդ հավասարությամբ w1 * (-j - w1) = k: Արդյունքում մենք ստանում ենք սկզբնական հավասարություն w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0:

Կարևոր է նշելոր i * w ^ 2 + j * w + k = 0 կարելի է կրճատել՝ բաժանելով «i»-ի։ Արդյունքը կլինի՝ w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, որտեղ j1-ը հավասար է j/i-ի, իսկ k1-ը հավասար է k/i-ի:

Եկեք նայենք արդեն լուծված 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 w1 = 1 և w2 = 1/2 արդյունքներով: Մենք պետք է այն կիսենք կիսով չափ, արդյունքում w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0: Եկեք ստուգենք, որ թեորեմի պայմանները վավեր են գտնված արդյունքների համար. 1 + 1/2 = 3: /2 և 1 * 1/2 = 1/2:

Նույնիսկ երկրորդ գործոնը

Եթե ​​փոփոխականի գործակիցը առաջին աստիճանին (j) բաժանվում է 2-ի, ապա հնարավոր կլինի պարզեցնել բանաձևը և լուծում փնտրել D / 4 = (j / 2) դիսկրիմինանտի քառորդ մասով ^ 2 - i * k. մենք ստանում ենք w = (-j +/- d / 2) / i, որտեղ d / 2 = D / 4 մինչև 1/2 հզորություն:

Եթե ​​i = 1, իսկ j գործակիցը հավասար է, ապա լուծումը կլինի w փոփոխականի համար -1 և գործակցի կեսի արտադրյալը, գումարած/մինուս այս կեսի քառակուսու արմատը՝ հանած «k» հաստատունը։ Բանաձև՝ w = -j / 2 +/- (j ^ 2/4 - k) ^ 1/2:

Բարձրագույն կարգի դիսկրիմինանտ

Վերոնշյալ երկրորդ աստիճանի եռանկյունի դիսկրիմինանտը ամենից հաճախ օգտագործվող հատուկ դեպքն է: Ընդհանուր դեպքում բազմանդամի դիսկրիմինանտն է այս բազմանդամի արմատների տարբերությունների բազմապատկված քառակուսիները... Հետևաբար, զրոյի հավասար դիսկրիմինանտը ցույց է տալիս առնվազն երկու բազմակի լուծումների առկայությունը:

Դիտարկենք i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0:

D = j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Ենթադրենք, դիսկրիմինատորը զրոյից մեծ է... Սա նշանակում է, որ տիրույթում երեք արմատ կա. Զրոյի դեպքում կան բազմաթիվ լուծումներ: Եթե ​​Դ< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Տեսանյութ

Մեր տեսանյութը ձեզ մանրամասն կպատմի դիսկրիմինատորը հաշվարկելու մասին։

Ձեր հարցի պատասխանը չե՞ք ստացել։ Թեմա առաջարկեք հեղինակներին:

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել թեման» հավասարումների լուծում«. Մենք արդեն հանդիպել ենք գծային հավասարումների և անցնում ենք ծանոթանալու քառակուսի հավասարումներ.

Նախ, մենք կվերլուծենք, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը, ինչպես է այն գրվում ընդհանուր ձևով և կտանք համապատասխան սահմանումներ: Դրանից հետո, օրինակներով, մանրամասն կվերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները։ Այնուհետև անցնում ենք ամբողջական հավասարումների լուծմանը, ստանում ենք արմատների բանաձևը, ծանոթանում քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտին և դիտարկում բնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, եկեք հետևենք արմատների և գործակիցների հարաբերություններին:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը: Նրանց տեսակները

Նախ պետք է հստակ հասկանալ, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը: Ուստի տրամաբանական է քառակուսի հավասարումների մասին խոսել քառակուսի հավասարման, ինչպես նաև հարակից սահմանումներով։ Դրանից հետո կարող եք դիտարկել քառակուսի հավասարումների հիմնական տեսակները՝ կրճատված և չկրճատված, ինչպես նաև ամբողջական և թերի հավասարումներ։

Քառակուսային հավասարումների սահմանում և օրինակներ

Սահմանում.

Քառակուսային հավասարումՁևի հավասարում է a x 2 + b x + c = 0, որտեղ x-ը փոփոխական է, a, b և c-ն որոշ թվեր են, իսկ a-ն զրոյական չէ:

Անմիջապես ասենք, որ քառակուսի հավասարումները հաճախ կոչվում են երկրորդ աստիճանի հավասարումներ։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ քառակուսի հավասարումը հանրահաշվական հավասարումերկրորդ աստիճան.

Հնչած սահմանումը թույլ է տալիս մեզ բերել քառակուսի հավասարումների օրինակներ: Այսպիսով, 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 = 0 և այլն: Քառակուսային հավասարումներ են:

Սահմանում.

Թվերը a, b և c կոչվում են քառակուսի հավասարման գործակիցները a x 2 + b x + c = 0, իսկ a գործակիցը կոչվում է առաջին, կամ ամենաբարձրը, կամ գործակիցը x 2-ում, b-ն երկրորդ գործակիցն է, կամ գործակիցը x-ում, իսկ c-ն ազատ անդամն է:

Օրինակ՝ վերցնենք 5x2 −2x − 3 = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը, այստեղ առաջատար գործակիցը 5 է, երկրորդը՝ −2, իսկ կտրվածքը՝ −3։ Նկատի ունեցեք, որ երբ b և / կամ c գործակիցները բացասական են, ինչպես հենց բերված օրինակում, քառակուսի հավասարման կարճ ձևն է 5 x 2 −2 x − 3 = 0, ոչ թե 5 x 2 + (- 2 ) X +: (- 3) = 0:

Հարկ է նշել, որ երբ a և/կամ b գործակիցները հավասար են 1-ի կամ −1-ի, ապա դրանք սովորաբար հստակորեն առկա չեն քառակուսի հավասարման մեջ, ինչը պայմանավորված է այդպիսի գրելու առանձնահատկություններով։ Օրինակ՝ y 2 −y + 3 = 0 քառակուսի հավասարման դեպքում առաջատար գործակիցը մեկն է, իսկ y-ի գործակիցը −1 է։

Կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումներ

Նվազեցված և չկրճատված քառակուսի հավասարումները տարբերվում են՝ կախված առաջատար գործակցի արժեքից։ Տանք համապատասխան սահմանումները։

Սահմանում.

Կոչվում է քառակուսի հավասարումը, որի առաջատար գործակիցը 1 է կրճատված քառակուսի հավասարում... Հակառակ դեպքում քառակուսի հավասարումը կլինի չկրճատված.

Ըստ այս սահմանման՝ քառակուսի հավասարումներ x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0 և այլն։ - տրված, նրանցից յուրաքանչյուրում առաջին գործակիցը հավասար է մեկի: Եվ 5 x 2 −x − 1 = 0 և այլն: - չկրճատված քառակուսի հավասարումներ, դրանց առաջատար գործակիցները տարբերվում են 1-ից:

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարումից, նրա երկու մասերը բաժանելով առաջատար գործակցի վրա, կարող եք անցնել կրճատվածին։ Այս գործողությունը համարժեք փոխակերպում է, այսինքն՝ այս կերպ ստացված կրճատված քառակուսային հավասարումն ունի նույն արմատները, ինչ սկզբնական չկրճատված քառակուսի հավասարումը, կամ, ինչպես դա, չունի արմատներ։

Օրինակով վերլուծենք, թե ինչպես է կատարվում անցումը չկրճատված քառակուսային հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ.

3 x 2 + 12 x − 7 = 0 հավասարումից անցեք համապատասխան կրճատված քառակուսային հավասարմանը:

Լուծում.

Բավական է, որ սկզբնական հավասարման երկու կողմերը բաժանենք առաջատար գործակցի 3-ի վրա, այն զրոյական չէ, ուստի կարող ենք կատարել այս գործողությունը։ Մենք ունենք (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, որը նույնն է, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, և ավելին (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, որտեղից. Այսպիսով, մենք ստացանք կրճատված քառակուսի հավասարումը, որը համարժեք է սկզբնականին:

Պատասխան.

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Քառակուսային հավասարման սահմանումը պարունակում է a ≠ 0 պայման։ Այս պայմանը անհրաժեշտ է, որպեսզի a x 2 + b x + c = 0 հավասարումը լինի ճիշտ քառակուսի, քանի որ a = 0-ում այն ​​իրականում դառնում է b x + c = 0 ձևի գծային հավասարում:

Ինչ վերաբերում է b և c գործակիցներին, ապա դրանք կարող են հավասար լինել զրոյի և՛ առանձին, և՛ միասին։ Այս դեպքերում քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի:

Սահմանում.

Կոչվում է a x 2 + b x + c = 0 քառակուսի հավասարումը թերիեթե b, c գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի.

Իր հերթին

Սահմանում.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումՀավասարում է, որտեղ բոլոր գործակիցները զրոյական չեն:

Այս անունները պատահական չեն տրված։ Սա պարզ կդառնա հետևյալ նկատառումներից.

Եթե ​​b գործակիցը հավասար է զրոյի, ապա քառակուսի հավասարումը ստանում է a x 2 + 0 x + c = 0 ձևը, և ​​այն համարժեք է a x 2 + c = 0 հավասարմանը: Եթե ​​c = 0, այսինքն, քառակուսի հավասարումը ունի a x 2 + b x + 0 = 0 ձև, ապա այն կարելի է վերագրել որպես x 2 + b x = 0: Իսկ b = 0 և c = 0 դեպքում ստանում ենք a x 2 = 0 քառակուսի հավասարումը: Ստացված հավասարումները տարբերվում են լրիվ քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ո՛չ x փոփոխականով անդամ, ո՛չ ազատ անդամ կամ երկուսն էլ։ Այստեղից էլ նրանց անվանումը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումներ։

Այսպիսով, x 2 + x + 1 = 0 և −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 հավասարումները ամբողջական քառակուսի հավասարումների օրինակներ են, և x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 թերի քառակուսի հավասարումներ են:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախորդ պարբերության տեղեկատվությունից հետևում է, որ կա երեք տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ:

• a · x 2 = 0, այն համապատասխանում է b = 0 և c = 0 գործակիցներին;
• a x 2 + c = 0, երբ b = 0;
• և a x 2 + b x = 0, երբ c = 0:

Եկեք հերթականությամբ վերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում այս տեսակներից յուրաքանչյուրի ոչ ամբողջական քառակուսային հավասարումները:

a x 2 = 0

Սկսենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծումից, որոնցում b և c գործակիցները հավասար են զրոյի, այսինքն՝ a · x 2 = 0 ձևի հավասարումներով։ a · x 2 = 0 հավասարումը համարժեք է x 2 = 0 հավասարմանը, որը ստացվում է բնագրից՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական a թվի վրա։ Ակնհայտ է, որ x 2 = 0 հավասարման արմատը զրո է, քանի որ 0 2 = 0: Այս հավասարումն այլ արմատներ չունի, ինչը բացատրվում է, որ, իրոք, ցանկացած ոչ զրոյական p թվի համար գործում է p 2> 0 անհավասարությունը, որտեղից հետևում է, որ p ≠ 0-ի համար p 2 = 0 հավասարությունը երբեք չի ստացվում:

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a · x 2 = 0 ունի մեկ արմատ x = 0:

Որպես օրինակ՝ տանք −4 · x 2 = 0 թերի քառակուսային հավասարման լուծումը։ x 2 = 0 հավասարումը դրան համարժեք է, նրա միակ արմատը x = 0 է, հետևաբար, սկզբնական հավասարումն ունի նաև եզակի արմատ զրո։

Կարճ լուծում այս դեպքում կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Այժմ դիտարկենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները, որոնցում b գործակիցը զրո է, իսկ c ≠ 0, այսինքն՝ a · x 2 + c = 0 ձևի հավասարումներ։ Մենք գիտենք, որ տերմինը հավասարման մի կողմից հակառակ նշանով մյուսը փոխանցելը, ինչպես նաև հավասարման երկու կողմերը ոչ զրոյական թվի վրա բաժանելը տալիս է համարժեք հավասարում։ Հետևաբար, հնարավոր է իրականացնել թերի քառակուսի հավասարման հետևյալ համարժեք փոխակերպումները a x 2 + c = 0.

• տեղափոխեք c-ն աջ կողմ, որը տալիս է x 2 = −c հավասարումը,
• և նրա երկու մասերը բաժանում ենք a-ի, ստանում ենք.

Ստացված հավասարումը թույլ է տալիս եզրակացություններ անել դրա արմատների մասին: Կախված a-ի և c-ի արժեքներից, արտահայտության արժեքը կարող է լինել բացասական (օրինակ, եթե a = 1 և c = 2, ապա) կամ դրական, (օրինակ, եթե a = -2 և c = 6): , ուրեմն), այն հավասար չէ զրոյի, քանի որ c ≠ 0 վարկածով։ Առանձին քննենք գործերը և.

Եթե, ապա հավասարումը արմատներ չունի: Այս պնդումը բխում է նրանից, որ ցանկացած թվի քառակուսին ոչ բացասական թիվ է։ Այստեղից հետևում է, որ երբ, ապա ցանկացած p թվի համար հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել։

Եթե, ապա հավասարման արմատների հետ կապված իրավիճակը տարբեր է. Այս դեպքում, եթե հիշում եք, ապա հավասարման արմատը անմիջապես ակնհայտ է դառնում, դա թիվ է, քանի որ. Հեշտ է կռահել, որ թիվը նույնպես հավասարման արմատն է, իսկապես,: Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը կարելի է ցույց տալ, օրինակ, հակասական մեթոդով։ Եկեք անենք դա.

Նշենք հենց նոր հնչած հավասարման արմատները x 1 և −x 1: Ենթադրենք, որ հավասարումը ունի ևս մեկ արմատ x 2, որը տարբերվում է նշված x 1 և −x 1 արմատներից: Հայտնի է, որ դրա արմատների փոխարինումը հավասարման մեջ x-ի փոխարեն հավասարումը վերածում է իրական թվային հավասարության։ x 1-ի և −x 1-ի համար մենք ունենք, իսկ x 2-ի համար՝ ունենք: Թվային հավասարումների հատկությունները մեզ թույլ են տալիս կատարել իրական թվային հավասարումների տերմին առ անդամ հանում, ուստի հավասարումների համապատասխան մասերը հանելուց ստացվում է x 1 2 −x 2 2 = 0: Թվերով գործողությունների հատկությունները թույլ են տալիս վերաշարադրել ստացված հավասարությունը որպես (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0: Մենք գիտենք, որ երկու թվերի արտադրյալը զրո է, եթե և միայն եթե դրանցից գոնե մեկը զրո է։ Ուստի ստացված հավասարությունից բխում է, որ x 1 - x 2 = 0 և / կամ x 1 + x 2 = 0, որը նույնն է, x 2 = x 1 և / կամ x 2 = −x 1: Ահա թե ինչպես եկանք հակասության, քանի որ սկզբում ասում էինք, որ x 2 հավասարման արմատը տարբերվում է x 1-ից և −x 1-ից։ Սա ապացուցում է, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան և.

Եկեք ամփոփենք այս կետի տեղեկատվությունը. Թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + c = 0 համարժեք է այն հավասարմանը, որը

• արմատներ չունի, եթե,
• ունի երկու արմատ և, եթե.

Դիտարկենք a · x 2 + c = 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ:

Սկսենք 9 x 2 + 7 = 0 քառակուսային հավասարումից: Ազատ անդամը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելուց հետո այն կստանա 9 · x 2 = −7 ձև: Ստացված հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 9-ի` հասնում ենք. Քանի որ աջ կողմում բացասական թիվ կա, այս հավասարումը արմատներ չունի, հետևաբար, սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումը 9 · x 2 + 7 = 0 արմատներ չունի:

Լուծեք ևս մեկ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում −x 2 + 9 = 0: Տեղափոխեք ինը դեպի աջ՝ −x 2 = −9: Այժմ երկու կողմերը բաժանում ենք −1-ի, ստանում ենք x 2 = 9։ Աջ կողմում կա դրական թիվ, որից եզրակացնում ենք, որ կամ. Այնուհետև գրում ենք վերջնական պատասխանը՝ −x 2 + 9 = 0 թերի քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ x = 3 կամ x = −3:

a x 2 + b x = 0

Մնում է զբաղվել վերջին տեսակի թերի քառակուսի հավասարումների լուծումով c = 0-ի համար։ a x 2 + b x = 0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումները թույլ են տալիս լուծել ֆակտորացման մեթոդ... Ակնհայտ է, որ մենք կարող ենք, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում, որի համար բավական է գործակից հանել ընդհանուր x գործակիցը: Սա մեզ թույլ է տալիս սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումից անցնել x · (a · x + b) = 0 ձևի համարժեք հավասարման: Եվ այս հավասարումը համարժեք է x = 0 և a x + b = 0 երկու հավասարումների համակցությանը, որոնցից վերջինը գծային է և ունի x = −b / a արմատ:

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x = 0 ունի երկու արմատ x = 0 և x = −b / a:

Նյութը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք կոնկրետ օրինակի լուծումը:

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

x-ը փակագծերից դուրս հանելով՝ ստացվում է հավասարում. Այն համարժեք է երկու հավասարումների x = 0 և. Լուծում ենք ստացված գծային հավասարումը. և խառը թիվը սովորական կոտորակի վրա բաժանելուց հետո գտնում ենք. Հետևաբար, սկզբնական հավասարման արմատներն են x = 0 և.

Անհրաժեշտ պրակտիկա ստանալուց հետո նման հավասարումների լուծումները կարելի է հակիրճ գրել.

Պատասխան.

x = 0,.

Տարբերակիչ, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձեւը

Գոյություն ունի քառակուսի հավասարումների լուծման արմատային բանաձև. Եկեք գրենք քառակուսի բանաձեւ, որտեղ D = b 2 −4 a c- այսպես կոչված քառակուսային տարբերակիչ... Նշումն ըստ էության դա նշանակում է.

Օգտակար է իմանալ, թե ինչպես է ստացվել արմատային բանաձևը և ինչպես է այն կիրառվում քառակուսի հավասարումների արմատները գտնելիս: Եկեք պարզենք այն:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x + c = 0: Եկեք կատարենք մի քանի համարժեք փոխակերպումներ.

• Այս հավասարման երկու կողմերը կարող ենք բաժանել ոչ զրոյական a թվի, արդյունքում ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը։
• Հիմա ընտրեք ամբողջական քառակուսիիր ձախ կողմում. Դրանից հետո հավասարումը կվերցնի ձևը.
• Այս փուլում հնարավոր է վերջին երկու տերմինների փոխանցումը դեպի աջ կողմ հակառակ նշանով, ունենք։
• Եվ մենք նաև փոխակերպում ենք աջ կողմի արտահայտությունը.

Արդյունքում մենք գալիս ենք մի հավասարման, որը համարժեք է սկզբնական քառակուսային հավասարմանը a x 2 + b x + c = 0:

Մենք արդեն լուծել ենք ձևով նման հավասարումներ նախորդ պարբերություններում, երբ դրանք վերլուծել ենք: Սա թույլ է տալիս մեզ անել հետևյալ եզրակացությունները հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• եթե, ապա հավասարումը չունի իրական լուծումներ.
• եթե, ապա հավասարումը ունի ձև, հետևաբար, որտեղից նրա միակ արմատը տեսանելի է.
• եթե, ապա կամ, որը նույնն է կամ, այսինքն, հավասարումն ունի երկու արմատ.

Այսպիսով, հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը, հետևաբար՝ սկզբնական քառակուսային հավասարումը, կախված է աջ կողմի արտահայտության նշանից։ Իր հերթին այս արտահայտության նշանը որոշվում է համարիչի նշանով, քանի որ 4 · a 2 հայտարարը միշտ դրական է, այսինքն՝ b 2 −4 · a · c արտահայտության նշանը։ Այս b 2 −4 a c արտահայտությունը կոչվում էր քառակուսի հավասարման տարբերակիչև նշվում է տառով Դ... Այստեղից պարզ է դիսկրիմինանտի էությունը՝ իր արժեքով և նշանով եզրակացվում է, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ ունի, և եթե այո, ապա ո՞րն է դրանց թիվը՝ մեկ կամ երկու։

Վերադառնալով հավասարմանը, այն վերաշարադրեք՝ օգտագործելով տարբերակիչ նշումը. Եվ մենք հետևություններ ենք անում.

• եթե Դ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• եթե D = 0, ապա այս հավասարումն ունի մեկ արմատ.
• վերջապես, եթե D> 0, ապա հավասարումը ունի երկու արմատ կամ, որոնք ըստ ուժի կարող են վերաշարադրվել կամ ձևով և կոտորակները ընդլայնելուց և ընդհանուր հայտարարի հասցնելուց հետո ստանում ենք.

Այսպիսով, մենք ստացել ենք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևեր, դրանք ունեն այն ձևը, որտեղ դիսկրիմինանտ D-ը հաշվարկվում է D = b 2 −4 · a · c բանաձևով:

Նրանց օգնությամբ, դրական դիսկրիմինանտով, կարող եք հաշվարկել քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատները: Երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, երկու բանաձևերն էլ տալիս են նույն արմատային արժեքը, որը համապատասխանում է քառակուսի հավասարման եզակի լուծմանը: Եվ բացասական տարբերակիչով, երբ փորձում ենք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը, մենք բախվում ենք բացասական թվի քառակուսի արմատը հանելուն, ինչը մեզ դուրս է բերում դպրոցական ուսումնական ծրագրի շրջանակներից: Բացասական տարբերակիչով քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, բայց ունի զույգ բարդ կոնյուգատարմատներ, որոնք կարելի է գտնել մեր կողմից ստացված նույն արմատային բանաձևերով։

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Գործնականում քառակուսի հավասարումներ լուծելիս կարող եք անմիջապես օգտագործել արմատային բանաձևը, որով կարող եք հաշվարկել դրանց արժեքները։ Բայց սա ավելի շատ բարդ արմատներ գտնելու մասին է:

Այնուամենայնիվ, հանրահաշվի դպրոցական դասընթացում խոսքը սովորաբար ոչ թե բարդ, այլ քառակուսի հավասարման իրական արմատների մասին է: Այս դեպքում խորհուրդ է տրվում նախ գտնել դիսկրիմինատորը, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, համոզվեք, որ այն ոչ բացասական է (հակառակ դեպքում կարող ենք եզրակացնել, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), և միայն դրանից հետո: որոնք հաշվարկում են արմատների արժեքները:

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը մեզ թույլ է տալիս գրել քառակուսի հավասարումների լուծիչ... a x 2 + b x + c = 0 քառակուսային հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

• տարբերակիչ բանաձեւով D = b 2 −4 · a · c հաշվարկել դրա արժեքը;
• եզրակացնել, որ քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, եթե դիսկրիմինանտը բացասական է.
• հաշվարկել հավասարման միակ արմատը բանաձևով, եթե D = 0;
• Գտեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով արմատային բանաձևը, եթե դիսկրիմինանտը դրական է:

Այստեղ մենք պարզապես նշում ենք, որ եթե դիսկրիմինատորը հավասար է զրոյի, ապա կարող է օգտագործվել նաև բանաձևը, այն կտա նույն արժեքը, ինչ:

Դուք կարող եք անցնել քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմի օգտագործման օրինակներին:

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Դիտարկենք երեք քառակուսի հավասարումների լուծումներ՝ դրական, բացասական և զրո դիսկրիմինանտներով: Անդրադառնալով դրանց լուծմանը՝ անալոգիայի միջոցով հնարավոր կլինի լուծել ցանկացած այլ քառակուսի հավասարում: Եկ սկսենք.

Օրինակ.

Գտե՛ք x 2 + 2 x − 6 = 0 հավասարման արմատները։

Լուծում.

Այս դեպքում մենք ունենք քառակուսի հավասարման հետևյալ գործակիցները՝ a = 1, b = 2 և c = −6: Ըստ ալգորիթմի, նախ պետք է հաշվարկել դիսկրիմինանտը, դրա համար մենք նշված a, b և c-ն փոխարինում ենք տարբերակիչ բանաձևի մեջ, ունենք. D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Քանի որ 28> 0, այսինքն՝ դիսկրիմինանտը մեծ է զրոյից, ապա քառակուսի հավասարումն ունի երկու իրական արմատ։ Մենք դրանք գտնում ենք արմատային բանաձևի միջոցով, ստանում ենք, այստեղ կարող եք պարզեցնել անելով ստացված արտահայտությունները հաշվի առնելով արմատի նշանըկոտորակի հետագա կրճատմամբ.

Պատասխան.

Անցնենք հաջորդ բնորոշ օրինակին.

Օրինակ.

Լուծե՛ք −4x2 + 28x − 49 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Լուծում.

Մենք սկսում ենք տարբերակիչ գտնելով. D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ, որը մենք գտնում ենք որպես, այսինքն.

Պատասխան.

x = 3,5.

Մնում է դիտարկել քառակուսի հավասարումների լուծումը բացասական դիսկրիմինանտով։

Օրինակ.

Լուծե՛ք 5 y 2 + 6 y + 2 = 0 հավասարումը։

Լուծում.

Ահա քառակուսի հավասարման գործակիցները՝ a = 5, b = 6 և c = 2: Փոխարինելով այս արժեքները տարբերակիչ բանաձևի մեջ՝ մենք ունենք D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Տարբերիչը բացասական է, հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Եթե ​​անհրաժեշտ է նշել բարդ արմատներ, ապա մենք կիրառում ենք քառակուսի հավասարման արմատների հայտնի բանաձևը և կատարում ենք. բարդ թվերի գործողություններ:

Պատասխան.

իրական արմատներ չկան, բարդ արմատները հետևյալն են.

Եվս մեկ անգամ նշում ենք, որ եթե քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա դպրոցում սովորաբար անմիջապես գրում են պատասխանը, որում նշում են, որ իրական արմատներ չկան և բարդ արմատներ չեն գտնում։

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևը, որտեղ D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5): Եկեք հանենք այն:

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք a x 2 + 2 n x + c = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը: Եկեք գտնենք դրա արմատները՝ օգտագործելով մեզ հայտնի բանաձեւը. Դա անելու համար հաշվարկեք դիսկրիմինատորը D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), և այնուհետև մենք օգտագործում ենք արմատների բանաձևը.

n 2 - a · c արտահայտությունը նշանակենք որպես D 1 (երբեմն այն նշվում է D "-ով):Այնուհետև դիտարկված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 n գործակցով ստանում է ձև. , որտեղ D 1 = n 2 - a · c.

Հեշտ է տեսնել, որ D = 4 · D 1, կամ D 1 = D / 4: Այսինքն Դ 1-ը խտրականի չորրորդ մասն է։ Հասկանալի է, որ Դ 1-ի նշանը նույնն է, ինչ Դ-ի նշանը։ Այսինքն՝ D 1 նշանը նաև քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ է։

Այսպիսով, երկրորդ 2 n գործակցով քառակուսի հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է

• Հաշվել D 1 = n 2 −a · c;
• Եթե ​​D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Եթե ​​D 1 = 0, ապա հաշվարկեք հավասարման միակ արմատը բանաձևով.
• Եթե ​​D 1> 0, ապա բանաձևով գտե՛ք երկու իրական արմատ.

Մտածեք այս պարբերությունում ստացված արմատային բանաձևի միջոցով օրինակ լուծել:

Օրինակ.

Լուծե՛ք 5x2 −6x − 32 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Լուծում.

Այս հավասարման երկրորդ գործակիցը կարող է ներկայացվել որպես 2 · (−3): Այսինքն, դուք կարող եք վերաշարադրել բնօրինակ քառակուսային հավասարումը 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0 ձևով, այստեղ a = 5, n = −3 և c = −32, և հաշվարկել չորրորդ մասը։ տարբերակիչ: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Քանի որ դրա արժեքը դրական է, հավասարումը ունի երկու իրական արմատ: Եկեք գտնենք դրանք՝ օգտագործելով համապատասխան արմատային բանաձևը.

Նկատի ունեցեք, որ հնարավոր էր օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, սակայն այս դեպքում ավելի շատ հաշվողական աշխատանք պետք է կատարվեր:

Պատասխան.

Քառակուսային հավասարումների տեսակետի պարզեցում

Երբեմն, նախքան բանաձևերով քառակուսի հավասարման արմատների հաշվարկը սկսելը, չի խանգարում տալ հարցը. «Հնարավո՞ր է պարզեցնել այս հավասարման ձևը»: Համաձայնեք, որ հաշվարկների առումով ավելի հեշտ կլինի լուծել 11 · x 2 −4 · x − 6 = 0 քառակուսի հավասարումը, քան 1100 · x 2 −400 · x − 600 = 0։

Սովորաբար, քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումը կատարվում է դրա երկու մասերը որոշ թվով բազմապատկելով կամ բաժանելով: Օրինակ՝ նախորդ պարբերությունում մեզ հաջողվեց պարզեցնել 1100x2 −400x − 600 = 0 հավասարումը երկու կողմերը 100-ի բաժանելով։

Նմանատիպ փոխակերպումն իրականացվում է քառակուսի հավասարումներով, որոնց գործակիցները չեն։ Այս դեպքում հավասարման երկու կողմերը սովորաբար բաժանվում են նրա գործակիցների բացարձակ արժեքներով: Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 −42 x + 48 = 0։ նրա գործակիցների բացարձակ արժեքները՝ GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6: Նախնական քառակուսի հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 6-ի, մենք հասնում ենք համարժեք քառակուսային հավասարմանը 2 x 2 −7 x + 8 = 0։

Իսկ քառակուսի հավասարման երկու կողմերի բազմապատկումը սովորաբար կատարվում է կոտորակային գործակիցներից ազատվելու համար։ Այս դեպքում բազմապատկումն իրականացվում է նրա գործակիցների հայտարարներով։ Օրինակ, եթե քառակուսի հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն LCM (6, 3, 1) = 6-ով, ապա այն ավելի պարզ ձև կստանա x 2 + 4 x − 18 = 0:

Եզրափակելով այս պարբերությունը՝ մենք նշում ենք, որ մենք գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման առաջատար գործակցի մինուսից՝ փոխելով բոլոր անդամների նշանները, ինչը համապատասխանում է երկու մասերը −1-ով բազմապատկելու (կամ բաժանելուն): Օրինակ, սովորաբար −2x2 −3x + 7 = 0 քառակուսի հավասարումից անցնում ենք 2x2 + 3x − 7 = 0 լուծումը։

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների կապը

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևն արտահայտում է հավասարման արմատները նրա գործակիցներով: Արմատային բանաձևի հիման վրա դուք կարող եք ստանալ այլ կախվածություններ արմատների և գործակիցների միջև:

Ամենահայտնի և կիրառելի բանաձևերը Վիետայի ձևի թեորեմից են և. Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Օրինակ՝ 3 x 2 −7 x + 22 = 0 քառակուսի հավասարման ձևով կարելի է անմիջապես ասել, որ նրա արմատների գումարը 7/3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22/3։

Օգտագործելով արդեն գրված բանաձեւերը՝ կարող եք ստանալ մի շարք այլ հարաբերություններ արմատների և քառակուսի հավասարման գործակիցների միջև։ Օրինակ՝ քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող եք արտահայտել նրա գործակիցների միջոցով.

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:ուսումնասիրություն. համար 8 cl. հանրակրթական. հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008 .-- 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Ա.Գ.ՄորդկովիչՀանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա.Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., Ջնջված: - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p.: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ։

Քառակուսային հավասարումներ հաճախ են առաջանում ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի տարբեր խնդիրներ լուծելիս։ Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես կարելի է լուծել այս հավասարությունները համընդհանուր ձևով «խտրականի միջոցով»: Հոդվածում բերված են նաև ձեռք բերված գիտելիքների օգտագործման օրինակներ։

Ի՞նչ հավասարումների մասին է խոսքը։

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս մի բանաձև, որում x-ը անհայտ փոփոխական է, իսկ լատիներեն a, b, c նշանները ներկայացնում են որոշ հայտնի թվեր:

Այս նշաններից յուրաքանչյուրը կոչվում է գործակից: Ինչպես տեսնում եք, «a» թիվը գտնվում է x քառակուսի փոփոխականի դիմաց: Սա ներկայացված արտահայտության առավելագույն հզորությունն է, ինչի պատճառով այն կոչվում է քառակուսի հավասարում։ Հաճախ օգտագործվում է նրա մյուս անվանումը՝ երկրորդ կարգի հավասարում։ a-ի արժեքը ինքնին քառակուսի գործակիցն է (նշանակում է քառակուսի փոփոխականին), b-ն գծային գործակիցն է (այն գտնվում է առաջին աստիճանի բարձրացված փոփոխականի կողքին), և վերջապես, c թիվը ազատ անդամն է։

Նկատի ունեցեք, որ վերևի նկարում ներկայացված հավասարման ձևը սովորական դասական քառակուսի արտահայտություն է: Բացի դրանից, կան նաև երկրորդ կարգի այլ հավասարումներ, որոնցում b, c գործակիցները կարող են զրո լինել։

Երբ խնդիրը դրված է դիտարկվող հավասարությունը լուծելու համար, դա նշանակում է, որ պետք է գտնել x փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, որոնք կբավարարեն այն: Այստեղ առաջինը պետք է հիշել հետևյալը. քանի որ x-ի առավելագույն աստիճանը 2 է, այս տեսակի արտահայտությունը չի կարող ունենալ 2-ից ավելի լուծում։ Սա նշանակում է, որ եթե հավասարումը լուծելիս գտնվել են x-ի 2 արժեքներ, որոնք բավարարում են դրան, ապա կարող ենք վստահ լինել, որ չկա երրորդ թիվ, որը փոխարինելով x-ի փոխարեն, հավասարությունը նույնպես ճիշտ կլիներ։ Մաթեմատիկայում հավասարումների լուծումները կոչվում են արմատներ:

Երկրորդ կարգի հավասարումների լուծման մեթոդներ

Այս տիպի հավասարումների լուծումը պահանջում է դրանց վերաբերյալ որոշ տեսության իմացություն: Դպրոցական հանրահաշիվ դասընթացում դիտարկվում են լուծման 4 տարբեր եղանակներ. Թվարկենք դրանք.

• օգտագործելով ֆակտորիզացիա;
• օգտագործելով բանաձևը լրիվ քառակուսու համար;
• կիրառելով համապատասխան քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը;
• օգտագործելով տարբերակիչ հավասարումը:

Առաջին մեթոդի առավելությունը կայանում է նրա պարզության մեջ, սակայն այն չի կարող կիրառվել բոլոր հավասարումների վրա: Երկրորդ մեթոդը ունիվերսալ է, բայց որոշ չափով ծանրաբեռնված: Երրորդ մեթոդն աչքի է ընկնում իր պարզությամբ, բայց միշտ չէ, որ հարմար է և կիրառելի։ Եվ, վերջապես, դիսկրիմինանտ հավասարման օգտագործումը ունիվերսալ և բավականին պարզ միջոց է բացարձակապես ցանկացած երկրորդ կարգի հավասարման արմատները գտնելու համար: Հետևաբար, հոդվածում մենք միայն կքննարկենք այն:

Հավասարման արմատները ստանալու բանաձևը

Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման ընդհանուր ձևին. Եկեք գրենք այն՝ a * x² + b * x + c = 0: Մինչև «խտրականի միջոցով» լուծելու մեթոդը կիրառելը, հավասարությունը միշտ պետք է հասցվի գրավոր ձևի։ Այսինքն, այն պետք է բաղկացած լինի երեք անդամից (կամ պակաս, եթե b կամ c-ն 0 է):

Օրինակ, եթե կա արտահայտություն. նույն լիազորությունները.

Այս դեպքում այս գործողությունը կհանգեցնի հետևյալ արտահայտությանը. հավասարության աջ կողմերը -1) ...

Վերոնշյալ օրինակում a = 6, b = 4, c = -8: Նկատի ունեցեք, որ դիտարկվող հավասարության բոլոր պայմանները միշտ գումարվում են իրար մեջ, ուստի եթե հայտնվում է «-» նշանը, նշանակում է, որ համապատասխան գործակիցը բացասական է, ինչպես և c թիվը այս դեպքում։

Այս կետը ուսումնասիրելուց հետո մենք այժմ դիմում ենք հենց այն բանաձևին, որը հնարավորություն է տալիս ստանալ քառակուսի հավասարման արմատները: Այն ունի ստորև ներկայացված լուսանկարում ներկայացված ձևը:

Ինչպես տեսնում եք այս արտահայտությունից, այն թույլ է տալիս ստանալ երկու արմատ (պետք է ուշադրություն դարձնել «±» նշանին): Դա անելու համար բավական է դրա մեջ փոխարինել b, c և a գործակիցները:

Խտրական հայեցակարգ

Նախորդ պարբերությունում տրվեց բանաձև, որը թույլ է տալիս արագ լուծել երկրորդ կարգի ցանկացած հավասարում։ Դրանում արմատական ​​արտահայտությունը կոչվում է դիսկրիմինանտ, այսինքն՝ D = b²-4 * a * c:

Ինչու՞ է ընդգծված բանաձևի այս մասը, և այն նույնիսկ ունի իր անունը: Փաստն այն է, որ դիսկրիմինանտը միացնում է հավասարման բոլոր երեք գործակիցները մեկ արտահայտության մեջ։ Վերջին փաստը նշանակում է, որ այն ամբողջությամբ պարունակում է տեղեկատվություն արմատների մասին, որը կարող է արտահայտվել հետևյալ ցանկում.

1. D> 0. հավասարությունն ունի 2 տարբեր լուծում, երկուսն էլ իրական թվեր են:
2. D = 0: Հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ և իրական թիվ է:

Խտրականության որոշման խնդիրը

Բերենք մի պարզ օրինակ, թե ինչպես կարելի է գտնել դիսկրիմինատորը: Թող տրվի հետևյալ հավասարությունը՝ 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7:

Մենք այն բերում ենք ստանդարտ ձևի, ստանում ենք՝ (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, որտեղից մենք հասնում ենք հավասարությանը -2 * x² + 2 * x-11 = 0: Այստեղ a = -2, b = 2, c = -11:

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել անվանված բանաձևը տարբերակիչի համար. D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84: Ստացված թիվը առաջադրանքի պատասխանն է: Քանի որ օրինակում դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, ապա կարող ենք ասել, որ այս քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի: Նրա լուծումը կլինեն միայն բարդ թվերը։

Անհավասարության օրինակ խտրականի միջոցով

Եկեք լուծենք մի փոքր այլ տեսակի խնդիրներ. հաշվի առնելով հավասարությունը -3 * x²-6 * x + c = 0: Անհրաժեշտ է գտնել c-ի այնպիսի արժեքներ, որոնց համար D> 0:

Այս դեպքում 3 գործակիցներից միայն 2-ն է հայտնի, ուստի դիսկրիմինանտի ճշգրիտ արժեքը հնարավոր չի լինի հաշվարկել, սակայն հայտնի է, որ այն դրական է։ Անհավասարությունը կազմելիս օգտագործում ենք վերջին փաստը՝ D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0: Ստացված անհավասարության լուծումը հանգեցնում է արդյունքի՝ c> -3.

Ստուգենք ստացված համարը։ Դա անելու համար հաշվարկեք D 2 դեպքի համար՝ c = -2 և c = -4: -2 թիվը բավարարում է ստացված արդյունքին (-2> -3), համապատասխան դիսկրիմինատորը կունենա D = 12> 0 արժեքը։ Իր հերթին, -4 թիվը չի բավարարում անհավասարությանը (-4 Այսպիսով, ցանկացած c թվեր, որոնք մեծ են -3-ից, կբավարարեն պայմանը.

Հավասարման լուծման օրինակ

Ներկայացնենք մի խնդիր, որը բաղկացած է ոչ միայն դիսկրիմինատորը գտնելուց, այլև հավասարումը լուծելուց։ Պետք է գտնել -2 * x² + 7-9 * x = 0 հավասարության արմատները:

Այս օրինակում դիսկրիմինատորը հավասար է հետևյալ արժեքին. D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137: Այնուհետև հավասարման արմատները սահմանվում են հետևյալ կերպ. x = (9 ± √137) / (- 4). Սրանք արմատների ճշգրիտ արժեքներն են, եթե հաշվարկում եք մոտավոր արմատը, ապա ստանում եք թվերը՝ x = -5.176 և x = 0.676:

Երկրաչափական խնդիր

Եկեք լուծենք մի խնդիր, որը կպահանջի ոչ միայն դիսկրիմինանտը հաշվարկելու կարողություն, այլ նաև վերացական մտածողության հմտությունների կիրառում և քառակուսի հավասարումներ կազմելու իմացություն։

Բոբն ուներ 5 x ​​4 մետր վերմակ։ Տղան ցանկանում էր պարագծի շուրջը կարել գեղեցիկ գործվածքի շարունակական շերտ: Որքան հաստ կլինի այս շերտը, եթե հայտնի է, որ Բոբն ունի 10 մ² գործվածք:

Թող շերտի հաստությունը xm լինի, ապա վերմակի երկար կողմի երկայնքով գործվածքի մակերեսը կլինի (5 + 2 * x) * x, և քանի որ կա 2 երկար կողմ, մենք ունենք՝ 2 * x: * (5 + 2 * x): Կարճ կողմում կարված գործվածքի մակերեսը կլինի 4 * x, քանի որ այս կողմերից 2-ն է, մենք ստանում ենք 8 * x արժեքը: Նկատի ունեցեք, որ երկար կողմին ավելացվել է 2 * x, քանի որ վերմակի երկարությունը մեծացել է այդ թվով: Վերմակին կարված գործվածքի ընդհանուր մակերեսը 10 մ² է։ Հետևաբար, մենք ստանում ենք հավասարություն՝ 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0:

Այս օրինակի համար տարբերակիչը հետևյալն է. 4) = (- 5; 0,5): Ակնհայտորեն, երկու արմատներից միայն 0.5 թիվը հարմար է խնդրի հայտարարությանը:

Այսպիսով, գործվածքի շերտը, որը Բոբը կկարի իր վերմակին, կունենա 50 սմ լայնություն։

Եկեք աշխատենք հետ քառակուսի հավասարումներ... Սրանք շատ տարածված հավասարումներ են: Իր ամենաընդհանուր ձևով քառակուսի հավասարումն այսպիսի տեսք ունի.

Օրինակ:

Այստեղ ա =1; բ = 3; գ = -4

Այստեղ ա =2; բ = -0,5; գ = 2,2

Այստեղ ա =-3; բ = 6; գ = -18

Դե, դուք հասկացաք ...

Ինչպե՞ս լուծել քառակուսի հավասարումներ:Եթե ​​դուք ունեք քառակուսի հավասարում այս ձևով, ապա ամեն ինչ արդեն պարզ է: Հիշելով կախարդական բառը խտրական ... Ավագ դպրոցի հազվագյուտ աշակերտ այս բառը չի լսել: «Որոշել խտրականի միջոցով» արտահայտությունը հուսադրող և հուսադրող է: Որովհետև խտրականի կողմից կեղտոտ հնարքների սպասել պետք չէ։ Այն պարզ է և անփորձանք օգտագործելու համար: Այսպիսով, քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

Արմատային նշանի տակ արտահայտությունը նույնն է խտրական... Ինչպես տեսնում եք, x-ը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք միայն a, b և c... Նրանք. գործակիցները քառակուսի հավասարումից. Պարզապես զգուշորեն փոխարինեք արժեքները ա, բ և գայս բանաձևի մեջ և հաշվել: Փոխարինող ձեր նշաններով! Օրինակ, առաջին հավասարման համար ա =1; բ = 3; գ= -4. Այսպիսով, մենք գրում ենք.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

Այսքանը:

Ի՞նչ դեպքեր են հնարավոր այս բանաձևն օգտագործելիս: Միայն երեք դեպք կա.

1. Խտրականը դրական է. Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք արմատը հանել դրանից: Լավ արմատը արդյունահանվում է, կամ վատը `այլ հարց: Կարեւոր է, թե ինչ է արդյունահանվում սկզբունքորեն։ Այսպիսով, ձեր քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի: Երկու տարբեր լուծումներ.

2. Խտրականը զրո է։ Ապա դուք ունեք մեկ լուծում. Խիստ ասած, սա ոչ թե մեկ արմատ է, այլ երկու նույնական... Բայց սա դեր է խաղում անհավասարությունների մեջ, այնտեղ ավելի մանրամասն կուսումնասիրենք հարցը։

3. Խտրականը բացասական է. Բացասական թվից քառակուսի արմատ չի հանվում: Դե, լավ: Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Ամեն ինչ շատ պարզ է. Իսկ ի՞նչը, ըստ Ձեզ, անհնար է սխալվել։ Դե, այո, ինչպես ...
Ամենատարածված սխալները իմաստային նշանների հետ շփոթությունն են: ա, բ և գ... Ավելի շուտ, ոչ թե իրենց նշաններով (որտե՞ղ շփոթել), այլ արմատները հաշվարկելու բանաձևում բացասական արժեքների փոխարինմամբ: Այստեղ պահվում է բանաձևի մանրամասն նշումը հատուկ թվերով: Եթե ​​կան հաշվողական խնդիրներ, դա արեք!

Ենթադրենք, որ դուք պետք է լուծեք այս օրինակը.

Այստեղ a = -6; b = -5; c = -1

Ենթադրենք, դուք գիտեք, որ հազվադեպ եք պատասխաններ ստանում առաջին անգամ:

Դե, մի ծուլացեք: Լրացուցիչ տող գրելու համար կպահանջվի 30 վայրկյան Եվ սխալների քանակը կտրուկ կնվազի... Այսպիսով, մենք մանրամասն գրում ենք բոլոր փակագծերով և նշաններով.

Թվում է, թե աներևակայելի դժվար է այդքան ուշադիր նկարել: Բայց դա միայն թվում է. Փորձիր. Դե, կամ ընտրեք: Ո՞րն է ավելի լավ, արագ, թե ճիշտ: Բացի այդ, ես ձեզ կուրախացնեմ։ Որոշ ժամանակ անց ամեն ինչ այդքան խնամքով նկարելու կարիք չի լինի։ Դա ինքնին կստացվի։ Հատկապես, եթե դուք օգտագործում եք ստորև նկարագրված գործնական տեխնիկան: Այս չար օրինակը մի շարք թերություններով կարելի է լուծել հեշտությամբ և առանց սխալների:

Այսպիսով, ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներխտրականի միջոցով հիշեցինք. Կամ սովորել, ինչը նույնպես վատ չէ։ Իմացեք, թե ինչպես ճիշտ ճանաչել ա, բ և գ... Դուք գիտեք, թե ինչպես ուշադիրփոխարինել դրանք արմատային բանաձևով և ուշադիրկարդացեք արդյունքը. Դուք հասկանում եք, որ հիմնական բառն այստեղ է ուշադիր?

Այնուամենայնիվ, քառակուսի հավասարումները հաճախ մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

այն թերի քառակուսի հավասարումներ ... Դրանք կարող են լուծվել նաև խտրականի միջոցով։ Պարզապես պետք է ճիշտ պարզել, թե դրանք ինչի են հավասար ա, բ և գ.

Դուք հասկացե՞լ եք դա: Առաջին օրինակում a = 1; b = -4;ա գ? Նա ընդհանրապես այնտեղ չէ: Դե, այո, այդպես է: Մաթեմատիկայի մեջ սա նշանակում է, որ c = 0 ! Այսքանը: Բանաձևում փոխարինեք զրո փոխարեն գ,և մենք հաջողության կհասնենք: Նույնը երկրորդ օրինակի դեպքում. Միայն զրո մենք այստեղ չունենք հետ, ա բ !

Բայց թերի քառակուսի հավասարումները շատ ավելի հեշտ են լուծվում։ Առանց որևէ խտրականության։ Դիտարկենք առաջին թերի հավասարումը: Ի՞նչ կարող ես անել այնտեղ ձախ կողմում: Դուք կարող եք x-ը փակագծերից դուրս դնել: Եկեք հանենք այն:

Իսկ ի՞նչ: Եվ այն փաստը, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից որևէ մեկը հավասար է զրոյի: Չե՞ք հավատում ինձ: Դե, ապա մտածեք երկու ոչ զրոյական թվերի մասին, որոնք, երբ բազմապատկվեն, կտան զրո:
Չի աշխատում? վերջ...
Այսպիսով, մենք կարող ենք վստահորեն գրել. x = 0, կամ x = 4

Ամեն ինչ. Սրանք կլինեն մեր հավասարման արմատները: Երկուսն էլ տեղավորվում են: Նրանցից որևէ մեկը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք ճիշտ նույնականությունը 0 = 0: Ինչպես տեսնում եք, լուծումը շատ ավելի պարզ է, քան դիսկրիմինանտի միջոցով:

Երկրորդ հավասարումը նույնպես կարելի է պարզ լուծել. Տեղափոխեք 9-ը աջ կողմ: Մենք ստանում ենք.

Մնում է արմատը հանել 9-ից, և վերջ։ Կստացվի.

Նաև երկու արմատ ... x = +3 և x = -3.

Այսպես են լուծվում բոլոր թերի քառակուսի հավասարումները։ Կա՛մ x-ը փակագծերում դնելով, կա՛մ պարզապես թիվը տեղափոխելով աջ, ապա հանելով արմատը:
Չափազանց դժվար է շփոթել այս տեխնիկան: Պարզապես այն պատճառով, որ առաջին դեպքում պետք է արմատը հանել x-ից, ինչը ինչ-որ կերպ անհասկանալի է, իսկ երկրորդ դեպքում փակագծերից դուրս հանելու բան չկա…

Առայժմ հաշվի առեք լավագույն փորձը, որը կտրուկ կնվազեցնի սխալները: Հենց նրանք, որոնք անուշադրության պատճառով են... Որի համար հետո ցավում և վիրավորում է...

Առաջին ընդունելություն... Նախքան քառակուսի հավասարումը լուծելը, մի ծուլացեք այն հասցնել ստանդարտ ձևի: Ինչ է սա նշանակում?
Ենթադրենք, որոշ փոխակերպումներից հետո ստացաք հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատային բանաձևը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունները: ա, բ և գ.Ճիշտ կառուցիր օրինակը։ Սկզբում X-ը քառակուսի է, հետո առանց քառակուսու, հետո ազատ անդամը: Սրա նման:

Եվ կրկին, մի շտապեք: Քառակուսիում x-ի դիմաց մինուսը կարող է ձեզ իսկապես տխրեցնել: Հեշտ է մոռանալ դա ... Ազատվեք մինուսից: Ինչպե՞ս: Այո, ինչպես ուսուցանվեց նախորդ թեմայում: Դուք պետք է բազմապատկեք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Բայց հիմա դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձեւը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և լրացնել օրինակը: Ինքդ արա. Դուք պետք է ունենաք 2 և -1 արմատներ:

Երկրորդի ընդունելություն.Ստուգեք արմատները: Վիետայի թեորեմով. Մի անհանգստացեք, ես ամեն ինչ կբացատրեմ: Ստուգում վերջին բանըհավասարումը։ Նրանք. այն, որով մենք գրեցինք արմատների բանաձեւը: Եթե ​​(ինչպես այս օրինակում) գործակիցը a = 1, արմատները ստուգելը հեշտ է։ Բավական է դրանք բազմապատկել։ Դուք պետք է անվճար անդամ ստանաք, այսինքն. մեր դեպքում՝ -2։ Ուշադրություն դարձրեք, ոչ թե 2, այլ -2: Անվճար անդամ իմ նշանով ... Եթե ​​դա չաշխատեց, ուրեմն արդեն ինչ-որ տեղ խեղված է: Փնտրեք սխալ: Եթե ​​ստացվի, պետք է արմատները ծալել։ Վերջին և վերջնական ստուգում. Դուք պետք է ստանաք գործակից բհետ հակառակը ծանոթ. Մեր դեպքում -1 + 2 = +1: Իսկ գործակիցը բորը x-ից առաջ է -1: Այսպիսով, ամեն ինչ ճիշտ է:
Ափսոս, որ սա այդքան պարզ է միայն օրինակների համար, որտեղ x քառակուսին մաքուր է, գործակիցով. a = 1.Բայց գոնե նման հավասարումների դեպքում ստուգե՛ք։ Սխալներն ավելի քիչ կլինեն։

Ընդունելություն երրորդ... Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկեք հավասարումը ընդհանուր հայտարարով, ինչպես նկարագրված է նախորդ բաժնում: Կոտորակների հետ աշխատելիս, չգիտես ինչու, սխալները սովորաբար հայտնվում են ...

Ի դեպ, ես խոստացել եմ պարզեցնել չար օրինակը մի փունջ մինուսներով։ Խնդրում եմ։ Ահա այն.

Մինուսների մեջ չշփոթվելու համար հավասարումը բազմապատկում ենք -1-ով։ Մենք ստանում ենք.

Այսքանը: Հաճելի է որոշել:

Այսպիսով, թեման ամփոփելու համար.

Գործնական խորհուրդներ.

1. Մինչ լուծելը քառակուսային հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի, կառուցում ճիշտ.

2. Եթե քառակուսիում x-ի դիմաց բացասական գործակից կա, այն վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով -1-ով:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը համապատասխան գործակցով բազմապատկելով։

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, ապա դրա գործակիցը հավասար է մեկի, լուծումը հեշտությամբ կարելի է ստուգել Վիետայի թեորեմով։ Արա!

Կոտորակային հավասարումներ. ՕՁ.

Մենք շարունակում ենք յուրացնել հավասարումները։ Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես աշխատել գծային և քառակուսի հավասարումների հետ: Մնում է վերջին հայացքը. կոտորակային հավասարումներ... Կամ դրանք նաև շատ ավելի ամուր են կոչվում. կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ... Սա նույնն է.

Կոտորակային հավասարումներ.

Ինչպես ենթադրում է անունից, կոտորակները միշտ առկա են այս հավասարումների մեջ: Բայց ոչ միայն կոտորակներ, այլ կոտորակներ, որոնք ունեն հայտարարով անհայտ... Գոնե մեկը. Օրինակ:

Հիշեցնեմ, որ եթե հայտարարները պարունակում են միայն թվերը, սրանք գծային հավասարումներ են։

Ինչպես լուծել կոտորակային հավասարումներ? Նախ ազատվե՛ք կոտորակներից։ Դրանից հետո հավասարումը, ամենից հաճախ, վերածվում է գծային կամ քառակուսի։ Եվ հետո մենք գիտենք, թե ինչ անել... Որոշ դեպքերում այն ​​կարող է վերածվել ինքնության, օրինակ՝ 5 = 5, կամ սխալ արտահայտության, օրինակ՝ 7 = 2: Բայց դա հազվադեպ է պատահում: Սա կնշեմ ստորև։

Բայց ինչպե՞ս ազատվել կոտորակներից: Շատ պարզ. Կիրառելով բոլոր նույն նույնական փոխակերպումները:

Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը նույն արտահայտությամբ։ Որպեսզի բոլոր հայտարարները կրճատվեն: Ամեն ինչ միանգամից կհեշտանա։ Բացատրեմ օրինակով. Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հավասարումը.

Ինչպե՞ս եք դասավանդել ցածր դասարաններում: Մենք ամեն ինչ տեղափոխում ենք մեկ ուղղությամբ, բերում ենք ընդհանուր հայտարարի և այլն։ Մոռացիր դա վատ երազի պես: Սա պետք է արվի, երբ ավելացնում կամ հանում եք կոտորակային արտահայտություններ: Կամ աշխատել անհավասարությունների հետ: Եվ հավասարումների մեջ մենք երկու կողմերն էլ անմիջապես բազմապատկում ենք մի արտահայտությամբ, որը մեզ հնարավորություն կտա կրճատել բոլոր հայտարարները (այսինքն, ըստ էության, ընդհանուր հայտարարով): Իսկ ի՞նչ է այս արտահայտությունը։

Ձախ կողմում՝ բազմապատկելով x + 2... Իսկ աջ կողմում պահանջվում է բազմապատկել 2-ով, հետևաբար, հավասարումը պետք է բազմապատկվի 2 (x + 2)... Մենք բազմապատկում ենք.

Սա կոտորակների սովորական բազմապատկումն է, բայց ես այն մանրամասն կգրեմ.

Ուշադրություն դարձրեք, որ փակագծերը դեռ չեմ ընդլայնում։ (x + 2)! Այսպիսով, ես ամբողջությամբ գրում եմ.

Ձախ կողմում այն ​​ամբողջությամբ կրճատվել է (x + 2), իսկ աջում 2. Որը պահանջվում է։ Կրճատումից հետո մենք ստանում ենք գծայինհավասարումը:

Եվ բոլորը կլուծեն այս հավասարումը: x = 2.

Եկեք լուծենք ևս մեկ օրինակ, մի փոքր ավելի բարդ.

Եթե ​​հիշենք, որ 3 = 3/1, և 2x = 2x / 1, կարող եք գրել.

Եվ կրկին մենք ազատվում ենք այն ամենից, ինչը մեզ իրականում դուր չի գալիս՝ կոտորակներից:

Մենք տեսնում ենք, որ x-ով հայտարարը չեղարկելու համար պետք է կոտորակը բազմապատկել (x - 2)... Մի քանիսը մեզ խանգարում են։ Դե, մենք բազմապատկվում ենք: Ամբողջըձախ կողմը և ամբողջըաջ կողմ:

Կրկին փակագծեր (x - 2)Չեմ բացահայտում։ Ես աշխատում եմ փակագծով որպես ամբողջություն, կարծես մեկ թիվ լինի։ Դա միշտ պետք է արվի, այլապես ոչինչ չի կրճատվի։

Խորը բավարարվածության զգացումով կտրեցինք (x - 2)և մենք ստանում ենք հավասարումը առանց կոտորակների, քանոնով։

Եվ հիմա մենք բացում ենք փակագծերը.

Մենք տալիս ենք նմանատիպերը, ամեն ինչ տեղափոխում ենք ձախ կողմը և ստանում.

Դասական քառակուսի հավասարում. Բայց առջեւում մինուսը լավ չէ։ Դուք միշտ կարող եք ազատվել դրանից՝ բազմապատկելով կամ բաժանելով -1-ով: Բայց եթե ուշադիր նայեք օրինակին, կնկատեք, որ ավելի լավ է այս հավասարումը բաժանել -2-ի: Մի հարվածով մինուսը կվերանա, իսկ հավանականությունը կդառնա ավելի գեղեցիկ: Բաժանել -2-ի: Ձախ կողմում` տերմին առ անդամ, իսկ աջ կողմում` պարզապես զրոն բաժանեք -2-ի, զրո և ստացեք.

Մենք լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով և ստուգում Վիետայի թեորեմով։ Մենք ստանում ենք x = 1 և x = 3... Երկու արմատ.

Ինչպես տեսնում եք, առաջին դեպքում փոխակերպումից հետո հավասարումը դարձավ գծային, բայց այստեղ այն քառակուսի է։ Պատահում է, որ կոտորակներից ազատվելուց հետո բոլոր քսերը կրճատվում են։ Մնում է 5 = 5-ի նման մի բան: Դա նշանակում է որ x-ը կարող է լինել ամեն ինչ... Ինչ էլ որ լինի, միեւնույն է, կփոքրանա։ Եվ դուք ստանում եք ազնիվ ճշմարտություն, 5 = 5: Բայց, կոտորակներից ազատվելուց հետո, կարող է պարզվել, որ այն լիովին չի համապատասխանում իրականությանը, ինչպես 2 = 7: Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան! Ցանկացած x-ի դեպքում պարզվում է, որ այն չի համապատասխանում իրականությանը:

Իրականացվեց հիմնական լուծումը կոտորակային հավասարումներ? Դա պարզ է և տրամաբանական։ Մենք փոխում ենք սկզբնական արտահայտությունը, որպեսզի այն, ինչ մեզ դուր չի գալիս, վերանա։ Կամ խանգարում է. Այս դեպքում սրանք կոտորակներ են։ Մենք նույնը կանենք լոգարիթմներով, սինուսներով և այլ սարսափներով բոլոր տեսակի բարդ օրինակներով: Մենք միշտմենք այս ամենից կազատվենք.

Այնուամենայնիվ, մենք պետք է փոխենք բնօրինակ արտահայտությունը մեզ անհրաժեշտ ուղղությամբ: կանոնների համաձայն, այո ... Վարպետություն, որը մաթեմատիկայի քննությանը նախապատրաստվելն է։ Այսպիսով, մենք տիրապետում ենք դրան:

Այժմ մենք կսովորենք, թե ինչպես շրջանցել դրանցից մեկը հիմնական որոգայթները քննության վրա! Բայց նախ տեսնենք՝ կմտնե՞ս դրա մեջ, թե՞ ոչ։

Դիտարկենք մի պարզ օրինակ.

Գործն արդեն ծանոթ է, երկու մասերն էլ բազմապատկում ենք (x - 2), ստանում ենք.

Հիշեցնում եմ՝ փակագծերով (x - 2)մենք աշխատում ենք այնպես, ինչպես մեկ ամբողջ արտահայտությամբ:

Այստեղ ես այլեւս 1 չեմ գրել հայտարարների մեջ, դա անարժանապատիվ է ... Իսկ հայտարարների մեջ փակագծեր չեմ նկարել, բացառությամբ. x - 2ոչինչ չկա, պետք չէ նկարել։ Մենք կրճատում ենք.

Մենք բացում ենք փակագծերը, ամեն ինչ տեղափոխում ենք ձախ, տալիս ենք նմանատիպերը.

Լուծում ենք, ստուգում ենք, երկու արմատ ենք ստանում։ x = 2և x = 3... Լավ:

Ենթադրենք, առաջադրանքում ասվում է, որ գրեք արմատը կամ դրանց գումարը, եթե կան մեկից ավելի արմատներ: Ի՞նչ ենք մենք գրելու։

Եթե ​​որոշեք, որ պատասխանը 5 է, դուք դարանակալվել են... Եվ առաջադրանքը ձեզ համար չի հաշվարկվի: Իզուր աշխատեցին ... Ճիշտ պատասխան 3.

Ինչ է պատահել?! Եվ դուք փորձում եք ստուգում կատարել: Փոխարինեք անհայտի արժեքները օրիգինալօրինակ. Եվ եթե ժամը x = 3մեզ հետ ամեն ինչ հրաշալի կաճի, մենք ստանում ենք 9 = 9, հետո՝ հետ x = 2բաժանում զրոյի! Ինչ չի կարելի կտրականապես անել. Միջոցներ x = 2լուծում չէ և հաշվի չի առնվում պատասխանում։ Սա այսպես կոչված կողմնակի կամ լրացուցիչ արմատն է: Մենք պարզապես գցում ենք այն: Վերջնական արմատը մեկն է. x = 3.

Ինչու այդպես ?! - Վրդովված բացականչություններ եմ լսում։ Մեզ սովորեցրել են, որ հավասարումը կարելի է բազմապատկել արտահայտությամբ։ Սա նույնական փոխակերպում է:

Այո, նույնական: Փոքր պայմանով - արտահայտությունը, որով մենք բազմապատկում ենք (բաժանում) - ոչ զրոյական... Ա x - 2ժամը x = 2հավասար է զրոյի! Այնպես որ, ամեն ինչ արդար է:

Իսկ հիմա ինչ կարող եմ անել?! Չե՞ք բազմապատկել արտահայտությամբ: Ձեզ անհրաժեշտ է ամեն անգամ ստուգել: Կրկին պարզ չէ!

Հանգիստ! Խուճապի մի՛ մատնվեք։

Այս դժվարին իրավիճակում մեզ կփրկեն երեք կախարդական տառեր։ Ես գիտեմ, թե դու ինչ ես մտածում։ Ճիշտ! այն ՕՁ ... Թույլատրելի արժեքների միջակայք.