Քառակուսի արմատների հատկությունները, երբ a-ն մեծ է 0-ից: Քառակուսի արմատ. Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Հատկություններ քառակուսի արմատներ

Մինչ այժմ մենք թվերի վրա կատարել ենք հինգ թվաբանական գործողություն՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և աստիճանավորում, իսկ հաշվարկներում նրանք ակտիվորեն օգտագործում էին տարբեր հատկություններայս գործողությունները, օրինակ՝ a + b = b + a, an-bn = (ab) n և այլն:

Այս գլուխը ներկայացնում է նոր գործողություն՝ քաղվածք քառակուսի արմատոչ բացասական թվից։ Այն հաջողությամբ օգտագործելու համար դուք պետք է ծանոթանաք այս գործողության հատկություններին, ինչը մենք կանենք այս բաժնում։

Ապացույց. Ներկայացնենք հետևյալ նշումը. https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! ԼԵԶՈՒ՝ Հավասարություն" width="120" height="25 id=">!}.

Հաջորդ թեորեմը կձևակերպենք հենց այսպես.

(Կարճ ձևակերպում, որն ավելի հարմար է գործնականում օգտագործելու համար. կոտորակի արմատ հավասար է կոտորակիարմատներից կամ գործակիցի արմատը հավասար է արմատների գործակցին։)

Այս անգամ միայն կբերենք կարճ նշումապացույց, և դուք փորձում եք համապատասխան մեկնաբանություններ անել, որոնք նման են թեորեմ 1-ի ապացուցման էությանը:

Դիտողություն 3. Իհարկե, այս օրինակը կարելի է լուծել այլ կերպ, հատկապես, եթե ձեռքի տակ ունեք հաշվիչ՝ բազմապատկեք 36, 64, 9 թվերը, ապա հանեք ստացված արդյունքի քառակուսի արմատը։ Այնուամենայնիվ, պետք է խոստովանեք, որ վերը ներկայացված լուծումն ավելի մշակութային տեսք ունի։

Դիտողություն 4. Առաջին մեթոդով մենք «գլխով» հաշվարկներ ենք կատարել: Երկրորդ ճանապարհն ավելի էլեգանտ է.
մենք դիմել ենք բանաձեւը a2 - b2 = (a - b) (a + b) և օգտագործել քառակուսի արմատների հատկությունը:

Դիտողություն 5. Որոշ տաքգլուխներ երբեմն առաջարկում են այս լուծումը Օրինակ 3-ի համար.

Սա, իհարկե, ճիշտ չէ. տեսնում եք, արդյունքը նույնը չէ, ինչ մեր օրինակ 3-ում: Բանն այն է, որ սեփականություն չկա: https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! LANG: Առաջադրանք" width="148" height="26 id=">!}Կան միայն հատկություններ՝ կապված քառակուսի արմատների բազմապատկման և բաժանման հետ։ Զգույշ եղեք և զգույշ եղեք, որպեսզի չլինեք ցանկալի մտածողություն:

Եզրափակելով բաժինը, մենք նշում ենք ևս մեկ բավականին պարզ և միևնույն ժամանակ կարևոր հատկություն.
եթե a> 0 և n - բնական թիվ, ապա

Փոխակերպել քառակուսի արմատ պարունակող արտահայտությունները

Մինչ այժմ ես և դու միայն փոխակերպումներ ենք կատարել ռացիոնալ արտահայտություններ, դրա համար օգտագործելով բազմանդամների վրա գործողության կանոնները և հանրահաշվական կոտորակներ, համառոտ բազմապատկման բանաձևեր և այլն: Այս գլխում մենք ներկայացրեցինք նոր գործողություն՝ քառակուսի արմատ հանելու գործողությունը; մենք դա գտանք

որտեղ, հիշեցնենք, a, b-ն ոչ բացասական թվեր են:

Օգտագործելով սրանք բանաձեւեր, քառակուսի արմատի գործողություն պարունակող արտահայտությունների վրա կարող եք կատարել տարբեր փոխակերպումներ։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ, և բոլոր օրինակներում կենթադրենք, որ փոփոխականները ընդունում են միայն ոչ բացասական արժեքներ։

Օրինակ 3.Ներկայացրե՛ք բազմապատկիչ քառակուսի արմատի նշանի տակ.

Օրինակ 6... Պարզեցնել արտահայտման լուծում: Կատարենք հաջորդական փոխակերպումներ.

Դաս և ներկայացում թեմայի շուրջ.
«Քառակուսի արմատի հատկությունները. Բանաձևեր. Լուծումների օրինակներ, խնդիրներ պատասխաններով»

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 8-րդ դասարանի համար
Երկրաչափությունը 10 րոպեում ինտերակտիվ ձեռնարկ 8-րդ դասարանի համար
Կրթահամալիր «1C. Դպրոց. Երկրաչափություն, 8 դասարան»

Քառակուսի արմատների հատկությունները

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել քառակուսի արմատները: Այսօր մենք կքննարկենք արմատների հիմնական հատկությունները: Բոլոր հիմնական հատկությունները ինտուիտիվ են և համահունչ բոլոր այն գործողություններին, որոնք մենք կատարել ենք նախկինում:

Հատկություն 1. Երկու ոչ բացասական թվերի արտադրյալի քառակուսի արմատը հավասար է այս թվերի քառակուսի արմատների արտադրյալին՝ $ \ sqrt (a * b) = \ sqrt (a) * \ sqrt (b) $:

Ընդունված է ցանկացած հատկություն ապացուցել, արի դա անենք։
Թող $ \ sqrt (a * b) = x $, $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $: Այնուհետև մենք ապացուցում ենք, որ $ x = y * z $:
Եկեք քառակուսի դարձնենք յուրաքանչյուր արտահայտություն:
Եթե ​​$ \ sqrt (a * b) = x $, ապա $ a * b = x ^ 2 $:
Եթե ​​$ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $, ապա քառակուսիացնելով երկու արտահայտությունները, մենք ստանում ենք $ a = y ^ 2 $, $ b = z ^ 2 $:
$ a * b = x ^ 2 = y ^ 2 * z ^ 2 $, այսինքն $ x ^ 2 = (y * z) ^ 2 $: Եթե ​​երկու ոչ բացասական թվերի քառակուսիները հավասար են, ապա ինքնին թվերը նույնպես հավասար են, ըստ պահանջի:

Մեր սեփականությունից հետևում է, որ, օրինակ, $ \ sqrt (5) * \ sqrt (3) = \ sqrt (15) $:

Դիտողություն 1. Գույքը վավեր է նաև այն դեպքում, երբ արմատի տակ կան երկուից ավելի ոչ բացասական գործոններ։
Գույք 2. Եթե ​​$ a≥0 $ և $ b> 0 $, ապա ճշմարիտ է հետևյալ հավասարությունը. $ \ sqrt (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) $

Այսինքն՝ քանորդի արմատը հավասար է արմատների գործակցին։
Ապացույց.
Եկեք օգտագործենք աղյուսակը և հակիրճ ապացուցենք մեր ունեցվածքը։

Քառակուսի արմատների հատկությունների օգտագործման օրինակներ

Օրինակ 1.
Հաշվիր՝ $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $։

Լուծում.
Իհարկե, մենք կարող ենք վերցնել հաշվիչը, բազմապատկել բոլոր թվերը արմատի տակ և կատարել քառակուսի արմատի գործողությունը։ Իսկ եթե ձեռքի տակ չունեք հաշվիչ, ապա ի՞նչ անել:
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $:
Պատասխան՝ 495։

Օրինակ 2. Հաշվեք՝ $ \ sqrt (11 \ frac (14) (25)) $:

Լուծում.
Մենք ներկայացնում ենք արմատական ​​թիվը որպես ոչ պատշաճ կոտորակ՝ $ 11 \ ֆրակ (14) (25) = \ ֆրակ (11 * 25 + 14) (25) = \ ֆրակ (275 + 14) (25) = \ ֆրակ (289) (25) $.
Օգտագործենք հատկությունը 2.
$ \ sqrt (\ frac (289) (25)) = \ frac (\ sqrt (289)) (\ sqrt (25)) = \ frac (17) (5) = 3 \ frac (2) (5) = 3,4 դոլար:
Պատասխան՝ 3.4.

Օրինակ 3.
Հաշվիր՝ $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $։

Լուծում.
Մենք կարող ենք ուղղակիորեն գնահատել մեր արտահայտությունը, բայց գրեթե միշտ կարող ենք պարզեցնել այն: Փորձենք դա անել:
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Այսպիսով, $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) = \ sqrt (16 * 64) = \ sqrt (16) * \ sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $:
Պատասխան՝ 32։

Տղերք, նկատի ունեցեք, որ արմատական ​​արտահայտությունների գումարման և հանման գործողությունների համար ոչ մի բանաձև գոյություն չունի, և ստորև բերված արտահայտությունները ճիշտ չեն:
$ \ sqrt (a + b) ≠ \ sqrt (a) + \ sqrt (b) $:
$ \ sqrt (a-b) ≠ \ sqrt (a) - \ sqrt (b) $:

Օրինակ 4.
Հաշվեք՝ ա) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) $; բ) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) $.
Լուծում.
Վերը ներկայացված հատկությունները աշխատում են ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ հակառակ հերթականությամբ, այսինքն.
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (b) = \ sqrt (a * b) $.
$ \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) = \ sqrt (\ frac (a) (b)) $.
Օգտագործելով սա, եկեք լուծենք մեր օրինակը:
ա) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) = \ sqrt (32 * 8) = \ sqrt (256) = 16. $

B) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) = \ sqrt (\ frac (32) (8)) = \ sqrt (4) = 2 $:

Պատասխան՝ ա) 16; բ) 2.

Գույք 3. Եթե ​​$ a≥0 $ և n-ը բնական թիվ է, ապա հավասարությունը գործում է՝ $ \ sqrt (a ^ (2n)) = a ^ n $:

Օրինակ. $ \ sqrt (a ^ (16)) = a ^ 8 $, $ \ sqrt (a ^ (24)) = a ^ (12) $ և այլն:

Օրինակ 5.
Հաշվել՝ $ \ sqrt (129600) $։

Լուծում.
Մեզ ներկայացված թիվը բավականին մեծ է, եկեք այն տարրալուծենք պարզ գործոնների։
Մենք ստացանք՝ $129600 = 5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4 $ կամ $ \ sqrt (129600) = \ sqrt (5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4) = 5 * 2 ^ 3 * 3 ^ 2 = 5 * 8 * 9 = 360 $:
Պատասխան՝ 360։

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

1. Հաշվիր՝ $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $։
2. Հաշվել՝ $ \ sqrt (8 \ frac (1) (36)) $:
3. Հաշվի՛ր՝ $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $։
4. Հաշվել.
ա) $ \ sqrt (128 * \ sqrt (8)) $;
բ) $ \ frac (\ sqrt (128)) (\ sqrt (8)) $.

Այս հոդվածը մանրամասն տեղեկությունների հավաքածու է, որը վերաբերում է արմատային հատկությունների թեմային: Հաշվի առնելով թեման՝ կսկսենք հատկություններից, կուսումնասիրենք բոլոր ձևակերպումները և կներկայացնենք ապացույցներ։ Թեման ամրապնդելու համար կդիտարկենք n-րդ աստիճանի հատկությունները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Արմատային հատկություններ

Մենք կխոսենք հատկությունների մասին:

1. Սեփականություն բազմապատկված թվեր աև բ, որը ներկայացված է որպես a b = a b հավասարություն: Այն կարող է ներկայացվել որպես գործոններ՝ դրական կամ հավասար զրոյի a 1, a 2,…, a kորպես 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
2. a քանորդից՝ b = a: b, a ≥ 0, b> 0, այն կարելի է գրել նաև այս ձևով a b = a b;
3. Թվի հզորությունից հատկություն ազույգ ցուցիչով a 2 m = a m ցանկացած թվի համար ա, օրինակ՝ a 2 = a թվի քառակուսուց հատկություն։

Ներկայացված հավասարումներից որևէ մեկում կարող եք մասերը փոխանակել գծիկից առաջ և հետո տեղերում, օրինակ՝ a b = a b հավասարությունը փոխակերպվում է որպես a b = a b: Հավասարության հատկությունները հաճախ օգտագործվում են բարդ հավասարումները պարզեցնելու համար:

Առաջին հատկությունների ապացույցը հիմնված է քառակուսի արմատի սահմանման և բնական ցուցիչներով աստիճանների հատկությունների վրա։ Երրորդ հատկությունը հիմնավորելու համար անհրաժեշտ է անդրադառնալ թվի մոդուլի սահմանմանը։

Առաջին քայլը a b = a b քառակուսի արմատի հատկությունների ապացուցումն է: Ըստ սահմանման՝ անհրաժեշտ է համարել, որ a b-ն դրական կամ զրոյի հավասար թիվ է, որը հավասար կլինի. ա բկանգնեցնելիս հրապարակում. a b արտահայտության արժեքը դրական է կամ հավասար է զրոյի՝ որպես ոչ բացասական թվերի արտադրյալ։ Բազմապատկված թվերի աստիճանի հատկությունը թույլ է տալիս հավասարությունը ներկայացնել (a b) 2 = a 2 b 2 ձևով: Քառակուսի արմատի սահմանմամբ a 2 = a և b 2 = b, ապա a b = a 2 b 2 = a b:

Նման կերպ կարելի է դա ապացուցել արտադրանքից կբազմապատկիչներ a 1, a 2,…, a kհավասար կլինի այս գործոնների քառակուսի արմատների արտադրյալին: Իրոք, a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.

Այս հավասարությունից հետևում է, որ a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k:

Դիտարկենք մի քանի օրինակ՝ թեման ամրապնդելու համար։

Օրինակ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 և 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1):

Անհրաժեշտ է ապացուցել քանորդի թվաբանական քառակուսի արմատի հատկությունը՝ a:b = a:b, a ≥ 0, b> 0: Հատկությունը թույլ է տալիս գրել a հավասարությունը՝ b 2 = a 2: b 2, և a 2: b 2 = a: b, իսկ a: b-ը դրական թիվ է կամ հավասար է զրոյի: Այս արտահայտությունը կդառնա ապացույցը.

Օրինակ, 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 և 3 0, 121 = 3 0, 121:

Դիտարկենք թվի քառակուսու քառակուսի արմատի հատկությունը: Այն կարելի է գրել որպես հավասարություն որպես 2 = a Այս հատկությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է մանրամասն դիտարկել մի քանի հավասարումներ a ≥ 0և ժամը ա< 0 .

Ակնհայտ է, որ ≥ 0-ի համար a 2 = a հավասարությունը ճիշտ է: ժամը ա< 0 a 2 = - a հավասարությունը ճիշտ կլինի: Փաստորեն, այս դեպքում - ա> 0և (- ա) 2 = a 2: Կարելի է եզրակացնել, որ a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 2

5 2 = 5 = 5 և - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36:

Ապացուցված հատկությունը կօգնի հիմնավորել 2 m = a m, որտեղ ա- իրական, և մ- բնական համարը. Իրոք, իշխանությունը բարձրացնելու հատկությունը թույլ է տալիս փոխարինել իշխանությունը ա 2 մարտահայտություն (ա մ) 2, ապա a 2 m = (a m) 2 = a m.

Օրինակ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 և (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7:

n-րդ արմատի հատկությունները

Նախ, դուք պետք է հաշվի առնեք n-րդ աստիճանի արմատների հիմնական հատկությունները.

1. Թվերի արտադրյալից հատկություն աև բ, որոնք դրական են կամ հավասար են զրոյի, կարող են արտահայտվել որպես a b n = a n b n հավասարություն, այս հատկությունը վավեր է արտադրյալի համար: կթվեր a 1, a 2,…, a kորպես 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
2. կոտորակային թվից ունի a b n = a n b n հատկություն, որտեղ ա- ցանկացած իրական թիվ, որը դրական է կամ հավասար է զրոյի, և բ- դրական իրական թիվ;
3. Ցանկացածի համար աև նույնիսկ ցուցանիշներ n = 2 մ a 2 m 2 m = a, իսկ կենտ n = 2 մ - 1համապատասխանում է a 2 m - 1 2 m - 1 = a հավասարությունը:
4. Արտահանման հատկություն a m n = a n m-ից, որտեղ ա- ցանկացած թիվ՝ դրական կամ հավասար զրոյի, nև մ- բնական թվեր, այս հատկությունը կարող է ներկայացվել նաև որպես. ... ... a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2: ... ... · N k;
5. Ցանկացած ոչ բացասական ա-ի և կամայականի համար nև մ, որոնք բնական են, կարող եք նաև որոշել արդար հավասարությունը a m n · m = a n;
6. Սեփականության աստիճան nթվի հզորությունից ա, որը դրական է կամ հավասար է զրոյի, բնական աստիճանով մսահմանվում է a m n = a n m հավասարությամբ;
7. Համեմատեք նույն ցուցանիշները ունեցող գույքը՝ ցանկացած դրական թվի համար աև բայնպիսին է, որ ա< b , անհավասարությունը a n< b n ;
8. Համեմատեք գույքը, որն ունի նույն թվերըարմատի տակ՝ եթե մև n -բնական թվեր, որոնք m> n, ապա ժամը 0 < a < 1 a m> a n անհավասարությունը ճիշտ է, և համար ա> 1մի մ< a n .

Վերը տրված հավասարությունները վավեր են, եթե հավասարության նշանից առաջ և հետո մասերը փոխանակվեն: Նրանք կարող են օգտագործվել որպես այդպիսին: Սա հաճախ օգտագործվում է արտահայտությունների պարզեցման կամ փոխակերպման ժամանակ:

Արմատի վերը նշված հատկությունների ապացույցը հիմնված է սահմանման, աստիճանի հատկությունների և թվի մոդուլի սահմանման վրա։ Այս հատկությունները պետք է ապացուցվեն: Բայց ամեն ինչ կարգին է։

1. Առաջին հերթին մենք ապացուցում ենք a b n = a n b n արտադրյալի n-րդ արմատի հատկությունները: Համար աև բ որըեն դրական կամ հավասար զրոյի , a n · b n արժեքը նույնպես դրական է կամ հավասար է զրոյի, քանի որ դա ոչ բացասական թվերի բազմապատկման հետևանք է։ Արտադրանքի բնական աստիճանի հատկությունը թույլ է տալիս գրել a n b n n = a n n b n n հավասարությունը։ Արմատի սահմանմամբ n-րդ աստիճանը a n n = a և b n n = b, հետևաբար, a n b n n = a b. Ստացված հավասարությունը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

Այս հատկությունը նույնպես ապացուցված է արտադրանքի համար կգործոններ՝ ոչ բացասական թվերի համար a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0:

Ահա արմատային հատկության օգտագործման որոշ օրինակներ n-րդ աստիճան արտադրյալից. 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 և 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 5 7 4:

1. Ապացուցենք a b n = a n b n քանորդի արմատի հատկությունը։ ժամը a ≥ 0և բ> 0 a n b n ≥ 0 պայմանը բավարարված է, և a n b n n = a n n b n n = a b.

Եկեք օրինակներ ցույց տանք.

Օրինակ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 և 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10:

1. Համար հաջորդ քայլըանհրաժեշտ է ապացուցել n-րդ աստիճանի հատկությունները թվից աստիճան n... Մենք սա ներկայացնում ենք որպես հավասարություն a 2 m 2 m = a և a 2 m - 1 2 m - 1 = a ցանկացած իրականի համար աև բնական մ... ժամը a ≥ 0մենք ստանում ենք a = a և a 2 m = a 2 m, որն ապացուցում է a 2 m 2 m = a հավասարությունը, իսկ a 2 m - 1 2 m - 1 = a հավասարությունը ակնհայտ է: ժամը ա< 0 մենք համապատասխանաբար ստանում ենք a = - a և a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m: Թվի վերջին փոխակերպումն արդար է ըստ աստիճանի հատկության։ Սա այն է, ինչ ապացուցում է հավասարությունը a 2 m 2 m = a, և a 2 m - 1 2 m - 1 = a կլինի ճիշտ, քանի որ կենտ աստիճանի համար մենք համարում ենք - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1: ցանկացած թվի համար գ,դրական կամ հավասար զրոյի:

Ստացված տեղեկատվությունը համախմբելու համար հաշվի առեք մի քանի օրինակներ՝ օգտագործելով գույքը.

Օրինակ 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 և (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39:

1. Ապացուցենք հետևյալ հավասարությունը a m n = a n · m. Դա անելու համար հարկավոր է փոխել թվերը հավասար նշանից առաջ և դրանից հետո՝ տեղերում a n · m = a m n: Դա կնշանակի ճիշտ մուտքագրում... Համար ա,ինչը դրական է կամ հավասար է զրոյի , a m n ձևից դրական թիվ է կամ հավասար է զրոյի: Եկեք անդրադառնանք աստիճանի բարձրացման հատկությանը և դրա սահմանմանը: Դրանք կարող են օգտագործվել a m n n · m = a m n n m = a m m = a ձևով հավասարությունները փոխակերպելու համար: Սա ապացուցում է արմատի հատկությունը դիտարկվող արմատից։

Նմանապես ապացուցված են նաև այլ հատկություններ: Իսկապես, . ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2 ... ... · N k =. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3 ... ... · N k =. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · N k =. ... ... = a n k n k = a.

Օրինակ՝ 7 3 5 = 7 5 3 և 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24:

1. Եկեք ապացուցենք հաջորդ գույքը a m n m = a n. Դա անելու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ a n-ն թիվ է, դրական կամ հավասար է զրոյի: Երբ բարձրացվում է հզորության n m հավասար է մի մ... Եթե ​​համարը ադրական է կամ հավասար է զրոյի, ապա n-րդ աստիճանից ադրական թիվ է կամ հավասար է զրոյի Այս դեպքում a n · m n = a n n m, ըստ պահանջի:

Ստացված գիտելիքները համախմբելու համար հաշվի առեք մի քանի օրինակ:

1. Ապացուցենք հետևյալ հատկությունը՝ a m n = a n m ձևի աստիճանի արմատի հատկությունը։ Ակնհայտ է, որ a ≥ 0 a n m աստիճանը ոչ բացասական թիվ է: Ավելին, դրա n-րդ աստիճանն է մի մ, իսկապես, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. Սա ապացուցում է քննարկվող աստիճանի հատկությունը։

Օրինակ՝ 2 3 5 3 = 2 3 3 5:

1. Դա անհրաժեշտ է ապացուցել ցանկացած դրական թվի համար աև բ պայմանը ա< b ... Դիտարկենք a n անհավասարությունը< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ա< b ... Հետեւաբար, մի n< b n при ա< b .

Օրինակ, եկեք տանք 12 4< 15 2 3 4 .

1. Դիտարկենք արմատային հատկությունը n-րդ աստիճան. Նախ, մենք պետք է նայենք անհավասարության առաջին մասին: ժամը m> nև 0 < a < 1 ճշմարիտ ա մ> ա ն. Ենթադրենք a m ≤ a n. Հատկությունները կպարզեցնեն արտահայտությունը a n m · n ≤ a m m · n: Այնուհետև, ըստ բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի հատկությունների, բավարարվում է a n m n m n ≤ a m m n m n անհավասարությունը, այսինքն. a n ≤ a m... Ստացված արժեքը ժամը m> nև 0 < a < 1 չի համապատասխանում վերը նշված հատկություններին:

Նույն կերպ կարելի է ապացուցել, որ m> nև ա> 1պայմանը մ< a n .

Վերոհիշյալ հատկությունները համախմբելու համար հաշվի առեք մի քանիսը կոնկրետ օրինակներ... Դիտարկենք անհավասարությունները՝ օգտագործելով կոնկրետ թվեր:

Օրինակ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, խնդրում ենք ընտրել այն և սեղմել Ctrl + Enter

Փաստ 1.
\ (\ bullet \) Վերցրեք մի քանի ոչ բացասական թիվ \ (a \) (այսինքն \ (a \ geqslant 0 \)): Այնուհետև (թվաբանություն) քառակուսի արմատ\ (a \) թվից կոչվում է այնպիսի ոչ բացասական թիվ \ (b \), երբ քառակուսում ենք ստանում \ (a \) թիվը. \ [\ sqrt a = b \ quad \ տեքստ (նույնն է) \ quad a = b ^ 2 \]Սահմանումից բխում է, որ \ (a \ geqslant 0, b \ geqslant 0 \). Այս սահմանափակումներն են կարևոր պայմանքառակուսի արմատի գոյությունը և դրանք պետք է հիշել:
Հիշեցնենք, որ ցանկացած թիվ, երբ քառակուսի է տրվում, տալիս է ոչ բացասական արդյունք: Այսինքն՝ \ (100 ^ 2 = 10000 \ գեքսլանտ 0 \) և \ ((- 100) ^ 2 = 10000 \ գեքսլանտ 0 \)։
\ (\ bullet \) Ի՞նչ է \ (\ sqrt (25) \): Մենք գիտենք, որ \ (5 ^ 2 = 25 \) և \ ((- 5) ^ 2 = 25 \): Քանի որ, ըստ սահմանման, մենք պետք է գտնենք ոչ բացասական թիվ, ապա \ (- 5 \) չի տեղավորվում, հետևաբար, \ (\ sqrt (25) = 5 \) (քանի որ \ (25 = 5 ^ 2 \)) .
\ (\ sqrt a \) արժեքը գտնելը կոչվում է \ (a \) թվի քառակուսի արմատը, իսկ \ (a \) թիվը կոչվում է արմատական ​​արտահայտություն։
\ (\ bullet \) Սահմանման հիման վրա \ (\ sqrt (-25) \), \ (\ sqrt (-4) \) արտահայտությունը և այլն: իմաստ չունի.

Փաստ 2.
Համար արագ հաշվարկօգտակար կլինի սովորել \ (1 \) -ից \ (20 \) բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը. \ [\ սկիզբ (զանգված) (| ll |) \ hline 1 ^ 2 = 1 & \ quad11 ^ 2 = 121 \\ 2 ^ 2 = 4 & \ quad12 ^ 2 = 144 \\ 3 ^ 2 = 9 & \ quad13 ^ 2 = 169 \\ 4 ^ 2 = 16 & \ քառ14 ^ 2 = 196 \\ 5 ^ 2 = 25 & \ քառ15 ^ 2 = 225 \\ 6 ^ 2 = 36 & \ քառակուսի16 ^ 2 = 256 \\ 7 ^ 2 = 49 & \ քառ17 ^ 2 = 289 \\ 8 ^ 2 = 64 & \ քառակուսի18 ^ 2 = 324 \\ 9 ^ 2 = 81 & \ քառակուսի19 ^ 2 = 361 \\ 10 ^ 2 = 100 & \ քառակուսի20. = 400 \\ \ hline \ վերջ (զանգված) \]

Փաստ 3.
Ի՞նչ կարելի է անել քառակուսի արմատներով:
\ (\ պարբերակ \) Քառակուսի արմատների գումարը կամ տարբերությունը ՀԱՎԱՍԱՐ ՉԷ գումարի կամ տարբերության քառակուսի արմատին, այսինքն. \ [\ sqrt a \ pm \ sqrt b \ ne \ sqrt (a \ pm b) \]Այսպիսով, եթե ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել, օրինակ, \ (\ sqrt (25) + \ sqrt (49) \), ապա սկզբում դուք պետք է գտնեք \ (\ sqrt (25) \) և \ (\ sqrt արժեքները: (49) \ ) և ապա ծալիր դրանք։ Հետևաբար, \ [\ sqrt (25) + \ sqrt (49) = 5 + 7 = 12 \] Եթե ​​\ (\ sqrt a \) կամ \ (\ sqrt b \) արժեքները չեն կարող գտնել \ (\ sqrt a + \ sqrt b \) ավելացնելիս, ապա նման արտահայտությունը հետագայում չի փոխակերպվում և մնում է նույնը: Օրինակ, \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) \) գումարում մենք կարող ենք գտնել \ (\ sqrt (49) \) - սա \ (7 \), բայց \ (\ sqrt 2 \) չի կարող լինել ինչ-որ կերպ փոխակերպված, հետևաբար \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) = \ sqrt 2 + 7 \)... Ցավոք, այս արտահայտությունը չի կարող ավելի պարզեցվել:\ (\ bullet \) Քառակուսի արմատների արտադրյալը / գործակիցը հավասար է արտադրյալի / գործակիցի քառակուսի արմատին, այսինքն. \ [\ sqrt a \ cdot \ sqrt b = \ sqrt (ab) \ quad \ text (և) \ quad \ sqrt a: \ sqrt b = \ sqrt (a: b) \] (պայմանով, որ հավասարության երկու կողմերն էլ իմաստ ունենան)
Օրինակ: \ (\ sqrt (32) \ cdot \ sqrt 2 = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8 \); \ (\ sqrt (768): \ sqrt3 = \ sqrt (768: 3) = \ sqrt (256) = 16 \); \ (\ sqrt ((- 25) \ cdot (-64)) = \ sqrt (25 \ cdot 64) = \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (64) = 5 \ cdot 8 = 40 \)... \ (\ bullet \) Օգտագործելով այս հատկությունները, հարմար է գտնել քառակուսի արմատները մեծ թվերդրանք գործակցելով։
Դիտարկենք մի օրինակ։ Գտեք \ (\ sqrt (44100) \): Քանի որ \ (44100: 100 = 441 \), ապա \ (44100 = 100 \ cdot 441 \): Բաժանելիության հիման վրա \ (441 \) թիվը բաժանվում է \ (9 \) -ի (քանի որ նրա թվանշանների գումարը 9 է և բաժանվում է 9-ի), հետևաբար \ (441: 9 = 49 \), որ է \ (441 = 9 \ cdot 49 \):
Այսպիսով, մենք ստացանք. \ [\ sqrt (44100) = \ sqrt (9 \ cdot 49 \ cdot 100) = \ sqrt9 \ cdot \ sqrt (49) \ cdot \ sqrt (100) = 3 \ cdot 7 \ cdot 10 = 210 \]Բերենք ևս մեկ օրինակ. \ [\ sqrt (\ dfrac (32 \ cdot 294) (27)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 49 \ cdot 2) (9 \ cdot 3)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot4 \ cdot49) (9)) = \ dfrac (\ sqrt (16) \ cdot \ sqrt4 \ cdot \ sqrt (49)) (\ sqrt9) = \ dfrac (4 \ cdot 2 \ cdot 7) 3 = \ dfrac (56) 3 \]
\ (\ bullet \) Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է թվեր մուտքագրել քառակուսի արմատի նշանի տակ՝ օգտագործելով \ (5 \ sqrt2 \) արտահայտության օրինակը (\ (5 \ cdot \ sqrt2 \) արտահայտության կրճատումը): Քանի որ \ (5 = \ sqrt (25) \), ապա \ Նշենք նաև, որ, օրինակ.
1) \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 = 4 \ sqrt2 \),
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) \ (\ sqrt a + \ sqrt a = 2 \ sqrt a \):

Ինչո՞ւ է այդպես։ Եկեք բացատրենք օրինակ 1-ով): Ինչպես արդեն հասկացաք, մենք չենք կարող ինչ-որ կերպ փոխարկել \ (\ sqrt2 \) թիվը: Եկեք պատկերացնենք, որ \ (\ sqrt2 \) ինչ-որ \ (a \) թիվ է։ Համապատասխանաբար, \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 \) արտահայտությունը ոչ այլ ինչ է, քան \ (a + 3a \) (մեկ \ (a \) և ևս երեք նույն թվից \ (a \)): Եվ մենք գիտենք, որ այն հավասար է չորս նման \ (a \) թվերի, այսինքն \ (4 \ sqrt2 \):

Փաստ 4.
\ (\ bullet \) Հաճախ ասում են «դուք չեք կարող հանել արմատը», երբ դուք չեք կարող ազատվել արմատի \ (\ sqrt () \ \) նշանից՝ ինչ-որ թվի արժեքը գտնելիս։ Օրինակ՝ կարող եք հանել \ (16 \) թվի արմատը, քանի որ \ (16 = 4 ^ 2 \), հետևաբար \ (\ sqrt (16) = 4 \): Բայց անհնար է արմատը հանել \ (3 \) թվից, այսինքն գտնել \ (\ sqrt3 \), քանի որ չկա այնպիսի թիվ, որը կտա \ (3 \) քառակուսու վրա։
Նման թվերը (կամ նման թվերով արտահայտությունները) իռացիոնալ են։ Օրինակ՝ թվերը \ (\ sqrt3, \ 1+ \ sqrt2, \ \ sqrt (15) \)և այլն: իռացիոնալ են.
Իռացիոնալ են նաև \ (\ pi \) թվերը («pi» թիվը, մոտավորապես հավասար է \ (3.14 \)), \ (e \) (այս թիվը կոչվում է Էյլերի թիվ, մոտավորապես հավասար է \ (2.7 \) ) և այլն:
\ (\ bullet \) Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ցանկացած թիվ կլինի կամ ռացիոնալ կամ իռացիոնալ: Եվ միասին ամեն ինչ ռացիոնալ է և ամեն ինչ իռացիոնալ թվերձևավորել մի շարք, որը կոչվում է իրական (իրական) թվերի հավաքածու.Այս բազմությունը նշվում է \ (\ mathbb (R) \) տառով:
Այսպիսով, բոլոր թվերը, որոնք միացված են այս պահինմենք գիտենք, որ կոչվում են իրական թվեր:

Փաստ 5.
\ (\ bullet \) \ (a \) իրական թվի մոդուլը ոչ բացասական \ (| a | \) թիվ է, որը հավասար է \ (a \) կետից \ (0 \) հեռավորությանը իրական գիծ. Օրինակ, \ (| 3 | \) և \ (| -3 | \) հավասար են 3-ի, քանի որ \ (3 \) և \ (- 3 \) կետերից \ (0 \) հեռավորությունները նույնն են: և հավասար են \ (3 \):
\ (\ bullet \) Եթե \ (a \)-ը ոչ բացասական թիվ է, ապա \ (| a | = a \):
Օրինակ՝ \ (| 5 | = 5 \); \ (\ qquad | \ sqrt2 | = \ sqrt2 \): \ (\ bullet \) Եթե \ (a \) բացասական թիվ է, ապա \ (| a | = -a \):
Օրինակ՝ \ (| -5 | = - (- 5) = 5 \); \ (\ qquad | - \ sqrt3 | = - (- \ sqrt3) = \ sqrt3 \).
Ասում են, որ բացասական թվերի մոդուլը «ուտում է» մինուսը, իսկ դրական թվերը, ինչպես նաև \ (0 \) թիվը, մոդուլը թողնում է անփոփոխ։
ԲԱՅՑայս կանոնը գործում է միայն թվերի համար: Եթե ​​դուք ունեք անհայտ \ (x \) մոդուլի նշանի տակ (կամ որևէ այլ անհայտ), օրինակ, \ (| x | \), որի մասին մենք չգիտենք, դա դրական է, զրո, թե բացասական, ապա. ազատվել այն մոդուլից, որը մենք չենք կարող: Այս դեպքում այս արտահայտությունը մնում է այսպես՝ \ (| x | \): \ (\ bullet \) Հետևյալ բանաձևերը գործում են. \ [(\ large (\ sqrt (a ^ 2) = | a |)) \] \ [(\ մեծ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a)), \ text (պայմանով) a \ geqslant 0 \]Շատ տարածված սխալ է արվում՝ ասում են, որ \ (\ sqrt (a ^ 2) \) և \ ((\ sqrt a) ^ 2 \) նույնն են։ Սա ճիշտ է միայն այն դեպքում, եթե \ (a \)-ը դրական թիվ է կամ զրո: Բայց եթե \ (a \)-ը բացասական թիվ է, ապա դա ճիշտ չէ: Բավական է դիտարկել նման օրինակ. Վերցնենք \ (- 1 \) թիվը \ (a \) փոխարեն։ Այնուհետև \ (\ sqrt ((- 1) ^ 2) = \ sqrt (1) = 1 \), բայց \ ((\ sqrt (-1)) ^ 2 \) արտահայտությունն ընդհանրապես գոյություն չունի (ի վերջո, անհնար է արմատային նշանի տակ դնել բացասական թվեր):
Ուստի ձեր ուշադրությունը հրավիրում ենք այն փաստի վրա, որ \ (\ sqrt (a ^ 2) \) հավասար չէ \ ((\ sqrt a) ^ 2 \)!Օրինակ՝ 1) \ (\ sqrt (\ ձախ (- \ sqrt2 \ աջ) ^ 2) = | - \ sqrt2 | = \ sqrt2 \)քանի որ \ (- \ sqrt2<0\) ;

\ (\ ուրվական (00000) \) 2) \ ((\ sqrt (2)) ^ 2 = 2 \): \ (\ bullet \) Քանի որ \ (\ sqrt (a ^ 2) = | a | \), ապա \ [\ sqrt (a ^ (2n)) = | a ^ n | \] (\ (2n \) արտահայտությունը նշանակում է զույգ թիվ)
Այսինքն՝ որոշ չափով թվից արմատ հանելիս այս աստիճանը կրկնակի կրճատվում է։
Օրինակ:
1) \ (\ sqrt (4 ^ 6) = | 4 ^ 3 | = 4 ^ 3 = 64 \)
2) \ (\ sqrt ((- 25) ^ 2) = | -25 | = 25 \) (նշեք, որ եթե մոդուլը տեղադրված չէ, պարզվում է, որ թվի արմատը \ (- 25 \); բայց մենք հիշում ենք, որ, ըստ արմատի սահմանման, դա չի կարող լինել. արմատ հանելիս մենք միշտ ունենում ենք դրական թիվ կամ զրո):
3) \ (\ sqrt (x ^ (16)) = | x ^ 8 | = x ^ 8 \) (քանի որ զույգ հզորության ցանկացած թիվ ոչ բացասական է)

Փաստ 6.
Ինչպե՞ս եք համեմատում երկու քառակուսի արմատները:
\ (\ bullet \) Քառակուսի արմատների համար ճիշտ է՝ եթե \ (\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(aՕրինակ:
1) համեմատել \ (\ sqrt (50) \) և \ (6 \ sqrt2 \): Նախ, եկեք փոխարկենք երկրորդ արտահայտությունը \ (\ sqrt (36) \ cdot \ sqrt2 = \ sqrt (36 \ cdot 2) = \ sqrt (72) \)... Այսպիսով, քանի որ \ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Ո՞ր ամբողջ թվերի միջև է գտնվում \ (\ sqrt (50) \):
Քանի որ \ (\ sqrt (49) = 7 \), \ (\ sqrt (64) = 8 \), և \ (49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Համեմատեք \ (\ sqrt 2-1 \) և \ (0.5 \): Ենթադրենք \ (\ sqrt2-1> 0.5 \): \ [\ սկսվում (հավասարեցված) & \ sqrt 2-1> 0.5 \ \ մեծ | +1 \ quad \ text ((ավելացնել մեկը երկու կողմերին)) \\ & \ sqrt2> 0.5 + 1 \ \ մեծ | \ ^ 2 \ քառակուսի \ տեքստ ((երկու կողմերն էլ քառակուսի)) \\ & 2> 1.5 ^ 2 \\ & 2> 2.25 \ վերջ (հավասարեցված) \]Մենք տեսնում ենք, որ սխալ անհավասարություն ենք ստացել։ Հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ էր և \ (\ sqrt 2-1<0,5\) .
Նկատի ունեցեք, որ անհավասարության երկու կողմերին թիվ ավելացնելը չի ​​ազդում դրա նշանի վրա: Անհավասարության երկու կողմերի բազմապատկումը/բաժանումը դրական թվով նույնպես չի ազդում դրա նշանի վրա, իսկ բացասական թվով բազմապատկումը/բաժանումը հակադարձում է անհավասարության նշանը:
Դուք կարող եք քառակուսի դնել հավասարման / անհավասարության երկու կողմերը ՄԻԱՅՆ ԵՐԲ երկու կողմերն էլ ոչ բացասական են: Օրինակ, նախորդ օրինակի անհավասարության մեջ երկու կողմերը կարող են քառակուսի լինել, անհավասարության մեջ \ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \ (\ bullet \) Հիշեք դա \ [\ սկիզբ (հավասարեցված) & \ քառակուսի 2 \ մոտ 1,4 \\ & \ քառակուսի 3 \ մոտ 1,7 \ վերջ (հավասարեցված) \]Այս թվերի մոտավոր արժեքը իմանալը կօգնի ձեզ թվերը համեմատելիս: \ (\ bullet \) Որպեսզի արմատը հանվի (եթե այն հանված է) ինչ-որ մեծ թվից, որը չկա քառակուսիների աղյուսակում, նախ պետք է որոշել, թե որ «հարյուրների» միջև է այն գտնվում, հետո որ «տասնյակների» միջև։ , և այնուհետև որոշեք այս թվի վերջին նիշը: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է այն աշխատում օրինակով:
Վերցրեք \ (\ sqrt (28224) \): Մենք գիտենք, որ \ (100 ^ 2 = 10 \, 000 \), \ (200 ^ 2 = 40 \, 000 \) և այլն: Նկատի ունեցեք, որ \ (28224 \) գտնվում է \ (10 ​​\, 000 \) և \ (40 \, 000 \) միջև: Հետևաբար, \ (\ sqrt (28224) \) գտնվում է \ (100 \) և \ (200 \) միջև։
Հիմա եկեք որոշենք, թե որ «տասնյակների» միջև է գտնվում մեր թիվը (այսինքն, օրինակ, \ (120 \) և \ (130 \) միջև): Նաև քառակուսիների աղյուսակից գիտենք, որ \ (11 ^ 2 = 121 \), \ (12 ^ 2 = 144 \) և այլն, ապա \ (110 ^ 2 = 12100 \), \ (120 ^ 2 = 14400): \), \ (130 ^ 2 = 16900 \), \ (140 ^ 2 = 19600 \), \ (150 ^ 2 = 22500 \), \ (160 ^ 2 = 25600 \), \ (170 ^ 2 = 28900): \): Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ \ (28224 \) գտնվում է \ (160 ^ 2 \) և \ (170 ^ 2 \) միջև։ Հետևաբար, \ (\ sqrt (28224) \) թիվը \ (160 \) և \ (170 \) միջև է։
Փորձենք որոշել վերջին թվանշանը։ Հիշենք, թե ինչ միանիշ թվեր են գտնվում \ (4 \)-ի վերջում, երբ քառակուսի ենք: Սրանք են \ (2 ^ 2 \) և \ (8 ^ 2 \): Հետևաբար, \ (\ sqrt (28224) \) կավարտվի կամ 2-ով կամ 8-ով: Եկեք ստուգենք սա: Գտեք \ (162 ^ 2 \) և \ (168 ^ 2 \):
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \).
Ուստի \ (\ sqrt (28224) = 168 \): Voila!

Մաթեմատիկայի քննությունը համարժեք լուծելու համար նախ և առաջ անհրաժեշտ է ուսումնասիրել տեսական նյութը, որը ներկայացնում է բազմաթիվ թեորեմներ, բանաձևեր, ալգորիթմներ և այլն։ Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ այն բավականին պարզ է։ Այնուամենայնիվ, գտնել աղբյուր, որտեղ մաթեմատիկայի քննության տեսությունը հեշտությամբ և հասկանալի է ներկայացվում ցանկացած մակարդակի ուսանողների համար, իրականում բավականին բարդ խնդիր է: Դպրոցական գրքերը չեն կարող միշտ ձեռքի տակ պահել: Իսկ մաթեմատիկայի քննության հիմնական բանաձեւերը գտնելը կարող է դժվար լինել նույնիսկ ինտերնետում:

Ինչո՞ւ է այդքան կարևոր մաթեմատիկայի տեսություն ուսումնասիրելը ոչ միայն քննություն հանձնողների համար:

1. Քանի որ դա ընդլայնում է ձեր հորիզոնները:... Մաթեմատիկայի տեսական նյութի ուսումնասիրությունը օգտակար է բոլորի համար, ովքեր ցանկանում են ստանալ հարցերի լայն շրջանակի պատասխաններ՝ կապված շրջակա աշխարհի գիտելիքների հետ։ Բնության մեջ ամեն ինչ կարգավորված է և ունի հստակ տրամաբանություն։ Սա հենց այն է, ինչ արտացոլված է գիտության մեջ, որի միջոցով հնարավոր է հասկանալ աշխարհը:
2. Որովհետև զարգացնում է ինտելեկտը... Մաթեմատիկայի քննության համար տեղեկատու նյութեր ուսումնասիրելով, ինչպես նաև տարբեր խնդիրներ լուծելով՝ մարդը սովորում է տրամաբանորեն մտածել և տրամաբանել, գրագետ և հստակ ձևակերպել մտքերը: Նա զարգացնում է վերլուծելու, ընդհանրացնելու, եզրակացություններ անելու կարողությունը։

Հրավիրում ենք Ձեզ անձամբ գնահատել ուսումնական նյութերի համակարգման և ներկայացման մեր մոտեցման բոլոր առավելությունները։

Մաթեմատիկան ծնվել է այն ժամանակ, երբ մարդը գիտակցել է իր մասին և սկսել իրեն դիրքավորել որպես աշխարհի ինքնավար միավոր: Չափելու, համեմատելու, հաշվարկելու ցանկությունը, թե ինչ է ձեզ շրջապատում, ահա թե ինչն է ընկած մեր օրերի հիմնարար գիտություններից մեկի հիմքում: Սկզբում սրանք տարրական մաթեմատիկայի մասնիկներ էին, որոնք հնարավորություն էին տալիս թվերը կապել նրանց ֆիզիկական արտահայտությունների հետ, հետագայում եզրակացությունները սկսեցին ներկայացվել միայն տեսականորեն (դրանց վերացականության պատճառով), բայց որոշ ժամանակ անց, ինչպես ասում էր մի գիտնական, «մաթեմատիկա. հասավ բարդության առաստաղին, երբ այն անհետացավ բոլոր թվերը »: «Քառակուսի արմատ» հասկացությունը ի հայտ եկավ այն ժամանակ, երբ այն հեշտությամբ կարող էր հաստատվել էմպիրիկ տվյալների միջոցով՝ դուրս գալով հաշվարկման հարթությունից:

Ինչպես ամեն ինչ սկսվեց

Արմատի առաջին հիշատակումը, որը ներկայումս նշվում է որպես √, գրանցվել է բաբելոնացի մաթեմատիկոսների աշխատություններում, որոնք հիմք են դրել ժամանակակից թվաբանությանը։ Իհարկե, դրանք ներկայիս ձևին չէին հիշեցնում. այն տարիների գիտնականներն առաջին անգամ օգտագործեցին մեծածավալ հաբեր։ Սակայն մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակում։ Ն.Ս. նրանք եկան մոտավոր հաշվարկային բանաձև, որը ցույց էր տալիս, թե ինչպես կարելի է հանել քառակուսի արմատը: Ստորև բերված լուսանկարում պատկերված է մի քար, որի վրա բաբելոնացի գիտնականները փորագրել են √2 եզրակացության գործընթացը, և այն այնքան ճիշտ է, որ պատասխանի անհամապատասխանությունը հայտնաբերվել է միայն տասներորդ տասնորդական տեղում:

Բացի այդ, արմատը օգտագործվում էր, եթե անհրաժեշտ էր գտնել եռանկյան կողմը, պայմանով, որ մյուս երկուսը հայտնի լինեն: Դե, քառակուսի հավասարումներ լուծելիս չես կարող կտրվել արմատը հանելուց:

Բաբելոնյան աշխատությունների հետ մեկտեղ հոդվածի առարկան ուսումնասիրվել է նաև չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքում» աշխատությունում, և հին հույները եկել են այն եզրակացության, որ ցանկացած թիվ, որից արմատը չի հանվում առանց մնացորդի, տալիս է իռացիոնալ արդյունք։ .

Այս տերմինի ծագումը կապված է թվի արաբական ներկայացման հետ. հին գիտնականները կարծում էին, որ կամայական թվի քառակուսին աճում է արմատից, ինչպես բույսը: Լատիներեն այս բառը հնչում է որպես radix (կարող եք հետևել օրինաչափությանը. այն ամենը, ինչ դրա տակ «արմատ» նշանակություն ունի, համահունչ է, լինի դա բողկ, թե ռադիկուլիտ):

Հետագա սերունդների գիտնականներն ընդունեցին այս գաղափարը՝ այն անվանելով Rx: Օրինակ 15-րդ դարում կամայական ա թվի քառակուսի արմատը հանված լինելու համար գրեցին Ռ 2 ա։ Ժամանակակից տեսքին ծանոթ «տիզը» հայտնվել է միայն 17-րդ դարում Ռենե Դեկարտի շնորհիվ։

Մեր օրերը

Մաթեմատիկորեն y-ի քառակուսի արմատը այն z թիվն է, որի քառակուսին y է: Այլ կերպ ասած, z 2 = y համարժեք է √y = z: Այնուամենայնիվ, այս սահմանումը տեղին է միայն թվաբանական արմատի համար, քանի որ այն ենթադրում է արտահայտության ոչ բացասական արժեքը: Այլ կերպ ասած, √y = z, որտեղ z-ը մեծ է կամ հավասար է 0-ի:

Ընդհանուր դեպքում, որը վավեր է հանրահաշվական արմատը որոշելու համար, արտահայտության արժեքը կարող է լինել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական։ Այսպիսով, քանի որ z 2 = y և (-z) 2 = y, մենք ունենք՝ √y = ± z կամ √y = | z |:

Շնորհիվ այն բանի, որ մաթեմատիկայի հանդեպ սերը միայն աճել է գիտության զարգացման հետ մեկտեղ, կան դրան կապվածության տարբեր դրսեւորումներ, որոնք արտահայտված չեն չոր հաշվարկներով։ Օրինակ, այնպիսի զվարճալի երեւույթների հետ մեկտեղ, ինչպիսին է Pi թվի օրը, նշվում են նաեւ քառակուսի արմատների տոները։ Դրանք նշվում են հարյուր տարում ինը անգամ և որոշվում են հետևյալ սկզբունքով. այն թվերը, որոնք հերթականությամբ նշում են օրն ու ամիսը, պետք է լինեն տարվա քառակուսի արմատը։ Այսպիսով, հաջորդ անգամ այս տոնը կնշվի 2016 թվականի ապրիլի 4-ին։

Քառակուսի արմատների հատկությունները դաշտում Ռ

Գրեթե բոլոր մաթեմատիկական արտահայտությունները հիմնված են երկրաչափական հիմքի վրա, այս ճակատագիրը չի խնայվել, և √y, որը սահմանվում է որպես y մակերեսով քառակուսի կողմ:

Ինչպե՞ս գտնել թվի արմատը:

Կան մի քանի հաշվարկային ալգորիթմներ. Ամենապարզը, բայց միևնույն ժամանակ բավականին ծանրաբեռնվածը սովորական թվաբանական հաշվարկն է, որը հետևյալն է.

1) Կենտ թվերը հանվում են այն թվից, որի արմատը մեզ անհրաժեշտ է, իր հերթին, մինչև արդյունքի մնացորդը պակասի հանվածից կամ նույնիսկ զրոյից: Շարժումների քանակը ի վերջո կդառնա անհրաժեշտ թիվը: Օրինակ՝ 25-ի քառակուսի արմատը հաշվարկելը.

Հաջորդ կենտ թիվը 11 է, ունենք հետևյալ մնացորդը՝ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Նման դեպքերի համար կա Taylor շարքի ընդլայնում.

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, որտեղ n-ը տատանվում է 0-ից մինչև

+ ∞ և | y | ≤1.

z = √y ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացում

Դիտարկենք տարրական z = √y ֆունկցիա R իրական թվերի դաշտում, որտեղ y-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Դրա գծապատկերն ունի հետևյալ տեսքը.

Կորը աճում է սկզբից և անպայման հատում է կետը (1; 1):

Z = √y ֆունկցիայի հատկությունները R իրական թվերի դաշտում

1. Դիտարկվող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն ներառված է):

2. Քննարկվող ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անսահմանության միջակայքն է (զրոյական, կրկին ներառված է):

3. Ֆունկցիան ընդունում է նվազագույն արժեքը (0) միայն (0; 0) կետում։ Առավելագույն արժեք չկա:

4. Z = √y ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

5. Z = √y ֆունկցիան պարբերական չէ։

6. Կա z = √y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը կոորդինատային առանցքների հետ՝ (0; 0):

7. z = √y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը նույնպես այս ֆունկցիայի զրո է։

8. Z = √y ֆունկցիան անընդհատ աճում է:

9. Z = √y ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ, հետևաբար, նրա գրաֆիկը զբաղեցնում է առաջին կոորդինատային անկյունը։

z = √y ֆունկցիայի տարբերակներ

Մաթեմատիկայի մեջ բարդ արտահայտությունների հաշվարկը հեշտացնելու համար նրանք երբեմն օգտագործում են քառակուսի արմատը գրելու ուժային ձևը՝ √y = y 1/2: Այս տարբերակը հարմար է, օրինակ, ֆունկցիան հզորության հասցնելու համար՝ (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2: Այս մեթոդը նաև լավ ներկայացում է ինտեգրման հետ տարբերակման համար, քանի որ դրա շնորհիվ քառակուսի արմատը ներկայացված է սովորական հզորության ֆունկցիայով։

Իսկ ծրագրավորման մեջ √ նշանի փոխարինումը sqrt տառերի համակցությունն է։

Հարկ է նշել, որ այս տարածքում քառակուսի արմատը մեծ պահանջարկ ունի, քանի որ այն ներառված է հաշվարկների համար պահանջվող երկրաչափական բանաձևերի մեծ մասում։ Հաշվիչ ալգորիթմն ինքնին բավականին բարդ է և հիմնված է ռեկուրսիայի վրա (գործառույթ, որն իրեն կանչում է):

Քառակուսի արմատ բարդ դաշտում C

Մեծ հաշվով, հենց այս հոդվածի թեման խթանեց C բարդ թվերի դաշտի հայտնաբերումը, քանի որ մաթեմատիկոսներին հետապնդում էր բացասական թվից զույգ արմատ ստանալու հարցը: Այսպես հայտնվեց i երևակայական միավորը, որը բնութագրվում է մի շատ հետաքրքիր հատկությամբ՝ նրա քառակուսին -1 է։ Դրա շնորհիվ քառակուսի հավասարումները և բացասական դիսկրիմինանտով լուծում ստացան։ C-ում քառակուսի արմատի համար համապատասխան են նույն հատկությունները, ինչ R-ում, միայն այն, որ սահմանափակումները հանվել են արմատական ​​արտահայտությունից։