Իռացիոնալ թվի նշանակում. Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվեր

Շատ իռացիոնալ թվեր սովորաբար նշվում են լատինատառ մեծատառով I (\ displaystyle \ mathbb (I))թավով, առանց լրացման: Այսպիսով. I = R ∖ Q (\ displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q)), այսինքն՝ իռացիոնալ թվերի բազմությունը իրական և ռացիոնալ թվերի բազմությունների տարբերությունն է։

Հին մաթեմատիկոսներն արդեն գիտեին իռացիոնալ թվերի, ավելի ճիշտ՝ միավորի երկարության հատվածի հետ անհամեմատելի հատվածների գոյության մասին. նրանք գիտեին, օրինակ, քառակուսու անկյունագծի և կողմի անհամեմատելիությունը, որը համարժեք է իռացիոնալությանը։ թիվ.

Կոլեգիալ YouTube

• 1 / 5

  Իռացիոնալ են.

  Իռացիոնալության ապացույցի օրինակներ

  2-ի արմատը

  Ենթադրենք հակառակը. 2 (\ ցուցադրման ոճ (\ sqrt (2)))ռացիոնալ, այսինքն՝ ներկայացված է որպես կոտորակ m n (\ ցուցադրման ոճ (\ ֆրակ (մ) (n))), որտեղ m (\ ցուցադրման ոճ m)ամբողջ թիվ է, և n (\ ցուցադրման ոճ n)- բնական թիվ.

  Ենթադրված հավասարությունը քառակուսի դարձնենք.

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ ցուցադրման ոճ (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ Աջ սլաք 2 = (\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \ Աջ սլաք m ^ (2) = 2n ^ (2)).

  Պատմություն

  Հնություն

  Իռացիոնալ թվերի հայեցակարգը անուղղակիորեն ընդունվել է հնդիկ մաթեմատիկոսների կողմից մ.թ.ա. 7-րդ դարում, երբ Մանավան (մ.թ.ա. մոտ 750 - մ.թ.ա. մոտ 690 թ.) հասկացավ, որ որոշ բնական թվերի քառակուսի արմատները, ինչպիսիք են 2-ը և 61-ը, չեն կարող հստակ լինել: արտահայտված [ ] .

  Իռացիոնալ թվերի գոյության առաջին ապացույցը սովորաբար վերագրվում է Պյութագորասի Հիպպաս Մետապոնտացուն (մ.թ.ա. մոտ 500 թ.): Պյութագորասի ժամանակ ենթադրվում էր, որ գոյություն ունի երկարության մեկ միավոր, բավական փոքր և անբաժանելի, որը ցանկացած հատվածում ներառված անգամների ամբողջ թիվ է [ ] .

  Թե որ թվի իռացիոնալությունն է ապացուցել Հիպասը, ստույգ տվյալներ չկան։ Ըստ լեգենդի՝ նա գտել է այն՝ ուսումնասիրելով հնգագրամի կողմերի երկարությունները։ Հետևաբար, խելամիտ է ենթադրել, որ դա եղել է ոսկե հարաբերակցությունը [ ] .

  Հույն մաթեմատիկոսներն անվանել են անհամեմատելի մեծությունների այս հարաբերակցությունը աալոգոս(անասելի), սակայն, ըստ լեգենդների, նրանք Հիպպասին արժանի հարգանք չեն տվել։ Լեգենդն ասում է, որ Հիպասոնը ծովային ճանապարհորդության ժամանակ հայտնագործություն է արել և նրան ծովից դուրս են նետել այլ Պյութագորացիներ «տիեզերքի մի տարր ստեղծելու համար, որը հերքում է այն վարդապետությունը, որ տիեզերքի բոլոր կազմավորումները կարող են կրճատվել մինչև ամբողջական թվեր և դրանց փոխհարաբերություններ»: Հիպասի հայտնագործությունը բախվեց Պյութագորասի մաթեմատիկային լուրջ խնդիր, ոչնչացնելով ամբողջ տեսության հիմքում ընկած ենթադրությունը, որ թվերն ու երկրաչափական առարկաները մեկ են և անբաժանելի։

  Բոլոր բնական թվերի բազմությունը նշանակվում է N տառով: Բնական թվերը այն թվերն են, որոնք մենք օգտագործում ենք առարկաները հաշվելու համար՝ 1,2,3,4, ... Որոշ աղբյուրներում 0 թիվը կոչվում է նաև բնական թվեր:

  Բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակվում է Z տառով: Ամբողջ թվերը բոլոր բնական թվերն են, զրո և բացասական թվերը.

  1,-2,-3, -4, …

  Այժմ բոլոր ամբողջ թվերի բազմությանը ավելացնում ենք բոլոր սովորական կոտորակների բազմությունը՝ 2/3, 18/17, -4/5 և այլն։ Այնուհետև մենք ստանում ենք բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը:

  Ռացիոնալ թվերի բազմություն

  Բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակվում է Q տառով: Բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունը (Q) այն բազմությունն է, որը բաղկացած է m/n, -m/n ձևի թվերից և 0 թվից: ինչպես n, mցանկացած բնական թիվ կարող է օգտագործվել: Պետք է նշել, որ բոլոր ռացիոնալ թվերը կարող են ներկայացվել որպես վերջավոր կամ անվերջ ՊԱՐԶՎԱԲԱՆԱԿԱՆ տասնորդական... Ճիշտ է նաև հակառակը, որ ցանկացած վերջավոր կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ կարող է գրվել որպես ռացիոնալ թիվ:

  Բայց ինչ վերաբերում է, օրինակ, 2.0100100010 համարին... Այն անսահման ԱՆԱՆՑՈՒՄԱՅԻՆ տասնորդական կոտորակ է: Իսկ ռացիոնալ թվերին դա չի վերաբերում։

  Վ դպրոցական դասընթացՀանրահաշվում ուսումնասիրվում են միայն իրական (կամ իրական) թվերը: Բոլոր իրական թվերի բազմությունը նշանակվում է R տառով: R բազմությունը բաղկացած է բոլոր ռացիոնալ և բոլոր իռացիոնալ թվերից:

  Իռացիոնալ թվեր

  Իռացիոնալ թվերը բոլորն էլ անվերջ տասնորդական ոչ պարբերական կոտորակներ են: Իռացիոնալ թվերը հատուկ նշում չունեն։

  Օրինակ, բոլոր այն թվերը, որոնք ստացվում են բնական թվերի քառակուսի արմատը հանելով, որոնք բնական թվերի քառակուսի չեն, կլինեն իռացիոնալ։ (√2, √3, √5, √6 և այլն):

  Բայց այդպես մի մտածիր իռացիոնալ թվերստացվում են միայն քառակուսի արմատների արդյունահանմամբ։ Օրինակ, «pi» թիվը նույնպես իռացիոնալ է, և այն ստացվում է բաժանման միջոցով։ Եվ ինչքան էլ փորձես, չես հասցնի արդյունահանելով Քառակուսի արմատցանկացած բնական թվից.

  Իռացիոնալ թվի սահմանում

  Իռացիոնալ են այն թվերը, որոնք տասնորդական նշումով անսահման ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակներ են:

  
  
  

  Այսպիսով, օրինակ, բնական թվերի քառակուսի արմատը հանելով ստացված թվերը իռացիոնալ են և բնական թվերի քառակուսիներ չեն։ Բայց ոչ բոլոր իռացիոնալ թվերն են ստացվում քառակուսի արմատներ հանելով, քանի որ բաժանման արդյունքում ստացված pi թիվը նույնպես իռացիոնալ է, և դժվար թե ստանաք այն՝ փորձելով հանել բնական թվի քառակուսի արմատը:

  Իռացիոնալ թվերի հատկությունները

  Ի տարբերություն անվերջ տասնորդական կոտորակներով գրված թվերի, ոչ պարբերական անվերջ տասնորդական կոտորակներով գրվում են միայն իռացիոնալ թվերը։
  Երկու ոչ բացասական իռացիոնալ թվերի գումարը կարող է ավարտվել որպես ռացիոնալ թիվ:
  Իռացիոնալ թվերը սահմանում են Dedekind բաժինները ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ, ստորին դասում, որոնք չունեն առավելագույնը մեծ թվով, իսկ վերևում ավելի փոքր չկա։
  Ցանկացած իրական տրանսցենդենտալ թիվ իռացիոնալ է:
  Բոլոր իռացիոնալ թվերը կա՛մ հանրահաշվական են, կա՛մ տրանսցենդենտալ:
  Ուղիղ գծի վրա իռացիոնալ թվերի բազմությունը խիտ փաթեթավորված է, և դրանցից երկուսի միջև միշտ կա իռացիոնալ թիվ:
  Իռացիոնալ թվերի բազմությունը անսահման է, անհաշվելի և 2-րդ կարգի բազմություն է։
  Ռացիոնալ թվերով ցանկացած թվաբանական գործողություն կատարելիս, բացառությամբ 0-ի բաժանման, արդյունքը կլինի ռացիոնալ թիվ:
  Իռացիոնալ թվին ռացիոնալ թիվ գումարելիս արդյունքը միշտ իռացիոնալ թիվ է:
  Իռացիոնալ թվեր գումարելիս արդյունքում կարող ենք ռացիոնալ թիվ ստանալ։
  Իռացիոնալ թվերի բազմությունը զույգ չէ։
  

  Թվերը իռացիոնալ չեն

  Երբեմն դժվար է պատասխանել այն հարցին, թե թիվը իռացիոնալ է, հատկապես այն դեպքերում, երբ թիվը գտնվում է տասնորդական կոտորակի կամ թվային արտահայտության, արմատի կամ լոգարիթմի տեսքով:

  Հետեւաբար, ավելորդ չի լինի իմանալ, թե որ թվերն իռացիոնալ չեն։ Եթե ​​հետևենք իռացիոնալ թվերի սահմանմանը, ապա արդեն գիտենք, որ ռացիոնալ թվերը չեն կարող իռացիոնալ լինել։

  Իռացիոնալ թվերը չեն.

  Նախ, բոլոր բնական թվերը.
  Երկրորդ, ամբողջ թվեր;
  Երրորդ, սովորական կոտորակներ;
  Չորրորդ, տարբեր խառը թվեր;
  Հինգերորդ, դրանք անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակներ են:
  

  Ի հավելումն վերը նշված բոլորի, իռացիոնալ թիվ չի կարող լինել ռացիոնալ թվերի ցանկացած համակցություն, որը կատարվում է թվաբանական գործողությունների նշաններով, ինչպիսիք են +, -,,:, քանի որ այս դեպքում երկու ռացիոնալ թվերի արդյունքը նույնպես կլինի. ռացիոնալ թիվ.

  Հիմա տեսնենք, թե թվերից որոնք են իռացիոնալ.

  
  
  

  Գիտե՞ք արդյոք ֆան ակումբի գոյության մասին, որտեղ այս առեղծվածային մաթեմատիկական ֆենոմենի երկրպագուները ավելի ու ավելի շատ տեղեկություններ են փնտրում Պիի մասին՝ փորձելով բացահայտել նրա գաղտնիքը։ Այս ակումբի անդամ կարող է դառնալ ցանկացած մարդ, ով տասնորդական կետից հետո անգիր գիտի pi-ի որոշակի քանակ;

  Իսկ դուք գիտեի՞ք, որ Գերմանիայում ՅՈՒՆԵՍԿՕ-ի պաշտպանության ներքո գտնվում է Կաստադել Մոնթե պալատը, որի համամասնությունների շնորհիվ կարելի է հաշվել պը։ Այս թվին մի ամբողջ պալատ է նվիրել Ֆրիդրիխ II թագավորը։

  Պարզվում է՝ Pi-ին փորձել են օգտագործել շինարարության մեջ։ Բաբելոնի աշտարակ... Բայց ի մեծ ափսոսանք, դա հանգեցրեց նախագծի փլուզմանը, քանի որ այդ ժամանակ pi-ի արժեքի ճշգրիտ հաշվարկը բավականաչափ ուսումնասիրված չէր:

  Երգիչ Քիթ Բուշն իր նոր սկավառակում ձայնագրել է «Pi» երգը, որը հնչում է հարյուր քսանչորս թվեր հանրահայտ համարների շարքից 3, 141… ..

  Որո՞նք են իռացիոնալ թվերը: Ինչո՞ւ են այդպես կոչվում։ Որտեղ են դրանք օգտագործվում և ինչ են դրանք: Քչերը կարող են առանց վարանելու պատասխանել այս հարցերին: Բայց իրականում դրանց պատասխանները բավականին պարզ են, թեև դրանք ոչ բոլորին են պետք և շատ հազվադեպ իրավիճակներում։

  Էությունը և նշանակումը

  Իռացիոնալ թվերն անսահման ոչ պարբերական են Այս հայեցակարգի ներդրման անհրաժեշտությունը պայմանավորված է նրանով, որ նախկինում գոյություն ունեցող իրական կամ իրական, ամբողջ, բնական և ռացիոնալ թվեր հասկացությունները բավարար չէին նոր առաջացող խնդիրներ լուծելու համար: Օրինակ՝ 2-րդ քառակուսու չափը պարզելու համար հարկավոր է օգտագործել ոչ պարբերական անվերջ տասնորդական կոտորակներ: Բացի այդ, ամենապարզ հավասարումներից շատերը նույնպես լուծում չունեն առանց իռացիոնալ թվի հայեցակարգի ներդրման:

  Այս բազմությունը նշվում է որպես I: Եվ, ինչպես արդեն պարզ է, այս արժեքները չեն կարող ներկայացվել որպես պարզ կոտորակ, որի համարիչում կլինի ամբողջ թիվ, իսկ հայտարարում՝

  Առաջին անգամ, այսպես թե այնպես, հնդիկ մաթեմատիկոսները բախվեցին այս երևույթին 7-րդ դարում, երբ պարզվեց, որ որոշ քանակությունների քառակուսի արմատները չեն կարող հստակ նշվել: Իսկ նման թվերի գոյության առաջին ապացույցը վերագրվում է Պյութագորաս Հիպասոսին, ով դա արել է հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյունի ուսումնասիրության գործընթացում։ Որոշ գիտնականներ, ովքեր ապրել են մեր դարաշրջանից առաջ, լուրջ ներդրում են ունեցել այս հավաքածուի ուսումնասիրության մեջ: Իռացիոնալ թվերի հայեցակարգի ներդրումը ենթադրում էր գոյություն ունեցող մաթեմատիկական համակարգի վերանայում, ինչի պատճառով դրանք այդքան կարևոր են:

  անվան ծագումը

  Եթե ​​լատիներեն հարաբերակցությունը «կոտորակ» է, «հարաբերակցություն», ապա «ir» նախածանցը.
  այս բառին տալիս է հակառակ նշանակություն. Այսպիսով, այս թվերի բազմության անվանումը ցույց է տալիս, որ դրանք չեն կարող փոխկապակցվել ամբողջ թվի կամ կոտորակի հետ, ունեն առանձին տեղ... Սա բխում է դրանց էությունից։

  Տեղադրել ընդհանուր դասակարգման մեջ

  Իռացիոնալ թվերը ռացիոնալ թվերի հետ պատկանում են իրական կամ իրական թվերի խմբին, որոնք իրենց հերթին բարդ են։ Չկան ենթաբազմություններ, սակայն կան հանրահաշվական և տրանսցենդենտալ տարատեսակներ, որոնք կքննարկվեն ստորև:

  

  Հատկություններ

  Քանի որ իռացիոնալ թվերը իրական թվերի բազմության մաս են կազմում, նրանց համար կիրառելի են նրանց բոլոր հատկությունները, որոնք ուսումնասիրվում են թվաբանության մեջ (դրանք կոչվում են նաև հիմնական հանրահաշվական օրենքներ):

  a + b = b + a (փոխադարձություն);

  (ա + բ) + գ = ա + (բ + գ) (ասոցիատիվություն);

  a + (-a) = 0 (հակառակ թվի առկայությունը);

  ab = ba (տեղահանման օրենք);

  (ab) c = a (bc) (բաշխվածություն);

  a (b + c) = ab + ac (բաշխման օրենք);

  a x 1 / a = 1 (փոխադարձի առկայություն);

  Համեմատությունն իրականացվում է նաև ընդհանուր օրենքների և սկզբունքների համաձայն.

  Եթե ​​a> b և b> c, ապա a> c (հարաբերության անցողիկությունը) և. և այլն:

  Իհարկե, բոլոր իռացիոնալ թվերը կարող են փոխակերպվել՝ օգտագործելով հիմնական թվաբանությունը: Դրա համար հատուկ կանոններ չկան:

  

  Բացի այդ, Արքիմեդի աքսիոմի գործողությունը տարածվում է իռացիոնալ թվերի վրա։ Այն ասում է, որ ցանկացած երկու մեծությունների համար a և b, պնդումը ճիշտ է՝ ընդունելով a-ն որպես ժամկետ բավականժամանակները կարելի է գերազանցել բ.

  Օգտագործումը

  Չնայած այն հանգամանքին, որ առօրյա կյանքում դուք ստիպված չեք լինում շատ հաճախ զբաղվել դրանց հետ, իռացիոնալ թվերը հնարավոր չէ հաշվել։ Դրանք շատ են, բայց գրեթե անտեսանելի են։ Մենք ամենուր շրջապատված ենք իռացիոնալ թվերով։ Բոլորին ծանոթ օրինակներ են pi-ն, որը հավասար է 3,1415926 ...-ին կամ e-ին, որն ըստ էության հիմքն է: բնական լոգարիթմ, 2.718281828 ... Հանրահաշվի, եռանկյունաչափության և երկրաչափության մեջ դրանք պետք է անընդհատ օգտագործվեն։ Ի դեպ, «ոսկե հարաբերակցության» հայտնի իմաստը, այսինքն՝ և՛ մեծ մասի հարաբերակցությունը փոքրին, և՛ հակառակը, նույնպես.

  

  վերաբերում է այս հավաքածուին: Քիչ հայտնի «արծաթը»՝ նույնպես։

  Թվային գծի վրա դրանք գտնվում են շատ խիտ, այնպես որ ռացիոնալների բազմությանը նշված ցանկացած երկու մեծությունների միջև անպայման հանդիպում է իռացիոնալը։

  Մինչ այժմ այս հավաքածուի հետ կապված բազմաթիվ չլուծված խնդիրներ կան։ Կան չափանիշներ, ինչպիսիք են իռացիոնալության չափը և թվի նորմալությունը: Մաթեմատիկոսները շարունակում են ուսումնասիրել այս կամ այն ​​խմբին պատկանելու ամենանշանակալի օրինակները։ Օրինակ, ենթադրվում է, որ e-ն նորմալ թիվ է, այսինքն՝ նրա գրառման մեջ տարբեր թվանշանների հայտնվելու հավանականությունը նույնն է։ Ինչ վերաբերում է pi-ին, ապա դրա վերաբերյալ հետազոտություններ են ընթանում։ Իռացիոնալության չափումը մեծություն է, որը ցույց է տալիս, թե ինչքան լավ կարող է որոշակի թիվը մոտավորվել ռացիոնալ թվերով:

  Հանրահաշվական և տրանսցենդենտալ

  Ինչպես արդեն նշվեց, իռացիոնալ թվերը պայմանականորեն բաժանվում են հանրահաշվական և տրանսցենդենտալի։ Պայմանականորեն, քանի որ, խստորեն ասած, այս դասակարգումն օգտագործվում է C բազմությունը բաժանելու համար։

  Այս նշանակումը թաքցնում է բարդ թվեր, որոնք ներառում են իրական կամ իրական:

  Այսպիսով, հանրահաշիվը արժեք է, որը բազմանդամի արմատ է, որը նույնական զրոյական չէ: Օրինակ, 2-ի քառակուսի արմատը կլինի այս կատեգորիայում, քանի որ դա x 2 - 2 = 0 հավասարման լուծումն է:

  Բոլոր մյուս իրական թվերը, որոնք չեն բավարարում այս պայմանին, կոչվում են տրանսցենդենտալ։ Այս բազմազանությունը ներառում է ամենահայտնի և արդեն հիշատակված օրինակները՝ pi թիվը և բնական լոգարիթմի հիմքը e.

  

  Հետաքրքիրն այն է, որ ոչ մեկը, ոչ էլ երկրորդը ի սկզբանե մաթեմատիկոսների կողմից չեն ենթադրվում այս որակով, դրանց իռացիոնալությունն ու գերազանցությունն ապացուցվել են դրանց բացահայտումից տարիներ անց: Pi-ի համար ապացույցը ներկայացվել է 1882-ին և պարզեցվել է 1894-ին՝ վերջ տալով շրջանագծի քառակուսիացման խնդրի շուրջ 2500 տարվա վեճին։ Այն դեռ լիովին հասկանալի չէ, ուստի ժամանակակից մաթեմատիկոսները աշխատելու բան ունեն։ Ի դեպ, այս արժեքի առաջին բավական ճշգրիտ հաշվարկը կատարել է Արքիմեդը։ Նրանից առաջ բոլոր հաշվարկները չափազանց կոպիտ էին։

  e-ի համար (Էյլերի կամ Նապիերի համարը) դրա գերազանցության ապացույցը հայտնաբերվել է 1873 թ. Օգտագործվում է լոգարիթմական հավասարումների լուծման մեջ։

  Այլ օրինակներ ներառում են սինուս, կոսինուս և շոշափող արժեքներ ցանկացած հանրահաշվական ոչ զրոյական արժեքների համար:

  Իռացիոնալ թիվ- սա իրական թիվ, որը ռացիոնալ չէ, այսինքն՝ չի կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ ամբողջ թվեր են,. Իռացիոնալ թիվը կարող է ներկայացվել որպես անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակ:

  Շատ իռացիոնալ թվեր սովորաբար նշվում են մեծատառ լատինատառով թավ, առանց լրացման: Այսպիսով, այսինքն. իռացիոնալ թվերի բազմությունն է իրական և ռացիոնալ թվերի բազմությունների տարբերությունը.

  Իռացիոնալ թվերի առկայության մասին, ավելի ճիշտ Միավոր երկարության հատվածի հետ անհամեմատելի հատվածներն արդեն հայտնի էին հին մաթեմատիկոսներին. նրանք գիտեին, օրինակ, քառակուսու անկյունագծի և կողմի անհամեմատելիությունը, ինչը հավասարազոր է թվի իռացիոնալությանը:

  Հատկություններ

  • Ցանկացած իրական թիվ կարելի է գրել անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով, մինչդեռ իռացիոնալ թվերը և միայն դրանք գրվում են ոչ պարբերական անվերջ տասնորդական կոտորակներով։
  • Իռացիոնալ թվերը ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ սահմանում են Dedekind բաժինները, որոնք չունեն ամենամեծ թիվը ստորին դասում և չունեն ամենափոքր թիվը վերին դասում։
  • Յուրաքանչյուր իրական տրանսցենդենտալ թիվ իռացիոնալ է:
  • Յուրաքանչյուր իռացիոնալ թիվ կամ հանրահաշվական է կամ տրանսցենդենտալ:
  • Իռացիոնալ թվերի բազմությունը թվային տողի վրա ամենուր խիտ է. ցանկացած երկու թվերի միջև կա իռացիոնալ թիվ:
  • Իռացիոնալ թվերի բազմության կարգը իզոմորֆ է իրական տրանսցենդենտալ թվերի բազմության կարգին:
  • Իռացիոնալ թվերի բազմությունն անհաշվելի է, այն երկրորդ կարգի բազմություն է։

  Օրինակներ

  Իռացիոնալ թվեր - ζ (3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

  Իռացիոնալ են.

  Իռացիոնալության ապացույցի օրինակներ

  2-ի արմատը

  Ենթադրենք հակառակը՝ ռացիոնալ, այսինքն՝ այն ներկայացված է որպես անկրճատելի կոտորակ, որտեղ ամբողջ թիվ է և բնական թիվ։ Ենթադրված հավասարությունը քառակուսի դարձնենք.

  .

  Այստեղից հետևում է, որ նույնիսկ նշանակում է նույնիսկ և. Թող լինի, որտեղ է ամբողջը: Հետո

  Հետեւաբար, նույնիսկ նշանակում է նույնիսկ եւ. Մենք ստացել ենք դա և զույգ ենք, ինչը հակասում է կոտորակի անկրճատելիությանը։ Սա նշանակում է, որ սկզբնական ենթադրությունը սխալ էր, և՝ իռացիոնալ թիվ։

  Երկուական լոգարիթմ 3

  Ենթադրենք հակառակը՝ ռացիոնալ, այսինքն՝ ներկայացված է որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են: Քանի որ, և կարող է ընտրվել որպես դրական: Հետո

  Բայց զույգ և կենտ. Մենք հակասություն ենք ստանում.

  ե

  Պատմություն

  Իռացիոնալ թվերի հայեցակարգը անուղղակիորեն ընդունվել է հնդիկ մաթեմատիկոսների կողմից մ.թ.ա. 7-րդ դարում, երբ Մանավան (մ.թ.ա. մոտ 750 թ. - մ.թ.ա. մոտ 690 թ.) հասկացավ, որ որոշ բնական թվերի քառակուսի արմատները, ինչպիսիք են 2-ը և 61-ը, չեն կարող բացահայտ արտահայտվել։ .

  Իռացիոնալ թվերի գոյության առաջին ապացույցը սովորաբար վերագրվում է Հիպպաս Մետապոնտացու (մ.թ.ա. մոտ 500 թ.), պյութագորացի, ով գտել է այս ապացույցը՝ ուսումնասիրելով հնգագրամի կողային երկարությունները։ Պյութագորասի ժամանակ ենթադրվում էր, որ կա երկարության մեկ միավոր, բավական փոքր և անբաժանելի, որը ցանկացած հատված մտնում է ամբողջ թվով անգամ։ Այնուամենայնիվ, Հիպասը ապացուցեց, որ երկարության ոչ մի միավոր չկա, քանի որ դրա գոյության ենթադրությունը հանգեցնում է հակասության: Նա ցույց տվեց, որ եթե հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսը պարունակում է միավոր հատվածների ամբողջ թիվ, ապա այդ թիվը պետք է լինի միաժամանակ և՛ զույգ, և՛ կենտ: Ապացույցն այսպիսի տեսք ուներ.

  • Հիպոթենուսի երկարության հարաբերությունը հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքի երկարությանը կարող է արտահայտվել որպես. ա:բ, որտեղ աև բընտրված է որպես ամենափոքր հնարավորը:
  • Պյութագորասի թեորեմի համաձայն. ա² = 2 բ².
  • Որովհետեւ ա² նույնիսկ, ապետք է լինի զույգ (քանի որ կենտ թվի քառակուսին կենտ կլիներ):
  • Այնքանով, որքանով ա:բանկրճատելի, բպետք է տարօրինակ լինի.
  • Որովհետեւ անույնիսկ, նշել ա = 2y.
  • Հետո ա² = 4 y² = 2 բ².
  • բ² = 2 y², հետևաբար բՈւստի հավասար է բնույնիսկ.
  • Այնուամենայնիվ, ապացուցվել է, որ բտարօրինակ. Հակասություն.

  Հույն մաթեմատիկոսներն անվանել են անհամեմատելի մեծությունների այս հարաբերակցությունը աալոգոս(անասելի), սակայն, ըստ լեգենդների, նրանք Հիպպասին արժանի հարգանք չեն տվել։ Լեգենդն ասում է, որ Հիպասոնը ծովային ճանապարհորդության ժամանակ հայտնագործություն է արել և նրան ծովից դուրս են նետել այլ Պյութագորացիներ «տիեզերքի մի տարր ստեղծելու համար, որը հերքում է այն վարդապետությունը, որ տիեզերքի բոլոր կազմավորումները կարող են կրճատվել մինչև ամբողջական թվեր և դրանց փոխհարաբերություններ»: Հիպասի հայտնաբերումը լուրջ խնդիր դրեց Պյութագորասի մաթեմատիկայի համար՝ ոչնչացնելով այն ենթադրությունը, որ ընկած է ամբողջ տեսության հիմքում, որ թվերն ու երկրաչափական առարկաները մեկ են և անբաժանելի։