خواص جذر جمع شدن است. خواص ریشه های مربع

خواص ریشه های مربع

تا کنون پنج عمل حسابی روی اعداد انجام داده ایم: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توان، و در محاسبات آنها به طور فعال استفاده می شود خواص مختلفاین عملیات، به عنوان مثال a + b = b + a، an-bn = (ab) n، و غیره.

این فصل یک عملیات جدید - استخراج را معرفی می کند ریشه دوماز یک عدد غیر منفی برای استفاده موفق از آن باید با خواص این عملیات آشنا شوید که در این قسمت به انجام آن خواهیم پرداخت.

اثبات اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! LANG: Equality" width="120" height="25 id=">!}.

قضیه بعدی را دقیقاً به این صورت بیان می کنیم.

(فرمول کوتاهی که در عمل راحت تر است: ریشه کسر برابر کسری استاز ریشه یا ریشه نصاب برابر با نصف ریشه است.)

این بار فقط می آوریم یادداشت کوتاهاثبات، و شما سعی می کنید نظرات مناسب، مشابه آنچه که جوهر اثبات قضیه 1 را تشکیل می دهد، ارائه دهید.

تبصره 3. البته، این مثال را می توان متفاوت حل کرد، به خصوص اگر یک ماشین حساب در دست داشته باشید: اعداد 36، 64، 9 را ضرب کنید و سپس جذر حاصل را استخراج کنید. با این حال، باید اعتراف کنید که راه حل پیشنهادی در بالا فرهنگی تر به نظر می رسد.

تبصره 4. در روش اول، محاسبات را به صورت "هدر رو" انجام دادیم. راه دوم زیباتر است:
ما درخواست دادیم فرمول a2 - b2 = (a - b) (a + b) و از خاصیت جذر استفاده کرد.

تبصره 5. برخی از هات هدها گاهی اوقات این راه حل را برای مثال 3 ارائه می دهند:

البته این درست نیست: می بینید - نتیجه مانند مثال 3 ما نیست. نکته این است که هیچ خاصیتی وجود ندارد. https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! LANG: Assignment" width="148" height="26 id=">!}فقط خواص مربوط به ضرب و تقسیم ریشه های مربع وجود دارد. مواظب باشید و مراقب باشید که خیالباف نباشید.

در پایان بخش، یک ویژگی نسبتا ساده و در عین حال مهم دیگر را یادداشت می کنیم:
اگر a> 0 و n - عدد طبیعی، سپس

تبدیل عبارات حاوی عملیات ریشه مربع

تا حالا من و تو فقط دگرگونی انجام داده ایم عبارات منطقی، با استفاده از قوانین اعمال در چند جمله ای و کسرهای جبری، فرمول های ضرب اختصاری و ... در این فصل یک عملیات جدید - عملیات استخراج جذر را معرفی کردیم. ما پیدا کردیم که

که در آن، به یاد بیاورید، a، b اعداد غیر منفی هستند.

با استفاده از اینها فرمول ها، می توانید تبدیل های مختلفی را روی عبارات حاوی عملیات ریشه مربع انجام دهید. بیایید چندین مثال را در نظر بگیریم و در همه مثال‌ها فرض می‌کنیم که متغیرها فقط مقادیر غیرمنفی می‌گیرند.

مثال 3.ضریب را زیر علامت جذر وارد کنید:

مثال 6... راه حل بیان را ساده کنید. بیایید تبدیل های متوالی را انجام دهیم:

مساحت یک زمین مربع 81 متر مربع می باشد. طرفش را پیدا کن فرض کنید طول ضلع یک مربع است NSدسی متر سپس مساحت سایت است NS² دسی متر مربع... از آنجایی که طبق شرایط، این منطقه 81 dm² است، پس NS² = 81. طول ضلع مربع یک عدد مثبت است. عدد مثبتی که مربع آن 81 است، عدد 9 است. هنگام حل مسئله، باید عدد x را که مربع آن 81 است، پیدا کنید، یعنی معادله را حل کنید. NS² = 81. این معادله دو ریشه دارد: ایکس 1 = 9 و ایکس 2 = - 9، زیرا 9² = 81 و (- 9) ² = 81. هر دو عدد 9 و - 9 را جذر 81 می نامند.

توجه داشته باشید که یکی از ریشه های مربع است NS= 9 یک عدد مثبت است. به آن جذر حسابی عدد 81 می گویند و √81 نشان داده می شود، بنابراین √81 = 9.

جذر حسابی یک عدد آعددی غیر منفی است که مربع آن برابر است آ.

به عنوان مثال، 6 و - 6 جذر 36 هستند. در این مورد، 6 ریشه دوم حسابی 36 است، زیرا 6 یک عدد غیر منفی و 6² = 36 است. عدد - 6 یک ریشه حسابی نیست.

جذر حسابی یک عدد آبه صورت زیر نشان داده می شود: √ آ.

این علامت را علامت ریشه مربع حسابی می نامند. آ- عبارت رادیکال نامیده می شود. بیان √ آخواندن بنابراین: جذر حسابی یک عدد آ.به عنوان مثال، √36 = 6، √0 = 0، √0.49 = 0.7. در مواردی که مشخص است که می آیددر مورد ریشه حسابی به اختصار می گویند: «ریشه دوم از آ«.

عمل یافتن جذر یک عدد را استخراج ریشه مربع می گویند. این عمل معکوس مربع کردن است.

هر عددی را می توان مجذور کرد، اما نمی توان از هر عددی جذر جع کرد. به عنوان مثال، شما نمی توانید ریشه دوم عدد 4 را استخراج کنید. اگر چنین ریشه ای وجود داشته باشد، آن را با حرف نشان دهید. NS، برابری اشتباه x2 = - 4 را دریافت می کنیم، زیرا یک عدد غیر منفی در سمت چپ و یک عدد منفی در سمت راست وجود دارد.

بیان √ آتنها زمانی معنا پیدا می کند که a ≥ 0. تعریف جذر را می توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت: √ a ≥ 0, (√آ)² = آ... برابری (√ آ)² = آمعتبر برای a ≥ 0. بنابراین، برای اطمینان از اینکه جذر یک عدد غیر منفی است آبرابر است با ب، یعنی که √ آ =ب، باید بررسی کنید که دو شرط زیر وجود دارد: b ≥ 0, ب² = آ.

ریشه مربع کسری

بیایید محاسبه کنیم. توجه داشته باشید که √25 = 5، √36 = 6، و بررسی کنید که آیا برابری برقرار است یا خیر.

زیرا و سپس برابری درست است. بنابراین، .

قضیه:اگر آ≥ 0 و ب> 0، یعنی ریشه کسر برابر است با ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج. اثبات این امر لازم است که: و .

از آنجایی که √ آ≥0 و √ ب> 0، سپس.

با خاصیت بالا بردن کسری به توان و تعریف جذر قضیه ثابت می شود بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

با قضیه اثبات شده محاسبه کنید .

مثال دوم: ثابت کن ، اگر آ ≤ 0, ب < 0. .

مثال دیگر: محاسبه کنید.

.

تبدیل ریشه های مربع

حذف یک عامل از علامت ریشه. بگذارید بیان داده شود. اگر آ≥ 0 و ب≥ 0، سپس با قضیه ریشه حاصلضرب می توانیم بنویسیم:

به چنین تبدیلی خارج کردن عامل از علامت ریشه می گویند. بیایید به یک مثال نگاه کنیم؛

محاسبه در NS= 2. تعویض مستقیم NS= 2 به یک عبارت رادیکال منجر به محاسبات پیچیده می شود. این محاسبات را می توان با حذف عوامل از علامت ریشه ساده کرد:. با جایگزینی x = 2، به دست می آوریم:.

بنابراین، هنگام حذف عامل از زیر علامت ریشه، عبارت رادیکال به شکل یک محصول ارائه می شود که در آن یک یا چند عامل مربع اعداد غیر منفی هستند. سپس قضیه ریشه محصول اعمال می شود و ریشه از هر عامل استخراج می شود. مثالی را در نظر بگیرید: عبارت А = √8 + √18 - 4√2 را با حذف عوامل از علامت ریشه در دو عبارت اول ساده کنید، به دست می آید:. ما تاکید می کنیم که برابری فقط برای آ≥ 0 و ب≥ 0. اگر آ < 0, то .

ریاضیات زمانی متولد شد که شخص از خود آگاه شد و شروع به قرار دادن خود به عنوان یک واحد مستقل از جهان کرد. میل به اندازه گیری، مقایسه، محاسبه آنچه شما را احاطه کرده است - این همان چیزی است که اساس یکی از علوم اساسی روزهای ما قرار دارد. در ابتدا، اینها ذرات ریاضیات ابتدایی بودند که ارتباط اعداد را با عبارات فیزیکی آنها ممکن می کرد، بعداً نتیجه گیری ها فقط به صورت نظری (به دلیل انتزاعی بودن آنها) ارائه شد، اما پس از مدتی، همانطور که یکی از دانشمندان بیان کرد، " ریاضیات زمانی به سقف پیچیدگی رسید که تمام اعداد را ناپدید کرد." مفهوم "ریشه مربع" در زمانی ظاهر شد که می‌توانست به راحتی توسط داده‌های تجربی پشتیبانی شود و فراتر از سطح محاسبات باشد.

چطور شروع شدند

اولین ذکر یک ریشه است که این لحظهبه عنوان √ نشان داده شده است، در آثار ریاضیدانان بابلی، که پایه و اساس حساب مدرن را پایه گذاری کردند، ثبت شد. البته، آنها به شکل فعلی شباهت نداشتند - دانشمندان آن سال ها برای اولین بار از قرص های حجیم استفاده کردند. اما در هزاره دوم ق.م. NS. آنها یک فرمول محاسباتی تقریبی را استخراج کردند که نحوه استخراج ریشه مربع را نشان می داد. عکس زیر سنگی را نشان می دهد که دانشمندان بابلی روند استنتاج √2 را روی آن حک کردند و آنقدر درست بود که اختلاف پاسخ فقط در رقم دهم اعشار یافت شد.

علاوه بر این، در صورت لزوم یافتن ضلع مثلث از ریشه استفاده می شد، مشروط بر اینکه دو ضلع دیگر مشخص باشد. خوب، هنگام حل معادلات درجه دوم، نمی توانید از استخراج ریشه دور شوید.

همراه با آثار بابلی، موضوع مقاله در کار چینی "ریاضیات در نه کتاب" مورد مطالعه قرار گرفت و یونانیان باستان به این نتیجه رسیدند که هر عددی که ریشه از آن بدون باقی مانده استخراج نشود، نتیجه غیرمنطقی می دهد.

اصل و نسب از این اصطلاحمرتبط با نمایش عربی عدد: دانشمندان باستان معتقد بودند که مربع یک عدد دلخواه از ریشه، مانند یک گیاه رشد می کند. در لاتین، این کلمه مانند ریشه به نظر می رسد (شما می توانید یک الگو را دنبال کنید - هر چیزی که بار معنایی "ریشه" دارد، همخوان است، چه تربچه یا رادیکولیت).

دانشمندان نسل های بعدی این ایده را اتخاذ کردند و از آن به عنوان Rx یاد کردند. مثلاً در قرن پانزدهم برای اینکه نشان دهند جذر یک عدد دلخواه a استخراج شده است، R 2 a نوشتند. معمولی نمای مدرن"تیک" - فقط در قرن 17 به لطف رنه دکارت ظاهر شد.

روزهای ما

از نظر ریاضی، جذر y عدد z است که مربع آن y است. به عبارت دیگر z 2 = y معادل √y = z است. ولی این تعریفمربوط فقط برای ریشه حسابیزیرا بر ارزش غیر منفی عبارت دلالت دارد. به عبارت دیگر √y = z که z بزرگتر یا مساوی 0 است.

V مورد کلیکه برای تعریف ریشه جبری معتبر است، مقدار عبارت می تواند مثبت یا منفی باشد. بنابراین، از آنجایی که z 2 = y و (-z) 2 = y، داریم: √y = ± z یا √y = | z |.

با توجه به اینکه عشق به ریاضیات تنها با پیشرفت علم افزایش یافته است، دلبستگی به آن نمودهای مختلفی دارد که در محاسبات خشک بیان نمی شود. به عنوان مثال، در کنار پدیده های جالبی مانند روز عدد پی، تعطیلات ریشه مربع نیز جشن گرفته می شود. آنها در صد سال نه بار جشن می گیرند و بر اساس اصل زیر تعیین می شوند: اعدادی که روز و ماه را به ترتیب تعیین می کنند باید جذر سال باشد. بنابراین، دفعه بعد این تعطیلات در 4 آوریل 2016 جشن گرفته می شود.

خواص ریشه مربع در میدان R

تقریبا همه عبارات ریاضیدارای مبنای هندسی هستند، این سرنوشت نگذشته است و √y که به عنوان ضلع مربع با مساحت y تعریف می شود.

چگونه ریشه یک عدد را پیدا کنم؟

چندین الگوریتم محاسبه وجود دارد. ساده ترین، اما در عین حال نسبتاً دست و پا گیر، محاسبه معمولی حسابی است که به شرح زیر است:

1) اعداد فرد از عددی که ریشه آن نیاز داریم کم می شود تا زمانی که باقیمانده در خروجی کمتر از یک تفریق شده یا حتی برابر با صفر شود. تعداد حرکات در نهایت به تعداد لازم تبدیل می شود. برای مثال، محاسبه جذر 25:

عدد فرد بعدی 11 است، باقیمانده زیر را داریم: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

برای چنین مواردی، یک بسط سری تیلور وجود دارد:

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n، که در آن n از 0 تا

+ ∞ و | y | ≤1.

نمایش گرافیکی تابع z = √y

یک تابع ابتدایی z = √y را در میدان اعداد حقیقی R در نظر بگیرید، جایی که y بزرگتر یا مساوی صفر است. نمودار آن به شکل زیر است:

منحنی از مبدأ رشد می کند و لزوماً نقطه (1؛ 1) را قطع می کند.

ویژگی های تابع z = √y در میدان اعداد حقیقی R

1. دامنه تعریف تابع مورد بررسی، بازه صفر تا بعلاوه بی نهایت است (صفر شامل می شود).

2. محدوده مقادیر تابع مورد بررسی، بازه صفر تا بعلاوه بی نهایت است (صفر، باز هم شامل می شود).

3. تابع حداقل مقدار (0) را فقط در نقطه (0; 0) می گیرد. حداکثر مقدار وجود ندارد.

4. تابع z = √y نه زوج است و نه فرد.

5. تابع z = √y تناوبی نیست.

6. تنها یک نقطه تلاقی نمودار تابع z = √y با محورهای مختصات وجود دارد: (0; 0).

7. نقطه تقاطع نمودار تابع z = √y نیز صفر این تابع است.

8. تابع z = √y به طور پیوسته رشد می کند.

9. تابع z = √y فقط مقادیر مثبت می گیرد، بنابراین، نمودار آن اولین زاویه مختصات را اشغال می کند.

انواع تابع z = √y

در ریاضیات، برای تسهیل در محاسبه عبارات پیچیده، گاهی اوقات از شکل قدرت نوشتن جذر استفاده می کنند: √y = y 1/2. این گزینه برای مثال برای بالا بردن یک تابع به توان مناسب است: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. این روش همچنین نمایش خوبی برای تمایز با ادغام است، زیرا به لطف آن، ریشه دوم با یک تابع توان معمولی نشان داده می شود.

و در برنامه نویسی جایگزین علامت √ ترکیب حروف sqrt است.

لازم به ذکر است که در این منطقه، جذر جذر بسیار مورد تقاضا است، زیرا در اکثر فرمول های هندسی مورد نیاز برای محاسبات گنجانده شده است. الگوریتم شمارش خود کاملاً پیچیده است و بر اساس بازگشت (عملکردی که خود را فراخوانی می کند) است.

ریشه مربع در یک میدان پیچیده C

به طور کلی، موضوع این مقاله بود که کشف میدان اعداد مختلط C را تحریک کرد، زیرا ریاضیدانان درگیر مسئله به دست آوردن یک ریشه زوج از یک عدد منفی بودند. به این ترتیب واحد خیالی i ظاهر شد که با یک ویژگی بسیار جالب مشخص می شود: مربع آن -1 است. به همین دلیل معادلات درجه دوم و با ممیز منفی جوابی به دست آمد. در C، برای جذر، همان ویژگی های R مرتبط است، تنها چیزی که محدودیت ها از عبارت رادیکال حذف شده است.

فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی ..." هستند
و برای کسانی که "خیلی ...")

در درس قبل متوجه شدیم جذر چیست... وقت آن است که بفهمیم کدام یک وجود دارند فرمول های ریشهچه هستند خواص ریشهو با همه اینها چه کاری می توانید انجام دهید.

فرمول های ریشه، ویژگی های ریشه و قوانین برای اقدامات با ریشهدر اصل یک چیز هستند. به طور شگفت انگیزی فرمول های کمی برای ریشه های مربع وجود دارد. که البته خوشحال می شود! در عوض، می توانید انواع فرمول های زیادی بنویسید، اما برای کار عملی و مطمئن با ریشه، تنها سه مورد کافی است. بقیه این سه جریان. اگرچه بسیاری از افراد در سه فرمول ریشه گم می شوند، بله ...

بیایید با ساده ترین شروع کنیم. او آنجاست:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.