چه کسرهای یکسان مساوی هستند. تبدیلات یکسان عبارات، انواع آنها

موضوع "مدارک هویتیدرجه 7 (KRO)

کتاب درسی Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

اهداف درس

آموزشی:

آشنایی و ابتدا ادغام مفاهیم "عبارات یکسان برابر"، "هویت"، "تحولات یکسان"؛

راه‌های اثبات هویت را در نظر بگیرید، به توسعه مهارت‌های اثبات هویت کمک کنید.

بررسی جذب مطالب پاس شده توسط دانش آموزان، شکل گیری مهارت های به کارگیری آموخته ها برای درک مطالب جدید.

در حال توسعه:

توسعه گفتار ریاضی باسواد دانش آموزان (غنی و پیچیده واژگانهنگام استفاده از اصطلاحات خاص ریاضی)

توسعه تفکر،

آموزشی: برای آموزش اهتمام، دقت، صحت ثبت حل تمرین ها.

نوع درس: یادگیری مطالب جدید

در طول کلاس ها

1 . زمان سازماندهی.

بررسی تکلیف.

سوالات تکلیف.

تجزیه و تحلیل محلول در تخته سیاه.

ریاضی مورد نیاز است
شما نمی توانید بدون او زندگی کنید
ما آموزش می دهیم، ما آموزش می دهیم، دوستان،
از صبح چه یادی می کنیم؟

2 ... بیایید یک گرم کردن انجام دهیم.

نتیجه اضافه (مجموع)

چند عدد می دانید؟ (ده)

یک صدم عدد. (درصد)

نتیجه تقسیم؟ (خصوصی)

کوچکترین عدد طبیعی؟ (1)

آیا هنگام تقسیم اعداد طبیعی می توان به صفر رسید؟ (نه)

بزرگترین عدد صحیح منفی چیست؟ (-1)

بر چه عددی قابل تقسیم نیست؟ (0)

حاصل ضرب؟ (کار)

نتیجه تفریق (تفاوت)

خاصیت جابجایی جمع. (مجموع از ترتیب مجدد مکان شرایط تغییر نمی کند)

خاصیت سفر ضرب. (محصول از جایگشت ضریب ها تغییر نمی کند)

یادگیری موضوع جدید (تعریف با نوشتن در دفترچه یادداشت)

مقدار عبارات x = 5 و y = 4 را بیابید

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27

3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27

ما همین نتیجه را گرفتیم. از ویژگی توزیع چنین بر می آید که به طور کلی برای هر مقدار از متغیرها، مقادیر عبارات 3 (x + y) و 3x + 3y برابر است.

حال عبارات 2x + y و 2xy را در نظر بگیرید. برای x = 1 و y = 2، مقادیر مساوی می گیرند:

با این حال، می توانید مقادیر x و y را طوری تعیین کنید که مقادیر این عبارات برابر نباشند. به عنوان مثال، اگر x = 3، y = 4، پس

تعریف: دو عبارتی که مقادیر آنها برای هر مقدار از متغیرها برابر است، یکسان برابر نامیده می شوند.

عبارات 3 (x + y) و 3x + 3y به طور یکسان برابر هستند، اما عبارات 2x + y و 2xy یکسان برابر نیستند.

برابری 3 (x + y) و 3x + 3y برای هر مقدار x و y صادق است. به چنین برابری هایی هویت می گویند.

تعریف:برابری که برای هر مقدار از متغیرها صادق است، هویت نامیده می شود.

برابری های عددی واقعی نیز هویت محسوب می شوند. ما قبلاً با هویت ها ملاقات کرده ایم. هویت ها برابری هایی هستند که ویژگی های اساسی اعمال روی اعداد را بیان می کنند (دانش آموزان در مورد هر ویژگی نظر می دهند و آن را تلفظ می کنند).

a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab) c = a (bc)
a (b + c) = ab + ac

نمونه های دیگری از هویت ها را ذکر کنید

تعریف: جایگزینی یک عبارت با عبارتی دیگر، یک عبارت برابر، تبدیل هویت یا به سادگی تبدیل بیان نامیده می شود.

تبدیل‌های یکسان عبارات با متغیرها بر اساس ویژگی‌های اعمال روی اعداد انجام می‌شود.

تبدیل های یکسان عبارات به طور گسترده در محاسبه مقادیر عبارات و حل مسائل دیگر استفاده می شود. شما قبلاً برخی از تبدیل‌های یکسان را انجام داده‌اید، به عنوان مثال، عبارت‌های مشابه را ریخته‌اید، پرانتز را بسط داده‌اید.

5 ... شماره 691 شماره 692 (با تلفظ قوانین باز شدن پرانتز ضرب اعداد منفی و مثبت)

هویت برای انتخاب راه حل منطقی:(کار جلویی)

6 ... جمع بندی درس.

معلم سوالاتی می پرسد و دانش آموزان هر طور که می خواهند به آنها پاسخ می دهند.

کدام دو عبارت به طور یکسان برابر هستند؟ مثال بزن.

چه برابری هویت نامیده می شود؟ مثال زدن.

چه تحولات یکسانی را می شناسید؟

7. مشق شب. تعاریف را بیاموزید، مثال هایی از عبارات یکسان بیاورید (حداقل 5)، آنها را در یک دفتر یادداشت کنید.

در جریان مطالعه جبر، به مفاهیم چند جمله ای (برای مثال ($ yx $، $ \ 2x ^ 2-2x $ و غیره) و یک کسر جبری (مثلا $ \ frac (x + 5) برخورد کردیم. (x) $, $ \ frac (2x ^ 2) (2x ^ 2-2x) $, $ \\ frac (xy) (yx) $ و غیره) شباهت این مفاهیم این است که هم در چند جمله ای ها و هم در جبری در کسرها متغیرها و مقادیر عددی وجود دارد، اعمال حسابی: جمع، تفریق، ضرب، افزایش به توان. انجام شده.

هم چند جمله ای ها و هم کسرهای جبری در ریاضیات را عبارات جبری گویا می نامند. اما چند جمله ای ها عبارت های گویا کامل هستند و کسرهای جبری عبارت های گویا کسری هستند.

شما می توانید یک عبارت جبری کامل را از یک عبارت کسری-گویا با استفاده از تبدیل یکسان بدست آورید، که در این حالت ویژگی اصلی کسری خواهد بود - کاهش کسرها. بیایید آن را در عمل بررسی کنیم:

مثال 1

انجام تبدیل: $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $

راه حل:این معادله کسری - گویا را می توان با استفاده از ویژگی اصلی کسر-کاهش تبدیل کرد. تقسیم صورت و مخرج بر همان عدد یا عبارتی غیر از $ 0.

این کسری را نمی توان بلافاصله لغو کرد، لازم است که شمارنده را تبدیل کنید.

ما عبارت را در شماره کسری تبدیل می کنیم، برای این کار از فرمول مربع اختلاف استفاده می کنیم: $ a ^ 2-2ab + b ^ 2 = ((a-b)) ^ 2 $

کسری به نظر می رسد

\ [\ فراک (x ^ 2-4x + 4) (x-2) = \ فرک (x ^ 2-4x + 4) (x-2) = \ فرک (((x-2)) ^ 2) ( x-2) = \ frac (\ چپ (x-2 \ راست) (x-2)) (x-2) \]

اکنون می بینیم که یک عامل مشترک در صورت و مخرج وجود دارد - این عبارت $ x-2 $ است که به وسیله آن کسر را لغو می کنیم.

\ [\ فراک (x ^ 2-4x + 4) (x-2) = \ فرک (x ^ 2-4x + 4) (x-2) = \ فرک (((x-2)) ^ 2) ( x-2) = \ فرک (\ چپ (x-2 \ راست) (x-2)) (x-2) = x-2 \]

پس از کاهش، ما آن را اصلی دریافت کردیم بیان منطقی کسری$ \ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ به یک چند جمله ای $ x-2 $ تبدیل شده است، یعنی. کاملا منطقی

حال بیایید به این واقعیت توجه کنیم که عبارات $ \ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ و $ x-2 \ $ را می توان نه برای همه مقادیر متغیر یکسان در نظر گرفت ، زیرا برای اینکه عبارت منطقی کسری وجود داشته باشد و بتوان آن را با چند جمله‌ای $ x-2 $ کاهش داد، مخرج کسری نباید برابر با $ 0 باشد (و همچنین عاملی که با آن لغو می‌کنیم. این مثالمخرج و عامل یکسان است، اما همیشه اینطور نیست).

مقادیر متغیری که در آن کسری جبری وجود خواهد داشت، مقادیر مجاز متغیر نامیده می شود.

اجازه دهید یک شرط بر روی مخرج کسر قرار دهیم: $ x-2 ≠ 0 $، سپس $ x ≠ 2 $.

از این رو عبارات $ \ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ و $ x-2 $ برای همه مقادیر متغیر به جز $ 2 یکسان هستند.

تعریف 1

یکسان برابرعباراتی هستند که برای تمام مقادیر مجاز متغیر برابر هستند.

تبدیل یکسان عبارت است از هر جایگزینی عبارت اصلی با عبارتی مشابه آن. این تبدیل ها شامل انجام اعمال: جمع، تفریق، ضرب، خارج کردن یک عامل مشترک از براکت، ریخته گری است. کسرهای جبریبه مخرج مشترک، کاهش کسرهای جبری، کاهش عبارت های مشابه و غیره. باید در نظر داشت که تعدادی از تبدیل ها مانند کاهش، کاهش اصطلاحات مشابه می تواند مقادیر مجاز متغیر را تغییر دهد.

تکنیک های مورد استفاده برای اثبات هویت

با استفاده از تبدیل هویت، سمت چپ هویت را به سمت راست یا برعکس بیاورید

با استفاده از تبدیل های یکسان، هر دو طرف را به یک عبارت کاهش دهید

عبارات یک عبارت را به قسمت دیگر منتقل کنید و ثابت کنید که تفاوت حاصل برابر 0 $ است

استفاده از کدام یک از روش های فوق برای اثبات هویت معین به هویت اصلی بستگی دارد.

مثال 2

اثبات هویت $ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

راه حل:برای اثبات این هویت، از روش اول از روش های فوق استفاده می کنیم، یعنی سمت چپ هویت را به برابری با سمت راست تبدیل می کنیم.

سمت چپ هویت را در نظر بگیرید: $ \ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) $ - تفاوت دو چند جمله ای است. در این حالت چند جمله ای اول مجذور مجموع سه جمله است و برای مجذور مجموع چند جمله از فرمول استفاده می کنیم:

\ [((a + b + c)) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc \]

برای این کار باید عدد را در یک چند جمله ای ضرب کنیم. به یاد بیاوریم که برای این کار باید عامل مشترک خارج از پرانتز را در هر جمله چند جمله ای داخل پرانتز ضرب کنیم. سپس به دست می آید:

2 دلار (ab + ac + bc) = 2ab + 2ac + 2bc $

حالا بیایید به چند جمله ای اصلی برگردیم، به شکل زیر در می آید:

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = \ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) $

لطفا توجه داشته باشید که علامت "-" در جلوی پرانتز قرار دارد، به این معنی که وقتی پرانتز باز می شود، تمام کاراکترهایی که در داخل پرانتز بودند برعکس می شوند.

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = \ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc $

با توجه به اصطلاحات مشابه، دریافتیم که تک‌جملات $ 2ab $، $ 2ac $، $ \ 2bc $ و $ -2ab $، $ - 2ac $، $ -2bc $ متقابلا نابود می‌شوند، یعنی. مجموع آنها برابر با 0 دلار است.

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = \ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

این بدان معنی است که ما با تبدیل های یکسان به دست آورده ایم بیان یکساندر سمت چپ هویت اصلی

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = \ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

توجه داشته باشید که عبارت به دست آمده نشان می دهد که هویت اصلی درست است.

توجه داشته باشید که همه مقادیر متغیر در هویت اصلی قابل پذیرش هستند، به این معنی که ما هویت را با استفاده از تبدیل‌های یکسان ثابت کرده‌ایم و برای همه مقادیر مجاز متغیر صادق است.

ویژگی های اساسی جمع و ضرب اعداد.

خاصیت جابجایی جمع: مقدار مجموع از جایگشت عبارت ها تغییر نمی کند. برای هر عدد a و b برابر است

خاصیت ترکیبی جمع: برای اینکه عدد سومی را به مجموع دو عدد اضافه کنید، می توانید مجموع عدد دوم و سوم را به عدد اول اضافه کنید. برای هر عدد a، b و c برابری

خاصیت جابجایی ضرب: مقدار حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند. برای هر عدد a، b و c برابری

خاصیت ترکیبی ضرب: برای ضرب حاصل ضرب دو عدد در عدد سوم می توان عدد اول را در حاصل ضرب دوم و سوم ضرب کرد.

برای هر عدد a، b و c برابری

ویژگی توزیعی: برای ضرب یک عدد در یک مجموع، می توانید آن عدد را در هر جمله ضرب کنید و نتایج را اضافه کنید. برای هر عدد a، b و c برابری

از ویژگی‌های جابجایی و ترکیبی جمع چنین می‌شود: در هر مجموع، می‌توانید عبارت‌ها را به دلخواه خود مرتب کنید و دلخواه آنها را در گروه‌ها ترکیب کنید.

مثال 1 بیایید مجموع 1.23 + 13.5 + 4.27 را محاسبه کنیم.

برای این، ترکیب ترم اول با سوم راحت است. ما گرفتیم:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

از ویژگی‌های قابل انتقال و ترکیبی ضرب چنین برمی‌آید: در هر محصولی، می‌توانید عوامل را به دلخواه خود مرتب کنید و آنها را به صورت دلخواه در گروه‌ها ترکیب کنید.

مثال 2 مقدار محصول 1.8 · 0.25 · 64 · 0.5 را بیابید.

با ترکیب عامل اول با عامل چهارم و دومی با عامل سوم خواهیم داشت:

1.8 0.25 64 0.5 = (1.8 0.5) (0.25 64) = 0.9 16 = 14.4.

خاصیت توزیع نیز زمانی صادق است که عدد در مجموع سه جمله یا بیشتر ضرب شود.

به عنوان مثال، برای هر عدد a، b، c و d، تساوی است

a (b + c + d) = ab + ac + ad.

می دانیم که تفریق را می توان با اضافه کردن عدد مقابل به عددی که باید تفریق کرد با جمع جایگزین کرد:

این امکان یک عبارت عددی را فراهم می کند نوع a-bمجموع اعداد a و -b را در نظر بگیرید، عبارت عددی شکل a + bcd را مجموع اعداد a، b، -c، -d و غیره در نظر بگیرید. خصوصیات در نظر گرفته شده اعمال نیز برای چنین مجموعی معتبر است. .

مثال 3 مقدار عبارت 3.27-6.5-2.5 + 1.73 را بیابید.

این عبارت حاصل جمع اعداد 3.27، -6.5، -2.5 و 1.73 است. با اعمال ویژگی های جمع، به دست می آوریم: 3.27-6.5-2.5 + 1.73 = (3.27 + 1.73) + (- 6.5-2.5) = 5 + (- 9) = -4.

مثال 4 بیایید حاصل ضرب 36 · () را محاسبه کنیم.

ضریب را می توان به عنوان مجموع اعداد و - در نظر گرفت. با استفاده از خاصیت توزیع ضرب، به دست می آوریم:

36 () = 36 -36 = 9-10 = -1.

هویت ها

تعریف. دو عبارت که مقادیر متناظر آنها برای هر مقدار از متغیرها برابر است، یکسان برابر نامیده می شوند.

تعریف. برابری که برای هر مقدار از متغیرها صادق است، هویت نامیده می شود.

مقادیر عبارات 3 (x + y) و 3x + 3y را در x = 5، y = 4 بیابید:

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27،

3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.

ما همین نتیجه را گرفتیم. از ویژگی توزیع چنین بر می آید که به طور کلی برای هر مقدار از متغیرها، مقادیر متناظر عبارات 3 (x + y) و 3x + 3y برابر است.

حال عبارات 2x + y و 2xy را در نظر بگیرید. برای x = 1، y = 2، آنها مقادیر مساوی می گیرند:

با این حال، می توانید مقادیر x و y را مشخص کنید تا مقادیر این عبارات برابر نباشند. به عنوان مثال، اگر x = 3، y = 4، پس

عبارات 3 (x + y) و 3x + 3y به طور یکسان برابر هستند، اما عبارات 2x + y و 2xy یکسان برابر نیستند.

برابری 3 (x + y) = x + 3y که برای هر مقدار x و y صادق است، یک هویت است.

برابری های عددی واقعی نیز هویت محسوب می شوند.

بنابراین، هویت ها برابری هایی هستند که ویژگی های اساسی اعمال روی اعداد را بیان می کنند:

a + b = b + a، (a + b) + c = a + (b + c)،

ab = ba، (ab) c = a (bc)، a (b + c) = ab + ac.

نمونه های دیگری از هویت را می توان ذکر کرد:

a + 0 = a، a + (- a) = 0، a-b = a + (- b)،

a 1 = a، a (-b) = - ab، (-a) (- b) = ab.

تبدیل عبارات یکسان

جایگزینی یک عبارت با عبارتی دیگر که به طور یکسان با آن بیان می شود، تبدیل یکسان یا به سادگی تبدیل عبارت نامیده می شود.

تبدیل‌های یکسان عبارات با متغیرها بر اساس ویژگی‌های اعمال روی اعداد انجام می‌شود.

برای یافتن مقدار عبارت xy-xz با توجه به مقادیر x، y، z، باید سه مرحله را انجام دهید. به عنوان مثال، برای x = 2.3، y = 0.8، z = 0.2 دریافت می کنیم:

xy-xz = 2.3 0.8-2.3 0.2 = 1.84-0.46 = 1.38.

این نتیجه را می توان تنها با انجام دو مرحله به دست آورد، اگر از عبارت x (y-z) استفاده کنیم که مشابه عبارت xy-xz است:

xy-xz = 2.3 (0.8-0.2) = 2.3 0.6 = 1.38.

ما محاسبات را با جایگزین کردن عبارت xy-xz با عبارت یکسان x (y-z) ساده کردیم.

تبدیل های یکسان عبارات به طور گسترده در محاسبه مقادیر عبارات و حل مسائل دیگر استفاده می شود. برخی از تبدیل های یکسان قبلاً انجام شده است، به عنوان مثال، کاهش اصطلاحات مشابه، گسترش پرانتزها. بیایید قوانین انجام این تبدیل ها را به یاد بیاوریم:

برای ارائه چنین عباراتی، باید ضرایب آنها را اضافه کنید و نتیجه را در قسمت کل حرف ضرب کنید.

اگر در جلوی پرانتزها علامت مثبت وجود داشته باشد، می‌توان براکت‌ها را حذف کرد و علامت هر عبارت را در داخل پرانتز نگه داشت.

اگر در جلوی پرانتزها علامت منفی وجود داشته باشد، می‌توان با تغییر علامت هر عبارتی که در داخل پرانتز قرار گرفته است، براکت‌ها را حذف کرد.

مثال 1 بیایید عبارات مشابه را در مجموع 5x + 2x-3x بیاوریم.

ما از قاعده کاهش چنین عباراتی استفاده خواهیم کرد:

5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.

این تبدیل بر اساس خاصیت توزیع ضرب است.

مثال 2 پرانتز را در عبارت 2a + (b-3c) باز کنید.

اعمال قانون برای گسترش پرانتز قبل از علامت مثبت:

2a + (b-3c) = 2a + b-3c.

تبدیل انجام شده بر اساس ویژگی ترکیبی جمع است.

مثال 3 بیایید پرانتزهای عبارت a- (4b-c) را گسترش دهیم.

بیایید از قانون برای گسترش پرانتزهای قبل از علامت منفی استفاده کنیم:

a- (4b-c) = a-4b + c.

تبدیل انجام شده بر اساس خاصیت توزیع ضرب و ترکیب ترکیبی است. بیایید آن را نشان دهیم. ما در این عبارت عبارت دوم - (4b-c) را به عنوان یک محصول (-1) (4b-c) نشان می دهیم:

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c).

با اعمال ویژگی های اقدام مشخص شده، دریافت می کنیم:

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.

این مقاله یک مقدمه را ارائه می دهد مفهوم هویت ها... در اینجا یک هویت را تعریف می کنیم، نماد استفاده شده را معرفی می کنیم و البته مثال های مختلفی از هویت ها را می آوریم.

پیمایش صفحه.

هویت چیست؟

منطقی است که ارائه مطالب را با تعاریف هویت... در کتاب درسی Yu.N. Makarychev، جبر برای 7 کلاس، تعریف هویت به شرح زیر است:

تعریف.

هویت- این برابری برای هر مقدار از متغیرها صادق است. هر برابری عددی معتبر نیز یک هویت است.

در این صورت نویسنده بلافاصله شرط می کند که در آینده این تعریف روشن شود. این پالایش در درجه 8 و پس از آشنایی با تعریف مقادیر مجاز متغیرها و OVS صورت می گیرد. تعریف به این صورت می شود:

تعریف.

هویت ها- اینها برابری های عددی واقعی و همچنین برابری هایی هستند که برای همه مقادیر مجاز متغیرهای موجود در آنها صادق هستند.

پس چرا هنگام تعریف هویت، در کلاس هفتم در مورد مقادیر متغیرها صحبت می کنیم و در کلاس هشتم شروع به صحبت در مورد مقادیر متغیرها از ODZ آنها می کنیم؟ تا درجه 8، کار به طور انحصاری با عبارات اعداد صحیح (به ویژه با تک جمله ها و چندجمله ای ها) انجام می شود و آنها برای هر مقدار از متغیرهای موجود در آنها منطقی هستند. بنابراین در کلاس هفتم می گوییم هویت برابری است که برای هر مقدار از متغیرها صادق است. و در کلاس هشتم، عباراتی ظاهر می شود که قبلاً نه برای همه مقادیر متغیرها، بلکه فقط برای مقادیر ODZ آنها معنی دارد. بنابراین، ما شروع به نامیدن هویت‌ها برابری می‌کنیم که برای همه مقادیر قابل قبول متغیرها صادق هستند.

بنابراین، هویت است مورد خاصبرابری یعنی هر هویتی یک برابری است. اما هر برابری یک هویت نیست، بلکه فقط چنین برابری است که برای هر مقدار از متغیرها از محدوده مقادیر مجاز آنها صادق است.

علامت هویت

مشخص است که در علامت گذاری تساوی ها از علامت مساوی به شکل «="» استفاده می شود که در سمت چپ و راست آن اعداد یا عبارت هایی وجود دارد. اگر یک خط افقی دیگر به این علامت اضافه کنیم، به دست می آید علامت هویت"≡"، یا همانطور که به آن نیز گفته می شود علامت هویت.

علامت هویت معمولاً تنها زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که لازم باشد تأکید شود که ما نه تنها با برابری، بلکه با هویت روبرو هستیم. در موارد دیگر، علامت گذاری هویت ها از نظر شکل با برابری ها تفاوتی ندارد.

نمونه هایی از هویت ها

زمان رهبری فرا رسیده است نمونه هایی از هویت ها... تعریف هویت ارائه شده در پاراگراف اول به ما در این امر کمک خواهد کرد.

برابری‌های عددی 2 = 2 و نمونه‌هایی از هویت‌ها هستند، زیرا این برابری‌ها صادق هستند و هر برابری عددی واقعی، بنا به تعریف، یک هویت است. آنها را می توان به صورت 2≡2 و نوشت.

برابری های عددی به شکل 2 + 3 = 5 و 7-1 = 2 · 3 نیز هویت هستند، زیرا این برابری ها صادق هستند. یعنی 2 + 3≡5 و 7−1≡2 · 3.

ما به نمونه‌هایی از هویت‌ها می‌پردازیم که نه تنها شامل اعداد، بلکه متغیرهایی در نماد آنها هستند.

برابری 3 (x + 1) = 3 x + 3 را در نظر بگیرید. برای هر مقدار از متغیر x، برابری نوشته شده به دلیل خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع صادق است، بنابراین، برابری اصلی نمونه‌ای از یک هویت است. در اینجا یک مثال دیگر از هویت است: y (x − 1) ≡ (x − 1) x: x y 2: y، در اینجا محدوده مقادیر مجاز متغیرهای x و y از همه جفت ها (x,y) تشکیل شده است، که در آن x و y هر عددی به جز صفر هستند.

اما برابری های x + 1 = x − 1 و a + 2 b = b + 2 a هویت نیستند، زیرا مقادیر متغیرهایی وجود دارد که این برابری ها برای آنها نادرست خواهد بود. به عنوان مثال، برای x = 2 برابری x + 1 = x - 1 به برابری کاذب 2 + 1 = 2-1 تبدیل می شود. علاوه بر این، برابری x + 1 = x − 1 برای هیچ یک از مقادیر متغیر x به هیچ وجه به دست نمی آید. و تساوی a + 2 b = b + 2 a اگر مقادیر متفاوتی از متغیرهای a و b بگیریم به یک برابری نادرست تبدیل می شود. به عنوان مثال، برای a = 0 و b = 1، به تساوی نادرست 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0 می رسیم. برابری | x | = x، جایی که | x | - متغیر x نیز یک هویت نیست، زیرا برای مقادیر منفی x معتبر نیست.

نمونه‌هایی از معروف‌ترین هویت‌ها عبارتند از sin 2 α + cos 2 α = 1 و log a b = b.

در خاتمه این مقاله، مایلم به این نکته اشاره کنم که در مطالعه ریاضیات دائماً با هویت ها مواجه می شویم. رکوردهای دارایی اقدامات با اعداد هویت هستند، به عنوان مثال، a + b = b + a، 1 a = a، 0 a = 0، و a + (- a) = 0. همچنین هویت ها هستند

تبدیل‌های یکسان نشان‌دهنده کاری است که ما با عبارات عددی و تحت اللفظی انجام می‌دهیم، و همچنین عباراتی که حاوی متغیر هستند. ما همه این تحولات را انجام می دهیم تا عبارت اصلی را به شکلی برسانیم که برای حل مشکل راحت باشد. ما انواع اصلی تبدیل های یکسان را در این مبحث در نظر خواهیم گرفت.

Yandex.RTB R-A-339285-1

تبدیل یکسان یک عبارت چیست؟

برای اولین بار که با مفهوم تبدیل یکسان روبرو می شویم، در کلاس هفتم در درس جبر هستیم. در همان زمان، ابتدا با مفهوم عبارات یکسان برابر آشنا می شویم. بیایید مفاهیم و تعاریف را درک کنیم تا موضوع را راحت تر درک کنیم.

تعریف 1

تبدیل یکسان یک عبارتآیا اقداماتی با هدف جایگزینی عبارت اصلی با عبارتی انجام می شوند که به طور یکسان با عبارت اصلی برابر باشد.

اغلب این تعریف به صورت اختصاری استفاده می شود که در آن کلمه "یکسان" حذف شده است. فرض بر این است که در هر صورت ما تبدیل عبارت را به گونه ای انجام می دهیم که عبارتی مشابه عبارت اصلی به دست آوریم و این نیازی به تاکید جداگانه ندارد.

بیایید نشان دهیم این تعریفمثال ها.

مثال 1

اگر عبارت را جایگزین کنیم x + 3 - 2به یک عبارت یکسان x + 1، سپس تبدیل یکسان عبارت را انجام خواهیم داد x + 3 - 2.

مثال 2

جایگزینی عبارت 2 a 6 با عبارت یک 3تبدیل یکسان است، در حالی که جایگزینی عبارت است ایکسدر بیان x 2یک تبدیل یکسان نیست، زیرا عبارات ایکسو x 2یکسان نیستند

ما توجه شما را به شکل عبارات نوشتاری هنگام انجام تبدیل های یکسان جلب می کنیم. به طور معمول، عبارت اصلی و عبارت حاصل را به عنوان برابری می نویسیم. بنابراین، نوشتن x + 1 + 2 = x + 3 به این معنی است که عبارت x + 1 + 2 به شکل x + 3 کاهش یافته است.

اجرای متوالی اقدامات ما را به زنجیره ای از برابری ها هدایت می کند که چندین تبدیل یکسان در یک ردیف است. بنابراین، نماد x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x را به عنوان انجام متوالی دو تبدیل می‌فهمیم: ابتدا عبارت x + 1 + 2 به شکل x + 3 آورده شد و آن - به فرم 3 + x.

تحولات یکسان و ODU

تعدادی از عباراتی که در کلاس 8 شروع به یادگیری می کنیم برای همه مقادیر متغیرها معنی ندارد. انجام تبدیل های یکسان در این موارد مستلزم توجه به محدوده مقادیر مجاز متغیرها (ADV) است. انجام تبدیل های یکسان می تواند ODZ را بدون تغییر باقی بگذارد یا آن را محدود کند.

مثال 3

هنگام پریدن از بیان a + (- b)به بیان الف - بمحدوده متغیر آو ببه همان شکل باقی می ماند

مثال 4

از عبارت x به عبارت بروید x 2 xمنجر به باریک شدن دامنه مقادیر مجاز متغیر x از مجموعه همه اعداد واقعی به مجموعه همه اعداد واقعی می شود که صفر از آن حذف شده است.

مثال 5

تبدیل یکسان یک عبارت x 2 xعبارت x منجر به گسترش دامنه مقادیر مجاز متغیر x از مجموعه همه اعداد واقعی به جز صفر به مجموعه همه اعداد واقعی می شود.

محدود کردن یا گسترش دامنه مقادیر مجاز متغیرها هنگام انجام تبدیل های یکسان هنگام حل مشکلات مهم است، زیرا می تواند بر دقت محاسبات تأثیر بگذارد و منجر به خطا شود.

تحولات یکسان اساسی

حال بیایید ببینیم که تبدیلات یکسان چیست و چگونه انجام می شوند. اجازه دهید آن دسته از تبدیلات یکسان را که اغلب باید با آنها سر و کار داشته باشیم، در گروه اصلی جدا کنیم.

علاوه بر تبدیل‌های یکسان اولیه، تعدادی تبدیل وجود دارد که به عبارات یک نوع خاص مربوط می‌شود. برای کسرها، اینها روشهای کاهش و کاهش به مخرج جدید هستند. برای عبارات با ریشه و قدرت، تمام اعمالی که بر اساس ویژگی های ریشه و قدرت انجام می شود. برای عبارات لگاریتمی، اقداماتی که بر اساس ویژگی های لگاریتم انجام می شود. برای عبارات مثلثاتی، تمام اقدامات با استفاده از فرمول های مثلثاتی... همه این تغییرات خصوصی در موضوعات جداگانه ای که در منبع ما یافت می شود، به تفصیل آمده است. در این زمینه، در این مقاله به آنها نمی پردازیم.

بیایید به بررسی تحولات اصلی یکسان برویم.

جایگشت اصطلاحات، عوامل

بیایید با تنظیم مجدد شرایط شروع کنیم. ما اغلب با این تحول یکسان سروکار داریم. و عبارت زیر را می توان قاعده اساسی در اینجا در نظر گرفت: در هر مجموع، جابجایی اصطلاحات در مکان ها تأثیری در نتیجه ندارد.

این قانون بر اساس خواص جابجایی و ترکیبی از جمع است. این ویژگی‌ها به ما امکان می‌دهند تا عبارات را در مکان‌ها دوباره مرتب کنیم و در نتیجه عباراتی را به دست آوریم که به طور یکسان با عبارات اصلی برابر هستند. به همین دلیل است که جابجایی اصطلاحات در مکان ها در مجموع، تبدیل هویت است.

مثال 6

مجموع سه جمله 3 + 5 + 7 داریم. اگر عبارت های 3 و 5 را با هم عوض کنیم، عبارت به شکل 5 + 3 + 7 خواهد بود. چندین گزینه برای تنظیم مجدد شرایط شرایط در این مورد وجود دارد. همه آنها منجر به به دست آوردن عباراتی می شوند که با عبارت اصلی یکسان هستند.

نه تنها اعداد، بلکه عبارات نیز می توانند به عنوان عبارت در مجموع عمل کنند. آنها را، درست مانند اعداد، می‌توان در مکان‌هایی بدون تأثیر بر نتیجه نهایی محاسبات، مرتب کرد.

مثال 7

در مجموع سه جمله 1 a + b، a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 و - 12 a از شکل 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) · یک اصطلاح را می توان مجدداً مرتب کرد، به عنوان مثال، به صورت زیر (- 12) به نوبه خود می توانید عبارت ها را در مخرج کسری 1 a + b مرتب کنید و کسری به شکل 1 b + a خواهد بود. و عبارت زیر علامت ریشه a 2 + 2 a + 5همچنین مجموعی است که در آن اصطلاحات می توانند مبادله شوند.

همانند اصطلاحات، در عبارات اصلی، می توانید مکان عوامل را تغییر دهید و معادلات یکسان درست را بدست آورید. این عمل توسط قانون زیر کنترل می شود:

تعریف 2

در یک محصول، مرتب کردن مجدد ضریب ها در مکان ها تأثیری در نتیجه محاسبه ندارد.

این قانون بر اساس خواص جابجایی و ترکیب ضرب است که صحت تبدیل یکسان را تأیید می کند.

مثال 8

کار کنید 3 5 7جایگشت عوامل را می توان به یکی از اشکال زیر نشان داد: 5 · 3 · 7 ، 5 · 7 · 3 ، 7 · 3 · 5 ، 7 · 5 · 3 یا 3 7 5.

مثال 9

بازآرایی فاکتورها در محصول x + 1 x 2 - x + 1 x x 2 - x + 1 x x + 1 را به دست می‌دهد.

براکت های در حال گسترش

پرانتز می تواند شامل عبارات عددی و متغیر باشد. این عبارات را می توان به عبارات یکسانی تبدیل کرد که در آنها اصلاً پرانتز وجود نخواهد داشت یا تعداد آنها کمتر از عبارات اصلی خواهد بود. به این روش تبدیل عبارات، بسط پرانتز می گویند.

مثال 10

بیایید اعمال را با پرانتز در یک عبارت از فرم انجام دهیم 3 + x - 1 xبرای به دست آوردن یک عبارت درست یکسان 3 + x - 1 x.

عبارت 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x را می توان به یکسان تبدیل کرد بیان برابربدون براکت 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

قوانین تبدیل عبارات با براکت را در مبحث "بسط براکت" که در منبع ما قرار داده شده است، به تفصیل شرح داده ایم.

گروه بندی اصطلاحات، عوامل

در مواردی که با سه و مقدار زیادشرایط، ما می توانیم به شکلی از تبدیل های یکسان مانند گروه بندی اصطلاحات متوسل شویم. این روش تبدیل به معنای ترکیب چند عبارت در یک گروه با مرتب کردن مجدد آنها و قرار دادن آنها در داخل پرانتز است.

هنگام گروه بندی، عبارات به گونه ای مبادله می شوند که عباراتی که قرار است گروه بندی شوند در کنار هم در عبارت ظاهر شوند. سپس آنها را می توان در پرانتز قرار داد.

مثال 11

بیایید بیان را در نظر بگیریم 5 + 7 + 1 ... اگر ترم اول را با ترم سوم گروه بندی کنیم به دست می آید (5 + 1) + 7 .

گروه بندی عوامل مشابه گروه بندی اصطلاحات انجام می شود.

مثال 12

در کار 2 3 4 5می توانیم عامل اول را با عامل سوم و دومی را با چهارم گروه بندی کنیم و به عبارت می رسیم (2 4) (3 5)... و اگر فاکتورهای اول، دوم و چهارم را گروه بندی کنیم، عبارت را به دست می آوریم (2 3 5) 4.

اصطلاحات و عواملی که گروه بندی می شوند را می توان با اعداد اول و عبارات نشان داد. قوانین گروه بندی در مبحث "گروه بندی اصطلاحات و عوامل" به تفصیل مورد بحث قرار گرفت.

جایگزینی تفاوت ها با مبالغ، محصولات جزئی و بالعکس

جایگزین کردن تفاوت ها با مبالغ به لطف آشنایی ما با اعداد متضاد امکان پذیر شد. حالا از یک عدد کم می کنیم آشماره برا می توان به عنوان افزودنی به عدد مشاهده کرد آشماره - ب... برابری a - b = a + (- b)را می توان عادلانه دانست و بر اساس آن مبالغی را جایگزین تفاوت ها کرد.

مثال 13

بیایید بیان را در نظر بگیریم 4 + 3 − 2 ، که در آن تفاوت اعداد 3 − 2 می توانیم به عنوان جمع بنویسیم 3 + (− 2) ... ما گرفتیم 4 + 3 + (− 2) .

مثال 14

همه تفاوت در بیان 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2را می توان با مبالغی مانند جایگزین کرد 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

ما می توانیم از هر تفاوتی به مجموع برویم. به طور مشابه، ما می توانیم جایگزینی معکوس را انجام دهیم.

جایگزینی تقسیم با ضرب در متقابل مقسوم علیه به دلیل مفهوم متقابل امکان پذیر می شود. اعداد متقابل... این تبدیل را می توان با برابری نوشت a: b = a (b - 1).

این قانون مبنای قاعده تقسیم کسرهای معمولی بود.

مثال 15

خصوصی 1 2: 3 5 را می توان با یک محصول از فرم جایگزین کرد 1 2 5 3.

به همین ترتیب، با قیاس، تقسیم را می توان با ضرب جایگزین کرد.

مثال 16

در مورد بیان 1 + 5: x: (x + 3)تقسیم را با ایکسرا می توان در ضرب کرد 1 x... تقسیم بر x + 3می توانیم با ضرب در جایگزین کنیم 1 x + 3... تبدیل به ما امکان می دهد یک عبارت مشابه با اصلی بدست آوریم: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

جایگزینی ضرب با تقسیم طبق این طرح انجام می شود a b = a: (b - 1).

مثال 17

در عبارت 5 x 2 + 1 - 3، ضرب را می توان با تقسیم به صورت 5 جایگزین کرد: x 2 + 1 x - 3.

انجام اعمال بر روی اعداد

انجام اعمال با اعداد از قانون ترتیب اعمال تبعیت می کند. ابتدا اقدامات با قدرت اعداد و ریشه اعداد انجام می شود. پس از آن، لگاریتم، مثلثات و توابع دیگر را با مقادیر آنها جایگزین می کنیم. سپس اقدامات داخل پرانتز انجام می شود. و سپس تمام اقدامات دیگر را می توان از چپ به راست انجام داد. لازم به یادآوری است که ضرب و تقسیم قبل از جمع و تفریق انجام می شود.

عملیات با اعداد به شما این امکان را می دهد که عبارت اصلی را به معادل آن تبدیل کنید.

مثال 18

عبارت 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x را بازنویسی کنید و تمام اعمال ممکن را با اعداد انجام دهید.

راه حل

اول از همه به مدرک توجه کنیم 2 3 و ریشه 4 و مقادیر آنها را محاسبه کنید: 2 3 = 8 و 4 = 2 2 = 2.

مقادیر به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین کنید و به دست آورید: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

اکنون اقدامات داخل پرانتز را انجام می دهیم: 8 − 1 = 7 ... و به عبارت 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) بروید.

برای ما باقی می ماند که ضرب اعداد را انجام دهیم 3 و 7 ... دریافت می کنیم: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).

پاسخ: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

اقدامات روی اعداد را می توان با انواع دیگر تبدیل های یکسان، مانند گروه بندی اعداد یا گسترش پرانتز، قبل از آن انجام داد.

مثال 19

بیایید بیان را در نظر بگیریم 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

راه حل

اول از همه، ما به جای ضریب در پرانتز 6: 3 بر ارزش آن 2 ... دریافت می کنیم: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

بیایید براکت ها را گسترش دهیم: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

بیایید عوامل عددی در محصول و همچنین اصطلاحاتی که عدد هستند را گروه بندی کنیم: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

بیایید اقدامات داخل پرانتز را انجام دهیم: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

پاسخ:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

اگر با عبارات عددی کار کنیم، هدف کار ما یافتن معنای عبارت خواهد بود. اگر عبارات را با متغیرها تبدیل کنیم، هدف از اقدامات ما ساده کردن عبارت خواهد بود.

فاکتورگیری عامل مشترک

در مواردی که عبارات در عبارت دارای عامل یکسانی هستند، می توانیم این عامل مشترک را از داخل پرانتز خارج کنیم. برای انجام این کار، ابتدا باید عبارت اصلی را به عنوان حاصلضرب عامل مشترک و عبارت داخل پرانتز که از عبارت اصلی بدون عامل مشترک تشکیل شده است، نشان دهیم.

مثال 20

به صورت عددی 2 7 + 2 3ما می توانیم عامل مشترک را حذف کنیم 2 پرانتز و یک بیان درست یکسان از فرم دریافت کنید 2 (7 + 3).

می توانید حافظه خود را از قوانین قرار دادن عامل مشترک در خارج از پرانتز در بخش مربوطه منبع ما تجدید کنید. مطالب به تفصیل قوانین را برای قرار دادن عامل مشترک در خارج از پرانتز مورد بحث قرار می دهد و مثال های متعددی را ارائه می دهد.

کاهش اصطلاحات مشابه

حالا بیایید به سراغ مبالغی برویم که شامل اصطلاحات مشابه هستند. در اینجا دو گزینه وجود دارد: مجموع هایی که عبارت های یکسانی دارند و مجموع هایی که شرایط آنها با یک ضریب عددی متفاوت است. اعمالی که دارای مبالغی باشد که دارای چنین عباراتی باشد، کاهش آن اصطلاحات نامیده می شود. به صورت زیر انجام می شود: قسمت حرف کلی را خارج از پرانتز بیرون می آوریم و مجموع ضرایب عددی داخل پرانتز را محاسبه می کنیم.

مثال 21

بیان را در نظر بگیرید 1 + 4 x - 2 x... می توانیم قسمت تحت اللفظی x را خارج از پرانتز قرار دهیم و عبارت را بدست آوریم 1 + x (4 - 2)... بیایید مقدار عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنیم و حاصل جمع شکل 1 + x · 2 را بدست آوریم.

جایگزینی اعداد و عبارات با عبارات یکسان

اعداد و عباراتی که عبارت اصلی از آنها تشکیل شده است را می توان با عبارات یکسان جایگزین کرد. چنین تبدیلی از عبارت اصلی منجر به بیانی مشابه آن می شود.

مثال 22 مثال 23

بیان را در نظر بگیرید 1 + a 5، که در آن می توانیم درجه 5 را با یک حاصل برابر یکسان، به عنوان مثال، از شکل جایگزین کنیم a 4... این به ما بیان می کند 1 + a a 4.

تبدیل انجام شده مصنوعی است. این فقط در آماده سازی برای سایر تحولات منطقی است.

مثال 24

تبدیل مجموع را در نظر بگیرید 4 x 3 + 2 x 2... در اینجا اصطلاح 4×3می توانیم به عنوان یک اثر نمایش دهیم 2 x 2 2 x... در نتیجه، عبارت اصلی شکل می گیرد 2 x 2 2 x + 2 x 2... اکنون می توانیم عامل مشترک را انتخاب کنیم 2×2و آن را خارج از پرانتز قرار دهید: 2 x 2 (2 x + 1).

همان عدد را جمع و کم کنید

جمع و تفریق یک عدد یا عبارت به طور همزمان یک تکنیک مصنوعی برای تبدیل عبارات است.

مثال 25

بیان را در نظر بگیرید x 2 + 2 x... ما می توانیم یکی از آن را اضافه یا کم کنیم، که به ما امکان می دهد در آینده یک تبدیل مشابه دیگر را انجام دهیم - مربع دوجمله ای را انتخاب کنیم: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید