خواص مجموع ریشه ها. جذر حسابی و خواص آن

فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی ...")

در درس قبل متوجه شدیم که جذر چیست. وقت آن است که بفهمیم کدام یک وجود دارند فرمول های ریشهچه هستند خواص ریشهو با همه اینها چه کاری می توانید انجام دهید.

فرمول های ریشه، ویژگی های ریشه و قوانین برای اقدامات با ریشهدر اصل یک چیز هستند. فرمول هایی برای ریشه های مربعبه طرز شگفت انگیزی کم که البته خوشحال می شود! در عوض، می توانید انواع فرمول های زیادی بنویسید، اما برای کار عملی و مطمئن با ریشه، تنها سه مورد کافی است. بقیه این سه جریان. اگرچه بسیاری از افراد در سه فرمول ریشه گم می شوند، بله ...

بیایید با ساده ترین شروع کنیم. او آنجاست:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را بیابید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

مساحت یک قطعه زمین 81 متر مربع می باشد. طرفش را پیدا کن فرض کنید طول ضلع یک مربع است NSدسی متر سپس مساحت سایت است NS² دسی متر مربع... از آنجایی که طبق شرایط، این منطقه 81 dm² است، پس NS² = 81. طول ضلع مربع یک عدد مثبت است. عدد مثبتی که مربع آن 81 است، عدد 9 است. هنگام حل مسئله، باید عدد x را که مربع آن 81 است، پیدا کنید، یعنی معادله را حل کنید. NS² = 81. این معادله دو ریشه دارد: ایکس 1 = 9 و ایکس 2 = - 9، زیرا 9² = 81 و (- 9) ² = 81. هر دو عدد 9 و - 9 را جذر 81 می نامند.

توجه داشته باشید که یکی از ریشه های مربع است NS= 9 یک عدد مثبت است. آن را جذر حسابی عدد 81 می نامند و با √81 نشان داده می شود، بنابراین √81 = 9.

جذر حسابی یک عدد آعددی غیر منفی است که مربع آن برابر است آ.

به عنوان مثال، 6 و - 6 جذر 36 هستند. در این مورد، 6 جذر حسابی 36 است، زیرا 6 یک عدد غیر منفی و 6² = 36 است. عدد - 6 یک ریشه حسابی نیست.

حسابی ریشه دوماز شماره آبه صورت زیر نشان داده می شود: √ آ.

علامت را علامت جذر حسابی می نامند. آ- عبارت رادیکال نامیده می شود. بیان √ آخواندن بنابراین: جذر حسابی یک عدد آ.به عنوان مثال، √36 = 6، √0 = 0، √0.49 = 0.7. در مواردی که مشخص است که می آیددر مورد ریشه حسابی به اختصار می گویند: «ریشه دوم از آ«.

عمل یافتن جذر یک عدد را استخراج ریشه مربع می گویند. این عمل معکوس مربع کردن است.

هر عددی را می توان مجذور کرد، اما نمی توان از هر عددی جذر جع کرد. به عنوان مثال، شما نمی توانید ریشه دوم عدد - 4 را استخراج کنید. اگر چنین ریشه ای وجود داشته باشد، آن را با حرف نشان دهید. NS، برابری اشتباه x2 = - 4 را دریافت می کنیم، زیرا یک عدد غیر منفی در سمت چپ و یک عدد منفی در سمت راست وجود دارد.

بیان √ آتنها زمانی معنا پیدا می کند که a ≥ 0. تعریف جذر را می توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت: √ a ≥ 0, (√آ)² = آ... برابری (√ آ)² = آمعتبر برای a ≥ 0. بنابراین، برای اطمینان از اینکه جذر یک عدد غیر منفی است آبرابر است با ب، یعنی که √ آ =ب، باید بررسی کنید که دو شرط زیر وجود دارد: b ≥ 0, ب² = آ.

ریشه مربع کسری

بیایید محاسبه کنیم. توجه داشته باشید که √25 = 5، √36 = 6، و بررسی کنید که آیا برابری برقرار است یا خیر.

زیرا و سپس برابری درست است. بنابراین، .

قضیه:اگر آ≥ 0 و ب> 0، یعنی ریشه کسر برابر است با ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج. اثبات این امر لازم است که: و .

از آنجایی که √ آ≥0 و √ ب> 0، سپس.

با خاصیت بالا بردن کسری به توان و تعریف جذر قضیه ثابت می شود بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

با قضیه اثبات شده محاسبه کنید .

مثال دوم: ثابت کن ، اگر آ ≤ 0, ب < 0. .

مثال دیگر: محاسبه کنید.

تبدیل ریشه های مربع

حذف یک عامل از علامت ریشه. بگذارید بیان داده شود. اگر آ≥ 0 و ب≥ 0، سپس با قضیه ریشه حاصل ضرب می توانیم بنویسیم:

به چنین تبدیلی خارج کردن عامل از علامت ریشه می گویند. بیایید به یک مثال نگاه کنیم؛

محاسبه در NS= 2. تعویض مستقیم NS= 2 به یک عبارت رادیکال منجر به محاسبات پیچیده می شود. این محاسبات را می توان با حذف عوامل از علامت ریشه ساده کرد:. با جایگزینی x = 2، به دست می آوریم:.

بنابراین، هنگام حذف عامل از زیر علامت ریشه، عبارت رادیکال به شکل یک محصول ارائه می شود که در آن یک یا چند عامل مربع اعداد غیر منفی هستند. سپس قضیه ریشه حاصلضرب اعمال می شود و ریشه از هر عامل استخراج می شود. مثالی را در نظر بگیرید: عبارت А = √8 + √18 - 4√2 را با حذف عوامل از علامت ریشه در دو عبارت اول ساده کنید، به دست می آید:. ما تاکید می کنیم که برابری فقط برای آ≥ 0 و ب≥ 0. اگر آ < 0, то .

درس و ارائه در مورد موضوع:
"ویژگی های یک جذر. فرمول ها. مثال هایی از راه حل ها، مسائل با پاسخ"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، نظرات، خواسته های خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه هشتم
آموزش تعاملی هندسه 10 دقیقه ای برای پایه هشتم
مجتمع آموزشی "1C: مدرسه. هندسه، کلاس 8"

خواص ریشه مربع

ما به مطالعه ریشه های مربع ادامه می دهیم. امروز خواص اصلی ریشه ها را در نظر خواهیم گرفت. همه ویژگی های اساسی بصری و سازگار با تمام عملیاتی است که قبلا انجام داده ایم.

خاصیت 1. جذر حاصل ضرب دو عدد غیر منفی برابر است با حاصل ضرب جذر این اعداد: $ \ sqrt (a * b) = \ sqrt (a) * \ sqrt (b) $.

مرسوم است که هر خاصیت را ثابت کنیم، انجام دهیم.
اجازه دهید $ \ sqrt (a * b) = x $, $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $. سپس ثابت می کنیم که $ x = y * z $.
بیایید هر عبارت را مربع کنیم.
اگر $ \ sqrt (a * b) = x $، آنگاه $ a * b = x ^ 2 $.
اگر $ \ sqrt (a) = y $، $ \ sqrt (b) = z $، سپس هر دو عبارت را مربع کنیم، دریافت می کنیم: $ a = y ^ 2 $، $ b = z ^ 2 $.
$ a * b = x ^ 2 = y ^ 2 * z ^ 2 $، یعنی $ x ^ 2 = (y * z) ^ 2 $. اگر مجذور دو عدد غیرمنفی مساوی باشند، خود اعداد با هم برابرند، که اثبات آن لازم بود.

از ویژگی ما چنین است که، برای مثال، $ \ sqrt (5) * \ sqrt (3) = \ sqrt (15) $.

تبصره 1. مال در موردی نیز معتبر است که بیش از دو عامل غیرمنفی زیر ریشه باشد.
ملک 2. اگر $ a≥0 $ و $ b> 0 $ باشد، برابری زیر درست است: $ \ sqrt (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) $

یعنی ریشه نصاب برابر با نصاب ریشه است.
اثبات
بیایید از جدول استفاده کنیم و دارایی خود را به طور خلاصه اثبات کنیم.

نمونه هایی از استفاده از خواص ریشه های مربع

مثال 1.
محاسبه: $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $.

راه حل.
البته می توانیم ماشین حساب بگیریم و تمام اعداد زیر ریشه را ضرب کنیم و عملیات جذر را انجام دهیم. و اگر ماشین حساب در دست ندارید، پس چه باید کرد؟
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $.
جواب: 495.

مثال 2. محاسبه کنید: $ \ sqrt (11 \ frac (14) (25)) $.

راه حل.
ما عدد رادیکالیزه شده را به عنوان یک کسر نامناسب نشان می‌دهیم: 11 دلار \ فراک (14) (25) = \ فراک (11 * 25 + 14) (25) = \ فراک (275 + 14) (25) = \ فراک (289) (25) دلار.
بیایید از ویژگی 2 استفاده کنیم.
$ \ sqrt (\ frac (289) (25)) = \ frac (\ sqrt (289)) (\ sqrt (25)) = \ frac (17) (5) = 3 \ frac (2) (5) = 3.4 دلار
پاسخ: 3.4.

مثال 3.
محاسبه کنید: $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

راه حل.
ما می توانیم بیان خود را مستقیماً ارزیابی کنیم، اما تقریباً همیشه می توانیم آن را ساده کنیم. بیایید سعی کنیم این کار را انجام دهیم.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
بنابراین $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) = \ sqrt (16 * 64) = \ sqrt (16) * \ sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $.
جواب: 32.

بچه ها لطفا توجه داشته باشید که برای عملیات جمع و تفریق عبارات رادیکال هیچ فرمولی وجود ندارد و عبارات ارائه شده در زیر صحیح نیست.
$ \ sqrt (a + b) ≠ \ sqrt (a) + \ sqrt (b) $.
$ \ sqrt (a-b) ≠ \ sqrt (a) - \ sqrt (b) $.

مثال 4.
محاسبه کنید: a) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) $; ب) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) $.
راه حل.
ویژگی های ارائه شده در بالا هم از چپ به راست و هم به ترتیب معکوس کار می کنند، یعنی:
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (b) = \ sqrt (a * b) $.
$ \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) = \ sqrt (\ frac (a) (b)) $.
با استفاده از این، بیایید مثال خود را حل کنیم.
الف) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) = \ sqrt (32 * 8) = \ sqrt (256) = 16. $

ب) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) = \ sqrt (\ frac (32) (8)) = \ sqrt (4) = 2 $.

جواب: الف) 16; ب) 2.

ملک 3. اگر $ a≥0 $ و n یک عدد طبیعی باشد، برابری برقرار است: $ \ sqrt (a ^ (2n)) = a ^ n $.

مثلا. $ \ sqrt (a ^ (16)) = a ^ 8 $، $ \ sqrt (a ^ (24)) = a ^ (12) $ و غیره.

مثال 5.
محاسبه: $ \ sqrt (129600) $.

راه حل.
عدد ارائه شده به ما بسیار بزرگ است، بیایید آن را به عوامل اول تجزیه کنیم.
ما دریافت کردیم: 129600 دلار = 5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4 $ یا $ \ sqrt (129600) = \ sqrt (5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4) = 5 * 2 ^ 3 * 3 ^ 2 = 5 * 8 * 9 = 360 دلار.
جواب: 360.

وظایف برای راه حل مستقل

1. محاسبه کنید: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $.
2. محاسبه کنید: $ \ sqrt (8 \ frac (1) (36)) $.
3. محاسبه کنید: $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $.
4. محاسبه کنید:
الف) $ \ sqrt (128 * \ sqrt (8)) $;
ب) $ \ frac (\ sqrt (128)) (\ sqrt (8)) $.

خواص ریشه های مربع

تا کنون پنج عمل حسابی روی اعداد انجام داده ایم: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توان، و در محاسبات آنها به طور فعال استفاده می شود خواص مختلفاین عملیات، به عنوان مثال a + b = b + a، an-bn = (ab) n، و غیره.

این فصل یک عملیات جدید را معرفی می کند - گرفتن جذر یک عدد غیر منفی. برای استفاده موفق از آن باید با خواص این عملیات آشنا شوید که در این قسمت به انجام آن خواهیم پرداخت.

اثبات اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! LANG: Equality" width="120" height="25 id=">!}.

قضیه بعدی را دقیقاً به این صورت بیان می کنیم.

(فرمول کوتاهی که در عمل راحت تر است: ریشه کسر برابر کسری استاز ریشه یا ریشه نصاب برابر با نصف ریشه است.)

این بار فقط می آوریم یادداشت کوتاهاثبات، و شما سعی می کنید نظرات مناسب، مشابه آنچه که جوهر اثبات قضیه 1 را تشکیل می دهد، ارائه دهید.

تبصره 3. البته، این مثال را می توان متفاوت حل کرد، به خصوص اگر یک ماشین حساب در دست داشته باشید: اعداد 36، 64، 9 را ضرب کنید و سپس جذر حاصل را استخراج کنید. با این حال، باید اعتراف کنید که راه حل پیشنهادی در بالا فرهنگی تر به نظر می رسد.

تبصره 4. در روش اول، محاسبات را به صورت "هدر رو" انجام دادیم. راه دوم زیباتر است:
ما درخواست دادیم فرمول a2 - b2 = (a - b) (a + b) و از خاصیت جذر استفاده کرد.

تبصره 5. برخی از هات هدها گاهی اوقات این راه حل را برای مثال 3 ارائه می دهند:

البته این درست نیست: می بینید - نتیجه مانند مثال 3 ما نیست. نکته این است که هیچ خاصیتی وجود ندارد. https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! LANG: Assignment" width="148" height="26 id=">!}فقط خواص مربوط به ضرب و تقسیم ریشه های مربع وجود دارد. مواظب باشید و مراقب باشید که خیالباف نباشید.

در پایان بخش، یک ویژگی نسبتا ساده و در عین حال مهم دیگر را یادداشت می کنیم:
اگر a> 0 و n - عدد طبیعی، سپس

تبدیل عبارات حاوی ریشه مربع

تا حالا من و تو فقط دگرگونی انجام داده ایم عبارات منطقی، با استفاده از قوانین اعمال در چند جمله ای و کسرهای جبری، فرمول های ضرب اختصاری و ... در این فصل یک عملیات جدید - عملیات استخراج جذر را معرفی کردیم. ما پیدا کردیم که

که در آن، به یاد بیاورید، a، b اعداد غیر منفی هستند.

با استفاده از اینها فرمول ها، می توانید تبدیل های مختلفی را روی عبارات حاوی عملیات ریشه مربع انجام دهید. بیایید چندین مثال را در نظر بگیریم، و در همه مثال‌ها فرض می‌کنیم که متغیرها فقط مقادیر غیر منفی می‌گیرند.

مثال 3.ضریب را زیر علامت جذر وارد کنید:

مثال 6... راه حل بیان را ساده کنید. بیایید تبدیل های متوالی را انجام دهیم:

این مقاله مجموعه ای از اطلاعات دقیق است که به موضوع خواص ریشه می پردازد. با توجه به موضوع، با خواص شروع می کنیم، تمام فرمول ها را مطالعه می کنیم و برهان ارائه می کنیم. برای تقویت موضوع، ویژگی های درجه n را در نظر می گیریم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

خواص ریشه

ما در مورد خواص صحبت خواهیم کرد.

ویژگی اعداد ضرب شده آو ب، که به عنوان برابری a b = a b نشان داده می شود. می توان آن را به عنوان عوامل مثبت یا مساوی صفر نشان داد a 1, a 2,…, a kبه عنوان 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
از ضریب a: b = a: b، a ≥ 0، b> 0، همچنین می توان آن را به این شکل a b = a b نوشت.
خاصیت از توان یک عدد آبا توان زوج a 2 m = a m برای هر عدد آبه عنوان مثال، یک ویژگی از مربع عدد a 2 = a.

در هر یک از معادلات ارائه شده، می توانید قسمت های قبل و بعد از خط تیره را در جاهایی با هم عوض کنید، به عنوان مثال، تساوی a b = a b به a b = a b تبدیل می شود. خواص برابری اغلب برای ساده کردن معادلات پیچیده استفاده می شود.

اثبات خواص اول بر اساس تعریف جذر و خواص درجات با توان طبیعی است. برای اثبات خاصیت سوم باید به تعریف مدول عدد مراجعه کرد.

اولین قدم اثبات خواص جذر a b = a b است. با توجه به تعریف، باید در نظر گرفت که a b یک عدد مثبت یا برابر با صفر است که برابر با a بهنگام نصب در یک مربع مقدار عبارت a b مثبت یا برابر با صفر به عنوان حاصل ضرب اعداد غیر منفی است. خاصیت درجه اعداد ضرب شده به شما امکان می دهد برابری را به شکل (a b) 2 = a 2 b 2 نشان دهید. با تعریف جذر a 2 = a و b 2 = b، سپس a b = a 2 b 2 = a b.

به روشی مشابه، می توان آن را از روی محصول ثابت کرد کضرب کننده ها a 1, a 2,…, a kبرابر حاصلضرب جذر این عوامل خواهد بود. در واقع، a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.

از این تساوی نتیجه می شود که a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k.

بیایید به چند مثال برای تقویت موضوع نگاه کنیم.

مثال 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5، 4، 2 13 1 2 = 4، 2 13 1 2 و 2، 7 4 12 17 0، 2 (1) = 2، 7 4 12 17 0، 2 (1).

باید خاصیت جذر حسابی ضریب را ثابت کرد: a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0. این ویژگی به شما امکان می دهد تساوی a را بنویسید: b 2 = a 2: b 2 و a 2: b 2 = a: b که a: b یک عدد مثبت یا برابر با صفر است. این عبارت اثبات خواهد شد.

به عنوان مثال، 0: 16 = 0: 16، 80: 5 = 80: 5 و 3 0، 121 = 3 0، 121.

خاصیت جذر مربع یک عدد را در نظر بگیرید. می توان آن را به صورت تساوی به صورت 2 = a نوشت برای اثبات این خاصیت، لازم است چندین برابری را به تفصیل در نظر بگیریم. a ≥ 0و در آ< 0 .

بدیهی است که برای ≥ 0 برابری a 2 = a درست است. در آ< 0 برابری a 2 = - a درست خواهد بود. در واقع، در این مورد - a> 0و (- a) 2 = a 2. می توان نتیجه گرفت که a 2 = a، a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 2

5 2 = 5 = 5 و - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36.

ویژگی اثبات شده به توجیه 2 m = a m کمک می کند، جایی که آ- واقعی، و متر-عدد طبیعی. در واقع، خاصیت افزایش قدرت به شما امکان می دهد تا برق را جایگزین کنید یک 2 متراصطلاح (a m) 2، سپس a 2 m = (a m) 2 = a m.

مثال 3

3 8 = 3 4 = 3 4 و (- 8، 3) 14 = - 8، 3 7 = (8، 3) 7.

خواص ریشه n

ابتدا باید ویژگی های اصلی ریشه های درجه n را در نظر بگیرید:

خاصیت حاصل از حاصل ضرب اعداد آو بکه مثبت یا مساوی صفر هستند را می توان به صورت برابری a b n = a n b n بیان کرد، این خاصیت برای محصول معتبر است. کشماره a 1, a 2,…, a kبه عنوان 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
از یک عدد کسری دارای خاصیت a b n = a n b n است که در آن آ- هر عدد حقیقی که مثبت یا مساوی صفر باشد و ب- عدد واقعی مثبت؛
برای هرچی آو حتی شاخص ها n = 2 متر a 2 m 2 m = a و برای فرد n = 2 متر - 1برابری a 2 m - 1 2 m - 1 = a برقرار است.
ویژگی استخراج از m n = a n m، که در آن آ- هر عدد، مثبت یا مساوی صفر، nو متر- اعداد طبیعی، این ویژگی را نیز می توان به صورت نمایش داد. ... ... a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2. ... ... · N k;
برای هر غیر منفی و دلخواه nو متر، که طبیعی هستند، می توان برابری منصفانه را نیز تعیین کرد a m n · m = a n;
مدرک املاک nاز توان عدد آکه در درجه طبیعی مثبت یا مساوی صفر است مترتعریف شده توسط برابری a m n = a n m;
ویژگی های مقایسه ای که شاخص های یکسانی دارند: برای هر عدد مثبت آو ببه طوری که آ< b ، نابرابری a n< b n ;
مقایسه اموالی که دارند همان اعدادزیر ریشه: اگر مترو n -اعداد طبیعی که m> n، سپس در 0 < a < 1 نابرابری a m> a n درست است و برای الف> 1صبح< a n .

برابری های داده شده در بالا در صورتی معتبر هستند که قسمت های قبل و بعد از علامت مساوی تعویض شوند. می توان از آنها به عنوان چنین استفاده کرد. این اغلب هنگام ساده سازی یا تبدیل عبارات استفاده می شود.

اثبات خصوصیات فوق ریشه بر اساس تعریف، خصوصیات درجه و تعریف مدول یک عدد است. این خواص باید ثابت شود. اما همه چیز مرتب است.

اول از همه، خواص ریشه n حاصلضرب a b n = a n b n را اثبات می کنیم. برای آو ب کههستند مثبت یا مساوی صفر , مقدار a n · b n نیز مثبت یا برابر با صفر است، زیرا نتیجه ضرب اعداد غیر منفی است. خاصیت حاصلضرب در درجه طبیعی به ما اجازه می دهد تا برابری a n b n n = a n n b n n را بنویسیم. با تعریف ریشه nدرجه -ام a n n = a و b n n = b، بنابراین a n b n n = a b. برابری حاصل دقیقاً همان چیزی است که باید ثابت شود.

این ویژگی به طور مشابه برای محصول ثابت شده است کعوامل: برای اعداد غیر منفی a 1، a 2،…، a n، a 1 n · a 2 n ·… · a kn ≥ 0.

در اینجا چند نمونه از استفاده از ویژگی root آورده شده است nدرجه -ام از محصول: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 و 8، 3 4 17، (21) 4 3 4 5 7 4 = 8، 3 17، (21) 3 5 7 4.

اجازه دهید ویژگی ریشه ضریب a b n = a n b n را ثابت کنیم. در a ≥ 0و b> 0شرط a n b n ≥ 0 برآورده می شود و a n b n n = a n n b n n = a b.

بیایید نمونه هایی را نشان دهیم:

مثال 4

8 27 3 = 8 3 27 3 و 2، 3 10: 2 3 10 = 2، 3: 2 3 10.

برای گام بعدیباید خواص درجه n را از عدد به درجه اثبات کرد n... ما این را به عنوان برابری a 2 m 2 m = a و a 2 m - 1 2 m - 1 = a برای هر واقعی نشان می دهیم. آو طبیعی متر... در a ≥ 0 a = a و a 2 m = a 2 m را به دست می آوریم که برابری a 2 m 2 m = a را ثابت می کند و برابری a 2 m - 1 2 m - 1 = a واضح است. در آ< 0 به ترتیب a = - a و a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m بدست می آوریم. آخرین تبدیل عدد با توجه به خاصیت مدرک معتبر است. این همان چیزی است که برابری a 2 m 2 m = a را ثابت می کند و a 2 m - 1 2 m - 1 = a درست خواهد بود، زیرا برای یک درجه فرد - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 را در نظر می گیریم. برای هر شماره جمثبت یا مساوی صفر

به منظور ادغام اطلاعات دریافتی، چندین مثال را با استفاده از ویژگی در نظر بگیرید:

مثال 5

7 4 4 = 7 = 7، (- 5) 12 12 = - 5 = 5، 0 8 8 = 0 = 0، 6 3 3 = 6 و (- 3، 39) 5 5 = - 3، 39.

اجازه دهید برابری زیر a m n = a n · m را ثابت کنیم. برای این کار باید اعداد قبل از علامت مساوی و بعد از آن را در جاهایی a n · m = a m n تغییر دهید. معنی خواهد داشت ورود صحیح... برای آ،که مثبت است یا برابر با صفر , از شکل a m n عددی مثبت یا مساوی صفر است. اجازه دهید به ویژگی ارتقاء درجه به یک توان و تعریف بپردازیم. از آنها می توان برای تبدیل برابری ها به شکل a m n n · m = a m n n m = a m m = a استفاده کرد. این ویژگی در نظر گرفتن یک ریشه از یک ریشه را ثابت می کند.

سایر خواص نیز به همین ترتیب ثابت شده است. واقعا، . ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2. ... ... · N k =. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3. ... ... · N k =. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · N k =. ... ... = a n k n k = a.

به عنوان مثال، 7 3 5 = 7 5 3 و 0، 0009 6 = 0، 0009 2 2 6 = 0، 0009 24.

بیایید ثابت کنیم ملک بعدی a m n m = a n. برای این کار باید نشان داد که a n یک عدد مثبت یا برابر با صفر است. هنگامی که به توان مطرح می شود n m برابر است صبح... اگر شماره آمثبت یا مساوی صفر است، پس n- درجه از میان آیک عدد مثبت یا برابر با صفر است به علاوه، a n · m n = a n n m، در صورت لزوم.

به منظور تجمیع دانش به دست آمده، چند مثال را در نظر بگیرید.

اجازه دهید ویژگی زیر را ثابت کنیم - خاصیت ریشه یک درجه از شکل m n = a n m. بدیهی است، برای a ≥ 0درجه a n m عددی غیر منفی است. علاوه بر این، آن است n- درجه است صبحدر واقع، a n m n = a n m n = a n n m = a m. این ویژگی مدرک مورد بررسی را ثابت می کند.

به عنوان مثال، 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

اثبات آن برای هر عدد مثبت ضروری است آو ب شرط آ< b ... نابرابری a n را در نظر بگیرید< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию آ< b ... بنابراین، یک n< b n при آ< b .

مثلاً 12 4 بدهیم< 15 2 3 4 .

ویژگی root را در نظر بگیرید n- درجه لازم است از قسمت اول نابرابری شروع شود. در m> nو 0 < a < 1 درست a m> a n. فرض کنید a m ≤ a n. ویژگی ها عبارت را به n m · n ≤ a m m · n ساده می کنند. سپس با توجه به خصوصیات یک درجه با توان طبیعی، نابرابری a n m n m n ≤ a m m n m n برآورده می شود، یعنی: a n ≤ a m... مقدار به دست آمده در m> nو 0 < a < 1 با خواص بالا مطابقت ندارد

به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که برای m> nو الف> 1شرط a m< a n .

به منظور تجمیع ویژگی های فوق، چندین مورد را در نظر بگیرید نمونه های عینی... نابرابری ها را با استفاده از اعداد خاص در نظر بگیرید.

مثال 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید