توان عددی است که نشان می دهد یک مقدار باید چند بار در خودش ضرب شود. به عنوان مثال، اگر توان 3 و مقدار آن 4 باشد، 4 3 به معنای 4 x 4x4 است که 64 است. بیان ریاضی در 2به معنای در NS در، و عدد 2 توان است.

رشد نمایی چه تفاوتی با رشد خطی دارد؟ با رشد خطی، مقدار در هر مرحله افزایش می یابد یکسان، اوکی،نه در چندگانهعدد. اگر سرمایه اولیه من 1000 دلار باشد و هر سال 100 دلار افزایش یابد، پس از 10 سال آن را دو برابر خواهم کرد و 2000 دلار خواهم داشت. این رشد خطی است، هر سال به همان میزان. اما اگر سرمایه اولیه 1000 دلاری من هر سال 10 درصد افزایش یابد، ده سال دیگر من 2594 دلار خواهم داشت. این نمونه ای از رشد نمایی با مضرب ثابت 1.1 سالانه است. اگر 10 سال دیگر به تجارت خود ادامه دهم، رشد خطی در مجموع 3000 دلار به من می دهد، در حالی که رشد تصاعدی به من 6727 دلار می دهد.

هر بازار یا کسب و کاری که نرخ رشد 10 درصدی یا بیشتر را در یک دوره زمانی طولانی حفظ کند، تأثیر ارزش آفرینی بسیار بیشتری نسبت به آنچه ما به طور شهودی تخمین می زنیم، خواهد داشت. برخی از شرکت ها مانند آی بی ام یا مک دونالد از سال 1950 تا

1985 یا مایکروسافت در دهه 1990 - توانستند به نرخ رشد بیش از 15 درصد در سال دست یابند و سرمایه خود را چندین برابر کنند. اگر با 100 دلار شروع کنید و در مدت 15 سال سالانه 15 درصد سرمایه خود را افزایش دهید، در پایان 3292 دلار خواهید داشت که تقریباً 33 برابر بیشتر از ابتدا است. افزایش اندک در درصد رشد منجر به تفاوت زیادی در نتایج می شود.

به عنوان مثال، کارگزار سهام آمریکایی ویلیام او نیل از سال 1961 تا 1986 یک صندوق برای همکلاسی های خود ایجاد و مدیریت کرد. در این مدت، 850 دلار اولیه پس از همه مالیات ها به 51653 دلار تبدیل شد. * در طول 25 سال، میانگین رشد 17 سال بود. 85 درصد در سال، که به معنای افزایش 61 برابری در مقدار اولیه است. بنابراین، می بینیم که اگر در 25 سال 15 درصد رشد سرمایه را 33 برابر کند، آنگاه اضافه کردن کمتر از 3 واحد درصد به نرخ رشد سالانه افزایش می یابد. نتیجه 61 بار.

رشد نماییهمه چیز را نه تنها از نظر کمی بلکه از نظر کیفی نیز تغییر می دهد. به عنوان مثال، با رشد سریع صنعت - پیتر دراکر این رقم را 40 درصد در 10 سال می نامد - ساختار آن تغییر می کند و رهبران جدید بازار به میدان می آیند. رشد سریعبازارها توسط نوآوری، فقدان الگو، محصولات جدید، فناوری ها یا مصرف کنندگان هدایت می شوند. بنا به تعریف، مبتکران کارها را متفاوت انجام می دهند. روش های جدید به ندرت با عادات، ایده ها، رویه ها و ساختارهای شرکت های موجود همزیستی می کنند. تا زمانی که رهبران سنتی تصمیم به ضدحمله بگیرند، برای مبتکران این فرصت غیرعادی نیست که چندین سال فرصت استفاده از فوم را داشته باشند، اما ممکن است دیگر خیلی دیر شده باشد.

یکی از اسطوره های بزرگی که اقتصاد اواخر قرن بیستم بر آن استوار بود، اسطوره رشد تصاعدی بود. قرار بود تکنولوژی حتی سریع‌تر تغییر کند تا اقتصاد نیز به‌طور تصاعدی رشد کند و همه ما را از والدینمان ثروتمندتر و از پدربزرگ‌هایمان به طرز بی‌اندازه‌ای ثروتمندتر کند. با این حال، به نظر می رسد که از سال 2000، حداقل در اقتصاد، همه چیز اشتباه پیش رفته است. مشکل تا حدی مربوط به فرار سرمایه به بازارهای نوظهور است که توسط اینترنت و ارتباطات مدرن ممکن شده است. با این حال، فراتر از این واقعیت ناراحت‌کننده، این ایده واقعاً آزاردهنده نهفته است که پیشرفت فناوری، و در نتیجه امکان بهبود استانداردهای زندگی، ممکن است اصلاً رشد تصاعدی ایجاد نکند.

در چشم انداز بسیاری از علاقه مندان، باور به پیشرفت نمایی تکنولوژیکی به یک تکینگی تبدیل شده است که یا در حال وقوع است یا در شرف سبقت گرفتن از ماست. فرض بر این است که منجر به شتاب بیشتر پیشرفت خواهد شد، که آنقدر قدرتمند خواهد بود که آینده تاریخ بشر با گذشته بسیار متفاوت خواهد بود.

اما قبل از استقبال از ظهور تکینگی، باید توجه داشت که به گفته حامیان این نظریه، این امر ناشی از ظهور باهوش‌تر از انسان‌ها خواهد بود، ماشین‌هایی که متعاقباً غالب می‌شوند، حتی ربات‌های باهوش‌تری خلق می‌کنند و بشریت را در جهان رها می‌کنند. دم. بنابراین، این تکینگی نشان دهنده بهبود تقریباً بی پایان در کیفیت زندگی بشریت نخواهد بود، زیرا ظاهراً چنین ماشین های فوق هوشمندی علاقه خاصی به استاندارد زندگی مردم نخواهند داشت - یا حتی می خواهند از ما به عنوان حیوانات آزمایشی یا حیوانات خانگی استفاده کنند. . (اگر دومی باشد، بدون شک در خط مقدم متقاضیان حذف خواهم بود - من به سختی ویژگی های یک حیوان خانگی را دارم که به طور مرتب توسط گربه ما Evdoksya نشان داده می شود).

با تفکر منطقی، می‌توان سه ویژگی منحصر به فرد را که قبلاً در تاریخ بشر اتفاق افتاده است، تشخیص داد: ظهور گفتار، گذار از زندگی عشایری به بی‌تحرکی. کشاورزیو بعداً انقلاب صنعتی. هر یک از این پدیده ها توسعه بشر را ده برابر سرعت بخشید، به طوری که تغییراتی که میلیون ها سال تنها تحت تأثیر تکامل طول کشید، پس از ظهور کلام، در صدها هزار سال، با اختراع کشاورزی آغاز شد - در ده ها هزار سال، و تنها در دو یا سه قرن - پس از انقلاب صنعتی. هر یک از این تغییرات زندگی را کاملا متحول کرد. او همچنین با سرعت بیشتری حرکت کرد و پس از انقلاب صنعتی در یک کوتاهی زندگی انسانتغییرات تکنولوژیکی عظیمی در حال وقوع است.

شایسته است نگاهی دقیق تر به تکینگی انقلاب صنعتی بیندازیم. حدود 200 سال دوام آورد و هیچ یک از اولین نوآوری های آن تغییرات قابل توجهی در زندگی ایجاد نکرد. یک ماشین تازه واردبرای پمپاژ آب در معادن، که در سال 1712 اختراع شد، به طور مستقیم به تغییرات جدی منجر نشد، موتور بسیار پیشرفته تری مانند جیمز وات، تا سال 1769 (و موتورهای وات تنها در دهه 1790 به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفتند). با این حال، انقلاب تکنولوژیک با انقلابی به همان اندازه مهم در تفکر بشری همراه بود که از زمان تأسیس انجمن سلطنتی علوم در سال 1662 آغاز شد و ادامه یافت. دارایی ملت ها» آدام اسمیت(در سال 1776) تا اوایل قرن 19.

بنابراین، حتی اگر شهروند 1785 در مقایسه با جد خود از سال 1660 از پیشرفت های فنی خاصی برخوردار نبود، در حالی که یک قرن پیش از آن، کیمیاگران در نقاشی معروف مورد تمسخر قرار می گرفتند. جوزف رایت،اکنون او به عنوان پوششی برای " کیمیاگران از دست دادن". اولین ثمرات فنی عظیم انقلاب صنعتی بعداً به وجود آمد - تولید نساجی فقط در دهه 1790 شروع شد و شبکه راه آهن تنها پس از 1830 ظاهر شد - اما تغییرات ذهنی که تکینگی را شکل داد قبلاً در سال 1785 یا بیشتر رخ داده بود.

از این نظر، ما هنوز با هیچ گونه تکینگی تهدید نشده ایم. اینترنت که اساساً ارتباطات جهان و شیوه زندگی ما را تغییر داده است، انقلابی تر از چراغ برق، تلفن یا ماشین نیست. زندگی در سال 2010 در واقع با زندگی در سال 1995 متفاوت است. ما امروز می توانیم یک شرکت تولیدی یا خدماتی جهانی را بسیار کارآمدتر از سال 1995 سازماندهی کنیم. اکثرزندگی خارج از خواب، جوانان در اینترنت یا در مکالمه می گذرانند تلفن همراه، که تا سال 1995 او نمی توانست انجام دهد.

با این حال، این مورد 15-20 سال پس از ظهور فن آوری های سرنوشت ساز قبلی بود. در سال 1845، پس از اختراع راه آهن، مدل سفر قبلاً با مدل 1830 متفاوت بود. در سال 1905، پس از اختراع برق، مدل های شهری کار در وقت عصرو سرگرمی بسیار متفاوت از مدل های 1890 بود. مثل این، زندگی در حومه شهرآمریکا در سال 1925 با ظهور "لیزی تین" (فورد مدل T) کاملاً متفاوت از سال 1910 بود.

بنابراین، هر یک از این اختراعات، جنبه های مختلف زندگی را به طور اساسی تغییر داد، اما باز هم مانند انقلاب صنعتی، روند اختراع و پیشرفت را تسریع نکرد. پس از گسترش اختراعات، زندگی متفاوت شد، اما سرعت پیشرفت فنیکاملا معتدل بود اینترنت مانند یک نوآوری از این نوع است: زندگی ما را به طور قابل توجهی تغییر داده است، اما به اندازه انقلاب صنعتی به تغییرات سرعت نداده است و هیچ پیش نیازی برای این کار وجود ندارد. در واقع، می توان به درستی استدلال کرد که نسلی که شاهد بیشتر تغییرات انقلابی بود، در زمان عمه بزرگ من بئاتریس، که در سال 1889 به دنیا آمد و در سال 1973 درگذشت، زندگی می کرد. در دوران کودکی او از روشنایی گاز و اسب‌های بادکش استفاده می‌شد و در سنین پیری قبلاً با قدرت و اصلی در هواپیما پرواز می‌کردند و از ماه دیدن می‌کردند.

با نگاهی به آینده، سه پیشرفت تکنولوژیکی احتمالی وجود دارد که می‌توانند سرعت تغییرات را تسریع کنند، حتی اگر باعث تکینگی نشوند. این است: ساخت ماشین باهوش تر از انسانکشف روش‌های دستکاری ژن‌ها که می‌تواند توانایی‌های شناختی فرد را افزایش دهد و همچنین اکتشافاتی با ماهیت فنی، پزشکی یا ژنتیکی که می‌تواند منجر به افزایش چشمگیر طول عمر انسان شود.

تصور می‌شود که احتمال ظهور یک ابر ربات محبوب‌ترین دلیل برای تکینگی ادعایی است، اما با بررسی دقیق‌تر، بعید به نظر می‌رسد که به یک دلیل منجر شود. نظریه پردازان تکینگی دوست دارند قانون مور را نقل کنند، نظریه ای که توسط آن ارائه شده است نوشته گوردون موردر سال 1965، بر اساس آن سرعت پردازش کامپیوتر هر دو سال دو برابر می شود. با این حال، در واقعیت ما به طور جدی به مرز این پیشرفت نزدیک می شویم. عوامل محدود کننده سرعت نور، انرژی مورد نیاز برای کارکرد ریزپردازنده ها (که گرما تولید می کنند)، طول موج تابش الکترومغناطیسی و اندازه ساختارهای اتمی هستند.

در چند نسل، طبق قانون مور، به یک مانع موقت نزدیک می شویم که پیشرفت را به طور قابل توجهی پیچیده می کند و بعد از 5-6 نسل، طبق همان قانون، به یک مانع ثابت نزدیک می شویم که فراتر از آن، با قابل تصور است. این لحظهپیشرفت فناوری غیرممکن خواهد بود. باید اعتراف کرد که پیشرفت بیشتر در زمینه هوش کامپیوتری با بهبود برنامه نویسی و معماری با موازی سازی گسترده قابل تحقق است، اما واقعیت این است که پس از پیشرفت سال های 2015-2020 در این زمینه، یک کندی قابل توجه و نه شتاب آغاز خواهد شد. درست مانند آخرین تغییر واقعاً انقلابی در طراحی خودرو، اختراع گیربکس اتوماتیک در سال 1939 بود، واضح است که پیشرفت بی پایان در طراحی ماشین به تدریج به حد طبیعی خواهد رسید.

مهندسی ژنتیک برای بهبود هوش انسان بدون شک دنیای ما را تغییر خواهد داد، اما این امر احتمالا خیلی وقت پیش اتفاق می افتد، زیرا چنین تغییراتی به شدت توسط اکثر گروه ها و دولت های مذهبی غربی مخالفت خواهد کرد. حتی شبیه سازی ساده، که تولید مثل ساده یک فرد موجود است، در ده سال اخیر پیشرفت چندانی نکرده است و ممکن است یک نسل کامل در آینده به تعویق بیفتد. حتی با تأیید دولت‌ها، بررسی‌های ایمنی لازم قبل از شروع آزمایش‌های توسعه اطلاعاتی می‌تواند انجام شود، این احتمال وجود دارد که اولین آزمایش‌های این چنینی به‌جای گسترش آن، صرفاً منجر به افزایش هوش به سطح فعلی آن شود. علاوه بر این با توجه به نیاز بیولوژیکی این کودکان به بلوغ تا 15 سالگی، به دست آوردن آموزش عالیطی 5-10 سال آینده، نتیجه این تغییرات زودتر از 50 سال آینده ظاهر نخواهد شد. از این نظر، یک ربات فوق‌العاده، چه واقعی باشد، می‌تواند سریع‌تر ایجاد شود، زیرا فوراً بالغ می‌شود! با توجه به این واقعیت که اولین نمونه های انسان بهبودیافته بخش کوچکی از نسل انسان / انسان جدید را تشکیل می دهد، روشن می شود که تا قرن آینده هیچ شتاب کلان از اینجا انتظار نمی رود.

سومین فناوری بالقوه، افزایش عمر، جالب تر است. از نظر فنی، هر اثر قابل توجهی (غیر از پیشرفت های پزشکی که درصد افراد را تا 90 تا 100 سال افزایش می دهد) احتمالاً به مهارت های مشابهی برای ایجاد زندگی با بیشتر نیاز دارد. سطح بالاهوش با این حال، این منطقه با مخالفت بسیار کمتر لودیت از سوی سیاستمداران و رهبران مذهبی مواجه خواهد شد، زیرا مزایای زندگی طولانی تر واضح و از لحاظ نظری جهانی است. از سوی دیگر، افزایش امید به زندگی کسانی که از قبل زندگی می کنند بسیار دشوارتر از ایجاد افراد جدید با طول عمر خواهد بود و به احتمال زیاد این اتفاق بعدا خواهد افتاد.

به نظر می رسد که تا سال 2050 ما احتمالاً این فرصت را خواهیم داشت که فرزندانی به دنیا بیاوریم که 150 تا 200 سال عمر کنند (یعنی بیشتر از آنچه طول می کشد تا بتوانیم بر محدودیت هایی که هنوز از آنها اطلاعی نداریم غلبه کنیم، زیرا آنها نمی دانند. روی کبدهای طولانی تأثیر می گذارد). پس از مدتی پس از آن، ما یاد خواهیم گرفت که حداقل تا حدی طول عمر افراد موجود را افزایش دهیم. با توجه به تقاضای انبوه بالقوه برای چنین فناوری هایی، آنها باید به سرعت در میان اکثر مردم گسترش یابند، زیرا تولید انبوه هزینه آنها را به سطوح قابل قبول کاهش می دهد.

با این حال، در حالی که افزایش چرخه زندگی زندگی فرد را تا حد زیادی بهبود می بخشد، پیشرفت را تسریع نمی کند. افراد صد ساله حداقل تا 25 سالگی شروع به کار نخواهند کرد زیرا از آموزش جامع تری نسبت به ما برخوردار خواهند شد. زمانی که سر کار بروند، کمتر از ما ریسک گریز و صبورتر خواهند بود، زیرا دیرکردن بقیه عمر کمتری را می گیرد. به نوبه خود، حتی بدون تسریع بیشتر، آنها هر 20-25 سال یکبار به آموزش مجدد نیاز خواهند داشت تا مهارت های کاری آنها فرصتی برای منسوخ شدن ناامیدکننده نداشته باشد. از آنجایی که هزینه ها برای آنها در مواجهه با تغییرات سریع بیشتر از ما خواهد بود و منافع آن کمتر است، آنها خودشان می خواهند پیشرفت را کاهش دهند. تنها زمانی که آنها با سطح بالاتری از هوش ترکیب شوند، می توانند سرعت گیج کننده تغییرات پس از انقلاب را بپذیرند.

در این مرحله، شتاب احتمالی تغییرات مثبت را در نظر داشتم. با این حال، احتمال تغییرات فاجعه بار منفی وجود دارد که می تواند تمدن، استاندارد زندگی و دانش را به سطح ابتدایی تر بازگرداند. یکی از منابع احتمالی این است جنگ جهانیاحتمالاً متفاوت از آنچه 50 سال پیش بود. عامل دیگر می تواند باشد فاجعه زیست محیطی... هیچ چیز خوبی در اینجا پیش بینی نمی شود. رشد غیرقابل برگشت جمعیت فعلی، که احتمالاً کاهش می یابد اما تا سال 2050 متوقف نمی شود، با اکتشافاتی که منجر به افزایش امید به زندگی تا 200 سال شده است، هم به دلیل کاهش تعداد مرگ و میرها و هم به دلیل آن، تشدید خواهد شد. افزایش باروری به دلیل این واقعیت است که توانایی تولید مثل 100 سال طول می کشد. اینکه آیا گرمایش زمین در جهانی با جمعیت 7 تا 10 میلیارد نفر مشکلی جدی است یا نه، هنوز یک سوال است، اما بدون شک در جهانی با جمعیت 20 میلیاردی به یک مشکل جدی تبدیل خواهد شد (و بر این اساس، کاهش منابع باعث خواهد شد. یک خطر واقعی تر). بر این اساس، اولویت اصلی باید اقداماتی برای کند کردن رشد جمعیت یا حتی بهتر از آن، بازگشت به انقباض باشد. در پایان، تا آخرین تکینگی جمعیت جهانفقط 1 میلیارد بود. در این سطح، مشکلات ما با محیطو منابع ناپدید می شوند.

جدای از پتانسیل سقوط، دو یا سه پیشرفت احتمالی فناوری در 50 سال آینده - رسیدن به مرز قانون مور و افزایش امید به زندگی - به جای تسریع، سرعت تغییر را کاهش خواهد داد. تنها گزینه سوم - هوش افزایش یافته ژنتیکی - پتانسیل تسریع پیشرفت را دارد، اما مخالفت سیستماتیک با این فناوری احتمالاً آن را برای مدت بسیار طولانی به تاخیر می اندازد. بنابراین منحنی انسانیت در قرن بیست و یکم مجانبی [محدود] خواهد بود تا نمایی.

سلام! امروز سعی خواهیم کرد بفهمیم رشد نمایی چیست. رشد تصاعدی افزایش تصاعدی در ارزش است. ارزش با نرخی متناسب با ارزش آن رشد می کند. این بدان معناست که برای هر مقداری که به طور تصاعدی در حال رشد است، هر چه ارزش بیشتری بگیرد، سریعتر رشد می کند. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم. شاید از زیست شناسی به یاد داشته باشید که باکتری ها خیلی سریع تکثیر می شوند. رشد جمعیت باکتری مشابه رشد ذرات باردار پیوسته است. وقتی مشکل را حل کنیم این را نشان خواهم داد. بنابراین، این وظیفه رشد تصاعدی ما است. در اینجا شرط است: روشن مرحله اولیه یک کلنی باکتری دارای 100 سلول است و متناسب با اندازه خود شروع به رشد می کند. پس از 1 ساعت، تعداد سلول ها به 420 افزایش می یابد. ابتدا باید عبارتی را پیدا کنیم که تعداد باکتری ها را در t ساعت نشان دهد. بیایید به آن بپردازیم. شاید بتوان گفت تعداد باکتری ها تابعی از زمان است. بیایید آن را b. بنابراین، بیایید آن را بنویسیم. تعداد باکتری ها به عنوان تابعی از t را می توان به صورت b (t) نوشت. من آن را در اینجا می نویسم: b (t). بنابراین، تعداد باکتری ها به عنوان تابعی از زمان برابر است با: تعداد اولیه باکتری ها، یعنی I صفر است (اگر یک قیاس با بهره ترسیم کنیم، این بدنه وام است). در این مورد، این مقداری است که ما با آن شروع می کنیم. بعد یک عدد e به توان kt داریم که k نوعی رشد نمایی است. این من صفر است، به عبارت دیگر، مقدار اولیه است. t = 0، زیرا در لحظه ابتدایی زمان، زمان برابر با صفر است، به این معنی که کل درجه برابر با صفر است و کل عبارت در اینجا برابر با یک است. منطقی است، نه؟ b (0) باید برابر با I صفر باشد. بنابراین، اگر می‌دانید که با کدام مقدار و مقدار دوم شروع کنید، می‌توانید k را پیدا کنید. سپس مقدار یافت شده را به جای k جایگزین می کنید - و اکنون اولین نقطه کار را تکمیل کرده اید: عبارتی را پیدا کنید که تعداد باکتری ها را در t ساعت نشان دهد. بنابراین سوال من این است که من برابر با صفر چیست؟ ما این عدد را می دانیم. مشکل اینجاست: در مرحله اولیه، یک کلنی باکتری حاوی 100 سلول است. بنابراین، می دانیم که b (0) برابر با 100 است. اجازه دهید آن را به روش دیگری بنویسم: b (0) = I صفر * e تا درجه 0 = I صفر. بنابراین، تعداد باکتری ها در t = 0 100 است. در اینجا ما مقداری پیشرفت در محلول داشته ایم. اکنون می توان گفت که b (t) = 100 * e به توان kt. بنابراین، اگر k داشتیم، می‌توانیم بخش اول کار را کامل کنیم: عبارتی را پیدا کنیم که تعداد باکتری‌ها را در t ساعت نشان دهد. چگونه k را پیدا کنیم؟ اما در اینجا مقدار دوم تعداد باکتری ها را داریم: پس از 1 ساعت، تعداد سلول ها به 420 قطعه افزایش می یابد. این به ما چه می گوید؟ که ب (1) یعنی. جمعیت بعد از 1 ساعت 420 قطعه یا برابر با 100 * e به توان kt می باشد. t چیست؟ t = 1، بنابراین در e به توان k ضرب کنید. بنابراین، 420 = 100 * e به توان k. اکنون می توانیم k را پیدا کنیم. بیایید با تقسیم هر دو طرف تساوی بر 100 شروع کنیم. بنابراین 4.2 ... احتمالاً اضلاع تساوی را عوض می کنم. بنابراین، e به توان k برابر 4.2 است. حال برای پیدا کردن k، باید لگاریتم های طبیعی هر دو طرف را بگیریم. بنابراین، k = ln (4،2). در نتیجه مقداری به دست خواهیم آورد. بعدا با ماشین حساب پیداش می کنیم. بنابراین، ابتدا مقدار 100 را جایگزین این عبارت کردیم، متوجه شدیم که من برابر با صفر است و با کمک داده های اضافی، k: k = ln (4،2) را پیدا کردیم. حالا یک عبارت داریم، چون k و I را صفر می دانیم. بنابراین، در اینجا پاسخ اولین مورد از کار است: تابع b (t) برابر است با: مقدار اولیه، یعنی 100، ضرب در e به توان kt، و چون k = ln (4، 2) e به توان (ln (4، 2)) * t می رسیم. این همان چیزی است که عملکرد ما به نظر می رسد. حال به دومین نکته از تکلیف خود می پردازیم. نکته دوم اینجاست: تعداد باکتری ها را در 3 ساعت بیابید. انجام این کار آسان و ساده است. ما یک تابع داریم و t = 3، بنابراین می توانیم تعداد باکتری ها را در 3 ساعت پیدا کنیم. بنابراین، b (3) = 100 * e به توان (ln (4.2) * 3). و ما می توانیم مقدار این عبارت را محاسبه کنیم، البته اگر ماشین حساب دارید. چه چیزی برابر است لگاریتم طبیعی 4.2؟ در واقع، ما می توانیم مقدار را به صورت تحلیلی پیدا کنیم. بنابراین، این برابر است با ضرب 100 در e به توان ln (4.2) و همه اینها در توان سوم است، زیرا اگر دو توان ضرب شوند، این معادل افزایش به توان است، یعنی ما به توان بالا می بریم. قدرت سوم ... و اگر در اینجا ساده کنیم، همه چیز روشن است. و برابر e با توان ln (4.2) چقدر است؟ یعنی 4.2 درسته؟ لگاریتم طبیعی به ما می گوید که برای بدست آوردن 4.2 چقدر e باید افزایش یابد. ببین، من حتی می توانم بدون ماشین حساب هم کار کنم. از این رو، 100 * (4،2) در درجه سوم. و اکنون باید بفهمیم که چه مقدار (4.2) در توان سوم خواهد بود. حدود 70 خواهد بود. بیایید بعداً به این موضوع بپردازیم. در اینجا پاسخ نکته دوم تکلیف ما است. و می توانید مقدار را با استفاده از ماشین حساب پیدا کنید. شما می توانید این کار را خودتان انجام دهید. نکته سوم چیست؟ حالا باید بعد از 3 ساعت سرعت رشد را پیدا کنیم. آنها در این مرحله از ما چه می خواهند؟ ما باید شیب این تابع را پیدا کنیم. به عبارت دیگر، باید مشتق این تابع را در t = 3 پیدا کنیم. اجازه دهید همه چیز را در اینجا حذف کنم، زیرا ما قبلاً این نقاط کار را تکمیل کرده ایم. در اینجا فقط باید روی یک ماشین حساب حساب کنید. آماده. خب بریم سراغ نکته سوم. باید نرخ رشد یعنی مشتق این تابع را پیدا کنیم. بنابراین، مشتق تابع b ’(t) برابر است با ... برابر است با چیست؟ بیایید از قانون زنجیره استفاده کنیم، i.e. اصل تمایز یک تابع پیچیده بنابراین، از آنجایی که 100 یک ثابت است، می توانیم قبل از تابع، 100 بنویسیم. و مشتق این عبارت برابر است با ln (4،2) ضرب در مشتق e به توان ln (4،2) * t. ما نرخ رشد را در t پیدا کردیم و باید بفهمیم که در t = 3 برابر است. بنابراین، b'(3) = 100 * ln (4،2)، و همه اینها را در e ضرب می کنیم تا به توان ln (4،2) * t. و قبلاً گفتیم که این عبارت به سادگی (4.2) به توان t است. بنابراین، در اینجا در حال ضرب در (4.2) به توان سوم هستیم. همانطور که می بینید ما در اینجا به موضوع لگاریتم پرداختیم. خب، پس همه چیز آسان و ساده است: به جای t، مقدار 3 را جایگزین کردیم. امیدوارم متوجه شده باشید. خوب، اگر نه، می توانید به سادگی از یک ماشین حساب استفاده کنید. اما، به نظر من، شما باید این را بدانید: e در درجه (ln x) = x. بالاخره (ln x) چیست؟ این درجه ای است که برای بدست آوردن x باید e را افزایش داد. به عبارت دیگر، اگر e را به توان x برسانم، x به دست می آید. این تمام چیزی است که می خواستم بگویم. بنابراین e به توان ((ln (4.2) به t) = (4.2) به توان t. همانطور که می بینید، من می توانم عبارت اصلی خود را به صورت زیر بازنویسی کنم: 100 * (4.2) به توان t. ما به تازگی پاسخ اولین مورد از تکلیف را ساده کرده ایم. اینجوری بهتر میشه این امر یافتن راه حل برای نکته دوم را آسان تر می کند. خوب، در مورد سومین نکته، در اینجا بهتر است همه چیز را همانطور که هست رها کنیم، زیرا پیدا کردن مشتق این عبارت بسیار ساده تر است. می‌توانیم این عبارت را به صورت: b’(t) = (100 * ln (4،2)) * (4،2) به توان t بازنویسی کنیم. بنابراین من فقط این عبارت را به این تغییر دادم. ببخشید من قبلا طرحش کردم و در نهایت به آخرین نقطه وظیفه خود می رسیم: زمانی را پیدا کنید که پس از آن تعداد باکتری ها به 10000 برسد. اجازه دهید احتمالاً راه حل را تا نکته سوم پاک کنم. چقدر طول می کشد تا تعداد باکتری ها به 10000 برسد؟ بیایید ابتدا بیان خود را کمی ساده تر کنیم. بنابراین، b (t) = 100 * e به توان (ln (4.2) * t). و این برابر است، همانطور که گفتم، 100 * (4،2) ^ t. از ما می پرسند که چه زمانی تعداد باکتری ها به 10000 می رسد. به عبارت دیگر، تابع b (t) در چه مقدار t برابر با 10000 است. بنابراین، 10000 = 100 * e به توان ln (4.2) * t. ببینیم اینجا چی داریم ما می توانیم هر دو طرف تساوی را بر 100 تقسیم کنیم. بنابراین، 100 = e به توان (ln (4,2) * t). اکنون می توانیم هر دو قسمت را به صورت لگاریتم طبیعی بنویسیم. اینجا چه کار می توانیم بکنیم؟ من رنگ دیگری را انتخاب می کنم، ln100 ... است، و اگر لگاریتم طبیعی e را تا حدی بگیریم، فقط لگاریتم طبیعی مقدار این درجه را به دست می آوریم. به عبارت دیگر، ما تنها با لگاریتم بیان که در قدرت است، باقی می‌مانیم. پس بیایید این را بنویسیم: ln100 = ln (4،2) * t. و برای یافتن t، باید هر دو طرف برابری را بر ln تقسیم کنیم (4،2). بنابراین، t = (ln100) / (ln (4،2)) به این ترتیب زمانی را پیدا می کنیم که پس از آن تعداد باکتری ها به 10000 می رسد. تنها چیزی که باقی می ماند این است که یک ماشین حساب بگیرید و مقدار این عبارت را پیدا کنید. بیایید برای سرگرمی، یک نسخه ساده شده از بیان خود را در نظر بگیریم. بنابراین، چه چیزی بدست می آوریم: 100 * (4،2) به توان t = 10.000. دو طرف تساوی را بر 100 تقسیم کنید. بنابراین، (4.2) به توان t = 100. و برای حل این موضوع باید لگاریتم را به پایه 4.2 ببریم. بنابراین، t برابر است با پایه لگاریتمی 4.2 از 100. در ویدیوی ویژگی های لگاریتم به این موضوع باز خواهیم گشت. بسیار مهم است که بدانید چگونه می توانید لگاریتم را بر اساس یک عدد محاسبه کنید. از آنجایی که در ماشین حساب فقط می توانید لگاریتم پایه e یا 10 را پیدا کنید. اما چگونه می توانید لگاریتم را به پایه هر عدد دیگری پیدا کنید؟ پاسخ من بسیار ساده است: شما فقط لگاریتم طبیعی 100 را بگیرید و آن را بر لگاریتم طبیعی این مقدار تقسیم کنید. از طرف دیگر، لگاریتم اعشاری 100 و تقسیم بر لگاریتم اعشاری 4.2 است. این همه است، ما احتمالاً در این مورد پایان خواهیم داد تا همه چیز در سر شما گیج نشود. بنابراین، در این درس به رشد نمایی نگاه کردیم. می‌توانیم بنویسیم: «مقدار مشارکت اولیه 100 است و متناسب با اندازه آن رشد می‌کند» به جای «یک کلنی از باکتری‌ها». سپس سود مرکب خواهد بود. و در اینجا می توان گفت که «بعد از 1 ساعت، مبلغ مثلاً 4، 2 دلار افزایش یافت. در آن صورت، ما به دنبال علاقه مستمر خواهیم بود. در کل همینطور است. مهم نیست دقیقاً چه چیزی را در نظر می گیریم. در آینده، چند مثال دیگر را در مورد این موضوع نشان خواهم داد و همچنین مشکل زوال نمایی را در نظر خواهیم گرفت. به زودی میبینمت!

کار آزمایشگاهی شماره 1.

"دینامیک جمعیت".

مدلسازی پویایی جمعیت با استفاده از یک برنامه محاسباتی

هدف کار:مدل های پویایی جمعیت را با استفاده از یک برنامه محاسباتی مطالعه کنید.

برای کار پذیرفته شد

من کار را انجام داده ام

از کارش دفاع کرد

2010 جی.

1 مقدمه نظری

طبق تعریف بوم شناس مشهور روسی S.S. Schwartz، جمعیتیک گروه اولیه از موجودات از یک نوع خاص است که تمام شرایط لازم برای حفظ تعداد خود را دارد مدت زمان طولانیدر یک محیط دائما در حال تغییر

یک جمعیت، مانند هر سیستم بیولوژیکی باز، با ساختار خاصی، رشد، توسعه، مقاومت در برابر عوامل غیرزیستی و زیستی مشخص می شود.

مهمترین شاخص رفاه یک جمعیت (ثبات)، نقش آن در عملکرد یک اکوسیستم طبیعی اندازه آن است.

اندازه جمعیت عمدتاً توسط دو پدیده تعیین می شود - باروری و مرگ و میر و همچنین مهاجرت.

باروری - تعداد افراد جدیدی که در واحد زمان در نتیجه تولید مثل ظاهر شدند.در فرآیند تولید مثل، تعداد افراد افزایش می یابد، از نظر تئوری قادر به رشد نامحدود در تعداد است.

انواع مختلفی از تغییرات در تعداد افراد یک جمعیت بسته به زمان وجود دارد (دینامیک جمعیت). در ساده‌ترین موارد، پویایی یک جمعیت را می‌توان با مدل‌های ریاضی ساده توصیف کرد که امکان پیش‌بینی تغییرات در تعداد افراد را ممکن می‌سازد.

1. رشد تصاعدی در اعداد.

یکی از اولین مدل های رشد جمعیت پیشنهاد شد تی مالتوس 1798، در اثر معروف "درباره اصول جمعیت". این مدل نامگذاری شد نماییوابستگی هارشد جمعیت (منحنی رشد نمایی). این مدل فرض می کند منابع طبیعی نامحدود،در دسترس افراد جامعه، و عدم وجود هرگونه محدودیتبرای رشد جمعیت تحت چنین مفروضاتی، تعداد افراد در جمعیت بر اساس یک وابستگی به قانون-قدرت افزایش می‌یابد، یعنی. بسیار سریع و نامحدود.

اگر با علامت گذاری کنیم n 0 تعداد افراد در جمعیت و لحظه اولیه زمان (تی 0 ), و بعد از N t، تعداد افراد در یک نقطه از زمان تی (t> t 0). سپس تغییر عدد ∆N در بازه زمانی ∆ تی. آن ها نرخ رشد جمعیت برابر با:

(1)

عبارت (1) میانگین نرخ رشد جمعیت را نشان می دهد. با این حال، در اکولوژی جمعیت، اغلب از نرخ میانگین مطلق استفاده نمی شود، بلکه نرخ رشد هر ارگانیسم (نرخ خاص) است:

(2)

این شاخص به شما امکان می دهد مقادیر تغییر در تعداد جمعیت در اندازه های مختلف را مقایسه کنید. در این مورد، عدد به عنوان نرخ افزایش توسط یک فرد در یک دوره زمانی معین تعریف می شود.

عبور به شکل محدود کننده ثبت سرعت در
0 و
و معرفی یک نام جدید:

(3)

در بیان (3) فهرست مطالب rرا می توان به عنوان خاص آنی تعریف کرد نرخ رشد جمعیت... برای جمعیت های مختلف از یک گونه، این شاخص ممکن است مقادیر متفاوتی داشته باشد. بزرگترین مقدار ممکن (r max) پتانسیل زیستی یا تولید مثلی جمعیت نامیده می شود.

با در نظر گرفتن عبارت (3)، نرخ رشد جمعیت را می توان با عبارت زیر توصیف کرد

(4)

با بیان تمایز (4)، آن را در هر لحظه از زمان تحت شرایط به دست می آوریم r= بااول (ثابت نرخ رشد) تعداد افراد در جمعیت برابر با:
(5)

فرمول (5) یک مدل نمایی از رشد جمعیت را توصیف می کند که از نظر گرافیکی شکل یک منحنی دارد (شکل 1). مدل رشد نمایی شرایط را برآورده می کند رشد نامحدودتعداد افراد در جمعیت

برنج. 1. منحنی رشد نمایی تعداد افراد در جمعیت

1. مدل رشد لجستیک

حداکثر اندازه جمعیتی که یک اکوسیستم قادر است به طور نامحدود تحت شرایط طبیعی بدون تغییر حفظ کند، نامیده می شود. ظرفیت اکوسیستمبرای یک گونه معین

تغییر جمعیت- این رابطه بین پتانسیل بیولوژیکی (افزودن افراد) و مقاومت محیطی (مرگ افراد، مرگ و میر) است. عوامل مقاومت محیطی منجر به افزایش مرگ و میر می شود و منحنی فراوانی به یک فلات می رسد یا حتی پایین می آید، اگر انفجار جمعیت باعث تخلیه منابع حیاتی اکوسیستم شده باشد. منحنی رشد جمعیت تحت مقاومت محیطی بدست می آید S-فیگوراتیو نمای (شکل 2).

برنج. 2 . مدل رشد جمعیت S شکل

بنابراین در شرایط طبیعی رشد نامحدود و دیر یا زود غیرممکن است اندازه جمعیت به حد خود خواهد رسیدکه تعریف شده است ظرفیت متوسط(فضایی، غذایی و غیره). اگر با حداکثر تعداد ممکن افراد در جمعیت مقدار معینی را نشان دهیم K (ظرفیت متوسط) و یک ضریب اصلاحی را معرفی کنید که در نظر گرفته شود "مقاومت"رشد جمعیت در قالب یک نسبت:

,

سپس معادله چنین حالتی در آن نوشته می شود فرم:

(7)

جواب این معادله دیفرانسیل شکل خواهد داشت

(8)

جایی که آ -ثابت ادغام که موقعیت تابع را نسبت به مبدأ تعیین می کند، می توان آن را از عبارت (به شرطی که r= پایان).

(9)

عبارت (8) به اصطلاح توصیف می کند منحنی رشد لجستیک(شکل 2). این دومین مدل ساده ریاضی دینامیک جمعیت تحت شرط حد بالای عدد و مقاومت محیط در برابر رشد عدد است. طبق این مدل اندازه جمعیت در اولمرحله به اندازه کافی سریع رشد می کند، اما سپس سرعت رشد جمعیت کند می شود ونزدیک به مقدار بی نهایت کوچک می شودبه (منحنی لجستیک به طور مجانبی به افقی نزدیک می شود به).

1. طبقات رگرسیون غیرخطی.

2. شکل سهموی وابستگی.

3. شکل هایپربولیک وابستگی.

4. شکل نمایی وابستگی.

5. شکل درجه وابستگی.

روابط غیر خطی بین پدیده های اقتصادی وجود دارد که با استفاده از توابع غیرخطی بیان می شوند.

دو دسته رگرسیون غیرخطی وجود دارد:

1. رگرسیون هایی که با توجه به متغیرهای توضیحی موجود در تجزیه و تحلیل غیرخطی هستند، اما با توجه به پارامترهای برآورد شده خطی هستند. نمونه هایی از این رگرسیون ها توابع هستند:

چند جمله ای درجات مختلف؛

هذلولی متساوی الاضلاع

2. رگرسیون غیرخطی توسط پارامترهای برآورد شده شامل توابع زیر است:

درجه؛

نشان دهنده؛

نمایی.

رگرسیون غیر خطی برای متغیرهای گنجانده شده، مانند رگرسیون خطی، با روش حداقل مربعات (OLS) تعریف می‌شود، زیرا این توابع در پارامترها خطی هستند.

1. شکل سهموی وابستگی

معادله رگرسیون برای سهمی مرتبه 2 به شرح زیر است:

معادلات نرمال روش حداقل مربعات برای وابستگی سهموی به شرح زیر است:

با حل این سیستم معادلات، مقادیر پارامترها را به دست می آوریم آ, بو ج.

سهمی درجه دوم در ب > 0 و با< 0 در مورد حداکثر نقطه متقارن است، که جهت پیوند را تغییر می دهد، یعنی افزایش برای سقوط. این نوع کارکرد را می توان در اقتصاد کار هنگام مطالعه وابستگی دستمزد کارگران یدی به سن مشاهده کرد؛ با افزایش سن، دستمزدها به دلیل افزایش همزمان تجربه و صلاحیت کارگر افزایش می یابد. اما از یک سن خاص به دلیل پیری بدن و کاهش بهره وری نیروی کار، افزایش بیشتر سن می تواند منجر به کاهش دستمزد کارمند شود.

در ب < 0 و c> 0، سهمی مرتبه دوم با توجه به حداقل تابع در نقطه ای که جهت اتصال را تغییر می دهد، یعنی کاهش برای رشد، متقارن است.

2. شکل هایپربولیک وابستگی.

معادله رگرسیون هذلولی به صورت زیر است:

از سیستم معادلات نرمال روش حداقل مربعات برای هذلولی:

مقادیر ضرایب معادله رگرسیون هذلولی تعیین می شود آو ب.

وابستگی هذلولی را می توان در سطوح خرد و کلان استفاده کرد - به عنوان مثال، برای مشخص کردن رابطه بین مصرف خاص مواد خام، مواد، سوخت و حجم خروجی، زمان گردش کالاها بر ارزش گردش مالی. یک مثال کلاسیک از این منحنی است فیلیپس، توصیف رابطه بین نرخ بیکاری و درصد رشد دستمزد.

رگرسیونی را در نظر بگیرید که در پارامترهای برآورد شده غیرخطی است

3. شکل نمایی از وابستگی.

نمای کلی معادله رگرسیون نمایی:

برای ساده سازی الگوریتم پردازش نمونه، خطی سازی معادله رگرسیون نمایی با گرفتن لگاریتم دوم از معادلات ارائه شده انجام می شود.

پس از تعویض لوگاریتم yبر z، معلوم می شود معادله خطینوع:

z= آ+ bx.

پارامترهای معادله رگرسیون را تعیین کنید آو ب. با انجام جایگزینی معکوس، مقادیر تجربی ویژگی حاصل را به دست می آوریم.

4. شکل قدرت-قانون وابستگی.

نمای کلی معادله رگرسیون توان:

با در نظر گرفتن لگاریتم این معادله، آن را به شکل خطی می‌آوریم:

تخمین پارامترها آو ب معادلات را می توان با حداقل مربعات پیدا کرد. سیستم معادلات نرمال به شکل زیر است:

پارامتر باز سیستم و پارامتر تعیین می شود آ- با تقویت بیان lna.

شاخص تنگی همبستگی غیرخطی، شاخص همبستگی است که با فرمول محاسبه می شود:

,

ارزش های فردی کجاست درتوسط معادله محدودیت

شاخص همبستگی در محدوده: 0 است < آر < 1 و چی نزدیک به یک، هر چه رابطه ویژگی های در نظر گرفته شده نزدیک تر باشد، معادله رگرسیون با اطمینان بیشتری پیدا می شود.

شاخص تعیین آر 2 برای آزمون اهمیت آماری معادله رگرسیون غیرخطی کلی با آزمون فیشر استفاده می شود.