Намерете обема на тяло на въртене, ограничено от линии онлайн. Как да изчислим обема на тялото на въртене с помощта на определен интеграл

Както при проблема с намирането на зоната, имате нужда от уверени умения за рисуване - това е почти най-важното нещо (тъй като самите интеграли често ще бъдат лесни). Научете се компетентно и бърза техникадиаграмите може да се направи с помощта на учебни материалии геометрични графични трансформации. Но всъщност многократно съм говорил за важността на рисунките в урока.

Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане, с помощта на определен интегралможете да изчислите площта на фигура, обема на тялото на въртене, дължината на дъгата, повърхността на оборота и много други. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

Представете си някаква плоска фигура в координатната равнина. Представихте ли? ... чудя се кой какво представи ... =))) Вече намерихме неговата площ. Но освен това, тази фигура може да се върти и да се върти по два начина:

- около оста на абсцисата;
- около оста у.

В тази статия и двата случая ще бъдат обсъдени. Вторият метод на въртене е особено интересен, създава най-големи затруднения, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблемът за намиране на площта на фигура, и да ви кажа как да намерите областта по втория начин - по оста. Дори не е толкова бонус, колкото материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип завъртане.

плоска фигура около ос

Пример 1

Изчислете обема на тялото, получен чрез завъртане на фигурата, ограничена от линии около оста.

Решение: Както в проблема с площта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест, на равнината е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линии , , като не забравяме, че уравнението определя оста . Как да направите рисунка по-рационално и по-бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функциии Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Това е китайско напомняне и нататък този моментвече не спирам.

Рисунката тук е доста проста:

Желаната плоска фигура се оцветява в синьо и именно тази фигура се върти около оста.В резултат на въртене се получава такава леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но е твърде мързеливо да се посочи нещо в справочника, така че продължаваме напред.

Как да изчислим обема на тялото на въртене?

Обемът на тялото на въртене може да се изчисли по формулата:

Във формулата трябва да има число преди интеграла. Така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be", мисля, е лесно да се отгатне от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Нека разгледаме чертежа. Плоската фигура е ограничена от графиката на параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практическите задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - интегралната функция във формулата е на квадрат: , следователно интегралът винаги е неотрицателен, което е съвсем логично.

Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора е необходимо да се посочи размерът - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 "кубчета". Защо точно кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко малки зелени човечета може да побере въображението ви в летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тялото, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от линиите, ,

Това е пример "направи си сам". Пълно решение и отговор в края на урока.

Помислете за още две предизвикателни задачикоито често се срещат на практика.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получен чрез завъртане около оста на абсцисата на фигурата, ограничена от линиите , и

Решение: Начертайте плоска фигура в чертежа, ограничена от линии , , , , като не забравяте, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е засенчена в синьо. Когато се върти около оста, се получава такава сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото.

Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. Когато се върти около оста, се получава пресечен конус. Нека означим обема на този пресечен конус като .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим обема му с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула за намиране на обема на тялото на въртене:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се прави по-кратко, нещо като това:

Сега нека да си починем и да поговорим за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с томове, които Перелман (друг) забеляза в книгата Интересна геометрия. Вижте плоската фигура в решената задача - тя изглежда е малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек през целия си живот пие течност с обем на стая с площ от 18 квадратни метра, което, напротив, изглежда твърде малко.

Като цяло образователната система в СССР наистина беше най-добрата. Същата книга на Перелман, публикувана през далечната 1950 г., се развива много добре, както каза хумористът, разсъждава и те учи да търсиш оригинално нестандартни решенияпроблеми. Напоследък препрочетох някои глави с голям интерес, препоръчвам го, достъпен е дори за хуманитаристи. Не, не е нужно да се усмихвате, че предложих безполезно забавление, ерудицията и широкия поглед в общуването са страхотно нещо.

След лирическо отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Изчислете обема на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример "направи си сам". Обърнете внимание, че всички неща се случват в лентата, с други думи, действително са дадени готови граници на интеграция. Направете правилната графика тригонометрични функции, припомнете си материала от урока за геометрични трансформации на графики: ако аргументът се дели на две: , тогава графиките се разтягат по оста два пъти. Желателно е да се намерят поне 3-4 точки според тригонометричните таблициза по-точно завършване на чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде дори по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на тяло на въртене около оста y също е доста чест гост в контролни работи. Мимоходом ще бъдат разгледани проблем за намиране на площта на фигуравторият начин - интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и да ви научи как да намерите най-изгодното решение. Има и практическо значение! Както си спомня с усмивка моят учител по методи на преподаване по математика, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и управляваме персонала си оптимално.“ Възползвайки се от тази възможност, и аз й изказвам огромната си благодарност, още повече, че използвам придобитите знания по предназначение =).

Препоръчвам го за четене на всички, дори и на пълни манекени. Освен това, усвоения материал от втория параграф ще бъде от неоценима помощ при изчисляването на двойни интеграли.

Пример 5

Като се има предвид плоска фигура, ограничена от линии , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получен чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии около оста.

Внимание!Дори ако искате да прочетете само втория параграф, първия задължителнопрочети първата!

Решение: Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Нека изпълним чертежа:

Лесно е да се види, че функцията дефинира горния клон на параболата, а функцията - долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която „лежи на една страна“.

Желаната фигура, чиято площ трябва да бъде намерена, е засенчена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по „обичайния“ начин, който беше разгледан в урока. Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това, площта на фигурата се намира като сума от площите:
- на сегмента ;
- на сегмента.

Така:

Какво не е наред с обичайното решение в този случай? Първо, има два интеграла. Второ, корените под интеграли и корените в интеграли не са дар, освен това човек може да се обърка при заместването на границите на интегриране. Всъщност интегралите, разбира се, не са смъртоносни, но на практика всичко е много по-тъжно, просто взех „по-добри“ функции за задачата.

Има по-рационално решение: то се състои в преход към обратни функции и интегриране по оста.

Как да преминем към обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" през "y". Първо, нека се справим с параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

С права линия всичко е по-лесно:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червената пунктирана линия. Освен това на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери по вече познатата ви формула: . Какво се промени във формулата? Само писмо и нищо повече.

! Забележка: Границите на интегриране по оста трябва да бъдат зададени строго отдолу нагоре!

Намиране на района:

Следователно на сегмента:

Обърнете внимание как извърших интеграцията, това е най-рационалният начин и в следващия параграф от заданието ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интегрирането, ще намеря производни:

Получава се оригиналната интегрална функция, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е "висяща пеперуда", която се върти около оста си.

За да намерим обема на тялото на въртене, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратни функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на тялото на въртене трябва да се намери като разлика между обемите.

Завъртаме фигурата, обградена в червено около оста, в резултат на което се получава пресечен конус. Нека означим този обем с .

Завъртаме фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме чрез обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на тялото на въртене:

По какво се различава от формулата на предишния параграф? Само с букви.

И ето предимството на интеграцията, за което говорих преди малко, е много по-лесно за намиране отколкото да се повиши интегралната функция на 4-та степен.

Отговор:

Въпреки това, болна пеперуда.

Имайте предвид, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, тогава ще се получи съвсем различно тяло на въртене, с различен, естествено, обем.

Пример 6

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии, чрез интегриране върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получен чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии около оста.

Това е пример "направи си сам". Тези, които желаят, също могат да намерят площта на фигурата по „обичайния“ начин, като по този начин завършват теста на точка 1). Но ако, повтарям, завъртите плоска фигура около оста, тогава получавате съвсем различно тяло на въртене с различен обем, между другото, правилният отговор (също за тези, които обичат да решават).

Пълното решение на двата предложени елемента от задачата в края на урока.

О, и не забравяйте да наклоните главата си надясно, за да разберете телата на въртене и в рамките на интеграцията!

Как да изчислим обема на тялото на въртене, използвайки определен интеграл?

Освен от намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл най-важното приложение на темата е изчисляване на обема на тялото на въртене. Материалът е прост, но читателят трябва да бъде подготвен: необходимо е да може да реши неопределени интеграли средна сложност и приложете формулата на Нютон-Лайбниц в определен интеграл . Както при проблема с намирането на зоната, имате нужда от уверени умения за рисуване - това е почти най-важното нещо (тъй като самите интеграли често ще бъдат лесни). Можете да овладеете компетентната и бърза техника за начертаване на графики с помощта на методически материал . Но всъщност многократно съм говорил за важността на рисунките в урока. .

Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; използвайки определен интеграл, можете да изчислите площта на фигурата, обема на тялото на въртене, дължината на дъгата, площта на повърхността на тялото и много други. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

– около оста x; - около оста у.

В тази статия и двата случая ще бъдат обсъдени. Вторият метод на въртене е особено интересен, създава най-големи затруднения, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблемът за намиране на площта на фигура , и да ви кажа как да намерите областта по втория начин - по оста. Дори не е толкова бонус, колкото материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип завъртане.

Пример 1

Изчислете обема на тяло, получен чрез завъртане на фигура, ограничена от линии около оста.

Решение:Както при проблема с намирането на района, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест на равнина е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линии, като не забравяме, че уравнението задава оста. Как да направите рисунка по-рационално и по-бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функции и Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура . Това е китайско напомняне и не спирам дотук.

Рисунката тук е доста проста:

Желаната плоска фигура е засенчена в синьо, тя е тази, която се върти около оста. В резултат на въртене се получава тази леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но е твърде мързеливо да погледнем нещо в справочника, така че продължаваме напред.

Как да изчислим обема на тялото на въртене?

Обемът на тялото на въртене може да се изчисли по формулата:

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be", мисля, е лесно да се отгатне от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Нека разгледаме чертежа. Плоската фигура е ограничена от параболичната графика в горната част. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практическите задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - функцията във формулата е на квадрат:, по този начин обемът на тялото на въртене винаги е неотрицателен, което е съвсем логично.

Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от линии,,

Това е пример "направи си сам". Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат на практика.

Пример 3

Решение:Нека изобразим плоска фигура в чертежа, ограничена от линии ,,,, като не забравяме, че уравнението задава оста:

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото.

Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. Когато се върти около оста, се получава пресечен конус. Означете обема на този пресечен конус с.

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула за намиране на обема на тялото на въртене:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Самото решение често се прави по-кратко, нещо като това:

Сега нека да си починем и да поговорим за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с томове, които Перелман (не същото) забеляза в книгата Интересна геометрия. Вижте плоската фигура в решената задача - тя изглежда е малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, обикновеният човек през целия си живот пие течност с обем на стая от 18 квадратни метра, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

Като цяло образователната система в СССР наистина беше най-добрата. Същата книга на Перелман, написана от него през далечната 1950 г., развива много добре, както каза хумористът, разсъждения и ви учи да търсите оригинални нестандартни решения на проблемите. Напоследък препрочетох някои глави с голям интерес, препоръчвам го, достъпен е дори за хуманитаристи. Не, не е нужно да се усмихвате, че предложих безполезно забавление, ерудицията и широкия поглед в общуването са страхотно нещо.

След лирическо отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Изчислете обема на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите,, където.

Това е пример "направи си сам". Моля, имайте предвид, че всички неща се случват в групата, с други думи, дават се почти готови граници за интеграция. Също така се опитайте да начертаете правилно графиките на тригонометричните функции, ако аргументът е разделен на две:, тогава графиките се разтягат по оста два пъти. Опитайте се да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблици и направи чертежа по-точен. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенето на плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде дори по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на тяло на въртене около оста y също е доста често срещан посетител в тестовете. Мимоходом ще бъдат разгледани проблем за намиране на площта на фигура вторият начин - интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и да ви научи как да намерите най-изгодното решение. Има и практическо значение! Както си спомня с усмивка моят учител по методи на преподаване по математика, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и управляваме персонала си оптимално.“ Възползвайки се от тази възможност, и аз й изказвам огромната си благодарност, още повече, че използвам придобитите знания по предназначение =).

Пример 5

Като се има предвид плоска фигура, ограничена от линии ,,.

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии. 2) Намерете обема на тялото, получен чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии около оста.

Внимание!Дори ако искате да прочетете само втория параграф, първия задължителнопрочети първата!

Решение:Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Нека изпълним чертежа:

Желаната фигура, чиято площ трябва да бъде намерена, е засенчена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по „обичайния“ начин, който беше разгледан в урока. Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура . Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите: - на сегмента ; - на сегмента.

Така:

Има по-рационално решение: то се състои в преход към обратни функции и интегриране по оста.

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

С права линия всичко е по-лесно:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червената пунктирана линия. В същото време на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери по вече познатата ви формула: . Какво се промени във формулата? Само писмо и нищо повече.

! Забележка: Границите на интегриране по оста трябва да бъдат зададенистрого отдолу нагоре !

Намиране на района:

Следователно на сегмента:

За читателите, които се съмняват в правилността на интегрирането, ще намеря производни:

Получава се оригиналната интегрална функция, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

Завъртаме фигурата, оградена в зелено, около оста и обозначаваме чрез обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на тялото на въртене:

По какво се различава от формулата на предишния параграф? Само с букви.

И ето предимството на интеграцията, за което говорих преди малко, е много по-лесно за намиране отколкото предварително да се повиши интегралната функция на 4-та степен.

Определение 3. Тяло на въртене е тяло, получено чрез завъртане на плоска фигура около ос, която не пресича фигурата и лежи в една и съща равнина с нея.

Оста на въртене може също да пресича фигурата, ако е оста на симетрия на фигурата.

Теорема 2.
, ос
и прави отсечки
и

се върти около ос
. Тогава обемът на полученото тяло на въртене може да се изчисли по формулата

(2)

Доказателство. За такова тяло сечението с абсцисата е кръг с радиус
, означава
и формула (1) дава желания резултат.

Ако фигурата е ограничена от графиките на две непрекъснати функции
и
и линейни сегменти
и
, освен това
и
, то при завъртане около оста на абсцисата получаваме тяло, чийто обем

Пример 3 Изчислете обема на тор, получен чрез завъртане на окръжност, ограничена от окръжност

около оста x.

Р решение. Посоченият кръг е ограничен отдолу от графиката на функцията
, и отгоре -
. Разликата на квадратите на тези функции:

Желан обем

(графиката на интегралната функция е горният полукръг, така че интегралът, написан по-горе, е площта на полукръг).

Пример 4 Параболичен сегмент с основа
, и височина , се върти около основата. Изчислете обема на полученото тяло ("лимон" от Кавалиери).

Р решение. Поставете параболата, както е показано на фигурата. Тогава неговото уравнение
, и
. Нека намерим стойността на параметъра :
. И така, желаният обем:

Теорема 3. Нека криволинеен трапец, ограничен от графиката на непрекъсната неотрицателна функция
, ос
и прави отсечки
и
, освен това
, се върти около ос
. Тогава обемът на полученото тяло на въртене може да се намери по формулата

(3)

идея за доказателство. Разделяне на сегмента
точки

, на части и нарисувайте прави линии
. Целият трапец ще се разпадне на ивици, които могат да се считат приблизително за правоъгълници с основа
и височина
.

Цилиндърът, получен в резултат на въртенето на такъв правоъгълник, се изрязва по протежение на генератрисата и се разгъва. Получаваме "почти" паралелепипед с размери:
,
и
. Неговият обем
. И така, за обема на тялото на въртене ще имаме приблизително равенство

За да получим точно равенство, трябва да преминем към предела при
. Сумата, написана по-горе, е интегралната сума за функцията
, следователно в предела получаваме интеграла от формула (3). Теоремата е доказана.

Забележка 1. В теореми 2 и 3 условието
може да се пропусне: формула (2) обикновено е нечувствителна към знака
, а във формула (3) е достатъчно
заменен от
.

Пример 5. Параболичен сегмент (основа
, височина ) се върти около височината. Намерете обема на полученото тяло.

Решение. Подредете параболата, както е показано на фигурата. И въпреки че оста на въртене пресича фигурата, тя - оста - е оста на симетрия. Следователно трябва да се вземе предвид само дясната половина на сегмента. Параболно уравнение
, и
, означава
. Имаме за обем:

Забележка 2. Ако криволинейната граница на криволинейния трапец е дадена от параметричните уравнения
,
,
и
,
тогава формули (2) и (3) могат да се използват със замяната на
и
на
когато се промени тот
преди .

Пример 6. Фигурата е ограничена от първата дъга на циклоидата
,
,
, и оста на абсцисата. Намерете обема на тялото, получен чрез завъртане на тази фигура около: 1) оста
; 2) оси
.

Решение. 1) Обща формула
в нашия случай:

2) Обща формула
За нашата фигура:

Насърчаваме учениците сами да правят всички изчисления.

Забележка 3. Нека криволинеен сектор, ограничен от непрекъсната линия
и лъчи
,

, се върти около полярната ос. Обемът на полученото тяло може да се изчисли по формулата.

Пример 7. Част от фигура, ограничена от кардиоид
, лежащи извън кръга
, се върти около полярната ос. Намерете обема на полученото тяло.

Решение. И двете линии, а оттам и фигурата, която ограничават, са симетрични спрямо полярната ос. Следователно е необходимо да се вземе предвид само частта, за която
. Кривите се пресичат при
и

в
. Освен това фигурата може да се разглежда като разлика на два сектора и следователно обемът може да се изчисли като разлика на два интеграла. Ние имаме:

Задачи за самостоятелно решение.

1. Кръгов сегмент, чиято основа
, височина , се върти около основата. Намерете обема на тялото на въртене.

2. Намерете обема на параболоид на въртене, чиято основа , а височината е .

3. Фигура, ограничена от астроид
,
се върти около оста x. Намерете обема на тялото, който се получава в този случай.

4. Фигура, ограничена от линии
и
се върти около оста x. Намерете обема на тялото на въртене.

Използване на интеграли за намиране на обеми на въртящи се тела

Практическата полезност на математиката се дължи на факта, че без

специфичните математически познания затрудняват разбирането на принципите на устройството и употребата модерна технология. Всеки човек в живота си трябва да извършва доста сложни изчисления, да използва често използвано оборудване, да намира необходимите формули в справочниците и да съставя прости алгоритми за решаване на проблеми. V модерно обществоизискват повече специалности високо нивообразованието е свързано с прякото приложение на математиката. Така за един ученик математиката се превръща в професионално значим предмет. Водещата роля принадлежи на математиката при формирането на алгоритмично мислене, тя възпитава способността да се действа по даден алгоритъм и да се проектират нови алгоритми.

Изучавайки темата за използване на интеграла за изчисляване на обемите на телата на въртене, предлагам на учениците в факултативни часове да разгледат темата: „Обеми на тела на въртене, използващи интеграли“. Ето някои насоки за справяне с тази тема:

1. Площта на плоска фигура.

От курса по алгебра знаем, че практическите проблеми доведоха до концепцията за определен интеграл..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

За да намерим обема на тяло на въртене, образувано от въртенето на криволинеен трапец около оста Ox, ограничен от накъсана линия y=f(x), оста Ox, прави линии x=a и x=b, ние изчисляваме по формулата

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Обемът на цилиндъра.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конусът се получава чрез завъртане на правоъгълен триъгълник ABC(C=90) около оста Ox, върху която лежи катет AC.

Сегмент AB лежи на линията y=kx+c, където https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Нека a=0, b=H (H е височината на конуса), тогава Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Обемът на пресечен конус.

Пресечен конус може да се получи чрез завъртане на правоъгълен трапец ABCD (CDOx) около оста Ox.

Отсечката AB лежи на правата y=kx+c, където , c=r.

Тъй като правата минава през точка A (0; r).

Така правата линия изглежда като https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Нека a=0, b=H (H е височината на пресечения конус), след това https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Обемът на топката.

Топката може да се получи чрез завъртане на кръг с център (0;0) около оста x. Полукръгът, разположен над оста x, се дава от уравнението

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Тема: "Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл"

Тип урок:комбинирани.

Целта на урока:научете се да изчислявате обемите на телата на въртене с помощта на интеграли.

задачи:

консолидиране на способността за избор на криволинейни трапеци от редица геометрични форми и развиване на умението за изчисляване на площите на криволинейни трапеци;

да се запознаят с понятието триизмерна фигура;

научете се да изчислявате обемите на телата на въртене;

допринасят за развитието логично мислене, грамотна математическа реч, точност в изграждането на чертежи;

да се възпитава интерес към предмета, да се оперира с математически понятия и образи, да се възпитава воля, самостоятелност, постоянство за постигане на крайния резултат.

По време на занятията

I. Организационен момент.

Групов поздрав. Съобщаване на учениците за целите на урока.

Бих искал да започна днешния урок с притча. „Имаше един мъдър човек, който знаеше всичко. Един човек искаше да докаже, че мъдрецът не знае всичко. Стискайки пеперудата в ръцете си, той попита: „Кажи ми, мъдрецо, коя пеперуда е в ръцете ми: мъртва или жива? И самият той си мисли: „Ако живият каже, ще я убия, ако мъртвият каже, ще я пусна. Мъдрецът, след като се замислил, отговорил: „Всичко е във твоите ръце“.

Затова нека днес работим ползотворно, придобием нов запас от знания и ще приложим придобитите умения и способности в по-късен живот и в практическите дейности.„Всичко е във вашите ръце.“

II. Повторение на предварително проучен материал.

Нека си припомним основните моменти от по-рано проучения материал. За да направите това, ще изпълним задачата „Изтриване на допълнителната дума“.

(Учениците казват допълнителна дума.)

правилно "Диференциал".Опитайте се да назовете останалите думи с една обща дума. (Интегрално изчисление.)

Нека си припомним основните етапи и понятия, свързани с интегралното смятане.

Упражнение.Възстановяване на пропуски. (Ученикът излиза и пише необходимите думи с маркер.)

Работете в тетрадки.

Формулата Нютон-Лайбниц е разработена от английския физик Исак Нютон (1643-1727) и немския философ Готфрид Лайбниц (1646-1716). И това не е изненадващо, защото математиката е езикът, на който говори самата природа.

Помислете как тази формула се използва при решаване на практически задачи.

Пример 1: Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение:Нека построим върху координатната равнина графиките на функциите . Изберете областта на фигурата, която ще намерите.

III. Изучаване на нов материал.

Обърнете внимание на екрана. Какво е показано на първата снимка? (Фигурата показва плоска фигура.)

Какво е показано на втората снимка? Плоска ли е тази фигура? (Фигурата показва триизмерна фигура.)

В космоса, на земята и вътре Ежедневиетосрещаме не само плоски фигури, но и триизмерни, но как да изчислим обема на такива тела? Например: обемът на планета, комета, метеорит и др.

Те мислят за обема, когато строят къщи и преливат вода от един съд в друг. Правила и методи за изчисляване на обемите трябваше да възникнат, друго е колко са точни и оправдани.

1612 година е много плодотворна за жителите на австрийския град Линц, където е живял известният тогава астроном Йоханес Кеплер, особено за гроздето. Хората приготвяха бъчви за вино и искаха да знаят как на практика да определят обема им.

Така разглежданите произведения на Кеплер поставят началото на цял поток от изследвания, кулминиращи в последно тримесечие XVII век дизайн в произведенията на I. Newton и G.V. Диференциално и интегрално смятане на Лайбниц. Оттогава математиката на променливите величини заема водещо място в системата на математическото знание.

Така че днес ще се занимаваме с такива практически дейности, следователно,

Темата на нашия урок: "Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл."

Ще научите определението за тяло на революция, като изпълните следната задача.

"Лабиринт".

Упражнение.Намерете изход от объркващата ситуация и запишете определението.

IVИзчисляване на обеми.

Използвайки определен интеграл, можете да изчислите обема на тяло, по-специално тяло на въртене.

Тяло на въртене е тяло, получено чрез завъртане на криволинеен трапец около основата му (фиг. 1, 2)

Обемът на тялото на въртене се изчислява по една от формулите:

1. около оста x.

2. , ако въртенето на криволинейния трапец около оста y.

Учениците записват основните формули в тетрадка.

Учителят обяснява решението на примерите на дъската.

1. Намерете обема на тялото, получен чрез завъртане около оста y на криволинеен трапец, ограничен от линии: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Отговор: 1163 см3.

2. Намерете обема на тялото, получен чрез завъртане на параболичен трапец около оста на абсцисата y = , x = 4, y = 0.

Решение.

V. Математически симулатор.

2. Извиква се множеството от всички първопроизводни на дадена функция

а) неопределен интеграл,

Б) функция,

Б) диференциация.

7. Намерете обема на тялото, получен чрез завъртане около оста на абсцисата на криволинеен трапец, ограничен от линии:

D/Z. Фиксиране на нов материал

Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на венчелистчето около оста x y=x2, y2=x.

Нека начертаем графиките на функцията. y=x2, y2=x. Графиката y2 = x се трансформира във вида y = .

Имаме V = V1 - V2 Нека изчислим обема на всяка функция:

Заключение:

Определеният интеграл е своеобразна основа за изучаване на математиката, която има незаменим принос за решаването на задачи с практическо съдържание.

Темата "Интеграл" нагледно демонстрира връзката между математика и физика, биология, икономика и технологии.

Развитие съвременната науканемислимо без използването на интеграла. В тази връзка е необходимо да започнем да го изучаваме в рамките на средното профилирано образование!

VI. Оценяване.(С коментар.)

Великият Омар Хайям - математик, поет, философ. Той призовава да бъде господар на съдбата си. Чуйте откъс от творчеството му:

Казваш, че този живот е само миг.
Оценявайте го, черпете вдъхновение от него.
Както го похарчиш, така ще мине.
Не забравяйте: тя е ваше творение.

Намерете обема на тяло на въртене, ограничено от линии онлайн. Как да изчислим обема на тялото на въртене с помощта на определен интеграл

плоска фигура около ос

Как да изчислим обема на тялото на въртене?

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенеплоска фигура около ос

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос