Изчислете площта на ограничена форма онлайн. Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура

Проблем номер 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линии

Интегрално приложение за решаване на приложни проблеми

Изчисляване на площ

Определеният интеграл от непрекъсната неотрицателна функция f (x) е числено равен наплощта на извития трапец, ограничена от кривата y = f (x), оста O x и прави линии x = a и x = b. Съответно, формулата за площ се записва, както следва:

Нека разгледаме няколко примера за изчисляване на площите на плоските фигури.

Задача No 1. Изчислете площта, ограничена от правите y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение.Нека изградим фигура, чиято площ ще трябва да изчислим.

y = x 2 + 1 е парабола, чиито клони са насочени нагоре, а параболата е изместена спрямо оста O y нагоре с една единица (Фигура 1).

Фигура 1. Графика на функцията y = x 2 + 1

Задача номер 2. Изчислете площта, ограничена от правите y = x 2 - 1, y = 0 в диапазона от 0 до 1.

Решение.Графиката на тази функция е параболата на клона, която е насочена нагоре, а параболата е изместена спрямо оста O y надолу с една единица (Фигура 2).

Фигура 2. Графика на функцията y = x 2 - 1

Проблем номер 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линии

y = 8 + 2x - x 2 и y = 2x - 4.

Решение.Първата от тези две прави е парабола с клони, насочени надолу, тъй като коефициентът при x 2 е отрицателен, а втората линия е права линия, която пресича и двете координатни оси.

За да построим парабола, намираме координатите на нейния връх: y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - абсцисата на върха; y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 е неговата ордината, N (1; 9) е връхът.

Сега ще намерим пресечните точки на параболата и правата чрез решаване на системата от уравнения:

Приравняване на десните страни на уравнението, левите страни на което са равни.

Получаваме 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 или x 2 - 12 = 0, откъдето .

И така, точките са пресечните точки на параболата и правата линия (Фигура 1).

Фигура 3 Графики на функции y = 8 + 2x - x 2 и y = 2x - 4

Нека построим права линия y = 2x - 4. Тя минава през точките (0; -4), (2; 0) на координатните оси.

За да построите парабола, можете също да имате нейните пресечни точки с оста 0x, тоест корените на уравнението 8 + 2x - x 2 = 0 или x 2 - 2x - 8 = 0. По теоремата на Виета е лесно да намерим нейните корени: x 1 = 2, x 2 = 4.

Фигура 3 показва фигура (параболичен сегмент M 1 N M 2), ограничена от тези линии.

Втората част на задачата е да се намери площта на тази фигура. Площта му може да се намери с помощта на определен интеграл по формулата .

По отношение на това условие получаваме интеграла:

2 Изчисляване на обема на тяло на въртене

Обемът на тялото, получен от въртенето на кривата y = f (x) около оста O x, се изчислява по формулата:

Когато се върти около оста O y, формулата изглежда така:

Проблем номер 4. Определете обема на тялото, получен от въртенето на извит трапец, ограничен от прави линии x = 0 x = 3 и крива y = около оста O x.

Решение.Нека изградим картина (Фигура 4).

Фигура 4. Графика на функцията y =

Необходимият обем е

Проблем номер 5. Изчислете обема на тялото, получен от въртенето на извит трапец, ограничен от кривата y = x 2 и прави линии y = 0 и y = 4 около оста O y.

Решение.Ние имаме:

Прегледайте въпроси

Започваме да разглеждаме действителния процес на изчисляване на двойния интеграл и да се запознаваме с неговия геометричен смисъл.

Двойният интеграл е числено равен на площта на плоска фигура (област на интегриране). Това е най-простата форма на двоен интеграл, когато функцията на две променливи е равна на една:.

Нека първо разгледаме проблема в общи линии. Сега ще се изненадате колко просто е наистина! Нека изчислим площта на плоска фигура, ограничена от линии. За определеност приемаме, че на отсечката. Площта на тази фигура е числено равна на:

Нека начертаем областта в чертежа:

Нека изберем първия начин за преминаване на района:

Поради това:

И веднага важен технически трик: повторените интеграли могат да се разглеждат отделно... Първо вътрешният интеграл, след това външният интеграл. Този метод е силно препоръчителен за начинаещи в темата за чайниците.

1) Изчисляваме вътрешния интеграл, докато интегрирането се извършва върху променливата "игра":

Неопределеният интеграл е най-простият тук и след това се използва баналната формула на Нютон-Лайбниц, с единствената разлика, че границите на интегрирането не са числа, а функции... Първо, горната граница беше заменена с "играта" (антипроизводна функция), след това - долната граница

2) Резултатът, получен в първия параграф, трябва да бъде заместен във външния интеграл:

По-компактен запис на цялото решение изглежда така:

Получената формула Точно работната формула за изчисляване на площта на плоска фигура с помощта на "обикновения" определен интеграл! Гледайте урока Изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, ето я на всяка крачка!

Това е, проблем за изчисляване на площта с помощта на двоен интеграл не е много по-различноот задачата за намиране на площта с помощта на определен интеграл!Всъщност те са едно и също нещо!

Съответно не трябва да възникват трудности! Ще разгледам не много примери, тъй като вие всъщност многократно сте се сблъсквали с тази задача.

Пример 9

Решение:Нека начертаем областта в чертежа:

Нека изберем следния ред на преминаване на региона:

По-нататък няма да се спирам на това как се извършва обход на зоната, тъй като в първия параграф бяха дадени много подробни обяснения.

Поради това:

Както вече отбелязах, за начинаещите е по-добре да изчисляват повторените интеграли отделно и аз ще следвам същия метод:

1) Първо, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, се занимаваме с вътрешния интеграл:

2) Резултатът, получен на първата стъпка, се замества във външния интеграл:

Точка 2 всъщност е намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл.

Отговор:

Ето такава глупава и наивна задача.

Интересен пример за независимо решение:

Пример 10

Използвайки двойния интеграл, изчислете площта на плоска фигура, ограничена от линии,

Приблизителна извадка от окончателния дизайн на решението в края на урока.

В примери 9-10 е много по-изгодно да се използва първият начин за преминаване на областта, любопитните читатели, между другото, могат да променят реда на обхода и да изчислят площите по втория начин. Ако не направите грешка, тогава, естествено, ще се получат същите стойности на площите.

Но в редица случаи вторият метод за заобикаляне на зоната е по-ефективен и в заключение на курса на млад маниак, разгледайте още няколко примера по тази тема:

Пример 11

Използвайки двойния интеграл, изчислете площта на плоска фигура, ограничена от линии,

Решение:нетърпеливо очакваме две параболи с причуда, които лежат от едната страна. Не е нужно да се усмихвате, подобни неща в множество интеграли са често срещани.

Кой е най-лесният начин да направите рисунка?

Представяме параболата под формата на две функции:
- горен клон и - долен клон.

По подобен начин представяме параболата под формата на горна и долна клонове.

След това правила за диаграми точка по точка, в резултат на което се получава такава странна фигура:

Изчисляваме площта на фигурата, използвайки двоен интеграл по формулата:

Ами ако изберем първия начин за преминаване на района? Първо, тази област ще трябва да бъде разделена на две части. И второ, ще наблюдаваме тази много тъжна картина: ... Интегралите, разбира се, не са от свръхсложно ниво, но... има една стара математическа поговорка: тези, които са приятелски настроени с корените, нямат нужда от тест.

Следователно, от погрешно разбиране, дадено в условието, ние изразяваме обратните функции:

Обратните функции в този пример имат предимството, че задават цялата парабола наведнъж без никакви листа, жълъди, клони и корени.

Съгласно втория метод, обиколката на зоната ще бъде както следва:

Поради това:

Почувствайте разликата, както се казва.

1) Справете се с вътрешния интеграл:

Заместете резултата във външния интеграл:

Интегрирането по отношение на променливата "igrek" не би трябвало да е смущаващо, ако имаше буквата "siu", би било чудесно да се интегрира над нея. Въпреки че кой прочете втория параграф от урока Как да изчислим обема на тялото на въртене, той вече не изпитва и най-малката неловкост с интегрирането според „играта“.

Обърнете внимание и на първата стъпка: интегралната функция е четна, а интегриращият сегмент е симетричен около нула. Следователно сегментът може да бъде намален наполовина, а резултатът може да се удвои. Тази техника е коментирана подробно в урока. Ефективни методи за изчисляване на определен интеграл.

Какво да добавя.... Всичко!

Отговор:

За да тествате своята техника на интеграция, можете да опитате да изчислите ... Отговорът трябва да е абсолютно същият.

Пример 12

Използвайки двойния интеграл, изчислете площта на плоска фигура, ограничена от линии

Това е пример за решение "направи си сам". Интересно е да се отбележи, че ако се опитате да използвате първия метод за преминаване на района, тогава фигурата ще трябва да бъде разделена не на две, а на три части! И съответно получавате три двойки повтарящи се интеграли. Понякога се случва.

Майсторският клас приключи и е време да преминем към ниво гросмайстор - Как се изчислява двойният интеграл? Примери за решения... Ще се опитам да не съм толкова маниак във втората статия =)

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2:Решение: Нека начертаем областта в чертежа:

Нека изберем следния ред на преминаване през региона:

Поради това:
Нека да преминем към обратните функции:

Поради това:
Отговор:

Пример 4:Решение: Нека да преминем към директните функции:

Нека изпълним чертежа:

Нека променим реда на преминаване на областта:

Отговор:

Всъщност, за да се намери площта на фигура, не е нужно толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата "изчисляване на площ с помощта на определен интеграл" винаги включва изграждане на чертежследователно вашите знания и умения за рисуване ще бъдат много по-належащ проблем. В тази връзка е полезно да се опресни паметта на графиките на основните елементарни функции и поне да може да се изгради права линия и хипербола.

Криволинейният трапец е плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графика на непрекъсната функция върху сегмент, който не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-малкоабсцисната ос:

Тогава площта на криволинеен трапец е числено равна на определения интеграл... Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение.

От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩАТА.

Това е,определен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на някаква фигура. Например, разгледайте определен интеграл. Интегралната функция задава крива на равнината, която се намира над оста (желаещите могат да направят чертеж), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типична формулировка на задачата. Първата и най-важна точка от решението е изграждането на чертежа... Освен това чертежът трябва да бъде изграден НАД.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека начертаем чертеж (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

На сегмента се намира графиката на функцията над оста, Следователно:

Отговор:

След като задачата е завършена, винаги е полезно да погледнете чертежа и да прецените дали отговорът е реален. В този случай "на око" броим броя на клетките в чертежа - добре, ще бъдат въведени около 9, изглежда като истината. Съвсем ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава, очевидно, някъде е допусната грешка - разглежданата цифра очевидно не отговаря на 20 клетки, най-много десет. Ако отговорът е отрицателен, тогава задачата също е решена неправилно.

Пример 3

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Нека изпълним чертежа:

Ако извитият трапец е разположен под оста(или поне не по-високодадена ос), тогава неговата площ може да се намери по формулата:

В такъв случай:

Внимание! Двата вида задачи не трябва да се смесват:

1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура с помощта на определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо в току-що разгледаната формула се появява минус.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и затова от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии.

Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато се конструира чертеж в задачи върху дадена област, най-много ни интересуват точките на пресичане на линиите. Намерете пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен. Решаваме уравнението:

Следователно долната граница на интеграция, горната граница на интеграция.

По-добре е да не използвате този метод, ако е възможно..

Много по-изгодно и по-бързо е да се конструират линиите точка по точка, докато границите на интеграцията стават ясни, така да се каже, „от само себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на границите все още трябва да се прилага понякога, ако например графиката е достатъчно голяма или точната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Връщайки се към нашия проблем: по-рационално е първо да се построи права линия и едва след това парабола. Нека изпълним чертежа:

И сега работната формула: Ако на сегмент е някаква непрекъсната функция по-голям или равенна някаква непрекъсната функция, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии, може да се намери по формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста и, грубо казано, важно е кой график е НАГОРЕ(спрямо друга графика), и кой е ПОДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на отсечката параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършването на решението може да изглежда така:

Необходимата фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор:

Пример 4

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите,,,.

Решение: Първо, нека изпълним чертежа:

Фигурата, чиято област трябва да намерим, е засенчена в синьо(внимателно погледнете състоянието - до какво е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често възниква "бъг", че трябва да намерите областта на фигурата, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура, използвайки два определени интеграла.

Наистина ли:

1) Линейна графика е разположена на сегмента над оста;

2) Графиката на хиперболата се намира на сегмента над оста.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да се добавят, следователно:

Тази статия ще ви покаже как да намерите площта на фигура, ограничена от линии, като използвате интегрални изчисления. За първи път се сблъскваме с постановката на подобен проблем в гимназията, когато изучаването на определени интеграли току-що е преминало и е време да започнем геометрична интерпретация на придобитите знания на практика.

И така, какво е необходимо за успешното решаване на проблема с намирането на площта на фигура с помощта на интеграли:

Способност за компетентно изграждане на чертежи;
Възможност за решаване на определен интеграл с помощта на добре познатата формула на Нютон-Лайбниц;
Способността да се „вижда“ по-изгодно решение - т.е. да разберете как в този или онзи случай ще бъде по-удобно да извършите интеграцията? По оста x (OX) или по оста y (OY)?
Е, къде без правилни изчисления?) Това включва разбиране как да се реши този друг тип интеграли и правилни числени изчисления.

Алгоритъм за решаване на задачата за изчисляване на площта на фигура, ограничена от линии:

1. Изграждаме чертеж. Препоръчително е да направите това на лист хартия в клетка, с голям мащаб. Подписваме името на тази функция с молив над всяка графика. Подписването на графиките се извършва единствено за улеснение на по-нататъшните изчисления. След като получите графиката на желаната фигура, в повечето случаи веднага ще се види кои граници на интеграция ще бъдат използвани. По този начин решаваме проблема графично. Случва се обаче, че стойностите на границите са дробни или ирационални. Следователно можете да направите допълнителни изчисления, преминете към стъпка втора.

2. Ако границите на интегриране не са изрично зададени, тогава намираме пресечните точки на графиките една с друга и виждаме дали нашето графично решение съвпада с аналитичното.

3. След това трябва да анализирате чертежа. В зависимост от това как са разположени функционалните графики, има различни подходи за намиране на площта на фигура. Нека разгледаме различни примери за намиране на площта на фигура с помощта на интеграли.

3.1. Най-класическата и проста версия на проблема е, когато трябва да намерите площта на извит трапец. Какво е извит трапец? Това е плоска фигура, ограничена от оста x. (y = 0), направо x = a, x = bи всяка крива, непрекъсната на интервала от апреди б... Освен това тази цифра е неотрицателна и се намира не под оста на абсцисата. В този случай площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл, изчислен по формулата на Нютон-Лайбниц:

Пример 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Какви са линиите, ограничаващи фигурата? Имаме парабола y = x2 - 3x + 3която се намира над оста ох, то е неотрицателно, т.к всички точки от тази парабола са положителни. Освен това правите линии х = 1и х = 3които вървят успоредно на оста OU, са ограничаващите линии на фигурата отляво и отдясно. добре y = 0, това е оста x, която ограничава фигурата отдолу. Получената форма е засенчена, както се вижда на снимката вляво. В този случай можете незабавно да започнете да решавате проблема. Пред нас е прост пример за криволинеен трапец, който допълнително решаваме с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

3.2. В предишния параграф 3.1 анализирахме случая, когато криволинейният трапец е разположен над оста x. Сега разгледайте случая, когато условията на задачата са еднакви, с изключение на това, че функцията лежи под оста x. Към стандартната формула на Нютон-Лайбниц се добавя минус. По-нататък ще разгледаме как да решим подобен проблем.

Пример 2 ... Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

В този пример имаме парабола y = x2 + 6x + 2която произлиза от под оста ох, направо x = -4, x = -1, y = 0... Тук y = 0ограничава желаната форма отгоре. Директен х = -4и х = -1това са границите, в които ще бъде изчислен определен интеграл. Принципът на решаване на задачата за намиране на площта на фигура почти напълно съвпада с пример номер 1. Единствената разлика е, че дадената функция не е положителна и все още е непрекъсната на интервала [-4; -1] ... Какво не означава положително? Както можете да видите от фигурата, фигурата, която е в рамките на посочения x, има изключително "отрицателни" координати, които трябва да видим и запомним, когато решаваме задачата. Търсим площта на фигурата по формулата на Нютон-Лайбниц, само със знак минус в началото.

Статията е непълна.

Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура

Сега се обръщаме към разглеждането на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще анализираме една типична и най-често срещана задача. - как да изчислим площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл... И накрая, тези, които търсят смисъл във висшата математика - дано го намерят. Никога не знаеш. Ще трябва да приближим крайградската зона в живота с елементарни функции и да намерим нейната площ с помощта на определен интеграл.

За да овладеете успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределения интеграл поне на средното ниво. По този начин манекените трябва първо да се запознаят с урока Не.

2) Да може да приложи формулата на Нютон-Лайбниц и да изчисли определен интеграл. Можете да изградите топли приятелства с определени интеграли на страницата Определен интеграл. Примери за решения.

Всъщност всеки е запознат с проблема за намиране на площта с помощта на определен интеграл още от училище и няма да изпреварим училищната програма. Тази статия може да не съществува изобщо, но факт е, че проблемът се появява в 99 от 100 случая, когато ученик се измъчва от омразната платформа и ентусиазирано усвоява курс по висша математика.

Материалите на този семинар са представени просто, подробно и с минимум теория.

Нека започнем с извит трапец.

Извит трапецсе нарича плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графика на непрекъсната функция върху отсечка, която не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-малкоабсцисната ос:

Тогава площта на криволинеен трапец е числено равна на определения интеграл... Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. На урока Определен интеграл. Примери за решенияКазах, че определен интеграл е число. И сега е време да посочим още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩАТА.

Това е, определен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на някаква фигура... Например, разгледайте определен интеграл. Интегралната функция задава крива на равнината, която се намира над оста (желаещите могат да направят чертеж), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Когато създавате чертеж, препоръчвам следния ред: първопо-добре е да се изградят всички прави линии (ако има такива) и само след- параболи, хиперболи, графики на други функции. По-изгодно е да се изграждат графики на функции точково, техниката на конструиране точка по точка може да се намери в референтния материал Графики и свойства на елементарни функции... Там можете да намерите и много полезен материал във връзка с нашия урок - как бързо да построите парабола.

Няма да излюпвам извит трапец, тук е очевидно за каква площ говорим. Решението продължава така:

На сегмента се намира графиката на функцията над оста, Следователно:

Отговор:

Който изпитва затруднения да изчисли определен интеграл и да приложи формулата на Нютон-Лайбниц , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.

Пример 2

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии и ос

Това е пример за решение "направи си сам". Пълно решение и отговор в края на урока.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Нека изпълним чертежа:

Ако извитият трапец е разположен под оста(или поне не по-високодадена ос), тогава неговата площ може да се намери по формулата:
В такъв случай:

Внимание! Двата вида задачи не трябва да се смесват:

Пример 4

Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии.

Следователно долната граница на интеграция, горната граница на интеграция.
По-добре е да не използвате този метод, ако е възможно..

Много по-изгодно и по-бързо е да се конструират линиите точка по точка, докато границите на интеграцията стават ясни, така да се каже, „от само себе си“. Техниката на изобразяване точка по точка за различни диаграми е разгледана подробно в помощта. Графики и свойства на елементарни функции... Независимо от това, аналитичният метод за намиране на границите все още трябва да се прилага понякога, ако например графиката е достатъчно голяма или точната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Връщайки се към нашия проблем: по-рационално е първо да се построи права линия и едва след това парабола. Нека изпълним чертежа:

Повтарям, че в случай на точкова конструкция границите на интегриране най-често се откриват от „автомат“.

Завършването на решението може да изглежда така:

Отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинеен трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) е частен случай на формулата ... Тъй като оста е дадена от уравнението, а графиката на функцията е разположена не по-високоос, тогава

А сега няколко примера за самостоятелно решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, ограничена от линии,.

В хода на решаването на задачи за изчисляване на площта с помощта на определен интеграл понякога се случва забавен инцидент. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но поради невнимание ... е намерена площта на грешната фигура, ето как твоят смирен слуга се прецака няколко пъти. Ето един случай от реалния живот:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите,,,.

Решение: Първо, нека изпълним чертежа:

... Ех, гадна рисунка излезе, но май всичко се чете.

Фигурата, чиято област трябва да намерим, е засенчена в синьо(внимателно погледнете състоянието - от какво е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често възниква "бъг", че трябва да намерите областта на фигурата, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура, използвайки два определени интеграла. Наистина ли:

1) Линейна графика е разположена на сегмента над оста;

2) Графиката на хиперболата се намира на сегмента над оста.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да се добавят, следователно:

Отговор:

Нека да преминем към една по-смислена задача.

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията в "училищна" форма и ще изпълним чертеж точка по точка:

От чертежа се вижда, че горната ни граница е "добра":.
Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но кое? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може и да е това. Или root. Ами ако начертахме графиката изобщо неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да прецизирате границите на интеграцията аналитично.

Намерете пресечните точки на правата и параболата.
За да направим това, решаваме уравнението:

,

Наистина ли, .

По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в замествания и знаци, тук изчисленията не са най-лесните.

На сегмента , съгласно съответната формула:

Отговор:

Е, в заключение на урока ще разгледаме две по-трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,

Решение: Нека изобразим тази фигура на чертежа.

По дяволите, забравих да подпиша графика, но да преработя снимката, съжалявам, не горещи. Не рисувам, накратко, днес е денят =)

За конструиране точка по точка, трябва да знаете външния вид на синусоидата (и като цяло е полезно да знаете графики на всички елементарни функции), както и някои стойности на синусите, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица... В редица случаи (както в този) е позволено да се построи схематичен чертеж, върху който по принцип трябва да се изобразят правилно графиките и границите на интегриране.

Няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: - "x" се променя от нула на "pi". Взимаме допълнително решение:

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно: