Интеграция парче по парче- метод, използван за решаване на определени и неопределени интеграли, когато едно от интегриращите е лесно интегрируемо, а другото е диференцируемо. Доста често срещан метод за намиране на интеграли, както неопределени, така и определени. Основният знак, когато трябва да го използвате, е определена функция, състояща се от произведението на две функции, които не могат да бъдат интегрирани безкрайно.

Формула

За да използвате успешно този метод, трябва да анализирате и научите формулите.

Формулата за интегриране по части в неопределен интеграл:

$$ \ int udv = uv - \ int vdu $$

Формулата за интегриране по части в определен интеграл:

$$ \ int \ limits_ (a) ^ (b) udv = uv \ bigg | _ (a) ^ (b) - \ int \ limits_ (a) ^ (b) vdu $$

Примери за решения

Нека разгледаме на практика примери за решения за интегриране по части, които често се предлагат от учителите на тестови документи. Моля, обърнете внимание, че под интегралния символ е продуктът на две функции. Това е знак, че даденият метод е подходящ за решението.

Пример 1

Намерете интеграла $ \ int xe ^ xdx $

Решение

Виждаме, че интегрирането се състои от две функции, едната от които, когато се диференцира, моментално се превръща в единство, а другата се интегрира лесно. За да решим интеграла, ще използваме метода на интегриране по части. Поставете $ u = x \ rightarrow du = dx $ и $ dv = e ^ x dx \ rightarrow v = e ^ x $ Заместете намерените стойности в първата интегрална формула и получете: $$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - \ int e ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $$ Ако не можете да разрешите проблема си, изпратете ни го. Ще предоставим подробно решение. Ще можете да се запознаете с хода на изчислението и да получите информация. Това ще ви помогне да получите кредит от учителя своевременно!

Отговор

$$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $$

Пример 4

Изчислете интеграл $ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx $

Решение

По аналогия с предишните решени примери, ще разберем коя функция да се интегрира без проблеми, коя да се разграничи. Моля, обърнете внимание, че ако разграничим $ (x + 5) $, тогава този израз ще бъде автоматично преобразуван в един, което ще бъде добре за нас. Затова правим това: $$ u = x + 5 \ rightarrow du = dx, dv = 3 ^ x dx \ rightarrow v = \ frac (3 ^ x) (ln3) $$ Сега всички неизвестни функции са намерени и могат да бъдат поставени във втората интегрална формула по части за определен интеграл. $$ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = (x + 5) \ frac (3 ^ x) (\ ln 3) \ bigg | _0 ^ 1 - \ int \ limits_0 ^ 1 \ frac (3 ^ x dx) (\ ln 3) = $$ $$ = \ frac (18) (\ ln 3) - \ frac (5) (\ ln 3) - \ frac (3 ^ x) (\ ln ^ 2 3) \ bigg | _0 ^ 1 = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (3) (\ ln ^ 2 3) + \ frac (1) (\ ln ^ 2 3) = \ frac (13) (\ ln 3 ) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$

Отговор

$$ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$

Сложни интеграли

Тази статия завършва темата за неопределени интеграли и включва интеграли, които намирам за доста трудни. Урокът е създаден по многократни искания на посетители, които изразиха желанието си да се анализират и по -трудни примери на сайта.

Предполага се, че читателят на този текст е добре подготвен и знае как да приложи основните техники на интеграция. Манекените и хората, които не са много уверени в интегралите, трябва да се обърнат към първия урок - Неопределен интеграл. Примери за решения, където можете да овладеете темата практически от нулата. По -опитни студенти могат да се запознаят с техниките и методите на интеграция, които все още не са били срещани в моите статии.

Какви интеграли ще бъдат разгледани?

Първо, ще разгледаме интеграли с корени, за решението на които използваме последователно променлива подмянаи интеграция по части... Тоест в един пример се комбинират две техники наведнъж. И дори повече.

След това ще се запознаем с интересен и оригинален методът за свеждане на интеграла към себе си... Не толкова малко интеграли се решават по този начин.

Третият номер на програмата ще отиде за интеграли от сложни дроби, които минаха покрай касата в предишни статии.

Четвърто, ще бъдат анализирани допълнителни интеграли от тригонометрични функции. По-специално, има методи, които избягват отнемащото време универсално тригонометрично заместване.

(2) В интегрирането разделяме числителя на термина на знаменателя по член.

(3) Използваме свойството на линейност на неопределения интеграл. В последния интеграл веднага внасяме функцията под диференциалния знак.

(4) Вземете останалите интеграли. Имайте предвид, че скобите могат да се използват в логаритъма, а не по модул, тъй като.

(5) Извършваме обратното заместване, изразявайки от директното заместване "te":

Мазохистичните студенти могат да разграничат отговора и да получат оригиналното интегриране, както направих току -що. Не, не, направих проверката в правилния смисъл =)

Както можете да видите, в хода на решението трябваше да се използват дори повече от два метода на решение, така че за да се справят с такива интеграли, са необходими уверени интеграционни умения и не най -малкият опит.

На практика, разбира се, квадратният корен е по -често срещан, ето три примера за независимо решение:

Пример 2

Намерете неопределен интеграл

Пример 3

Намерете неопределен интеграл

Пример 4

Намерете неопределен интеграл

Тези примери са от един и същи тип, така че пълното решение в края на статията ще бъде само за пример 2, в примери 3-4 - един отговор. Коя замена да се използва в началото на решенията, мисля, е очевидна. Защо взех примери от същия тип? Често се срещат в своята роля. По -често може би просто нещо подобно .

Но не винаги, когато коренът на линейна функция се намира под арктангенс, синус, косинус, експонента и други функции, трябва да се приложат няколко метода наведнъж. В редица случаи е възможно „да слезете лесно“, тоест веднага след подмяната се получава прост интеграл, който може да се вземе по елементарен начин. Най -лесната от предложените по -горе задачи е Пример 4, в който след замяната се получава сравнително прост интеграл.

Като редуцира интеграла към себе си

Гениален и красив метод. Нека веднага разгледаме класиката на жанра:

Пример 5

Намерете неопределен интеграл

Под корена има квадратен бином и при опит за интегриране на този пример чайникът може да страда с часове. Такъв интеграл се взема парче по парче и се редуцира до себе си. По принцип не е трудно. Ако знаете как.

Нека да обозначим разглеждания интеграл с латинска буква и да започнем решението:

Интегрираме парче по парче:

(1) Подгответе функция за интегриране за терминово деление.

(2) Разделяме интегрирането по член. Може би не всеки разбира, ще напиша по -подробно:

(3) Използваме свойството на линейност на неопределения интеграл.

(4) Вземете последния интеграл („дълъг“ логаритъм).

Сега разглеждаме самото начало на решението:

И накрая:

Какво стана? В резултат на нашите манипулации интегралът се свежда до себе си!

Нека приравним началото и края:

Преместете се наляво с промяна на знака:

И носим двойката от дясната страна. Като резултат:

Константата, строго погледнато, трябваше да се добави по -рано, но да се добави в края. Силно препоръчвам да прочетете строгото тук:

Забележка: По -строго, последният етап от решението изглежда така:

Поради това:

Константата може да бъде преназначена като. Защо можете да преназначите? Защото все още приема всякаквистойности и в този смисъл няма разлика между константи и.
Като резултат:

Подобен трик за постоянно пренареждане се използва широко в диференциални уравнения... И там ще бъда строг. И тук такава свобода е позволена от мен само за да не ви объркам с ненужни неща и да се съсредоточите върху самия метод на интеграция.

Пример 6

Намерете неопределен интеграл

Друг типичен интеграл за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока. Разликата с отговора от предишния пример ще бъде!

Ако под квадратния корен има квадратен триномиал, решението във всеки случай се свежда до два анализирани примера.

Например, помислете за интеграла ... Всичко, което трябва да направите, е предварително изберете пълен квадрат:
.
Освен това се извършва линейна подмяна, която се освобождава от „без никакви последствия“:
, което води до интеграл. Нещо познато, нали?

Или такъв пример, с квадратен бином:
Изберете пълен квадрат:
И след линейна подмяна получаваме интеграл, който също се решава според вече разгледания алгоритъм.

Помислете за още два типични примера за това как да редуцирате интеграл към себе си:
- интеграл на степента, умножен по синуса;
Интегралът на степента се умножава по косинуса.

В изброените интеграли по части ще трябва да се интегрираме вече два пъти:

Пример 7

Намерете неопределен интеграл

Интегрантът е показателят по синус.

Интегрираме се по части два пъти и редуцираме интеграла към себе си:

В резултат на двойното интегриране по части интегралът се редуцира до себе си. Нека приравним началото и края на решението:

Преместете се наляво с промяна на знака и изразете нашия интеграл:

Готов. По пътя е препоръчително да се среше дясната страна, т.е. поставете степента извън скобите, а в скобите подредете синуса и косинуса в "хубав" ред.

Сега да се върнем към началото на примера, или по -скоро към интеграцията по части:

Защото ние сме посочили изложителя. Възниква въпросът, точно степента трябва винаги да се обозначава с? Не е задължително. Всъщност в разглеждания интеграл фундаментално няма значениеза какво да обозначим, беше възможно да се отиде по друг начин:

Защо това е възможно? Тъй като показателят се превръща в себе си (както по време на диференциацията, така и при интегрирането), синусът и косинусът взаимно се трансформират един в друг (отново, както по време на диференциацията, така и при интегрирането).

Тоест можете също да обозначите тригонометрична функция. Но в разглеждания пример това е по -малко рационално, тъй като ще се появят дроби. Ако желаете, можете да опитате да разрешите този пример по втория начин, отговорите трябва да са същите.

Пример 8

Намерете неопределен интеграл

Това е пример за решение „направи си сам“. Преди да вземете решение, помислете какво е по -изгодно в този случай да се определи за степенна степен или тригонометрична функция? Пълно решение и отговор в края на урока.

И разбира се, имайте предвид, че повечето от отговорите в този урок са достатъчно лесни за разграничаване!

Примерите се считат за не най -трудните. На практика интегралите са по -често срещани, където константата е както в показателя, така и в аргумента на тригонометричната функция, например :. Много хора ще трябва да се изгубят в такъв интеграл, а самият аз често се обърквам. Факт е, че има голяма вероятност от появата на дроби в разтвора и е много лесно да се загуби нещо чрез невнимание. В допълнение, има голяма вероятност за грешка в знаците, имайте предвид, че степента има знак минус и това внася допълнителни трудности.

На последния етап често се оказва нещо подобно:

Дори в края на решението трябва да бъдете изключително внимателни и компетентно да се справите с дроби:

Интегриране на сложни фракции

Бавно се приближаваме до екватора на урока и започваме да разглеждаме интеграли от дроби. Отново не всички са супер сложни, просто по една или друга причина примерите бяха малко „извън темата“ в други статии.

Продължавайки темата за корените

Пример 9

Намерете неопределен интеграл

В знаменателя под корена е квадратният триномиал плюс извън корена "придатък" под формата на "x". Интеграл от този вид се решава с помощта на стандартно заместване.

Ние решаваме:

Замяната е проста:

Разглеждаме живота след подмяната:

(1) След заместването привеждаме термините под корена до общ знаменател.
(2) Изваждаме изпод корена.
(3) Намалете числителя и знаменателя с. В същото време под корена пренаредих условията в удобен ред. С известен опит, стъпки (1), (2) могат да бъдат пропуснати чрез извършване на коментираните действия устно.
(4) Полученият интеграл, както си спомняте от урока Интегриране на някои дроби, решен метод за пълен избор на квадрат... Изберете пълен квадрат.
(5) Чрез интегриране получаваме обикновен „дълъг“ логаритъм.
(6) Извършваме обратната подмяна. Ако първоначално, после обратно :.
(7) Последното действие е насочено към прическата на резултата: под корена отново извеждаме термините до общ знаменател и ги изваждаме изпод корена.

Пример 10

Намерете неопределен интеграл

Това е пример за решение „направи си сам“. Тук към самотния X е добавена константа и замяната е почти същата:

Единственото нещо, което трябва да се направи допълнително, е да се изрази "x" от подмяната:

Пълно решение и отговор в края на урока.

Понякога в такъв интеграл може да има квадратен бином под корена, това не променя метода на решение, ще бъде още по -просто. Почувствай разликата:

Пример 11

Намерете неопределен интеграл

Пример 12

Намерете неопределен интеграл

Кратки решения и отговори в края на урока. Трябва да се отбележи, че пример 11 е точно биномиален интеграл, чийто метод на решение е разгледан в урока Интеграли на ирационални функции.

Интеграл на неразградим полином от степен 2 в степен

(полином в знаменателя)

По -рядка, но въпреки това срещана в практическите примери формата на интеграла.

Пример 13

Намерете неопределен интеграл

Но да се върнем на примера с щастливото число 13 (честно казано, не познах правилно). Този интеграл също е от категорията на тези, с които можете да се измъчвате, ако не знаете как да го решите.

Решението започва с изкуствена трансформация:

Мисля, че всеки вече разбира как да раздели числителя на термина на знаменателя по термин.

Полученият интеграл се взема парче по парче:

За интеграл от формата (е естествено число) сме извели повтарящи сеФормула за намаляване на степента:
, където - интеграл със степен по -ниска.

Нека проверим валидността на тази формула за решения интеграл.
В този случай: ,, използваме формулата:

Както можете да видите, отговорите са едни и същи.

Пример 14

Намерете неопределен интеграл

Това е пример за решение „направи си сам“. Пробният разтвор използва горната формула два пъти последователно.

Ако под степента има неразградимквадратен триномиал, тогава решението се редуцира до бином, като се избере пълен квадрат, например:

Ами ако в числителя има допълнителен полином? В този случай се използва методът на неопределени коефициенти и интегрирането се разширява до сумата от дроби. Но в моята практика на такъв пример никога не се срещал, така че пропуснах този случай в статията Интеграли на дробна рационална функция, Сега ще го пропусна. Ако все пак се появи такъв интеграл, вижте учебника - там всичко е просто. Не считам за подходящо да се включват материали (дори прости), вероятността от среща с които клони към нула.

Интегриране на сложни тригонометрични функции

Прилагателното „трудно“ за повечето примери отново е до голяма степен условно. Нека започнем с тангентите и котангентите във високи степени. От гледна точка на методите, използвани за решаване на тангента и котангенса, те са почти едно и също нещо, така че ще говоря повече за тангенсата, което означава, че демонстрираният метод за решаване на интеграла е валиден и за котангенса .

В горния урок разгледахме универсално тригонометрично заместванеза решаване на определен вид интеграли от тригонометрични функции. Недостатъкът на универсалното тригонометрично заместване е, че когато се използва, често възникват тромави интеграли с трудни изчисления. И в някои случаи универсалното тригонометрично заместване може да бъде избегнато!

Помислете за друг каноничен пример, интегралът на единството, разделен на синус:

Пример 17

Намерете неопределен интеграл

Тук можете да използвате родово тригонометрично заместване и да получите отговора, но има по -рационален начин. Ще предоставя цялостно решение с коментари за всяка стъпка:

(1) Използваме тригонометричната формула с двуъгълен синус.
(2) Извършваме изкуствена трансформация: В знаменателя разделете и умножете по.
(3) Съгласно добре познатата формула в знаменателя, ние преобразуваме дробата в допирателна.
(4) Внасяме функцията под знака на диференциала.
(5) Вземете интеграла.

Няколко прости примера за независимо решение:

Пример 18

Намерете неопределен интеграл

Съвет: Първата стъпка е да използвате формулата за гласове и внимателно изпълнете действията, подобни на предишния пример.

Пример 19

Намерете неопределен интеграл

Е, това е много прост пример.

Пълни решения и отговори в края на урока.

Мисля, че сега никой няма да има проблеми с интегралите:
и т.н.

Каква е идеята зад метода? Идеята е да се организират само допирателните и производната на допирателната в интегрирането, като се използват трансформации, тригонометрични формули. Тоест, говорим за замяна: ... В Примери 17-19 ние действително приложихме тази замяна, но интегралите бяха толкова прости, че въпросът беше третиран с еквивалентно действие - привеждане на функцията под знака на диференциала.

Подобни разсъждения, както вече споменах, могат да бъдат проведени за котангенса.

Съществува и формална предпоставка за прилагане на горната подмяна:

Сумата от силите на косинус и синус е отрицателно цяло число ДОРИ, например:

за интеграл - отрицателно цяло число ДОРИ.

! Забележка : ако интегратът съдържа САМО синус или САМО косинус, тогава интегралът се приема и за отрицателна нечетна степен (най -простите случаи са в Примери № 17, 18).

Помислете за няколко по -значими задачи за това правило:

Пример 20

Намерете неопределен интеграл

Сумата от силите на синуса и косинуса: 2 - 6 = –4 е отрицателно цяло число ДОРИ, което означава, че интегралът може да бъде редуциран до тангенси и неговата производна:

(1) Преобразувайте знаменателя.
(2) Според добре познатата формула получаваме.
(3) Преобразувайте знаменателя.
(4) Използваме формулата .
(5) Внасяме функцията под знака на диференциала.
(6) Извършваме подмяна. По -опитните студенти може да не извършат подмяната, но все пак е по -добре да заменим допирателната с една буква - има по -малък риск от объркване.

Пример 21

Намерете неопределен интеграл

Това е пример за решение „направи си сам“.

Чакайте, шампионските кръгове започват =)

Често в интеграда има "смесица":

Пример 22

Намерете неопределен интеграл

Този интеграл първоначално съдържа допирателна, която веднага подсказва вече позната мисъл:

Изкуствена трансформация в самото начало и останалите стъпки ще оставя без коментар, тъй като всичко вече беше обсъдено по -горе.

Няколко творчески примера за саморешаване:

Пример 23

Намерете неопределен интеграл

Пример 24

Намерете неопределен интеграл

Да, в тях, разбира се, можете да намалите градусите на синуса, косинуса, да използвате универсалното тригонометрично заместване, но решението ще бъде много по -ефективно и по -кратко, ако го изтеглите през тангентите. Пълно решение и отговори в края на урока

Какво е интеграция по части? За да овладеем този вид интеграция, нека първо си припомним производната на продукта:

$ ((\ left (f \ cdot g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "\ cdot g + f \ cdot (g)" $

Въпросът е: добре, какво общо имат интегралите с него? Нека сега интегрираме двете страни на това уравнение. Затова ще напишем:

$ \ int (((\ left (f \ cdot g \ right)) ^ (\ prime)) \ text (d) x =) \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x + \ int (f \ cdot (g) "\, \ text (d) x)) $

Но какво е примитивното на инсулт? Това е само самата функция, която е вътре в удара. Затова пишем:

$ f \ cdot g = \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x + \ int (f \ cdot (g)" \, \ text (d) x)) $

В това уравнение предлагам да изразя термина. Ние имаме:

$ \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x = f \ cdot g- \ int (f \ cdot (g)" \, \ text (d) x)) $

Това е формула за интегриране по части... По този начин ние по същество разменяме производната и функцията. Ако първоначално имахме интеграла на простото число, умножено по нещо, тогава получаваме интеграла на новото нещо, умножено по простото число. Това е цялото правило. На пръв поглед тази формула може да изглежда сложна и безсмислена, но всъщност може значително да опрости изчисленията. Да видим.

Примери за изчисляване на интеграли

Задача 1. Изчислете:

\ [\ int (\ ln x \, \ text (d) x) \] \ [\]

Нека пренапишем израза, като добавим преди логаритъм 1:

\ [\ int (\ ln x \, \ text (d) x) = \ int (1 \ cdot \ ln x \, \ text (d) x) \]

Имаме право да направим това, защото нито броят, нито функцията ще се променят. Сега нека сравним този израз с това, което сме написали във формулата. Ролята на $ (f) "$ е 1, затова пишем:

$ \ begin (align) & (f) "= 1 \ Rightarrow f = x \\ & g = \ ln x \ Rightarrow (g)" = \ frac (1) (x) \\\ end (align) $

Всички тези функции са в таблиците. След като описахме всички елементи, които са включени в нашия израз, ще препишем този интеграл чрез формулата за интегриране по части:

\ [\ begin (align) & \ int (1 \ cdot \ ln x \, \ text (d) x) = x \ ln x- \ int (x \ cdot \ frac (1) (x) \ text (d ) x) = x \ ln x- \ int (\ text (d) x) = \\ & = x \ ln xx + C = x \ наляво (\ ln x-1 \ надясно) + C \\\ край ( подравняване) \]

Всичко, интегралът е намерен.

Задача 2. Изчислете:

$ \ int (x ((\ text (e)) ^ (- x)) \, \ text (d) x = \ int (x \ cdot ((e) ^ (- x)) \, \ text (d ) x)) $

Ако в ролята на производната, от която сега трябва да намерим антидеривата, вземем $ x $, тогава получаваме $ ((x) ^ (2)) $, а крайният израз ще съдържа $ ((x) ^ (2)) ((\ text (e)) ^ (- x)) $.

Очевидно проблемът не е опростен, затова ще разменим факторите под интегралния знак:

$ \ int (x \ cdot ((\ text (e)) ^ (- x)) \, \ text (d) x) = \ int (((\ text (e)) ^ (- x)) \ cdot x \, \ text (d) x) $

И сега въвеждаме нотация:

$ (f) "= ((\ text (e)) ^ (- x)) \ Rightarrow f = \ int (((\ text (e)) ^ (- x)) \, \ text (d) x) = - ((\ text (e)) ^ ( - x)) $

Разграничете $ ((\ text (e)) ^ (- x)) $:

$ ((\ left (((\ text (e)) ^ ^ (- x)) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ text (e)) ^ (- x)) \ cdot ((\ ляво (-x \ надясно)) ^ (\ prime)) =- ((\ text (e)) ^ (- x)) $

С други думи, минусът се добавя първо, а след това и двете страни се интегрират:

\ [\ begin (align) & ((\ left (((\ text (e)) ^ ^ (- x)) \ right)) ^ (\ prime)) =- ((\ text (e)) ^ (- x)) \ Rightarrow ((\ text (e)) ^ (- x)) =- ((\ left (((\ text (e)) ^ ^ (- x)) \ right)) ^ (\ prime)) \\ & \ int (((\ text (e)) ^ (- x)) \, \ text (d) x) =- \ int (((\ left (((\ text (e)) ^ ^ (- x)) \ вдясно)) ^ (\ prime)) \ text (d) x) = - ((\ text (e)) ^ ( - x)) + C \\\ край (подравняване) \]

Сега нека се справим с функцията $ g $:

$ g = x \ Rightarrow (g) "= 1 $

Разглеждаме интеграла:

$ \ begin (align) & \ int (((\ text (e)) ^ (- x)) \ cdot x \, \ text (d) x) = x \ cdot \ left (- ((\ text (e )) ^ (- x)) \ вдясно)- \ int (\ вляво (- ((\ text (e)) ^ ^ (- x)) \ вдясно) \ cdot 1 \ cdot \ text (d) x) = \ \ & = -x ((\ text (e)) ^ ( - x)) + \ int (((\ text (e)) ^ ( - x)) \, \ text (d) x) = - x ( (\ text (e)) ^ (- x))- ((\ text (e)) ^ (- x)) + C =- ((\ text (e)) ^ (- x)) \ вляво (x +1 \ вдясно) + C \\\ край (подравняване) $

И така, извършихме втората интеграция по части.

Задача 3. Изчислете:

$ \ int (x \ cos 3x \, \ text (d) x) $

В този случай какво трябва да се вземе за $ (f) "$ и какво за $ g $? Ако $ x $ действа като производна, тогава $ \ frac (((x) ^ (2))) (2) $, а първият фактор няма да изчезне никъде - ще бъде $ \ frac (((x) ^ (2))) (2) \ cdot \ cos 3x $. Следователно отново ще променим множителите:

$ \ begin (align) & \ int (x \ cos 3x \, \ text (d) x) = \ int (\ cos 3x \ cdot x \, \ text (d) x) \\ & (f) "= \ cos 3x \ Rightarrow f = \ int (\ cos 3x \, \ text (d) x) = \ frac (\ sin 3x) (3) \\ & g = x \ Rightarrow (g) "= 1 \\\ край (подравняване) $

Пренаписваме оригиналния си израз и го разширяваме съгласно формулата за интегриране по части:

\ [\ begin (align) & \ int (\ cos 3x \ cdot x \ \ text (d) x) = \ frac (\ sin 3x) (3) \ cdot x- \ int (\ frac (\ sin 3x) (3) \ text (d) x) = \\ & = \ frac (x \ sin 3x) (3) - \ frac (1) (3) \ int (\ sin 3x \, \ text (d) x) = \ frac (x \ sin 3x) (3) + \ frac (\ cos 3x) (9) + C \\\ край (подравняване) \]

Това е, третият проблем е решен.

В заключение, погледнете още веднъж формула за интегриране по части... Как да изберем кой фактор ще бъде производната и коя ще бъде реалната функция? Тук има само един критерий: елементът, който ще разграничим, трябва или да даде „красив“ израз, който след това ще бъде намален, или да изчезне напълно по време на диференциацията. Това завършва урока.

Интегриране по части. Примери за решения

Здравей отново. Днес в урока ще научим как да се интегрираме на части. Интегрирането по части е един от крайъгълните камъни на интегралното смятане. На теста, изпита, студентът почти винаги е помолен да реши интегралите от следните типове: най -простият интеграл (виж статията)или интеграла за промяната на променливата (виж статията)или интегралът е просто включен метод на интегриране по части.

Както винаги трябва да имате под ръка: Интегрална масаи Таблица на производни... Ако все още ги нямате, моля, посетете склада на моя уебсайт: Математически формули и таблици... Няма да се уморя да повтарям - по -добре е да отпечатате всичко. Ще се опитам да представя целия материал последователно, просто и лесно, няма особени трудности при интегрирането по части.

Какъв проблем решава методът на интегриране по части? Методът на интегриране по части решава много важен проблем, той ви позволява да интегрирате някои функции, които липсват в таблицата, работафункции, а в някои случаи - и частното. Както си спомняме, няма удобна формула: ... Но има това: - формулата за интегриране по части лично. Знам, знам, ти си единствената - ще работим с нея през целия урок (вече е по -лесно).

И веднага списъкът в студиото. Интегралите от следните типове са взети по части:

1) , , - логаритъм, логаритъм, умножен по някакъв полином.

2) ,- експоненциална функция, умножена по някакъв полином. Това може да включва и интеграли като - експоненциална функция, умножена по полином, но на практика процентът е като 97, под интеграла има хубава буква „e“. ... статията се оказва нещо лирично, о да ... пролетта дойде.

3) , , - тригонометрични функции, умножени по някакъв полином.

4), - обратни тригонометрични функции ("арки"), "арки", умножени по някакъв полином.

Също така някои дроби са взети на части, ние също ще разгледаме съответните примери подробно.

Интеграли на логаритми

Пример 1

Класически. От време на време този интеграл може да се намери в таблици, но е нежелателно да се използва готов отговор, тъй като учителят има пролетен дефицит на витамини и той ще се закълне силно. Тъй като разглежданият интеграл в никакъв случай не е табличен - той се взема парче по парче. Ние решаваме:

Прекъсваме решението за междинни обяснения.

Използваме формулата за интегриране по части:

Формулата се прилага отляво надясно

Разглеждаме лявата страна :. Очевидно е, че в нашия пример (и във всички останали, които ще разгледаме), трябва да се обозначи нещо и нещо.

В интеграли от разглеждания тип for винаги се обозначава като логаритъм.

Технически, дизайнът на решението се изпълнява, както следва, в колона пишем:

Тоест, защото ние обозначихме логаритъма, а за - останалата частинтегриран израз.

Следваща стъпка: намерете диференциала:

Разликата е почти същата като производната, как да я намерим, вече анализирахме в предишни уроци.

Сега намираме функцията. За да се намери функцията, е необходимо да се интегрира правилната странапо -ниско равенство:

Сега отваряме нашето решение и конструираме дясната част на формулата :.
Между другото, ето проба от чист разтвор с няколко бележки:

Единственият момент в продукта веднага пренаредих на места и тъй като е обичайно да се пише множителят преди логаритъма.

Както можете да видите, прилагането на формулата за интегриране по части всъщност намали нашето решение до два прости интеграла.

Моля, обърнете внимание, че в някои случаи веднага следприлагане на формулата, при останалия интеграл, задължително се извършва опростяване - в разглеждания пример сме намалили интегрирането с "x".

Да проверим. За да направите това, трябва да вземете производната на отговора:

Получава се оригиналното интегриране, което означава, че интегралът е решен правилно.

По време на проверката използвахме правилото за разграничаване на продукта: ... И това не е случайно.

Формула за интегриране по части и формулата Има две взаимно противоположни правила.

Пример 2

Намерете неопределен интеграл.

Интегрантът е произведение на логаритъма от полинома.
Ние решаваме.

Още веднъж ще опиша подробно реда на прилагане на правилото, в бъдеще примерите ще бъдат разгледани по -кратко и ако имате затруднения при самостоятелното вземане на решение, трябва да се върнете към първите два примера за Урокът.

Както вече беше споменато, е необходимо да се определи логаритъма за (фактът, че той е на власт, няма значение). За означаване останалата частинтегриран израз.

Пишем в колона:

Първо откриваме диференциала:

Тук се използва правилото за диференциране на сложна функция ... Не случайно, на първия урок по темата Неопределен интеграл. Примери за решенияОбърнах внимание на факта, че за да овладеете интегралите, трябва да "хванете в ръцете си" деривати. Дериватите ще трябва да се обработват повече от веднъж.

Сега намираме функцията, за това се интегрираме правилната странапо -ниско равенство:

За интегриране приложихме най -простата таблична формула

Сега всичко е готово за прилагане на формулата. ... Отворете го със звездичка и „конструирайте“ решението в съответствие с дясната страна:

Под интеграла отново имаме логаритъмен полином! Следователно решението отново се прекъсва и правилото за интегриране по части се прилага втори път. Не забравяйте, че в подобни ситуации логаритъмът винаги се обозначава.

Би било хубаво, ако в този момент можете да намерите най -простите интеграли и производни устно.

(1) Не се бъркайте в знаците! Много често те губят минуса тук, също така имайте предвид, че минусът се отнася до за всичкискоби , и тези скоби трябва да бъдат разширени правилно.

(2) Разгънете скобите. Опростяваме последния интеграл.

(3) Вземаме последния интеграл.

(4) „Комбиниране“ на отговора.

Необходимостта от прилагане на правилото за интегриране по части два пъти (или дори три пъти) не е толкова рядка.

И сега няколко примера за независимо решение:

Пример 3

Намерете неопределен интеграл.

Този пример е решен чрез промяна на променливата (или обобщаване под знака за диференциал)! И защо не - можете да опитате да го вземете на части, получавате смешно нещо.

Пример 4

Намерете неопределен интеграл.

Но този интеграл е интегриран по части (обещаната дроб).

Това са примери за самопомощ, решения и отговори в края на урока.

Изглежда, че в примери 3,4 интегрантите са подобни, но методите на решение са различни! Това е основната трудност при овладяването на интеграли - ако изберете грешен метод за решаване на интеграла, тогава можете да се занимавате с него с часове, като с истински пъзел. Следователно, колкото повече решавате различни интеграли, толкова по -добре, толкова по -лесно ще премине тестът и изпитът. Освен това през втората година ще има диференциални уравнения и без опит в решаването на интеграли и производни няма какво да се прави там.

По отношение на логаритмите, може би повече от достатъчно. За закуска също мога да си спомня, че студентите по техника наричат ​​женски гърди =). Между другото, полезно е да знаете наизуст графиките на основните елементарни функции: синус, косинус, арктангенс, експонент, полиноми от трета, четвърта степен и т.н. Не, разбира се, презерватив по света
Няма да се разтягам, но сега ще запомните много от раздела Графики и функции =).

Интеграли на степен, умножена по полином

Общо правило:

Пример 5

Намерете неопределен интеграл.

Използвайки познат алгоритъм, ние интегрираме по части:

Ако имате затруднения с интеграла, трябва да се върнете към статията Метод на променлива промяна в неопределен интеграл.

Единственото друго нещо, което можете да направите, е да срешете отговора:

Но ако изчислителната ви техника не е много добра, тогава най -печелившият вариант е да оставите отговора или дори

Тоест примерът се счита за решен, когато се вземе последният интеграл. Няма да е грешка, друг е въпросът, който учителят може да поиска да опрости отговора.

Пример 6

Намерете неопределен интеграл.

Това е пример за решение „направи си сам“. Този интеграл е интегриран по части два пъти. Особено внимание трябва да се обърне на знаците - тук е лесно да се объркате в тях, ние също помним, че това е сложна функция.

За изложителя няма какво повече да се каже. Мога само да добавя, че показателят и естественият логаритъм са взаимно обратни функции, това съм аз за темата за забавните графики на висшата математика =) Стоп-стоп, не се притеснявай, лекторът е трезвен.

Интеграли от тригонометрични функции, умножени по полином

Общо правило: for винаги означава полином

Пример 7

Намерете неопределен интеграл.

Интегрираме парче по парче:

Хммм ... и няма какво да се коментира.

Пример 8

Намерете неопределен интеграл

Това е пример за решение „направи си сам“

Пример 9

Намерете неопределен интеграл

Друг пример с дроб. Както в двата предишни примера, се обозначава полином.

Интегрираме парче по парче:

Ако имате някакви трудности или неразбиране при намирането на интеграла, препоръчвам ви да посетите урока Интеграли на тригонометрични функции.

Пример 10

Намерете неопределен интеграл

Това е пример за решение „направи си сам“.

Съвет: Преди да използвате метода на интегриране по части, трябва да приложите някаква тригонометрична формула, която преобразува произведението на две тригонометрични функции в една функция. Формулата може да се използва и при прилагане на метода на интегриране по части, на които е по -удобно.

Това може би е всичко в този параграф. По някаква причина си спомних репликата от химна на физиката и математиката „Вълна след вълна на графиката минава по абсцисата на синусоидната графика“ ...

Интеграли на обратни тригонометрични функции.
Интеграли на обратни тригонометрични функции, умножени по полином

Общо правило: for винаги означава обратната тригонометрична функция.

Нека ви напомня, че обратните тригонометрични функции включват арксинус, обратен косинус, арктангенс и обратна котангенса. За краткост ще ги нарека „арки“

Формулата за интегриране по части е:
.

Методът на интегриране по части се състои в прилагането на тази формула. В практическото приложение си струва да се отбележи, че u и v са функции на променливата за интегриране. Нека променливата на интегрирането да се обозначи като x (символът след знака на диференциала d в ​​края на интегралната нотация). Тогава u и v са функции на x: u (x) и v (x).
Тогава
, .
Формулата за интегриране по части приема формата:
.

Тоест интегрирането трябва да се състои от продукт на две функции:
,
единият от които обозначаваме като u: g (x) = u, а другият трябва да изчисли интеграла (по -точно трябва да се намери антипроизводната):
, тогава dv = f (x) dx.

В някои случаи f (x) = 1 ... Тоест в интеграла
,
можем да поставим g (x) = u, x = v.

Резюме

Така че в този метод формулата за интегриране по части трябва да се помни и прилага в две форми:
;
.

Интеграли, изчислени чрез интегриране по части

Интеграли, съдържащи логаритъма и обратните тригонометрични (хиперболични) функции

Интегралите, съдържащи логаритъма и обратните тригонометрични или хиперболични функции, често се интегрират по части. В този случай частта, която съдържа логаритъма или обратните тригонометрични (хиперболични) функции, се обозначава с u, останалата част с dv.

Ето примери за такива интеграли, които се изчисляват по метода на интегриране по части:
, , , , , , .

Интеграли, съдържащи произведението на полином и sin x, cos x или e x

Според формулата за интегриране частите са интеграли от вида:
, , ,
където P (x) е полином в x. При интегрирането полиномът P (x) се обозначава с u, а e ax dx, cos ax dxили грешка брадва dx- чрез dv.

Ето примери за такива интеграли:
, , .

Примери за изчисляване на интеграли по метода на интегриране по части

Примери за интеграли, съдържащи логаритъма и обратните тригонометрични функции

Пример

Изчислете интеграла:

Подробно решение

Тук интегрантът съдържа логаритъма. Извършване на замествания
u = в х,
dv = x 2 dx.
Тогава
,
.

Изчисляваме оставащия интеграл:
.
Тогава
.
В края на изчисленията определено трябва да добавите константата C, тъй като неопределеният интеграл е множеството на всички антидеривати. Може да се добави и при междинни изчисления, но това само ще затрупа изчисленията.

По -кратко решение

Възможно е решението да бъде представено в по -кратка версия. За да направите това, не е нужно да правите замествания с u и v, но можете да групирате факторите и да приложите формулата за интегриране по части във втората форма.

.

Отговор

Примери за интеграли, съдържащи произведението на полином и sin x, cos x или ex

Пример

Изчислете интеграла:
.

Решение

Нека въведем показател под диференциалния знак:
e - x dx = - e - x d (-x) = - d (e - x).

Интегрираме се по части.
.
Прилагаме и метода на интегриране по части.
.
.
.
Накрая имаме.