в този случай посочете координатите на неговите точки рационални изразиот променливата t? Отговорът на този въпрос зависи от уравнението на кривата. Ако и двете страни на уравнението съдържат полиноми по x и y със степен не по-висока от втората, тогава винаги е възможно да се зададат точките на кривата с помощта на рационални функции на една променлива (примери са в задача 21.11). Ако кривата е дадена от уравнение със степен, по-голяма от 2, тогава, като правило, е невъзможно да се определят координатите на нейните точки чрез рационални функции: това вече е така за кривата x3 + y3 = 1.

Проблем 21.11. Посочете, използвайки рационални функции, координатите на точките на следните криви:

а) елипса с уравнението x2 + 4y2 = 1;

б) хиперболи с уравнението xy = 1;

в) хиперболи с уравнението x2 − y2 = 1.

Упътвания. б) Ако x = t, тогава y = 1/t. в) Разложете лявата страна на множители.

Проблем 21.12. а) Дайте пет решения на уравнението x2 + y2 = 1 в положителни рационални числа.

б) Дайте пет решения на уравнението a2 + b2 = c2 в естествени числа.

§ 22. Преобразуване на произведение в сбор и сбор в произведение

Записваме една под друга формули за синуса на сбора и синуса на разликата:

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

Като добавим тези формули, получаваме sin(α+β)+sin(α−β) = 2 sin α cos β, или

sin α cos β = 1 2 (sin(α + β) + sin(α − β)).

Правейки същото с формулите за косинус на сбора и разликата, получаваме:

cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β; cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sin α sin β,

откъде идват тези формули:

cos α cos β = 1 2 (cos(α − β) + cos(α + β))

sin α sin β = 1 2 (cos(α − β) − cos(α + β))

Получихме формули, които ни позволяват да преминем от произведението на тригонометричните функции към тяхната сума. Нека сега да се научим как да направим прехода в другата посока: от сбора към произведението.

Помислете например за формулата

2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β).

От дясната страна на тази формула означаваме α + β с x и α − β с y. Събирайки и изваждайки равенствата α + β = x и α − β = y, намираме, че α = (x + y)/2, β = (x − y)/2. Замествайки тези изрази от лявата страна на формулата и четейки формулата от дясно на ляво, накрая получаваме:

sin x + sin y = 2 sin x + y cosx − y . 2 2

Замествайки във формулата току-що получената −y вместо y,

sin x − sin y = 2 sin x − y cosx + y . 2 2

Ако обработим формулите за cos α cos β и за sin α sin β по същия начин, както направихме с формулата за sin α cos β, получаваме това:

(обърнете внимание на знака минус във втората формула).

Проблем 22.1. Докажете тези формули.

Формули за преобразуване на сбора от тригонометрични функции в произведение могат да се получат и геометрично. В самото

Всъщност ние оставяме настрана от началото на координатите вектора

С дължина 1 и форма-

лагери с положителна посока на ос

ъгли на абсцисата α и β, съответно; позволявам

(фиг. 22.1). Тогава, очевидно

OA = (cos α; sin α),

OB = (cos β; sin β),

= (cos α + cos β; sin α + sin β).

От друга страна, тъй като OA = OB = 1, успоредникът OACB е ромб. Следователно, OC е ъглополовящата на ъгъл AOB,

откъдето BOC =

α−2

И за равнобедрен триъгълник OBC

Тъй като векторът

образува ъгъл β +

Сравняване на два израза за векторни координати

cos α + cos β = 2 cos

sinα + sinβ = 2 sin

според нашите формули.

Проблем 22.2. Докажете самоличностите:

a) sin(α + β) sin(α − β) + sin(β + γ) sin(β − γ) +

Sin(γ + α) sin(γ − α) = 0;

б) 4 sin α sin(π/3 − α) sin(π/3 + α) = sin 3α;

в) cos α + cos 2α + cos 6α + cos 7α = 4 cos α 2 cos5 2 α cos 4α.

Проблем 22.3. Приемайки, че α + β + γ = π, докажете равенствата:

б) sin α + sin β + sin γ = 4 cos

в) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ.

Проблем 22.4. Нека ъглите α, β, γ лежат съответно в триъгълник срещу страни a, b, c. Докажете формулите:

			α−2β					α−2β

Тези формули се наричат ​​формули на Regiomontanus или теорема за допирателните.

Проблем 22.5. а) Ако приемем, че α + β + γ + δ = π, докажете идентичността:

sin α sin γ + sin β sin δ = sin(α + β) sin(β + γ).

б) Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност. Докажете, че AB·CD+BC·AD = AC·BD (в вписан четириъгълник сборът от произведенията на противоположните страни е равен на произведението на диагоналите - теорема на Птолемей).

Формулите, с които се занимавахме в този параграф, се използват в радиотехниката. Да предположим, че трябва да предадем гласа на диктора по радиото с честота, да речем, 300 . На такъв ниски честотиизлъчването е невъзможно: честотите на радиовълните, използвани за излъчване, могат да бъдат измерени в милиони. Вълни

такива честоти се използват по този начин. Докато дикторът мълчи, в ефир се излъчват само радиовълни висока честотаω (носеща честота - виж графиката на фиг. 22.2 а).

С този сигнал не се предава информация. Нека сега дикторът започне да издава звуци с честота η (η е много по-малка от ω); тогава сигналът u = (A sin ηt) sin ωt излиза в ефир. Примерна диаграма е показана на фиг. 22.2 б. Можем да кажем, че самата амплитуда на трептения с висока честота ω претърпява трептения с ниска честота η. Както се казва, високочестотен сигнал се модулира от нискочестотен сигнал (всичко това е само груба скица на това, което всъщност се случва в приемника).

Нека трансформираме израза за модулирания сигнал:

u = A sin ηt sin ωt = A 2 cos(ω − η)t −A 2 cos(ω + η)t.

Както можете да видите, нашият модулиран сигнал не е нищо друго освен сумата от сигнали с честоти ω + η и ω − η. Така че, когато казват, че радиостанция предава на честота, да речем, ω = 10, тогава трябва да помним, че всъщност не само радиовълни с честота ω се излъчват в ефир, но и вълни от всички честоти от интервала [ω − η; ω + η] където η е максималната честота на полезния сигнал, предаван от радиостанцията. Това означава, че носещите честоти на различните радиостанции не могат да бъдат твърде близо една до друга: ако сегментите [ω − η; ω + η] ще се припокриват, тогава радиостанциите ще си пречат една на друга.

Друго приложение на формулите от този параграф е изчисляването на сумата от косинусите или синусите на числата, които образуват аритметика-

тик прогресия (във физиката такива изчисления се използват при изследването на явлението дифракция).

Да предположим, че трябва да опростим израза

cosα + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h).

Като начало ще решим този проблем геометрично, а след това ще покажем как нашите формули могат да бъдат приложени към него. Да разгледаме следните вектори: a0 = (cos α; sin α), a1 = (cos(α + h); sin(α + h)), . . . , a10 = (cos(α + 10h); sin(α + 10h)). Очевидно желаната сума е абсцисата на вектора a0 + a1 + . . . + a10 . Нека намерим тази сума от вектори.

За да направите това, оставете OA1 = a0 от началото, A1 A2 = a1 от точка A1 и т.н. (фиг.22.3). Тогава a0 + a1 + . . . + a10 = OA11 .

Ориз. 22.3. OA1 = a0 , A1 A2 = a1 ,. . . , A10 A11 = a10 .

За да намерим координатите на вектора OA, намираме неговата дължина и ъгъла на наклон към оста x. За да направите това, имайте предвид, че всеки от сегментите OA1 , A1 A2 ,. . . има дължина 1 и се завърта спрямо предишния на същия ъгъл h радиана. Следователно точките O, A1 , A2 , . . . , A11 лежат на една и съща окръжност. Неговият център Z е пресечната точка на перпендикулярите на отсечките OA1 и A1 A2. Ако FZ и GZ са тези перпендикуляри, тогава F ZG \u003d h, така че F ZA1 = h / 2 и радиусът на окръжността R е F A1 / sin F ZA1 = 1/2 sin (h / 2) ( припомнете си, че дължините от -

разрезите OA1 и A1 A2 са равни на единица). Тъй като очевидно OZA1 = = A1 ZA2 = . . . = A10 ZA11 = h, тогава OZA11 = 11h и от равнобедрения триъгълник OZA11 имаме

OA11		OZA11

За да намерите ъгъла на наклон на вектора OA11 спрямо оста x, заменете

имайте предвид, че централният ъгъл A1 ZA11 = 10h, така че вписаният

ъгълът A11 OA1 на базата на дъгата A1 A11 е 10h/2 = 5h, а A11 OX = A11 OA1 + α = α + 5h. Това е,

OA11 = (OA11 cos(α + 5h); OA11 sin(α + 5h)) =
	sin 11h cos(α + 5h)	sin 11h sin(α + 5h)

Сравнявайки два записа за координатите на вектора OA11 , получаваме формулите:

cosα + cos(α + h) + cos(α + 2h) + . . . + cos(α + 10h) =

	sin 11h cos(α + 5h)
sinα + sin(α + h) + sin(α + 2h) + . . . + sin(α + 10h) =
			sin 11h sin(α + 5h)

Първата от тези формули е това, към което се стремим, втората се оказа страничен продукт.

Както можете да видите, изчисленията се оказаха доста дълги. Освен това педантичният читател може да забележи, че чертежа на фиг. 22.3 се получава само за достатъчно малко h, а за голямо h прекъснатата линия OA1 · · · A10 A11 може да обиколи целия кръг и повече от веднъж, т.е. рисунката ще бъде различна. Всъщност нашата формула е вярна за всички α и h (освен ако знаменателят sin(h/2) е нула; но последното е възможно само ако h = 2πn за някакво цяло число n и тогава без никаква формула е ясно, че сумата е равна на

− sinα + m −

Замествайки това в нашата формула, виждаме, че сумата е равна на

α + 2

Sinα + 10 + 2

h − sinα + 9 + 2

ако отворите скобите, тогава всички термини ще бъдат намалени, с изключение на

йон − sin α −							h , а сумата ще бъде
	sin(α + (10 + 2 1 )h) − sin(α − h 2 )							2 sin 11 2h cos(α + 5h)

(преобразували сме сумата в произведението). Намалявайки двойките в числителя и знаменателя, получаваме същата формула, която намерихме геометрично.

Второто ни изчисление е по-кратко и по-лесно от първотоно по-малко естествено. Когато се запознаем с комплексните числа, ще се научим как да намираме такива суми по най-естествения (макар и не най-краткия) начин.

В десети клас учениците ще вземат такъв раздел по алгебра като тригонометрия. Ще се изучава в голям брой уроци.

Самата тригонометрия като наука се появява преди повече от две хилядолетия. Тъй като обикновените алгебрични операции не биха били достатъчни за изразяване на тригонометрични функции, учените трябваше да въведат нова нотация. Тази наука изучава връзката между страните на триъгълника и неговите ъгли. В много геометрични, алгебрични задачи става необходимо да се занимаваме с тази област. Проблемите във физиката също понякога водят до тригонометрични функции.

Учениците вече са изучавали основните тригонометрични функции, научили са как да изграждат своите графики, да ги преобразуват, основни формули в тригонометрията, да използват таблицата със стойности на аргументите, често срещани в тригонометрията и др. По времето, когато изучаваха този видеоурок, те вече се бяха справили с него голямо количествотригонометрични изрази и уравнения.

В някои примери става необходимо да се преобразува формулата за сумата на тригонометрична функция в произведение. С това действие можете да съкращавате и опростявате огромни изрази, да решавате уравнения, системи от уравнения и т.н.

Видеото "Преобразуване на суми от тригонометрични функции в продукти" е отличен съпътстващ материал при изучаване на тази тема. Учителите могат да използват примерите, които са дадени в ресурса, дефинициите и формулите. Мултимедийният файл е с отлично качество. Може да се играе по време на урока. Това ще помогне на учениците да се концентрират върху изучавания предмет.

В началото на видео урока, дикторът казва, че на екрана ще се покажат някои формули за суми, които ще помогнат при решаването на тригонометрични уравнения.

На първо място се взема предвид сумата от синусите. Първият израз е сумата от синуса на сбора от два аргумента и синуса на разликата на същите аргументи. Всеки член се подписва по формулите, изследвани по-рано. Те се показват от дясната страна на екрана, за да напомнят на учениците.

С пълна нотация, отваряне на скоби и опростяване получаваме продукт. Променливите се заменят. X-то е сумата от аргументите, y-то е разликата. Замествайки в получения израз, получаваме първата формула за преобразуване на суми в произведения в тригонометрията.

За да могат учениците да запомнят формулата, не е достатъчно да покажат как да я получат. Необходимо е да се опитате да решите с пример. Даден е сборът от синусите на някои стойности. Преобразува се по формула в продукт.

Втората формула, чието получаване ще бъде показано стъпка по стъпка, е разликата на синусите. За да не правите допълнителни предишни стъпки, можете да използвате вече получената формула за сумата. Трябва да се помни, че синусът е нечетна функция. Ако запишем разликата като сбор и заместим минуса във формулата от сбора, получаваме ново правило за преобразуване на разликата в произведение.

По същия начин е даден пример. Дикторът разказва подробно решението си.

Сборът и разликата на косинусите с примери са дадени в същия ред. Предишно проучените формули се използват по подобен начин, дава се замяна и се показва резултатът. Когато извеждате формулата за разликата, можете да прибягвате до факта, че косинусът е четна функция.

При решаване на уравнението лявата част се трансформира в произведение. Както знаете, той ще бъде равен на нула, когато някои от факторите също ще бъдат равни на нула. Следователно преобразуването в продукт ще бъде много полезно.

Накрая е даден друг пример, по-сложен. Можете да кажете на учениците правилната посока и те сами ще се справят с примера, ако разберат принципа като цяло.

Видеозаписът ще бъде много полезен за ученици, които учат у дома. С него можете да научите важни формули, без което решаването на тригонометрични уравнения ще бъде трудно, а понякога и невъзможно.

ТЪЛКУВАНЕ НА ТЕКСТА:

Преобразуване на суми от тригонометрични функции в произведения

Днес ще разгледаме още няколко тригонометрични формули, които позволяват сумата (разликата) от синуси или косинуси да бъде факторирана. Тези формули ще бъдат полезни при решаване на тригонометрични уравнения.

Първата формула е СУМА ОТ СИНУСИ.

Помислете за израза sin(s + t) + sin(s - t) , където s и t са аргументи на тригонометрични функции.

Прилагаме вече познатите формули за синуса на сбора и синуса на разликата:

sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y,

след това изразът sin( с +т) ще изглежда като грях с cos т+ cos сгрях т

и изразът sin(s - t) ще бъде под формата sin с cos т- cos сгрях т,

тогава получаваме:

грях( с +т) + грях( с - т) = (грях с cos т+ cos сгрях т) + (грях с cos т- cos сгрях т)

Отворени скоби:

грях с cos т+ cos сгрях т+ грях с cos т- cos сгрях т

прави изчисленията:

cos сгрях т- cos сгрях т=0

грях с cos т+ грях с cos т= 2 грях с cos т.

грях( с +т) + грях( с - т) = (грях с cos т+ cos сгрях т) + (грях с cos т- cos сгрях т)=грях с cos т+ cos сгрях т+ грях с cos т- cos сгрях т=2sin с cos т.

Така получаваме, че изразът sin(s + t) + sin(s - t)= 2 sin с cos т.

Нека представим нови променливи x=с +т и y=с- т.

Нека съберем тези равенства член по член, получаваме

х + у= с +т + с- т.

х + у= 2с

Нека намерим стойносттас

с= .

Във втория случай изваждаме тези равенства член по член и получаваме

х - в= с +т- (с - т)

х - в= с +т- с + т

х - у= 2т

Нека намерим стойносттат

В израза sin(s + t) + sin(s - t)= 2 sin с cos т

замени s и t върху новите променливи, въведени от нас:

с +тзамени с х

с- тзамени с в

сна

тна.

Тогава получаваме:

sinх + sinу = 2 sincos

(сумата от синусите на два аргумента е равна на двойното произведение на синуса на полусумата на тези аргументи и косинуса на тяхната полуразлика).

sin 7x + sin3x \u003d 2 sin cos \u003d 2 sin5x cos2x.

Втората формула е РАЗЛИКАТА НА СИНУСИТЕ.

За да можем да приложим вече изведената формула за сумата от синусите на два аргумента sinх + sinу = 2 sincos

Нека се възползваме от факта, че синусът е нечетна функция, т.е. - sinu = sin (- y),

sinх - sinу \u003d sinх + sin (- y)

Сега прилагаме формулата за сумата от синусите, получаваме

2 грях cos = 2 sin cos.

sin x - sin y \u003d sin x + sin (- y) = 2 sin cos = 2 sin cos.

Следователно получаваме формулата за разликата на синусите:

sinх - sinу \u003d 2 sin cos (разликата между синусите на два аргумента е равна на двойното произведение на синуса на полуразликата на тези аргументи и косинуса на тяхната полусума).

Пример. Опростете израза sin 77° - sin 17°.

sin 77° - sin 17° =2 sin cos = 2 sin cos 47º.

(тъй като sin 30º= , тогава)= 2 ∙ ∙ cos = cos.

Третата формула е СУМА ОТ КОСИНУСИ.

За израза cos (s + t) + cos (s - t) прилагаме вече познатите ни формули за косинуса на сбора и косинуса на разликата:

cos (x - y) \u003d cos x cos y + sin x sin y,

Заместваме стойностите от формулите в израза cos (s + t) + cos (s - t) и получаваме:

защото ( с+т)+ cos( с - т) = cos с cos т- грях сгрях т+ cos с cos т+ грях сгрях т=2 cos с cos т

Така че защото ( с+т)+ cos( с - т) =2 cos с cos т

Нека представим нови променливи x=с +т и y=с - т. Както при извеждането на формулата СУМА ОТ СИНУСИ.

с +тзамени с х

с- тзамени с в

сна

тна.

И получаваме формулата за сбора на косинусите

cos x + cosу = 2 cos cos

(сумата от косинусите на два аргумента е равна на двойното произведение на косинуса на полусумата на тези аргументи и косинуса на тяхната полуразлика).

Пример. Опростете израза cos(x + 2y) + cos(3x - 2y).

cos(x+2y) + cos(3x - 2y) = 2 coscos =

2cos 2x cos (- x + 2y) \u003d 2cos 2x cos (- (x - 2y)) (и тъй като cos (- t) = цена, тогава) \u003d

2cos2x cos(x - 2y).

Четвъртата формула е РАЗЛИКАТА НА КОСИНУСИТЕ.

За израза cos (s + t) - cos (s - t) прилагаме вече познатите ни формули косинус на сбора и косинус на разликата:

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x - y) \u003d cos xcos y + sin x sin y, получаваме

защото ( с+т) - cos( с - т) = cos с cos т- грях сгрях т- cos с cos т- грях сгрях т= - 2sin сгрях т. Нека представим нови променливи х= s +ти в= s - т, означава, s= и t =. Заместване на въведените обозначения във формулата:

защото ( с+т) - cos( с - т) = - 2sin сгрях т, получаваме формулата за разликата на косинусите:

cosх - cosу = -2sin sin (разликата между косинусите на два аргумента е равна на двойното произведение на синуса на полусумата на тези аргументи и синуса на тяхната полуразлика, взет със знак минус).

Пример. Опростете израза cos - cos.

cos - cos = - 2sin sin = -2 sin грях (защото sin = , тогава)=

2 ∙ ∙ sin = - sin.

ПРИМЕР 1. Решете уравнението cos6x + cos2x = 0.

Решение. Преобразуване на сбора от косинуси в продукт с помощта на формулата:

(cos x + cosу = 2 cos cos,

получаваме 2cos4x cos2x \u003d 0. Това уравнение се превръща в истинско равенство, ако

ПРИМЕР 2. Решете уравнението sin7x + sin3x - sin5x = 0.

Решение. За сумата от първия и втория член прилагаме формулата сума от синуси

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

(sin7x + sin3x) - sin5x = 0

2 sincos - sin5x = 0

sin5x(2 cos2x - 1) = 0.

sin5x = 0 или 2 cos2x - 1 = 0,

Решението на уравнението sint = a се приема за a=0:

sint = 0 при t = πk,

тогава получаваме

x = , (pi en делено на пет)

Използване на таблични косинусови стойности и дефиниране на решението на уравнението цена = a, където (| a | 1) запис в общ вид:

t = arccos а+ 2πk

второто уравнение cos2x= има следните решения

2x \u003d arccos + 2πn,

(плюс минус пи на шест плюс пи en).

Ключът към успеха със сумирането се крие в способността ни да трансформираме една сума в друга – или опростявайки оригинала, или ни доближавайки до целта. И като научите няколко основни правила за трансформация и практикувате тяхното прилагане, можете лесно да овладеете тази способност.

Нека K е някакъв краен набор от цели числа. Сумите по елементи от K могат да бъдат преобразувани въз основа на три прости правила:

Законът за разпределение ви позволява да въвеждате и извеждате константи под знака и извън него. Асоциативният закон ви позволява да разделите една сума на две или да комбинирате две суми в една. Комутативният закон гласи, че условията на дадена сума могат да бъдат пренаредени във всеки желан ред; ето някаква пермутация на множеството от всички цели числа. Например, ако и ако тогава тези три закона гласи съответно това

Трикът на Гаус от гл. 1 може да се разглежда като едно от приложенията на тези три основни закона. Да предположим, че искаме

изчисли сумата аритметична прогресияобщ изглед

Според комутативния закон, замествайки k с, получаваме

Тези две уравнения могат да се добавят с помощта на закона за комбиниране:

И сега прилагаме разпределителния закон и изчисляваме тривиалната сума:

Разделяйки на 2, намираме това

Дясната страна може да се запомни като средната стойност на първия и последния термин, а именно умножена по броя на термините, т.е.

Важно е да се има предвид, че функция в общата форма на закона за изместване (2.17) се счита за пермутация на всички цели числа. С други думи, за всяко цяло число трябва да има точно едно цяло число k, така че . В противен случай може да не се изпълни комутативният закон – напр. 3 е добър пример. Преобразуванията на типа от c, или където c е целочислена константа, винаги са пермутации, така че са добре.

Въпреки това, може леко да се облекчи ограничението за пермутацията: достатъчно е да има точно едно цяло число k, такова, че когато е елемент от набора от индекси K. поставяме равенство, тъй като подобно на не участва в сумата. Така например може да се твърди, че

защото има точно едно k такова, че когато е четно.

Нотацията на Айвърсън, която ви позволява да получите 0 или 1 като стойности на логически изрази в рамките на определена формула, може да се използва във връзка с разпределителни, асоциативни и комутативни закони, за да се разкрият допълнителни свойства на сумите. Ето, например, важно правилосъюзи от различни набори от индекси: ако са някои набори от цели числа, тогава

Това следва от общите формули

Обикновено правилото (2.20) се използва или за обединяване на две почти непреходни индексни множества, както в случая

или да изберете отделен член на сбора, както е в случая

Такава операция на извличане на термин формира основата на метода на редукция, който често позволява да се изчисли една или друга сума в затворена форма. Същността на този метод е да се започне с количеството, което трябва да се изчисли и да се обозначи

(Проектирайте и завладете.) След това го пренаписваме по два начина, извличайки и последния, и първия термин:

Сега можем да вземем последната сума и да се опитаме да я изразим чрез Ако опитът е успешен, ще получим уравнение, чието решение ще бъде желаната сума.

Нека използваме, например, този подход, за да намерим сумата геометрична прогресияобщ изглед

В съответствие със обща схеманамаление (2.24) сумата се пренаписва във формата

а сборът от дясната страна е равен на разпределителния закон. Така и, решавайки това уравнение по отношение на, получаваме

(За x = 1 тази сума, разбира се, е просто равна. Дясната страна на тази формула може да бъде запомнена като разликата между първото влизане и първото не-сумиране, разделено на разликата от 1 и знаменателя на прогресията.

Всичко това беше доста просто, така че нека опитаме метода за намаляване на малко по-трудна сума,

Този видео урок е направен за ученици от 10 клас. С него те ще могат да изучават темата „Преобразуване на произведения от тригонометрични изрази в суми“. Учебният материал е придружен от спокоен мъжки глас. С него можете да проведете интересен и информативен урок в училище. Благодарение на илюстрациите и дефинициите, които се показват в ясен текст на екрана, учениците ще могат бързо и ефективно да разберат тази тема.

Въпреки факта, че тригонометрията като наука се е появила много отдавна, тя не е загубила своята актуалност и до днес. В различни науки се появяват задачи, при решаването на които учениците ще трябва да се сблъскат с тази област. Поради тази причина те трябва да могат да се справят с примери с различна сложност, да разглеждат функции, съдържащи синуси, косинуси, тангенси и котангенси и т.н.

Тъй като тригонометрията съдържа страхотно количествоформули, без които опростяването на този или онзи израз би отнело огромно време. Ето защо е много важно да запомните и разберете тези формули. Ако разбирате начина, по който са получени, можете лесно да ги запомните и да ги приложите на практика. За да бъдат запомнени за дълго времетрябва да бъдат засилени на практика. Затова е необходимо учителите да питат вкъщи голям бройтригонометрични изрази и уравнения за ученици.

Това видео е направено от професионалисти. Има последователна структура, няма излишна и ненужна информация, която се отклонява от учебната програма.

Учениците вече знаят как да преобразуват тригонометричните уравнения на суми в продукти. Как да го направя, ако е необходимо обратен процес? Понякога ще е необходимо да се опрости този или онзи израз.

Разглеждането започва с пример. Записва се произведението на синуса на някое t и косинуса със същата стойност. Този израз се преобразува чрез дроб, където в числителя виждаме сумата от синуса от сбора на аргументите и разликата, разделена на 2.

Произведението на синуса на някои s и синуса на t се преобразува по подобен начин.

За да се фиксират тези изрази на практика, се предлага да се решат някои примери. В първия от тях се предлага да се намери числов отговор за израза, който е произведението на синуса на 2x и косинуса на 9x. При вземане на решение този примеризползва се предварително научената формула. Екранът се показва подробно решениенапример, той също така показва коя формула се използва.

След това се разглежда друг пример, където се предлага продуктът да се преобразува в сума. Всички изчисления и обяснения се показват от дясната страна. Не е толкова трудно да се разбере как се решава този пример, защото дикторът коментира всичко подробно.

Третият пример предлага да се опрости изразът, който се състои от произведението на три синуса с определена степен. При опростяване се използва формулата за превръщане на произведението на синусите в сума. При решаването на този пример се обръща внимание на факта, че косинусовата функция е четна функция. Така знаците са правилно дефинирани. Отговорът се показва. Решението е доста обемно, но ако го разгледате стъпка по стъпка, няма да остане нищо неразбираемо.

Четвъртият пример съдържа тригонометрично уравнение, при чието решение е необходимо да се използват изследваните формули, както на този уроккакто и предишни видеоклипове.

Както вече споменахме, с помощта на тази презентация можете да проведете интересен урок за десетокласници. Както преподавателите, така и учениците могат да изтеглят материала. С него можете визуално да покажете ученика решение стъпка по стъпкапримери, по подобие на които ще се натъкнат учениците, както по време на домашна работа, така и при самостоятелни и контролна работав училище.

ТЪЛКУВАНЕ НА ТЕКСТА:

Преобразуване на произведения от тригонометрични изрази в суми

Вече знаете, че всяка математическа формула на практика се прилага от дясно на ляво и от ляво на дясно. Следователно, прилагайки формулата в обратна посока, можем да преобразуваме произведението на тригонометричната функция в сума.

Помислете за пример:

от формулата за преобразуване на сумите от синусите на аргументите es и te в произведението sin( с +т) + грях( с - т) = 2 грях с cos т

можете да получите друга формула:

грях с cos т= (Произведението на синуса на аргумента es и косинуса на аргумента te е равно на половината от сбора на синуса на сбора на аргументите es и te и синуса на разликата на аргументите es и te, и разликата се взема така, че ъгълът под знака косинус да се извади от аргумента под знака синус.)

грях( с +т) + грях( с - т) = 2 грях с cos т

грях с cos т =

По същия начин от формулата за преобразуване на сумите от косинусите на аргументите es и te в произведението cos ( с+т)+ cos( с - т) =2 cos с cos тполучаваме

cos с cos т= (продуктът на косинусите на аргументите es и te е равен на половината от сбора на косинуса на сбора на тези аргументи и косинуса на тяхната разлика).

И от формулата за преобразуване на разликата между косинусите на аргументите es и te в произведението cos ( с+т) - cos( с - т) = - 2sin сгрях тние имаме

грях сгрях т= (продуктът на синусите на аргументите es и te е равен на полуразликата на косинуса на разликата на тези аргументи и косинуса на техния сбор).

Помислете за примери.

ПРИМЕР 1. Преобразувайте произведението в сумата от sin2x cos9x.

Решение. При решаването ще използваме формулата sin с cos т= , където s= 2x, t=9x. След това пишем

sin2xcos 9x = = ( предвид това

грях(-y) = -гряхy, получаваме) \u003d (полуразлика на синуса от единадесет x и синуса от седем x).

Отговор: sin2x cos9x =.

ПРИМЕР 2. Преобразувайте произведението в сумата cos (2x - y) cos (x + 4y) (продуктът на косинуса на аргумента две x минус y от косинуса на аргумента x плюс четири y).

Решение. При решаването ще използваме формулата cos с cos т= , където s= (2x-y), t=(x+4y). Тогава

cos(2x - y) cos(x + 4y) = = отворени скоби = , извършете изчисления и вземете

= (половината от сбора на косинуса на аргумента три x плюс три y и косинуса на аргумента x минус пет y).

ПРИМЕР 3 Опростете израза sin20°sin40° sin80°.

Решение. Приложете формулата: sin сгрях т= .

sin 20°sin 40° sin 80°= ∙ sin 80°= ∙ sin 80°=

(взимаме предвид, че косинусът е четна функция, което означава, че

= ∙ sin 80° Тъй като cos60°=

= ∙ sin 80°= ∙) ∙ sin 80°=

(обърнете внимание, че sin 80°= sin(90° - 10°)= cos10°, така че получаваме това)

= ∙) ∙ cos10° = отворени скоби = ∙ cos10° - ∙ cos10°

(прилагаме формулата cos с cos т =)

= ∙ - ∙ cos10°= ∙() - ∙ cos10°=

отворете скобите

(помнете това =)

Отговор: sin20°sin40° sin80° = .

ПРИМЕР 4. Решете уравнението 2 sin2x cos9x - sin11x \u003d 0.

Преобразуваме лявата част на уравнението с помощта на формулата

грях с cos т= , където s=2x, a t=9x получаваме:

2 ∙ - sin11x = sin11x = .

И така, това уравнение е еквивалентно на уравнението = 0 (минус синус от седем x е равно на нула). Следователно, = πn, откъдето х = , .