Формули за решаване на най-простите тригонометрични уравнения. Тригонометрични уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

Концепцията за решаване на тригонометрични уравнения.

За да решите тригонометрично уравнение, преобразувайте го в едно или повече основни тригонометрични уравнения. Решаването на тригонометричното уравнение в крайна сметка се свежда до решаването на четирите основни тригонометрични уравнения.

Решение на основни тригонометрични уравнения.

Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
sin x = a; cos x = a
тен x = a; ctg x = a
Решаването на основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различните позиции на х върху единичния кръг, както и използване на таблица за преобразуване (или калкулатор).
Пример 1. sin x = 0,866. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = π/3. Единичният кръг дава друг отговор: 2π/3. Запомнете: всички тригонометрични функции са периодични, тоест техните стойности се повтарят. Например, периодичността на sin x и cos x е 2πn, а периодичността на tg x и ctg x е πn. Така че отговорът е написан така:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Пример 2 cos x = -1/2. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = 2π/3. Единичният кръг дава друг отговор: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
Отговор: x \u003d π / 4 + πn.
Пример 4. ctg 2x = 1,732.
Отговор: x \u003d π / 12 + πn.

Трансформации, използвани при решаване на тригонометрични уравнения.

За да преобразувате тригонометрични уравнения, използвайте алгебрични трансформации(разлагане на множители, редукция на еднородни членове и др.) и тригонометрични тъждества.
Пример 5. Използвайки тригонометрични идентичности, уравнението sin x + sin 2x + sin 3x = 0 се преобразува в уравнението 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Така следните основни тригонометрични уравнения трябва да се реши: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Намиране на ъгли чрез известни стойностифункции.
- Преди да научите как да решавате тригонометрични уравнения, трябва да научите как да намирате ъгли от известни стойности на функции. Това може да се направи с помощта на таблица за преобразуване или калкулатор.
- Пример: cos x = 0,732. Калкулаторът ще даде отговора x = 42,95 градуса. Единичната окръжност ще даде допълнителни ъгли, чийто косинус също е равен на 0,732.
Оставете разтвора върху единичния кръг.
- Можете да поставите решения на тригонометричното уравнение върху единичната окръжност. Решенията на тригонометричното уравнение на единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
- Пример: Решенията x = π/3 + πn/2 на единичната окръжност са върховете на квадрата.
- Пример: Решенията x = π/4 + πn/3 на единичната окръжност са върховете на правилен шестоъгълник.
Методи за решаване на тригонометрични уравнения.
- Ако дадено тригонометрично уравнение съдържа само едно тригонометрична функция, решете това уравнение като основно тригонометрично уравнение. Ако дадено уравнениевключва две или повече тригонометрични функции, тогава има 2 метода за решаване на такова уравнение (в зависимост от възможността за неговото преобразуване).
  - Метод 1
- Преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, където f(x), g(x), h(x) са основните тригонометрични уравнения.
- Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Решение. Използвайки формулата за двоен ъгъл sin 2x = 2*sin x*cos x, заменете sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
- Пример 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, трансформирайте това уравнение в уравнение от вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
- Пример 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, трансформирайте това уравнение в уравнение от вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Сега решете две основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
  - Метод 2
- Преобразувайте даденото тригонометрично уравнение в уравнение, съдържащо само една тригонометрична функция. След това заменете тази тригонометрична функция с някаква неизвестна, например t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.н.).
- Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Решение. В това уравнение заменете (cos^2 x) с (1 - sin^2 x) (според идентичността). Преобразуваното уравнение изглежда така:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете sin x с t. Сега уравнението изглежда така: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Това е квадратно уравнение с два корена: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вторият корен t2 не удовлетворява обхвата на функцията (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Решение. Заменете tg x с t. Препишете оригиналното уравнение, както следва: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Сега намерете t и след това намерете x за t = tg x.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Може също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Изисква познаване на основните формули на тригонометрията – сумата от квадратите на синуса и косинуса, изразяването на тангенса през синуса и косинуса и др. За тези, които са ги забравили или не знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
Така че основното тригонометрични формулизнаем, че е време да ги приложим на практика. Решаване на тригонометрични уравненияс правилния подход това е доста вълнуващо занимание, като например решаването на куб на Рубик.

От самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, в което неизвестното е под знака на тригонометрична функция.
Съществуват така наречените прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Обмисли, как се решават такива тригонометрични уравнения, за по-голяма яснота ще използваме вече познатия тригонометричен кръг.

sinx = a

cos x = a

тен x = a

детско легло x = a

Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: привеждаме уравнението до най-простата форма и след това го решаваме като най-простото тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометричните уравнения.

Променлива заместване и метод на заместване

Решете уравнението 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Използвайки формулите за намаляване, получаваме:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Нека заменим cos(x + /6) с y за простота и да получим обичайното квадратно уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корените на които y 1 = 1, y 2 = 1/2

Сега да се върнем назад

Заместваме намерените стойности на y и получаваме два отговора:

Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Как да решим уравнението sin x + cos x = 1?

Нека преместим всичко наляво, така че 0 да остане вдясно:

sin x + cos x - 1 = 0

Използваме горните идентичности, за да опростим уравнението:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Нека направим факторизацията:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаваме две уравнения

Свеждане до хомогенно уравнение

Едно уравнение е хомогенно по отношение на синуса и косинуса, ако всички негови членове по отношение на синуса и косинуса са от една и съща степен на един и същ ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, продължете както следва:

а) прехвърля всичките си членове на лявата страна;

б) извадете всички общи фактори извън скоби;

в) приравнява всички фактори и скоби на 0;

г) получени в скоби хомогенно уравнениев по-малка степен той от своя страна се разделя на синус или косинус в по-висока степен;

д) решете полученото уравнение за tg.

Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x = 1 и да се отървем от отворените две вдясно:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Разделете на cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменяме tg x с y и получаваме квадратно уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, чиито корени са y 1 =1, y 2 = 3

От тук намираме две решения на оригиналното уравнение:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Решаване на уравнения чрез преход към половин ъгъл

Решете уравнението 3sin x - 5cos x = 7

Да преминем към x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Преместване на всичко наляво:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Разделете на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Въвеждане на спомагателен ъгъл

За разглеждане, нека вземем уравнение под формата: a sin x + b cos x \u003d c,

където a, b, c са някои произволни коефициенти и x е неизвестно.

Разделете двете страни на уравнението на:

Сега коефициентите на уравнението, според тригонометричните формули, имат свойствата на sin и cos, а именно: техният модул е не повече от 1 и сумата от квадратите = 1. Нека ги означим съответно като cos и sin, където е така наречения спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме вида:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

или sin(x + ) = C

Решението на това просто тригонометрично уравнение е

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, където

Трябва да се отбележи, че обозначенията cos и sin са взаимозаменяеми.

Решете уравнението sin 3x - cos 3x = 1

В това уравнение коефициентите са:

a =, b = -1, така че разделяме и двете части на \u003d 2

При решаване на много математически проблеми, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно дефиниран. Такива задачи включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът на успешното решаване на всяка от посочените задачи е следният: необходимо е да се установи какъв тип задача се решава, да се помни необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно успехът или неуспехът при решаването на даден проблем зависи главно от това доколко правилно е определен видът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи от неговото решение. Разбира се, необходимо е да имате умения за изпълнение идентични трансформациии компютрите.

Различна ситуация възниква с тригонометрични уравнения.Не е трудно да се установи фактът, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до правилния отговор.

от външен видуравнения понякога е трудно да се определи неговият тип. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решим тригонометричното уравнение, трябва да опитаме:

1. привеждане на всички функции, включени в уравнението, до "същите ъгли";
2. привеждане на уравнението до "същите функции";
3. разложете лявата страна на уравнението и т.н.

Обмисли основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Схема на решение

Етап 1.Изразете тригонометричната функция чрез известни компоненти.

Стъпка 2Намерете аргумент на функцията с помощта на формули:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3Намерете неизвестна променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Заместване на променлива

Схема на решение

Етап 1.Приведете уравнението в алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2Означете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения за t).

Стъпка 3Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4Направете обратна замяна.

Стъпка 5Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2 не удовлетворява условието |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за редуциране на реда уравнение

Схема на решение

Етап 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулите за намаляване на мощността:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

тен 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos2x + cos2x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Схема на решение

Етап 1.Приведете това уравнение във формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и вземете уравнението за tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Стъпка 3Решете уравнението, като използвате известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 или t = -4, така че

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с помощта на тригонометрични формули

Схема на решение

Етап 1.Използвайки всички видове тригонометрични формули, доведете това уравнение до уравнение, което може да бъде решено чрез методи I, II, III, IV.

Стъпка 2Решете полученото уравнение с помощта на известни методи.

Пример.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Способността и уменията за решаване на тригонометрични уравнения са много важно е, че тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

С решаването на тригонометрични уравнения са свързани много проблеми по стереометрия, физика и пр. Процесът на решаване на такива задачи, като че ли, съдържа много от знанията и уменията, които се придобиват при изучаване на елементите на тригонометрията.

Тригонометрични уравнениязаемат важно място в процеса на обучение по математика и развитието на личността като цяло.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от преподавател -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

При решаване на много математически проблеми, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно дефиниран. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът на успешното решаване на всяка от посочените задачи е следният: необходимо е да се установи какъв тип задача се решава, да се помни необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно успехът или неуспехът при решаването на даден проблем зависи главно от това доколко правилно е определен видът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи от неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Понякога е трудно да се определи неговият вид по външния вид на уравнение. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решим тригонометричното уравнение, трябва да опитаме:

Обмисли основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Схема на решение

Етап 1.Изразете тригонометричната функция чрез известни компоненти.

Стъпка 2Намерете аргумент на функцията с помощта на формули:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

тен x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3Намерете неизвестна променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Заместване на променлива

Схема на решение

Етап 1.Приведете уравнението в алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2Означете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения за t).

Стъпка 3Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4Направете обратна замяна.

Стъпка 5Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2 не удовлетворява условието |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за редуциране на реда уравнение

Схема на решение

Етап 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулите за намаляване на мощността:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

тен 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos2x + cos2x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Схема на решение

Етап 1.Приведете това уравнение във формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или към гледката

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и вземете уравнението за tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Стъпка 3Решете уравнението, като използвате известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 или t = -4, така че

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с помощта на тригонометрични формули

Схема на решение

Стъпка 2Решете полученото уравнение с помощта на известни методи.

Пример.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на обучение по математика и развитието на личността като цяло.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Формули за решаване на най-простите тригонометрични уравнения. Тригонометрични уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

Събиране и използване на лична информация

Разкриване на трети страни

Защита на личната информация

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

sinx = a

cos x = a

тен x = a

детско легло x = a

Променлива заместване и метод на заместване

Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Свеждане до хомогенно уравнение

Решаване на уравнения чрез преход към половин ъгъл

Въвеждане на спомагателен ъгъл