Най-простите тригонометрични уравнения за решението. Решаване на тригонометрични уравнения. Как да решим тригонометрично уравнение

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Въведение 2

Методи за решаване на тригонометрични уравнения 5

Алгебрична 5

Решаване на уравнения с помощта на условието за равенство за едноименни тригонометрични функции 7

Факторинг 8

Свеждане до хомогенно уравнение 10

Въведение на спомагателния ъгъл 11

Преобразуване на работата в сбор 14

Универсална замяна 14

Заключение 17

Въведение

До десети клас редът на действията на много упражнения, водещи до целта, като правило, е недвусмислено дефиниран. Например, линейни и квадратни уравненияи неравенства, дробни уравнения и уравнения, сводими до квадратни и др. Без да разглеждаме подробно принципа на решаване на всеки един от горните примери, нека отбележим кое е общото, което е необходимо за успешното им решаване.

В повечето случаи е необходимо да се установи към какъв тип задача принадлежи задачата, да се припомни последователността от действия, водещи до целта, и да се извършат тези действия. Очевидно успехът или неуспехът на ученика в овладяването на методите за решаване на уравнения зависи главно от това колко добре той е в състояние да определи правилно вида на уравнението и да запомни последователността на всички етапи от неговото решение. Разбира се, това предполага, че ученикът има уменията за изпълнение идентични трансформациии компютрите.

Съвсем различна ситуация възниква, когато ученик се сблъска с тригонометрични уравнения. В същото време не е трудно да се установи фактът, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при намирането на реда на действията, които биха довели до положителен резултат... И тук ученикът се сблъсква с два проблема. от външен видуравненията са трудни за определяне на вида. И без да знаете вида, е почти невъзможно да изберете правилната формула от няколко десетки налични.

За да помогнат на учениците да намерят правилния път в сложния лабиринт от тригонометрични уравнения, те първо се запознават с уравнения, които след въвеждане на нова променлива се редуцират до квадратни. След това хомогенните уравнения се решават и свеждат до тях. Всичко завършва, като правило, с уравнения, за решението на които е необходимо да се множи лявата страна, след което всеки от факторите се приравнява на нула.

Осъзнавайки, че една и половина дузина уравнения, анализирани в уроците, очевидно не са достатъчни, за да стартират ученика на самостоятелно пътуване по тригонометричното „море“, учителят добавя още няколко препоръки от себе си.

За да решите тригонометричното уравнение, трябва да опитате:

Намалете всички функции, включени в уравнението до "равни ъгли";

Намалете уравнението до "идентични функции";

Разложете лявата страна на уравнението и т.н.

Но въпреки познаването на основните видове тригонометрични уравнения и няколко принципа за намиране на тяхното решение, много ученици все още се намират в задънена улица пред всяко уравнение, което е малко по-различно от тези, които са били решени преди. Остава неясно към какво трябва да се стреми човек, имайки това или онова уравнение, защо в единия случай е необходимо да се прилагат формулите на двоен ъгъл, в другия - половината, а в третия - формулите за събиране и т.н.

Определение 1.Тригонометрично е уравнение, в което неизвестното се съдържа под знака на тригонометричните функции.

Определение 2.Казват, че тригонометричното уравнение има еднакви ъгли, ако всички тригонометрични функции, включени в него, имат равни аргументи. Твърди се, че тригонометричното уравнение има същите функции, ако съдържа само една от тригонометричните функции.

Определение 3.Степента на моном, съдържащ тригонометрични функции, е сумата от степените на степените на тригонометричните функции, включени в него.

Определение 4.Уравнението се нарича хомогенно, ако всички включени в него мономи имат еднаква степен. Тази степен се нарича ред на уравнението.

Определение 5.Тригонометрично уравнение, съдържащо само функции гряхи cos, се нарича хомогенна, ако всички мономи по отношение на тригонометричните функции имат същата степен, а самите тригонометрични функции имат равни ъгли и броят на мономиите е с 1 повече от реда на уравнението.

Методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Решаването на тригонометрични уравнения се състои от два етапа: трансформиране на уравнението, за да се получи най-простата му форма и решаване на полученото най-просто тригонометрично уравнение. Има седем основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.

аз. Алгебричен метод.Този метод е добре познат от алгебрата. (Променлива заместване и метод на заместване).

Решаване на уравнения.

Нека представим нотацията х=2 грях3 T, получаваме

Решавайки това уравнение, получаваме:
или

тези. може да се напише

При записване на полученото решение поради наличието на знаци степен
няма смисъл да се записва.

Отговор:

Ние означаваме

Получаваме квадратното уравнение
... Неговите корени са числа
и
... Ето защо дадено уравнениесе свежда до най-простите тригонометрични уравнения
и
... Решавайки ги, намираме това
или
.

Отговор:
;
.

Ние означаваме

не отговаря на условието

Средства

Отговор:

Нека трансформираме лявата страна на уравнението:

По този начин това начално уравнение може да бъде записано като:

, т.е.

Чрез определяне
, получаваме
След като решихме това квадратно уравнение, имаме:

не отговаря на условието

Записваме решението на оригиналното уравнение:

Отговор:

Заместване
свежда това уравнение до квадратно уравнение
... Неговите корени са числа
и
... Защото
, то даденото уравнение няма корени.

Отговор: няма корени.

II... Решаване на уравнения, използвайки условието за равенство на същите тригонометрични функции.

а)
, ако

б)
, ако

v)
, ако

Използвайки тези условия, разгледайте решението на следните уравнения:

Използвайки казаното в част а), откриваме, че уравнението има решение тогава и само ако
.

Решавайки това уравнение, намираме
.

Имаме две групи решения:

.

7) Решете уравнението:
.

Използвайки условие b), извеждаме това
.

Решавайки тези квадратни уравнения, получаваме:

8) Решете уравнението
.

От това уравнение извеждаме, че. Решавайки това квадратно уравнение, намираме, че

.

III... Факторизация.

Разглеждаме този метод чрез примери.

9) Решете уравнението
.

Решение. Преместете всички членове на уравнението наляво:.

Трансформирайте и разложете израза от лявата страна на уравнението:
.

1)
2)

Защото
и
не приемайте стойността нула

едновременно, тогава разделяме и двете части

уравнения за
,

Отговор:

10) Решете уравнението:

Решение.

или

Отговор:

11) Решете уравнението

Решение:

1)
2)
3)

Отговор:

IV... Свеждане до хомогенно уравнение.

Разрешавам хомогенно уравнениенеобходимо:

Преместете всичките му членове на лявата страна;

Преместете всички общи фактори извън скоби;

Задайте всички фактори и скоби на нула;

Скобите, приравнени на нула, дават хомогенно уравнение от по-малка степен, което трябва да бъде разделено на
(или
) в висша степен;

Решете полученото алгебрично уравнениеотносително
.

Нека разгледаме някои примери:

12) Решете уравнението:

Решение.

Разделете двете страни на уравнението на
,

Представяне на нотацията
, на име

корени на това уравнение:

следователно 1)
2)

Отговор:

13) Решете уравнението:

Решение. Използвайки формулите за двоен ъгъл и основната тригонометрична идентичност, ние намаляваме това уравнение до половин аргумент:

След като намалим подобни термини, имаме:

Разделяне на последното хомогенно уравнение на
, получаваме

ще посоча
, получаваме квадратното уравнение
чиито корени са числата

Поради това

Изразяване
изчезва при
, т.е. в
,
.

Нашето решение на уравнението не включва тези числа.

Отговор:
, .

V... Въвеждане на спомагателен ъгъл.

Помислете за уравнение на формата

Където а, б, в- коефициенти, х- незнайният.

Разделяме двете страни на това уравнение на

Сега коефициентите на уравнението имат свойствата на синус и косинус, а именно: модулът на всеки от тях не надвишава единица, а сумата от техните квадрати е 1.

Тогава можем да ги обозначим съответно
(тук - спомагателен ъгъл) и нашето уравнение приема формата:.

Тогава

И неговото решение

Имайте предвид, че въведените обозначения са взаимно заменяеми.

14) Решете уравнението:

Решение. Тук
, така че разделяме двете страни на уравнението на

Отговор:

15) Решете уравнението

Решение. Защото
, то това уравнение е еквивалентно на уравнението

Защото
, тогава има ъгъл такъв, че
,
(тези.
).

Ние имаме

Защото
, тогава най-накрая получаваме:

Забележете, че уравнение от формата има решение тогава и само ако

16) Решете уравнението:

За да решим това уравнение, ние групираме тригонометрични функции със същите аргументи

Разделете двете страни на уравнението на две

Преобразуваме сумата от тригонометрични функции в продукт:

Отговор:

VI... Преобразуване на произведение в сума.

Тук се използват съответните формули.

17) Решете уравнението:

Решение. Преобразувайте лявата страна в сумата:

VII.Генерична замяна.

тези формули са верни за всички

Заместване
наречен универсален.

18) Решете уравнението:

Решение: Сменете и
до тяхното изразяване чрез
и обозначават
.

Получаваме рационалното уравнение
който се превръща в квадрат
.

Корените на това уравнение са числата
.

Следователно проблемът се свежда до решаване на две уравнения
.

Ние намираме това
.

Вижте стойността
не удовлетворява оригиналното уравнение, което се проверява чрез проверка - заместване на тази стойност Tв оригиналното уравнение.

Отговор:
.

Коментирайте. Уравнение 18 може да бъде решено по различен начин.

Разделете двете страни на това уравнение на 5 (т.е
):
.

Защото
, тогава има такъв номер
, Какво
и
... Следователно уравнението приема формата:
или
... От това откриваме, че
където
.

19) Решете уравнението
.

Решение. Тъй като функциите
и
имат най-голямата стойност, равна на 1, тогава тяхната сума е равна на 2, ако
и
, едновременно, т.е
.

Отговор:
.

При решаването на това уравнение е използвана ограничеността на функциите и.

Заключение.

Работейки по темата "Решения на тригонометрични уравнения", е полезно всеки учител да следва следните препоръки:

Да се систематизират методи за решаване на тригонометрични уравнения.

Изберете сами стъпките за извършване на анализа на уравнението и признаците за целесъобразността на използването на един или друг метод на решение.

Помислете за начините за самоконтрол на дейността им за прилагане на метода.

Научете се да съставяте „своите“ уравнения за всеки от изучаваните методи.

Приложение 1

Решаване на хомогенни или хомогенни уравнения.

1.	Респ.
	Респ.

	Респ.
5.	Респ.
	Респ.
7.	Респ.
	Респ.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато оставите заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да Ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме тези програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходящата трета страна – правоприемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е безопасна, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

Урок по комплексно приложение на знанията.

Цели на урока.

Обмисли различни методирешения на тригонометрични уравнения.
Развиване на креативността на учениците чрез решаване на уравнения.
Насърчаване на учениците към самоконтрол, взаимен контрол, самоанализ на учебната им дейност.

Оборудване: екран, проектор, справочни материали.

По време на занятията

Встъпителен разговор.

Основният метод за решаване на тригонометрични уравнения е свеждането им до най-простото. В такъв случай, конвенционални начини, например, факторизации, както и техники, използвани само за решаване на тригонометрични уравнения. Има доста от тези техники, например различни тригонометрични замествания, трансформации на ъгли, трансформации на тригонометрични функции. Безразборното прилагане на каквито и да е тригонометрични трансформации обикновено не опростява уравнението, а го усложнява катастрофално. За да тренирате в общо очертаниеплан за решаване на уравнението, очертайте начина за свеждане на уравнението до най-простото, първо трябва да анализирате ъглите - аргументите на тригонометричните функции, включени в уравнението.

Днес ще говорим за методи за решаване на тригонометрични уравнения. Правилно избраният метод често позволява значително да се опрости решението, следователно всички методи, които сме изучавали, трябва винаги да се съхраняват в зоната на нашето внимание, за да се реши тригонометрични уравнениянай-подходящия метод.

II. (С помощта на проектора повтаряме методите за решаване на уравнения.)

1. Методът за свеждане на тригонометрично уравнение до алгебрично.

Необходимо е да се изразят всички тригонометрични функции в термините на една, с един и същ аргумент. Това може да се направи с помощта на основната тригонометрична идентичност и нейните последици. Нека получим уравнение с една тригонометрична функция. Приемайки го като ново неизвестно, получаваме алгебрично уравнение. Откриваме нейните корени и се връщаме към старото неизвестно, решавайки най-простите тригонометрични уравнения.

2. Метод на факторизация.

За промяна на ъглите често са полезни формулите за преобразуване, сумата и разликата на аргументите, както и формулите за преобразуване на сумата (разликата) на тригонометричните функции в произведение и обратно.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Метод за въвеждане на допълнителен ъгъл.

4. Метод за използване на универсално заместване.

Уравнения от вида F (sinx, cosx, tgx) = 0 се редуцират до алгебрични с помощта на универсалното тригонометрично заместване

Чрез изразяване на синус, косинус и тангенс по отношение на тангенса на половин ъгъл. Този трик може да доведе до уравнение от по-висок порядък. Решението на което е трудно.

Тригонометричните уравнения не са най-лесната тема. Болезнено те са разнообразни.) Например такива:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

и т.н...

Но тези (и всички други) тригонометрични чудовища имат две общи и задължителни характеристики. Първото - няма да повярвате - в уравненията има тригонометрични функции.) Второ: всички изрази с x се намират вътре в същите тези функции.И само там! Ако x се появи някъде навън,например, sin2x + 3x = 3,това вече ще бъде уравнение смесен тип... Такива уравнения изискват индивидуален подход. Тук няма да ги разглеждаме.

В този урок също няма да решаваме лоши уравнения.) Тук ще се занимаваме най-простите тригонометрични уравнения.Защо? Да, защото решението всякаквитригонометричните уравнения имат два етапа. На първия етап уравнението на злото се свежда до просто чрез различни трансформации. При второто това най-просто уравнение е решено. Няма друг начин.

Така че, ако имате проблеми на втория етап, първият няма много смисъл.)

Как изглеждат елементарните тригонометрични уравнения?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Тук а обозначава произволно число. Всеки.

Между другото, вътре във функцията може да няма чисто x, а някакъв вид израз, като например:

cos (3x + π / 3) = 1/2

и т.н. Това усложнява живота, но не се отразява на метода за решаване на тригонометричното уравнение.

Как се решават тригонометрични уравнения?

Тригонометричните уравнения могат да бъдат решени по два начина. Първи начин: използване на логика и тригонометричен кръг. Тук ще разгледаме този път. Вторият начин - използване на памет и формули - ще бъде обсъден в следващия урок.

Първият начин е ясен, надежден и трудно се забравя.) Той е добър за решаване на тригонометрични уравнения, неравенства и всякакви трудни нестандартни примери. Логиката е по-силна от паметта!)

Решаване на уравнения с помощта на тригонометричния кръг.

Включваме елементарна логика и възможността за използване на тригонометричния кръг. Не знам как!? Обаче... Трудно ти е в тригонометрията...) Но няма значение. Разгледайте уроците "Тригонометричен кръг ...... Какво е това?" и "Изброяване на ъгли върху тригонометричен кръг". Там всичко е просто. За разлика от уроци...)

О, знаеш ли!? И дори овладя "Практическа работа с тригонометричния кръг"!? Честито. Тази тема ще ви бъде близка и разбираема.) Това, което е особено приятно, тригонометричният кръг не се интересува кое уравнение решавате. Синус, косинус, тангенс, котангенс - всичко е едно за него. Има само един принцип на решение.

Така че вземаме всяко елементарно тригонометрично уравнение. Поне това:

cosx = 0,5

Трябва да намерим X. В човешки план имате нужда намерете ъгъла (x), чийто косинус е 0,5.

Как използвахме кръга по-рано? Начертахме ъгъл върху него. В градуси или радиани. И веднага видяно тригонометрични функции на този ъгъл. Сега нека направим обратното. Нека начертаем косинус равен на 0,5 върху кръга и веднага виж инжекция. Остава само да запишете отговора.) Да, да!

Начертайте кръг и маркирайте косинус 0,5. По оста на косинус, разбира се. Като този:

Сега нека начертаем ъгъла, който ни дава този косинус. Преместете курсора на мишката върху чертежа (или докоснете снимката на таблета) и вижточно този ъгъл NS

Какъв ъгъл е косинус 0,5?

х = π / 3

cos 60°= cos ( π / 3) = 0,5

Някой ще се засмее скептично, да ... Казват, струваше ли си кръга, когато всичко вече е ясно ... Можете, разбира се, да се смеете ...) Но факт е, че това е грешен отговор. Или по-скоро недостатъчно. Ценителите на кръга разбират, че тук все още има цял куп ъгли, които също дават косинус, равен на 0,5.

Ако завъртите подвижната страна на OA пълен оборот, точка А ще се върне в първоначалното си положение. Със същия косинус, равен на 0,5. Тези. ъгълът ще се промени 360 ° или 2π радиана, и косинус не е.Новият ъгъл 60 ° + 360 ° = 420 ° също ще бъде решението на нашето уравнение, тъй като

Можете да навивате безкраен брой такива пълни завои... И всички тези нови ъгли ще бъдат решения на нашето тригонометрично уравнение. И всички те трябва по някакъв начин да бъдат записани в отговор. Всичко.В противен случай решението не се брои, да ...)

Математиката знае как да направи това по прост и елегантен начин. В един кратък отговор пишете безкраен наборрешения. Ето как изглежда за нашето уравнение:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

ще дешифрирам. Все пак пиши смисленопо-приятно от глупаво рисуване на някакви мистериозни букви, нали?)

π / 3 - това е същият ъгъл, в който и ние трионна кръга и идентифициранспоред таблицата на косинусите.

2π е един пълен оборот в радиани.

н е броят на пълните, т.е. цялареволюции. Ясно е, че н може да бъде 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... и така нататък. Което е посочено кратка бележка:

n ∈ Z

н принадлежи ( ∈ ) към набора от цели числа ( З ). Между другото, вместо писмото н букви могат да се използват k, m, t и т.н.

Този запис означава, че можете да вземете всяко цяло н ... Най-малко -3, поне 0, поне +55. Какво искаш. Ако включите това число в отговора си, ще получите конкретен ъгъл, който определено ще реши нашето сурово уравнение.)

Или, с други думи, х = π / 3 е единственият корен от безкрайното множество. За да получите всички останали корени, достатъчно е да добавите произволен брой пълни обороти към π / 3 ( н ) в радиани. Тези. 2π n радиан.

Всичко? Не. Умишлено разтягам удоволствието. За да го запомним по-добре.) Получихме само част от отговорите на нашето уравнение. Ще напиша тази първа част от решението, както следва:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не един корен, това е цяла поредица от корени, написани в кратка форма.

Но има и ъгли, които също дават косинус от 0,5!

Да се върнем към нашата снимка, която беше използвана за записване на отговора. Ето я:

Задръжте курсора на мишката върху снимката и виждруг ъгъл, който също дава косинус от 0,5.На какво според вас е равно? Триъгълниците са еднакви... Да! То е равно на ъгъла NS , върнат само в отрицателна посока. Това е ъгълът -NS. Но ние вече разбрахме х. π / 3 или 60°. Следователно можем спокойно да напишем:

x 2 = - π / 3

Е, разбира се, добавяме всички ъгли, които се получават чрез пълни обороти:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко.) В тригонометричния кръг ние трион(който разбира, разбира се)) всичкоъгли, даващи косинус, равен на 0,5. И те написаха тези ъгли в кратка математическа форма. Отговорът произведе две безкрайни серии от корени:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Това е правилният отговор.

надежда, общ принцип за решаване на тригонометрични уравненияизползването на кръг е ясно. Отбелязваме върху окръжността косинуса (синус, тангенс, котангенс) от даденото уравнение, начертаваме съответстващите му ъгли и записваме отговора.Разбира се, трябва да разберете какви ъгли сме трионна кръга. Понякога не е толкова очевидно. Е, така че казах, че тук е необходима логика.)

Например, нека разгледаме друго тригонометрично уравнение:

Моля, имайте предвид, че числото 0,5 не е единственото възможно число в уравненията!) Просто ми е по-удобно да го напиша, отколкото корени и дроби.

Работим по общия принцип. Начертайте кръг, маркирайте (по оста на синуса, разбира се!) 0,5. Начертаваме наведнъж всички ъгли, съответстващи на този синус. Нека получим следната картина:

Първо се занимавайте с ъгъла NS през първото тримесечие. Припомняме таблицата на синусите и определяме стойността на този ъгъл. Това е прост въпрос:

х = π / 6

Спомняме си пълните завои и с чиста съвест записваме първата серия от отговори:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Наполовина готово. Но сега трябва да дефинираме втори ъгъл...Това е по-хитро, отколкото в косинусите, да... Но логиката ще ни спаси! Как да определим втория ъгъл през х? Да Лесно! Триъгълниците на снимката са еднакви, а червеният ъгъл NS равно на ъгъла NS ... Само той се измерва от ъгъла π в отрицателна посока. Следователно е червено.) И за отговора ни трябва ъгъл, измерен правилно, от положителната полуос OX, т.е. от ъгъл от 0 градуса.

Задръжте курсора на мишката върху снимката и вижте всичко. Премахнах първия ъгъл, за да не усложнявам картината. Ъгълът, който ни интересува (начертан в зелено) ще бъде равен на:

π - x

X ние го знаем π / 6 ... Следователно вторият ъгъл ще бъде:

π - π / 6 = 5π / 6

Отново припомняме добавянето на пълни обороти и записваме втората серия от отговори:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко. Пълният отговор се състои от две серии корени:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Уравнения с допирателна и котангенс могат лесно да бъдат решени с помощта на същия общ принцип за решаване на тригонометрични уравнения. Ако, разбира се, знаете как да рисувате допирателна и котангенс върху тригонометричен кръг.

В примерите по-горе използвах таблицата със стойности на синус и косинус: 0,5. Тези. едно от онези значения, които ученикът знае трябва да.Сега нека разширим възможностите си до всички други стойности.Решете, така че решете!)

И така, да кажем, че трябва да решим това тригонометрично уравнение:

В късите таблици няма такава стойност на косинус. Ние хладнокръвно игнорираме този ужасен факт. Начертайте кръг, маркирайте 2/3 върху оста на косинус и начертайте съответните ъгли. Получаваме точно такава картина.

Нека го разберем, като начало, с ъгъл през първата четвърт. Ако знаех какво е Х, щяха да запишат отговора веднага! Не знаем ... Провал !? Спокоен! Математиката не изоставя своето в беда! Тя измисли арккосинуси за този случай. Не знам? Напразно. Разберете, това е много по-лесно, отколкото си мислите. Под тази връзка няма нито едно хитро заклинание за "обратните тригонометрични функции" ... Това е излишно в тази тема.

Ако сте наясно, достатъчно е да си кажете: "X е ъгълът, чийто косинус е 2/3". И веднага, чисто по дефиницията на аркосинус, можете да напишете:

Припомняме допълнителни завои и спокойно записваме първата серия от корени на нашето тригонометрично уравнение:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Втората серия от корени също се записва почти автоматично за втория ъгъл. Всичко е същото, само x (arccos 2/3) ще бъде с минус:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И това е всичко! Това е правилният отговор. Дори по-лесно, отколкото със стойности в таблицата. Не е нужно да помните нищо.) Между другото, най-внимателният ще забележи, че тази картина с решението през обратния косинус по същество не се различава от картината за уравнението cosx = 0,5.

Точно! Общ принципза това и генерално! Специално нарисувах две почти еднакви картини. Кръгът ни показва ъгъла NS по неговия косинус. Таблицата е косинус, или не - кръгът не знае. Какъв е този ъгъл, π / 3, или какъв вид обратен косинус - това зависи от нас.

Със синус същата песен. Например:

Начертайте отново кръга, маркирайте синуса, равен на 1/3, начертайте ъглите. Картината изглежда така:

И отново картината е почти същата като за уравнението sinx = 0,5.Отново започнете от ъгъла през първата четвърт. Какво е x, ако синусът му е 1/3? Няма проблем!

Така че първата опаковка от корени е готова:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Занимаваме се с втория ъгъл. В примера със стойност на таблицата 0,5 беше:

π - x

Така че тук ще бъде абсолютно същото! Само x е различно, arcsin 1/3. И какво тогава!? Можете спокойно да запишете втория пакет корени:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Това е абсолютно правилен отговор. Въпреки че не изглежда много познато. Но е разбираемо, надявам се.)

Ето как се решават тригонометричните уравнения с помощта на окръжност. Този път е ясен и разбираем. Той е този, който спестява в тригонометрични уравнения с избор на корени на даден интервал, в тригонометрични неравенства - те обикновено се решават почти винаги в кръг. Накратко, във всякакви задачи, които са малко по-трудни от стандартните.

Да приложим знанията си на практика?)

Решете тригонометрични уравнения:

Отначало е по-просто, още от този урок.

Сега по-трудно.

Съвет: Тук трябва да помислите за кръга. Лично.)

И сега те са външно непретенциозни ... Те също се наричат специални случаи.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Съвет: тук трябва да разберете в кръг, където има две серии от отговори и къде е един ... И как да запишете един вместо две серии от отговори. Да, за да не се загуби нито един корен от безкрайното число!)

Е, много простички):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Съвет: тук трябва да знаете какво е арксинус, арккосинус? Какво е дъгова допирателна, дъга котангенс? Повечето прости дефиниции... Но не е нужно да помните каквито и да било стойности на таблицата!)

Отговорите, разбира се, са бъркотия):

х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2

Не всичко се получава? Случва се. Прочетете урока отново. Само замислено(има такъв остаряла дума...) И следвайте връзките. Основните връзки са за кръга. Без него в тригонометрията е все едно да пресичаш пътя с превръзка на очите. Понякога работи.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

много математически проблеми, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно дефиниран. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът на успешното решаване на всяка една от посочените задачи е следният: необходимо е да се установи какъв тип проблем трябва да бъде решен, да се запомни необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т.е. отговорете и следвайте тези стъпки.

Очевидно е, че успехът или неуспехът при решаването на даден проблем зависи най-вече от това доколко правилно е определен видът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи от неговото решение. Разбира се, необходимо е да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.

Различна е ситуацията с тригонометрични уравнения.Установяването на факта, че уравнението е тригонометрично не е никак трудно. Възникват трудности при определянето на последователността от действия, които биха довели до правилния отговор.

Появата на уравнение понякога може да бъде трудно да се определи неговият тип. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете желаното от няколко десетки тригонометрични формули.

За да решите тригонометричното уравнение, трябва да опитате:

1. привеждане на всички функции, включени в уравнението, до "равни ъгли";
2. да доведе уравнението до „едни и същи функции“;
3. множител на лявата страна на уравнението и т.н.

Обмисли основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.

I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения

Схема на решение

Етап 1.експресно тригонометрична функциячрез познати компоненти.

Стъпка 2.Намерете аргумента на функция по формулите:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Стъпка 3.Намерете неизвестна променлива.

Пример.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Решение.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Отговор: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Заместване на променлива

Схема на решение

Етап 1.Приведете уравнението в алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.

Стъпка 2.Означете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения за t).

Стъпка 3.Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.

Стъпка 4.Направете обратна подмяна.

Стъпка 5.Решете най-простото тригонометрично уравнение.

Пример.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Решение.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x / 2) = t, където | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2, не отговаря на условието | t | ≤ 1.

4) sin (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за редуциране на реда уравнение

Схема на решение

Етап 1.Заменете даденото уравнение с линейно, като за това използвате формулите за намаляване на степените:

sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Стъпка 2.Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Отговор: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогенни уравнения

Схема на решение

Етап 1.Приведете това уравнение във формата

а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)

или на ум

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).

Стъпка 2.Разделете двете страни на уравнението на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и вземете уравнението за tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b арктан x + c = 0.

Стъпка 3.Решете уравнението, като използвате известни методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Тогава нека tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 или t = -4, така че

tg x = 1 или tg x = -4.

От първото уравнение x = π / 4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Отговор: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод за преобразуване на уравнение с помощта на тригонометрични формули

Схема на решение

Етап 1.Използване на всякакви видове тригонометрични формули, приведете това уравнение към уравнението, решено по методи I, II, III, IV.

Стъпка 2.Решете полученото уравнение по известни методи.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

От първото уравнение 2x = π / 2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.

Имаме x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; от второто уравнение x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

В резултат на това x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Отговор: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Способността за решаване на тригонометрични уравнения е много важно, тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.

С решаването на тригонометрични уравнения са свързани много проблеми на стереометрията, физиката и пр. Процесът на решаване на такива задачи, като че ли, съдържа много знания и умения, които се придобиват при изучаване на елементите на тригонометрията.

Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на обучение по математика и развитието на личността като цяло.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.