Пълно намалено квадратно уравнение. Онлайн калкулатор. Решаване на квадратно уравнение

Тази тема може да изглежда сложна в началото поради многото не толкова прости формули. Самите квадратни уравнения не само имат дълги записи, но и корените се намират чрез дискриминанта. Има общо три нови формули. Не е много лесно за запомняне. Това е възможно само след честото решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами.

Общ изглед на квадратното уравнение

Тук се предлага тяхното изрично обозначение, когато първо се записва най-голямата степен, а след това - в низходящ ред. Често има ситуации, когато термините стоят отделно. Тогава е по-добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.

Нека въведем нотация. Те са представени в таблицата по-долу.

Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следната нотация.

Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула се обозначи с номер едно.

Когато е дадено уравнението, не е ясно колко корена ще има в отговора. Защото винаги е възможна една от трите опции:

• разтворът ще има два корена;
• отговорът ще бъде едно число;
• Уравнението изобщо няма корени.

И докато решението не е доведено до края, е трудно да се разбере кой от вариантите ще изпадне в конкретен случай.

Видове записи на квадратни уравнения

Задачите може да имат различни записи. Те не винаги ще изглеждат като общата формула на квадратно уравнение. Понякога ще му липсват някои термини. Това, което беше написано по-горе, е пълното уравнение. Ако премахнете втория или третия термин в него, получавате нещо различно. Тези записи се наричат ​​още квадратни уравнения, само че непълни.

Освен това могат да изчезнат само термините, за които коефициентите "b" и "c". Числото "а" не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълния вид на уравненията ще бъдат както следва:

И така, има само два вида, освен пълни, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората - номер три.

Дискриминантът и зависимостта на броя на корените от неговата стойност

Това число трябва да се знае, за да се изчислят корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, без значение каква е формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по-долу, което ще има числото четири.

След като замените стойностите на коефициентите в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. При отрицателно число корените на квадратното уравнение ще отсъстват. Ако е равно на нула, отговорът ще бъде единица.

Как се решава пълно квадратно уравнение?

Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминанта. След като се изясни, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формулите за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите такава формула.

Тъй като съдържа знака „±“, ще има две стойности. Изразът под знака квадратен корен е дискриминантът. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.

Формула пет. От същия запис може да се види, че ако дискриминантът е нула, тогава и двата корена ще приемат едни и същи стойности.

Ако решението на квадратните уравнения все още не е разработено, тогава е по-добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да причини затруднения. Но в самото начало има объркване.

Как се решава непълно квадратно уравнение?

Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И няма да имате нужда от вече написани за дискриминантното и непознатото.

Първо, разгледайте непълното уравнение номер две. В това равенство се предполага да се извади неизвестната стойност от скобата и да се реши линейното уравнение, което ще остане в скобите. Отговорът ще има два корена. Първият е задължително равен на нула, тъй като има фактор, състоящ се от самата променлива. Второто се получава чрез решаване на линейно уравнение.

Непълното уравнение на номер три се решава чрез прехвърляне на числото от лявата страна на уравнението в дясната. След това трябва да разделите на коефициента пред неизвестното. Остава само да извлечете квадратния корен и не забравяйте да го запишете два пъти с противоположни знаци.

Следват някои действия, които ви помагат да се научите как да решавате всички видове равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне грешки поради невнимание. Тези недостатъци са причина за слабите оценки при изучаване на обширната тема „Квадрични уравнения (8 клас)”. Впоследствие тези действия няма да е необходимо да се извършват постоянно. Защото ще има стабилен навик.

• Първо трябва да напишете уравнението в стандартен вид. Тоест първо членът с най-голяма степен на променливата, а след това - без степента и последното - само число.

• Ако пред коефициента "a" се появи минус, тогава това може да усложни работата на начинаещ да изучава квадратни уравнения. По-добре е да се отървете от него. За тази цел цялото равенство трябва да се умножи по "-1". Това означава, че всички термини ще променят знака на противоположния.

• По същия начин се препоръчва да се отървете от фракциите. Просто умножете уравнението по подходящия фактор, така че знаменателите да се компенсират.

Примери

Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Първото уравнение: x 2 - 7x \u003d 0. То е непълно, следователно се решава, както е описано за формула номер две.

След поставяне на скоби се оказва: x (x - 7) = 0.

Първият корен приема стойността: x 1 \u003d 0. Вторият ще бъде намерен от линейното уравнение: x - 7 = 0. Лесно е да се види, че x 2 = 7.

Второ уравнение: 5x2 + 30 = 0. Отново непълно. Само то се решава както е описано за третата формула.

След като прехвърлите 30 в дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числа: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Трето уравнение: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Тук и по-долу решението на квадратни уравнения ще започне, като ги пренапише в стандартен вид: - x 2 - 2x + 15 = 0. Сега е време да използвате второто полезен съвет и умножете всичко по минус едно. Оказва се x 2 + 2x - 15 = 0. Според четвъртата формула трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 \u003d 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да бъдат изчислени по петата формула. Според него се оказва, че x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 = 3, x 2 = - 5.

Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x = 0 се преобразува в това: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: „Няма корени“.

Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че ще има един корен, а именно: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Шестото уравнение (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да донесете подобни членове, преди да отворите скобите. На мястото на първия ще има такъв израз: x 2 + 2x + 1. След равенство ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като се преброят подобни членове, уравнението ще придобие формата: x 2 - x \u003d 0. Стана непълна. Подобно на него вече се счита за малко по-високо. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.

Дискриминантът е двусмислен термин. Тази статия ще се фокусира върху дискриминанта на полином, който ви позволява да определите дали даден полином има реални решения. Формулата за квадратен полином се намира в училищния курс по алгебра и анализ. Как да намерим дискриминанта? Какво е необходимо за решаване на уравнението?

Нарича се квадратен полином или уравнение от втора степен i * w ^ 2 + j * w + k равно на 0, където "i" и "j" са първият и вторият коефициент, съответно, "k" е константа, понякога наричана "прихващане" и "w" е променлива. Неговите корени ще бъдат всички стойности на променливата, при които тя се превръща в идентичност. Такова равенство може да се пренапише като произведението на i, (w - w1) и (w - w2) равно на 0. В този случай е очевидно, че ако коефициентът "i" не изчезне, тогава функцията на лявата страна ще стане нула само ако x приеме стойността w1 или w2. Тези стойности са резултат от задаване на полинома на нула.

За да се намери стойността на променлива, при която квадратният полином изчезва, се използва спомагателна конструкция, изградена върху нейните коефициенти и наречена дискриминант. Тази конструкция се изчислява по формулата D е равно на j * j - 4 * i * k. Защо се използва?

1. Тя казва дали има валидни резултати.
2. Тя помага да ги изчислим.

Как тази стойност показва наличието на реални корени:

• Ако е положително, тогава можете да намерите два корена в областта на реалните числа.
• Ако дискриминантът е нула, тогава и двете решения са еднакви. Можем да кажем, че има само едно решение и то от областта на реалните числа.
• Ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава полиномът няма реални корени.

Опции за изчисление за фиксиране на материала

За сума (7 * w^2; 3 * w; 1), равна на 0изчисляваме D по формулата 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 получаваме -19. Дискриминантна стойност под нулата показва, че няма резултати на реалната линия.

Ако считаме 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 еквивалентно на 0, тогава D се изчислява като (-3) на квадрат минус произведението на числата (4; 2; 1) и е равно на 9 - 8, тоест 1. Положителната стойност показва два резултата на реалната линия.

Ако вземем сумата (w^2; 2 * w; 1) и се равняваме на 0, D се изчислява като два на квадрат минус произведението на числата (4; 1; 1). Този израз ще се опрости до 4 - 4 и ще се превърне в нула. Оказва се, че резултатите са еднакви. Ако се вгледате внимателно в тази формула, ще стане ясно, че това е „пълен квадрат“. Това означава, че равенството може да се пренапише във вида (w + 1) ^ 2 = 0. Стана очевидно, че резултатът в тази задача е “-1”. В ситуация, когато D е равно на 0, лявата част на равенството винаги може да бъде свита по формулата „квадрат на сумата“.

Използване на дискриминанта за изчисляване на корени

Тази спомагателна конструкция не само показва броя на реалните решения, но и помага за намирането им. Общата формула за изчисляване на уравнението от втора степен е както следва:

w = (-j +/- d) / (2 * i), където d е дискриминантът на степен 1/2.

Да предположим, че дискриминантът е под нулата, тогава d е въображаемо и резултатите са въображаеми.

D е нула, тогава d равно на D на степен 1/2 също е нула. Решение: -j / (2 * i). Като се има предвид отново 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, намираме резултати, еквивалентни на -2 / (2 * 1) = -1.

Да предположим, че D > 0, така че d е реално число и отговорът тук се разделя на две части: w1 = (-j + d) / (2 * i) и w2 = (-j - d) / (2 * i) . И двата резултата ще бъдат валидни. Нека разгледаме 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Тук дискриминантът и d са единици. Така w1 е (3 + 1) разделено на (2 * 2) или 1, а w2 е (3 - 1), разделено на 2 * 2 или 1/2.

Резултатът от приравняването на квадратен израз към нула се изчислява според алгоритъма:

1. Определяне на броя на валидните решения.
2. Изчисляване d = D^(1/2).
3. Намиране на резултата по формулата (-j +/- d) / (2 * i).
4. Замяна на получения резултат в начално равенство за проверка.

Някои специални случаи

В зависимост от коефициентите решението може да бъде донякъде опростено. Очевидно, ако коефициентът пред променливата на втора степен е нула, тогава се получава линейно равенство. Когато коефициентът пред променливата е нула спрямо първата степен, тогава са възможни две опции:

1. полиномът се разширява в разликата на квадратите с отрицателен свободен член;
2. за положителна константа не могат да се намерят реални решения.

Ако свободният член е нула, тогава корените ще бъдат (0; -j)

Но има и други специални случаи, които опростяват намирането на решение.

Намалено уравнение от втора степен

Даденото се наричатакъв квадратен трином, където коефициентът пред най-големия член е единица. За тази ситуация е приложима теоремата на Виета, която гласи, че сумата от корените е равна на коефициента на променливата на първа степен, умножен по -1, а произведението съответства на константата "k".

Следователно w1 + w2 е равно на -j и w1 * w2 е равно на k, ако първият коефициент е единица. За да проверим правилността на такова представяне, можем да изразим w2 = -j - w1 от първата формула и да го заместим във второто равенство w1 * (-j - w1) = k. Резултатът е първоначалното равенство w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Важно е да се отбележиче i * w ^ 2 + j * w + k = 0 може да бъде намалено чрез разделяне на "i". Резултатът ще бъде: w^2 + j1 * w + k1 = 0, където j1 е равно на j/i и k1 е равно на k/i.

Нека разгледаме вече решените 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 с резултатите w1 = 1 и w2 = 1/2. Необходимо е да го разделим наполовина, в резултат на това w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Нека проверим дали условията на теоремата са верни за намерените резултати: 1 + 1/2 = 3/2 и 1 * 1/2 = 1 /2.

Дори втори фактор

Ако факторът на променливата на първа степен (j) се дели на 2, тогава ще бъде възможно да се опрости формулата и да се търси решение чрез една четвърт от дискриминанта D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. оказва се, че w = (-j +/- d/2) / i, където d/2 = D/4 на степен 1/2.

Ако i = 1 и коефициентът j е четен, тогава решението е произведението на -1 и половината от коефициента в променливата w, плюс/минус коренът на квадрата на тази половина, минус константата "k". Формула: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Дискриминант от по-висок порядък

Дискриминантът от втора степен, разгледан по-горе, е най-често използваният специален случай. В общия случай дискриминантът на полином е умножените квадрати на разликите на корените на този полином. Следователно, дискриминант, равен на нула, показва наличието на поне две множество решения.

Помислете за i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Да кажем, че дискриминантът е по-голям от нула. Това означава, че има три корена в областта на реалните числа. При нула има множество решения. Ако Д< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Видео

Нашето видео ще ви разкаже подробно за изчисляването на дискриминанта.

Не получихте отговор на въпроса си? Предложете тема на авторите.

Продължаваме да изучаваме темата решение на уравнения". Вече се запознахме с линейните уравнения и сега ще се запознаем с квадратни уравнения.

Първо, ще обсъдим какво е квадратно уравнение, как се записва в общ вид и ще дадем свързани дефиниции. След това, използвайки примери, ще анализираме подробно как се решават непълни квадратни уравнения. След това преминаваме към решаване на пълни уравнения, получаваме формулата за корените, запознаваме се с дискриминанта на квадратно уравнение и разглеждаме решения на типични примери. Накрая проследяваме връзките между корените и коефициентите.

Навигация в страницата.

Какво е квадратно уравнение? Техните видове

Първо трябва ясно да разберете какво е квадратно уравнение. Следователно е логично да започнем да говорим за квадратни уравнения с дефиницията на квадратно уравнение, както и определения, свързани с него. След това можете да разгледате основните видове квадратни уравнения: редуцирани и нередуцирани, както и пълни и непълни уравнения.

Дефиниция и примери за квадратни уравнения

Определение.

Квадратно уравнениее уравнение на формата a x 2 +b x+c=0, където x е променлива, a , b и c са някои числа, а a е различно от нула.

Да кажем веднага, че квадратните уравнения често се наричат ​​уравнения от втора степен. Това е така, защото квадратното уравнение е алгебрично уравнениевтора специалност.

Озвучената дефиниция ни позволява да дадем примери за квадратни уравнения. Така че 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 и т.н. са квадратни уравнения.

Определение.

Числа a , b и c се наричат коефициенти на квадратното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, а коефициентът a се нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b е вторият коефициент или коефициент при x, а c е свободен член.

Например, нека вземем квадратно уравнение от вида 5 x 2 −2 x−3=0, тук водещият коефициент е 5, вторият коефициент е −2, а свободният член е −3. Имайте предвид, че когато коефициентите b и/или c са отрицателни, както в току-що дадения пример, се използва кратката форма на квадратното уравнение от вида 5 x 2 −2 x−3=0, а не 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Струва си да се отбележи, че когато коефициентите a и / или b са равни на 1 или −1, тогава те обикновено не присъстват изрично в записа на квадратното уравнение, което се дължи на особеностите на записа на такива . Например, в квадратното уравнение y 2 −y+3=0, водещият коефициент е единица, а коефициентът при y е −1.

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

В зависимост от стойността на водещия коефициент се разграничават редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Извиква се квадратно уравнение, в което водещият коефициент е 1 намалено квадратно уравнение. В противен случай квадратното уравнение е ненамалени.

Според това определение квадратните уравнения x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 и т.н. - намалени, във всеки един от тях първият коефициент е равен на единица. И 5 x 2 −x−1=0 и т.н. - нередуцирани квадратни уравнения, техните водещи коефициенти са различни от 1 .

От всяко нередуцирано квадратно уравнение, като разделите двете му части на водещия коефициент, можете да преминете към редуцираното. Това действие е еквивалентна трансформация, тоест полученото по този начин редуцирано квадратно уравнение има същите корени като оригиналното нередуцирано квадратно уравнение или подобно на него няма корени.

Да вземем пример как се извършва преходът от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример.

От уравнението 3 x 2 +12 x−7=0 преминете към съответното намалено квадратно уравнение.

Решение.

Достатъчно е да извършим разделянето на двете части на оригиналното уравнение с водещ коефициент 3, той е различен от нула, така че можем да извършим това действие. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , което е същото като (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 и т.н. (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , откъдето . Така получихме редуцираното квадратно уравнение, което е еквивалентно на първоначалното.

Отговор:

Пълни и непълни квадратни уравнения

Има условие a≠0 в дефиницията на квадратно уравнение. Това условие е необходимо, за да може уравнението a x 2 +b x+c=0 да бъде точно квадратно, тъй като с a=0 то всъщност става линейно уравнение от вида b x+c=0 .

Що се отнася до коефициентите b и c, те могат да бъдат равни на нула, както поотделно, така и заедно. В тези случаи квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение.

Квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 се нарича непълен, ако поне един от коефициентите b , c е равен на нула.

На свой ред

Определение.

Пълно квадратно уравнениее уравнение, в което всички коефициенти са различни от нула.

Тези имена не са дадени случайно. Това ще стане ясно от следващата дискусия.

Ако коефициентът b е равен на нула, тогава квадратното уравнение приема формата a x 2 +0 x+c=0 и е еквивалентно на уравнението a x 2 +c=0 . Ако c=0 , тоест квадратното уравнение има формата a x 2 +b x+0=0 , тогава то може да бъде пренаписано като a x 2 +b x=0 . И с b=0 и c=0 получаваме квадратното уравнение a·x 2 =0. Получените уравнения се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви страни не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Оттук и името им – непълни квадратни уравнения.

Така че уравненията x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0,2=0 са примери за пълни квадратни уравнения, а x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

От информацията от предходния параграф следва, че има три вида непълни квадратни уравнения:

• a x 2 =0 , отговарят му коефициентите b=0 и c=0;
• a x 2 +c=0, когато b=0;
• и a x 2 +b x=0, когато c=0 .

Нека анализираме по ред как се решават непълните квадратни уравнения на всеки от тези видове.

a x 2 = 0

Нека започнем с решаването на непълни квадратни уравнения, в които коефициентите b и c са равни на нула, тоест с уравнения от вида a x 2 =0. Уравнението a·x 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0, което се получава от оригинала чрез разделяне на двете му части на ненулево число a. Очевидно коренът на уравнението x 2 \u003d 0 е нула, тъй като 0 2 = 0. Това уравнение няма други корени, което е обяснено, наистина, за всяко ненулево число p се изпълнява неравенството p 2 >0, което означава, че за p≠0 равенството p 2 =0 никога не се постига.

И така, непълното квадратно уравнение a x 2 \u003d 0 има един корен x = 0.

Като пример даваме решението на непълно квадратно уравнение −4·x 2 =0. То е еквивалентно на уравнението x 2 = 0, единственият му корен е x = 0, следователно оригиналното уравнение има един корен нула.

Кратко решение в този случай може да бъде издадено, както следва:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Сега разгледайте как се решават непълни квадратни уравнения, в които коефициентът b е равен на нула, а c≠0, тоест уравнения от вида a x 2 +c=0. Знаем, че прехвърлянето на член от едната страна на уравнението в другата с противоположен знак, както и разделянето на двете страни на уравнението с число, различно от нула, дават еквивалентно уравнение. Следователно могат да се извършат следните еквивалентни трансформации на непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0:

• преместете c в дясната страна, което дава уравнението a x 2 =−c,
• и разделяме двете му части на a , получаваме .

Полученото уравнение ни позволява да направим изводи за неговите корени. В зависимост от стойностите на a и c, стойността на израза може да бъде отрицателна (например, ако a=1 и c=2, тогава ) или положителна, (например, ако a=−2 и c=6 , тогава ), не е равно на нула , тъй като по условие c≠0 . Отделно ще анализираме случаите и .

Ако , тогава уравнението няма корени. Това твърдение следва от факта, че квадратът на всяко число е неотрицателно число. От това следва, че когато , Тогава за всяко число p равенството не може да бъде вярно.

Ако , тогава ситуацията с корените на уравнението е различна. В този случай, ако си припомним около, тогава коренът на уравнението веднага става очевиден, това е числото, тъй като. Лесно е да се отгатне, че числото е и коренът на уравнението , наистина, . Това уравнение няма други корени, които могат да бъдат показани например чрез противоречие. Хайде да го направим.

Нека означим току-що озвучените корени на уравнението като x 1 и −x 1 . Да предположим, че уравнението има друг корен x 2, различен от посочените корени x 1 и −x 1 . Известно е, че заместването в уравнението вместо x на неговите корени превръща уравнението в истинско числово равенство. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Свойствата на числовите равенства ни позволяват да извършваме почленно изваждане на истинските числови равенства, така че изваждането на съответните части от равенствата дава x 1 2 − x 2 2 =0. Свойствата на операциите с числа ни позволяват да пренапишем полученото равенство като (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Знаем, че произведението на две числа е равно на нула, ако и само ако поне едно от тях е равно на нула. Следователно от полученото равенство следва, че x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0 , което е същото, x 2 =x 1 и/или x 2 = −x 1 . И така, стигнахме до противоречие, тъй като в началото казахме, че коренът на уравнението x 2 е различен от x 1 и −x 1 . Това доказва, че уравнението няма други корени освен и .

Нека обобщим информацията в този параграф. Непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0 е еквивалентно на уравнението , което

• няма корени, ако,
• има два корена и ако .

Разгледайте примери за решаване на непълни квадратни уравнения от вида a·x 2 +c=0 .

Нека започнем с квадратното уравнение 9 x 2 +7=0 . След прехвърляне на свободния член в дясната страна на уравнението, той ще приеме формата 9·x 2 =−7. Разделяйки двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до . Тъй като от дясната страна се получава отрицателно число, това уравнение няма корени, следователно, оригиналното непълно квадратно уравнение 9 x 2 +7=0 няма корени.

Нека решим още едно непълно квадратно уравнение −x 2 +9=0. Прехвърляме деветката в дясната страна: -x 2 = -9. Сега разделяме двете части на −1, получаваме x 2 =9. Дясната страна съдържа положително число, от което заключаваме, че или . След като запишем крайния отговор: непълното квадратно уравнение −x 2 +9=0 има два корена x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Остава да се заемем с решението на последния тип непълни квадратни уравнения за c=0 . Непълни квадратни уравнения от вида a x 2 +b x=0 ви позволяват да решите метод на факторизация. Очевидно можем, разположени от лявата страна на уравнението, за което е достатъчно да извадим общия множител x от скобите. Това ни позволява да преминем от първоначалното непълно квадратно уравнение към еквивалентно уравнение от вида x·(a·x+b)=0 . И това уравнение е еквивалентно на набора от две уравнения x=0 и a x+b=0 , последното от които е линейно и има корен x=−b/a .

И така, непълното квадратно уравнение a x 2 +b x=0 има два корена x=0 и x=−b/a.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Изваждаме x от скоби, това дава уравнението. То е еквивалентно на две уравнения x=0 и . Решаваме полученото линейно уравнение: , и след разделяне на смесеното число на обикновена дроб, намираме . Следователно корените на оригиналното уравнение са x=0 и .

След като получите необходимата практика, решенията на такива уравнения могат да бъдат написани накратко:

Отговор:

x=0 , .

Дискриминант, формула на корените на квадратно уравнение

За решаване на квадратни уравнения има коренна формула. Да запишем формулата на корените на квадратното уравнение: , където D=b 2 −4 a c- т.нар дискриминант на квадратно уравнение. Нотацията по същество означава, че .

Полезно е да се знае как е получена коренната формула и как се прилага при намирането на корените на квадратните уравнения. Нека се справим с това.

Извеждане на формулата на корените на квадратно уравнение

Нека трябва да решим квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 . Нека извършим някои еквивалентни трансформации:

• Можем да разделим и двете части на това уравнение на ненулево число a, в резултат на което получаваме редуцираното квадратно уравнение.
• Сега изберете пълен квадратот лявата му страна: . След това уравнението ще приеме формата.
• На този етап е възможно да се извърши прехвърлянето на последните два члена в дясната страна с противоположен знак, имаме .
• И нека трансформираме израза от дясната страна: .

В резултат на това стигаме до уравнението , което е еквивалентно на оригиналното квадратно уравнение a·x 2 +b·x+c=0 .

Вече сме решавали уравнения, подобни по форма в предишните параграфи, когато анализирахме. Това ни позволява да направим следните заключения относно корените на уравнението:

• ако , тогава уравнението няма реални решения;
• ако , тогава уравнението има формата , Следователно, , от който се вижда единственият му корен;
• ако , тогава или , което е същото като или , тоест уравнението има два корена.

По този начин наличието или отсъствието на корените на уравнението, а оттам и на оригиналното квадратно уравнение, зависи от знака на израза от дясната страна. От своя страна знакът на този израз се определя от знака на числителя, тъй като знаменателят 4 a 2 винаги е положителен, тоест знакът на израза b 2 −4 a c . Този израз b 2 −4 a c се нарича дискриминант на квадратно уравнениеи отбелязани с буквата д. От тук нататък е ясна същността на дискриминанта – по неговата стойност и знак се заключава дали квадратното уравнение има реални корени и ако да, какъв е техният брой – един или два.

Връщаме се към уравнението , пренаписваме го, използвайки нотацията на дискриминанта: . И заключаваме:

• ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ако D=0, тогава това уравнение има единичен корен;
• накрая, ако D>0, тогава уравнението има два корена или , които могат да бъдат пренаписани във формата или , и след разширяване и намаляване на дробите до общ знаменател, получаваме .

Така че изведохме формулите за корените на квадратното уравнение, те изглеждат като , където дискриминантът D се изчислява по формулата D=b 2 −4 a c .

С тяхна помощ, с положителен дискриминант, можете да изчислите и двата реални корена на квадратно уравнение. Когато дискриминантът е равен на нула, и двете формули дават една и съща коренна стойност, съответстваща на единственото решение на квадратното уравнение. А при отрицателен дискриминант, когато се опитваме да използваме формулата за корените на квадратно уравнение, се сблъскваме с извличането на квадратния корен от отрицателно число, което ни отвежда извън обхвата на училищната програма. С отрицателен дискриминант, квадратното уравнение няма реални корени, но има двойка комплексен конюгаткорени, които могат да бъдат намерени с помощта на същите коренни формули, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

На практика, когато решавате квадратно уравнение, можете веднага да използвате коренната формула, с която да изчислите техните стойности. Но това е повече за намиране на сложни корени.

В училищния курс по алгебра обаче обикновено говорим не за комплексни, а за реални корени на квадратно уравнение. В този случай е препоръчително първо да намерите дискриминанта, преди да използвате формулите за корените на квадратното уравнение, да се уверите, че е неотрицателен (в противен случай можем да заключим, че уравнението няма реални корени) и след това изчислете стойностите на корените.

Горните разсъждения ни позволяват да пишем алгоритъм за решаване на квадратно уравнение. За да решите квадратното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, трябва:

• използвайки дискриминантната формула D=b 2 −4 a c изчисляване на нейната стойност;
• заключават, че квадратното уравнение няма реални корени, ако дискриминантът е отрицателен;
• изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата, ако D=0;
• намерете два реални корена на квадратно уравнение, като използвате коренната формула, ако дискриминантът е положителен.

Тук само отбелязваме, че ако дискриминантът е равен на нула, формулата също може да се използва, тя ще даде същата стойност като .

Можете да преминете към примери за прилагане на алгоритъма за решаване на квадратни уравнения.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Помислете за решения на три квадратни уравнения с положителен, отрицателен и нулев дискриминант. След като се занимаваме с тяхното решение, по аналогия ще бъде възможно да се реши всяко друго квадратно уравнение. Да започваме.

Пример.

Намерете корените на уравнението x 2 +2 x−6=0 .

Решение.

В този случай имаме следните коефициенти на квадратното уравнение: a=1 , b=2 и c=−6 . Според алгоритъма първо трябва да изчислите дискриминанта, за това заместваме посочените a, b и c в дискриминантната формула, имаме D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Тъй като 28>0, тоест дискриминантът е по-голям от нула, квадратното уравнение има два реални корена. Нека ги намерим по формулата на корените , получаваме , тук можем да опростим изразите, получени, като направим отчитане на знака на коренапоследвано от намаляване на фракцията:

Отговор:

Нека да преминем към следващия типичен пример.

Пример.

Решете квадратното уравнение −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започваме с намирането на дискриминанта: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Следователно това квадратно уравнение има един корен, който намираме като , т.е.

Отговор:

х=3,5.

Остава да разгледаме решението на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант.

Пример.

Решете уравнението 5 y 2 +6 y+2=0 .

Решение.

Ето коефициентите на квадратното уравнение: a=5 , b=6 и c=2 . Замествайки тези стойности в дискриминантната формула, имаме D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Дискриминантът е отрицателен, следователно, това квадратно уравнение няма реални корени.

Ако трябва да посочите сложни корени, тогава ние използваме добре познатата формула за корените на квадратното уравнение и изпълняваме операции с комплексни числа:

Отговор:

няма реални корени, сложните корени са: .

Още веднъж отбелязваме, че ако дискриминантът на квадратното уравнение е отрицателен, тогава училището обикновено веднага записва отговора, в който посочват, че няма реални корени и не намират сложни корени.

Формула за корен за четни втори коефициенти

Формулата за корените на квадратно уравнение , където D=b 2 −4 a c ви позволява да получите по-компактна формула, която ви позволява да решавате квадратни уравнения с четен коефициент при x (или просто с коефициент, който изглежда като 2 n , например, или 14 ln5=2 7 ln5). Да я извадим.

Да кажем, че трябва да решим квадратно уравнение от вида a x 2 +2 n x + c=0 . Нека намерим корените му, използвайки познатата ни формула. За да направим това, изчисляваме дискриминанта D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), а след това използваме коренната формула:

Означете израза n 2 −a c като D 1 (понякога се обозначава D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n приема формата , където D 1 =n 2 −a c .

Лесно е да се види, че D=4·D 1 или D 1 =D/4. С други думи, D 1 е четвъртата част на дискриминанта. Ясно е, че знакът на D 1 е същият като знакът на D . Тоест, знакът D 1 също е индикатор за наличието или отсъствието на корените на квадратното уравнение.

И така, за да решите квадратно уравнение с втория коефициент 2 n, имате нужда

• Изчислете D 1 =n 2 −a·c ;
• Ако D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ако D 1 =0, тогава изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата;
• Ако D 1 >0, тогава намерете два реални корена с помощта на формулата.

Помислете за решението на примера, като използвате формулата за корен, получена в този параграф.

Пример.

Решете квадратното уравнение 5 x 2 −6 x−32=0 .

Решение.

Вторият коефициент на това уравнение може да бъде представен като 2·(−3) . Това означава, че можете да пренапишете оригиналното квадратно уравнение във формата 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , тук a=5 , n=−3 и c=−32 , и да изчислите четвъртата част от дискриминанта: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Тъй като стойността му е положителна, уравнението има два реални корена. Намираме ги с помощта на съответната коренова формула:

Имайте предвид, че е възможно да се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай ще трябва да се направи повече изчислителна работа.

Отговор:

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога, преди да се заемете с изчисляването на корените на квадратно уравнение с помощта на формули, не пречи да зададете въпроса: „Възможно ли е да се опрости формата на това уравнение“? Съгласете се, че по отношение на изчисленията ще бъде по-лесно да се реши квадратното уравнение 11 x 2 −4 x −6=0, отколкото 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Обикновено опростяването на формата на квадратното уравнение се постига чрез умножаване или разделяне на двете му страни на някакво число. Например, в предишния параграф успяхме да постигнем опростяване на уравнението 1100 x 2 −400 x −600=0 чрез разделяне на двете страни на 100 .

Подобно преобразуване се извършва с квадратни уравнения, чиито коефициенти не са . В този случай и двете части на уравнението обикновено се разделят на абсолютните стойности на неговите коефициенти. Например, нека вземем квадратното уравнение 12 x 2 −42 x+48=0. абсолютни стойности на неговите коефициенти: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Разделяйки двете части на оригиналното квадратно уравнение на 6 , стигаме до еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 −7 x+8=0 .

И умножението на двете части на квадратното уравнение обикновено се прави, за да се отървем от дробни коефициенти. В този случай умножението се извършва върху знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако и двете части на квадратното уравнение се умножат по LCM(6, 3, 1)=6 , тогава то ще приеме по-проста форма x 2 +4 x−18=0 .

В заключение на този параграф отбелязваме, че почти винаги се отървете от минус при най-високия коефициент на квадратното уравнение, като промените знаците на всички членове, което съответства на умножаване (или разделяне) на двете части по −1. Например, обикновено от квадратното уравнение −2·x 2 −3·x+7=0 се преминава към решението 2·x 2 +3·x−7=0 .

Връзка между корени и коефициенти на квадратно уравнение

Формулата за корените на квадратно уравнение изразява корените на едно уравнение по отношение на неговите коефициенти. Въз основа на формулата на корените можете да получите други връзки между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими формули от теоремата на Виета за формата и . По-специално, за даденото квадратно уравнение, сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е свободният член. Например, чрез формата на квадратното уравнение 3 x 2 −7 x+22=0, веднага можем да кажем, че сумата от корените му е 7/3, а произведението на корените е 22/3.

Използвайки вече написаните формули, можете да получите редица други отношения между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например, можете да изразите сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение по отношение на неговите коефициенти: .

Библиография.

• алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Квадратните уравнения често се появяват при решаване на различни задачи по физика и математика. В тази статия ще разгледаме как да решим тези равенства по универсален начин "чрез дискриминанта". В статията са дадени и примери за използване на придобитите знания.

За какви уравнения говорим?

Фигурата по-долу показва формула, в която x е неизвестна променлива, а латинските знаци a, b, c представляват някои известни числа.

Всеки от тези символи се нарича коефициент. Както можете да видите, числото "a" е пред квадратната променлива x. Това е максималната мощност на представения израз, поради което се нарича квадратно уравнение. Често се използва друго име: уравнение от втори ред. Самата стойност a е квадратен коефициент (възвеждащ в квадрат променливата), b е линеен коефициент (той е до променливата, повдигната на първа степен), и накрая числото c е свободен член.

Обърнете внимание, че формата на уравнението, показана на фигурата по-горе, е общ класически квадратичен израз. В допълнение към него има и други уравнения от втори ред, в които коефициентите b, c могат да бъдат нула.

Когато задачата е поставена за решаване на разглежданото равенство, това означава, че трябва да се намерят такива стойности на променливата x, които да я удовлетворят. Първото нещо, което трябва да запомните тук, е следното: тъй като максималната мощност на x е 2, този тип израз не може да има повече от 2 решения. Това означава, че ако при решаването на уравнението са намерени 2 x стойности, които го удовлетворяват, тогава можете да сте сигурни, че няма 3-то число, замествайки което вместо x, равенството също би било вярно. Решенията на едно уравнение в математиката се наричат ​​негови корени.

Методи за решаване на уравнения от втори ред

Решаването на уравнения от този тип изисква познаване на някаква теория за тях. В училищния курс по алгебра се разглеждат 4 различни метода за решаване. Нека ги изброим:

• използване на факторизация;
• използване на формулата за идеалния квадрат;
• прилагане на графиката на съответната квадратична функция;
• използвайки дискриминантното уравнение.

Предимството на първия метод е неговата простота, но не може да се приложи към всички уравнения. Вторият метод е универсален, но малко тромав. Третият метод се отличава със своята яснота, но не винаги е удобен и приложим. И накрая, използването на дискриминантното уравнение е универсален и доста прост начин за намиране на корените на абсолютно всяко уравнение от втори ред. Следователно в статията ще разгледаме само него.

Формула за получаване на корените на уравнението

Нека се обърнем към общата форма на квадратното уравнение. Нека го запишем: a*x²+ b*x + c =0. Преди да използвате метода за решаването му „чрез дискриминанта“, равенството винаги трябва да се свежда до писмена форма. Тоест, той трябва да се състои от три члена (или по-малко, ако b или c е 0).

Например, ако има израз: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², тогава първо трябва да прехвърлите всички негови членове на едната страна на равенството и да добавите термините, съдържащи променливата x в същото правомощия.

В този случай тази операция ще доведе до следния израз: -6*x²-4*x+8=0, което е еквивалентно на уравнението 6*x²+4*x-8=0 (тук сме умножили левия и десните страни на уравнението с -1) .

В примера по-горе, a = 6, b=4, c=-8. Имайте предвид, че всички членове на разглежданото равенство винаги се сумират помежду си, следователно, ако се появи знакът "-", това означава, че съответният коефициент е отрицателен, като числото c в този случай.

След като анализираме тази точка, сега се обръщаме към самата формула, която прави възможно получаването на корените на квадратно уравнение. Изглежда като снимката по-долу.

Както се вижда от този израз, той ви позволява да получите два корена (трябва да обърнете внимание на знака "±"). За да направите това, достатъчно е да замените в него коефициентите b, c и a.

Концепцията за дискриминант

В предишния параграф беше дадена формула, която ви позволява бързо да решите всяко уравнение от втори ред. В него радикалният израз се нарича дискриминант, тоест D \u003d b²-4 * a * c.

Защо тази част от формулата е отделена и дори има ли собствено име? Факт е, че дискриминантът свързва и трите коефициента на уравнението в един израз. Последният факт означава, че той изцяло носи информация за корените, която може да бъде изразена със следния списък:

1. D>0: равенството има 2 различни решения, като и двете са реални числа.
2. D=0: Уравнението има само един корен и това е реално число.

Задачата за определяне на дискриминанта

Ето един прост пример как да намерите дискриминанта. Нека е дадено следното равенство: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Нека го доведем до стандартната форма, получаваме: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, от което стигаме до равенство : -2*x² +2*x-11 = 0. Тук a=-2, b=2, c=-11.

Сега можете да използвате наречената формула за дискриминанта: D = 2² - 4 * (-2) * (-11) = -84. Полученото число е отговорът на задачата. Тъй като дискриминантът в примера е по-малък от нула, можем да кажем, че това квадратно уравнение няма реални корени. Неговото решение ще бъде само числа от сложен тип.

Пример за неравенство чрез дискриминанта

Нека решим задачи от малко по-различен тип: дадено е равенството -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо е да се намерят такива стойности на c, за които D>0.

В този случай са известни само 2 от 3 коефициента, така че няма да е възможно да се изчисли точната стойност на дискриминанта, но се знае, че той е положителен. Използваме последния факт при съставянето на неравенството: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решението на полученото неравенство води до резултата: c>-3.

Нека проверим полученото число. За да направите това, изчисляваме D за 2 случая: c=-2 и c=-4. Числото -2 удовлетворява резултата (-2>-3), съответният дискриминант ще има стойност: D = 12>0. От своя страна числото -4 не удовлетворява неравенството (-4 По този начин всички числа c, които са по-големи от -3, ще удовлетворят условието.

Пример за решаване на уравнение

Ето един проблем, който се състои не само в намирането на дискриминанта, но и в решаването на уравнението. Необходимо е да се намерят корените на равенството -2*x²+7-9*x = 0.

В този пример дискриминантът е равен на следната стойност: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогава корените на уравнението се определят, както следва: x = (9±√137)/(- 4). Това са точните стойности на корените, ако изчислите корена приблизително, тогава получавате числата: x = -5,176 и x = 0,676.

геометричен проблем

Нека решим задача, която ще изисква не само умението за изчисляване на дискриминанта, но и използването на умения за абстрактно мислене и познания за писане на квадратни уравнения.

Боб имаше завивка 5 х 4 метра. Момчето искаше да шие непрекъсната лента от красива тъкан по целия периметър. Колко дебела ще бъде тази лента, ако се знае, че Боб има 10 m² плат.

Нека лентата има дебелина x m, тогава площта на тъканта по дългата страна на одеялото ще бъде (5 + 2 * x) * x и тъй като има 2 дълги страни, имаме: 2 * x * (5 + 2 * x). От късата страна площта на ушитата тъкан ще бъде 4*x, тъй като има 2 от тези страни, получаваме стойността 8*x. Имайте предвид, че 2*x е добавено към дългата страна, защото дължината на юргана се е увеличила с това число. Общата площ на тъканта, зашита към одеялото, е 10 m². Следователно получаваме равенството: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

За този пример дискриминантът е: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Неговият корен е 22. Използвайки формулата, намираме желаните корени: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0,5). Очевидно от двата корена само числото 0,5 е подходящо за условието на задачата.

Така лентата плат, която Боб пришива към одеялото си, ще бъде широка 50 см.

Да работим с квадратни уравнения. Това са много популярни уравнения! В най-общата си форма квадратното уравнение изглежда така:

Например:

Тук а =1; б = 3; ° С = -4

Тук а =2; б = -0,5; ° С = 2,2

Тук а =-3; б = 6; ° С = -18

Е, схванахте идеята...

Как се решават квадратни уравнения?Ако имате квадратно уравнение в тази форма, тогава всичко е просто. Запомнете вълшебната дума дискриминанта . Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „решете чрез дискриминанта“ е успокояваща и успокояваща. Защото няма нужда да чакате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно. И така, формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака корен е същият дискриминанта. Както можете да видите, за да намерим x, ние използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите а, б и вв тази формула и обмислете. Заместител с вашите знаци! Например за първото уравнение а =1; б = 3; ° С= -4. Тук пишем:

Примерът е почти решен:

Това е всичко.

Какви случаи са възможни при използване на тази формула? Има само три случая.

1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че можете да извлечете корена от него. Дали коренът е извлечен добре или лошо е друг въпрос. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Строго погледнато, това не е един корен, но две еднакви. Но това играе роля при неравенствата, където ще проучим въпроса по-подробно.

3. Дискриминантът е отрицателен. Отрицателно число не взема корен квадратен. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Всичко е много просто. И как мислите, не можете да сбъркате? Е, да, как...
Най-честите грешки са объркване със знаците на ценностите а, б и в. Или по-скоро не с техните знаци (къде да се бърка?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук се записва подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, Така че, го направи!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

Тук а = -6; b = -5; c=-1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броя на грешките ще спадне рязко. Затова пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но само изглежда. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добре, бързо или правилно? Освен това ще те зарадвам. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Просто ще се окаже правилно. Особено ако прилагате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси ще се реши лесно и без грешки!

Така, как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който запомнихме. Или научени, което също е добре. Можете ли да идентифицирате правилно а, б и в. Знаете ли как внимателнозаменете ги в основната формула и внимателнопребройте резултата. Разбрахте ли, че ключовата дума тук е - внимателно?

Въпреки това, квадратните уравнения често изглеждат малко по-различно. Например, като това:

Това е непълни квадратни уравнения . Те могат да бъдат решени и чрез дискриминанта. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук а, б и в.

Осъзнах? В първия пример а = 1; b = -4;а ° С? Въобще не съществува! Е, да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е всичко. Заменете нула във формулата вместо ° С,и всичко ще ни се получи. Аналогично и с втория пример. Само нула тук нямаме с, а б !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никаква дискриминация. Помислете за първото непълно уравнение. Какво може да се направи от лявата страна? Можете да извадите X от скобите! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че произведението е равно на нула, и само ако някой от факторите е равен на нула! Не вярвате? Е, тогава измислете две различни от нула числа, които, когато се умножат, ще дадат нула!
Не работи? нещо...
Следователно можем уверено да напишем: х = 0, или х = 4

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете си пасват. Когато заместим някое от тях в оригиналното уравнение, получаваме правилното тъждество 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто, отколкото чрез дискриминанта.

Второто уравнение също може лесно да бъде решено. Преместваме 9 в дясната страна. Получаваме:

Остава да извлечем корена от 9 и това е всичко. Вземете:

също два корена . x = +3 и x = -3.

Така се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез изваждане на X от скоби, или чрез просто прехвърляне на числото вдясно, последвано от извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези методи. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби ...

Сега обърнете внимание на практическите техники, които драстично намаляват броя на грешките. Точно тези, които се дължат на невнимание... За което тогава е болезнено и обидно...

Първи прием. Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение, за да го приведете в стандартен вид. Какво означава това?
Да предположим, че след всякакви трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете формулата на корените! Почти сигурно ще объркате шансовете а, б и в.Изградете примера правилно. Първо, x на квадрат, след това без квадрат, след това свободен член. Като този:

И отново, не бързайте! Минусът преди х на квадрат може да ви разстрои много. Забравянето е лесно... Отърви се от минуса. Как? Да, както се преподава в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

И сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите примера. Решете сами. Трябва да завършите с корени 2 и -1.

Втори прием.Проверете корените си! Според теоремата на Виета. Не се притеснявай, ще ти обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, с която записахме формулата на корените. Ако (както в този пример) коефициентът а = 1, проверете корените лесно. Достатъчно е да ги умножите. Трябва да получите безплатен срок, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! безплатен член с твоя знак . Ако не се получи, това означава, че вече са се объркали някъде. Потърсете грешка. Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да е съотношение бс противоположно знак. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент б, което е преди x, е равно на -1. Значи всичко е точно!
Жалко, че е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете в такива уравнения! Ще има по-малко грешки.

Прием трети. Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общия знаменател, както е описано в предишния раздел. Когато работите с дроби, грешки, по някаква причина, се изкачват ...

Между другото обещах зъл пример с куп минуси за опростяване. Вие сте добре дошъл! Ето го и него.

За да не се бъркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Решаването е забавно!

Така че нека обобщим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартния вид, изграждаме го право.

2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния коефициент.

4. Ако х на квадрат е чисто, коефициентът за него е равен на единица, решението може лесно да се провери с теоремата на Виета. Направи го!

Дробни уравнения. ОДЗ.

Продължаваме да усвояваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Остава последният изглед дробни уравнения. Или те също се наричат ​​много по-солидни - дробни рационални уравнения. Това е същото.

Дробни уравнения.

Както подсказва името, тези уравнения задължително съдържат дроби. Но не само дроби, а дроби, които имат неизвестен в знаменателя. Поне в един. Например:

Нека ви напомня, ако само в знаменателите числа, това са линейни уравнения.

Как да решим дробни уравнения? На първо място, отървете се от дробите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим... В някои случаи може да се превърне в идентичност, като 5=5 или неправилен израз, като 7=2. Но това се случва рядко. По-долу ще го спомена.

Но как да се отървем от дроби!? Много просто. Прилагане на всички същите идентични трансформации.

Трябва да умножим цялото уравнение по същия израз. Така че всички знаменатели намаляват! Всичко веднага ще стане по-лесно. Обяснявам с пример. Да кажем, че трябва да решим уравнението:

Как ги учеха в началното училище? Прехвърляме всичко в една посока, свеждаме го до общ знаменател и т.н. Забравете колко лош сън! Това е, което трябва да направите, когато добавяте или изваждате дробни изрази. Или работете с неравенства. И в уравненията веднага умножаваме двете части по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?

От лявата страна, за да намалите знаменателя, трябва да умножите по х+2. А отдясно се изисква умножение по 2. Значи, уравнението трябва да се умножи по 2(x+2). Ние умножаваме:

Това е обичайното умножение на дроби, но ще напиша подробно:

Моля, имайте предвид, че все още не отварям скобите. (x + 2)! И така, в неговата цялост, аз го пиша:

От лявата страна тя е намалена изцяло (x+2), а в дясно 2. Както се изисква! След намаляване получаваме линеенуравнението:

Всеки може да реши това уравнение! х = 2.

Нека решим друг пример, малко по-сложен:

Ако си спомним, че 3 = 3/1, и 2x = 2x/ 1 може да се запише:

И отново се отърваваме от това, което всъщност не харесваме - от дроби.

Виждаме, че за да намалим знаменателя с x, е необходимо дробът да се умножи по (x - 2). И единиците не са ни пречка. Е, нека умножим. всичколявата страна и всичкоправилната страна:

Отново скоби (x - 2)не разкривам. Работя със скобата като цяло, все едно е едно число! Това винаги трябва да се прави, в противен случай нищо няма да бъде намалено.

С чувство на дълбоко удовлетворение режем (x - 2)и получаваме уравнението без никакви дроби, в линийка!

И сега отваряме скобите:

Даваме подобни, прехвърляме всичко от лявата страна и получаваме:

Класическо квадратно уравнение. Но минусът напред не е добър. Винаги можете да се отървете от него, като умножите или разделите на -1. Но ако погледнете отблизо примера, ще забележите, че е най-добре да разделите това уравнение на -2! С един замах минусът ще изчезне, а коефициентите ще станат по-хубави! Разделяме на -2. От лявата страна - член по член, а отдясно - просто разделете нула на -2, нула и вземете:

Решаваме чрез дискриминанта и проверяваме според теоремата на Виета. Получаваме x=1 и x=3. Два корена.

Както можете да видите, в първия случай уравнението след трансформацията стана линейно, а тук то е квадратно. Случва се, че след като се отървем от дроби, всички x са намалени. Остава нещо, като 5=5. Означава, че x може да бъде всичко. Каквото и да е, пак ще бъде намалено. И вземете чистата истина, 5=5. Но след като се отървете от дроби, може да се окаже напълно невярно, като 2=7. И това означава, че никакви решения! При произволен x се оказва невярно.

Реализиран основният начин за решаване дробни уравнения? Това е просто и логично. Променяме оригиналния израз, така че всичко, което не ни харесва, да изчезне. Или се намесват. В този случай това са дроби. Ще направим същото с всякакви сложни примери с логаритми, синуси и други ужаси. ние винагище се отървем от всичко това.

Трябва обаче да променим оригиналния израз в посоката, от която се нуждаем според правилата, да ... Разработката на която е подготовката за изпита по математика. Тук се учим.

Сега ще научим как да заобиколим един от основните засади на изпита! Но първо да видим дали ще попаднете в него или не?

Да вземем прост пример:

Материята вече е позната, умножаваме и двете части по (x - 2), получаваме:

Запомнете, със скоби (x - 2)работим като с един интегрален израз!

Тук вече не написах този в знаменателите, недостойно ... И не рисувах скоби в знаменателите, освен за х - 2няма нищо, не можеш да рисуваш. Съкращаваме:

Отваряме скобите, преместваме всичко наляво, даваме подобни:

Решаваме, проверяваме, получаваме два корена. х = 2и х = 3. Глоба.

Да предположим, че задачата казва да се запише коренът или тяхната сума, ако има повече от един корен. Какво ще пишем?

Ако решите, че отговорът е 5, вие попаднаха в засада. И задачата няма да се брои за вас. Напразно работиха... Правилният отговор е 3.

Какъв е проблема?! И се опитваш да провериш. Заменете стойностите на неизвестното в оригиналенпример. И ако при х = 3всичко расте заедно чудесно, получаваме 9 = 9, след това с х = 2разделете на нула! Това, което абсолютно не може да се направи. Средства х = 2не е решение и не се взема предвид в отговора. Това е така нареченият външен или допълнителен корен. Просто го изхвърляме. Има само един краен корен. х = 3.

Как така?! Чувам възмутени възклицания. Научиха ни, че едно уравнение може да се умножи по израз! Това е същата трансформация!

Да, идентични. При малко условие - изразът, по който умножаваме (делим) - различен от нула. НО х - 2в х = 2равно на нула! Така че всичко е честно.

И сега какво мога да направя?! Да не се умножава по израз? Проверявате ли всеки път? Отново неясно!

Спокойно! Без паника!

В тази трудна ситуация три магически букви ще ни спасят. Знам какво си мислеше. Правилно! Това е ОДЗ . Област на валидни стойности.