Преобразуване на целочислени изрази. Урок „Алгебрични дроби, рационални и дробни изрази

“Полиномен урок” - И проверете: 2. Извършете умножението на полиномите: 4. Извършете разделянето на полинома A (x) на B (x). 3. Разложете полинома на множители. 1. Извършете събиране и изваждане на полиноми: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 и Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Действия с полиноми. Урок 15

„Преобразуване на целочислен израз в полином“ – Развийте изчислителните умения на учениците. Въведете концепцията за цял израз. Преобразуване на целочислени изрази. Полиномите и по-специално мономите са целочислени изрази. Упражнявайте учениците да въвеждат подобни термини. Примери за целочислени изрази са: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+2c)) /5+2.5ac.

"Полиномно умножение" - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. Презентация. Позиционният номер на полином. Умножение на полиноми с помощта на позиционно число. Рябов Павел Юриевич. Ръководител: Калетурина А.С.

„Полином със стандартна форма“ – Стандартната форма на полином. Примери. 3x4 + 2x3 - x2 + 5. Събиране на полиноми. Подготовка за с/р No6. Речник. Глава 2, §1б. За полиноми с една буква водещият член е еднозначно дефиниран. Тествай се. 6x4 - x3y + x2y2 + 2y4.

"Полиноми" - Един моном се счита за полином, състоящ се от един член. Изваждане на общия множител от скоби. алгебра. Полиноми. Умножете полинома a+b по полинома c+d. Произведение на моном и полином Умножение на моном по полином. Подобни термини са членове 2 и -7, които нямат буквена част. Членовете на полинома 4xz-5xy+3x-1 са 4xz, -5xy, 3x и -1.

„Факторинг на урока“ – Приложение на FSU. Съкратени формули за умножение. Тема на урока: Отговори: вар 1: b, d, b, d, c; var 2: a, d, c, b, a; var 3: c, c, c, a, b; Вариант 4: d, d, c, b, d. И така? Изваждане на общия множител от скоби. 3. Завършете разлагането на множители: Групова работа: Извадете общия множител извън скоби. 1. Завършете разлагането на множители: а).

« Алгебрични дроби, рационални и дробни изрази.»

Цели на урока:

Образователни: въвеждане на концепцията за алгебрична дроб, рационални и дробни изрази, диапазон от приемливи стойности,

Развиване: формиране на умения критично мислене, самостоятелно търсене на информация, изследователски умения.

Образователни: възпитание на съзнателно отношение към работата, формиране на комуникативни умения, формиране на самочувствие.

По време на занятията

1. Организиране на времето:

Поздравления. Обявяване на темата на урока.

2. Мотивация на урока.

Германците имат такава поговорка „Да влезеш в изстрела“, което означава да влезеш в задънена улица, в трудна ситуация. Това се обяснява с дълго времедействията с дробни числа, които понякога се наричаха "прекъсани линии", се смятаха по право за много сложни.

Но сега е обичайно да се разглеждат не само числови, но и алгебрични дроби, което ще направим днес.

Успехът не е дестинация. Това движение

Т. По-бързо.

3. Актуализация на основни знания.

предна анкета.

Какво представляват целочислените изрази? от какво са направени? Целочислен израз има смисъл за всякакви стойности на неговите променливи.

Дай примери.

Какво е дроб?

Какво означава да намалиш дроб?

Какво означава факторизация?

Какви методи за разлагане познавате?

Какъв е квадратът на сбора (разликата)?

Каква е разликата между квадратите?

4. Усвояване на нов материал.

В 8. клас ще се запознаем с дробни изрази.

Те се различават от целите числа по това, че съдържат действието на деление чрез израз с променлива.

Ако алгебричният израз е съставен от числа и променливи, използващи операциите събиране, изваждане, умножение, степенуване с естествен показател и деление и използвайки деление на изрази с променливи, тогава той се нарича дробен израз.

Дробните изрази нямат смисъл за тези стойности на променливи, които обръщат знаменателя на нула.

Доменът на допустимите стойности (ODV) на алгебричен израз е наборът от всички допустими набори от стойности на буквите, включени в този израз.

Целочислените и дробните изрази се наричат рационални изрази

отделен вид рационален израз е рационалната дроб. Това е дроб, чийто числител и знаменател са полиноми.

Кои изрази са цели числа и кои са дробни? (или №1)

5. Физическа минута

6. Консолидиране на нов материал.

Решете #2, 3(1), 5(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7(1).

7. Самостоятелна работаученици (в групи).

Решете #3(2), 5(2, 5, 8, 12), 7(2).

8. Отражение.

Беше ли ви труден материалът от урока?

На кой етап от урока беше най-трудно, най-лесно?

Какво ново научихте на урока? Какво научи?

Работихте ли усилено в час?

Колко емоционално се почувствахте по време на урока?

D / z: научете т. 1, въпроси стр.7, решете № 4, 6, 8.

Синквайн.

Всяка група прави синквейн за думата "фракция".

Ако знаете дроби

За да разберете точното им значение

Дори трудните задачи стават лесни.

Благодарение на курса по алгебра е известно, че всички изрази изискват трансформация за по-удобно решение. Дефинирането на целочислени изрази улеснява започването идентични трансформации. Ще трансформираме израза в полином. В заключение, нека разгледаме няколко примера.

Дефиниция и примери за целочислени изрази

Определение 1

Целочислени изразиса числа, променливи или изрази със събиране или изваждане, които се записват като степен с естествен степен, които също имат скоби или деление, различни от нула.

Въз основа на дефиницията имаме, че примери за целочислени изрази: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 и така нататък, и тип променливи a , b , p , q , x , z се броят като целочислени изрази. След тяхното преобразуване на суми, разлики, произведения, изразите ще придобият формата

x + 1 , 5 y 3 2 3 7 − 2 y − 3 , 3 − x y z 4 , - 6 7 , 5 (2 x + 3 y 2) 2 − - ( 1 − x) (1 + x) (1 + х 2)

Ако изразът съдържа деление с число, различно от нула, от формата x: 5 + 8: 2: 4 или (x + y) : 6 , тогава делението може да бъде обозначено с наклонена черта, като x + 3 5 - 3 , 2 x + 2 . Когато разглеждаме изрази от вида x: 5 + 5: x или 4 + a 2 + 2 a - 6 a + b + 2 c, става ясно, че такива изрази не могат да бъдат цели числа, тъй като в първия има деление на променлива x, а във втория на израз с променлива.

Полиномът и мономът са целочислени изрази, които срещаме в училище, когато работим с тях рационални числа. С други думи, целочислените изрази не включват ирационални дроби. Друго име са цели ирационални изрази.

Какви трансформации на целочислени изрази са възможни?

Целочислените изрази се разглеждат при решаване като основни идентични трансформации, отварящи скоби, групиране, редукция на подобни.

Пример 1

Отворете скобите и преведете подобни членове в 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Решение

Първо трябва да приложите правилото за отваряне на скоби. Получаваме израз на формата 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 (− 2 a) − 2 a 3 − 5 ab + 6 a − b = = 2 a 3 + 6 ab − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b

След това можем да добавим подобни термини:

2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = (2 a 3 − 2 a 3) + (6 a b − 5 ab) + (− 4 a + 6 a) − b = = 0 + ab + 2 a − b = ab + 2 a − b .

След като ги намалим, получаваме полином от вида a · b + 2 · a − b .

Отговор: 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = a b + 2 a − b.

Пример 2

Направете трансформации (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Решение

Съществуващото деление може да бъде заменено с умножение, но с реципрочен номер. След това е необходимо да се извършат трансформации, след което изразът ще приеме формата (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Сега трябва да се заемем с намаляването на подобни термини. Ние разбираме това

(x - 1) 3 2 + 2 (x 2 + 1) 1 3 1 7 = 3 2 (x - 1) + 2 21 x 2 + 1 = = 3 2 x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Отговор: (x - 1) : 2 3 + 2 (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42 .

Пример 3

Изразете израза 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) като произведение.

Решение

След като разгледахме израза, става ясно, че първите три члена имат общ фактор от вида 6 · y , който трябва да се извади от скоби по време на трансформацията. Тогава получаваме това 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x − 1) - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x)

Вижда се, че получихме разликата между два израза от вида 6 y (x 2 + 3 x - 1) и (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) с общ фактор x 2 + 3 x − 1 , което трябва да бъде извадено от скоби. Ние разбираме това

6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) (6 y − (x 3 + 4 x) )

След като отворихме скобите, имаме израз от вида (x 2 + 3 x - 1) (6 y - x 3 - 4 x) , който трябваше да бъде намерен по условие.

Отговор:6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) ( 6 y − x 3 − 4 x)

Идентичните трансформации изискват стриктно изпълнение на реда на операциите.

Пример 4

Преобразуване на израз (3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Решение

Първо изпълнявате действията в скоби. Тогава имаме това 3 2 - 6 2: 9 = 3 2 - 3 6: 9 = 6 - 4 = 2. След трансформациите изразът става 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Известно е, че 2 3 = 8 И (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, тогава можете да стигнете до израз като 8 x 8 + 4 x: 8 . Вторият член изисква замяната на деление с умножение от 4x:8. Групирайки факторите, получаваме това

8 x 8 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

Отговор:(3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x .

Полиномно преобразуване

Повечето от преобразуванията на целочислени изрази са полиномни представяния. Всеки израз може да бъде представен като полином Всеки израз може да се разглежда като полиноми, свързани с аритметични знаци. Всяка операция върху полиноми води до полином.

За да може изразът да бъде представен като полином, е необходимо да се извършат всички действия с полиноми, съгласно алгоритъма.

Пример 5

Изразете като полином 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Решение

В този израз започвайте трансформациите с израз от вида 4 x - x (15 x + 1) , като според правилото в началото се извършва умножение или деление, след което събиране или изваждане. Умножете - x по 15 x + 1, тогава получаваме 4 x - x (15 x + 1) = 4 x - 15 x 2 - x = (4 x - x) - 15 x 2 = 3 x - 15 x 2. Даденият израз ще приеме формата 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (3 x - 15 x 2) .

След това трябва да повишите полинома на 2-ра степен 2x-1, получаваме израз на формата (2 x − 1) 2 = (2 x − 1) (2 x − 1) = 4 x 2 + 2 x (− 1) − 1 2 x − 1 (− 1 ) = = 4 x 2 − 4 x + 1

Сега можем да отидем на гледката 2 (2 x 3 - 1) + (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) + (3 x - 15 x 2).

Нека да разгледаме умножението. Вижда се, че 2 (2 x 3 - 1) = 4 x 3 - 2 и (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) = 12 x 2 - 4 x 3 - 12 x + 4 x 2 + 3 - x = = 16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3

след това можете да направите преход към израз на формата (4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2).

Извършваме събиране, след което стигаме до израза:

(4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2) = = 4 x 3 - 2 + 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3 + 3 x − 15 x 2 = = (4 x 3 − 4 x 3) + (16 x 2 − 15 x 2) + (− 13 x + 3 x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 x + 1 = x 2 − 10 x + 1 .

От това следва, че оригиналният израз има формата x 2 − 10 x + 1.

Отговор: 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (4 x - x (15 x + 1)) = x 2 - 10 x + 1.

Умножението и степенуването на полином показва, че е необходимо да се използват съкратени формули за умножение, за да се ускори процеса на преобразуване. Това допринася за факта, че действията ще бъдат извършени рационално и правилно.

Пример 6

Преобразувайте 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Решение

От квадратната формула получаваме това (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, то произведението (m − 2 n) (m + 2 n) е равно на разликата на квадратите m и 2 n , следователно е равно m 2 − 4 n 2. Получаваме, че оригиналният израз приема формата 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 − 4 n 2) = = 16 m 2 + 16 mn + 4 n 2 + m 2 − 4 n 2 = 17 m 2 + 16 mn

Отговор: 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

За да не бъде твърде дълга трансформацията, е необходимо да приведете дадения израз към стандартния вид.

Пример 7

Опростете израза (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + (5 a b (− 3) b 2)

Решение

Най-често полиноми и мономи не се дават стандартен изглед, така че трябва да извършите трансформации. Трябва да се преобразува, за да се получи израз на формата − 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3. За да се доведат подобни, е необходимо първо да се извърши умножение по правилата за преобразуване на сложен израз. Получаваме израз като

− 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + (2 a 3 b + ab) (6 a + 15 b 2) − 15 ab 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 ab 3 − 15 ab 3 = = (− 12 a 4 b + 12 a 4 b) + (− 30 a 3 b 3 + 30 a 3 b 3) + 6 a 2 b + (15 a b 3 − 15 ab 3) = 6 a 2 b

Отговор: (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + + (5 ab (− 3) b 2) = 6 a 2 b

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Целочислен израз е математически израз, съставен от числа и буквални променливи, използващи операциите събиране, изваждане и умножение. Целите числа включват също изрази, които включват деление на някакво число, различно от нула.

Примери за целочислени изрази

По-долу са някои примери за целочислени изрази:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

2.7*b

3. 4*y-((5*y+3)/5) -1;

Дробни изрази

Ако изразът съдържа деление с променлива или с друг израз, съдържащ променлива, тогава такъв израз не е цяло число. Такъв израз се нарича дробен израз. Да дадем пълна дефинициядробен израз.

Дробният израз е математически израз, който освен операциите събиране, изваждане и умножение, извършвани с числа и буквални променливи, както и деление на число, неравно на нула, съдържа и разделяне на изрази с буквални променливи.

Примери за дробни изрази:

1. (12*a^3 +4)/a

2,7/(x+3)

3. 4*x-((5*y+3)/(5-y)) +1;

Дробните и целочислените изрази съставляват два големи набора математически изрази. Ако тези множества се комбинират, тогава получаваме ново множество, което се нарича рационални изрази. Тоест всички рационални изрази са целочислени и дробни изрази.

Знаем, че целочислените изрази имат смисъл за всякакви стойности на променливите, които са включени в тях. Това следва от факта, че за да се намери стойността на целочислен израз, е необходимо да се извършват действия, които винаги са възможни: събиране, изваждане, умножение, деление на число, различно от нула.

Дробните изрази, за разлика от целите, може да нямат смисъл. Тъй като има операция на разделяне с променлива или израз, съдържащ променливи, и този израз може да се превърне в нула, но делението с нула е невъзможно. Стойностите на променливите, за които дробният израз ще има смисъл, се наричат валидни стойности на променливата.

рационална дроб

Един от специалните случаи на рационални изрази ще бъде дроб, чиито числител и знаменател са полиноми. За такава дроб в математиката също има име - рационална дроб.

Рационалната дроб ще има смисъл, ако нейният знаменател не е равен на нула. Тоест всички стойности на променливи, за които знаменателят на дроба е различен от нула, ще бъдат валидни.

Примери за целочислени изрази

По-долу са някои примери за целочислени изрази:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y-((5*y+3)/5) -1;

Дробни изрази

Ако изразът съдържа деление с променлива или с друг израз, съдържащ променлива, тогава такъв израз не е цяло число. Такъв израз се нарича дробен израз. Нека дадем пълна дефиниция на дробен израз.

Примери за дробни изрази:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x-((5*y+3)/(5-y)) +1;

Дробните и целочислените изрази съставляват два големи набора от математически изрази. Ако тези множества се комбинират, тогава получаваме ново множество, което се нарича рационални изрази. Тоест всички рационални изрази са целочислени и дробни изрази.