Примери за формули за решаване на най-простите тригонометрични уравнения. Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Тригонометричните уравнения не са най-лесната тема. Болезнено те са разнообразни.) Например такива:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

и т.н...

Но тези (и всички други) тригонометрични чудовища имат две общи и задължителни характеристики. Първото - няма да повярвате - в уравненията има тригонометрични функции.) Второ: всички изрази с x се намират вътре в същите тези функции.И само там! Ако x се появи някъде навън,например, sin2x + 3x = 3,това вече ще бъде уравнение смесен тип... Такива уравнения изискват индивидуален подход. Тук няма да ги разглеждаме.

В този урок също няма да решаваме лоши уравнения.) Тук ще се занимаваме най-простите тригонометрични уравнения.Защо? Да, защото решението всякаквитригонометричните уравнения имат два етапа. На първия етап уравнението на злото се свежда до просто чрез различни трансформации. При второто това най-просто уравнение е решено. Няма друг начин.

Така че, ако имате проблеми на втория етап, първият няма много смисъл.)

Как изглеждат елементарните тригонометрични уравнения?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Тук а обозначава произволно число. Всеки.

Между другото, вътре във функцията може да няма чисто x, а някакъв вид израз, като например:

cos (3x + π / 3) = 1/2

и т.н. Това усложнява живота, но не се отразява на метода за решаване на тригонометричното уравнение.

Как се решават тригонометрични уравнения?

Тригонометричните уравнения могат да бъдат решени по два начина. Първи начин: използване на логика и тригонометричен кръг. Тук ще разгледаме този път. Вторият начин - използване на памет и формули - ще бъде обсъден в следващия урок.

Първият начин е ясен, надежден и трудно се забравя.) Той е добър за решаване на тригонометрични уравнения, неравенства и всякакви трудни нестандартни примери. Логиката е по-силна от паметта!)

Решаване на уравнения с помощта на тригонометричния кръг.

Включваме елементарна логика и възможността за използване на тригонометричния кръг. Не знам как!? Обаче... Трудно ти е в тригонометрията...) Но няма значение. Разгледайте уроците "Тригонометричен кръг ...... Какво е това?" и "Изброяване на ъгли върху тригонометричен кръг". Там всичко е просто. За разлика от уроци...)

О, знаеш ли!? И дори овладя "Практическа работа с тригонометричния кръг"!? Честито. Тази тема ще ви бъде близка и разбираема.) Това, което е особено приятно, тригонометричният кръг не се интересува кое уравнение решавате. Синус, косинус, тангенс, котангенс - всичко е едно за него. Има само един принцип на решение.

Така че вземаме всякакви елементарни тригонометрично уравнение... Поне това:

cosx = 0,5

Трябва да намерим X. В човешки план имате нужда намерете ъгъла (x), чийто косинус е 0,5.

Как използвахме кръга по-рано? Начертахме ъгъл върху него. В градуси или радиани. И веднага видяно тригонометрични функции на този ъгъл. Сега нека направим обратното. Нека начертаем косинус равен на 0,5 върху кръга и веднага виж инжекция. Остава само да запишете отговора.) Да, да!

Начертайте кръг и маркирайте косинус 0,5. По оста на косинус, разбира се. Като този:

Сега нека начертаем ъгъла, който ни дава този косинус. Преместете курсора на мишката върху чертежа (или докоснете снимката на таблета) и вижточно този ъгъл NS

Какъв ъгъл е косинус 0,5?

х = π / 3

cos 60°= cos ( π / 3) = 0,5

Някой ще се засмее скептично, да ... Казват, струваше ли си кръга, когато всичко вече е ясно ... Можете, разбира се, да се смеете ...) Но факт е, че това е грешен отговор. Или по-скоро недостатъчно. Ценителите на кръга разбират, че тук все още има цял куп ъгли, които също дават косинус, равен на 0,5.

Ако завъртите подвижната страна на OA пълен оборот, точка А ще се върне в първоначалното си положение. Със същия косинус, равен на 0,5. Тези. ъгълът ще се промени 360 ° или 2π радиана, и косинус не е.Новият ъгъл 60 ° + 360 ° = 420 ° също ще бъде решението на нашето уравнение, тъй като

Можете да навивате безкраен брой такива пълни завои... И всички тези нови ъгли ще бъдат решения на нашето тригонометрично уравнение. И всички те трябва по някакъв начин да бъдат записани в отговор. Всичко.В противен случай решението не се брои, да ...)

Математиката знае как да направи това по прост и елегантен начин. В един кратък отговор пишете безкраен наборрешения. Ето как изглежда за нашето уравнение:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

ще дешифрирам. Все пак пиши смисленопо-приятно от глупаво рисуване на някакви мистериозни букви, нали?)

π / 3 - това е същият ъгъл, в който и ние трионна кръга и идентифициранспоред таблицата на косинусите.

2π е един пълен оборот в радиани.

н е броят на пълните, т.е. цялареволюции. Ясно е, че н може да бъде 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... и така нататък. Което е посочено кратка бележка:

n ∈ Z

н принадлежи ( ∈ ) към набора от цели числа ( З ). Между другото, вместо писмото н букви могат да се използват k, m, t и т.н.

Този запис означава, че можете да вземете всяко цяло н ... Най-малко -3, поне 0, поне +55. Какво искаш. Ако включите това число в отговора си, ще получите конкретен ъгъл, който определено ще реши нашето сурово уравнение.)

Или, с други думи, х = π / 3 е единственият корен от безкрайното множество. За да получите всички останали корени, достатъчно е да добавите произволен брой пълни обороти към π / 3 ( н ) в радиани. Тези. 2π n радиан.

Всичко? Не. Умишлено разтягам удоволствието. За да го запомним по-добре.) Получихме само част от отговорите на нашето уравнение. Ще напиша тази първа част от решението, както следва:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не един корен, това е цяла поредица от корени, написани в кратка форма.

Но има и ъгли, които също дават косинус от 0,5!

Да се ​​върнем към нашата снимка, която беше използвана за записване на отговора. Ето я:

Задръжте курсора на мишката върху снимката и виждруг ъгъл, който също дава косинус от 0,5.На какво според вас е равно? Триъгълниците са еднакви... Да! То е равно на ъгъла NS , върнат само в отрицателна посока. Това е ъгълът -NS. Но ние вече разбрахме х. π / 3 или 60°. Следователно можем спокойно да напишем:

x 2 = - π / 3

Е, разбира се, добавяме всички ъгли, които се получават чрез пълни обороти:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко.) В тригонометричния кръг ние трион(който разбира, разбира се)) всичкоъгли, даващи косинус, равен на 0,5. И те написаха тези ъгли в кратка математическа форма. Отговорът произведе две безкрайни серии от корени:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Това е правилният отговор.

надежда, общ принцип за решаване на тригонометрични уравненияизползването на кръг е ясно. Отбелязваме върху окръжността косинуса (синус, тангенс, котангенс) от даденото уравнение, начертаваме съответстващите му ъгли и записваме отговора.Разбира се, трябва да разберете какви ъгли сме трионна кръга. Понякога не е толкова очевидно. Е, така че казах, че тук е необходима логика.)

Например, нека разгледаме друго тригонометрично уравнение:

Моля, имайте предвид, че числото 0,5 не е единственото възможно число в уравненията!) Просто ми е по-удобно да го напиша, отколкото корени и дроби.

Работим по общия принцип. Начертайте кръг, маркирайте (по оста на синуса, разбира се!) 0,5. Начертаваме наведнъж всички ъгли, съответстващи на този синус. Нека получим следната картина:

Първо се занимавайте с ъгъла NS през първото тримесечие. Припомняме таблицата на синусите и определяме стойността на този ъгъл. Това е прост въпрос:

х = π / 6

Спомняме си пълните завои и с чиста съвест записваме първата серия от отговори:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Наполовина готово. Но сега трябва да дефинираме втори ъгъл...Това е по-хитро, отколкото в косинусите, да... Но логиката ще ни спаси! Как да определим втория ъгъл през х? Да Лесно! Триъгълниците на снимката са еднакви, а червеният ъгъл NS равно на ъгъла NS ... Само той се измерва от ъгъла π в отрицателна посока. Следователно е червено.) И за отговора ни трябва ъгъл, измерен правилно, от положителната полуос OX, т.е. от ъгъл от 0 градуса.

Задръжте курсора на мишката върху снимката и вижте всичко. Премахнах първия ъгъл, за да не усложнявам картината. Ъгълът, който ни интересува (начертан в зелено) ще бъде равен на:

π - x

X ние го знаем π / 6 ... Следователно вторият ъгъл ще бъде:

π - π / 6 = 5π / 6

Отново припомняме добавянето на пълни обороти и записваме втората серия от отговори:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко. Пълният отговор се състои от две серии корени:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Уравнения с допирателна и котангенс могат лесно да бъдат решени с помощта на същия общ принцип за решаване на тригонометрични уравнения. Ако, разбира се, знаете как да рисувате допирателна и котангенс върху тригонометричен кръг.

В примерите по-горе използвах таблицата със стойности на синус и косинус: 0,5. Тези. едно от онези значения, които ученикът знае трябва да.Сега нека разширим възможностите си до всички други стойности.Решете, така че решете!)

И така, да кажем, че трябва да решим това тригонометрично уравнение:

В късите таблици няма такава стойност на косинус. Ние хладнокръвно игнорираме този ужасен факт. Начертайте кръг, маркирайте 2/3 върху оста на косинус и начертайте съответните ъгли. Получаваме точно такава картина.

Нека го разберем, като начало, с ъгъл през първата четвърт. Ако знаех какво е Х, щяха да запишат отговора веднага! Не знаем ... Провал !? Спокоен! Математиката не изоставя своето в беда! Тя измисли арккосинуси за този случай. Не знам? Напразно. Разберете, това е много по-лесно, отколкото си мислите. Под тази връзка няма нито едно сложно заклинание за „обратно тригонометрични функции„Не... Излишно е в тази тема.

Ако сте наясно, достатъчно е да си кажете: "X е ъгълът, чийто косинус е 2/3". И веднага, чисто по дефиницията на аркосинус, можете да напишете:

Припомняме допълнителни завои и спокойно записваме първата серия от корени на нашето тригонометрично уравнение:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Втората серия от корени също се записва почти автоматично за втория ъгъл. Всичко е същото, само x (arccos 2/3) ще бъде с минус:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И това е всичко! Това е правилният отговор. Дори по-лесно, отколкото със стойности в таблицата. Не е нужно да помните нищо.) Между другото, най-внимателният ще забележи, че тази картина с решението през обратния косинус по същество не се различава от картината за уравнението cosx = 0,5.

Точно! Общ принципза това и генерално! Специално нарисувах две почти еднакви картини. Кръгът ни показва ъгъла NS по неговия косинус. Таблицата е косинус, или не - кръгът не знае. Какъв е този ъгъл, π / 3, или какъв вид обратен косинус - това зависи от нас.

Със синус същата песен. Например:

Начертайте отново кръга, маркирайте синуса, равен на 1/3, начертайте ъглите. Картината изглежда така:

И отново картината е почти същата като за уравнението sinx = 0,5.Отново започнете от ъгъла през първата четвърт. Какво е х, ако синусът му е 1/3? Няма проблем!

Така че първата опаковка от корени е готова:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Занимаваме се с втория ъгъл. В примера със стойност на таблицата 0,5 беше:

π - x

Така че тук ще бъде абсолютно същото! Само x е различно, arcsin 1/3. И какво тогава!? Можете спокойно да запишете втория пакет корени:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Това е абсолютно правилен отговор. Въпреки че не изглежда много познато. Но е разбираемо, надявам се.)

Ето как се решават тригонометричните уравнения с помощта на окръжност. Този път е ясен и разбираем. Той е този, който спестява в тригонометрични уравнения с избор на корени на даден интервал, в тригонометрични неравенства - те обикновено се решават почти винаги в кръг. Накратко, във всякакви задачи, които са малко по-трудни от стандартните.

Да приложим знанията си на практика?)

Решете тригонометрични уравнения:

Отначало е по-просто, още от този урок.

Сега по-трудно.

Съвет: Тук трябва да помислите за кръга. Лично.)

И сега те са външно непретенциозни ... Те също се наричат ​​​​специални случаи.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Съвет: тук трябва да разберете в кръг, където има две серии от отговори и къде е един ... И как да запишете един вместо две серии от отговори. Да, за да не се загуби нито един корен от безкрайното число!)

Е, много простички):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Съвет: тук трябва да знаете какво е арксинус, арккосинус? Какво е дъгова допирателна, дъга котангенс? Повечето прости дефиниции... Но не е нужно да запомняте никакви стойности на таблицата!)

Отговорите, разбира се, са бъркотия):

х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2

Не всичко се получава? Случва се. Прочетете урока отново. Само замислено(има такъв остаряла дума...) И следвайте връзките. Основните връзки са за кръга. Без него в тригонометрията е все едно да пресичаш пътя с превръзка на очите. Понякога работи.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато оставите заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да Ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме тези програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходящата трета страна – правоприемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е безопасна, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

Изисква познаване на основните формули на тригонометрията – сумата от квадратите на синуса и косинуса, изразяването на тангенса през синуса и косинуса и др. За тези, които са ги забравили или не знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
И така, знаем основните тригонометрични формули, време е да ги използваме на практика. Решаване на тригонометрични уравненияс правилния подход това е доста вълнуващо занимание, като например решаването на кубче на Рубик.

От самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, в което неизвестното е под знака на тригонометричната функция.
Съществуват така наречените най-прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Обмисли как да се решат такива тригонометрични уравнения, за по-голяма яснота ще използваме вече познатия тригонометричен кръг.

sinx = a

cos x = a

tg x = a

детско легло x = a

Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: привеждаме уравнението до най-простата форма и след това го решаваме като най-простото тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометричните уравнения.

1. Заместване на променлива и метод на заместване

Решете уравнението 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0

Използвайки формулите за намаляване, получаваме:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Заменете cos (x + / 6) с y за простота и получете обичайното квадратно уравнение:

2y 2 - 3y + 1 + 0

Чиито корени y 1 = 1, y 2 = 1/2

Сега да преминем в обратен ред

Заменяме намерените y стойности и получаваме два отговора:

2. Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Как да решим уравнението sin x + cos x = 1?

Преместете всичко наляво, така че 0 да остане вдясно:

sin x + cos x - 1 = 0

Нека използваме горните идентичности, за да опростим уравнението:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

Ние правим факторизация:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2sin (x / 2) * = 0

Получаваме две уравнения

3. Свеждане до хомогенно уравнение

Едно уравнение е хомогенно по отношение на синуса и косинуса, ако всички негови членове по отношение на синуса и косинуса са с еднаква степен на един и същ ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, продължете както следва:

а) прехвърля всички свои членове на лявата страна;

б) извадете всички общи фактори от скоби;

в) приравнява всички фактори и скоби на 0;

г) в скоби се получава хомогенно уравнениев по-малка степен той от своя страна се разделя на синус или косинус в най-висока степен;

д) решете полученото уравнение за tg.

Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x = 1 и да се отървем от отворените две вдясно:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Разделете на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменете tg x с y и получете квадратно уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, чиито корени y 1 = 1, y 2 = 3

От тук намираме две решения на оригиналното уравнение:

x 2 = арктан 3 + k

4. Решаване на уравнения чрез преминаване към половин ъгъл

Решете уравнението 3sin x - 5cos x = 7

Преминаване към x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Преместете всичко наляво:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Разделете на cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. Въведете спомагателен ъгъл

За разглеждане вземете уравнение от вида: a sin x + b cos x = c,

където a, b, c са произволни коефициенти, а x е неизвестно.

Разделете двете страни на уравнението на:



Сега коефициентите на уравнението според тригонометрични формулиимат свойствата sin и cos, а именно: модулът им е не повече от 1 и сумата от квадратите = 1. Нека ги означим съответно като cos и sin, където е т. нар. спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме вида:

cos * sin x + sin * cos x = С

или sin (x +) = C

Решението на това най-просто тригонометрично уравнение е

x = (-1) k * arcsin С - + k, където



Имайте предвид, че cos и sin се използват взаимозаменяемо.

Решете уравнението sin 3x - cos 3x = 1

В това уравнение коефициентите са:

a =, b = -1, така че разделяме двете страни на = 2

Видео курсът "Вземете A" включва всички теми, които трябва да изпълните успешна доставкаЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на Основен изпит по математика. Ако искате да издържите изпита за 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). А това са повече от 70 точки на изпита и нито един стоточков, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата теория, от която се нуждаете. Бързи начинирешения, капани и тайни на изпита. Разглобени са всички съответни задачи на част 1 от Банката със задачи на FIPI. Курсът отговаря напълно на изискванията на изпит-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми, всяка по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, проста и ясна.

Стотици изпитни задачи. Словни проблеми и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи за използване. Стереометрия. Сложни триковерешения, полезни измамници, развитието на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основата за решението трудни задачи 2 части от изпита.

Урок и презентация на тема: "Решаване на най-простите тригонометрични уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазина Integral за 10 клас от 1C
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни строителни задачи в космоса
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще изучаваме:
1. Какво представляват тригонометричните уравнения?

3. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Еднородни тригонометрични уравнения.
5. Примери.

Какво представляват тригонометричните уравнения?

Момчета, ние вече проучихме арксинуса, аркосинуса, арктангенса и арктангенса. Сега нека разгледаме тригонометричните уравнения като цяло.

Тригонометрични уравнения - уравнения, в които променливата се съдържа под знака на тригонометричната функция.

Нека повторим формата на решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

1) Ако | a | ≤ 1, тогава уравнението cos (x) = a има решение:

X = ± arccos (a) + 2πk

2) Ако | a | ≤ 1, тогава уравнението sin (x) = a има решение:

3) Ако | a | > 1, тогава уравнението sin (x) = a и cos (x) = a нямат решения 4) Уравнението tan (x) = a има решение: x = arctan (a) + πk

5) Уравнението ctg (x) = a има решение: x = arcctg (a) + πk

За всички формули k е цяло число

Най-простите тригонометрични уравнения имат формата: T (kx + m) = a, T- всяка тригонометрична функция.

Пример.

Решете уравненията: а) sin (3x) = √3 / 2

Решение:

A) Означаваме 3x = t, след което пренаписваме нашето уравнение във вида:

Решението на това уравнение ще бъде: t = ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.

От таблицата на стойностите получаваме: t = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.

Да се ​​върнем към нашата променлива: 3x = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,

Тогава x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3

Отговор: x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, където n е цяло число. (-1) ^ n - минус едно на n-та степен.

Още примери за тригонометрични уравнения.

Решете уравненията: а) cos (x / 5) = 1 б) tg (3x- π / 3) = √3

Решение:

A) Този път ще преминем директно към изчисляването на корените на уравнението веднага:

X / 5 = ± arccos (1) + 2πk. Тогава x / 5 = πk => x = 5πk

Отговор: x = 5πk, където k е цяло число.

Б) Записваме го във формата: 3x- π / 3 = арктан (√3) + πk. Знаем, че: арктан (√3) = π / 3

3x- π / 3 = π / 3 + πk => 3x = 2π / 3 + πk => x = 2π / 9 + πk / 3

Отговор: x = 2π / 9 + πk / 3, където k е цяло число.

Решете уравненията: cos (4x) = √2 / 2. И намерете всички корени в сегмента.

Решение:

Ще решим в общ изгледнашето уравнение: 4x = ± arccos (√2 ​​/ 2) + 2πk

4x = ± π / 4 + 2πk;

X = ± π / 16 + πk / 2;

Сега нека видим какви корени ще паднат на нашия сегмент. При k При k = 0, x = π / 16 влязохме в дадения сегмент.
С k = 1, x = π / 16 + π / 2 = 9π / 16, те удрят отново.
За k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, но тук не сме уцелили, което означава, че за голямо k със сигурност няма да уцелим.

Отговор: x = π / 16, x = 9π / 16

Има два основни метода за решение.

Разгледахме най-простите тригонометрични уравнения, но има и по-сложни. За решаването им се използват методът за въвеждане на нова променлива и методът на факторизация. Нека да разгледаме някои примери.

Нека решим уравнението:

Решение:
За да решим нашето уравнение, ще използваме метода за въвеждане на нова променлива, като означим: t = tg (x).

В резултат на замяната получаваме: t 2 + 2t -1 = 0

Намерете корените квадратно уравнение: t = -1 и t = 1/3

Тогава tg (x) = - 1 и tg (x) = 1/3, получаваме най-простото тригонометрично уравнение, намираме неговите корени.

X = арктан (-1) + πk = -π / 4 + πk; x = арктан (1/3) + πk.

Отговор: x = -π / 4 + πk; x = арктан (1/3) + πk.

Пример за решаване на уравнение

Решете уравнения: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Решение:

Нека използваме тъждеството: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

Нашето уравнение ще приеме формата: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Въведете заместването t = cos (x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение е корените: t = 2 и t = -1 / 2

Тогава cos (x) = 2 и cos (x) = - 1/2.

Защото косинусът не може да приема стойности, по-големи от единица, тогава cos (x) = 2 няма корени.

За cos (x) = - 1/2: x = ± arccos (-1/2) + 2πk; x = ± 2π / 3 + 2πk

Отговор: x = ± 2π / 3 + 2πk

Хомогенни тригонометрични уравнения.

Определение: Уравнения от вида a sin (x) + b cos (x) се наричат ​​хомогенни тригонометрични уравнения от първа степен.

Уравнения на формата

хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен.

За да решим хомогенното тригонометрично уравнение от първа степен, ние го разделяме на cos (x): Не е възможно да се раздели по косинус, ако е равно на нула, нека се уверим, че не е:
Нека cos (x) = 0, тогава asin (x) + 0 = 0 => sin (x) = 0, но синусът и косинусът не са равни на нула едновременно, получаваме противоречие, така че можем безопасно делене на нула.

Решете уравнението:
Пример: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Решение:

Извадете общия фактор: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) = 0

След това трябва да решим две уравнения:

Cos (x) = 0 и cos (x) + sin (x) = 0

Cos (x) = 0 за x = π / 2 + πk;

Помислете за уравнението cos (x) + sin (x) = 0 Разделете нашето уравнение на cos (x):

1 + tg (x) = 0 => tg (x) = - 1 => x = арктан (-1) + πk = -π / 4 + πk

Отговор: x = π / 2 + πk и x = -π / 4 + πk

Как се решават хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен?
Момчета, спазвайте тези правила винаги!

1. Вижте на какво е равен коефициентът a, ако a = 0, тогава нашето уравнение ще приеме формата cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), пример за решаване на който на предишния слайд

2. Ако a ≠ 0, тогава трябва да разделите двете страни на уравнението на косинус на квадрат, получаваме:

Променяме променливата t = tg (x) и получаваме уравнението:

Решете пример №: 3

Решете уравнението:
Решение:

Разделете двете страни на уравнението на косинус квадрат:

Променете променливата t = tg (x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Намерете корените на квадратното уравнение: t = -3 и t = 1

Тогава: tg (x) = - 3 => x = arctan (-3) + πk = -arctg (3) + πk

Tg (x) = 1 => x = π / 4 + πk

Отговор: x = -arctg (3) + πk и x = π / 4 + πk

Решете пример №: 4

Решете уравнението:

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Ние сме в състояние да решим такива уравнения: x = - π / 4 + 2πk и x = 5π / 4 + 2πk

Отговор: x = - π / 4 + 2πk и x = 5π / 4 + 2πk

Решете пример №: 5

Решете уравнението:

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Въвеждаме заместването tg (2x) = t: 2 2 - 5t + 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение ще бъде корените: t = -2 и t = 1/2

Тогава получаваме: tg (2x) = - 2 и tg (2x) = 1/2
2x = -arctg (2) + πk => x = -arctg (2) / 2 + πk / 2

2x = арктан (1/2) + πk => x = арктан (1/2) / 2 + πk / 2

Отговор: x = -arctg (2) / 2 + πk / 2 и x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2

Задачи за самостоятелно решение.

1) Решете уравнението

A) sin (7x) = 1/2 b) cos (3x) = √3 / 2 c) cos (-x) = -1 d) tan (4x) = √3 e) ctg (0,5x) = -1,7

2) Решете уравненията: sin (3x) = √3 / 2. И намерете всички корени на отсечката [π / 2; π].

3) Решете уравнението: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 = 0

4) Решете уравнението: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) = 0

5) Решете уравнението: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) = 0

6) Решете уравнението: cos 2 (2x) -1 - cos (x) = √3 / 2 -sin 2 (2x)