Система за фундаментални решения (специфичен пример). Хомогенни системи от линейни уравнения
Дадени матрици
Намерете: 1) aA - bB,
Решение: 1) Намерете го последователно, като използвате правилата за умножение на матрица по число и добавяне на матрици ..
2. Намерете A * B, ако
Решение: Използване на правилото за умножение на матрицата
Отговор: 
3. За дадена матрица намерете минорното M 31 и изчислете детерминантата.
Решение: Минор M 31 е детерминантата на матрицата, която се получава от A
след зачеркване на ред 3 и колона 1. Намерете
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Преобразуваме матрицата A, без да променяме нейната детерминанта (нека направим нули в ред 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Сега изчисляваме детерминанта на матрицата A чрез разлагане в ред 1
Отговор: М 31 = 0, detA = 0
Решете по метода на Гаус и метода на Крамер.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Решение: Проверете
Може да се приложи методът на Крамер
Системно решение: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Нека приложим метода на Гаус.
Нека приведем разширената матрица на системата до триъгълна форма.
За удобство на изчисленията, нека сменим редовете:
Умножете 2-рия ред по (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) и добавете към 3-то:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Умножете 1-вия ред по (k = -2 / 2 = -1 ) и добавете към 2-ри:
Оригиналната система вече може да бъде написана като:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
От 2-ри ред изразяваме
От 1-ви ред изразяваме
Решението е същото.
Отговор: (2; -5; 3)
Намерете общо решение за системата и SDF
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Решение: Да приложим метода на Гаус. Нека приведем разширената матрица на системата до триъгълна форма.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 |
Умножете 1-вия ред по (-11). Умножете 2-рия ред по (13). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
| -2 | -2 | -3 | ||
Умножете 2-рия ред по (-5). Умножете 3-тия ред по (11). Нека добавим 3-ия ред към 2-рия:
Умножете 3-тия ред по (-7). Умножете 4-тия ред по (5). Добавете 4-ти ред към 3-ти:
Второто уравнение е линейна комбинация от останалите
Нека намерим ранга на матрицата.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 |
Маркираният минор има най-висок ред (от възможните минорни) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите на противоположния диагонал), следователно, rang (A) = 2.
Този минор е основен. Той включва коефициентите за неизвестните x 1, x 2, което означава, че неизвестните x 1, x 2 са зависими (основни), а x 3, x 4, x 5 са свободни.
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Като елиминираме неизвестните, намираме общо решение:
x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 = - 1/3 x 3
Откриваме основната система за решения (FDS), която се състои от (n-r) решения. В нашия случай n = 5, r = 2, следователно основната система от решения се състои от 3 решения и тези решения трябва да бъдат линейно независими.
За да бъдат редовете линейно независими, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата, съставен от елементите на редовете, да бъде равен на броя на редовете, тоест 3.
Достатъчно е да дадете свободните неизвестни x 3, x 4, x 5 стойности от редовете на детерминанта от 3-ти ред, различни от нула, и да изчислите x 1, x 2.
Най-простият ненулев детерминант е матрицата на идентичността.
Но тук е по-удобно да се вземе
Намираме, използвайки общото решение:
а) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ
I решение на FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)
б) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ
II решение на SDF: (0; -6; 0; 6; 0)
в) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III решение на SDF: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Даден е: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Намерете: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Решение: a) z 1 - 2z 2 = -4 + 5i + 2 (2-4i) = -4 + 5i + 4-8i = -3i
б) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Отговор: а) -3i б) 12 + 26i в) -1,4 - 0,3i
Методът на Гаус има редица недостатъци: невъзможно е да се знае дали системата е съвместима или не, докато не бъдат извършени всички необходими трансформации в метода на Гаус; Методът на Гаус не е подходящ за системи с буквени коефициенти.
Помислете за други методи за решаване на системи от линейни уравнения. Тези методи използват концепцията за ранга на матрица и редуцират решението на всяка съвместна система до решението на системата, за която се прилага правилото на Крамер.
Пример 1.Намерете общото решение на следната система от линейни уравнения, като използвате основната система от решения на редуцираната хомогенна система и конкретно решение на нехомогенната система.
1. Съставяне на матрицата Аи разширена системна матрица (1)
2. Разгледайте системата (1) за съвместимост. За да направим това, намираме ранговете на матриците Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Ако се окаже това, тогава системата (1) непоследователно. Ако получим това , тогава тази система е съвместима и ние ще я решим. (Изследването на последователността се основава на теоремата на Кронекер-Капели.)
а. Намираме rA.
Да намеря rA, ще разгледаме последователно ненулеви минорни от първия, втория и т.н. порядки на матрицата Аи граничещите с тях малолетни.
M1= 1 ≠ 0 (1 се взема от горния ляв ъгъл на матрицата А).
Граница M1втория ред и втората колона на тази матрица. 
... Продължаваме към границата M1втория ред и третата колона..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Сега граничи с ненулева минор M2 ′втора поръчка.
Ние имаме: 
(тъй като първите две колони са еднакви)
(тъй като вторият и третият ред са пропорционални).
Ние виждаме това rA = 2, a е основният минор на матрицата А.
б. Намираме.
Достатъчно базов минор M2 ′матрици Аграница с колона от свободни членове и всички редове (имаме само последния ред).
... Оттук следва, че М3 ′ ′остава основният минор на матрицата https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 височина = 75 "height =" 75 "> (2)
Защото M2 ′- основен минор на матрицата Асистеми (2) , то тази система е еквивалентна на системата (3) състояща се от първите две уравнения на системата (2) (за M2 ′е в първите два реда на матрица А).
(3)
Тъй като основният минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)
В тази система две свободни неизвестни ( х2 и x4 ). Ето защо FSR системи (4) се състои от две решения. За да ги намерим, нека добавим безплатни неизвестни (4) ценности на първо място x2 = 1 , x4 = 0 , и тогава - x2 = 0 , х4 = 1 .
В x2 = 1 , x4 = 0 получаваме:
.
Тази система вече има единственото нещо решение (може да се намери по правилото на Крамер или по друг начин). Изваждайки първото от второто уравнение, получаваме:
Нейното решение ще бъде x1 = -1 , x3 = 0 ... Предвид стойностите х2 и x4 което сме дали, получаваме първото фундаментално решение на системата (2) : .
Сега слагаме (4) x2 = 0 , х4 = 1 ... Получаваме:
.
Решаваме тази система по теоремата на Крамер:
.
Получаваме второто фундаментално решение на системата (2) : .
Решения β1 , β2 и гримирайте FSR системи (2) ... Тогава общото му решение би било
γ= C1 β1 + C2β2 = C1 (‑1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)
Тук C1 , C2 - произволни константи.
4. Намерете такъв частен решение хетерогенна система(1) ... Както в параграф 3 , вместо системата (1) разгледайте еквивалентната система (5) състояща се от първите две уравнения на системата (1) .
(5)
Преместете свободните неизвестни в дясната страна х2и x4.
(6)
Нека дадем безплатни неизвестни х2 и x4 произволни стойности, например x2 = 2 , х4 = 1 и ги заменете (6) ... Получаваме системата
Тази система има уникално решение (тъй като нейният детерминант М2′0). Решавайки го (по теоремата на Крамер или по метода на Гаус), получаваме x1 = 3 , х3 = 3 ... Като се имат предвид стойностите на свободните неизвестни х2 и x4 , получаваме конкретно решение на хетерогенна система(1)α1 = (3,2,3,1).
5. Сега остава да запишете общо решение α на нехомогенна система(1) : равно е на сбора частно решениетази система и общо решение на неговата редуцирана хомогенна система (2) :
α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2).
Това означава: 
(7)
6. Преглед.За да проверите дали сте решили системата правилно (1) , имаме нужда от общо решение (7) замести в (1) ... Ако всяко уравнение се превърне в тъждество ( C1 и C2 трябва да бъде унищожен), тогава решението е намерено правилно.
Ние ще заместим (7) например само последното уравнение на системата (1) (х1 + х2 + х3 ‑9 х4 =‑1) .
Получаваме: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1
(C1 – C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1
Откъдето –1 = –1. Имаме самоличност. Правим това с всички останали уравнения на системата (1) .
Коментирайте.Проверката обикновено е доста тромава. Може да се препоръча следната "частична проверка": в цялостното решение на системата (1) да присвои някои стойности на произволни константи и да замести полученото конкретно решение само в изхвърлените уравнения (т.е. в тези уравнения от (1) които не са включени в (5) ). Ако получите самоличности, тогава, най-вероятно, системно решение (1) намерено правилно (но такава проверка не дава пълна гаранция за коректност!). Например, ако в (7) слагам C2 =- 1 , C1 = 1, тогава получаваме: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. Замествайки в последното уравнение на системата (1), имаме: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , тоест –1 = –1. Имаме самоличност.
Пример 2.Намерете общото решение на система от линейни уравнения (1) , изразяващи основни неизвестни чрез свободни.
Решение.Като в пример 1, съставете матрици Аи https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> на тези матрици. Сега оставяме само тези уравнения на системата (1) , чиито коефициенти са включени в този основен минор (т.е. имаме първите две уравнения) и разглеждаме система, състояща се от тях, която е еквивалентна на система (1).
Прехвърляме свободни неизвестни в дясната страна на тези уравнения.
Системата (9) решаваме по метода на Гаус, като считаме, че десните страни са свободни членове.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "ширина =" 202 височина = 106 "височина =" 106 ">
Вариант 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">
Вариант 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">
Вариант 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "ширина =" 179 височина = 106 "височина =" 106 ">
Вариант 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">
Ще продължим да полираме техниката елементарни трансформацииНа хомогенна система от линейни уравнения.
В първите параграфи материалът може да изглежда скучен и обикновен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното развитие на техниките, ще има много нова информация, така че моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.
Какво е хомогенна система от линейни уравнения?
Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член от всекиуравненията на системата е равна на нула. Например:
Това е съвсем ясно хомогенната система винаги е съвместима, тоест винаги има решение. И преди всичко т.нар тривиалнорешение 
... Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава bespontov. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ... Защо да се блъскате, нека да разберем дали тази система има други решения:
Пример 1
Решение: за да се реши хомогенна система, е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го привеждат в стъпаловидна форма. Моля, имайте предвид, че няма нужда да пишете вертикалната лента и нулевата колона на свободните членове тук - в края на краищата, каквото и да правите с нули, те ще останат нули: 
(1) Първият ред, умножен по –2, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по –3, се добавя към третия ред.
(2) Вторият ред, умножен по -1, се добавя към третия ред.
Разделянето на третия ред на 3 няма особен смисъл.
В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна хомогенна система 
, и, прилагайки обратния ход на метода на Гаус, е лесно да се провери дали решението е уникално.
Отговор: 
Нека формулираме очевиден критерий: хомогенната система от линейни уравнения има само тривиално решение, ако ранг на системната матрица(в този случай 3) е равно на броя на променливите (в този случай - 3 бр.).
Загряваме и настройваме нашия радиоприемник към вълната от елементарни трансформации:
Пример 2
Решаване на хомогенна система от линейни уравнения 
За окончателно консолидиране на алгоритъма, нека анализираме крайната задача:
Пример 7
Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма. 
Решение: записваме матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в стъпаловидна форма: 
(1) Знакът на първия ред е променен. Още веднъж насочвам вниманието ви към многократно срещана техника, която ви позволява значително да опростите следващото действие.
(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, се добавя към 4-ия ред.
(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са изтрити.
В резултат на това се получава стандартна стъпаловидна матрица и решението продължава по назъбената пътека:
- основни променливи;
- безплатни променливи.
Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи. От 2-ро уравнение:
- заместител в 1-во уравнение:
Така че общото решение е:
Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, основната система съдържа три вектора.
Заменете трите стойности 
в общото решение и получаваме вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново, повтарям, че е много желателно да се проверява всеки получен вектор - това няма да отнеме много време, но ще спести сто процента от грешки.
За тройка стойности 
намерете вектора
И накрая за тройката 
получаваме третия вектор:
Отговор: , където
Тези, които желаят да избегнат дробни стойности, могат да обмислят тройки 
и получете еквивалентен отговор:
Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата 
и да си зададем въпрос - възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В крайна сметка тук първо изразихме основната променлива чрез дроби, след това чрез дроби основната променлива и, трябва да кажа, този процес не беше най-лесният и не най-приятният.
Второ решение:
Идеята е да опитам изберете други основни променливи... Нека да разгледаме матрицата и да забележим две в третата колона. Така че защо да не получите нула на върха? Нека направим още една елементарна трансформация:
Разтворите на хомогенна система имат следните свойства. Ако векторът = (α 1, α 2, ..., α н) е решение на система (15.14), тогава за произволно число квектор k = (kα 1 , kα 2 , ..., kα n)ще бъде решението на тази система. Ако решението на системата (15.14) е векторът = (γ 1, γ 2, ..., γ н), след това сумата + също ще бъде решението на тази система. Оттук следва, че всяка линейна комбинация от решения на хомогенна система също е решение на тази система.
Както знаем от раздел 12.2, всяка система н-мерни вектори, състоящи се от повече от NSвектори е линейно зависим. Така от множеството вектори на разтвора на хомогенната система (15.14) може да се избере база, т.е. всеки вектор на решение на дадена система ще бъде линейна комбинация от вектори на тази основа. Всяка такава основа се нарича основна система за вземане на решенияхомогенна система от линейни уравнения. Вярна е следната теорема, която представяме без доказателство.
ТЕОРЕМА 4. Ако рангът r на системата от хомогенни уравнения(15.14) е по-малко от броя на неизвестните n, тогава всяка фундаментална система от решения на системата (15.14) се състои от n - r решения.
Нека сега посочим метод за намиране на фундаменталната система от решения (FSS). Нека системата от хомогенни уравнения (15.14) има ранг r< п. Тогава, както следва от правилата на Крамер, основните неизвестни на тази система х 1 , х 2 , … x rса линейно изразени чрез свободни променливи x r + 1 , x r + 2 , ..., x n:
Нека отделим частни решения на хомогенната система (15.14) съгласно следния принцип. За да намерите първия вектор на решение 1, поставете x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Тогава намираме второто решение 2: вземаме x r+2 = 1 и останалите r- 1 свободни променливи се задават като нули. С други думи, ние последователно присвояваме на всяка свободна променлива една стойност, поставяйки останалите с нули. По този начин основната система от решения във векторна форма, като се вземе предвид първото rбазисни променливи (15.15) има формата
FSR (15.16) е един от основните набори от решения на хомогенната система (15.14).
Пример 1.Намерете решението и FSR на системата от хомогенни уравнения
Решение. Ще решим тази система по метода на Гаус. Тъй като броят на уравненията в системата е по-малък от броя на неизвестните, приемаме NS 1 , х 2 , NS 3 основни неизвестни и х 4 , NS 5 , х 6 - безплатни променливи. Нека да съставим разширена матрица на системата и да извършим действията, които съставляват директния ход на метода.
Нека бъде М 0 е наборът от решения на хомогенната система (4) от линейни уравнения.
Определение 6.12.вектори с 1 ,с 2 , …, с пкоито са решения на хомогенна система от линейни уравнения се наричат фундаментален набор от решения(съкратено FNR) ако
1) вектори с 1 ,с 2 , …, с плинейно независими (т.е. нито един от тях не може да бъде изразен чрез другите);
2) всяко друго решение на хомогенна система от линейни уравнения може да бъде изразено чрез решения с 1 ,с 2 , …, с п.
Имайте предвид, че ако с 1 ,с 2 , …, с п- произволен ф.н.р., след това изразът к 1 × с 1 + к 2 × с 2 + … + k p× с пцелият комплект М 0 решения на система (4), затова се нарича общ изглед на системното решение (4).
Теорема 6.6.Всяка неопределена хомогенна система от линейни уравнения има основен набор от решения.
Начинът за намиране на основния набор от решения е както следва:
Намерете общото решение на хомогенна система от линейни уравнения;
Конструиране ( н – r) частни решения на тази система, докато стойностите на свободните неизвестни трябва да образуват единична матрица;
Напишете общ изглед на включеното в него решение М 0 .
Пример 6.5.Намерете основен набор от решения за следната система:
Решение... Нека намерим общо решение на тази система.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
В тази система пет неизвестни ( н= 5), от които две са основните неизвестни ( r= 2), три свободни неизвестни ( н – r), тоест основният набор от решения съдържа три вектора на решения. Нека ги изградим. Ние имаме х 1 и х 3 - основни неизвестни, х 2 , х 4 , х 5 - свободни неизвестни
Стойности на свободните неизвестни х 2 , х 4 , х 5 формират матрицата за идентичност Етрети ред. Имаме тези вектори с 1 ,с 2 , с 3 форма ф.н.р. тази система. Тогава наборът от решения на тази хомогенна система ще бъде М 0 = {к 1 × с 1 + к 2 × с 2 + к 3 × с 3 , к 1 , к 2 , к 3 Î R).
Нека сега изясним условията за съществуване на ненулеви решения на хомогенна система от линейни уравнения, с други думи, условията за съществуване на фундаментален набор от решения.
Една хомогенна система от линейни уравнения има ненулеви решения, тоест тя е неопределена, ако
1) рангът на основната матрица на системата е по-малък от броя на неизвестните;
2) в хомогенна система от линейни уравнения броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните;
3) ако в хомогенна система от линейни уравнения броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, а детерминантът на основната матрица е равен на нула (тоест | А| = 0).
Пример 6.6... При каква стойност на параметъра ахомогенна система от линейни уравнения 
има ненулеви решения?
Решение... Нека съставим основната матрица на тази система и да намерим нейната детерминанта: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - а- 4. Детерминантата на тази матрица е равна на нула за а = –4.
Отговор: –4.
7. Аритметика н-мерно векторно пространство
Основни понятия
В предишните раздели вече се сблъскахме с концепцията за набор от реални числа, подредени в определен ред. Това е матрица на редове (или колони) и решение на система от линейни уравнения с ннеизвестен. Тази информация може да бъде обобщена.
Определение 7.1. н-размерен аритметичен векторсе нарича подредено множество от нреални числа.
Средства а= (a 1, a 2, ..., a н), къде иÎ R, и = 1, 2, …, н- общ изглед на вектора. номер нНаречен измерениевектор и числата a иго нарече координати.
Например: а= (1, –8, 7, 4,) е петизмерен вектор.
Целият комплект н-размерните вектори обикновено се означават като R n.
Определение 7.2.Два вектора а= (a 1, a 2, ..., a н) и б= (b 1, b 2, ..., b н) със същото измерение са равниако и само ако съответните им координати са равни, т.е. a 1 = b 1, a 2 = b 2, ..., a н= b н.
Определение 7.3.Суматадве н-мерни вектори а= (a 1, a 2, ..., a н) и б= (b 1, b 2, ..., b н) се нарича вектор а + б= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a н+ b н).
Определение 7.4. По продуктреално число кна вектор а= (a 1, a 2, ..., a н) се нарича вектор к× а = (к× a 1, к× a 2,…, к× а н)
Определение 7.5.вектор О= (0, 0, ..., 0) се извиква нула(или нулев вектор).
Лесно е да се провери, че действията (операциите) за добавяне на вектори и умножаването им по реално число имат следните свойства: " а, б, ° С Î R n, " к, лÎ R:
1) а + б = б + а;
2) а + (б+ ° С) = (а + б) + ° С;
3) а + О = а;
4) а+ (–а) = О;
5) 1 × а = а, 1 Î R;
6) к×( л× а) = л×( к× а) = (л× к)× а;
7) (к + л)× а = к× а + л× а;
8) к×( а + б) = к× а + к× б.
Определение 7.6.Много R nс операциите събиране на вектори и тяхното умножение по дадено върху него реално число се нарича аритметично n-мерно векторно пространство.
