Тангента е права линия , който докосва графиката на функцията в една точка и всички точки на която са на най-малкото разстояние от графиката на функцията. Следователно, допирателната преминава допирателна към графиката на функцията под определен ъгъл и няколко допирателни не могат да преминат през допирателната точка под различни ъгли. Допирателните уравнения и уравненията на нормалата към графиката на функцията се съставят с помощта на производната.

Уравнението на допирателната се извлича от уравнението на правата линия .

Извеждаме уравнението на допирателната и след това уравнението на нормалата към графиката на функцията.

г = kx + б .

В него к- ъглов коефициент.

От тук получаваме следния запис:

г - г 0 = к(х - х 0 ) .

Производна стойност е "(х 0 ) функции г = е(х) в точката х0 равно на наклона к=tg φ допирателна към графиката на функция, начертана през точка М0 (х 0 , г 0 ) , където г0 = е(х 0 ) . Ето какво геометричен смисъл на производната .

Така можем да заменим кна е "(х 0 ) и вземете следното уравнението на допирателната към графиката на функцията :

г - г 0 = е "(х 0 )(х - х 0 ) .

В задачите за съставяне на уравнението на допирателна към графиката на функция (и скоро ще преминем към тях), се изисква уравнението, получено от горната формула, да се доведе до общо уравнение на права линия. За да направите това, трябва да прехвърлите всички букви и цифри в лявата страна на уравнението и да оставите нула от дясната страна.

Сега за нормалното уравнение. Нормално е права линия, минаваща през допирателната точка към графиката на функцията, перпендикулярна на допирателната. Нормално уравнение :

(х - х 0 ) + е "(х 0 )(г - г 0 ) = 0

За да загреете първия пример, вие трябва да го решите сами и след това да разгледате решението. Има всички основания да се надяваме, че тази задача няма да бъде „студен душ“ за нашите читатели.

Пример 0.Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията в точка М (1, 1) .

Пример 1Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията ако абсцисата на точката на допир е .

Нека намерим производната на функцията:

Сега имаме всичко, което трябва да бъде заменено в записа, даден в теоретичната справка, за да получим уравнението на допирателната. Получаваме

В този пример имахме късмет: наклонът се оказа равен на нула, така че отделно доведете уравнението до общ изгледнямаше нужда. Сега можем да напишем нормалното уравнение:

На фигурата по-долу: графика на функцията бордо, допирателна Зелен цвят, нормалното е оранжево.

Следващият пример също не е сложен: функцията, както и в предишния, също е полином, но коефициентът на наклона няма да бъде равен на нула, така че ще бъде добавена още една стъпка - привеждане на уравнението в общ вид.

Пример 2

Решение. Нека намерим ординатата на точката на допир:

Нека намерим производната на функцията:

.

Нека намерим стойността на производната в точката на контакт, тоест наклона на допирателната:

Заместваме всички получени данни в "празната формула" и получаваме допирателното уравнение:

Привеждаме уравнението до общ вид (събираме всички букви и цифри, различни от нула от лявата страна и оставяме нула от дясната страна):

Съставяме уравнението на нормата:

Пример 3Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата на точката на контакт е .

Решение. Нека намерим ординатата на точката на допир:

Нека намерим производната на функцията:

.

Нека намерим стойността на производната в точката на контакт, тоест наклона на допирателната:

.

Намираме уравнението на допирателната:

Преди да приведете уравнението в общ вид, трябва да го „комбинирате“ малко: умножете член по член по 4. Правим това и привеждаме уравнението в общ вид:

Съставяме уравнението на нормата:

Пример 4Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата на точката на контакт е .

Решение. Нека намерим ординатата на точката на допир:

.

Нека намерим производната на функцията:

Нека намерим стойността на производната в точката на контакт, тоест наклона на допирателната:

.

Получаваме допирателното уравнение:

Привеждаме уравнението в общ вид:

Съставяме уравнението на нормата:

Често срещана грешка при писане на допирателни и нормални уравнения е да не забележите, че дадената в примера функция е сложна и да изчислите нейната производна като производна на проста функция. Следните примери вече са сложни функции(съответният урок ще се отвори в нов прозорец).

Пример 5Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата на точката на контакт е .

Решение. Нека намерим ординатата на точката на допир:

Внимание! Тази функция е сложна, тъй като аргументът на допирателната (2 х) сама по себе си е функция. Следователно, ние намираме производната на функция като производна на комплексна функция.

Статията дава подробно обяснение на дефинициите, геометричното значение на производната с графично обозначение. Уравнението на допирателната права ще бъде разгледано с примери, ще бъдат намерени уравненията на допирателната към кривите от 2-ри ред.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Ъгълът на наклон на правата линия y \u003d k x + b се нарича ъгъл α, който се измерва от положителната посока на оста x до правата линия y = k x + b в положителна посока.

На фигурата посоката вол е обозначена със зелена стрелка и зелена дъга, а ъгълът на наклон с червена дъга. Синята линия се отнася до права линия.

Определение 2

Наклонът на правата линия y \u003d k x + b се нарича числов коефициент k.

Наклонът е равен на наклона на правата линия, с други думи k = t g α .

• Наклонът на правата линия е 0 само когато o x е успореден и наклонът е равен на нула, тъй като тангенсът на нулата е 0. Така че формата на уравнението ще бъде y = b.
• Ако ъгълът на наклона на правата y = k x + b е остър, тогава условията 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 и има увеличение на графиката.
• Ако α \u003d π 2, тогава местоположението на линията е перпендикулярно на x. Равенството се определя от равенството x = c, като стойността c е реално число.
• Ако ъгълът на наклона на правата y = k x + b е тъп, тогава той отговаря на условията π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секущата е права линия, която минава през 2 точки на функцията f (x). С други думи, секансът е права линия, която минава през всякакви две точки на графиката. дадена функция.

Фигурата показва, че A B е секуща, а f (x) е черна крива, α е червена дъга, показваща ъгъла на наклона на секущата.

Когато наклонът на права линия е равен на тангенса на ъгъла на наклон, е ясно, че допирателната от правоъгълен триъгълник A B C може да се намери по отношение на противоположния катет на съседния.

Определение 4

Получаваме формулата за намиране на секанса на формата:

k = tg α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A , където абсцисите на точки A и B са стойностите x A , x B и f (x A) , f (x B) са функциите на стойностите в тези точки.

Очевидно наклонът на секущата се определя с помощта на равенството k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A или k = f (x A) - f (x B) x A - x B и уравнението трябва да бъде записано като y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) или
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секущата визуално разделя графиката на 3 части: вляво от точка A, от A до B, вдясно от B. Фигурата по-долу показва, че има три секущи, които се считат за еднакви, т.е. се задава с помощта на подобно уравнение.

По дефиниция е ясно, че правата и нейната секанс съвпадат в този случай.

Секущата може да пресича графиката на дадена функция многократно. Ако има уравнение от формата y = 0 за секанс, тогава броят на пресечните точки със синусоидата е безкраен.

Определение 5

Допирателна към графиката на функцията f (x) в точката x 0 ; f (x 0) се нарича права линия, минаваща през дадена точка x 0; f (x 0) , с наличието на сегмент, който има много x стойности, близки до x 0 .

Пример 1

Нека разгледаме по-отблизо примера по-долу. Тогава може да се види, че правата, дадена от функцията y = x + 1, се счита за допирателна към y = 2 x в точката с координати (1 ; 2) . За по-голяма яснота е необходимо да се разгледат графики със стойности, близки до (1; 2). Функцията y = 2 x е маркирана в черно, синята линия е допирателната, червената точка е пресечната точка.

Очевидно y \u003d 2 x се слива с правата y = x + 1.

За да се определи допирателната, трябва да се разгледа поведението на допирателната A B, когато точка B се приближава безкрайно към точка A. За по-голяма яснота представяме фигура.

Секущата A B, обозначена със синята линия, клони към позицията на самата допирателна и ъгълът на наклон на секущата α ще започне да се доближава до ъгъла на наклон на самата допирателна α x.

Определение 6

Допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка A е граничната позиция на секущата A B в B, стремяща се към A, тоест B → A.

Сега се обръщаме към разглеждането на геометричния смисъл на производната на функция в точка.

Да преминем към разглеждането на секущата AB за функцията f (x), където A и B с координати x 0, f (x 0) и x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) и ∆ x се обозначава като увеличение на аргумента. Сега функцията ще приеме формата ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . За по-голяма яснота, нека вземем снимка като пример.

Разгледайте получения правоъгълен триъгълник A B C. Използваме дефиницията на допирателната за решението, тоест получаваме съотношението ∆ y ∆ x = t g α . От определението за допирателна следва, че lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Съгласно правилото за производната в точка имаме, че производната f (x) в точката x 0 се нарича граница на съотношението на приращението на функцията към приращението на аргумента, където ∆ x → 0, тогава означено като f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

От това следва, че f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, където k x се означава като наклон на допирателната.

Тоест получаваме, че f ' (x) може да съществува в точката x 0 и, както и допирателната към дадената графика на функцията в точката на контакт, равна на x 0 , f 0 (x 0) , където стойността на наклона на допирателната в точката е равна на производната в точката x 0 . Тогава получаваме, че k x = f "(x 0) .

Геометричното значение на производната на функция в точка е, че е дадено понятието за съществуването на допирателна към графиката в същата точка.

За да напишем уравнението на всяка права линия в равнината, е необходимо да има наклон с точката, през която минава. Неговото обозначение се приема като x 0 на кръстовището.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точката x 0, f 0 (x 0) приема формата y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Това означава, че крайната стойност на производната f "(x 0) може да определи позицията на допирателната, тоест вертикално при условие lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ или изобщо отсъствие при условието lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Местоположението на допирателната зависи от стойността на нейния наклон kx \u003d f "(x 0). Когато е успоредно на оста x, получаваме, че kk = 0, когато е успоредно на около y - kx \u003d ∞, и формата на допирателното уравнение x = x 0 се увеличава с kx > 0, намалява като kx< 0 .

Пример 2

Съставете уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точка с координати (1; 3) с дефиницията на ъгъла на наклон.

Решение

По предположение имаме, че функцията е дефинирана за всички реални числа. Получаваме, че точката с координатите, посочени от условието (1; 3), е точката на контакт, тогава x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Необходимо е да се намери производната в точката със стойност - 1 . Ние разбираме това

y "= ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" == ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Стойността на f’ (x) в точката на контакт е фактор на наклонадопирателна, която е равна на допирателната на наклона.

Тогава k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

От това следва, че α x = a r c t g 3 3 = π 6

Отговор:уравнението на допирателната приема формата

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

За по-голяма яснота даваме пример в графична илюстрация.

Черният цвят се използва за графиката на оригиналната функция, син цвят- изображението на допирателната, червената точка - точката на контакт. Фигурата вдясно показва увеличен изглед.

Пример 3

Намерете съществуването на допирателна към графиката на дадена функция
y = 3 x - 1 5 + 1 в точката с координати (1 ; 1) . Напишете уравнение и определете ъгъла на наклон.

Решение

По предположение имаме, че областта на дадената функция е множеството от всички реални числа.

Да преминем към намирането на производната

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ако x 0 = 1 , тогава f ' (x) не е дефинирано, но границите се записват като lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , което означава наличието на вертикална допирателна при точка (1; 1) .

Отговор:уравнението ще приеме формата x \u003d 1, където ъгълът на наклон ще бъде равен на π 2.

Нека го изобразим на графика за по-голяма яснота.

Пример 4

Намерете точките от графиката на функциите y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , където

1. Допирателната не съществува;
2. Допирателната е успоредна на x;
3. Допирателната е успоредна на правата y = 8 5 x + 4 .

Решение

Необходимо е да се обърне внимание на областта на дефиниция. По предположение имаме, че функцията е дефинирана върху множеството от всички реални числа. Разширете модула и решете системата с интервали x ∈ - ∞ ; 2 и [-2; +∞) . Ние разбираме това

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Функцията трябва да бъде диференцирана. Ние имаме това

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Когато x = - 2, тогава производната не съществува, тъй като едностранните граници не са равни в тази точка:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Изчисляваме стойността на функцията в точката x \u003d - 2, където получаваме това

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, тоест допирателната при точка (- 2; - 2) няма да съществува.
2. Допирателната е успоредна на x, когато наклонът е нула. Тогава kx \u003d tg α x \u003d f "(x 0). Тоест, необходимо е да се намерят стойностите на такъв x, когато производната на функцията го превръща в нула. Тоест стойностите на f ' (x) и ще бъдат допирни точки, където допирателната е успоредна на x .

Когато x ∈ - ∞ ; - 2 , тогава - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 и за x ∈ (- 2 ; + ∞) получаваме 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Изчисляваме съответните стойности на функцията

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Оттук - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 се считат за желаните точки от графиката на функцията.

Обмисли графично изображениерешения.

Черната линия е графиката на функцията, червените точки са допирните точки.

1. Когато линиите са успоредни, наклоните са равни. След това е необходимо да се търсят точките от графиката на функцията, където наклонът ще бъде равен на стойността 8 5 . За да направите това, трябва да решите уравнение от вида y "(x) = 8 5. Тогава, ако x ∈ - ∞; - 2, получаваме, че - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 и ако x ∈ ( - 2 ; + ∞) , тогава 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Първото уравнение няма корени, тъй като дискриминантът по-малко от нула. Нека запишем това

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Тогава друго уравнение има два реални корена

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Нека да преминем към намирането на стойностите на функцията. Ние разбираме това

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки със стойности - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 са точките, в които допирателните са успоредни на правата y = 8 5 x + 4 .

Отговор:черна линия - графика на функцията, червена линия - графика y \u003d 8 5 x + 4, синя линия - допирателни в точки - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Възможно е съществуването на безкраен брой допирателни за дадени функции.

Пример 5

Напишете уравненията на всички налични тангенси на функцията y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , които са перпендикулярни на правата y = - 2 x + 1 2 .

Решение

За да се изготви уравнението на допирателната, е необходимо да се намерят коефициента и координатите на точката на контакт, въз основа на условието за перпендикулярност на линиите. Определението звучи така: произведението на наклоните, които са перпендикулярни на правите, е равно на - 1, тоест се записва като k x · k ⊥ = - 1. От условието имаме, че наклонът е перпендикулярен на правата линия и е равен на k ⊥ = - 2, тогава k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Сега трябва да намерим координатите на допирните точки. Трябва да намерите x, след което неговата стойност за дадена функция. Забележете, че от геометричното значение на производната в точката
x 0 получаваме, че k x \u003d y "(x 0) . От това равенство намираме x стойностите за точките на допир.

Ние разбираме това

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 π 2 x 0 - 4 = - 1 9

Това тригонометрично уравнениеще се използва за изчисляване на ординатите на допирните точки.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z е набор от цели числа.

Намерени са x точки на допир. Сега трябва да отидете на търсене на y стойности:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3

От тук получаваме, че 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 са допирни точки.

Отговор:необходимите уравнения ще бъдат записани като

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

За визуално представяне, разгледайте функцията и допирателната на координатната права.

Фигурата показва, че местоположението на функцията е на интервала [-10; 10 ] , където черната линия е графиката на функцията, сините линии са допирателни, които са перпендикулярни на дадената права от вида y = - 2 x + 1 2 . Червените точки са допирни точки.

Каноничните уравнения на кривите от 2-ри ред не са еднозначни функции. Тангенсните уравнения за тях се съставят по добре познати схеми.

Допирателна към окръжността

За да зададете окръжност с център в точка x c e n t e r ; y c e n t e r и радиус R се използва формулата x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Това равенство може да се запише като обединение на две функции:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Първата функция е отгоре, а втората отдолу, както е показано на фигурата.

Да се ​​състави уравнение на окръжност в точка x 0 ; y 0 , който се намира в горния или долния полукръг, трябва да намерите уравнението на графиката на функцията от вида y = R 2 - x - xcenter 2 + ycenter или y = - R 2 - x - xcenter 2 + ycenter в посочената точка.

Когато в точки x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r - R тангенсите могат да бъдат дадени от уравненията y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , а в точките x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R ; y c e n t e r ще бъде успоредно около y, тогава ще получим уравнения от вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .

Допирателна към елипса

Когато елипсата е центрирана в x c e n t e r ; y c e n t e r с полуоси a и b , то може да се даде с помощта на уравнението x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Елипса и кръг могат да бъдат обозначени чрез комбиниране на две функции, а именно горната и долната полуелипса. Тогава получаваме това

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ако допирателните са разположени във върховете на елипсата, тогава те са успоредни около x или около y. За по-голяма яснота, разгледайте фигурата по-долу.

Пример 6

Напишете уравнението на допирателната към елипсата x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точки със стойности на x, равни на x = 2 .

Решение

Необходимо е да се намерят допирни точки, които отговарят на стойността x = 2. Правим заместване в съществуващото уравнение на елипсата и получаваме това

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тогава 2; 5 3 2 + 5 и 2 ; - 5 3 2 + 5 са ​​допирателните точки, които принадлежат на горната и долната полуелипса.

Нека да преминем към намирането и разрешаването на уравнението на елипса по отношение на y. Ние разбираме това

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно е, че горната полуелипса се задава с помощта на функция от вида y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , а долната y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Прилагаме стандартния алгоритъм, за да формулираме уравнението на допирателната към графиката на функция в точка. Пишем, че уравнението за първата допирателна в точка 2; 5 3 2 + 5 ще изглежда така

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Получаваме, че уравнението на втората допирателна със стойността в точката
2; - 5 3 2 + 5 става

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графично допирателните се обозначават, както следва:

Допирателна към хиперболата

Когато хиперболата има център в точката x c e n t e r ; y c e n t e r и върхове x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α ; y c e n t e r , неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 е дадено, ако с върхове x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r - b тогава се дава от неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Хипербола може да бъде представена като две комбинирани функции на формата

y = ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter = - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter или y = ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycenter = - ba (x - xcenter) ) 2 + a 2 + ycenter

В първия случай имаме, че допирателните са успоредни на y, а във втория те са успоредни на x.

От това следва, че за да се намери уравнението на допирателна към хипербола, е необходимо да се установи на коя функция принадлежи допирателната точка. За да се определи това, е необходимо да се направи заместване в уравненията и да се провери за идентичност.

Пример 7

Напишете уравнението на допирателната към хиперболата x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точка 7; - 3 3 - 3 .

Решение

Необходимо е да се трансформира записът на решението за намиране на хиперболата с помощта на 2 функции. Ние разбираме това

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 или y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо е да се установи на коя функция принадлежи дадената точка с координати 7; - 3 3 - 3 .

Очевидно, за да проверите първата функция, имате нужда от y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , тогава точката не принадлежи на графиката, тъй като равенството не е изпълнено.

За втората функция имаме, че y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , което означава, че точката принадлежи на дадена графика. От тук трябва да намерите коефициента на наклона.

Ние разбираме това

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Отговор:уравнението на допирателната може да се представи като

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Визуализира се по следния начин:

Допирателна към параболата

За да съставите уравнението на допирателната към параболата y \u003d ax 2 + bx + c в точката x 0, y (x 0) , трябва да използвате стандартния алгоритъм, тогава уравнението ще приеме формата y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Такава допирателна във върха е успоредна на x.

Параболата x = a y 2 + b y + c трябва да се дефинира като обединение на две функции. Следователно трябва да решим уравнението за y. Ние разбираме това

x = ay 2 + by + c ⇔ ay 2 + by + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Нека го изобразим като:

За да разберете дали точка x 0 , y (x 0) принадлежи на функция, внимателно следвайте стандартния алгоритъм. Такава допирателна ще бъде успоредна на y по отношение на параболата.

Пример 8

Напишете уравнението на допирателната към графиката x - 2 y 2 - 5 y + 3, когато имаме наклон на допирателната 150 °.

Решение

Започваме решението, като представяме параболата като две функции. Ние разбираме това

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 xy = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 х - 4

Стойността на наклона е равна на стойността на производната в точката x 0 на тази функция и е равна на допирателната на наклона.

Получаваме:

k x \u003d y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

От тук определяме стойността на x за допирните точки.

Първата функция ще бъде записана като

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно няма реални корени, тъй като получихме отрицателна стойност. Заключаваме, че няма допирателна с ъгъл от 150 ° за такава функция.

Втората функция ще бъде записана като

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Имаме, че точките на допир - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Нека го изобразим така:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Инструкция

Определяме наклона на допирателната към кривата в точка M.
Кривата, представяща графиката на функцията y = f(x), е непрекъсната в някаква околност на точка M (включително самата точка M).

Ако стойността f‘(x0) не съществува, тогава или няма допирателна, или минава вертикално. С оглед на това, наличието на производна на функцията в точката x0 се дължи на наличието на невертикална допирателна, която е в контакт с графиката на функцията в точката (x0, f(x0)). В този случай наклонът на допирателната ще бъде равен на f "(x0). Така геометричният смисъл на производната става ясен - изчисляването на наклона на допирателната.

Намерете стойността на абсцисата на точката на контакт, която се обозначава с буквата "а". Ако съвпада с дадената допирателна точка, тогава "a" ще бъде нейната x-координата. Определете стойността функции f(a), замествайки в уравнението функцииразмера на абсцисата.

Определете първата производна на уравнението функции f'(x) и заместете стойността на точката "a" в нея.

Предприеме общо уравнениедопирателна, която се дефинира като y = f (a) = f (a) (x - a) и заменете в нея намерените стойности на a, f (a), f "(a) В резултат на това ще бъде намерено решението на графиката и допирателната.

Решете задачата по различен начин, ако дадената допирателна точка не съвпада с точката на допирателна. В този случай е необходимо да се заменят "а" вместо числа в уравнението на допирателната. След това вместо буквите "x" и "y" заменете стойността на координатите на дадената точка. Решете полученото уравнение, в което "a" е неизвестното. Поставете получената стойност в уравнението на допирателната.

Напишете уравнение за допирателна с буквата "а", ако уравнението е дадено в условието на задачата функциии уравнение успоредна линияпо отношение на желаната допирателна. След това се нуждаете от производно функциидо координатата в точка "а". Включете подходящата стойност в уравнението на допирателната и решете функцията.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или връзка с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияда подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Тази математическа програма намира уравнението на допирателната към графиката на функцията \(f(x) \) в определена от потребителя точка \(a \).

Програмата не само показва уравнението на допирателната, но и показва процеса на решаване на проблема.

Този онлайн калкулатор може да бъде полезен за ученици от гимназията общообразователни училищав подготовка за контролна работаи изпити, при проверка на знанията преди изпита, родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашното си по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучението на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.

Ако трябва да намерите производната на функция, тогава за това имаме задачата Намери производна.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на функции, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Въведете израза на функцията \(f(x)\) и числото \(a\)

f(x)=
a=

Намерете уравнение на допирателна

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript във вашия браузър.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

Защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачати решаваш какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Наклон на права линия

Припомнете си, че графиката на линейната функция \(y=kx+b\) е права линия. Извиква се числото \(k=tg \alpha \). наклон на права линия, а ъгълът \(\alpha \) е ъгълът между тази линия и оста Ox

Ако \(k>0\), то \(0 Ако \(kУравнението на допирателната към графиката на функцията

Ако точката M (a; f (a)) принадлежи на графиката на функцията y \u003d f (x) и ако в тази точка е възможно да се начертае допирателна към графиката на функцията, която не е перпендикулярна на x-ос, то от геометричния смисъл на производната следва, че наклонът на допирателната е равен на f "(a). След това ще разработим алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на всяка функция.

Нека функцията y \u003d f (x) и точката M (a; f (a)) на графиката на тази функция са дадени; нека се знае, че f "(a) съществува. Нека съставим уравнението на допирателната към графиката на дадената функция в дадена точка. Това уравнение, подобно на уравнението на всяка права линия, която не е успоредна на оста y, има формата y = kx + b, така че проблемът е да се намерят стойностите на коефициентите k и b.

Всичко е ясно с наклона k: известно е, че k \u003d f "(a). За да изчислим стойността на b, използваме факта, че желаната права линия минава през точка M (a; f (a)) Това означава, че ако поставим координатите на точка M в уравнението на права линия, получаваме правилното равенство: \ (f (a) \u003d ka + b \), т.е. \ (b \u003d f (a) ) - ка \).

Остава да се заменят намерените стойности на коефициентите k и b в уравнението на права линия:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(xa) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(xa) $$

Ние получихме уравнението на допирателната към графиката на функцията\(y = f(x) \) в точката \(x=a \).

Алгоритъм за намиране на уравнението на допирателната към графиката на функцията \(y=f(x)\)
1. Определете абсцисата на точката на контакт с буквата \ (a \)
2. Изчислете \(f(a)\)
3. Намерете \(f"(x) \) и изчислете \(f"(a) \)
4. Заменете намерените числа \ (a, f (a), f "(a) \) във формулата \ (y \u003d f (a) + f "(a) (x-a) \)

Книги (учебници) Резюме на Единния държавен изпит и OGE тестове онлайн Игри, пъзели Графиране на функции Правописен речник на руския език Речник на младежкия жаргон Каталог на руските училища Каталог на средните училища в Русия Каталог на руските университети Списък със задачи Намиране на GCD и LCM Опростяване на полином (умножаване на полиноми)