Каква е идентичността на израза a b 2. Идентични трансформации на изрази

Тази статия предоставя инициал понятие за идентичности... Тук ние дефинираме идентичност, въвеждаме използваната нотация и, разбира се, даваме различни примери за идентичности.

Навигация в страницата.

Какво е идентичност?

Логично е да започнем представянето на материала дефиниции за идентичност... В учебника от Ю. Н. Макаричев, алгебра за 7 класа, определението за идентичност е дадено, както следва:

Определение.

самоличност- това е вярно равенство за всякакви стойности на променливите; всяко валидно числово равенство също е тъждество.

В този случай авторът незабавно посочва, че в бъдеще това определение ще бъде изяснено. Това прецизиране се извършва в 8 клас, след запознаване с дефиницията на допустимите стойности на променливите и OVS. Определението става така:

Определение.

Самоличности- това са истински числови равенства, както и равенства, които са верни за всички допустими стойности на променливите, включени в тях.

И така, защо, когато дефинираме идентичност, в 7-ми клас говорим за всякакви стойности на променливите, а в 8-ми клас започваме да говорим за стойностите на променливите от техния ODZ? До 8 клас работата се извършва изключително с целочислени изрази (по-специално с мономи и полиноми) и те имат смисъл за всички стойности на променливите, включени в тях. Следователно в 7-ми клас казваме, че идентичността е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите. И в 8-ми клас се появяват изрази, които вече имат смисъл не за всички стойности на променливи, а само за стойности от техния ODZ. Следователно започваме да наричаме идентичности равенства, които са верни за всички допустими стойности на променливите.

И така, идентичността е специален случайравенство. Тоест всяка идентичност е равенство. Но не всяко равенство е идентичност, а само такова равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливи от техния диапазон от допустими стойности.

Знак за самоличност

Известно е, че при записването на равенствата се използва знак за равенство от вида "=", вляво и вдясно от който има някои числа или изрази. Ако добавим още една хоризонтална линия към този знак, получаваме знак за самоличност"≡", или както се нарича още знак за самоличност.

Знакът за идентичност обикновено се използва само когато е необходимо да се подчертае, че сме изправени не само пред равенството, но и пред идентичността. В други случаи записването на идентичности не се различава по форма от равенствата.

Примери за идентичности

Време е да водиш примери за идентичности... Определението за идентичност, дадено в първия параграф, ще ни помогне в това.

Числени равенства 2 = 2 и са примери за идентичности, тъй като тези равенства са верни и всяко истинско числово равенство по дефиниция е тъждество. Те могат да бъдат записани като 2≡2 и.

Числени равенства от вида 2 + 3 = 5 и 7−1 = 2 · 3 също са тъждества, тъй като тези равенства са верни. Тоест 2 + 3≡5 и 7−1≡2 · 3.

Нека да преминем към примери за идентичности, които съдържат не само числа, но и променливи в своето обозначение.

Да разгледаме равенството 3 (x + 1) = 3 x + 3. За всяка стойност на променливата x писменото равенство е вярно поради разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането, следователно оригиналното равенство е пример за идентичност. Ето още един пример за идентичност: y (x − 1) ≡ (x − 1) x: x y 2: y, тук диапазонът от допустими стойности на променливите x и y се състои от всички двойки (x, y), където x и y са произволни числа с изключение на нула.

Но равенствата x + 1 = x − 1 и a + 2 b = b + 2 a не са тъждества, тъй като има стойности на променливи, за които тези равенства ще бъдат неправилни. Например, за x = 2 равенството x + 1 = x − 1 се превръща в невярно равенство 2 + 1 = 2−1. Освен това равенството x + 1 = x − 1 изобщо не се постига за никакви стойности на променливата x. И равенството a + 2 b = b + 2 a се превръща в неправилно равенство, ако вземем различни стойности на променливите a и b. Например, за a = 0 и b = 1, стигаме до неправилното равенство 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0. Равенството | x | = x, където | x | - променлива x, също не е идентичност, тъй като не е вярна за отрицателни стойности на x.

Примери за най-известните идентичности са sin 2 α + cos 2 α = 1 и a log a b = b.

В заключение на тази статия бих искал да отбележа, че в изучаването на математиката постоянно се натъкваме на идентичности. Записите на свойствата на действията с числа са идентичности, например a + b = b + a, 1 a = a, 0 a = 0 и a + (- a) = 0. Също така самоличностите са

Преобразуванията на идентичност представляват работата, която вършим с числови и буквални изрази, както и изрази, които съдържат променливи. Ние извършваме всички тези трансформации, за да приведем оригиналния израз във форма, която ще бъде удобна за решаване на проблема. В тази тема ще разгледаме основните видове идентични трансформации.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Идентично преобразуване на израз. Какво е?

За първи път се срещаме с понятието идентично преобразувано, ние сме на уроците по алгебра в 7. клас. В същото време първо се запознаваме с понятието за идентично равни изрази. Нека разберем понятията и дефинициите, за да направим темата по-лесна за разбиране.

Определение 1

Идентично преобразуване на израз- това са действия, извършвани с цел замяна на оригиналния израз с израз, който ще бъде идентично равен на оригинала.

Често това определение се използва в съкратена форма, в която думата "идентичен" е пропусната. Приема се, че във всеки случай извършваме трансформацията на израза по такъв начин, че да получим израз, идентичен с оригиналния, и това не е необходимо да се подчертава отделно.

Нека илюстрираме това определениепримери.

Пример 1

Ако заменим израза х + 3 - 2до идентичен израз х + 1, тогава ще извършим идентичната трансформация на израза х + 3 - 2.

Пример 2

Замяна на израз 2 a 6 с израз а 3Е идентична трансформация, докато замяната на израза хна изразяване х 2не е идентична трансформациятъй като изразите хи х 2не са идентично равни.

Обръщаме вниманието ви към формата на писмени изрази при извършване на идентични трансформации. Обикновено ние записваме оригиналния израз и получения израз като равенство. И така, записването на x + 1 + 2 = x + 3 означава, че изразът x + 1 + 2 е редуциран до формата x + 3.

Последователното изпълнение на действията ни води до верига от равенства, която представлява няколко еднакви трансформации, разположени в редица. И така, ние разбираме нотацията x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x като последователно извършване на две трансформации: първо, изразът x + 1 + 2 беше приведен до формата x + 3, а той - до формата 3 + x.

Идентични трансформации и ODU

Редица изрази, които започваме да учим в 8 клас, нямат смисъл за всички стойности на променливите. Извършването на идентични трансформации в тези случаи изисква от нас да обърнем внимание на диапазона от допустими стойности на променливите (ADV). Извършването на идентични трансформации може да остави ODZ непроменен или да го стесни.

Пример 3

При скачане от изражение a + (- b)към израза а - бпроменлив диапазон аи бостава същото.

Пример 4

Преминаване от израз x към израз х 2 хводи до стесняване на диапазона на допустимите стойности на променливата x от множеството на всички реални числа до множеството от всички реални числа, от които нулата е изключена.

Пример 5

Идентично преобразуване на израз х 2 хизразът x води до разширяване на диапазона от допустими стойности на променливата x от множеството на всички реални числа с изключение на нула до множеството от всички реални числа.

Стесняването или разширяването на обхвата на допустимите стойности на променливите при извършване на идентични трансформации е важно при решаването на проблеми, тъй като може да повлияе на точността на изчисленията и да доведе до грешки.

Основни трансформации на идентичността

Нека сега да видим какви са идентичните трансформации и как се извършват. Нека отделим в основната група онези видове идентични трансформации, с които най-често се налага да се справяме.

В допълнение към основните идентични трансформации има редица трансформации, които се отнасят до изрази от определен тип. За дробите това са методи за редукция и редукция до нов знаменател. За изрази с корени и степени, всички действия, които се извършват въз основа на свойствата на корени и степени. За логаритмични изрази, действия, които се извършват въз основа на свойствата на логаритмите. За тригонометрични изрази всички действия се използват тригонометрични формули... Всички тези частни трансформации са подробно описани в отделни теми, които можете да намерите на нашия ресурс. В тази връзка няма да се спираме на тях в тази статия.

Нека да преминем към разглеждането на основните идентични трансформации.

Пермутация на термини, фактори

Нека започнем с пренареждане на термините. С тази идентична трансформация се занимаваме най-често. И следното твърдение може да се счита за основно правило тук: във всяка сума пермутацията на термините на места не влияе на резултата.

Това правило се основава на свойствата на изместване и комбиниране на добавянето. Тези свойства ни позволяват да пренаредим термините на места и по този начин да получим изрази, които са идентично равни на оригиналните. Ето защо пермутацията на членовете на места в сбора е тъждествена трансформация.

Пример 6

Имаме сбора от три члена 3 + 5 + 7. Ако разменим членовете 3 и 5, тогава изразът ще приеме формата 5 + 3 + 7. Има няколко опции за пренареждане на условията в този случай. Всички те водят до получаване на изрази, които са идентични с оригиналния.

Не само числата, но и изразите могат да действат като членове в сбора. Те, също като числата, могат да се пренареждат на места, без да се засяга крайният резултат от изчисленията.

Пример 7

В сбора от три члена 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 и - 12 a от вида 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) · термините могат да бъдат пренаредени, например, както следва (- 12) От своя страна можете да пренаредите членовете в знаменателя на дроб 1 a + b и дробът ще приеме формата 1 b + a. И изразът под знака корен а 2 + 2 а + 5е също така сумата, в която термините могат да бъдат разменени.

По същия начин като термините, в оригиналните изрази можете да промените местата на факторите и да получите идентично правилни уравнения. Това действие се ръководи от следното правило:

Определение 2

В продукт пренареждането на множителите на места не влияе на резултата от изчислението.

Това правило се основава на свойствата на изместване и комбиниране на умножението, които потвърждават правилността на идентичната трансформация.

Пример 8

Работете 3 5 7пермутацията на фактори може да бъде представена в една от следните форми: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 или 3 7 5.

Пример 9

Пренареждането на факторите в произведението x + 1 x 2 - x + 1 x дава x 2 - x + 1 x x + 1

Разширяващи се скоби

Скобите могат да съдържат числови и променливи изрази. Тези изрази могат да бъдат превърнати в идентично равни изрази, в които изобщо няма да има скоби или ще има по-малко от тях, отколкото в оригиналните изрази. Този начин на преобразуване на изрази се нарича разширяване на скоби.

Пример 10

Нека да извършим действия със скоби в израз на формата 3 + x - 1 xза да се получи идентично правилен израз 3 + x - 1 x.

Изразът 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x може да се преобразува в идентично равно изражениебез скоби 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

Правилата за преобразуване на изрази със скоби сме изложили подробно в темата „Разгъващи се скоби“, която е публикувана на нашия ресурс.

Групиране на термини, фактори

В случаите, когато имаме работа с три и голяма суматермини, можем да прибегнем до такава форма на трансформации на идентичността като групирането на термините. Този метод на трансформации означава комбиниране на няколко термина в група чрез пренареждането им и затварянето им в скоби.

При групиране термините се разменят, така че термините, които ще бъдат групирани, да се появяват един до друг в израза. След това те могат да бъдат затворени в скоби.

Пример 11

Да вземем израза 5 + 7 + 1 ... Ако групираме първия член с третия, получаваме (5 + 1) + 7 .

Групирането на факторите се извършва подобно на групирането на термините.

Пример 12

В работата 2 3 4 5можем да групираме първия фактор с третия, а втория - с четвъртия и стигаме до израза (2 4) (3 5)... И ако групираме първия, втория и четвъртия фактор, ще получим израза (2 3 5) 4.

Термините и факторите, които са групирани, могат да бъдат представени както с прости числа, така и с изрази. Правилата за групиране бяха подробно разгледани в темата "Групиране на термини и фактори".

Замяна на разликите със суми, частични произведения и обратно

Замяната на разликите със суми стана възможна благодарение на запознаването ни с противоположните числа. Сега изваждане от число ачислата бможе да се разглежда като допълнение към числото ачислата - б... Равенство a - b = a + (- b)може да се счита за справедлив и въз основа на него да замести разликите със суми.

Пример 13

Да вземем израза 4 + 3 − 2 , в която разликата в числата 3 − 2 можем да запишем като сума 3 + (− 2) ... Получаваме 4 + 3 + (− 2) .

Пример 14

Всички разлики в изражението 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2може да бъде заменен със суми като 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

Можем да преминем към сумите от всякакви разлики. По същия начин можем да направим обратната подмяна.

Замяната на деление с умножение с реципрочната стойност на делителя става възможна поради концепцията за взаимно реципрочни числа... Тази трансформация може да се запише с равенството a: b = a (b - 1).

Това правило беше използвано като основа за правилото за разделяне на обикновени дроби.

Пример 15

Частен 1 2: 3 5 може да бъде заменен с продукт от формата 1 2 5 3.

По същия начин, по аналогия, деленето може да бъде заменено с умножение.

Пример 16

В случая на израза 1 + 5: x: (x + 3)заменете разделението с хможе да се умножи по 1 х... Деление по х + 3можем да заменим с умножение по 1 х + 3... Трансформацията ни позволява да получим израз, идентичен с оригинала: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Замяната на умножението с деление се извършва по схемата a b = a: (b - 1).

Пример 17

В израза 5 x x 2 + 1 - 3 умножението може да бъде заменено с деление като 5: x 2 + 1 x - 3.

Извършване на действия върху числа

Извършването на действия с числа се подчинява на правилото за реда на действията. Първо, действията се извършват със степени на числа и корени от числа. След това заменяме логаритмите, тригонометричните и други функции с техните стойности. След това се изпълняват действията в скоби. И тогава всички други действия могат да се извършват отляво надясно. Важно е да запомните, че умножението и деленето се извършват преди събиране и изваждане.

Операциите с числа ви позволяват да преобразувате оригиналния израз в идентичен, равен на него.

Пример 18

Препишете израза 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, като извършите всички възможни действия с числата.

Решение

Първо, нека обърнем внимание на степента 2 3 и корен 4 и изчислете техните стойности: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2.

Заместете получените стойности в оригиналния израз и получете: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Сега нека направим действията в скоби: 8 − 1 = 7 ... И преминете към израза 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x).

Остава да извършим умножението на числата 3 и 7 ... Получаваме: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).

Отговор: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Действията върху числата могат да бъдат предшествани от други типове идентични трансформации, като групиране на числа или разширяващи се скоби.

Пример 19

Да вземем израза 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Решение

На първо място, ще заменим частното в скоби 6: 3 върху неговата стойност 2 ... Получаваме: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

Нека разширим скобите: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

Нека групираме числовите фактори в продукта, както и термините, които са числа: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Нека изпълним действията в скоби: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Отговор:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Ако работим с числови изрази, тогава целта на нашата работа ще бъде да намерим значението на израза. Ако трансформираме изрази с променливи, тогава целта на нашите действия ще бъде да опростим израза.

Разбийте общия фактор

В случаите, когато термините в израза имат един и същ фактор, тогава можем да извадим този общ множител от скобите. За да направим това, първо трябва да представим оригиналния израз като произведението на общия множител и израза в скоби, който се състои от оригиналните термини без общия множител.

Пример 20

Числено 2 7 + 2 3можем да извадим общия фактор 2 скоби и да получите идентично правилен израз на формата 2 (7 + 3).

Можете да опресните паметта си за правилата за поставяне на общия фактор извън скобите в съответния раздел на нашия ресурс. Материалът разглежда подробно правилата за поставяне на общия фактор извън скобите и дава множество примери.

Намаляване на подобни термини

Сега да преминем към сумите, които съдържат подобни термини. Има два възможни варианта: сумите, съдържащи едни и същи членове, и сумите, чиито членове се различават с числов коефициент. Действия със суми, съдържащи такива термини, се наричат намаляване на такива термини. Извършва се по следния начин: изваждаме общата буквена част извън скобите и изчисляваме сумата от числовите коефициенти в скоби.

Пример 21

Помислете за израза 1 + 4 х - 2 х... Можем да поставим буквалната част на x извън скобите и да получим израза 1 + x (4 - 2)... Нека да изчислим стойността на израза в скоби и да получим сумата от вида 1 + x · 2.

Замяна на числа и изрази с идентично равни изрази

Числата и изразите, от които е съставен оригиналният израз, могат да бъдат заменени с идентично равни изрази. Такава трансформация на оригиналния израз води до идентично равен на него израз.

Пример 22 Пример 23

Помислете за израза 1 + а 5, в който можем да заменим степента на 5 с идентично равно произведение, например от формата а а 4... Това ще ни даде израза 1 + а и 4.

Извършената трансформация е изкуствена. Има смисъл само в подготовка за други трансформации.

Пример 24

Помислете за трансформацията на сумата 4 x 3 + 2 x 2... Ето термина 4 х 3можем да си представим като произведение 2 х 2 2 х... В резултат на това оригиналният израз приема формата 2 x 2 2 x + 2 x 2... Сега можем да изберем общия фактор 2 х 2и го поставете извън скобите: 2 x 2 (2 x + 1).

Събирайте и извадете едно и също число

Добавянето и изваждането на едно и също число или израз по едно и също време е изкуствена техника за трансформиране на изрази.

Пример 25

Помислете за израза х 2 + 2 х... Можем да добавим или извадим едно от него, което ще ни позволи да извършим още една идентична трансформация в бъдеще - да изберем квадрата на бинома: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

§ 2. Еднакви изрази, тъждество. Идентично преобразуване на израз. Доказателства за самоличност

Намерете стойностите на изразите 2 (x - 1) 2x - 2 за дадените стойности на променливата x. Нека запишем резултатите в таблицата:

Можете да стигнете до извода, че стойностите на изразите 2 (x - 1) 2x - 2 за всяка дадена стойност на променливата x са равни една на друга. Чрез свойството на разпределение на умножението по отношение на изваждането 2 (x - 1) = 2x - 2. Следователно за всяка друга стойност на променливата x стойността на израза 2 (x - 1) 2x - 2 също ще бъде равна един на друг. Такива изрази се наричат идентично равни.

Например изразите 2x + 3x и 5x са синоними, тъй като за всяка стойност на променливата x тези изрази придобиват същите стойности(това следва от разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането, тъй като 2x + 3x = 5x).

Помислете сега за изразите 3x + 2y и 5xy. Ако x = 1 и b = 1, тогава съответните стойности на тези изрази са равни една на друга:

3x + 2y = 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Можете обаче да посочите такива стойности на x и y, за които стойностите на тези изрази няма да бъдат равни една на друга. Например, ако x = 2; y = 0, тогава

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6.5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Следователно има стойности на променливи, за които съответните стойности на изразите 3x + 2y и 5xy не са равни една на друга. Следователно изразите 3x + 2y и 5xy не са идентично равни.

Въз основа на гореизложеното, идентичностите по-специално са равенства: 2 (x - 1) = 2x - 2 и 2x + 3x = 5x.

Идентичност е всяко равенство, което съдържа известните свойства на действията върху числата. Например,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a (b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab) c = a (bc); a (b - c) = ab - ac.

Има и такива равенства като идентичности:

а + 0 = а; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

а + (-а) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Ако намалим подобни членове в израза -5x + 2x - 9, получаваме, че 5x + 2x - 9 = 7x - 9. В този случай казват, че изразът 5x + 2x - 9 е заменен с израза 7x - 9 което е идентично с него.

Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват с помощта на свойствата на действията върху числата. По-специално, идентични трансформации с разширяване на скоби, изграждане на подобни термини и други подобни.

Идентични трансформации трябва да се извършат при опростяване на израза, тоест заместване на някакъв израз с израз, който е идентично равен на него, който трябва да бъде по-кратък от записа.

Пример 1. Опростете израза:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2 (3x 4) + 3 (-4 + 7) = 6 х - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 б + 3 б - а= 3a + 5b + 2.

За да докажете, че равенството е идентичност (с други думи, за да докажете идентичност, използвайте идентични трансформации на изрази.

Самоличността може да бъде доказана по един от следните начини:

извършва идентични трансформации на лявата му страна, като по този начин я намалява до формата на дясната страна;
извършват идентични трансформации на дясната му страна, като по този начин я намаляват до формата на лявата страна;
извършва идентични трансформации на двете си части, като по този начин издига и двете части до едни и същи изрази.

Пример 2. Докажете самоличността:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4а = 5 (2а - 3b) - 7 (2а - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Раздел

1) Преобразуваме лявата страна на това равенство:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - NS- 5 - 11 = x - 16.

Чрез идентични трансформации изразът от лявата страна на равенството се свежда до формата на дясната страна и по този начин се доказва, че това равенство е тъждество.

2) Преобразуваме дясната страна на това равенство:

5 (2а - 3b) - 7 (2а - 5b) = 10а - 15 б - 14а + 35 б= 20b - 4a.

Чрез идентични преобразувания дясната страна на равенството се свежда до формата на лявата страна и по този начин се доказва, че това равенство е тъждество.

3) В този случай е удобно да се опрости както лявата, така и дясната страна на равенството и да се сравнят резултатите:

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

Чрез идентични преобразувания лявата и дясната част на равенството бяха сведени до еднакъв вид: 26x - 44. Следователно това равенство е тъждество.

Кои изрази се наричат идентични? Дайте пример за еднакви изрази. Какво равенство се нарича идентичност? Дайте пример за идентичност. Какво се нарича преобразуване на идентичност на израз? Как да докажа самоличност?

(Устно) Или има изрази, които са идентично равни:

1) 2а + а и 3а;

2) 7x + 6 и 6 + 7x;

3) x + x + x и x 3;

4) 2 (x - 2) и 2x - 4;

5) m - n и n - m;

6) 2a ∙ p и 2p ∙ a?

Изразите ли са:

1) 7x - 2x и 5x;

2) 5а - 4 и 4 - 5а;

3) 4m + n и n + 4m;

4) a + a и a 2;

5) 3 (а - 4) и 3а - 12;

6) 5m ∙ n и 5m + n?

(Устно) е идентичността на Лъжата:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7p - 1 = -1 + 7p;

3) 3 (x - y) = 3x - 5y?

Отворени скоби:

Отворени скоби:

Комбинирайте подобни термини:

Назовете няколко израза, които са идентични с изрази 2a + 3a.
Опростете израза си, като използвате пермутацията и свързващите свойства на умножението:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4) - x ∙<-7у).

Опростете израза:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Устно) Опростете израза:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7а - 3b + 2а + 3b;

4) 4а ∙ (-2b).

Комбинирайте подобни термини:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) - (3m - 5) + 2 (3m - 7).

Разширете скобите и намалете подобни термини:

1) 3 (8а - 4) + 6а;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4 (x - 20), ако x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, ако а = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ако m = -3,7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y, ако x = -1, y = 1.

Опростете израза и намерете значението му:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), ако x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ако b = 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ако a = -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n, ако m = 1,8; n = -0,9.

Докажете самоличността:

1) - (2x - y) = y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Докажете самоличността:

1) - (m - 3n) = 3n - m;

2) 7 (2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7m - 3.

Дължината на една от страните на триъгълника е cm, а дължината на всяка от другите две страни е с 2 cm по-дълга от нея. Запишете периметъра на триъгълника като израз и опростете израза.
Ширината на правоъгълника е x cm, а дължината е с 3 cm по-голяма от ширината. Запишете периметъра на правоъгълника като израз и опростете израза.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Разгънете скобите и опростете израза:

1) а - (а - (3а - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

Докажете самоличността:

1) 10x - (- (5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (- (8 - 5p)) = 2 (4 - d);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

Докажете самоличността:

1) 12а - ((8а - 16)) = -4 (4 - 5а);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Докажете, че стойността на израза

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2m) не зависи от стойността на променливата.

Докажете, че за всяка стойност на променливата, стойността на израза

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

е същото число.

Докажете, че сборът от три последователни четни числа се дели на 6.
Докажете, че ако n е естествено число, тогава стойността на израза -2 (2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) е четно число.

Упражнения за повторение

Сплавта с тегло 1,6 кг съдържа 15% мед. Колко кг мед има в тази сплав?
Какъв процент е самото число 20:

1) квадрат;

Туристът е вървял 2 часа и карал колело 3 часа. Общо туристът е изминал 56 км. Намерете скоростта, с която туристът е карал велосипед, ако е с 12 km/h повече от скоростта, с която е вървял.

Интересни задачи за мързеливи ученици

В градското първенство по футбол участват 11 отбора. Всеки отбор играе по един мач с останалите. Докажете, че във всеки един момент от състезанието има отбор, който е изиграл четен брой мачове до този момент или все още не е играл нито един.

тема "Доказателства за самоличност„7 клас (KRO)

Учебник Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г.

Цели на урока

Образователни:

да се запознаят и първо да затвърдят понятията „идентично равни изрази”, „идентичност”, „идентични трансформации”;

обмислят начини за доказване на самоличността, допринасят за развитието на умения за доказване на самоличности;

да се провери усвояването на издържания материал от учениците, да се формират умения за прилагане на наученото за възприемане на новото.

Разработване:

Развийте грамотна математическа реч на учениците (обогатете и усложнете речника при използване на специални математически термини),

развиват мисленето,

Образователна: да възпитава усърдие, точност, правилно записване на решението на упражненията.

Тип урок: изучаване на нов материал

По време на занятията

1 ... Организиране на времето.

Проверка на домашната работа.

Въпроси за домашна работа.

Анализ на решението на черната дъска.

Необходима е математика
Не можеш да живееш без нея
Ние учим, учим, приятели,
Какво си спомняме от сутринта?

2 ... Да направим загрявка.

Резултат от добавянето. (Сбор)

Колко числа знаете? (десет)

Една стотна от числото. (процент)

Резултат от разделението? (частно)

Най-малкото естествено число? (1)

Възможно ли е да се получи нула при разделяне на естествени числа? (Не)

Кое е най-голямото отрицателно цяло число. (-1)

На кое число не може да се раздели? (0)

Резултатът от умножението? (работа)

Резултат от изваждане. (разлика)

Свойството на изместване на събиране. (От пренареждането на местата на термините сумата не се променя)

Свойството на пътуването на умножението. (Продуктът не се променя от пермутация на множителите)

Изучаване на нова тема (определение с писане в тетрадка)

Намерете стойността на изразите за x = 5 и y = 4

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27

3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27

Получихме същия резултат. От свойството на разпределение следва, че по принцип за всякакви стойности на променливите стойностите на изразите 3 (x + y) и 3x + 3y са равни.

Нека сега разгледаме изразите 2x + y и 2xy. За x = 1 и y = 2 те приемат равни стойности:

Въпреки това, можете да посочите стойности за x и y, така че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x = 3, y = 4, тогава

Определение: Два израза, чиито стойности са равни за всяка стойност на променливите, се наричат идентично равни.

Изразите 3 (x + y) и 3x + 3y са идентично равни, но изразите 2x + y и 2xy не са идентично равни.

Равенството 3 (x + y) и 3x + 3y е вярно за всякакви стойности на x и y. Такива равенства се наричат идентичности.

определение:Равенството, вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.

Истинските числови равенства също се считат за идентичности. Вече се срещнахме с самоличности. Идентичностите са равенства, които изразяват основните свойства на действията върху числата (Учениците коментират всяко свойство, произнасяйки го).

a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab) c = a (bc)
a (b + c) = ab + ac

Дайте други примери за идентичности

Определение: Замяната на един израз с друг, идентично равен израз, се нарича трансформация на идентичност или просто трансформация на израз.

Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на действията върху числата.

Идентични трансформации на изрази се използват широко при изчисляване на стойностите на изразите и решаване на други проблеми. Вече сте извършили някои идентични трансформации, например прехвърляне на подобни термини, разширяване на скоби.

5 ... No 691, No 692 (с произношението на правилата за отваряне на скоби, умножение на отрицателни и положителни числа)

Идентичности за избор на рационално решение:(фронтална работа)

6 ... Обобщаване на урока.

Учителят задава въпроси, а учениците им отговарят по желание.

Кои два израза се казват, че са еднакво равни? Дай примери.

Какво равенство се нарича идентичност? Дай пример.

Какви идентични трансформации познавате?

7. Домашна работа. Научете дефинициите, дайте примери за идентични изрази (поне 5), запишете ги в тетрадка

Основни свойства на събиране и умножение на числа.

Свойството на изместване на събиране: стойността на сумата не се променя от пермутацията на членовете. За произволни числа a и b, равенството

Комбинирано свойство на събиране: за да добавите трето число към сбора от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число. За произволни числа a, b и c, равенството

Свойството на изместване на умножението: стойността на продукта не се променя от пермутацията на факторите. За произволни числа a, b и c, равенството

Комбинирано свойство на умножението: за да умножите произведението на две числа по третото число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото.

За произволни числа a, b и c, равенството

Разпределително свойство: за да умножите число по сума, можете да умножите това число по всеки член и да сумирате резултатите. За произволни числа a, b и c, равенството

От преместваемите и комбинативни свойства на събирането следва: във всяка сума можете да пренареждате термините както желаете и произволно да ги комбинирате в групи.

Пример 1 Нека изчислим сумата 1,23 + 13,5 + 4,27.

За това е удобно да комбинирате първия термин с третия. Получаваме:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

От транспонируемите и комбинирани свойства на умножението следва: във всеки продукт можете да пренареждате факторите, както желаете, и произволно да ги комбинирате в групи.

Пример 2. Да намерим стойността на произведението 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5.

Комбинирайки първия фактор с четвъртия и втория с третия, ще имаме:

1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 = 14,4.

Свойството на разпределението е вярно и когато числото се умножи по сбора от три или повече члена.

Например, за произволни числа a, b, c и d, равенството

a (b + c + d) = ab + ac + ad.

Знаем, че изваждането може да бъде заменено със събиране чрез добавяне на противоположното число към изваденото число към изваденото:

Това позволява числов израз от формата ab да се счита за сумата от числата a и -b, а числов израз от формата a + bcd да се счита за сумата от числата a, b, -c, -d и т.н. Разгледаните свойства на действия са валидни и за такива суми.

Пример 3 Намерете стойността на израза 3,27-6,5-2,5 + 1,73.

Този израз е сборът от числата 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Прилагайки свойствата за събиране, получаваме: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (- 6,5-2,5) = 5 + (- 9) = -4.

Пример 4 Нека изчислим произведението 36 · ().

Множителят може да се разглежда като сбор от числата и -. Използвайки свойството за разпределение на умножението, получаваме:

36 () = 36 -36 = 9-10 = -1.

Самоличности

Определение. Два израза, чиито съответните стойности са равни за всяка стойност на променливите, се наричат идентично равни.

Определение. Равенството, вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.

Намерете стойностите на изразите 3 (x + y) и 3x + 3y при x = 5, y = 4:

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,

3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.

Получихме същия резултат. От свойството на разпределение следва, че като цяло за всякакви стойности на променливите съответните стойности на изразите 3 (x + y) и 3x + 3y са равни.

Помислете сега за изразите 2x + y и 2xy. За x = 1, y = 2 те приемат равни стойности:

Можете обаче да посочите стойности за x и y, така че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x = 3, y = 4, тогава

Изразите 3 (x + y) и 3x + 3y са идентично равни, но изразите 2x + y и 2xy не са идентично равни.

Равенството 3 (x + y) = x + 3y, вярно за всякакви стойности на x и y, е тъждество.

Истинските числови равенства също се считат за идентичности.

И така, идентичностите са равенства, които изразяват основните свойства на действията върху числата:

a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),

ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.

Други примери за самоличности могат да бъдат цитирани:

a + 0 = a, a + (- a) = 0, a-b = a + (- b),

a 1 = a, a (-b) = - ab, (-a) (- b) = ab.

Преобразувания на идентични изрази

Замяната на един израз с друг, идентично равен на него израз се нарича идентична трансформация или просто трансформация на израза.

За да намерите стойността на израза xy-xz при стойностите на x, y, z, трябва да изпълните три стъпки. Например, за x = 2,3, y = 0,8, z = 0,2 получаваме:

xy-xz = 2,3 0,8-2,3 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.

Този резултат може да бъде получен чрез извършване само на две стъпки, ако използваме израза x (y-z), който е идентичен с израза xy-xz:

xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Опростихме изчисленията, като заменихме израза xy-xz с идентично равния израз x (y-z).

Идентични трансформации на изрази се използват широко при изчисляване на стойностите на изрази и решаване на други проблеми. Някои от идентичните трансформации вече са извършени, например намаляването на подобни термини, разширяването на скоби. Нека си припомним правилата за извършване на тези трансформации:

за да дадете такива термини, трябва да добавите техните коефициенти и да умножите резултата по общата буквена част;

ако има знак плюс пред скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати, като знакът на всеки термин е затворен в скоби;

ако има знак минус пред скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати чрез промяна на знака на всеки термин, затворен в скоби.

Пример 1 Нека да дадем подобни членове в сбора 5x + 2x-3x.

Ще използваме правилото за намаляване на такива термини:

5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.

Тази трансформация се основава на свойството на разпределението на умножението.

Пример 2 Разгънете скобите в израза 2a + (b-3c).

Прилагане на правилото за разширяване на скоби, предшествани от знак плюс:

2a + (b-3c) = 2a + b-3c.

Извършеното преобразуване се основава на комбинативното свойство на събиране.

Пример 3 Разгънете скобите в израза a-(4b-c).

Нека използваме правилото за разширяване на скоби, предшествано от знак минус:

a-(4b-c) = a-4b + c.

Извършената трансформация се основава на свойството разпределение на умножението и комбинираното свойство на събиране. Нека го покажем. Представяме в този израз втория член - (4b-c) като продукт (-1) (4b-c):

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c).

Прилагайки посочените свойства на действие, получаваме:

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.