Шийдлийн хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Танилцуулга 2
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга 5
Алгебр 5
Ижил нэртэй тригонометрийн функцүүдийн тэгшитгэлийг тэгшитгэх нөхцлөөр шийдвэрлэх 7
Факторинг 8
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн бууралт 10
Туслах булангийн танилцуулга 11
Ажлыг нийлбэр 14 болгон хувирга
Бүх нийтийн сэлгээ 14
Дүгнэлт 17
Танилцуулга
Аравдугаар анги хүртэл зорилгодоо хүрэх олон дасгалын үйл ажиллагааны дарааллыг дүрмээр бол хоёрдмол утгагүй тодорхойлсон байдаг. Жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэлтэгш бус байдал, бутархай ба квадрат тэгшитгэл гэх мэт. Дээрх жишээ бүрийг шийдвэрлэх зарчмыг нарийвчлан судлахгүйгээр тэдгээрийг амжилттай шийдвэрлэхэд шаардлагатай нийтлэг зүйл юу болохыг тэмдэглэе.
Ихэнх тохиолдолд даалгавар нь ямар төрөлд хамаарахыг тогтоох, зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг эргэн санах, эдгээр үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай байдаг. Оюутны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг эзэмшсэн амжилт эсвэл бүтэлгүйтэл нь тэгшитгэлийн төрлийг хэр зөв тодорхойлж, түүнийг шийдвэрлэх бүх үе шатуудын дарааллыг санаж байхаас ихээхэн хамаарна. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тухайн сурагчийг гүйцэтгэх чадвартай гэж үздэг ижил төстэй өөрчлөлтүүдболон тооцоолох.
Оюутан тригонометрийн тэгшитгэлтэй тулгарах үед огт өөр нөхцөл байдал үүсдэг. Үүний зэрэгцээ тэгшитгэл нь тригонометрийн шинж чанартай болохыг тогтооход хэцүү биш юм. Хийх үйлдлүүдийн дарааллыг олоход бэрхшээлтэй тулгардаг эерэг үр дүн... Энд оюутан хоёр асуудалтай тулгардаг. By Гадаад төрхтэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Мөн төрлийг нь мэдэхгүй бол хэдэн арван боломжит томъёоноос зөв томъёог сонгох нь бараг боломжгүй юм.
Суралцагчдад тригонометрийн тэгшитгэлийн нийлмэл төөрдөгдөд зөв замыг олоход нь туслахын тулд эхлээд шинэ хувьсагч оруулсны дараа квадрат болгон бууруулсан тэгшитгэлүүдтэй танилцдаг. Дараа нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэж, тэдгээрт бууруулна. Дүрмээр бол бүх зүйл тэгшитгэлээр төгсдөг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхийн тулд зүүн талыг нь хасч, дараа нь хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлэх шаардлагатай.
Хичээлүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн хэдэн арван тэгшитгэл нь оюутныг тригонометрийн "далайн" бие даасан аялалд эхлүүлэхэд хангалтгүй гэдгийг ойлгосон багш өөрөөсөө хэд хэдэн зөвлөмж нэмж оруулав.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.
Тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "тэнцүү өнцөг" болгон багасгах;
Тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон багасгах;
Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.
Гэсэн хэдий ч тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд, тэдгээрийн шийдлийг олох хэд хэдэн зарчмуудын талаархи мэдлэгийг үл харгалзан олон оюутнууд тэгшитгэл бүрийн өмнө өмнө нь шийдэгдсэнээс арай өөр мухардалд орсоор байна. Энэ эсвэл өөр тэгшитгэлтэй байхын тулд юуг хичээх ёстой, яагаад нэг тохиолдолд давхар өнцгийн томьёо, нөгөө талд нь хагас, гурав дахь нь нэмэх томъёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхойгүй хэвээр байна.
Тодорхойлолт 1.Тригонометр гэдэг нь тригонометрийн функцүүдийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэл юм.
Тодорхойлолт 2.Тригонометрийн тэгшитгэлд багтсан бүх тригонометрийн функцууд ижил аргументтай байвал тригонометрийн тэгшитгэл ижил өнцөгтэй байна гэж тэд хэлдэг. Тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тригонометрийн функцийг агуулж байвал ижил функцтэй гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 3.Тригонометрийн функцүүдийг агуулсан мономиалын зэрэг нь түүнд багтсан тригонометрийн функцүүдийн чадлын илтгэгчийн нийлбэр юм.
Тодорхойлолт 4.Хэрэв түүнд орсон бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй байвал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Энэ зэргийг тэгшитгэлийн дараалал гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 5.Зөвхөн функц агуулсан тригонометрийн тэгшитгэл нүгэлболон cos, тригонометрийн функцтэй холбоотой бүх мономиалуудыг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг ижил зэрэгтэй, мөн тригонометрийн функцууд нь өөрөө тэнцүү өнцөгтэй бөгөөд мономиалуудын тоо тэгшитгэлийн дарааллаас 1-ээр их байна.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулахын тулд хувиргах, хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гэсэн хоёр үе шатаас бүрдэнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх долоон үндсэн арга байдаг.
I. Алгебрийн арга.Энэ аргыг алгебрээс сайн мэддэг. (Хувьсах ба орлуулах арга).
Тэгшитгэлийг шийдэх.
1)
Тэмдэглэгээг танилцуулъя х=2 нүгэл3 т, бид авдаг
Энэ тэгшитгэлийг шийдснээр бид дараахь зүйлийг олж авна. 
эсвэл 
тэдгээр. бичиж болно
Шинж тэмдгүүд байгаа тул хүлээн авсан шийдвэрийг бүртгэх үед 
зэрэг 
бичих нь утгагүй юм.
Хариулт: 
Бид тэмдэглэж байна 
Бид квадрат тэгшитгэлийг олж авдаг 
... Үүний үндэс нь тоо юм 
болон 
... Тийм ч учраас өгөгдсөн тэгшитгэлхамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон бууруулна 
болон 
... Тэдгээрийг шийдэж, бид үүнийг олж мэднэ 
эсвэл 
.
Хариулт: 
; 
.
Бид тэмдэглэж байна 
нөхцөлийг хангахгүй байна 
гэсэн үг 
Хариулт: 
Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргая:
Тиймээс энэ анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
, өөрөөр хэлбэл
Зориулалтын замаар 
, бид авдаг 
Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараах байдалтай байна.
нөхцөлийг хангахгүй байна 
Бид анхны тэгшитгэлийн шийдлийг бичнэ.
Хариулт: 
Орлуулах 
Энэ тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна 
... Үүний үндэс нь тоо юм 
болон 
... Учир нь 
, тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.
Хариулт: үндэс байхгүй.
II... Ижил тригонометрийн функцуудын тэгшитгэлийн нөхцөлийг ашиглан тэгшитгэлийн шийдэл.
а) 
, хэрэв
б) 
, хэрэв
v) 
, хэрэв 
Эдгээр нөхцлүүдийг ашиглан дараах тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзье.
6) 
a) хэсэгт хэлсэн зүйлийг ашигласнаар бид тэгшитгэл нь зөвхөн, хэрэв байгаа бол шийдэлтэй болохыг олж мэдэв 
.
Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид олдог 
.
Бидэнд хоёр бүлэг шийдэл байна: 
.
7) Тэгшитгэлийг шийд: 
.
b) нөхцөлийг ашиглан бид үүнийг гаргадаг 
.
Эдгээр квадрат тэгшитгэлийг шийдснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
8) Тэгшитгэлийг шийд 
.
Энэ тэгшитгэлээс бид үүнийг гаргаж байна. Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид үүнийг олно 
.
III... Factorization.
Бид энэ аргыг жишээгээр авч үздэг.
9) Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл. Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг зүүн тийш шилжүүл:.
Бид тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг хувиргаж, үржвэр болгон хуваана. 
.
.
.
1)
2) 
Учир нь 
болон 
тэг утгыг бүү ав
нэгэн зэрэг, дараа нь бид хоёр хэсгийг хуваана
-д зориулсан тэгшитгэлүүд 
, 
Хариулт: 
10) Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл.
эсвэл 
Хариулт: 
11) Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл:
1)
2)
3)
, 
Хариулт: 
IV... Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах.
Шийдэхийн тулд нэгэн төрлийн тэгшитгэлшаардлагатай:
Түүний бүх гишүүдийг зүүн тийш шилжүүлэх;
Бүх нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах;
Бүх хүчин зүйл болон хашилтыг тэг болгох;
Тэгтэй тэнцүү хаалт нь бага зэрэгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг өгөх бөгөөд үүнийг дараахь байдлаар хуваах ёстой. 
(эсвэл 
) ахлах зэрэгт;
Хүлээн авсан зүйлийг шийдэх алгебрийн тэгшитгэлхарьцангуй 
.
Зарим жишээг харцгаая:
12) Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл.
Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа 
, 
Тэмдэглэгээг танилцуулж байна 
, нэртэй
Энэ тэгшитгэлийн үндэс: 
Тиймээс 1) 
2) 
Хариулт: 
13) Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёо болон үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлыг ашиглан бид энэ тэгшитгэлийг хагас аргумент болгон бууруулна.
Ийм нэр томъёог бууруулсны дараа бид дараах байдалтай байна:
Нэг төрлийн сүүлчийн тэгшитгэлийг хуваах 
, бид авдаг
Би томилно 
, бид квадрат тэгшитгэлийг авна 
язгуур нь тоо юм 
Тиймээс 
Илэрхийлэл 
цагт алга болдог 
, өөрөөр хэлбэл цагт 
, 
.
Тэгшитгэлийн бидний шийдэлд эдгээр тоо ороогүй болно.
Хариулт: 
, .
В... Туслах өнцгийн танилцуулга.
Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье
Хаана a, b, c- коэффициентүүд, х- үл мэдэгдэх.
Бид энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана 
Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай байдаг, тухайлбал: тэдгээрийн модуль нэгээс хэтрэхгүй, квадратуудын нийлбэр нь 1 байна.
Дараа нь бид тэдгээрийг зохих ёсоор нь тэмдэглэж болно 
(энд 
- туслах өнцөг) ба бидний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.
Дараа нь 
Мөн түүний шийдвэр
Оруулсан тэмдэглэгээ нь бие биенээ сольж болно гэдгийг анхаарна уу.
14) Тэгшитгэлийг шийд: 
Шийдэл. Энд 
, тиймээс бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана 
Хариулт: 
15) Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл. Учир нь 
, тэгвэл энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна
Учир нь 
, тэгвэл ийм өнцөг байна 
, 
(тэдгээр. 
).
Бидэнд байгаа 
Учир нь 
, дараа нь бид эцэст нь авна:
.
Маягтын тэгшитгэл нь зөвхөн болон зөвхөн тохиолдолд шийдтэй байдаг гэдгийг анхаарна уу 
16) Тэгшитгэлийг шийд:
Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид тригонометрийн функцуудыг ижил аргументтай бүлэглэнэ
Тэгшитгэлийн хоёр талыг хоёр хуваа
Бид тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргадаг.
Хариулт: 
VI... Ажлыг нийлбэр болгон хувиргах.
Тохирох томъёог энд ашигласан болно.
17) Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл. Зүүн талыг нийлбэр болгон хөрвүүлнэ:
Vii.Бүх нийтийн орлуулалт.
, 
Эдгээр томъёо нь хүн бүрт үнэн байдаг 
Орлуулах 
бүх нийтийн гэж нэрлэдэг.
18) Тэгшитгэлийг шийд: 
Шийдэл: солих ба 
дамжуулан тэдний илэрхийлэл 
болон тэмдэглэнэ 
.
Бид оновчтой тэгшитгэлийг олж авдаг 
энэ нь квадрат руу хувирдаг 
.
Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд юм 
.
Тиймээс асуудлыг хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл багасгасан 
.
Бид үүнийг олдог 
.
Утга харах 
Энэ утгыг орлуулах - шалгах замаар баталгаажуулсан анхны тэгшитгэлийг хангахгүй байна танхны тэгшитгэл рүү.
Хариулт: 
.
Сэтгэгдэл. 18-р тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болно.
Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг 5-аар хуваана (өөрөөр хэлбэл 
): 
.
Учир нь 
, тэгвэл ийм тоо байна 
, юу 
болон 
... Тиймээс тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. 
эсвэл 
... Үүнээс бид үүнийг олж мэднэ 
хаана 
.
19) Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл. Функцүүдээс хойш 
болон 
хамгийн их утга нь 1-тэй тэнцүү байвал тэдгээрийн нийлбэр нь 2-той тэнцүү байна 
болон 
, нэгэн зэрэг, тэр нь 
.
Хариулт: 
.
Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ функцүүдийн хил хязгаарыг ашигласан болно.
Дүгнэлт.
"Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл" сэдвээр ажиллахдаа багш бүр дараах зөвлөмжийг дагаж мөрдөх нь ашигтай байдаг.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг системчлэх.
Тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийх алхмууд, шийдлийн нэг буюу өөр аргыг ашиглах нь зохистой байдлын шинж тэмдгүүдийг өөрөө сонго.
Аргыг хэрэгжүүлэхийн тулд тэдний үйл ажиллагааг өөрийгөө хянах арга замын талаар бодож үзээрэй.
Судалсан аргууд тус бүрээр "өөрийн" тэгшитгэл зохиож сур.
Хавсралт №1
Нэг төрлийн эсвэл нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх.
1. | Хариулах |
Хариулах |
|
Хариулах |
|
5. | Хариулах |
Хариулах |
|
7. | Хариулах |
Хариулах |
|
Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглаж, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл түүнтэй холбоо тогтооход ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:
- Таныг сайтад хүсэлт үлдээх үед бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно Имэйлгэх мэт.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох үйл явдлын талаар мэдээлэх боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, мессеж илгээдэг.
- Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно янз бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, тэмцээн эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгааны арга хэмжээнд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг эдгээр хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн шийдвэрийн дагуу, шүүх хуралдаанд болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн эрх бүхий байгууллагаас гаргасан хүсэлтийн үндсэн дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад нийгмийн чухал шалтгаанаар ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны талаарх мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ зохих гуравдагч этгээд буюу хууль ёсны өвлөгч рүү шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэ
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид ажилтнууддаа нууцлал, аюулгүй байдлын дүрмийг хүргэж, нууцлалын арга хэмжээний хэрэгжилтэд хатуу хяналт тавьдаг.
Мэдлэгийг цогцоор нь ашиглах хичээл.
Хичээлийн зорилго.
- Санаж үз өөр өөр аргуудтригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүд.
- Тэгшитгэл шийдвэрлэх замаар сурагчдын бүтээлч чадварыг хөгжүүлэх.
- Оюутнуудыг өөрийгөө хянах, бие биенээ хянах, боловсролын үйл ажиллагаагаа дотогшоо харах чадварыг урамшуулах.
Тоног төхөөрөмж: дэлгэц, проектор, лавлах материал.
Хичээлийн үеэр
Танилцуулга яриа.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол арга бол тэдгээрийг хамгийн энгийн болгох явдал юм. Энэ тохиолдолд, ердийн арга замууджишээлбэл, хүчин зүйлчлэл, түүнчлэн зөвхөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг арга техник. Эдгээр аргуудын нэлээд олон байдаг, жишээлбэл, янз бүрийн тригонометрийн орлуулалт, өнцгийн хувиргалт, тригонометрийн функцийг хувиргах. Аливаа тригонометрийн хувиргалтыг ялгалгүй хэрэглэх нь ихэвчлэн тэгшитгэлийг хялбарчлахгүй, харин гамшигт төвөгтэй болгодог. Дасгал хийх ерөнхий тоймтэгшитгэлийг шийдэх төлөвлөгөө гаргах, тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгон багасгах арга замыг тоймлохын тулд эхлээд тэгшитгэлд багтсан тригонометрийн функцүүдийн аргументуудыг өнцөгт дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй.
Өнөөдөр бид тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын талаар ярих болно. Зөв сонгогдсон арга нь шийдлийг ихээхэн хялбаршуулах боломжийг олгодог тул бидний судалсан бүх аргуудыг шийдвэрлэхийн тулд бидний анхаарлын төвд байх ёстой. тригонометрийн тэгшитгэлхамгийн тохиромжтой арга.
II. (Проектор ашиглан бид тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг давтана.)
1. Тригонометрийн тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл болгон багасгах арга.
Бүх тригонометрийн функцуудыг нэг аргументаар илэрхийлэх шаардлагатай. Үүнийг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг, түүний үр дагаврыг ашиглан хийж болно. Нэг тригонометрийн функцтэй тэгшитгэлийг авцгаая. Үүнийг шинэ үл мэдэгдэх зүйл гэж үзвэл бид алгебрийн тэгшитгэлийг олж авна. Бид түүний үндсийг олж, хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж, хуучин үл мэдэгдэх зүйл рүү буцна.
2. Хүчин зүйлд хуваах арга.
Өнцгийг өөрчлөхийн тулд хөрвүүлэх томьёо, аргументуудын нийлбэр ба ялгаа, түүнчлэн тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр (ялгаа) -ийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах томъёо, эсвэл эсрэгээр нь ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг.
нүгэл х + гэм 3х = нүгэл 2х + гэм 4х
3. Нэмэлт өнцгийг нэвтрүүлэх арга.
4. Бүх нийтийн орлуулалтыг ашиглах арга.
F (sinx, cosx, tgx) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглан алгебрийн хэлбэрт оруулав.
Хагас өнцгийн шүргэгчээр синус, косинус, тангенсыг илэрхийлэх замаар. Энэ заль мэх нь илүү өндөр эрэмбийн тэгшитгэлд хүргэж болзошгүй юм. Үүний шийдэл нь хэцүү.
Тригонометрийн тэгшитгэл бол хамгийн хялбар сэдэв биш юм. Өвдөлттэй нь тэд олон янз байдаг.) Жишээ нь, дараах:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
нүгэл (5х + π / 4) = ctg (2x-π / 3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
гэх мэт...
Гэхдээ эдгээр (болон бусад бүх) тригонометрийн мангасууд нь нийтлэг бөгөөд заавал байх ёстой хоёр шинж чанартай байдаг. Эхнийх нь - та итгэхгүй байх болно - тэгшитгэлд тригонометрийн функцууд байдаг.) Хоёрдугаарт: x-тэй бүх илэрхийлэл олддог. Эдгээр ижил функцуудын дотор.Зөвхөн тэнд! Хэрэв x хаана ч гарч ирвэл гадаа,Жишээлбэл, sin2x + 3x = 3,Энэ нь аль хэдийн тэгшитгэл байх болно холимог төрөл... Ийм тэгшитгэл нь хувь хүний хандлагыг шаарддаг. Бид тэдгээрийг энд авч үзэхгүй.
Бид энэ хичээл дээр бас муу тэгшитгэлийг шийдэхгүй.) Энд бид шийдвэрлэх болно Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.Яагаад? Тийм ээ, учир нь шийдэл ямар чтригонометрийн тэгшитгэл нь хоёр үе шаттай. Эхний үе шатанд янз бүрийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар муу тэгшитгэлийг энгийн хэлбэрт шилжүүлдэг. Хоёрдугаарт, энэ хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийддэг. Өөр арга байхгүй.
Тиймээс, хэрэв та хоёр дахь шатанд асуудалтай байгаа бол эхний шат нь тийм ч утгагүй болно.)
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд ямар харагддаг вэ?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Энд а дурын тоог илэрхийлнэ. Хэн ч.
Дашрамд хэлэхэд, функц дотор цэвэр x биш байж болох ч зарим төрлийн илэрхийлэл, тухайлбал:
cos (3x + π / 3) = 1/2
гэх мэт. Энэ нь амьдралыг хүндрүүлдэг боловч тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргад нөлөөлөхгүй.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдэж болно. Эхний арга: логик ба тригонометрийн тойрог ашиглах. Бид энэ замыг энд авч үзэх болно. Хоёрдахь арга - санах ой, томъёог ашиглах - дараагийн хичээл дээр хэлэлцэх болно.
Эхний арга нь ойлгомжтой, найдвартай, мартахад хэцүү.) Энэ нь тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, бүх төрлийн төвөгтэй стандарт бус жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Логик нь ой санамжаас илүү хүчтэй!)
Тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Бид энгийн логик, тригонометрийн тойрог ашиглах чадварыг багтаасан. Чи чадахгүй гэж үү!? Гэсэн хэдий ч ... Тригонометрийн хувьд танд хэцүү ...) Гэхдээ энэ нь хамаагүй. "Тригонометрийн тойрог ...... Энэ юу вэ?" хичээлүүдийг үзээрэй. болон "Тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийг тоолох". Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Хичээлүүдээс ялгаатай нь ...)
Өө, чи мэдэж байна уу!? Тэр ч байтугай "Тригонометрийн тойрогтой практик ажил" -ыг эзэмшсэн үү? Баяр хүргэе. Энэ сэдэв танд ойр, ойлгомжтой байх болно.) Хамгийн тааламжтай зүйл бол тригонометрийн тойрогт таны аль тэгшитгэлийг шийдэх нь хамаагүй. Синус, косинус, тангенс, котангенс - бүх зүйл түүний хувьд нэг юм. Ганцхан шийдлийн зарчим бий.
Тиймээс бид аливаа энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг авдаг. Наад зах нь энэ:
cosx = 0.5
Би X-г олох ёстой. Хүний хэллэгээр бол танд хэрэгтэй косинус нь 0.5 (x) өнцгийг ол.
Бид өмнө нь тойргийг хэрхэн ашигласан бэ? Бид үүн дээр булан зурсан. градус эсвэл радианаар. Тэгээд тэр даруй харсан Энэ өнцгийн тригонометрийн функцууд. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе. Тойрог дээр 0.5-тай тэнцэх косинусыг нэн даруй зуръя үзнэ үү тарилга. Хариултаа бичих л үлдлээ.) Тийм ээ, тийм!
Тойрог зурж, 0.5 косинусыг тэмдэглэ. Мэдээжийн хэрэг косинусын тэнхлэг дээр. Үүн шиг:
Одоо энэ косинусын бидэнд өгч буй өнцгийг зуръя. Зурган дээр хулганы курсорыг зөөж (эсвэл таблет дээрх зургийг товшино уу) болон үзнэ үүяг энэ булан NS.
Косинус 0.5 ямар өнцөг вэ?
x = π / 3
cos 60 °= учир ( π / 3) = 0,5
Хэн нэгэн эргэлзэж инээх болно, тийм ээ ... Тэд хэлэхдээ, бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болсон үед энэ нь тойрог хийх нь үнэ цэнэтэй байсан гэж хэлдэг ... Та мэдээж инээж чадна ...) Гэхдээ энэ бол алдаатай хариулт юм. Өөрөөр хэлбэл хангалтгүй. Тойргийн мэргэжилтнүүд энд олон тооны өнцөг байсаар байгааг ойлгож байгаа бөгөөд энэ нь мөн косинусыг 0.5-тай тэнцүү өгдөг.
Хэрэв та OA-ийн хөдлөх талыг эргүүлбэл бүрэн эргэлт, А цэг анхны байрлалдаа буцаж ирнэ. Ижил косинус нь 0.5-тай тэнцүү байна. Тэдгээр. өнцөг өөрчлөгдөнө 360 ° буюу 2π радиан, ба косинус биш.Шинэ өнцөг 60 ° + 360 ° = 420 ° нь бидний тэгшитгэлийн шийдэл байх болно.
Та хязгааргүй олон тооны бүрэн эргэлт хийж болно ... Мөн эдгээр бүх шинэ өнцөг нь бидний тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. Тэгээд бүгдийг нь ямар нэгэн байдлаар хариу бичих ёстой. Бүх зүйл.Үгүй бол шийдвэрийг тооцохгүй, тийм ээ ...)
Математик үүнийг хэрхэн энгийн бөгөөд гоёмсог аргаар хийхийг мэддэг. Нэг богино хариултанд бичнэ үү төгсгөлгүй багцшийдлүүд. Энэ нь бидний тэгшитгэлийг ингэж хардаг.
x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Би тайлах болно. Одоо ч бичнэ утга учиртайТэнэг байдлаар нууцлаг үсэг зурахаас илүү тааламжтай, тийм үү?)
π / 3 - энэ бол бидэнтэй ижил булан юм харсантойрог дээр ба тодорхойлсонкосинусын хүснэгтийн дагуу.
2π Энэ нь радиан дахь нэг бүрэн эргэлт юм.
n нь бүрэн тоо юм, i.e. бүхэлд ньхувьсгалууд. Энэ нь ойлгомжтой n 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... гэх мэт байж болно. Үүнийг зааж өгсөн болно богино тэмдэглэл:
n ∈ Z
n харьяалагддаг ( ∈ ) бүхэл тооны олонлогт ( З ). Дашрамд хэлэхэд, захидлын оронд n үсэг хэрэглэж болно к, м, т гэх мэт.
Энэ оруулга нь та бүхэл бүтэн зүйлийг авч болно гэсэн үг юм n ... Хамгийн багадаа -3, хамгийн багадаа 0, хамгийн багадаа +55. Хүссэн зүйлээ. Хэрэв та энэ тоог хариултанд оруулбал бидний хатуу тэгшитгэлийн шийдэл болох тодорхой өнцөг гарч ирнэ.)
Эсвэл өөрөөр хэлбэл, x = π / 3 нь хязгааргүй олонлогийн цорын ганц үндэс юм. Бусад бүх язгуурыг авахын тулд π / 3 дээр хэдэн ч бүтэн эргэлт нэмэхэд хангалттай. n ) радианаар. Тэдгээр. 2π n радиан.
Бүх зүйл? Үгүй Би таашаалыг зориудаар сунгаж байна. Үүнийг илүү сайн санахын тулд.) Бид тэгшитгэлийнхээ хариултуудын зөвхөн хэсгийг л авсан. Би уг шийдлийн эхний хэсгийг дараах байдлаар бичнэ.
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - нэг үндэс биш, энэ нь богино хэлбэрээр бичигдсэн бүхэл бүтэн цуврал үндэс юм.
Гэхдээ косинусыг 0.5 өгдөг өнцөгүүд бас байдаг!
Хариултыг бичихэд ашигласан зураг руугаа буцаж орцгооё. Тэр тэнд байна:
Зурган дээр хулганаа аваачна уу үзнэ үүөөр нэг булан мөн 0.5 косинусыг өгдөг.Энэ нь юутай тэнцүү гэж та бодож байна вэ? Гурвалжингууд нь адилхан ... Тийм ээ! Энэ нь булантай тэнцүү байна NS зөвхөн сөрөг тал руу буцаана. Энэ бол булан -Н.С. Гэхдээ бид x-г аль хэдийн олж мэдсэн. π / 3 эсвэл 60 °. Тиймээс бид аюулгүйгээр бичиж болно:
x 2 = - π / 3
Мэдээжийн хэрэг, бүрэн эргэлтээр олж авсан бүх өнцгийг нэмнэ үү.
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Ингээд л боллоо.) Тригонометрийн тойрогт бид харсан(Мэдээжийн хэрэг хэн ойлгох вэ)) бүгд 0.5-тай тэнцүү косинусыг өгөх өнцөг. Мөн тэд эдгээр өнцгүүдийг богино математик хэлбэрээр бичсэн. Хариулт нь эцэс төгсгөлгүй хоёр үндэсийг бий болгосон:
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Энэ бол зөв хариулт юм.
Найдвар, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий зарчимтойрог ашиглах нь ойлгомжтой. Бид тойрог дээр өгөгдсөн тэгшитгэлийн косинусыг (синус, тангенс, котангенс) тэмдэглэж, түүнд тохирох өнцгийг зурж, хариултыг бичнэ.Мэдээжийн хэрэг, та бид ямар булангуудтай болохыг олж мэдэх хэрэгтэй харсантойрог дээр. Заримдаа энэ нь тийм ч тодорхой биш байдаг. Миний хэлсэнчлэн энд логик хэрэгтэй.)
Жишээлбэл, өөр нэг тригонометрийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе.
0.5 тоо нь тэгшитгэлийн цорын ганц боломжит тоо биш гэдгийг анхаарна уу!) Үүнийг бичих нь надад үндэс, бутархай гэхээсээ илүү тохиромжтой.
Бид ерөнхий зарчмаар ажилладаг. Тойрог зурж, тэмдэглэнэ (мэдээж синус тэнхлэг дээр!) 0.5. Бид энэ синустай тохирох бүх өнцгийг нэг дор зурдаг. Бид дараах зургийг авна.
Эхлээд өнцөгтэй харьцах NS эхний улиралд. Бид синусын хүснэгтийг эргэн санаж, энэ өнцгийн утгыг тодорхойлно. Энэ бол энгийн асуудал:
x = π / 6
Бид бүрэн эргэлтүүдийг санаж, цэвэр ухамсартайгаар эхний цуврал хариултуудыг бичнэ.
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Хагас хийсэн. Харин одоо бид тодорхойлох хэрэгтэй хоёр дахь булан ...Энэ нь косинусуудаас илүү зальтай, тийм ээ ... Гэхдээ логик биднийг аврах болно! Хоёр дахь өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ х-ээр дамжуулан? Тиймээ хялбар! Зурган дээрх гурвалжин нь адилхан, улаан булан NS өнцөгтэй тэнцүү байна NS ... Зөвхөн энэ нь сөрөг чиглэлд π өнцгөөс тоологддог. Тиймээс энэ нь улаан өнгөтэй байна.) Хариултанд бидэнд эерэг OX хагас тэнхлэгээс зөв хэмжсэн өнцөг хэрэгтэй, i.e. 0 градусын өнцгөөс.
Зурган дээр курсорыг аваачиж, бүгдийг харна уу. Зургийг төвөгтэй болгохгүйн тулд би эхний буланг арилгасан. Бидний сонирхож буй өнцөг (ногооноор зурсан) нь дараахтай тэнцүү байна.
π - x
X бид үүнийг мэднэ π / 6 ... Тиймээс хоёр дахь булан нь:
π - π / 6 = 5π / 6
Бид бүрэн хувьсгалын нэмэлтийг дахин санаж, хоёр дахь цуврал хариултыг бичнэ.
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Тэгээд л болоо. Бүрэн хариулт нь хоёр цуврал үндэсээс бүрдэнэ.
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Тангенс ба котангенс бүхий тэгшитгэлийг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ижил ерөнхий зарчмыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Хэрэв та тригонометрийн тойрог дээр тангенс ба котангенс хэрхэн зурахаа мэддэг бол мэдээжийн хэрэг.
Дээрх жишээнүүдэд би хүснэгтийн синус ба косинусын утгыг ашигласан: 0.5. Тэдгээр. оюутны мэддэг утгын нэг ёстой.Одоо боломжоо өргөжүүлье бусад бүх үнэт зүйлс.Шийдээрэй, шийдээрэй!)
Тиймээс бид энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.
Богино хүснэгтэд ийм косинусын утга байдаггүй. Энэ аймшигт баримтыг бид үл тоомсорлодог. Тойрог зурж, косинусын тэнхлэг дээр 2/3-ыг тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зур. Бид энэ зургийг авдаг.
Эхлээд үүнийг эхний улиралд өнцгөөр нь олж мэдье. Хэрвээ би X нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдсэн бол тэд хариултыг шууд бичих байсан! Бид мэдэхгүй байна ... Бүтэлгүйтэл!? Тайвшир! Математик нь асуудалд өөрийгөө орхихгүй! Тэр энэ хэргийн арккосиныг бодож олжээ. Мэдэхгүй? Дэмий. Энэ нь таны бодож байгаагаас хамаагүй хялбар гэдгийг олж мэдээрэй. Энэ холбоосын доор "урвуу тригонометрийн функцууд"-ын тухай нэг ч зальтай шившлэг байхгүй ... Энэ сэдэвт энэ нь илүүц юм.
Хэрэв та мэдэж байгаа бол өөртөө "X бол өнцөг, косинус нь 2/3" гэж хэлэхэд хангалттай. Арккосинын тодорхойлолтоор тэр даруй та дараахь зүйлийг бичиж болно.
Бид нэмэлт эргэлтүүдийг санаж, тригонометрийн тэгшитгэлийнхээ язгуурын эхний цувралыг тайвнаар бичнэ үү.
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Хоёрдахь өнцгийн хувьд хоёр дахь цуврал үндэс нь бараг автоматаар бүртгэгддэг. Бүх зүйл адилхан, зөвхөн x (arccos 2/3) хасахтай байна:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Тэгээд л болоо! Энэ бол зөв хариулт юм. Хүснэгтийн утгуудаас ч хялбар. Та юу ч санах шаардлагагүй.) Дашрамд хэлэхэд, хамгийн анхааралтай нь урвуу косинусаар дамжуулан шийдэлтэй энэ зургийг анзаарах болно. үндсэндээ cosx = 0.5 тэгшитгэлийн зурагнаас ялгаатай биш юм.
Яг! Ерөнхий зарчимүүний төлөө болон ерөнхий! Би бараг ижилхэн хоёр зураг тусгайлан зурсан. Тойрог нь бидэнд өнцгийг харуулж байна NS косинусаар. Хүснэгт нь косинус, эсвэл үгүй - тойрог нь мэдэхгүй. Энэ өнцөг нь юу вэ, π / 3, эсвэл ямар төрлийн урвуу косинус - энэ нь биднээс хамаарна.
Синустай, ижил дуу. Жишээлбэл:
Тойргийг дахин зурж, синусыг 1/3-тай тэнцүү болгож, булангуудыг зур. Зураг нь дараах байдалтай байна.
Мөн дахин зураг нь тэгшитгэлтэй бараг ижил байна sinx = 0.5.Дахин хэлэхэд, эхний улиралд булангаас эхэл. Хэрэв түүний синус 1/3 бол x хэд вэ? Асуудалгүй!
Тиймээс эхний багц үндэс бэлэн боллоо.
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Бид хоёр дахь булантай харьцдаг. Хүснэгтийн утга 0.5-тай жишээн дээр дараах байдалтай байна.
π - x
Тэгэхээр энд яг адилхан байх болно! Зөвхөн x нь ялгаатай, arcsin 1/3. Тэгээд юу гэж!? Та хоёр дахь үндэсийн багцыг аюулгүйгээр бичиж болно.
x 2 = π - нумын 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Энэ бол туйлын зөв хариулт юм. Хэдийгээр энэ нь тийм ч танил биш юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, би найдаж байна.)
Тойрог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Энэ зам нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой. Тэр бол өгөгдсөн интервал дахь үндсийг сонгох замаар тригонометрийн тэгшитгэлд, тригонометрийн тэгш бус байдалд хадгалдаг хүн юм - тэдгээрийг ерөнхийдөө бараг үргэлж тойрог хэлбэрээр шийддэг. Товчхондоо, стандартаас арай илүү хэцүү аливаа ажилд.
Мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлье?)
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд:
Эхлээд энэ хичээлээс харахад илүү хялбар байдаг.
Одоо илүү хэцүү.
Зөвлөгөө: Энд та тойрог дээр эргэцүүлэн бодох хэрэгтэй. Хувь хүний хувьд.)
Тэгээд одоо тэд гаднаасаа мадаггүй зөв байдаг ... Тэднийг мөн онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг.
синкс = 0
синкс = 1
cosx = 0
cosx = -1
Зөвлөмж: Энд та тойрог дотор хоёр цуврал хариулт байгаа, нэг хариулт хаана байгааг олж мэдэх хэрэгтэй ... Мөн хоёр хариултын оронд нэгийг хэрхэн бичих вэ. Тиймээ, хязгааргүй тооны нэг ч үндэс алга болохгүй!)
За, маш энгийн):
синкс = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Зөвлөгөө: Энд та арксинус, арксинус гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй байна уу? Нуман тангенс, нуман котангенс гэж юу вэ? Ихэнх энгийн тодорхойлолтууд... Гэхдээ та хүснэгтийн утгыг санах шаардлагагүй!)
Хариултууд нь мэдээж замбараагүй):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Бүх зүйл болохгүй байна уу? Энэ нь тохиолддог. Хичээлээ дахин унш. Зөвхөн бодолтойгоор(ийм зүйл байдаг хуучирсан үг...) Мөн холбоосыг дагана уу. Гол холбоосууд нь тойргийн тухай юм. Үүнгүйгээр тригонометрийн хувьд нүдийг нь таглаад зам хөндлөн гарахтай адил юм. Заримдаа энэ нь ажилладаг.)
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалтын туршилт. Сурах - сонирхолтой!)
функц болон деривативтай танилцах боломжтой.
Олон математикийн асуудлууд, ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон тохиолдолд зорилгод хүргэх үйл ажиллагааны дарааллыг тодорхой зааж өгсөн болно. Эдгээр бодлогод жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл, квадрат болж буурдаг тэгшитгэл орно. Дээр дурдсан ажил бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: ямар төрлийн асуудлыг шийдэхийг тодорхойлох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. гэж хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.
Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилт эсвэл бүтэлгүйтэл нь шийдвэрлэх тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргаж байгаагаас ихээхэн хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.
Нөхцөл байдал өөр байна тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг тогтоох нь тийм ч хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.
Тэгшитгэлийн харагдах байдал заримдаа түүний төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос хүссэнийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг туршиж үзэх хэрэгтэй.
1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "тэнцүү өнцөгт" хүргэх;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл гэх мэт.
Санаж үз тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.
I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах
Шийдлийн схем
1-р алхам.Экспресс тригонометрийн функцмэдэгдэж байгаа бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр дамжуулан.
Алхам 2.Функцийн аргументыг томъёогоор олох:
cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tg x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Алхам 3.Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.
Жишээ.
2 cos (3x - π / 4) = -√2.
Шийдэл.
1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.
2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;
3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;
x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;
x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.
Хариулт: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.
II. Хувьсах солих
Шийдлийн схем
1-р алхам.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебрийн хэлбэрт оруул.
Алхам 2.Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).
Алхам 3.Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.
Алхам 4.Урвуу орлуулалт хийх.
Алхам 5.Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
Жишээ.
2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.
Шийдэл.
1) 2 (1 - нүгэл 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;
2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.
2) Гэм (x / 2) = t, хаана | t | ≤ 1.
3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;
t = 1 эсвэл e = -3/2, нөхцөлийг хангахгүй | t | ≤ 1.
4) нүгэл (x / 2) = 1.
5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга
Шийдлийн схем
1-р алхам.Зэрэг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино уу.
нүгэл 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Алхам 2.Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.
Жишээ.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Шийдэл.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;
x = ± π / 6 + πn, n Є Z.
Хариулт: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.
IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл
Шийдлийн схем
1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруул
a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)
эсвэл санаанд
б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).
Алхам 2.Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
tg x-ийн тэгшитгэлийг ол:
a) a tg x + b = 0;
б) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.
Алхам 3.Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.
Жишээ.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Шийдэл.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) тг 2 х + 3тг х - 4 = 0.
3) tg x = t гэж үзье
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 эсвэл t = -4, тиймээс
tg x = 1 эсвэл tg x = -4.
Эхний тэгшитгэлээс x = π / 4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Хариулт: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга
Шийдлийн схем
1-р алхам.Бүх төрлийн хэрэглэж байна тригонометрийн томъёо, энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргаар шийдсэн тэгшитгэлд авчир.
Алхам 2.Үүссэн тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй аргуудаар шийд.
Жишээ.
нүгэл х + гэм 2х + гэм 3х = 0.
Шийдэл.
1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;
Эхний тэгшитгэлээс 2x = π / 2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.
Бидэнд x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.
Үүний үр дүнд x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.
Хариулт: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадвар, ур чадвар маш их байдаг 
чухал нь тэдний хөгжилд оюутан болон багшийн зүгээс ихээхэн хүчин чармайлт шаардагдана.
Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг.Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судлах явцад олж авсан олон мэдлэг, чадварыг агуулдаг.
Тригонометрийн тэгшитгэл нь математикийг заах, хувь хүний хөгжлийн үйл явцад чухал байр суурь эзэлдэг.
Асуулт хэвээр байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулсан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
