a b илэрхийллийн ижилсвэр нь юу вэ 2. Илэрхийллийн ижил хувиргалт

Энэ нийтлэлд эхний тайлбарыг өгдөг өвөрмөц байдлын тухай ойлголт... Энд бид таних тэмдгийг тодорхойлж, ашигласан тэмдэглэгээг танилцуулж, мэдээжийн хэрэг таних тэмдгийн янз бүрийн жишээг өгдөг.

Хуудасны навигаци.

Баримтлал гэж юу вэ?

Материалын танилцуулгыг эхлэх нь логик юм өвөрмөц байдлын тодорхойлолтууд... Ю.Н.Макарычевын 7-р ангийн алгебрийн сурах бичигт таних тэмдгийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар өгсөн болно.

Тодорхойлолт.

Баримтлал- хувьсагчийн аливаа утгын хувьд энэ нь тэгш байдал үнэн; Аливаа хүчин төгөлдөр тоон тэгшитгэл нь мөн адил юм.

Энэ тохиолдолд ирээдүйд энэ тодорхойлолтыг тодорхой болгох болно гэдгийг зохиогч нэн даруй зааж өгдөг. Энэхүү сайжруулалт нь хувьсах хэмжигдэхүүн ба OVS-ийн зөвшөөрөгдөх утгын тодорхойлолттой танилцсаны дараа 8-р ангид явагдана. Тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна.

Тодорхойлолт.

Баримтлал- эдгээр нь жинхэнэ тоон тэгшитгэлүүд, түүнчлэн тэдгээрт багтсан хувьсагчдын бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд үнэн тэнцүү байна.

Тэгэхээр яагаад 7-р ангид хувьсах хэмжигдэхүүнийг тодорхойлохдоо хувьсагчдын аль нэг утгын тухай ярьж, 8-р ангид хувьсагчийн ODZ-ийн утгын талаар ярьж эхэлдэг вэ? 8-р анги хүртэл ажлыг зөвхөн бүхэл тоон илэрхийллээр (ялангуяа мономиал ба олон гишүүнт) гүйцэтгэдэг бөгөөд тэдгээрт багтсан хувьсагчийн аливаа утгыг утга учиртай болгодог. Тиймээс, 7-р ангид бид хувьсагчийн аль ч утгын хувьд ижил төстэй байдал нь үнэн зөв тэгш байдал гэж хэлдэг. Мөн 8-р ангид хувьсагчийн бүх утгын хувьд биш, зөвхөн ODZ-ийн утгуудын хувьд аль хэдийн утга учиртай илэрхийллүүд гарч ирдэг. Тиймээс бид хувьсагчдын бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд үнэн зөв ижил төстэй байдлын тэгш байдал гэж нэрлэж эхэлдэг.

Тэгэхээр таних чанар онцгой тохиолдолтэгш байдал. Өөрөөр хэлбэл аливаа ижил төстэй байдал нь тэгш байдал юм. Гэхдээ тэгш байдал бүр нь ижил төстэй байдал биш, зөвхөн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээнээс хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн зөв тэгш байдал юм.

Биеийн тэмдэг

Тэнцүү байдлын тэмдэглэгээнд "=" хэлбэрийн тэнцүү тэмдгийг ашигладаг бөгөөд зүүн ба баруун талд зарим тоо эсвэл илэрхийлэл байдаг. Хэрэв бид энэ тэмдэг дээр өөр хэвтээ шугам нэмбэл бид үүнийг авна таних тэмдэг"≡", эсвэл үүнийг бас нэрлэдэг таних тэмдэг.

Баримтлалын тэмдгийг бид зөвхөн тэгш эрх биш, харин ижил төстэй байдалтай тулгараад байгааг онцлон тэмдэглэх шаардлагатай үед л ашигладаг. Бусад тохиолдолд ижил төстэй байдлын тэмдэглэгээ нь тэгш байдлын хэлбэрээс ялгаатай биш юм.

Баримт бичгийн жишээ

Удирдах цаг нь болсон таних тэмдгүүдийн жишээ... Эхний догол мөрөнд өгөгдсөн таних тэмдгийн тодорхойлолт нь үүнд тусална.

Тоон тэгшитгэл 2 = 2 бөгөөд эдгээр тэгшитгэл нь үнэн бөгөөд аливаа жинхэнэ тоон тэгш байдал нь тодорхойлсноор ижил төстэй байдлын жишээ юм. Тэдгээрийг 2≡2 гэж бичиж болно.

2 + 3 = 5 ба 7−1 = 2 · 3 хэлбэрийн тоон тэгшитгэлүүд нь эдгээр тэгшитгэлүүд үнэн тул ижил төстэй байдал юм. Энэ нь 2 + 3≡5 ба 7−1≡2 · 3.

Тэмдэглэгээнд зөвхөн тоо төдийгүй хувьсагчдыг агуулсан таних тэмдгүүдийн жишээнүүд рүү шилжье.

3 (x + 1) = 3 x + 3 тэгшитгэлийг авч үзье. Х хувьсагчийн аль ч утгын хувьд нэмэхийн хувьд үржүүлэхийн тархалтын шинж чанараас шалтгаалан бичсэн тэгш байдал нь үнэн байдаг тул анхны тэгш байдал нь ижил төстэй байдлын жишээ юм. Өөр нэг таних жишээ энд байна: y (x − 1) ≡ (x − 1) x: x y 2: y, энд x ба y хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгын муж нь бүх хосоос (x, y) бүрдэнэ, энд x ба y нь тэгээс бусад тоонууд юм.

Гэхдээ x + 1 = x - 1 ба a + 2 b = b + 2 a тэгшитгэлүүд нь ижил утгатай биш, учир нь эдгээр тэгшитгэл нь буруу байх хувьсагчийн утгууд байдаг. Жишээлбэл, x = 2-ын хувьд x + 1 = x − 1 тэгшитгэл нь 2 + 1 = 2−1 гэсэн хуурамч тэгшитгэл болж хувирдаг. Түүнчлэн x хувьсагчийн ямар ч утгын хувьд x + 1 = x − 1 тэгш байдал огтхон ч хүрдэггүй. Хэрэв бид a ба b хувьсагчийн өөр утгыг авбал a + 2 b = b + 2 a тэгшитгэл буруу тэгшитгэл болж хувирна. Жишээлбэл, a = 0 ба b = 1-ийн хувьд бид 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0 буруу тэгшитгэлд хүрнэ. Тэгш байдал | x | = x, энд | x | - x хувьсагч нь мөн адил бус, учир нь энэ нь x-ийн сөрөг утгуудын хувьд үнэн биш юм.

Хамгийн алдартай таних тэмдэгүүдийн жишээ бол sin 2 α + cos 2 α = 1 ба лог a b = b юм.

Энэ өгүүллийн төгсгөлд математикийн хичээлийг судлах явцад бид ижил төстэй шинж чанаруудтай байнга тулгардаг гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. Тоо бүхий үйлдлүүдийн өмчийн бүртгэл нь таних тэмдэг юм, жишээлбэл, a + b = b + a, 1 a = a, 0 a = 0, a + (- a) = 0. Мөн таних тэмдэг нь мөн

Identity хувиргалт нь бидний тоон болон үгийн утга илэрхийлэл, хувьсагч агуулсан илэрхийллүүдээр хийдэг ажлыг илэрхийлдэг. Анхны илэрхийлэлийг асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруулахын тулд бид эдгээр бүх өөрчлөлтийг хийдэг. Бид энэ сэдвээр ижил төстэй өөрчлөлтүүдийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Илэрхийллийн ижил хувиргалт. Энэ юу вэ?

Бид 7-р ангийн алгебрийн хичээл дээр анх удаа ижил хувиргах тухай ойлголттой танилцаж байна. Үүний зэрэгцээ бид эхлээд ижил тэнцүү илэрхийллийн тухай ойлголттой танилцдаг. Сэдвийг ойлгоход хялбар болгохын тулд ойлголт, тодорхойлолтыг ойлгоцгооё.

Тодорхойлолт 1

Илэрхийллийн ижил хувиргалт- эдгээр нь эх хэллэгийг эх хэлтэй ижил төстэй илэрхийллээр солих зорилгоор хийгдсэн үйлдэл юм.

Ихэнхдээ энэ тодорхойлолтыг товчилсон хэлбэрээр ашигладаг бөгөөд "ижил" гэсэн үгийг орхигдуулдаг. Ямар ч тохиолдолд бид илэрхийллийн хувиргалтыг анхныхтай ижил илэрхийлэл авахын тулд хийдэг гэж үздэг бөгөөд үүнийг тусад нь онцлон тэмдэглэх шаардлагагүй юм.

Дүрслэн үзүүлье энэ тодорхойлолтжишээнүүд.

Жишээ 1

Хэрэв бид илэрхийллийг солих юм бол x + 3 - 2ижил илэрхийлэлд x + 1, дараа нь бид илэрхийллийн ижил өөрчлөлтийг хийх болно x + 3 - 2.

Жишээ 2

2 a 6 илэрхийллийг илэрхийллээр сольж байна a 3Энэ нь илэрхийлэл солигдох үед ижил хувирал юм хилэрхийлэл дээр x 2биш ижил хувиргалтилэрхийллүүдээс хойш хболон x 2ижил тэнцүү биш юм.

Бид ижил төстэй хувиргалтыг хийхдээ илэрхийлэл бичих хэлбэрт анхаарлаа хандуулж байна. Ерөнхийдөө бид анхны илэрхийлэл болон үр дүнгийн илэрхийлэлийг тэгш гэж бичдэг. Тэгэхээр x + 1 + 2 = x + 3 гэж бичвэл x + 1 + 2 илэрхийлэл нь x + 3 хэлбэртэй болсон гэсэн үг юм.

Үйлдлүүдийг дараалан гүйцэтгэх нь биднийг тэгш байдлын гинжин хэлхээнд хүргэдэг бөгөөд энэ нь дараалсан хэд хэдэн ижил өөрчлөлтүүд юм. Тиймээс бид x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x гэсэн тэмдэглэгээг хоёр хувиргалтыг дараалан гүйцэтгэх гэж ойлгодог: эхлээд x + 1 + 2 илэрхийлэлийг x + 3 хэлбэрт оруулав. 3 + x хэлбэр.

Ижил хувиргалт ба ODU

Бидний 8-р ангид сурч эхэлсэн хэд хэдэн илэрхийлэл нь хувьсагчийн бүх утгыг ойлгохгүй байна. Эдгээр тохиолдолд ижил төстэй хувиргалтыг хийх нь хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужид (ADV) анхаарлаа хандуулахыг шаарддаг. Ижил өөрчлөлтийг хийснээр ODZ-ийг өөрчлөхгүй эсвэл нарийсгаж болно.

Жишээ 3

Илэрхийлэлээс үсрэх үед a + (- b)илэрхийлэл рүү а - бхувьсах хүрээ аболон бхэвээрээ байна.

Жишээ 4

x илэрхийлэлээс илэрхийлэл рүү шилжих x 2 xЭнэ нь x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг бүх бодит тоонуудын багцаас тэгийг хассан бүх бодит тоонуудын багц хүртэл нарийсгахад хүргэдэг.

Жишээ 5

Илэрхийллийн ижил хувиргалт x 2 x x илэрхийлэл нь x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг тэгээс бусад бүх бодит тоонуудын багцаас бүх бодит тоонуудын багц хүртэл өргөжүүлэхэд хүргэдэг.

Ижил хувиргалтыг хийхдээ хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг нарийсгах эсвэл өргөжүүлэх нь тооцооллын нарийвчлалд нөлөөлж, алдаа гаргахад хүргэдэг тул асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой юм.

Үндсэн таних өөрчлөлтүүд

Одоо ижил төстэй өөрчлөлтүүд гэж юу болох, тэдгээрийг хэрхэн гүйцэтгэдэг болохыг харцгаая. Гол бүлэгт ихэвчлэн шийдвэрлэх шаардлагатай ижил төрлийн өөрчлөлтүүдийг ялгаж үзье.

Үндсэн ижил төстэй өөрчлөлтүүдээс гадна тодорхой төрлийн илэрхийлэлтэй холбоотой хэд хэдэн өөрчлөлтүүд байдаг. Бутархайн хувьд эдгээр нь шинэ хуваагч руу багасгах, багасгах арга юм. Үндэс ба хүч бүхий илэрхийллийн хувьд үндэс ба хүчний шинж чанарт үндэслэн гүйцэтгэсэн бүх үйлдлүүд. Логарифмын шинж чанарт тулгуурлан хийгдэх үйлдлүүд нь логарифмын илэрхийлэл юм. Тригонометрийн илэрхийллийн хувьд бүх үйлдлийг ашиглана тригонометрийн томъёо... Эдгээр бүх хувийн өөрчлөлтүүдийг манай эх сурвалжаас олж болох тусдаа сэдвүүдэд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Үүнтэй холбогдуулан бид энэ нийтлэлд тэдгээрийн талаар ярихгүй.

Гол ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг авч үзье.

Нэр томьёо, хүчин зүйлсийг солих

Нөхцөлүүдийг дахин цэгцэлж эхэлцгээе. Бид энэ ижил өөрчлөлттэй ихэвчлэн тулгардаг. Дараах мэдэгдлийг энд үндсэн дүрэм гэж үзэж болно: ямар ч нийлбэрээр, нэр томьёоны байрлалыг солих нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.

Энэ дүрэм нь нэмэлтийн нүүлгэн шилжүүлэлт ба хослолын шинж чанарт суурилдаг. Эдгээр шинж чанарууд нь нэр томъёог газар дээр нь өөрчлөх боломжийг олгодог бөгөөд ингэснээр анхны хэллэгтэй ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг олж авдаг. Тийм ч учраас нийлбэр дэх нэр томьёоны оронд орлуулах нь таних тэмдэгийн хувирал юм.

Жишээ 6

Бидэнд 3 + 5 + 7 гэсэн гурван гишүүний нийлбэр байна. Хэрэв бид 3 ба 5-р нөхцлүүдийг солих юм бол илэрхийлэл нь 5 + 3 + 7 хэлбэрийг авна. Энэ тохиолдолд нэр томъёоны нөхцөлийг өөрчлөх хэд хэдэн сонголт байдаг. Эдгээр нь бүгд анхныхтай ижил илэрхийлэлийг олж авахад хүргэдэг.

Зөвхөн тоо төдийгүй илэрхийлэл нь нийлбэрт нэр томъёоны үүрэг гүйцэтгэдэг. Тэдгээрийг яг л тоонуудын нэгэн адил тооцооллын эцсийн үр дүнд нөлөөлөхгүйгээр өөр газар байрлуулж болно.

Жишээ 7

Гурван гишүүний нийлбэрт 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 ба - 12 a хэлбэрийн 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( -) 12) · Нэр томъёог жишээлбэл дараах байдлаар өөрчилж болно (- 12) Хариуд нь та 1 a + b бутархайн хуваагч дахь нэр томъёог дахин цэгцлэх боломжтой бөгөөд бутархай нь 1 b + a хэлбэрийг авна. Мөн язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл a 2 + 2 a + 5мөн нөхцөлүүдийг сольж болох нийлбэр юм.

Нэр томъёоны нэгэн адил анхны илэрхийлэлд та хүчин зүйлсийн байршлыг өөрчилж, ижил зөв тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Энэ үйлдлийг дараах дүрмээр зохицуулна.

Тодорхойлолт 2

Бүтээгдэхүүний үржүүлэгчийг газар дахин байрлуулах нь тооцооллын үр дүнд нөлөөлөхгүй.

Энэ дүрэм нь үржүүлгийн нүүлгэн шилжүүлэлт ба хослолын шинж чанарууд дээр суурилдаг бөгөөд энэ нь ижил хувирлын зөвийг баталгаажуулдаг.

Жишээ 8

Ажил 3 5 7Хүчин зүйлийн сэлгэлтийг дараах хэлбэрүүдийн аль нэгээр илэрхийлж болно: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 эсвэл 3 7 5.

Жишээ 9

x + 1 x 2 - x + 1 x бүтээгдэхүүн дэх хүчин зүйлсийг дахин цэгцлэх нь x 2 - x + 1 x x + 1 болно.

Өргөтгөх хаалт

Хаалт нь тоон болон хувьсах илэрхийлэл агуулж болно. Эдгээр илэрхийллийг ижил төстэй илэрхийлэл болгон хувиргаж болох бөгөөд хаалтанд огт байхгүй эсвэл анхны илэрхийллээс цөөн байх болно. Илэрхийллийг хөрвүүлэх ийм аргыг хаалтны өргөтгөл гэж нэрлэдэг.

Жишээ 10

Маягтын илэрхийлэлд хаалттай үйлдлүүдийг хийцгээе 3 + x - 1 xижил зөв илэрхийлэл авахын тулд 3 + x - 1 x.

3 x - 1 + - 1 + x 1 - x илэрхийлэлийг адилхан болгон хувиргаж болно тэнцүү илэрхийлэлхаалтгүй 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

Манай эх сурвалж дээр байрлуулсан "Хаалтуудыг өргөжүүлэх" сэдвээр илэрхийлэлийг хаалтанд хөрвүүлэх дүрмийг бид дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Нэр томьёо, хүчин зүйлсийг бүлэглэх

Бид гурав болон харьцаж байгаа тохиолдолд их хэмжээнийнэр томьёоны хувьд бид нэр томьёог бүлэглэх гэх мэт ижил төстэй байдлын өөрчлөлтийн хэлбэрийг ашиглаж болно. Энэхүү хувиргах арга нь хэд хэдэн нэр томьёог дахин цэгцэлж, хаалтанд оруулах замаар бүлэг болгон нэгтгэхийг хэлнэ.

Бүлэглэхдээ бүлэглэх нэр томъёог илэрхийлэлд зэрэгцүүлэн харуулахын тулд нэр томьёог сольдог. Дараа нь тэдгээрийг хаалтанд хийж болно.

Жишээ 11

Илэрхийлэлийг авч үзье 5 + 7 + 1 ... Хэрэв бид эхний гишүүнийг гурав дахь гишүүнтэй бүлэглэвэл бид авна (5 + 1) + 7 .

Хүчин зүйлсийг бүлэглэх нь нэр томьёо бүлэглэхтэй ижил төстэй байдлаар хийгддэг.

Жишээ 12

Ажилд 2 3 4 5Бид эхний хүчин зүйлийг гурав дахь, хоёрдугаарт дөрөв дэх хүчин зүйлийг бүлэглэж, бид илэрхийлэлд хүрнэ (2 4) (3 5)... Хэрэв бид эхний, хоёр, дөрөв дэх хүчин зүйлийг бүлэглэвэл бид илэрхийлэлийг авах болно (2 3 5) 4.

Бүлэглэсэн нэр томьёо, хүчин зүйлсийг анхны тоо болон илэрхийлэлээр илэрхийлж болно. Бүлэглэх дүрмийг "Нэр томьёо, хүчин зүйлсийг бүлэглэх" сэдвээр дэлгэрэнгүй авч үзсэн.

Зөрүүг нийлбэр, хэсэгчилсэн бүтээгдэхүүнээр солих ба эсрэгээр

Зөрүүг нийлбэрээр солих нь бидний эсрэг тоотой танилцсаны ачаар боломжтой болсон. Одоо тооноос хасаж байна атоонууд бтоон дээр нэмсэн зүйл гэж үзэж болно атоонууд - б... Тэгш байдал a - b = a + (- b)шударга гэж үзэж, түүний үндсэн дээр зөрүүг нийлбэрээр солих боломжтой.

Жишээ 13

Илэрхийлэлийг авч үзье 4 + 3 − 2 , үүнд тоонуудын зөрүү 3 − 2 бид нийлбэр гэж бичиж болно 3 + (− 2) ... Бид авдаг 4 + 3 + (− 2) .

Жишээ 14

Илэрхийллийн бүх ялгаа 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2зэрэг нийлбэрээр сольж болно 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

Бид ямар ч ялгаанаас нийлбэр рүү шилжиж болно. Үүний нэгэн адил бид урвуу орлуулалтыг хийж болно.

Хуваалтыг үржүүлэх замаар хуваагчийн эсрэгээр солих нь харилцан гэсэн ойлголтын ачаар боломжтой болсон. харилцан тоо... Энэ өөрчлөлтийг тэгшитгэлээр бичиж болно a: b = a (b - 1).

Энэ дүрмийг энгийн бутархай хуваах дүрмийн үндэс болгон ашигласан.

Жишээ 15

Хувийн 1 2: 3 5 маягтын бүтээгдэхүүнээр сольж болно 1 2 5 3.

Үүнтэй адилаар хуваалтыг үржүүлэх замаар сольж болно.

Жишээ 16

Илэрхийллийн хувьд 1 + 5: x: (x + 3)хуваалтаар солино х-ээр үржүүлж болно 1 х... -ээр хуваах x + 3бид үржүүлэх замаар сольж болно 1 х + 3... Энэхүү хувиргалт нь анхныхтай ижил илэрхийлэл авах боломжийг бидэнд олгодог: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Үржүүлэхийг хуваах замаар солих нь схемийн дагуу явагдана a b = a: (b - 1).

Жишээ 17

5 x x 2 + 1 - 3 илэрхийлэлд үржүүлэхийг 5: x 2 + 1 x - 3 болгон хуваах замаар сольж болно.

Тоонууд дээр үйлдэл хийх

Тоогоор үйлдэл хийх нь үйлдлийн дарааллын дүрмийг дагаж мөрддөг. Нэгдүгээрт, үйлдлүүдийг тоонуудын хүч, тооны үндэсээр гүйцэтгэдэг. Үүний дараа бид логарифм, тригонометрийн болон бусад функцуудыг утгуудаар нь сольдог. Дараа нь хаалтанд байгаа үйлдлүүд хийгдэнэ. Дараа нь бусад бүх үйлдлийг зүүнээс баруун тийш хийж болно. Үржүүлэх, хуваах нь нэмэх, хасахаас өмнө хийгддэг гэдгийг санах нь зүйтэй.

Тоо бүхий үйлдлүүд нь анхны илэрхийлэлийг үүнтэй тэнцүү болгон хөрвүүлэх боломжийг олгодог.

Жишээ 18

3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x илэрхийллийг дахин бичиж, тоонуудын тусламжтайгаар боломжтой бүх үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл

Юуны өмнө зэрэглэлд анхаарлаа хандуулъя 2 3 ба үндэс 4 ба тэдгээрийн утгыг тооцоолох: 2 3 = 8 ба 4 = 2 2 = 2.

Хүлээн авсан утгыг анхны илэрхийлэлд орлуулж, дараахийг авна уу: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Одоо хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг хийцгээе: 8 − 1 = 7 ... 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) илэрхийлэл рүү шилжинэ.

Тоонуудын үржүүлгийг хийх нь бидэнд үлддэг 3 болон 7 ... Бид авна: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).

Хариулт: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Тоонууд дээрх үйлдлүүдийн өмнө тоонуудыг бүлэглэх, хашилтыг тэлэх гэх мэт өөр төрлийн ижил төрлийн хувиргалтыг хийж болно.

Жишээ 19

Илэрхийлэлийг авч үзье 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Шийдэл

Юуны өмнө бид хаалтанд байгаа коэффициентийг орлуулах болно 6: 3 түүний үнэ цэнэ дээр 2 ... Бид авна: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

Хаалтуудыг өргөжүүлье: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

Бүтээгдэхүүн дэх тоон хүчин зүйлүүд, мөн тоонууд болох нэр томъёог бүлэглэе. (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг хийцгээе: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Хариулт:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Хэрэв бид тоон илэрхийлэлтэй ажиллах юм бол бидний ажлын зорилго нь илэрхийллийн утгыг олох явдал юм. Хэрэв бид илэрхийлэлийг хувьсагчтай хувиргавал бидний үйл ажиллагааны зорилго нь илэрхийллийг хялбарчлах болно.

Нийтлэг хүчин зүйлийг ялгаж салга

Хэрэв илэрхийлэл дэх нэр томьёо нь ижил хүчин зүйлтэй байвал бид энэ нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд анхны илэрхийлэлийг нийтлэг хүчин зүйлийн үржвэр болгон, нийтлэг хүчин зүйлгүй анхны нэр томъёоноос бүрдэх хаалтанд байгаа илэрхийллийг илэрхийлэх хэрэгтэй.

Жишээ 20

Тооноор 2 7 + 2 3Бид нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж чадна 2 хаалтанд оруулаад маягтын ижил зөв илэрхийлэлийг авна 2 (7 + 3).

Та манай эх сурвалжийн харгалзах хэсэгт нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах дүрмийн талаар санах ойгоо сэргээж болно. Уг материалд нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтны гадна байрлуулах дүрмийг нарийвчлан авч үзсэн бөгөөд олон жишээг үзүүлэв.

Ижил төстэй нэр томъёог багасгах

Одоо ижил төстэй нэр томъёо агуулсан нийлбэрүүд рүү шилжье. Хоёр боломжит хувилбар байдаг: ижил нөхцлүүдийг агуулсан нийлбэр ба нөхцлүүд нь тоон коэффициентээр ялгаатай нийлбэрүүд. Ийм нэр томъёо агуулсан нийлбэр бүхий үйлдлийг ийм нэр томъёог багасгах гэж нэрлэдэг. Үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: бид хаалтны гаднах ерөнхий үсгийн хэсгийг гаргаж, хаалтанд байгаа тоон коэффициентүүдийн нийлбэрийг тооцоолно.

Жишээ 21

Илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй 1 + 4 х - 2 х... Бид хаалтан доторх х-ийн шууд утгыг тавиад илэрхийллийг авч болно 1 + х (4 - 2)... Хаалтанд байгаа илэрхийллийн утгыг тооцоод 1 + x · 2 хэлбэрийн нийлбэрийг авъя.

Тоо, илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих

Анхны илэрхийлэл бүрдсэн тоонууд болон илэрхийллүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллээр сольж болно. Анхны илэрхийллийн ийм өөрчлөлт нь үүнтэй ижил төстэй илэрхийлэлд хүргэдэг.

Жишээ 22 Жишээ 23

Илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй 1 + 5, үүнд бид 5-ын зэргийг ижил тэнцүү бүтээгдэхүүнээр сольж болно, жишээлбэл, маягтын а 4... Энэ нь бидэнд илэрхийлэл өгөх болно 1 + a a 4.

Гүйцэтгэсэн хувиргалт нь хиймэл юм. Энэ нь зөвхөн бусад өөрчлөлтөд бэлтгэхэд л утга учиртай.

Жишээ 24

Нийлбэрийн хувирлыг авч үзье 4 x 3 + 2 x 2... Энд нэр томъёо 4 х 3бүтээл гэж бид төсөөлж болно 2 x 2 2 x... Үүний үр дүнд анхны илэрхийлэл нь хэлбэрийг авдаг 2 x 2 2 x + 2 x 2... Одоо бид нийтлэг хүчин зүйлийг сонгож болно 2 х 2мөн хаалтны гадна талд тавь: 2 x 2 (2 x + 1).

Ижил тоог нэмэх, хасах

Ижил тоо эсвэл илэрхийллийг нэгэн зэрэг нэмэх, хасах нь илэрхийллийг хувиргах зохиомол арга юм.

Жишээ 25

Илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй x 2 + 2 x... Бид үүнээс нэгийг нэмж эсвэл хасах боломжтой бөгөөд энэ нь ирээдүйд өөр нэг ижил хувиргалт хийх боломжийг олгоно - хоёр гишүүний квадратыг сонгох. x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг сонгоод Ctrl + Enter дарна уу

§ 2. Ижил илэрхийлэл, өвөрмөц байдал. Илэрхийллийн ижил хувиргалт. Бие даасан байдлын баталгаа

x хувьсагчийн өгөгдсөн утгуудын 2 (x - 1) 2x - 2 илэрхийллийн утгыг ол. Үр дүнг хүснэгтэд бичье.

Та x хувьсагчийн өгөгдсөн утга бүрийн хувьд 2 (x - 1) 2x - 2 илэрхийллийн утгууд хоорондоо тэнцүү байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч болно. 2 (x - 1) = 2x - 2 хасахтай холбоотой үржүүлгийн тархалтын шинж чанараар. Иймд x хувьсагчийн бусад утгын хувьд 2 (x - 1) 2x - 2 илэрхийллийн утга мөн тэнцүү байх болно. бие биедээ. Ийм илэрхийллийг ижил тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, 2x + 3x ба 5x илэрхийллүүд нь ижил утгатай тул x хувьсагчийн утга бүрийн хувьд эдгээр илэрхийллүүд нь ижил утгатай болно. ижил утгууд(энэ нь 2x + 3x = 5x тул нэмэхэд хамаарах үржүүлгийн хуваарилах шинж чанараас гардаг).

Одоо 3x + 2y ба 5xy илэрхийллүүдийг авч үзье. Хэрэв x = 1 ба b = 1 бол эдгээр илэрхийллийн харгалзах утга нь хоорондоо тэнцүү байна.

3x + 2y = 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Гэсэн хэдий ч та эдгээр илэрхийллийн утга нь хоорондоо тэнцүү биш байх x ба y утгыг зааж өгч болно. Жишээлбэл, хэрэв x = 2; y = 0, тэгвэл

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6.5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Тиймээс 3x + 2y ба 5xy илэрхийллийн харгалзах утга нь хоорондоо тэнцүү биш хувьсагчдын утгууд байдаг. Тиймээс 3x + 2y ба 5xy илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү биш юм.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн ижил төстэй байдал нь ялангуяа тэнцүү байна: 2 (х - 1) = 2х - 2 ба 2х + 3х = 5х.

Тоон дээрх үйлдлүүдийн мэдэгдэж буй шинж чанарыг агуулсан тэгш байдал бүрийг таних тэмдэг гэнэ. Жишээлбэл,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a (b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab) c = a (bc); a (b - c) = ab - ac.

Мөн адил тэгш байдал байдаг:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Хэрэв бид -5x + 2x - 9 илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог багасгавал 5x + 2x - 9 = 7x - 9 болно. Энэ тохиолдолд 5x + 2x - 9 илэрхийллийг 7x - 9 илэрхийллээр сольсон гэж тэд хэлдэг. энэ нь үүнтэй ижил юм.

Хувьсагчтай илэрхийллийн ижил хувиргалтыг тоон дээрх үйлдлийн шинж чанарыг ашиглан гүйцэтгэдэг. Ялангуяа хашилтыг тэлэх, ижил төстэй нэр томъёо барих гэх мэт ижил төстэй өөрчлөлтүүд.

Илэрхийллийг хялбарчлах, өөрөөр хэлбэл зарим илэрхийллийг бичлэгээс богино байх ижил тэнцүү илэрхийллээр солих үед ижил хувиргалтыг хийх шаардлагатай.

Жишээ 1. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

1) -0.3 м ∙ 5n;

2) 2 (3х - 4) + 3 (-4х + 7);

3) 2 + 5а - (а - 2б) + (3б - а).

1) -0,3 м ∙ 5н = -0,3 ∙ 5мн = -1,5 мин;

2) 2 (3х 4) + 3 (-4 + 7) = 6 х - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5а - (а - 2б) + (3б - а) = 2 + 5а - а + 2 б + 3 б - а= 3a + 5b + 2.

Тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг нотлохын тулд (өөрөөр хэлбэл ижил төстэй байдлыг батлахын тулд илэрхийллийн ижил хувиргалтыг ашиглана.

Бие махбодийг дараахь аргуудын аль нэгээр нотолж болно.

• зүүн талынх нь ижил төстэй өөрчлөлтийг хийж, улмаар баруун талын хэлбэрт оруулах;
• түүний баруун талын ижил төстэй өөрчлөлтийг хийж, улмаар зүүн талын хэлбэрт оруулах;
• түүний хоёр хэсгийн ижил хувиргалтыг хийж, ингэснээр хоёр хэсгийг ижил илэрхийлэл болгон өсгөнө.

Жишээ 2. Тодорхойлолтыг нотлох:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4а = 5 (2а - 3б) - 7 (2а - 5б);

3) 2 (3х - 8) + 4 (5х - 7) = 13 (2х - 5) + 21.

Хэсэг

1) Бид энэ тэгш байдлын зүүн талыг хувиргана:

2х - (x + 5) - 11 = 2x - NS- 5 - 11 = x - 16.

Ижил өөрчлөлтүүдээр тэгш байдлын зүүн талын илэрхийлэл нь баруун талын хэлбэрт шилжсэн бөгөөд ингэснээр энэ тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг нотолсон.

2) Бид энэ тэгш байдлын баруун талыг өөрчилдөг:

5 (2а - 3б) - 7 (2а - 5б) = 10а - 15 б - 14а + 35 б= 20b - 4a.

Ижил өөрчлөлтүүдээр тэгш байдлын баруун талыг зүүн талын хэлбэр болгон бууруулж, энэ тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг нотолсон.

3) Энэ тохиолдолд тэгш байдлын зүүн ба баруун талыг хоёуланг нь хялбарчилж, үр дүнг харьцуулах нь тохиромжтой.

2 (3х - 8) + 4 (5х - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13 (2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.

Ижил өөрчлөлтүүдээр тэгш байдлын зүүн ба баруун талыг ижил хэлбэрт оруулав: 26x - 44. Тиймээс энэ тэгш байдал нь ижил төстэй байдал юм.

Ямар илэрхийллийг ижил төстэй гэж нэрлэдэг вэ? Ижил илэрхийллийн жишээг өг. Ямар тэгш байдлыг ижилсэл гэж нэрлэдэг вэ? Биеэ тодорхойлох жишээг өг. Илэрхийллийг таних хувиргалт гэж юу вэ? Өөрийгөө хэрхэн батлах вэ?

1. (Амаар) Эсвэл ижил тэнцүү илэрхийллүүд байна уу:

1) 2a + a ба 3a;

2) 7x + 6 ба 6 + 7x;

3) x + x + x ба x 3;

4) 2 (x - 2) ба 2х - 4;

5) m - n ба n - m;

6) 2a ∙ p ба 2p ∙ a?

1. Илэрхийлэл нь:

1) 7x - 2x ба 5x;

2) 5а - 4 ба 4 - 5а;

3) 4м + n ба n + 4м;

4) a + a ба 2;

5) 3 (a - 4) ба 3a - 12;

6) 5м ∙ n ба 5м + n?

1. (Амаар) нь худлаа шинж чанар юм:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7p - 1 = -1 + 7p;

3) 3 (x - y) = 3x - 5y?

1. Нээлттэй хаалт:

1. Нээлттэй хаалт:

1. Ижил төстэй нэр томъёог нэгтгэх:

1. 2a + 3a илэрхийлэлтэй ижил хэд хэдэн хэллэгийг нэрлэ.
2. Үржүүлгийн орлуулах болон холбох шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэлээ хялбарчлаарай:

1) -2.5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1.5);

3) 0.2 x ∙ (0.3 гр);

4) - x ∙<-7у).

1. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

1) -2p ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1.2);

3) 0.2 x ∙ (-3y);

4) - 1 м ∙ (-3n).

1. (Амаар) Илэрхийллийг хялбарчлах:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7а - 3б + 2а + 3б;

4) 4а ∙ (-2б).

1. Ижил төстэй нэр томъёог нэгтгэх:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1.8 a + 1.9 b + 2.8 a - 2.9 b;

4) 5 - 7 секунд + 1,9 г + 6,9 секунд - 1,7 г.

1) 4 (5х - 7) + 3х + 13;

2) 2 (7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) - (3м - 5) + 2 (3м - 7).

1. Хашилтыг өргөжүүлж, ижил төстэй нэр томъёог багасгана:

1) 3 (8а - 4) + 6а;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3х - 8) - 5 (2х + 7);

4) 3 (5м - 7) - (15м - 2).

1) x = 2.4 бол 0.6 x + 0.4 (x - 20);

2) a = 10 бол 1.3 (2a - 1) - 16.4;

3) 1.2 (м - 5) - 1.8 (10 - м) хэрэв m = -3.7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y, хэрэв x = -1 бол у = 1.

1. Илэрхийлэлийг хялбарчилж, утгыг нь олоорой:

1) 0.7 x + 0.3 (x - 4) хэрэв x = -0.7;

2) 1.7 (y - 11) - b = 20 бол 16.3;

3) 0.6 (2a - 14) - 0.4 (5a - 1) хэрэв a = -1;

4) 5 (m - n) - m = 1.8 бол 4м + 7n; n = -0.9.

1. Хэн болохыг нотлох:

1) - (2х - у) = у - 2х;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

1. Хэн болохыг нотлох:

1) - (m - 3n) = 3n - м;

2) 7 (2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (м - 3) + 3 (м + 3) = 7м - 3.

1. Гурвалжны нэг талын урт нь см, нөгөө хоёр талынх нь урт нь түүнээс 2 см урт байна. Гурвалжны периметрийг илэрхийлэл болгон бичээд илэрхийллийг хялбарчлаарай.
2. Тэгш өнцөгтийн өргөн нь х см, урт нь өргөнөөсөө 3 см урт байна. Тэгш өнцөгтийн периметрийг илэрхийлэл болгон бичиж, илэрхийллийг хялбарчлаарай.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5м - ((n - м) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2х - ((y - x) - 2y));

5) (6а - б) - (4 а - 33б);

6) - (2.7 м - 1.5 н) + (2н - 0.48 м).

1. Хашилтыг өргөжүүлж, илэрхийллийг хялбаршуулна уу:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12м - ((а - м) + 12а);

3) 5 нас - (6 нас - (7 нас - (8 нас - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

1. Хэн болохыг нотлох:

1) 10x - (- (5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (- (8 - 5p)) = 2 (4 - d);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

1. Хэн болохыг нотлох:

1) 12а - ((8а - 16)) = -4 (4 - 5а);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Илэрхийллийн утга гэдгийг батал

1.8 (м - 2) + 1.4 (2 - м) + 0.2 (1.7 - 2м) нь хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй.

1. Хувьсагчийн дурын утгын хувьд илэрхийллийн утга болохыг батал

a - (a - (5a + 2)) - 5 (а - 8)

ижил тоо.

1. Дараалсан гурван тэгш тооны нийлбэр нь 6-д хуваагддаг болохыг батал.
2. Хэрэв n нь натурал тоо бол -2 (2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) илэрхийллийн утга тэгш тоо болохыг батал.

Давталтын дасгалууд

1. 1.6 кг жинтэй хайлш нь 15% зэс агуулдаг. Энэ хайлшанд хэдэн кг зэс байгаа вэ?
2. 20 гэсэн тоо хэдэн хувьтай байна вэ?

1) дөрвөлжин;

1. Жуулчин 2 цаг алхаж, 3 цаг дугуй унасан байна. Жуулчин нийтдээ 56 км замыг туулсан. Жуулчны дугуй унаж байсан хурд нь түүний алхсан хурдаас 12 км/цаг их бол түүнийг ол.

Залхуу оюутнуудад зориулсан сонирхолтой даалгавар

1. Хотын аварга шалгаруулах хөлбөмбөгийн тэмцээнд 11 баг оролцож байна. Баг бүр бусадтайгаа нэг тоглолт хийдэг. Тэмцээний аль ч мөчид энэ мөчид тэгш тооны тоглолт хийсэн эсвэл ганц ч тоглож амжаагүй баг байгааг батал.

Сэдэв"Бие даасан байдлын баталгаа"7-р анги (KRO)

Сурах бичиг Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.

Хичээлийн зорилго

Боловсролын:

"ижил төстэй илэрхийлэл", "их чанар", "ижил хувиргалт" гэсэн ойлголттой танилцаж, эхлээд нэгтгэх;

Бие махбодоо нотлох арга замыг авч үзэх, хэн болохыг батлах ур чадварыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулах;

дамжуулсан материалыг оюутнуудын эзэмшиж буй эсэхийг шалгах, шинэ зүйлийг ойлгоход сурсан зүйлээ ашиглах чадварыг бий болгох.

Хөгжиж байна:

Оюутнуудын бичиг үсэгт тайлагдсан математикийн яриаг хөгжүүлэх (математикийн тусгай нэр томъёог ашиглахдаа үгсийн санг баяжуулж, төвөгтэй болгох),

сэтгэлгээг хөгжүүлэх,

Боловсрол: хичээл зүтгэл, нарийвчлал, дасгалын шийдлийг зөв бичихэд сургах.

Хичээлийн төрөл: шинэ материал сурах

Хичээлийн үеэр

1 ... Зохион байгуулах цаг.

Гэрийн даалгавар шалгах.

Гэрийн даалгавар.

Самбар дээрх шийдлийн дүн шинжилгээ.

Математик шаардлагатай
Чи түүнгүйгээр амьдарч чадахгүй
Бид заадаг, заадаг, найзууд,
Өглөөнөөс бид юу санаж байна вэ?

2 ... Бие халаалт хийцгээе.

Нэмэлт үр дүн. (нийлбэр)

Та хэдэн тоо мэдэх вэ? (арав)

Тооны зууны нэг. (Хувь)

Хэсгийн үр дүн? (Хувийн)

Хамгийн бага натурал тоо? (1)

Натурал тоог хуваахдаа тэг авах боломжтой юу? (Үгүй)

Хамгийн том сөрөг бүхэл тоо хэд вэ? (-1)

Аль тоог хувааж болохгүй вэ? (0)

Үржүүлгийн үр дүн? (Ажил)

Хасах үр дүн. (Ялгаа)

Нэмэлтийн шилжилтийн шинж чанар. (Нэр томъёоны байршлыг өөрчилснөөр нийлбэр өөрчлөгдөхгүй)

Үржүүлгийн аялалын шинж чанар. (Үржүүлэгчийн орлуулахаас бүтээгдэхүүн өөрчлөгдөхгүй)

Шинэ сэдэв сурах (тэмдэглэлийн дэвтэрт бичих тодорхойлолт)

x = 5 ба y = 4 илэрхийллүүдийн утгыг ол

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27

3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27

Бид ижил үр дүнд хүрсэн. Түгээх шинж чанараас харахад хувьсагчийн аливаа утгын хувьд 3 (x + y) ба 3x + 3y илэрхийллийн утга тэнцүү байна.

Одоо 2x + y ба 2xy илэрхийллүүдийг авч үзье. x = 1 ба y = 2-ын хувьд тэд тэнцүү утгыг авна:

Гэсэн хэдий ч та x ба y-ийн утгуудыг эдгээр илэрхийллийн утгууд тэнцүү биш байхаар зааж өгч болно. Жишээлбэл, хэрэв x = 3, y = 4, тэгвэл

Тодорхойлолт: Хувьсагчийн аль ч утгын хувьд утга нь тэнцүү хоёр илэрхийллийг ижил тэнцүү гэж нэрлэдэг.

3 (x + y) ба 3x + 3y илэрхийллүүд нь адилхан тэнцүү боловч 2x + y ба 2xy илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү биш юм.

3 (x + y) ба 3x + 3y тэгшитгэл нь x ба y-ийн аль ч утгын хувьд үнэн юм. Ийм тэгш байдлыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт:Хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн байх тэгш байдлыг identity гэж нэрлэдэг.

Жинхэнэ тооны тэгш байдлыг мөн адилтгал гэж үздэг. Бид таних хүмүүстэй аль хэдийн уулзсан. Баримтлал гэдэг нь тоон дээрх үйлдлүүдийн үндсэн шинж чанарыг илэрхийлдэг тэгш байдал юм (Оюутнууд өмч тус бүр дээр тайлбар хийж, үүнийг дууддаг).

a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab) c = a (bc)
a (b + c) = ab + ac

Баримтлалын бусад жишээг өг

Тодорхойлолт: Нэг илэрхийлэлийг өөр, ижил тэнцүү илэрхийллээр солихыг таних тэмдэгийн хувиргалт эсвэл энгийн илэрхийлэлийн хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Хувьсагчтай илэрхийллийн ижил хувиргалтыг тоон дээрх үйлдлийн шинж чанарт үндэслэн гүйцэтгэдэг.

Илэрхийллийн ижил төстэй хувиргалтыг илэрхийллийн утгыг тооцоолох, бусад асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Та ижил төстэй хувиргалтуудыг аль хэдийн хийсэн байна, жишээлбэл, ижил төстэй нэр томъёог цутгах, хашилтыг өргөжүүлэх.

5 ... No691, No692 (хаалт нээх, сөрөг ба эерэг тоог үржүүлэх дүрмийн дуудлагатай)

оновчтой шийдлийг сонгох таних тэмдэг:(урд талын ажил)

6 ... Хичээлийг дүгнэж байна.

Багш асуулт асууж, сурагчид хүссэнээрээ хариулдаг.

Аль хоёр илэрхийллийг ижил тэнцүү гэж хэлэх вэ? Жишээ хэлнэ үү.

Ямар тэгш байдлыг ижилсэл гэж нэрлэдэг вэ? Жишээ хэлье.

Та ямар ижил төстэй өөрчлөлтүүдийг мэдэх вэ?

7. Гэрийн даалгавар. Тодорхойлолттой танилцах, Ижил илэрхийллийн жишээг өгөх (дор хаяж 5), тэдгээрийг дэвтэрт бичих

Тоог нэмэх, үржүүлэх үндсэн шинж чанарууд.

Нэмэлтийн нүүлгэн шилжүүлэх шинж чанар: нийлбэрийн утга нь нөхцлийн орлуулахаас өөрчлөгдөхгүй. Ямар ч a ба b тоонуудын хувьд тэгш байдал

Нэмэх хосолсон шинж чанар: хоёр тооны нийлбэр дээр гурав дахь тоог нэмэхийн тулд эхний тоонд хоёр, гурав дахь тоог нэмж болно. Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал

Үржүүлгийн нүүлгэн шилжүүлэх шинж чанар: бүтээгдэхүүний үнэ цэнэ нь хүчин зүйлийн сэлгэснээс өөрчлөгддөггүй. Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал

Үржүүлэх хосолсон шинж чанар: хоёр тооны үржвэрийг гурав дахь тоогоор үржүүлэхийн тулд эхний тоог хоёр, гурав дахь тоогоор үржүүлж болно.

Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал

Хуваарилах шинж чанар: тоог нийлбэрээр үржүүлэхийн тулд тухайн тоог гишүүн бүрээр үржүүлж үр дүнг нэгтгэж болно. Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал

Нэмэлтийн нүүлгэн шилжүүлэх, нэгтгэх шинж чанаруудаас дараахь зүйлийг дурдвал: ямар ч нийлбэрээр та нэр томъёог хүссэнээрээ өөрчилж, дур мэдэн бүлэг болгон нэгтгэж болно.

Жишээ 1 1.23 + 13.5 + 4.27 нийлбэрийг бодъё.

Үүний тулд эхний нэр томъёог гуравдахьтай хослуулах нь тохиромжтой. Бид авах:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Үржүүлгийн шилжүүлэн суулгах болон хослуулах шинж чанаруудаас дараахь зүйлийг дурдвал: аливаа бүтээгдэхүүнд та хүчин зүйлсийг хүссэнээрээ өөрчилж, тэдгээрийг дур мэдэн бүлэг болгон нэгтгэж болно.

Жишээ 2 1.8 · 0.25 · 64 · 0.5 бүтээгдэхүүний утгыг олъё.

Эхний хүчин зүйлийг дөрөв дэх, хоёр дахь хүчин зүйлийг гурав дахь хүчин зүйлтэй хослуулснаар бид дараахь зүйлийг авах болно.

1.8 0.25 64 0.5 = (1.8 0.5) (0.25 64) = 0.9 16 = 14.4.

Энэ тоог гурав ба түүнээс дээш гишүүний нийлбэрээр үржүүлэхэд хуваарилах шинж чанар мөн үнэн болно.

Жишээлбэл, a, b, c, d тоонуудын хувьд тэгш байдал

a (b + c + d) = ab + ac + ad.

Хасах тоог хассан тоон дээр эсрэг тоог нэмснээр хасахыг нэмэх замаар сольж болно гэдгийг бид мэднэ.

Энэ нь ab хэлбэрийн тоон илэрхийллийг a ба -b тоонуудын нийлбэр, a + bcd хэлбэрийн тоон илэрхийллийг a, b, -c, -d гэх мэт тоонуудын нийлбэр гэж үзэх боломжийг олгодог. .Үйлдлийн авч үзсэн шинж чанарууд нь ийм нийлбэрт мөн хүчинтэй байна.

Жишээ 3 3.27-6.5-2.5 + 1.73 илэрхийллийн утгыг ол.

Энэ илэрхийлэл нь 3.27, -6.5, -2.5, 1.73 тоонуудын нийлбэр юм. Нэмэх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна: 3.27-6.5-2.5 + 1.73 = (3.27 + 1.73) + (- 6.5-2.5) = 5 + (- 9) = -4.

Жишээ 4 Бүтээгдэхүүнийг тооцоолъё 36 · ().

Үржүүлэгчийг тоонуудын нийлбэр ба - гэж үзэж болно. Үржүүлэхийн тархалтын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

36 () = 36 -36 = 9-10 = -1.

Баримтлал

Тодорхойлолт. Хувьсагчийн аль ч утгын хувьд харгалзах утга нь тэнцүү хоёр илэрхийлэлийг ижил тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн байх тэгш байдлыг identity гэж нэрлэдэг.

x = 5, y = 4 үед 3 (x + y) ба 3x + 3y илэрхийллийн утгыг ол.

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,

3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.

Бид ижил үр дүнд хүрсэн. Түгээх шинж чанараас харахад хувьсагчийн аль ч утгын хувьд 3 (x + y) ба 3x + 3y илэрхийллийн харгалзах утгууд тэнцүү байна.

Одоо 2x + y ба 2xy илэрхийллүүдийг авч үзье. x = 1, y = 2-ын хувьд тэд тэнцүү утгыг авна:

Гэсэн хэдий ч та x ба y-ийн утгыг зааж өгч болно, ингэснээр эдгээр илэрхийллийн утгууд тэнцүү биш байх болно. Жишээлбэл, хэрэв x = 3, y = 4, тэгвэл

3 (x + y) ба 3x + 3y илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү боловч 2x + y ба 2xy илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү биш юм.

3 (x + y) = x + 3y тэгшитгэл нь x ба y-ийн аль ч утгын хувьд үнэн юм.

Жинхэнэ тооны тэгш байдлыг мөн адилтгал гэж үздэг.

Тиймээс, ижил төстэй байдал нь тоон дээрх үйлдлийн үндсэн шинж чанарыг илэрхийлдэг тэгш байдал юм.

a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),

ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.

Баримтлалын бусад жишээг дурдаж болно:

a + 0 = a, a + (- a) = 0, a-b = a + (- b),

a 1 = a, a (-b) = - ab, (-a) (- b) = ab.

Ижил илэрхийлэл хөрвүүлэлтүүд

Нэг илэрхийлэлийг өөр, түүнтэй ижил төстэй илэрхийллээр солихыг ижил хувиргалт эсвэл зүгээр л илэрхийллийн хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Хувьсагчтай илэрхийллийн ижил хувиргалтыг тоон дээрх үйлдлийн шинж чанарт үндэслэн гүйцэтгэдэг.

X, y, z утгуудаар өгөгдсөн xy-xz илэрхийллийн утгыг олохын тулд та гурван алхам хийх хэрэгтэй. Жишээлбэл, x = 2.3, y = 0.8, z = 0.2-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

xy-xz = 2.3 0.8-2.3 0.2 = 1.84-0.46 = 1.38.

Хэрэв бид xy-xz илэрхийлэлтэй ижил x (y-z) илэрхийлэлийг ашиглавал энэ үр дүнг зөвхөн хоёр алхам хийснээр олж авах боломжтой.

xy-xz = 2.3 (0.8-0.2) = 2.3 0.6 = 1.38.

Бид xy-xz илэрхийллийг ижил тэнцүү x (y-z) илэрхийллээр сольж тооцооллыг хялбаршуулсан.

Илэрхийллийн ижил төстэй хувиргалтыг илэрхийллийн утгыг тооцоолох, бусад асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Ижил өөрчлөлтүүдийн заримыг аль хэдийн хийсэн, жишээлбэл, ижил төстэй нэр томъёог багасгах, хашилтыг өргөжүүлэх. Эдгээр хувиргалтыг гүйцэтгэх дүрмийг эргэн санацгаая.

ийм нэр томъёог өгөхийн тулд та тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийт үсгийн хэсэгт үржүүлэх хэрэгтэй;

хэрэв хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бол нэр томьёо бүрийн тэмдгийг хаалтанд хийж, хаалтыг орхиж болно;

хэрэв хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа бол хаалтанд орсон нэр томьёо бүрийн тэмдгийг өөрчлөх замаар хаалтыг орхиж болно.

Жишээ 1 5x + 2x-3x нийлбэрээр ижил төстэй нэр томъёог өгье.

Бид ийм нэр томъёог багасгах дүрмийг ашиглана:

5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.

Энэ хувиргалт нь үржүүлгийн тархалтын шинж чанарт суурилдаг.

Жишээ 2 2a + (b-3c) илэрхийлэлд байгаа хаалтыг дэлгэ.

Хашилтын өмнө нэмэх тэмдэг тавих дүрмийг хэрэглэх нь:

2a + (b-3c) = 2a + b-3c.

Гүйцэтгэсэн хувиргалт нь нэмэхийн хосолсон шинж чанарт суурилдаг.

Жишээ 3 a- (4b-c) илэрхийлэлд байгаа хаалтыг дэлгэ.

Хаалтуудын өмнө хасах тэмдгээр тэлэх дүрмийг ашиглая:

a- (4b-c) = a-4b + c.

Гүйцэтгэсэн хувиргалт нь үржүүлэхийн тархалтын шинж чанар болон нэмэхийн хослолын шинж чанарт суурилдаг. Үүнийг үзүүлье. Бид энэ илэрхийлэлд хоёр дахь нэр томъёог (4b-c) бүтээгдэхүүн (-1) (4b-c) хэлбэрээр илэрхийлнэ:

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c).

Заасан үйлдлийн шинж чанаруудыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.