Шийдвэр гаргах үндсэн систем (тодорхой жишээ). Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем
Өгөгдсөн матрицууд
Олох: 1) aA - bB,
Шийдэл: 1) Матрицыг тоогоор үржүүлэх, матриц нэмэх дүрмийг ашиглан дараалан олоорой.
2. Хэрэв байгаа бол A * B олоорой
Шийдэл: Матрицын үржүүлэх дүрмийг ашиглах
Хариулт: 
3. Өгөгдсөн матрицын хувьд минор М 31 -ийг олоод тодорхойлогчийг тооцоол.
Шийдэл: Бага M 31 нь матрицыг тодорхойлох хүчин зүйл бөгөөд үүнийг А -аас авна
3 -р мөр болон баганыг хөндлөн хийсний дараа 1. Ол
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Бид А матрицыг тодорхойлогчийг нь өөрчлөхгүйгээр хувиргадаг (бид 1 -р эгнээнд тэг хийдэг)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Одоо бид А матрицын тодорхойлогчийг 1 -р эгнээний задралаар тооцоолно
Хариулт: М 31 = 0, detA = 0
Гауссын болон Крамерын аргаар шийднэ.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Шийдэл: Шалгах
Крамерын аргыг хэрэглэж болно
Системийн шийдэл: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Гауссын аргыг хэрэгжүүлье.
Системийн өргөтгөсөн матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя.
Тооцооллыг хялбарчлахын тулд мөрүүдийг солино уу.
2 -р мөрийг (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ба 3 -т нэмнэ үү:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
1 -р эгнээ (k = -2 / 2 = -1 ) ба 2 -т нэмнэ үү:
Анхны системийг одоо дараах байдлаар бичиж болно.
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
2 -р мөрөөс бид илэрхийлж байна
1 -р мөрөөс бид илэрхийлж байна
Шийдэл нь адилхан.
Хариулт: (2; -5; 3)
Систем болон SDF -ийн ерөнхий шийдлийг хайж олох
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Шийдэл: Гауссын аргыг хэрэгжүүлье. Системийн өргөтгөсөн матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
1-р эгнээ (-11) -ээр үржүүлнэ. 2 -р эгнээ (13) -аар үржүүлнэ. 2 -р мөрийг 1 -р дээр нэмье.
| -2 | -2 | -3 | ||
2-р эгнээ (-5) -аар үржүүлнэ. 3 -р эгнээ (11) -ээр үржүүлнэ. 3 -р мөрийг 2 -р хэсэгт нэмье.
3-р эгнээг (-7) үржүүлнэ үү. 4 -р эгнээ (5) -аар үржүүлнэ. 4 -р мөрийг 3 -р хэсэгт нэмнэ үү.
Хоёрдахь тэгшитгэл нь үлдсэн хэсгүүдийн шугаман хослол юм
Матрицын зэрэглэлийг олж мэдье.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Тодруулсан насанд хүрээгүй хүүхэд нь хамгийн өндөр дараалалтай (боломжит насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хувьд) бөгөөд тэг биш (энэ нь эсрэг талын диагональ дээрх элементүүдийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү) тул (A) = 2 байна.
Энэ насанд хүрээгүй хүн бол үндсэн зүйл юм. Үүнд x 1, x 2 үл мэдэгдэх коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 1, x 2 нь хамааралтай (үндсэн), x 3, x 4, x 5 үнэгүй гэсэн үг юм.
Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараахь хэлбэртэй байна.
18х 2 = 24х 3 + 18х 4 + 27х 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар бид олж мэднэ нийтлэг шийдвэр:
x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 = - 1/3 x 3
Бид (n-r) шийдлүүдээс бүрдэх үндсэн шийдвэрийн системийг (FDS) олдог. Манай тохиолдолд n = 5, r = 2 тул шийдлийн үндсэн систем нь 3 шийдлээс бүрдэх бөгөөд эдгээр шийдлүүд нь шугаман хамааралгүй байх ёстой.
Мөрүүд шугаман бие даасан байхын тулд мөрүүдийн элементүүдээс бүрдсэн матрицын зэрэглэл нь эгнээний тоотой тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
3 -р эрэмбийн тодорхойлогчийн мөрөөс тэгээс бусад үнэ төлбөргүй үл мэдэгдэх x 3, x 4, x 5 утгыг өгч x 1, x 2 -ийг тооцоолоход л хангалттай.
Хамгийн энгийн тэг бус тодорхойлогч бол таних матриц юм.
Гэхдээ энд авах нь илүү тохиромжтой
Ерөнхий шийдлийг ашиглан бид дараахь зүйлийг хайж олох болно.
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ
FSR -ийн I шийдэл: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Хөх
SDF -ийн II уусмал: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Хөх
SDF -ийн III уусмал: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0; 6)
6. Өгөгдсөн: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Ол: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Шийдэл: a) z 1 -2z 2 = -4 + 5i + 2 (2-4i) = -4 + 5i + 4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Хариулт: a) -3i b) 12 + 26i c) -1.4 -0.3i
Гауссын арга нь хэд хэдэн сул талуудтай: Гауссын аргад шаардлагатай бүх өөрчлөлтийг хийх хүртэл систем нийцтэй эсэхийг мэдэх боломжгүй; Гауссын арга нь үсгийн коэффициент бүхий системд тохиромжгүй байдаг.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх өөр аргуудыг авч үзье. Эдгээр аргууд нь матрицын зэрэглэлийн тухай ойлголтыг ашигладаг бөгөөд аливаа хамтарсан системийн шийдлийг Крамерын дүрэм үйлчилдэг системийн шийдэл хүртэл бууруулдаг.
Жишээ 1.Даралтат нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн үндсэн систем ба нэгэн төрлийн бус системийн тодорхой шийдлийг ашиглан дараах шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг олоорой.
1. Матрицыг бүрдүүлэх А.болон өргөтгөсөн системийн матриц (1)
2. Системийг шалгаж үзээрэй (1) нийцтэй байдлын хувьд. Үүнийг хийхийн тулд бид матрицын зэрэглэлийг олдог А.болон https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Хэрэв тийм бол систем нь (1) нийцэхгүй. Хэрэв бид үүнийг олж авбал , дараа нь энэ систем нийцтэй бөгөөд бид үүнийг шийдэх болно. (Тогтвортой байдлын судалгааг Кронеккер-Капелли теорем дээр үндэслэсэн болно.)
a. Бид олдог rA.
Олох rA, бид матрицын эхний, хоёр дахь гэх мэт дараалсан тэг биш насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзэх болно А.мөн тэдэнтэй хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд.
М1= 1 ≠ 0 (1 -ийг матрицын зүүн дээд булангаас авсан болно А.).
Хил М1энэ матрицын хоёр дахь мөр ба хоёр дахь багана. 
... Бид хилээ үргэлжлүүлсээр байна М1хоёр дахь эгнээ ба гурав дахь багана..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Одоо тэгээс бага бус хязгаартай байна М2 ′хоёр дахь захиалга.
Бидэнд байгаа: 
(эхний хоёр багана ижил байгаа тул)
(хоёр ба гурав дахь мөр пропорциональ байдаг тул).
Бид үүнийг харж байна rA = 2, a нь матрицын үндсэн минор юм А..
б. Бид олдог.
Үндсэн бага зэрэг хангалттай М2 ′матриц А.чөлөөт гишүүдийн багана болон бүх эгнээтэй хиллэдэг (бидэнд зөвхөн сүүлийн мөр байна).
... Тиймээс үүнээс үүдэлтэй юм М3 ′ ′матрицын үндсэн минор хэвээр байна https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)
Учир нь М2 ′- матрицын үндсэн минор А.системүүд (2) , дараа нь энэ систем нь системтэй тэнцүү байна (3) системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бүрдэнэ (2) (хувьд М2 ′ A) матрицын эхний хоёр эгнээнд байна.
(3)
Багаас хойш https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)
Энэ системд хоёр үнэгүй үл мэдэгдэх ( x2 ба x4 ). Тиймээс л тэр FSR системүүд (4) хоёр шийдлээс бүрдэнэ. Тэднийг олохын тулд үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлийг нэмж оруулаарай (4) эхлээд үнэт зүйлс x2 = 1 , x4 = 0 , Тэгээд - x2 = 0 , x4 = 1 .
Ат x2 = 1 , x4 = 0 бид авдаг:
.
Энэ систем аль хэдийн бий болсон цорын ганц зүйл шийдэл (үүнийг Крамерын дүрмээр эсвэл өөр аргаар олж болно). Хоёрдахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасаад бид дараахь зүйлийг авна.
Түүний шийдэл нь байх болно x1 = -1 , x3 = 0 ... Үнэт зүйлсийг өгсөн x2 ба x4 Бидний өгсөн системийн анхны үндсэн шийдлийг олж авдаг (2) : .
Одоо бид орууллаа (4) x2 = 0 , x4 = 1 ... Бид авдаг:
.
Бид энэ системийг Крамерын теоремоор шийддэг.
.
Бид системийн хоёр дахь үндсэн шийдлийг олж авдаг (2) : .
Шийдлүүд β1 , β2 мөн бүрдүүлнэ FSR системүүд (2) ... Дараа нь түүний ерөнхий шийдэл байх болно
γ= C1 β1 + C2β2 = C1 (‑1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)
Энд C1 , C2 - дурын тогтмолууд.
4. Нэгийг ол хувийн шийдэл гетероген систем(1) ... Догол мөрөнд байгаа шиг 3 , системийн оронд (1) эквивалент системийг авч үзье (5) системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бүрдэнэ (1) .
(5)
Чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлийг баруун тийш шилжүүлээрэй x2ба x4.
(6)
Үл мэдэгдэх зүйлийг үнэгүй өгцгөөе x2 ба x4 дурын утгууд, жишээ нь x2 = 2 , x4 = 1 мөн тэдгээрийг орлуулна уу (6) ... Бид системийг олж авдаг
Энэ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг М2′0). Үүнийг шийдэх (Крамерын теорем эсвэл Гауссын аргаар) бид олж авдаг x1 = 3 , x3 = 3 ... Үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлсийн утгыг өгсөн x2 ба x4 , бид авдаг гетероген системийн тодорхой шийдэл(1)α1 = (3,2,3,1).
5. Одоо бичлэг хийх л үлдлээ нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэл α(1) : энэ нь нийлбэртэй тэнцүү байна хувийн шийдэлэнэ систем ба түүний буурсан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (2) :
α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2).
Энэ нь: 
(7)
6. Шалгалт.Системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгахын тулд (1) , бидэнд ерөнхий шийдэл хэрэгтэй байна (7) орлох (1) ... Хэрэв тэгшитгэл бүр ижил утгатай болвол ( C1 ба C2 устгах ёстой), дараа нь шийдлийг зөв олно.
Бид орлох болно (7) Жишээлбэл, зөвхөн системийн сүүлийн тэгшитгэл (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Бид: (3 - С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1
(C1 - C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1
Хаанаас –1 = –1. Бидэнд таних тэмдэг ирсэн. Бид үүнийг системийн бусад бүх тэгшитгэлээр хийдэг (1) .
Сэтгэгдэл.Чек нь ихэвчлэн нэлээд төвөгтэй байдаг. Дараахь "хэсэгчилсэн шалгалтыг" зөвлөж болно: системийн ерөнхий шийдэлд (1) дурын тогтмолуудад зарим утгыг оноож, олж авсан тодорхой шийдлийг зөвхөн хаягдсан тэгшитгэлээр орлуулах (өөрөөр хэлбэл эдгээр тэгшитгэлээс (1) үүнд ороогүй болно (5) ). Хэрэв та хэн болохыг олж мэдвэл, хамгийн их магадлалтай, системийн шийдэл (1) зөв олсон (гэхдээ ийм шалгалт нь зөв байдлын бүрэн баталгаа өгдөггүй!). Жишээлбэл, хэрэв орсон бол (7) тавих C2 =- 1 , C1 = 1, дараа нь бид: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0 болно. Системийн сүүлийн тэгшитгэлийг (1) орлуулснаар бидэнд дараахь зүйл байна. - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , өөрөөр хэлбэл –1 = –1. Бидэнд таних тэмдэг ирсэн.
Жишээ 2.Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдлийг ол (1) , үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг чөлөөтэй байдлаар илэрхийлэх.
Шийдэл.Шиг жишээ 1, матриц зохиох А.болон эдгээр матрицуудын https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 ">. Одоо бид зөвхөн системийн тэгшитгэлүүдийг л үлдээж байна. (1) , коэффициентүүд нь энэхүү үндсэн минорид багтсан болно (өөрөөр хэлбэл бид эхний хоёр тэгшитгэлтэй) бөгөөд тэдгээрээс бүрдсэн системийг (1) системтэй тэнцүү гэж үзье.
Бид эдгээр тэгшитгэлийн баруун талд үл мэдэгдэх үл хөдлөх хөрөнгийг шилжүүлдэг.
Систем (9) Бид Гауссын аргаар шийдэж, баруун талыг үнэ төлбөргүй гэж үздэг.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "width =" 202 height = 106 "height =" 106 ">
Сонголт 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">
Сонголт 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">
Сонголт 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "width =" 179 height = 106 "height =" 106 ">
Сонголт 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">
Бид техникийг өнгөлөх ажлыг үргэлжлүүлэх болно анхан шатны өөрчлөлтүүддээр нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем.
Эхний догол мөрөнд энэ материал уйтгартай, энгийн мэт санагдаж болох ч энэ сэтгэгдэл нь хууран мэхэлж байна. Техникийг цаашид хөгжүүлэхээс гадна маш олон шинэ мэдээлэл байх болно, тиймээс энэ нийтлэл дэх жишээг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем гэж юу вэ?
Хариулт нь өөрөө санал болгож байна. Чөлөөт нэр томъёо бол шугаман тэгшитгэлийн систем нь нэгэн төрлийн байдаг тус бүрээссистемийн тэгшитгэл нь тэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл:
Энэ нь маш тодорхой юм Нэг төрлийн систем нь үргэлж нийцдэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж шийдэлтэй байдаг. Тэгээд хамгийн гол нь гэж нэрлэдэг өчүүхэншийдэл 
... Тэмдэглэгээний утгыг огт ойлгодоггүй хүмүүсийн хувьд энэ нь bespontov гэсэн үг юм. Мэдээжийн хэрэг академик биш, гэхдээ ойлгомжтой =) ... Бутны эргэн тойронд яагаад зоддог вэ, энэ системд өөр шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдье.
Жишээ 1
Шийдэл: нэгэн төрлийн системийг шийдвэрлэхийн тулд бичих шаардлагатай системийн матрицмөн анхан шатны өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар үүнийг үе шаттай хэлбэрт оруулна. Энд босоо баар болон чөлөөт гишүүдийн тэг баганыг бичих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу.Тэгэхээр та тэгээр хийсэн бүх зүйл тэг хэвээр үлдэх болно. 
(1) Эхний мөрийг –2 -оор үржүүлсэн хэсгийг хоёр дахь мөрөнд нэмсэн. -3 -аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмсэн.
(2) Хоёр дахь мөрийг -1 -ээр үржүүлсэн тоог гурав дахь мөрөнд нэмсэн.
Гурав дахь эгнээг 3 -т хуваах нь тийм ч утгагүй юм.
Анхан шатны өөрчлөлтийн үр дүнд эквивалент нэгэн төрлийн системийг олж авсан 
, мөн Гауссын аргын эсрэг чиглэлийг ашиглавал шийдэл нь өвөрмөц гэдгийг шалгахад хялбар байдаг.
Хариулт: 
Тодорхой шалгуурыг томъёолъё: шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системтэй цорын ганц шийдэл, хэрэв системийн матрицын зэрэглэл(энэ тохиолдолд 3) нь хувьсагчийн тоотой тэнцүү байна (энэ тохиолдолд - 3 ширхэг.).
Бид радио хүлээн авагчаа энгийн өөрчлөлтийн давалгаанд дулаацуулж, тохируулдаг.
Жишээ 2
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийдвэрлэх 
Алгоритмыг нэгтгэхийн тулд эцсийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийцгээе.
Жишээ 7
Нэг төрлийн системийг шийдэж, хариултыг вектор хэлбэрээр бичнэ үү. 
Шийдэл: бид системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулна. 
(1) Эхний мөрийн тэмдэг өөрчлөгдсөн. Дахин нэг удаа би олон удаа тулгарч байсан техникт анхаарлаа хандуулж байгаа нь дараагийн үйлдлийг ихээхэн хялбарчлах боломжийг танд олгож байна.
(1) Эхний мөрийг 2, 3 -р мөрөнд нэмсэн. Эхний мөрийг 2 -оор үржүүлж 4 -р мөрөнд нэмсэн.
(3) Сүүлийн гурван мөр пропорциональ бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь устгагдсан.
Үүний үр дүнд стандарт шаталсан матрицыг олж авах бөгөөд шийдэл нь муруй зам дагуу үргэлжилнэ.
- үндсэн хувьсагч;
- үнэгүй хувьсагчид.
Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье. 2 -р тэгшитгэлээс:
- 1 -р тэгшитгэлд орлуулах:
Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:
Харуулсан жишээн дээр гурван чөлөөт хувьсагч байдаг тул үндсэн систем нь гурван вектор агуулдаг.
Гурван утгыг орлуулна уу 
ерөнхий шийдэлд оруулан координат нь нэгэн төрлийн системийн тэгшитгэл бүрийг хангадаг векторыг олж авна. Дахин хэлэхэд, үүссэн вектор бүрийг шалгах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь их цаг хугацаа шаардахгүй, гэхдээ алдаанаас зуун хувь хэмнэх болно гэдгийг би давтан хэлье.
Гурвалсан үнэт зүйлсийн хувьд 
векторыг олох
Эцэст нь гурвалжингийн хувьд 
Бид гурав дахь векторыг олж авдаг.
Хариулт:, хаана
Бутархай үнэ цэнээс зайлсхийхийг хүсч буй хүмүүс гурвалсан гурвыг анхаарч үзэх боломжтой. 
мөн түүнтэй адилтгах хариултыг аваарай:
Бутархай хэсгүүдийн тухай ярьж байна. Асуудлаас олж авсан матрицыг авч үзье 
мөн өөрөөсөө асуулт асуугаарай - дараагийн шийдлийг хялбарчлах боломжтой юу? Эцсийн эцэст, бид эхлээд үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар, дараа нь бутархайгаар дамжуулан үндсэн хувьсагчийг илэрхийлсэн бөгөөд энэ үйл явц нь хамгийн хялбар, хамгийн тааламжтай биш байсан гэж би хэлэх ёстой.
Хоёр дахь шийдэл:
Хичээх гэсэн санаа бусад үндсэн хувьсагчдыг сонгох... Матрицыг хараад гурав дахь баганад хоёрыг нь анзааръя. Тэгэхээр яагаад дээд талд тэг авч болохгүй гэж? Өөр нэг энгийн өөрчлөлтийг хийцгээе:
Нэг төрлийн системийн шийдэл нь дараахь шинж чанартай байдаг. Хэрэв вектор бол = (α 1, α 2, ..., α n) нь системийн шийдэл юм (15.14), дараа нь дурын тооны хувьд квектор k = (kα 1 , kα 2 , ..., kα n)энэ системийн шийдэл байх болно. Хэрэв системийн шийдэл (15.14) нь = (γ 1, γ 2, ..., γ) вектор бол n), дараа нь нийлбэр + мөн энэ системийн шийдэл байх болно. Тиймээс үүнээс үүдэлтэй юм Нэг төрлийн системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл юм.
12.2 -р хэсгээс бидний мэдэж байгаагаар аливаа систем n-аас илүү хэмжээтэй хэмжээст векторууд NSвекторууд шугаман хамааралтай байдаг. Тиймээс, нэгэн төрлийн системийн уусмал векторуудын багцаас (15.14) үндэс суурийг сонгох боломжтой. өгөгдсөн системийн аливаа шийдлийн вектор нь энэ векторуудын шугаман хослол байх болно. Аливаа ийм үндэслэлийг нэрлэдэг шийдвэр гаргах үндсэн системнэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем. Дараахь теорем нь үнэн бөгөөд бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр танилцуулж байна.
ТЕОРЕМ 4. Хэрэв нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн r зэрэглэл(15.14) нь үл мэдэгдэх тооноос бага n, дараа нь системийн шийдлүүдийн аливаа үндсэн систем (15.14) n - r шийдлүүдээс бүрдэнэ.
Шийдлийн үндсэн системийг (FSS) олох аргыг одоо зааж өгье. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн системийг (15.14) зэрэглэлтэй болгоё r< п. Дараа нь Крамерын дүрмээс дараах байдлаар энэ системийн үндсэн үл мэдэгдэх зүйлүүд гарч ирэв x 1 , x 2 , … x rчөлөөт хувьсагчаар шугамаар илэрхийлэгддэг x r + 1 , x r + 2 , ..., x n:
Дараах зарчмын дагуу нэгэн төрлийн системийн (15.14) тодорхой шийдлүүдийг ялгаж салгая. Эхний шийдлийн вектор 1 -ийг олохын тулд тавь x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Дараа нь бид 2 дахь шийдлийг олох 2: бид авна x r+2 = 1 ба бусад r- 1 үнэгүй хувьсагчийг тэг гэж тохируулсан. Өөрөөр хэлбэл, бид чөлөөт хувьсагч бүрт дараалан нэг утга өгч, үлдсэнийг нь тэгээр бичнэ. Тиймээс эхнийхийг харгалзан вектор хэлбэрийн шийдлийн үндсэн систем rсуурь хувьсагчид (15.15) нь хэлбэртэй байна
FSR (15.16) нь нэгэн төрлийн системийг шийдвэрлэх үндсэн шийдлүүдийн нэг юм (15.14).
Жишээ 1.Нэг төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдэл ба FSR -ийг олоорой
Шийдэл. Бид энэ системийг Гауссын аргаар шийдэх болно. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага тул бид үүнийг таамаглаж байна NS 1 , x 2 , NS 3 үндсэн үл мэдэгдэх зүйл ба x 4 , NS 5 , x 6 - чөлөөт хувьсагчид. Системийн өргөтгөсөн матриц зохиож, аргын шууд чиглэлийг бүрдүүлдэг үйлдлүүдийг хийцгээе.
Болъё М. 0 бол шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн (4) шийдлүүдийн багц юм.
Тодорхойлолт 6.12.Векторууд хамт 1 ,хамт 2 , …, p -тайҮүнийг нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг шийдлүүдийн үндсэн багц юм(товчилсон FNR) бол
1) векторууд хамт 1 ,хамт 2 , …, p -тайшугаман бие даасан (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн аль нь ч бусдын хувьд илэрхийлэгдэх боломжгүй);
2) Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн бусад аливаа шийдлийг шийдлээр илэрхийлж болно хамт 1 ,хамт 2 , …, p -тай.
Хэрэв бол анхаарна уу хамт 1 ,хамт 2 , …, p -тай- ямар ч f.n.r., дараа нь илэрхийлэл к 1 × хамт 1 + к 2 × хамт 2 + … + k p× p -тайбүхэл бүтэн багц М.(4) системийн 0 шийдэл, тиймээс үүнийг нэрлэдэг системийн шийдлийн талаархи ерөнхий ойлголт (4).
Теорем 6.6.Аливаа тодорхой бус нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем нь үндсэн шийдэлтэй байдаг.
Үндсэн шийдлийг олох арга нь дараах байдалтай байна.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг олох;
Бүтээх ( n – r) энэ системийн тодорхой шийдлүүд, харин үл мэдэгдэх үнэт зүйлс нь нэгжийн матрицыг бүрдүүлэх ёстой;
Оруулсан шийдлийн ерөнхий дүр төрхийг бичнэ үү М. 0 .
Жишээ 6.5.Дараах системийн шийдлийн үндсэн багцыг олоорой.
Шийдэл... Энэ системийн ерөнхий шийдлийг хайж үзье.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Энэ системд таван үл мэдэгдэх ( n= 5), үүнээс хоёр нь үл мэдэгдэх зүйл юм ( r= 2), гурван үнэгүй үл мэдэгдэх зүйл ( n – r), өөрөөр хэлбэл үндсэн шийдлийн багц нь гурван шийдлийн векторыг агуулдаг. Тэднийг бүтээцгээе. Бидэнд байгаа x 1 ба x 3 - үндсэн үл мэдэгдэх зүйл, x 2 , x 4 , x 5 - үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлс
Үл мэдэгдэх үнэ төлбөргүй үнэт зүйлс x 2 , x 4 , x 5 таних матрицыг үүсгэнэ Егурав дахь захиалга. Бид ийм векторуудыг авсан хамт 1 ,хамт 2 , хамт 3 хэлбэр f.n.r. энэ систем. Дараа нь энэ нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн багц байх болно М. 0 = {к 1 × хамт 1 + к 2 × хамт 2 + к 3 × хамт 3 , к 1 , к 2 , к 3 (R).
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн тэг бус шийдэл байх нөхцлийг, өөрөөр хэлбэл үндсэн шийдлүүдийн оршин байх нөхцлийг тодруулцгаая.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл хэрэв тодорхойгүй бол
1) системийн үндсэн матрицын зэрэг нь үл мэдэгдэх тооноос бага байна;
2) нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байна;
3) хэрэв нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бөгөөд үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байвал (өөрөөр хэлбэл | А.| = 0).
Жишээ 6.6... Параметр ямар утгатай вэ aнэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем 
тэг биш шийдэлтэй юу?
Шийдэл... Энэ системийн үндсэн матрицыг зохиож, түүний тодорхойлогчийг олъё: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - a- 4. Энэ матрицын тодорхойлогч нь 0 -тэй тэнцүү байна a = –4.
Хариулт: –4.
7. Арифметик n-хэмжээст векторын орон зай
Үндсэн ойлголтууд
Өмнөх хэсгүүдэд бид тодорхой дарааллаар байрлуулсан бодит тоонуудын багц гэсэн ойлголттой тулгарсан. Энэ нь мөр (эсвэл багана) матриц бөгөөд шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм nүл мэдэгдэх Энэ мэдээллийг нэгтгэн дүгнэж болно.
Тодорхойлолт 7.1. n-хэмжээст арифметик векторзахиалсан багц гэж нэрлэдэг nбодит тоо.
Гэсэн үг a= (a 1, a 2, ..., a n), хаана а биÎ R, би = 1, 2, …, n- векторын ерөнхий үзэл. Дугаар nдуудсан хэмжээсвектор ба тоонууд a бигэж нэрлэсэн солбицол.
Жишээлбэл: a= (1, –8, 7, 4,) нь таван хэмжээст вектор юм.
Бүхэл бүтэн багц n-хэмжээст векторуудыг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг R n.
Тодорхойлолт 7.2.Хоёр вектор a= (a 1, a 2, ..., a n) ба б= (b 1, b 2, ..., b n) ижил хэмжээтэй тэнцүү байнахэрэв тэдгээрийн харгалзах координатууд тэнцүү байвал, өөрөөр хэлбэл a 1 = b 1, a 2 = b 2, ..., a n= b n.
Тодорхойлолт 7.3.Нийлбэрхоёр n-хэмжээст векторууд a= (a 1, a 2, ..., a n) ба б= (b 1, b 2, ..., b n) вектор гэж нэрлэдэг a + б= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+ б n).
Тодорхойлолт 7.4. Бүтээгдэхүүнээрбодит тоо квектор бүрт a= (a 1, a 2, ..., a n) вектор гэж нэрлэдэг к× a = (к× a 1, к× a 2,…, к× a n)
Тодорхойлолт 7.5.Вектор О= (0, 0, ..., 0) гэж нэрлэдэг тэг(эсвэл тэг вектор).
Вектор нэмэх, тэдгээрийг бодит тоогоор үржүүлэх үйлдэл (үйлдлүүд) дараах шинж чанартай эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. " a, б, c Î R n, " к, лÎ R:
1) a + б = б + a;
2) a + (б+ c) = (a + б) + c;
3) a + О = a;
4) a+ (–a) = О;
5) 1 × a = a, 1 Î R;
6) к×( л× a) = л×( к× a) = (л× к)× a;
7) (к + л)× a = к× a + л× a;
8) к×( a + б) = к× a + к× б.
Тодорхойлолт 7.6.Маш их R nвекторуудыг нэмж, тэдгээрийн дээр өгөгдсөн бодит тоогоор үржүүлэх үйлдлийг нэрлэдэг арифметик n хэмжээст векторын орон зай.
