Бүрэн багасгасан квадрат тэгшитгэл. Онлайн тооцоолуур. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Хэцүү томьёо олон учраас энэ сэдэв эхэндээ төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Квадрат тэгшитгэлүүд нь өөрөө урт бичлэгтэй төдийгүй ялгаварлагчаар дамжуулан үндсийг нь олдог. Нийтдээ гурван шинэ томъёо бий. Энэ нь санахад амар биш юм. Энэ нь ийм тэгшитгэлийг байнга шийдсний дараа л боломжтой юм. Дараа нь бүх томъёог өөрөө санах болно.

Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий ойлголт

Энд хамгийн дээд зэрэглэлийг эхлээд, дараа нь буурах дарааллаар бүртгэх үед тэдгээрийн тодорхой бичлэгийг санал болгож байна. Нөхцөл байдал нь эмх цэгцгүй байх тохиолдол их байдаг. Дараа нь хувьсагчийн зэрэглэлийг бууруулах дарааллаар тэгшитгэлийг дахин бичих нь дээр.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийг доорх хүснэгтэд үзүүлэв.

Хэрэв бид эдгээр тэмдэглэгээг хүлээн авбал бүх квадрат тэгшитгэлийг дараах бичлэг болгон бууруулна.

Мөн коэффициент a ≠ 0. Энэ томьёог нэг тоогоор тэмдэглэе.

Тэгшитгэлийг өгөхөд хариултанд хэдэн үндэс байх нь тодорхойгүй. Учир нь гурван сонголтын аль нэг нь үргэлж боломжтой байдаг:

шийдэлд хоёр үндэс байх болно;
хариулт нь нэг тоо;
тэгшитгэл нь огт үндэсгүй болно.

Шийдвэрийг эцэс хүртэл авчрахгүй бол аль сонголт нь тодорхой тохиолдолд унахыг ойлгоход хэцүү байдаг.

Квадрат тэгшитгэлийн бичлэгийн төрлүүд

Даалгаврууд нь өөр өөр бүртгэлийг агуулж болно. Тэд үргэлж ерөнхий квадрат томьёо шиг харагдахгүй. Заримдаа энэ нь зарим нэр томъёо дутагдалтай байдаг. Дээр бичсэн зүйл бол бүрэн тэгшитгэл юм. Хэрэв та хоёр, гурав дахь нэр томъёог хасвал өөр зүйл гарч ирнэ. Эдгээр бүртгэлийг мөн квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бүрэн бус байна.

Түүнээс гадна зөвхөн "b" ба "c" коэффициентүүд алга болно. "a" тоо ямар ч тохиолдолд тэг байж болохгүй. Учир нь энэ тохиолдолд томъёо нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг. Бүрэн бус хэлбэрийн тэгшитгэлийн томъёо дараах байдалтай байна.

Тэгэхээр зөвхөн хоёр төрөл байдаг бөгөөд бүрэн тэгшитгэлээс гадна бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд бас байдаг. Эхний томьёо нь хоёр, хоёр дахь нь гурав байх ёстой.

Үндэсийн тоог ялгаварлан гадуурхах, түүний үнэ цэнээс хамаарах хамаарал

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд та энэ тоог мэдэх хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн томъёоноос үл хамааран үүнийг үргэлж тооцоолж болно. Дискриминантыг тооцоолохын тулд доор бичсэн тэгш байдлыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь дөрөв байх болно.

Коэффициентийн утгыг энэ томьёонд орлуулсны дараа та өөр өөр тэмдэг бүхий тоонуудыг авч болно. Хэрэв хариулт нь тийм бол тэгшитгэлийн хариулт нь хоёр өөр үндэс болно. Сөрөг тоотой бол квадрат тэгшитгэлийн үндэс байхгүй болно. Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол хариулт нь нэг болно.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийддэг вэ?

Уг нь энэ асуудлыг хэлэлцэж эхэлсэн. Учир нь эхлээд ялгагчийг олох хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа бөгөөд тэдгээрийн тоо тодорхой болсны дараа та хувьсагчийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үндэс байгаа бол та энэ томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Энэ нь "±" тэмдгийг агуулсан тул хоёр утга байх болно. Квадрат язгуур илэрхийлэл нь ялгаварлагч юм. Тиймээс томъёог өөр аргаар дахин бичиж болно.

Тавдугаар томъёо. Хэрэв ялгаварлагч нь тэг байвал хоёр үндэс нь ижил утгыг авна гэдгийг ижил бичлэг харуулж байна.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг хараахан боловсруулж амжаагүй бол ялгах болон хувьсах томъёог хэрэглэхээс өмнө бүх коэффициентүүдийн утгыг бичих нь дээр. Хожим нь энэ мөч нь хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ эхэндээ будлиантай байдаг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Энд бүх зүйл илүү хялбар болсон. Нэмэлт томъёолол ч хэрэггүй. Мөн ялгаварлан гадуурхагч болон үл мэдэгдэх хүмүүст аль хэдийн бүртгэгдсэн зүйлс танд хэрэггүй болно.

Нэгдүгээрт, хоёр дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэлд хаалтанд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг авч, шугаман тэгшитгэлийг шийдэх ёстой. Хариулт нь хоёр үндэстэй байх болно. Эхнийх нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь хувьсагчаас бүрдэх хүчин зүйл байдаг. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлийг шийдэх замаар олддог.

Гуравдугаар бүрэн бус тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлэх замаар шийднэ. Дараа нь үл мэдэгдэхийн өмнөх хүчин зүйлээр хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн зүйл бол квадрат язгуурыг гаргаж аваад хоёр удаа эсрэг тэмдгээр бичихээ бүү мартаарай.

Дараа нь квадрат тэгшитгэл болж хувирдаг бүх төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад туслах зарим үйлдлүүдийг бичсэн болно. Тэд оюутанд хайхрамжгүй алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална. Эдгээр дутагдал нь "Квадрат тэгшитгэл (8-р анги)" өргөн сэдвийг судлахад муу дүн авах шалтгаан болдог. Дараа нь эдгээр үйлдлүүдийг байнга хийх шаардлагагүй болно. Учир нь тогтвортой ур чадвар гарч ирнэ.

Эхлээд та тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд хувьсагчийн хамгийн өндөр зэрэгтэй нэр томъёо, дараа нь - зэрэггүй, сүүлчийнх нь зөвхөн тоо юм.

Хэрэв "a" коэффициентийн өмнө хасах тэмдэг гарч ирвэл квадрат тэгшитгэлийг судлах эхлэгчдэд энэ нь ажлыг хүндрүүлж болзошгүй юм. Үүнээс салах нь дээр. Энэ зорилгоор бүх тэгш байдлыг "-1" -ээр үржүүлэх ёстой. Энэ нь бүх нэр томъёо нь тэмдэгээ эсрэгээр нь өөрчилнө гэсэн үг юм.

Үүнтэй адилаар фракцаас салахыг зөвлөж байна. Хүсэгчийг хүчингүй болгохын тулд тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлэхэд л хангалттай.

Жишээ нь

Дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Эхний тэгшитгэл: x 2 - 7x = 0. Энэ нь бүрэн бус тул хоёр дахь томьёоны хувьд тайлбарласны дагуу шийдэгдэнэ.

Хаалтаас гарсны дараа: x (x - 7) = 0 болно.

Эхний язгуур нь x 1 = 0 утгыг авна. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлээс олно: x - 7 = 0. x 2 = 7 гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Хоёр дахь тэгшитгэл: 5x 2 + 30 = 0. Дахин бүрэн бус. Гурав дахь томъёонд тайлбарласны дагуу зөвхөн үүнийг шийднэ.

30-ыг тэгш байдлын баруун тал руу шилжүүлсний дараа: 5x 2 = 30. Одоо та 5-д хуваах хэрэгтэй. Энэ нь: x 2 = 6. Хариултууд нь тоонууд байх болно: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Гурав дахь тэгшитгэл: 15 - 2x - x 2 = 0. Цаашид квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь тэдгээрийг стандарт хэлбэрээр дахин бичих замаар эхэлнэ: - x 2 - 2x + 15 = 0. Одоо хоёр дахь ашигтай зөвлөгөөг ашиглах цаг болжээ. бүгдийг хасах нэгээр үржүүлэх ... Энэ нь гарч байна x 2 + 2x - 15 = 0. Дөрөв дэх томъёоны дагуу та ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Энэ нь эерэг тоо юм. Дээр хэлсэн зүйлээс харахад тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болох нь харагдаж байна. Тэдгээрийг тав дахь томьёог ашиглан тооцоолох шаардлагатай. Эндээс харахад x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Дараа нь x 1 = 3, x 2 = - 5 болно.

Дөрөв дэх тэгшитгэл x 2 + 8 + 3x = 0 нь дараах байдлаар өөрчлөгдөнө: x 2 + 3x + 8 = 0. Түүний ялгах утга нь энэ утгатай тэнцүү байна: -23. Энэ тоо сөрөг байгаа тул энэ даалгаврын хариулт нь дараах оруулга байх болно: "Ямар ч үндэс байхгүй."

Тав дахь тэгшитгэл 12x + x 2 + 36 = 0-ийг дараах байдлаар дахин бичих хэрэгтэй: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминантийн томъёог хэрэглэсний дараа тэг тоог гаргана. Энэ нь нэг үндэстэй болно гэсэн үг, тухайлбал: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Зургаа дахь тэгшитгэл (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) нь хаалт нээхээс өмнө ижил төстэй нэр томъёог авчрах шаардлагатай гэсэн өөрчлөлтийг шаарддаг. Эхнийх нь оронд ийм илэрхийлэл байх болно: x 2 + 2x + 1. Тэгш байдлын дараа энэ бичлэг гарч ирнэ: x 2 + 3x + 2. Ийм нэр томъёог тоолсны дараа тэгшитгэл нь: x хэлбэртэй болно. 2 - x = 0. Энэ нь бүрэн бус болж хувирав ... Үүнтэй төстэй зүйлийг аль хэдийн арай өндөр гэж үзсэн. Үүний үндэс нь 0 ба 1 тоонууд байх болно.

Дискриминант гэдэг нь хоёрдмол утгатай нэр томъёо юм. Энэ нийтлэлд бид өгөгдсөн олон гишүүнт хүчинтэй шийдэлтэй эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог олон гишүүнтийн ялгаварлан гадуурхалт дээр анхаарлаа хандуулах болно. Квадрат олон гишүүнтийн томьёог сургуулийн алгебр, анализын хичээлээс олж болно. Дискриминантыг хэрхэн олох вэ? Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд юу шаардлагатай вэ?

Квадрат олон гишүүнт буюу хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг i * w ^ 2 + j * w + k нь 0-тэй тэнцүү, энд "i" ба "j" нь эхний ба хоёр дахь коэффициент, "k" нь тогтмол бөгөөд үүнийг заримдаа "чөлөөт гишүүн" гэж нэрлэдэг. "w" нь хувьсагч юм. Үүний үндэс нь хувьсагчийн шинж чанар болж хувирах бүх утгууд байх болно. Ийм тэгш байдлыг i, (w - w1) ба (w - w2) 0-тэй тэнцүү үржвэр болгон дахин бичиж болно. Энэ тохиолдолд "i" коэффициент алга болохгүй бол зүүн талын функц нь тодорхой байна. Хэрэв x w1 эсвэл w2 байвал тал нь тэг болно. Эдгээр утгууд нь олон гишүүнтийг тэг болгосны үр дүн юм.

Квадрат олон гишүүнт алга болох хувьсагчийн утгыг олохын тулд туслах байгууламжийг ашиглаж, түүний коэффициентүүд дээр үндэслэн ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Энэ дизайныг томьёоны дагуу тооцоолно D нь j * j - 4 * i * k-тэй тэнцүү байна. Яагаад үүнийг ашигладаг вэ?

Хүчинтэй үр дүн байгаа эсэхийг тэр хэлэв.
Тэр тэднийг тооцоолоход тусалдаг.

Энэ утга нь жинхэнэ үндэс байгааг хэрхэн харуулж байна:

Хэрэв энэ нь эерэг бол бодит тооны мужаас хоёр үндэс олох боломжтой.
Хэрэв ялгаварлагч нь тэг байвал хоёр шийдэл нь давхцдаг. Бодит тооны хүрээнээс гарсан цорын ганц шийдэл гэж бид хэлж чадна.
Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол олон гишүүнт жинхэнэ үндэсгүй болно.

Материалыг бэхлэх тооцооны сонголтууд

(7 * w ^ 2; 3 * w; 1) нийлбэрийн хувьд 0-тэй тэнцүү байнабид D-ийг 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 томъёоны дагуу тооцоолно, бид -19-ийг авна. Тэгээс доош ялгах утга нь бодит мөрөнд үр дүн байхгүй байгааг илтгэнэ.

2 * w ^ 2 - 3 * w + 1-ийг 0-тэй тэнцүү гэж үзвэл, дараа нь D нь тоонуудын үржвэрийг (4; 2; 1) хасч (-3) квадрат гэж тооцож, 9 - 8-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 1. Эерэг утга нь бодит шугам дээрх хоёр үр дүнг илэрхийлнэ.

Хэрэв бид нийлбэрийг (w ^ 2; 2 * w; 1) аваад 0-тэй тэнцэнэ, D нь тоонуудын үржвэрийг (4; 1; 1) хоёр квадратаас хасч тооцно. Энэ илэрхийлэл нь 4 - 4 болж хялбарчлах ба алга болно. Үр дүн нь адилхан байгаа нь харагдаж байна. Хэрэв та энэ томьёог сайтар ажиглавал энэ нь "бүтэн дөрвөлжин" болох нь тодорхой болно. Тиймээс тэгш байдлыг (w + 1) ^ 2 = 0 хэлбэрээр дахин бичиж болно. Энэ бодлогын үр дүн нь "-1" болох нь тодорхой болсон. D нь 0-тэй тэнцүү байх тохиолдолд тэгш байдлын зүүн талыг "нийлбэрийн квадрат" томъёоны дагуу үргэлж нугалж болно.

Үндэсийг тооцоолоход дискриминант ашиглах

Энэхүү туслах барилга нь бодит шийдлүүдийн тоог харуулахаас гадна тэдгээрийг олоход тусалдаг. Хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийн ерөнхий тооцооны томъёо нь дараах байдалтай байна.

w = (-j +/- d) / (2 * i), энд d нь 1/2 чадлын дискриминант юм.

Дискриминант тэгээс доогуур байвал d нь төсөөлөл, үр дүн нь төсөөлөлтэй байна гэж бодъё.

D нь тэг, тэгвэл 1/2-ын хүчин чадалтай D-тэй тэнцүү d нь мөн тэг болно. Шийдэл: -j / (2 * i). 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0-ийг дахин авч үзвэл -2 / (2 * 1) = -1-тэй тэнцэх үр дүнг олно.

D> 0 гэж бодъё, тэгэхээр d нь бодит тоо, энд хариулт нь w1 = (-j + d) / (2 * i) ба w2 = (-j - d) / (2 * i) гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана гэж бодъё. ... Хоёр үр дүн хоёулаа хүчинтэй байх болно. 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0-ийг харцгаая. Энд дискриминант ба d нь нэг юм. Эндээс харахад w1 нь (3 + 1) (2 * 2) эсвэл 1-д хуваагддаг бөгөөд w2 нь (3 - 1) нь 2 * 2 эсвэл 1/2-т хуваагдсантай тэнцүү байна.

Квадрат илэрхийллийг тэгтэй тэнцүүлэх үр дүнг алгоритмын дагуу тооцоолно.

Хүчин төгөлдөр шийдвэрийн тоог тодорхойлох.
Тооцоолол d = D ^ (1/2).
(-j +/- d) / (2 * i) томъёоны дагуу үр дүнг олох.
Туршилтын хувьд олж авсан үр дүнг анхны тэгш байдалд орлуулах.

Зарим онцгой тохиолдлууд

Коэффициентээс хамааран шийдлийг бага зэрэг хялбарчилж болно. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв хоёр дахь зэрэглэлийн хувьсагчийн өмнөх коэффициент нь тэгтэй тэнцүү бол шугаман тэгшитгэлийг олж авна. Хувьсагчийн урд талын коэффициент нь эхний 0 зэрэгтэй байвал хоёр сонголтыг хийх боломжтой.

олон гишүүнт нь сөрөг огтлолцол бүхий квадратуудын ялгаварт задардаг;
эерэг тогтмолын хувьд бодит шийдэл олдохгүй.

Хэрэв чөлөөт гишүүн нь тэг бол үндэс нь (0; -j) болно.

Гэхдээ шийдлийг олоход хялбар болгодог бусад онцгой тохиолдлууд байдаг.

Хоёрдугаар зэргийн бууруулсан тэгшитгэл

Өгөгдсөнийг гэж нэрлэдэгтэргүүлэгч гишүүний өмнөх коэффициент нь нэг байх ийм квадрат гурвалжин. Энэ нөхцөл байдлын хувьд язгууруудын нийлбэр нь хувьсагчийн коэффициентийг -1-ээр үржүүлсэн эхний зэрэгтэй тэнцүү байх ба үржвэр нь тогтмол "k"-тэй тохирч байна гэсэн Виетийн теорем хэрэглэгдэх болно.

Иймд w1 + w2 тэнцүү -j ба w1 * w2 эхний коэффициент нь нэг бол k нь тэнцүү. Энэ дүрслэл зөв эсэхийг шалгахын тулд бид эхний томъёоноос w2 = -j - w1-ийг илэрхийлж, w1 * (-j - w1) = k гэсэн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж болно. Үүний үр дүнд бид w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0 анхны тэгш байдлыг олж авна.

Үүнийг анхаарах нь чухал юм i * w ^ 2 + j * w + k = 0-ийг "i"-д хуваах замаар багасгаж болно. Үр дүн нь: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, энд j1 нь j / i, k1 нь k / i-тэй тэнцүү байна.

Аль хэдийн шийдэгдсэн 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 үр дүн w1 = 1 ба w2 = 1/2-ийг харцгаая. Бид үүнийг хагасаар хуваах хэрэгтэй, үр дүнд нь w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Олдсон үр дүнд теоремын нөхцөл хүчинтэй эсэхийг шалгацгаая: 1 + 1/2 = 3 /2 ба 1 * 1/2 = 1/2.

Хоёрдахь хүчин зүйл ч гэсэн

Хэрэв хувьсагчийн нэгдүгээр зэрэгт (j) хүчин зүйл нь 2-т хуваагддаг бол, дараа нь томьёог хялбарчилж, ялгаварлан гадуурхагч D / 4 = (j / 2) ^ 2 - i * k-ийн дөрөвний нэгээр шийдлийг хайх боломжтой болно. бид w = (-j +/- d / 2) / i, энд d / 2 = D / 4 нь 1/2 хүчийг авна.

Хэрэв i = 1, j коэффициент нь тэгш байвал шийдэл нь w хувьсагчийн коэффициентийн -1 ба хагасын үржвэр бөгөөд энэ хагасын квадратын язгуурыг нэмэх / хасах тогтмол "k"-ийг хассан болно. Томъёо: w = -j / 2 +/- (j ^ 2/4 - k) ^ 1/2.

Дээд зэрэглэлийн ялгаварлагч

Дээр авч үзсэн хоёр дахь зэрэглэлийн гурвалсан тооллын ялгаварлан гадуурхалт нь хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг тусгай тохиолдол юм. Ерөнхий тохиолдолд олон гишүүнтийн дискриминант нь байна энэ олон гишүүнтийн язгууруудын ялгаварын үржүүлсэн квадратууд... Тиймээс, тэгтэй тэнцүү ялгаварлан гадуурхах нь дор хаяж хоёр олон шийдэл байгааг илтгэнэ.

i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0 гэж үзье.

D = j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * м ^ 2 + 18 * i * ж * к * м.

Дискриминант тэгээс их байна гэж бодъё... Хүрээнд гурван үндэс бий гэсэн үг. Тэг үед олон шийдэл байдаг. Хэрэв Д< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Видео

Бидний видео нь ялгаварлан гадуурхалтыг тооцоолох талаар дэлгэрэнгүй ярих болно.

Асуултынхаа хариуг аваагүй юу? Зохиогчид сэдвийг санал болгох.

Бид сэдвийг үргэлжлүүлэн судалж байна " тэгшитгэлийг шийдвэрлэх". Бид шугаман тэгшитгэлтэй аль хэдийн уулзаж байсан бөгөөд танилцах гэж байна квадрат тэгшитгэл.

Эхлээд бид квадрат тэгшитгэл гэж юу болох, ерөнхий хэлбэрээр хэрхэн бичигдсэн талаар дүн шинжилгээ хийж, холбогдох тодорхойлолтуудыг өгнө. Үүний дараа бид жишээнүүдийг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг нарийвчлан шинжлэх болно. Дараа нь бид бүрэн тэгшитгэлийг шийдэж, язгууруудын томъёог олж, квадрат тэгшитгэлийн дискриминанттай танилцаж, ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзье. Эцэст нь язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг судалцгаая.

Хуудасны навигаци.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Тэдний төрлүүд

Эхлээд та квадрат тэгшитгэл гэж юу болохыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Тиймээс квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт, түүнчлэн холбогдох тодорхойлолтуудын талаар квадрат тэгшитгэлийн тухай ярьж эхлэх нь логик юм. Үүний дараа та квадрат тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэж болно: бууруулсан ба буураагүй, түүнчлэн бүрэн ба бүрэн бус тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт ба жишээ

Тодорхойлолт.

Квадрат тэгшитгэлЭнэ нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм a x 2 + b x + c = 0, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, а нь тэгээс өөр байна.

Квадрат тэгшитгэлийг ихэвчлэн хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг гэдгийг шууд хэлье. Учир нь квадрат тэгшитгэл нь алгебрийн тэгшитгэлхоёрдугаар зэрэг.

Дууссан тодорхойлолт нь квадрат тэгшитгэлийн жишээг өгөх боломжийг бидэнд олгодог. Тэгэхээр 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 = 0 гэх мэт. Квадрат тэгшитгэлүүд.

Тодорхойлолт.

Тоонууд a, b, c гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд a x 2 + b x + c = 0 бөгөөд a коэффициентийг эхний буюу хамгийн өндөр гэж нэрлэдэг, эсвэл x 2 дахь коэффициент, b нь хоёр дахь коэффициент, эсвэл х дээрх коэффициент, в нь чөлөөт гишүүн юм.

Жишээлбэл, 5x2 −2x − 3 = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье, энд тэргүүлэх коэффициент нь 5, хоёр дахь коэффициент нь −2, огтлолцол нь −3 байна. Сая өгөгдсөн жишээний адил b ба / эсвэл c коэффициентүүд сөрөг байх үед квадрат тэгшитгэлийн богино хэлбэр нь 5 x 2 + (- 2 ) X + биш харин 5 x 2 −2 x − 3 = 0 болохыг анхаарна уу. (- 3) = 0.

Хэрэв a ба / эсвэл b коэффициентүүд 1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байвал квадрат тэгшитгэлд ихэвчлэн тодорхой байдаггүй бөгөөд энэ нь ийм бичих онцлогтой холбоотой юм. Жишээлбэл, y 2 −y + 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициент нь нэг, y дахь коэффициент нь −1 байна.

Буурагдсан ба буураагүй квадрат тэгшитгэл

Тэргүүлэх коэффициентийн утгаас хамааран бууруулсан ба буураагүй квадрат тэгшитгэлийг ялгадаг. Холбогдох тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт.

Тэргүүлэх коэффициент нь 1 байх квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ багасгасан квадрат тэгшитгэл... Үгүй бол квадрат тэгшитгэл нь байна бууруулаагүй.

Энэ тодорхойлолтын дагуу квадрат тэгшитгэл нь x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0 гэх мэт. - өгөгдсөн бол тус бүрт эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. Мөн 5 x 2 −x − 1 = 0 гэх мэт. - бууруулаагүй квадрат тэгшитгэл, тэдгээрийн тэргүүлэх коэффициентүүд нь 1-ээс ялгаатай.

Аливаа бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлээс түүний хоёр хэсгийг тэргүүлэх коэффициентээр хуваах замаар та багасгасан нэг рүү очиж болно. Энэ үйлдэл нь эквивалент хувиргалт бөгөөд өөрөөр хэлбэл ийм аргаар олж авсан бууруулсан квадрат тэгшитгэл нь анхны бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлтэй ижил үндэстэй эсвэл үүнтэй адил үндэсгүй байна.

Буурагдаагүй квадрат тэгшитгэлээс бууруулсан тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжихийг жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

3 x 2 + 12 x − 7 = 0 тэгшитгэлээс харгалзах багасгасан квадрат тэгшитгэл рүү оч.

Шийдэл.

Анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тэргүүлэх хүчин зүйл 3-т хуваахад хангалттай бөгөөд энэ нь тэгээс ялгаатай тул бид энэ үйлдлийг гүйцэтгэж чадна. Бидэнд (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, ижил (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0 ба түүнээс дээш (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, эндээс. Тиймээс бид бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг авсан бөгөөд энэ нь анхныхтай тэнцүү юм.

Хариулт:

Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт нь a ≠ 0 нөхцөлийг агуулна. Энэ нөхцөл нь a x 2 + b x + c = 0 тэгшитгэл яг квадрат байхын тулд зайлшгүй шаардлагатай, учир нь a = 0 үед энэ нь үнэндээ b x + c = 0 хэлбэрийн шугаман тэгшитгэл болдог.

b ба c коэффициентүүдийн хувьд тус тусад нь болон хамтдаа тэгтэй тэнцүү байж болно. Эдгээр тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.

a x 2 + b x + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ бүрэн бусхэрэв b, c коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол.

Эргээд

Тодорхойлолт.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлБүх коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай тэгшитгэл юм.

Эдгээр нэрийг санамсаргүй байдлаар өгөөгүй. Энэ нь дараахь зүйлийг анхаарч үзэхэд тодорхой болно.

Хэрэв b коэффициент 0-тэй тэнцүү бол квадрат тэгшитгэл нь a x 2 + 0 x + c = 0 хэлбэртэй байх ба энэ нь a x 2 + c = 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Хэрэв c = 0 бол квадрат тэгшитгэл нь a x 2 + b x + 0 = 0 хэлбэртэй байвал x 2 + b x = 0 гэж дахин бичиж болно. Мөн b = 0 ба c = 0 байвал бид a x 2 = 0 квадрат тэгшитгэлийг авна. Гарсан тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн зүүн талд x хувьсагчтай гишүүн, чөлөөт гишүүн эсвэл хоёуланг нь агуулаагүй болно. Тиймээс тэдний нэр - бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Тэгэхээр x 2 + x + 1 = 0 ба −2 x 2 −5 x + 0.2 = 0 тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлийн жишээ бөгөөд x 2 = 0, −2 x 2 = 0.5 x 2 + 3 = 0, − болно. x 2 −5 · x = 0 нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл юм.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Өмнөх догол мөр дэх мэдээллээс үзэхэд байна гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл:

a · x 2 = 0, энэ нь b = 0 ба c = 0 коэффициентуудтай тохирч байна;
b = 0 үед a x 2 + c = 0;
ба c = 0 үед x 2 + b x = 0 байна.

Эдгээр төрөл бүрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг дарааллаар нь шинжилье.

a x 2 = 0

b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг, өөрөөр хэлбэл a · x 2 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр шийдэж эхэлцгээе. a · x 2 = 0 тэгшитгэл нь x 2 = 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд түүний хоёр хэсгийг тэгээс өөр a тоогоор хуваах замаар эх хувилбараас гаргаж авсан. 0 2 = 0 учраас x 2 = 0 тэгшитгэлийн үндэс нь тэг байх нь ойлгомжтой. Энэ тэгшитгэлд өөр язгуур байхгүй бөгөөд үүнийг тайлбарлавал ямар ч тэгээс өөр p тоонуудын хувьд p 2> 0 тэгш бус байдал хэрэгжинэ, эндээс p ≠ 0-ийн хувьд p 2 = 0 тэгш байдал хэзээ ч хүрдэггүй.

Тэгэхээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a · x 2 = 0 нь нэг язгуур х = 0 байна.

Жишээ болгон −4 · x 2 = 0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдийг өгье. Тэгшитгэл x 2 = 0 нь түүнтэй тэнцүү, түүний цорын ганц үндэс нь x = 0, тиймээс анхны тэгшитгэл нь мөн өвөрмөц язгуур тэгтэй байна.

Энэ тохиолдолд богино шийдлийг дараах байдлаар томъёолж болно.
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Одоо b коэффициент нь тэг, c ≠ 0, өөрөөр хэлбэл a · x 2 + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүд байх бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг авч үзье. Тэгшитгэлийн нэг талаас нөгөө тал руу эсрэг тэмдэгтэй гишүүнийг шилжүүлэх, мөн тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоонд хуваах нь тэнцүү тэгшитгэлийг өгдөг гэдгийг бид мэднэ. Иймээс a x 2 + c = 0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн дараах эквивалент хувиргалтыг хийх боломжтой.

c-г баруун тийш шилжүүлэх нь a x 2 = −c тэгшитгэлийг өгнө.
ба түүний аль алиныг нь а-д хуваавал бид гарна.

Үүссэн тэгшитгэл нь түүний үндэсийн талаар дүгнэлт хийх боломжийг бидэнд олгодог. a ба c-ийн утгуудаас хамааран илэрхийллийн утга нь сөрөг (жишээлбэл, хэрэв a = 1 ба c = 2 бол) эсвэл эерэг байж болно (жишээлбэл, хэрэв a = -2 ба c = 6 бол). , тэгвэл), энэ нь тэгтэй тэнцүү биш, учир нь таамаглалаар c ≠ 0 байна. Хэргийг тус тусад нь авч үзье.

Хэрэв, тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Аливаа тооны квадрат нь сөрөг бус тоо байдгаас энэ мэдэгдэл гарч байна. Үүнээс үзэхэд ямар ч p тооны хувьд тэнцүү байх боломжгүй.

Хэрэв, тэгвэл тэгшитгэлийн үндэстэй нөхцөл байдал өөр байна. Энэ тохиолдолд, хэрэв та санаж байгаа бол тэгшитгэлийн үндэс нь шууд тодорхой болно, энэ нь тоо юм. Энэ тоо нь тэгшитгэлийн язгуур мөн гэдгийг таахад хялбар байдаг. Энэ тэгшитгэл нь өөр үндэсгүй бөгөөд үүнийг жишээ нь зөрчилтэй аргаар харуулж болно. Энийг хийцгээе.

Саяхан сонсогдсон тэгшитгэлийн язгуурыг x 1 ба −x 1 гэж тэмдэглэе. Тэгшитгэл нь заасан x 1 ба −x 1 язгууруудаас өөр өөр нэг x 2 үндэстэй байна гэж бодъё. Тэгшитгэлд x-ийн оронд түүний үндсийг орлуулах нь тэгшитгэлийг жинхэнэ тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг нь мэдэгдэж байна. x 1 ба −x 1-ийн хувьд бид байна, х 2-ийн хувьд бид байна. Тоон тэгш байдлын шинж чанарууд нь жинхэнэ тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр нь хасах боломжийг бидэнд олгодог тул тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг хасвал x 1 2 −x 2 2 = 0 болно. Тоо бүхий үйлдлийн шинж чанарууд нь үүссэн тэгш байдлыг (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0 гэж дахин бичих боломжийг олгодог. Хоёр тооны үржвэр нь зөвхөн, ядаж нэг нь тэг байвал л тэг болно гэдгийг бид мэднэ. Иймээс олж авсан тэгшитгэлээс x 1 - x 2 = 0 ба / эсвэл x 1 + x 2 = 0 нь ижил, x 2 = x 1 ба / эсвэл x 2 = −x 1 байна. Бид эхэндээ x 2 тэгшитгэлийн язгуур нь x 1 ба −x 1-ээс өөр гэж хэлснээс хойш ингэж зөрчилдсөн юм. Энэ нь тэгшитгэлд ба-аас өөр үндэс байхгүй гэдгийг баталж байна.

Энэ зүйлийн мэдээллийг тоймлон хүргэе. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 + c = 0 нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

үндэс байхгүй бол,
хоёр үндэстэй ба хэрэв.

a · x 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

9 x 2 + 7 = 0 квадрат тэгшитгэлээс эхэлье. Чөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлсний дараа 9 · x 2 = −7 хэлбэрийг авна. Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг 9-д хуваавал бид гарч ирнэ. Баруун талд сөрөг тоо байгаа тул энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэл 9 · x 2 + 7 = 0 үндэсгүй болно.

−x 2 + 9 = 0 өөр бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийд. Есийг баруун тийш шилжүүл: −x 2 = −9. Одоо бид хоёр талыг −1-д хуваавал x 2 = 9 болно. Баруун талд эерэг тоо байгаа бөгөөд үүнээс бид үүнийг эсвэл гэж дүгнэж байна. Дараа нь бид эцсийн хариултыг бичнэ: −x 2 + 9 = 0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x = 3 эсвэл x = −3 гэсэн хоёр үндэстэй.

a x 2 + b x = 0

Сүүлийн төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг c = 0-ийн хувьд шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. a x 2 + b x = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд нь шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. хүчин зүйлчлэлийн арга... Мэдээжийн хэрэг, бид тэгшитгэлийн зүүн талд байрлаж болох бөгөөд үүний тулд нийтлэг х хүчин зүйлийг ялгахад хангалттай. Энэ нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэлээс x · (a · x + b) = 0 хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл рүү шилжих боломжийг олгодог. Мөн энэ тэгшитгэл нь x = 0 ба a x + b = 0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү бөгөөд сүүлчийнх нь шугаман бөгөөд x = −b / a язгууртай.

Тэгэхээр a x 2 + b x = 0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x = 0 ба x = −b / a гэсэн хоёр үндэстэй.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид тодорхой жишээний шийдлийг шинжлэх болно.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Хаалтаас х-г зөөвөл тэгшитгэл гарч ирнэ. Энэ нь x = 0 гэсэн хоёр тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Бид үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийдэж, холимог тоог энгийн бутархайд хуваасны дараа олно. Тиймээс анхны тэгшитгэлийн үндэс нь x = 0 ба.

Шаардлагатай дадлага хийсний дараа ийм тэгшитгэлийн шийдлүүдийг товч бичиж болно.

Хариулт:

x = 0,.

Дискриминант, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх язгуур томъёо байдаг. Бичээд үзье квадрат томьёо: , хаана D = b 2 −4 a c- гэж нэрлэгддэг квадрат дискриминант... Тэмдэглэгээ нь үндсэндээ үүнийг илэрхийлдэг.

Үндэс томъёог хэрхэн олж авсан, квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олохдоо хэрхэн ашигладаг талаар мэдэх нь ашигтай байдаг. Үүнийг олж мэдье.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах

a x 2 + b x + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье. Зарим ижил төстэй хувиргалтуудыг хийцгээе:

Бид энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр a тоогоор хувааж болох бөгөөд үр дүнд нь багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
Одоо бүрэн дөрвөлжин сонгоно уутүүний зүүн талд:. Үүний дараа тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна.
Энэ үе шатанд сүүлийн хоёр нэр томъёог эсрэг тэмдэгтэй баруун гар тал руу шилжүүлэх боломжтой.
Мөн бид баруун талын илэрхийлэлийг өөрчилдөг:.

Үүний үр дүнд бид a x 2 + b x + c = 0 гэсэн анхны квадрат тэгшитгэлтэй тэнцэх тэгшитгэлд хүрнэ.

Бид өмнөх догол мөрөнд ижил төстэй тэгшитгэлүүдийг шинжлэхдээ аль хэдийн шийдсэн. Энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын талаар дараахь дүгнэлтийг гаргах боломжийг бидэнд олгоно.

хэрэв тэгшитгэлд бодит шийдэл байхгүй бол;
хэрэв тэгшитгэл нь ийм хэлбэртэй байна, тиймээс түүний цорын ганц үндэс нь харагдах болно;
хэрэв, тэгвэл эсвэл, аль нь ижил буюу, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

Тиймээс тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, улмаар анхны квадрат тэгшитгэл нь баруун талд байгаа илэрхийллийн тэмдгээс хамаарна. Хариуд нь энэ илэрхийллийн тэмдгийг тоологчийн тэмдгээр тодорхойлно, учир нь хуваагч 4 · a 2 нь үргэлж эерэг байдаг, өөрөөр хэлбэл b 2 −4 · a · c илэрхийллийн тэмдэг юм. Энэ b 2 −4 a c илэрхийллийг дуудсан квадрат тэгшитгэлийн дискриминантмөн үсгээр тэмдэглэсэн Д... Эндээс ялгаварлагчийн мөн чанар тодорхой байна - түүний утга, тэмдгээр квадрат тэгшитгэл бодит язгууртай эсэх, хэрэв тийм бол тэдгээрийн тоо хэд вэ - нэг эсвэл хоёр байна.

Тэгшитгэл рүү буцахдаа ялгах тэмдэглэгээг ашиглан дахин бичнэ үү:. Тэгээд бид дүгнэлт хийж байна:

хэрэв Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
хэрэв D = 0 бол энэ тэгшитгэл нь нэг язгууртай;
Эцэст нь, хэрэв D> 0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй буюу эсвэл хэлбэрээр дахин бичиж болох ба бутархайг нийтлэг хуваагч болгон өргөжүүлж, багасгасны дараа бид олж авна.

Тиймээс бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гаргаж авсан бөгөөд тэдгээр нь D дискриминант D = b 2 −4 · a · c томъёогоор тооцоологддог хэлбэртэй байна.

Тэдгээрийн тусламжтайгаар эерэг дискриминантын тусламжтайгаар квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг хоёуланг нь тооцоолж болно. Дискриминант нь тэгтэй тэнцүү байх үед хоёр томьёо нь квадрат тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэлд харгалзах ижил язгуур утгыг өгнө. Сөрөг ялгаварлагчтай бол квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглах гэж оролдох үед бид сөрөг тооны язгуурыг гаргаж авахтай тулгардаг бөгөөд энэ нь биднийг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс хэтрүүлдэг. Сөрөг дискриминанттай бол квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй боловч хостой байна нарийн төвөгтэй коньюгатбидний олж авсан ижил язгуур томъёогоор олж болох үндэс.

Үндэс томьёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Практикт квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ язгуур томъёог шууд ашиглаж, тэдгээрийн утгыг тооцоолж болно. Гэхдээ энэ нь нарийн төвөгтэй үндсийг олох тухай юм.

Гэсэн хэдий ч сургуулийн алгебрийн хичээлд энэ нь ихэвчлэн цогцолборын тухай биш, харин квадрат тэгшитгэлийн бодит язгууруудын тухай байдаг. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахаасаа өмнө ялгаварлагчийг олох нь зүйтэй бөгөөд энэ нь сөрөг биш эсэхийг шалгаарай (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй гэж дүгнэж болно), зөвхөн дараа нь. язгуурын утгыг тооцдог.

Дээрх үндэслэл нь бидэнд бичих боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэл шийдэгч... a x 2 + b x + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй:

ялгах томьёогоор D = b 2 −4 · a · c түүний утгыг тооцоолох;
ялгаварлан гадуурхагч сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл бодит үндэсгүй гэж дүгнэх;
D = 0 бол томъёогоор тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тооцоолох;
Дискриминант эерэг байвал квадрат тэгшитгэлийн язгуур томъёог ашиглан хоёр бодит язгуурыг ол.

Хэрэв ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү бол томъёог бас ашиглаж болно, энэ нь ижил утгыг өгөх болно гэдгийг бид энд тэмдэглэж байна.

Та квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглах жишээг үргэлжлүүлж болно.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Эерэг, сөрөг, тэг ялгавартай гурван квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийг авч үзье. Тэдгээрийн шийдлийг авч үзсэний дараа ижил төстэй байдлаар бусад квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно. Эхэлцгээе.

Жишээ.

x 2 + 2 x − 6 = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Энэ тохиолдолд бид квадрат тэгшитгэлийн дараах коэффициентүүдтэй байна: a = 1, b = 2, c = -6. Алгоритмын дагуу эхлээд ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй, үүний тулд бид ялгах томъёонд заасан a, b, c-г орлуулна. D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... 28>0, өөрөөр хэлбэл дискриминант нь тэгээс их байх тул квадрат тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай болно. Бид тэдгээрийг эх томъёог ашиглан олж, олж авсан, эндээс та олж авсан илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой язгуурын тэмдгийг ялгахфракцийн дараагийн бууралтаар:

Хариулт:

Дараагийн ердийн жишээ рүү шилжье.

Жишээ.

−4x2 + 28x − 49 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Бид ялгагчийг хайж эхэлдэг: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Иймд энэ квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай бөгөөд үүнийг бид дараах байдлаар олно.

Хариулт:

x = 3.5.

Сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзэх хэвээр байна.

Жишээ.

5 у 2 + 6 у + 2 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд энд байна: a = 5, b = 6 ба c = 2. Эдгээр утгыг ялгах томъёонд орлуулснаар бид байна D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Дискриминант нь сөрөг тул энэ квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй.

Хэрэв нийлмэл язгуурыг зааж өгөх шаардлагатай бол квадрат тэгшитгэлийн үндэст сайн мэддэг томьёог хэрэглэж, гүйцэтгэнэ. нийлмэл тооны үйлдлүүд:

Хариулт:

жинхэнэ үндэс байхгүй, нарийн төвөгтэй үндэс нь дараах байдалтай байна:.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийн ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг байвал сургуульд тэд ихэвчлэн бодит үндэс байхгүй, нарийн төвөгтэй язгуур олддоггүй гэсэн хариултыг шууд бичдэг гэдгийг бид дахин тэмдэглэж байна.

Тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёо

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо, энд D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5). Үүнийг гаргаж авцгаая.

a x 2 + 2 n x + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье. Бидний мэддэг томьёог ашиглан түүний үндсийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд ялгаварлагчийг тооцоол D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), дараа нь бид үндэсийн томъёог ашиглана:

n 2 - a · c илэрхийлэлийг D 1 гэж тэмдэглэе (заримдаа үүнийг D " гэж тэмдэглэдэг). Дараа нь 2 n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томьёо хэлбэрийг авна. , энд D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1, эсвэл D 1 = D / 4 гэдгийг харахад хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл D 1 нь дискриминантийн дөрөв дэх хэсэг юм. D 1-ийн тэмдэг нь D-ийн тэмдэгтэй ижил байх нь тодорхой байна. Өөрөөр хэлбэл, D 1 тэмдэг нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсвэл байхгүй байгааг илтгэдэг үзүүлэлт юм.

Хоёрдахь коэффициент 2 n-тэй квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй болно

Тооцоолох D 1 = n 2 −a · c;
Хэрэв D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Хэрэв D 1 = 0 бол тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг томъёогоор тооцоолно;
Хэрэв D 1> 0 бол томьёогоор хоёр жинхэнэ язгуурыг ол.

Энэ догол мөрөнд олж авсан үндсэн томъёог ашиглан жишээг шийдвэрлэх талаар бодож үзээрэй.

Жишээ.

5x2 −6x − 32 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийг 2 · (−3) гэж илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл, та анхны квадрат тэгшитгэлийг 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0, энд a = 5, n = −3 ба c = −32 хэлбэрээр дахин бичиж, дөрөв дэх хэсгийг тооцоолж болно. ялгаварлагч: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Түүний утга эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай. Харгалзах үндсэн томъёог ашиглан тэдгээрийг олъё:

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд ердийн томъёог ашиглах боломжтой байсан ч энэ тохиолдолд илүү их тооцооллын ажил хийх шаардлагатай болно гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:

Квадрат тэгшитгэлийн харагдах байдлыг хялбарчлах

Заримдаа квадрат тэгшитгэлийн үндсийг томъёогоор тооцоолохын өмнө "Энэ тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах боломжтой юу?" Гэсэн асуултыг асуухад гэмгүй. Тооцооллын хувьд 1100 · x 2 −400 · x − 600 = 0-ээс 11 · x 2 −4 · x − 6 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байх болно гэдгийг хүлээн зөвшөөр.

Ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбаршуулах нь түүний хоёр хэсгийг хэд хэдэн тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар хийгддэг. Жишээлбэл, өмнөх догол мөрөнд бид хоёр талыг 100-д хуваах замаар 1100x2 −400x − 600 = 0 тэгшитгэлийг хялбарчилж чадсан.

Үүнтэй төстэй хувиргалтыг коэффициентүүд нь биш квадрат тэгшитгэлээр гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн хоёр талыг ихэвчлэн түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгуудад хуваадаг. Жишээлбэл, 12 x 2 −42 x + 48 = 0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгууд: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Анхны квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-д хуваавал бид 2 x 2 −7 x + 8 = 0 квадрат тэгшитгэлд хүрнэ.

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх нь ихэвчлэн бутархай коэффициентээс ангижрахын тулд хийгддэг. Энэ тохиолдолд үржүүлгийг түүний коэффициентүүдийн хуваагчаар гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг LCM (6, 3, 1) = 6-аар үржүүлбэл энэ нь х 2 + 4 x − 18 = 0 гэсэн энгийн хэлбэрийг авна.

Энэ догол мөрийн төгсгөлд бид квадрат тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициент дэх хасахаас бараг үргэлж салдаг гэдгийг тэмдэглэж, бүх гишүүний тэмдгийг өөрчлөх замаар хоёр хэсгийг −1-ээр үржүүлэх (эсвэл хуваах) тохирч байна. Жишээлбэл, ихэвчлэн −2x2 −3x + 7 = 0 квадрат тэгшитгэлээс нэг нь 2x2 + 3x − 7 = 0 шийд рүү шилждэг.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хамаарал

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо нь тэгшитгэлийн язгуурыг түүний коэффициентээр илэрхийлдэг. Үндэс томьёо дээр үндэслэн та үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондох бусад хамаарлыг авч болно.

Хамгийн сайн мэддэг бөгөөд хэрэглэх боломжтой томьёо нь Вьетагийн теоремын хэлбэр ба. Тодруулбал, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй, язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрээр түүний язгууруудын нийлбэр нь 7/3, язгуурын үржвэр нь 22/3 гэж шууд хэлж болно.

Аль хэдийн бичсэн томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондох бусад олон тооны хамаарлыг олж авах боломжтой. Жишээлбэл, та квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг түүний коэффициентээр илэрхийлж болно:.

Ном зүй.

Алгебр:судлах. 8 кл. Ерөнхий боловсрол. байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ed. С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008 .-- 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
A. G. МордковичАлгебр. 8-р анги. 14 цагт 1-р хэсэг. Боловсролын байгууллагын оюутнуудад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, Устгагдсан. - М .: Мнемозина, 2009 .-- 215 х.: Өвч. ISBN 978-5-346-01155-2.

Физик, математикийн янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд квадрат тэгшитгэл ихэвчлэн гарч ирдэг. Энэ нийтлэлд бид "ялгаварлагчаар дамжуулан" бүх нийтийн арга замаар эдгээр тэгш байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно. Олж авсан мэдлэгээ ашиглах жишээг нийтлэлд мөн өгсөн болно.

Бид ямар тэгшитгэлийн тухай ярьж байна вэ?

Доорх зурагт x нь үл мэдэгдэх хувьсагч, латин тэмдэгт a, b, c зарим мэдэгдэж буй тоог илэрхийлдэг томьёог харуулж байна.

Эдгээр тэмдэг бүрийг коэффициент гэж нэрлэдэг. Таны харж байгаагаар "a" тоо нь x квадрат хувьсагчийн өмнө байна. Энэ бол илэрхийллийн хамгийн их хүч бөгөөд үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Түүний өөр нэрийг ихэвчлэн ашигладаг: хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэл. a утга нь өөрөө квадрат коэффициент (хувьсагчийн квадрат дээр зогсож байгаа), b нь шугаман коэффициент (энэ нь эхний зэрэглэлд хүрсэн хувьсагчийн хажууд байрладаг), эцэст нь c тоо нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Дээрх зурагт үзүүлсэн тэгшитгэлийн хэлбэр нь нийтлэг сонгодог квадрат илэрхийлэл гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс гадна b, c коэффициентүүд тэг байж болох хоёрдахь эрэмбийн бусад тэгшитгэлүүд байдаг.

Үзэж буй тэгш байдлыг шийдэхийн тулд асуудал тавигдах үед энэ нь x хувьсагчийн ийм утгыг хангахуйц байх шаардлагатай гэсэн үг юм. Энд хамгийн түрүүнд дараах зүйлийг санах хэрэгтэй: x-ийн дээд зэрэг нь 2 тул энэ төрлийн илэрхийлэлд 2-оос илүү шийдэл байж болохгүй. Энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед түүнийг хангах x-ийн 2 утга олдвол x-ийн оронд орлуулсан гуравдахь тоо байхгүй гэдэгт итгэлтэй байж болно гэсэн үг юм. Математик дахь тэгшитгэлийн шийдлийг үндэс гэж нэрлэдэг.

Хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд тэдгээрийн талаархи зарим онолын мэдлэгийг шаарддаг. Сургуулийн алгебрийн хичээлд шийдвэрлэх 4 өөр аргыг авч үздэг. Тэднийг жагсаацгаая:

хүчин зүйлчлэлийг ашиглах;
бүтэн квадратын томъёог ашиглах;
харгалзах квадрат функцийн графикийг хэрэглэх замаар;
дискриминантын тэгшитгэлийг ашиглан.

Эхний аргын давуу тал нь түүний энгийн байдалд оршдог боловч үүнийг бүх тэгшитгэлд ашиглах боломжгүй юм. Хоёрдахь арга нь бүх нийтийнх боловч зарим талаараа төвөгтэй байдаг. Гурав дахь арга нь тодорхой байдгаараа алдартай боловч энэ нь үргэлж тохиромжтой, хэрэглэхэд хялбар байдаггүй. Эцэст нь, дискриминант тэгшитгэлийг ашиглах нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн үндсийг олох бүх нийтийн бөгөөд нэлээд энгийн арга юм. Тиймээс, нийтлэлд бид зөвхөн үүнийг авч үзэх болно.

Тэгшитгэлийн язгуурыг олж авах томъёо

Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр рүү орцгооё. Үүнийг бичье: a * x² + b * x + c = 0. "Ялгаварлан гадуурхах замаар" шийдвэрлэх аргыг ашиглахаасаа өмнө тэгш байдлыг үргэлж бичмэл хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Энэ нь гурван гишүүнээс бүрдэх ёстой (эсвэл b эсвэл c нь 0 бол түүнээс бага).

Жишээ нь: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x² гэсэн илэрхийлэл байвал эхлээд түүний бүх нөхцөлийг тэгш байдлын нэг тал руу зөөж, х хувьсагчийг агуулсан нөхцөлүүдийг нэмэх хэрэгтэй. ижил эрх мэдэл.

Энэ тохиолдолд энэ үйлдэл нь дараах илэрхийлэлд хүргэнэ: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, энэ нь 6 * x² + 4 * x-8 = 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү байна (энд бид зүүн болон үржүүлсэн. тэгш байдлын баруун талууд -1) ...

Дээрх жишээнд a = 6, b = 4, c = -8 байна. Тооцоолж буй тэгш байдлын бүх нөхцөлийг үргэлж хооронд нь нэгтгэдэг тул "-" тэмдэг гарч ирвэл энэ тохиолдолд c тоотой адил харгалзах коэффициент нь сөрөг байна гэсэн үг юм.

Энэ цэгийг судалсны дараа бид квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олж авах боломжтой томьёо руу шилжиж байна. Доорх зурган дээр үзүүлсэн маягттай.

Энэ илэрхийллээс харахад энэ нь хоёр үндэс авах боломжийг олгодог (та "±" тэмдэгт анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй). Үүнийг хийхийн тулд b, c, a коэффициентүүдийг орлуулахад хангалттай.

Ялгаварлах үзэл баримтлал

Өмнөх догол мөрөнд хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг хурдан шийдвэрлэх боломжийг олгодог томьёог өгсөн. Үүнд радикал илэрхийлэлийг дискриминант гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл D = b²-4 * a * c.

Томъёоны энэ хэсгийг яагаад онцолсон, тэр ч байтугай өөрийн гэсэн нэртэй байдаг вэ? Дискриминант нь тэгшитгэлийн бүх гурван коэффициентийг нэг илэрхийлэл болгон холбосон явдал юм. Сүүлчийн баримт нь үндэсийн талаархи мэдээллийг бүрэн агуулдаг гэсэн үг бөгөөд үүнийг дараахь жагсаалтад илэрхийлж болно.

D> 0: тэгш байдал нь 2 өөр шийдэлтэй, хоёулаа бодит тоо.
D = 0: Тэгшитгэл нь зөвхөн нэг язгууртай бөгөөд бодит тоо юм.

Ялгаварлагчийг тодорхойлох даалгавар

Дискриминантыг хэрхэн олох талаар энгийн жишээ хэлье. Дараах тэгш байдлыг өгье: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Бид үүнийг стандарт хэлбэрт оруулаад бид дараахь зүйлийг авна: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, эндээс бид тэгш байдалд хүрнэ. : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Энд a = -2, b = 2, c = -11 байна.

Одоо та ялгаварлагчийн нэрлэсэн томъёог ашиглаж болно: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Үүссэн тоо нь даалгаврын хариулт юм. Жишээн дээрх дискриминант нь тэгээс бага тул энэ квадрат тэгшитгэл бодит үндэсгүй гэж хэлж болно. Зөвхөн комплекс тоо нь түүний шийдэл байх болно.

Ялгаварлан гадуурхах замаар тэгш бус байдлын жишээ

-3 * x²-6 * x + c = 0 тэгшитгэлийг өгвөл арай өөр төрлийн асуудлыг шийдье. D>0 байх c-ийн ийм утгыг олох шаардлагатай.

Энэ тохиолдолд 3 коэффициентээс зөвхөн 2 нь л мэдэгдэж байгаа тул ялгаварлагчийн утгыг нарийн тооцоолох боломжгүй, гэхдээ энэ нь эерэг гэдгийг мэддэг. Тэгш бус байдлыг гаргахдаа бид сүүлчийн баримтыг ашигладаг: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Олж авсан тэгш бус байдлын шийдэл нь үр дүнд хүргэнэ: c> -3.

Хүлээн авсан дугаарыг шалгая. Үүнийг хийхийн тулд 2 тохиолдлын хувьд D-г тооцоолно: c = -2 ба c = -4. -2 тоо нь олж авсан үр дүнг хангаж байна (-2> -3), харгалзах ялгаварлагч нь дараах утгатай байх болно: D = 12> 0. Хариуд нь -4 тоо нь тэгш бус байдлыг хангахгүй (-4 Тиймээс -3-аас их c тоо нь нөхцөлийг хангана.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Зөвхөн дискриминантыг олохоос гадна тэгшитгэлийг шийдэхээс бүрдэх асуудлыг танилцуулъя. Та -2 * x² + 7-9 * x = 0 тэгш байдлын үндсийг олох хэрэгтэй.

Энэ жишээнд дискриминант нь дараах утгатай тэнцүү байна: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Дараа нь тэгшитгэлийн язгуурыг дараах байдлаар тодорхойлно: x = (9 ± √137) / (- 4). Эдгээр нь язгууруудын яг тодорхой утгууд бөгөөд хэрэв та ойролцоогоор үндсийг тооцоолвол x = -5.176 ба x = 0.676 гэсэн тоонуудыг авна.

Геометрийн асуудал

Дискриминантыг тооцоолох чадвар төдийгүй хийсвэр сэтгэх чадвар, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн хийх мэдлэгийг ашиглах шаардлагатай асуудлыг шийдье.

Боб 5х4 метрийн хөнжилтэй байсан. Хүү периметрийн эргэн тойронд үзэсгэлэнтэй даавуугаар тасралтгүй тууз оёхыг хүссэн. Хэрэв Бобыг 10 м² даавуутай гэж үзвэл энэ тууз хэр зузаан байх вэ?

Туузыг xm зузаантай болго, дараа нь хөнжилний урт талын дагуух даавууны талбай (5 + 2 * x) * x байх ба 2 урт тал байгаа тул бидэнд: 2 * x байна. * (5 + 2 * x). Богино тал дээр оёсон даавууны талбай нь 4 * x байх болно, учир нь эдгээр хоёр тал байгаа тул бид 8 * x утгыг авна. Хөнжлийн урт нь энэ тоогоор нэмэгдсэн тул урт талд 2 * x нэмэгдсэн болохыг анхаарна уу. Хөнжилд оёсон даавууны нийт талбай нь 10 м² байна. Тиймээс бид тэгш байдлыг олж авна: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

Энэ жишээний хувьд ялгаварлагч нь: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Үүний үндэс нь 22. Томьёог ашиглан бид шаардлагатай язгууруудыг олно: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0.5). Мэдээжийн хэрэг, хоёр язгуураас зөвхөн 0.5 тоо нь асуудлын тайлбарт тохиромжтой.

Тиймээс Бобын хөнжилдөө оёх даавууны тууз нь 50 см өргөн болно.

Хамтран ажиллацгаая квадрат тэгшитгэл... Эдгээр нь маш алдартай тэгшитгэлүүд юм! Хамгийн ерөнхий хэлбэрээр квадрат тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Жишээлбэл:

Энд а =1; б = 3; в = -4

Энд а =2; б = -0,5; в = 2,2

Энд а =-3; б = 6; в = -18

За, та санаагаа олж авлаа ...

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?Хэрэв танд энэ хэлбэрээр квадрат тэгшитгэл байгаа бол бүх зүйл аль хэдийн энгийн байна. Шидэт үгийг санаж байна ялгаварлагч ... Ахлах сургуулийн ховор сурагч энэ үгийг сонсоогүй! "Ялгаварлан гадуурхах замаар шийдэх" гэсэн хэллэг нь тайвшруулж, тайвшруулдаг. Яагаад гэвэл ялгаварлагчаас бохир заль мэхийг хүлээх шаардлагагүй! Энэ нь хэрэглэхэд хялбар бөгөөд асуудалгүй юм. Тэгэхээр квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна.

Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь ижил байна ялгаварлагч... Таны харж байгаагаар бид x-г олохын тулд ашигладаг зөвхөн a, b, c... Тэдгээр. квадрат тэгшитгэлээс коэффициентүүд. Зүгээр л утгыг болгоомжтой орлуулах хэрэгтэй a, b ба cэнэ томъёонд оруулаад тоол. Орлуулах таны тэмдгүүдээр! Жишээлбэл, эхний тэгшитгэлийн хувьд а =1; б = 3; в= -4. Тиймээс бид бичнэ:

Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:

Тэгээд л болоо.

Энэ томъёог ашиглах үед ямар тохиолдлууд гарч болох вэ? Гуравхан тохиолдол бий.

1. Ялгаварлагч эерэг байна. Энэ нь та үүнээс үндсийг гаргаж авах боломжтой гэсэн үг юм. Сайн үндсийг гаргаж авсан, эсвэл муу - өөр асуулт. Зарчмын хувьд юу олборлож байгаа нь чухал юм. Тэгвэл таны квадрат тэгшитгэл хоёр үндэстэй. Хоёр өөр шийдэл.

2. Дискриминант нь тэг байна. Тэгвэл танд нэг шийдэл байна. Хатуухан хэлэхэд энэ нь нэг үндэс биш, гэхдээ хоёр ижил... Гэхдээ энэ нь тэгш бус байдалд үүрэг гүйцэтгэдэг тул бид асуудлыг илүү нарийвчлан судлах болно.

3. Ялгаварлагч сөрөг байна. Сөрөг тооноос квадрат язгуур гаргаж авдаггүй. За яахав. Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Бүх зүйл маш энгийн. Таны бодлоор андуурч болохгүй зүйл юу вэ? За, тийм ээ, яаж ...
Хамгийн нийтлэг алдаа бол утгын шинж тэмдгүүдтэй андуурагдах явдал юм. a, b ба c... Үүний оронд тэдгээрийн шинж тэмдгээр биш (хаана андуурч болох вэ?), Харин үндсийг тооцоолох томъёонд сөрөг утгыг орлуулах замаар. Энд тодорхой тоо бүхий томъёоны нарийвчилсан тэмдэглэгээ хадгалагдана. Тооцооллын асуудал гарвал ингэх!

Та энэ жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё:

Энд a = -6; b = -5; c = -1

Та анх удаа хариулт авах нь ховор гэдгийг мэддэг гэж бодъё.

За, битгий залхуу бай. Нэмэлт мөр бичихэд 30 секунд зарцуулагдана. Мөн алдааны тоо огцом буурах болно... Тиймээс бид бүх хаалт, тэмдгүүдийн хамт дэлгэрэнгүй бичнэ.

Ийм болгоомжтой будна гэдэг үнэхээр хэцүү юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь зөвхөн байх шиг байна. Оролдоод үз. За, эсвэл сонго. Аль нь дээр вэ, хурдан эсвэл зөв үү? Түүнээс гадна би чамайг баярлуулах болно. Хэсэг хугацааны дараа бүх зүйлийг маш болгоомжтой будах шаардлагагүй болно. Энэ нь өөрөө аяндаа бүтнэ. Ялангуяа та доор тайлбарласан практик техникийг ашигладаг бол. Олон тооны дутагдалтай энэ муу жишээг амархан, алдаагүйгээр шийдэж болно!

Тэгэхээр, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхбид ялгаварлагчаар дамжуулан санаж байсан. Эсвэл сурсан, энэ нь бас муу биш юм. Хэрхэн зөв тодорхойлохоо мэддэг a, b ба c... Та яаж гэдгийг мэднэ анхааралтайтэдгээрийг үндсэн томъёонд орлуулах ба анхааралтайүр дүнг уншина уу. Энд байгаа түлхүүр үг гэдгийг та ойлгох болно анхааралтай уу?

Гэсэн хэдий ч квадрат тэгшитгэл нь ихэвчлэн арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

тэр бүрэн бус квадрат тэгшитгэл ... Тэдгээрийг мөн ялгаварлагчаар шийдэж болно. Та зүгээр л тэд юутай тэнцүү болохыг зөв тодорхойлох хэрэгтэй a, b ба c.

Та үүнийг олж мэдсэн үү? Эхний жишээнд a = 1; b = -4;а в? Тэр тэнд огт байхгүй! За, тийм ээ, энэ нь зөв. Математикийн хувьд энэ нь тийм гэсэн үг юм c = 0 ! Тэгээд л болоо. Томъёоны оронд тэгийг орлуулна уу в,мөн бид амжилтанд хүрнэ. Хоёрдахь жишээнд ч мөн адил. Энд зөвхөн тэг л байна хамт, a б !

Гэхдээ бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг илүү хялбар шийдэж болно. Ямар ч ялгаварлалгүйгээр. Эхний бүрэн бус тэгшитгэлийг авч үзье. Та зүүн талд юу хийж чадах вэ? Та хаалтаас x-г гаргаж болно! Үүнийг гаргаж авцгаая.

Тэгээд яах вэ? Мөн хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байна! Надад итгэхгүй байна уу? За тэгвэл үржүүлбэл тэг өгөх хоёр тэгээс бусад тоог бодоорой!
Ажиллахгүй байна? Ингээд л болоо...
Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно: x = 0, эсвэл x = 4

Бүх зүйл. Эдгээр нь бидний тэгшитгэлийн үндэс байх болно. Хоёулаа тохирно. Тэдгээрийн аль нэгийг нь анхны тэгшитгэлд орлуулахад бид 0 = 0 зөв таних тэмдгийг олж авна. Таны харж байгаагаар шийдэл нь ялгаварлан гадуурхахаас хамаагүй хялбар юм.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг бас энгийнээр шийдэж болно. 9-ийг баруун тийш шилжүүлнэ үү. Бид авах:

9-ээс үндсийг нь гаргаж авахад л үлдлээ, тэгээд л болоо. Энэ нь гарах болно:

Мөн хоёр үндэс ... x = +3 ба x = -3.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Хаалтанд х-г оруулах, эсвэл зүгээр л тоог баруун тийш шилжүүлж, үндсийг нь гаргаж авна.
Эдгээр техникийг төөрөлдүүлэх нь туйлын хэцүү байдаг. Зүгээр л, учир нь эхний тохиолдолд та x-ээс үндсийг гаргаж авах хэрэгтэй болно, энэ нь ямар нэгэн байдлаар ойлгомжгүй, хоёр дахь тохиолдолд хаалтанд оруулах зүйл байхгүй ...

Одоохондоо алдааг эрс багасгах шилдэг туршлагуудыг анхаарч үзээрэй. Анхаарал болгоомжгүйгээс болж байгаа хүмүүс. ... Үүний төлөө л өвдөж, доромжилж байна ...

Эхний хүлээн авалт... Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн өмнө стандарт хэлбэрт оруулахаас залхуурах хэрэггүй. Энэ юу гэсэн үг вэ?
Хэд хэдэн өөрчлөлт хийсний дараа та дараах тэгшитгэлийг олж авлаа гэж бодъё.

Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л холих болно. a, b ба c.Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн байна. Үүн шиг:

Дахин хэлэхэд яарах хэрэггүй! Талбай дээрх x-ийн урд байгаа хасах нь таныг үнэхээр гунигтай болгож чадна. Үүнийг мартах нь амархан ... Хасах зүйлээс сал. Яаж? Тиймээ, өмнөх сэдвээр заасны дагуу! Та бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:

Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүйгээр бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг бөглөж болно. Өөрөө хий. Та 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой.

Хоёр дахь хүлээн авалт.Үндэсийг шалгана уу! Вьетагийн теоремоор. Санаа зоволтгүй, би бүгдийг тайлбарлах болно! Шалгаж байна сүүлчийн зүйлтэгшитгэл. Тэдгээр. язгуурын томьёог бичсэн. Хэрэв (энэ жишээн дээрх шиг) коэффициент a = 1, үндсийг нь шалгах нь амархан. Тэднийг үржүүлэхэд хангалттай. Та үнэгүй гишүүн авах ёстой, өөрөөр хэлбэл. манай тохиолдолд -2. Анхаар, 2 биш, харин -2! Чөлөөт гишүүн миний тэмдгээр ... Хэрэв энэ нь ажиллахгүй байсан бол аль хэдийн хаа нэгтээ эвдэрсэн байна. Алдаа хайх. Хэрэв энэ нь үр дүнтэй бол та үндсийг нь нугалах хэрэгтэй. Сүүлийн ба эцсийн шалгалт. Та коэффициент авах хэрэгтэй бхамт эсрэг танил. Манай тохиолдолд -1 + 2 = +1. Мөн коэффициент бЭнэ нь x-ийн өмнөх -1. Тиймээс, бүх зүйл зөв байна!
Зөвхөн х квадрат нь цэвэр, коэффициенттэй жишээнүүдэд энэ нь маш энгийн байдаг нь харамсалтай a = 1.Гэхдээ ядаж ийм тэгшитгэлд шалгаарай! Алдаа бага байх болно.

Гурав дахь хүлээн авалт... Хэрэв таны тэгшитгэлд бутархай коэффициент байгаа бол бутархайг зайлуул! Өмнөх хэсэгт тайлбарласны дагуу тэгшитгэлийг нийтлэг хуваагчаар үржүүлнэ. Бутархайтай ажиллахад ямар нэг шалтгааны улмаас алдаа гарч ирдэг ...

Дашрамд хэлэхэд би муу жишээг олон тооны сул талуудаар хялбарчлахаа амласан. Гуйя! Энэ байна.

Хасах тал дээр төөрөлдөхгүйн тулд бид тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ. Бид авах:

Тэгээд л болоо! Шийдвэр гаргахад таатай байна!

Тиймээс сэдвийг тоймлон хэлье.

Практик зөвлөгөө:

1. Шийдвэрлэхийн өмнө бид квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, түүнийг байгуулна зөв.

2. Хэрэв квадрат дахь х-ийн урд сөрөг коэффициент байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь -1-ээр үржүүлж арилгана.

3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлж бутархайг арилгана.

4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг Виетийн теоремоор хялбархан баталж болно. Үүнийг хий!

Бутархай тэгшитгэл. ОДЗ.

Бид тэгшитгэлийг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байна. Шугаман болон квадрат тэгшитгэлтэй хэрхэн ажиллахыг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Сүүлийн харц хэвээр байна - бутархай тэгшитгэл... Эсвэл тэдгээрийг илүү хатуу гэж нэрлэдэг - бутархай рационал тэгшитгэл... Энэ ч мөн адил.

Бутархай тэгшитгэл.

Нэрнээс нь харахад эдгээр тэгшитгэлд фракцууд үргэлж байдаг. Гэхдээ зөвхөн бутархай биш, харин байгаа бутархай хуваарийн хувьд үл мэдэгдэх... Наад зах нь нэг. Жишээлбэл:

Хэрэв хуваагч нь зөвхөн агуулж байгаа бол гэдгийг сануулъя тоо, эдгээр нь шугаман тэгшитгэл юм.

Хэрхэн шийдэх вэ бутархай тэгшитгэл? Юуны өмнө бутархай хэсгүүдээс сал! Үүний дараа тэгшитгэл нь ихэвчлэн шугаман эсвэл квадрат болж хувирдаг. Дараа нь бид юу хийхээ мэддэг ... Зарим тохиолдолд энэ нь 5 = 5 гэх мэт ижил төстэй байдал, 7 = 2 гэх мэт буруу илэрхийлэл болж хувирдаг. Гэхдээ энэ нь ховор тохиолддог. Үүнийг би доор дурдъя.

Гэхдээ фракцаас хэрхэн ангижрах вэ !? Маш энгийн. Бүх ижил төстэй хувиргалтыг ашиглах.

Бид бүхэл тэгшитгэлийг ижил илэрхийллээр үржүүлэх хэрэгтэй. Ингэснээр бүх хуваагч багасна! Бүх зүйл нэг дор хялбар болно. Би жишээгээр тайлбарлая. Бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё:

Бага ангидаа яаж хичээл заадаг байсан бэ? Бид бүх зүйлийг нэг чиглэлд шилжүүлэх, нийтлэг хуваагч руу хүргэх гэх мэт. Муу зүүд шиг март! Бутархай илэрхийлэл нэмэх, хасах үед үүнийг хийх ёстой. Эсвэл тэгш бус байдалтай ажиллах. Тэгшитгэлд бид хоёр талыг нэн даруй бүх хуваагчийг (жишээ нь, нийтлэг хуваагчаар) багасгах боломжийг олгох илэрхийллээр үржүүлдэг. Мөн энэ илэрхийлэл юу вэ?

Зүүн талд, үржүүлж байна x + 2... Мөн баруун талд 2-оор үржүүлэх. Энэ нь тэгшитгэлийг үржүүлэх ёстой гэсэн үг юм 2 (x + 2)... Бид үржүүлдэг:

Энэ бол бутархайн ердийн үржвэр юм, гэхдээ би үүнийг нарийвчлан бичих болно.

Би хашилтыг хараахан тэлэхгүй байгааг анхаарна уу. (x + 2)! Тиймээс, би үүнийг бүхэлд нь бичиж байна:

Зүүн талд энэ нь бүхэлдээ буурсан байна (x + 2), баруун талд 2. Аль нь шаардлагатай! Буурсны дараа бид авдаг шугамантэгшитгэл:

Мөн хүн бүр энэ тэгшитгэлийг шийдэх болно! x = 2.

Өөр нэг жишээг шийдье, арай илүү төвөгтэй:

Хэрэв бид 3 = 3/1 гэдгийг санаж байвал 2х = 2х / 1, та бичиж болно:

Дахин бид үнэхээр дургүй зүйлээсээ салдаг - бутархай.

Х-тэй хуваагчийг хүчингүй болгохын тулд та бутархайг үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг бид харж байна (x - 2)... Цөөн хэдэн нь бидэнд саад болохгүй. За, бид үрждэг. Бүхэлзүүн тал ба бүхэлбаруун тал:

Дахин хаалт (x - 2)Би ил гаргахгүй байна. Би бүхэл бүтэн хаалттай, яг л нэг тоо юм шиг ажилладаг! Үүнийг үргэлж хийх ёстой, эс тэгвээс юу ч буурахгүй.

Гүн сэтгэл ханамжийн мэдрэмжээр бид таслав (x - 2)мөн бид ямар ч бутархайгүй тэгшитгэлийг захирагчаар авна!

Одоо бид хаалтуудыг нээнэ үү:

Бид ижил төстэй зүйлийг өгч, бүх зүйлийг зүүн тал руу шилжүүлж, дараахь зүйлийг авна.

Сонгодог квадрат тэгшитгэл. Гэхдээ өмнөх хасах нь сайн зүйл биш юм. Үүнийг -1-ээр үржүүлж, хуваах замаар үргэлж салж болно. Гэхдээ хэрэв та жишээг анхааралтай ажиглавал энэ тэгшитгэлийг -2-т хуваах нь дээр гэдгийг анзаарах болно! Нэг цохилтоор хасах нь алга болж, магадлал илүү сайхан болно! -2-т хуваана. Зүүн талд - нэр томъёогоор, баруун талд - тэгийг -2, тэгээр хувааж, дараахь зүйлийг авна.

Бид дискриминантаар шийдэж, Виетийн теоремоор шалгана. Бид авдаг x = 1 ба x = 3... Хоёр үндэс.

Таны харж байгаагаар эхний тохиолдолд хувиргасны дараах тэгшитгэл шугаман болсон боловч энд квадрат хэлбэртэй байна. Бутархай хэсгүүдээс салсны дараа бүх xes багасдаг. 5 = 5 шиг хэвээр байна. Энэ нь тийм гэсэн үг x ямар ч байж болно... Юу ч байсан багассаар л байх болно. Та 5 = 5 гэсэн үнэнийг олж авна. Гэхдээ бутархайг арилгасны дараа 2 = 7 гэх мэт бүрэн худал болж магадгүй юм. Энэ нь гэсэн үг шийдэл байхгүй! Ямар ч x-тэй бол энэ нь худал болж хувирдаг.

Гол шийдлийг ойлгосон бутархай тэгшитгэл? Энэ нь энгийн бөгөөд логик юм. Бид анхны илэрхийлэлийг өөрчилдөг тул бидний дургүй зүйл алга болдог. Эсвэл саад болдог. Энэ тохиолдолд эдгээр нь бутархай юм. Бид логарифм, синус болон бусад аймшгийн бүхий л төрлийн нарийн төвөгтэй жишээнүүдийг мөн адил хийх болно. Бид үргэлжбид энэ бүхнээс салах болно.

Гэсэн хэдий ч бид анхны илэрхийлэлийг шаардлагатай чиглэлд өөрчлөх хэрэгтэй. журмын дагуу, тийм ... Математикийн шалгалтанд бэлтгэх магистр. Тиймээс бид үүнийг эзэмшдэг.

Одоо бид аль нэгийг нь тойрч гарахыг сурах болно шалгалтын гол отолт! Гэхдээ эхлээд та үүнд орсон эсэхийг харцгаая, үгүй юу?

Энгийн жишээг харцгаая:

Асуудал аль хэдийн танил болсон тул бид хоёр хэсгийг үржүүлдэг (x - 2), бид авах:

Би танд сануулж байна, хаалттай (x - 2)Бид бүхэл бүтэн нэг илэрхийлэлтэй ажилладаг!

Энд би хуваагчдад 1 гэж бичихээ больсон, энэ нь утгагүй юм ... Мөн би хуваагчдад хаалт зураагүй x - 2юу ч байхгүй, чи зурах шаардлагагүй. Бид богиносгодог:

Бид хаалтуудыг нээж, бүх зүйлийг зүүн тийш шилжүүлж, ижил төстэй зүйлийг өгнө.

Бид шийддэг, шалгадаг, бид хоёр үндэс авдаг. x = 2болон x = 3... Сайн байна.

Даалгавар нь нэгээс олон язгуур байвал язгуур буюу тэдгээрийн нийлбэрийг бичнэ гэж хэлсэн гэж бодъё. Бид юу бичих гэж байна?

Хэрэв та хариултыг 5 гэж шийдсэн бол та отож байсан... Мөн таны даалгаварыг тооцохгүй. Тэд дэмий л ажилласан ... Зөв хариулт 3.

Юу болсон бэ?! Мөн та чек хийхийг оролддог. Үл мэдэгдэх утгыг орлуул эхжишээ. Мөн хэрэв байгаа бол x = 3Бүх зүйл бидэнтэй хамт гайхалтай өсөх болно, бид 9 = 9, дараа нь хамт авна x = 2тэгээр хуваах! Юуг ангилж болохгүй. гэсэн үг x = 2шийдэл биш бөгөөд хариултанд харгалзаагүй болно. Энэ нь гадны эсвэл нэмэлт үндэс гэж нэрлэгддэг. Бид зүгээр л хаячихна. Эцсийн үндэс нь нэг юм. x = 3.

Яаж тийм ?! - Би уур уцаартай дуу хоолойг сонсдог. Тэгшитгэлийг илэрхийллээр үржүүлж болно гэж бидэнд заасан! Энэ бол адилхан өөрчлөлт юм!

Тийм ээ, адилхан. Жижиг нөхцөлтэйгээр - бидний үржүүлэх (хуваах) илэрхийлэл - тэг биш... А x - 2цагт x = 2тэгтэй тэнцүү байна! Тиймээс бүх зүйл шударга байна.

Тэгээд одоо би юу хийж чадах вэ?! Илэрхийлэлээр үржүүлж болохгүй гэж үү? Та байнга шалгах шаардлагатай юу? Дахин хэлэхэд тодорхойгүй байна!

Тайван! Бүү сандар!

Энэ хүнд нөхцөлд гурван шидэт үсэг биднийг аварна. Би чиний юу бодож байгааг мэдэж байна. Зөв! тэр ОДЗ ... Зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээ.