Үндэслэл нь ижил түвшинд байна. Өөр өөр суурьтай градусыг үржүүлэх дүрэм. Өргөтгөх
Хэрэв та тодорхой тоог хүч болгон нэмэгдүүлэх шаардлагатай бол үүнийг ашиглаж болно. Тэгээд одоо бид энэ талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих болно зэрэглэлийн шинж чанарууд.
Экспоненциал тоонуудасар их боломжийг нээж өгч байгаа нь үржүүлгийг нэмэх болгон хувиргах боломжийг олгодог бөгөөд нэмэх нь үржүүлэхээс хамаагүй хялбар юм.
Жишээлбэл, бид 16 -г 64 -аар үржүүлэх хэрэгтэй. Эдгээр хоёр тооны үржвэрийн үржвэр нь 1024. Харин 16 нь 4x4, 64 нь 4x4x4 байна. Энэ нь 16 -аас 64 = 4x4x4x4x4 бөгөөд энэ нь бас 1024 юм.
16 тоог мөн 2x2x2x2, 64 -ийг 2x2x2x2x2x2 гэж дүрсэлж болох бөгөөд хэрэв бид үржүүлэх юм бол дахиад 1024 авна.
Одоо дүрмийг ашиглая. 16 = 4 2, эсвэл 2 4, 64 = 4 3, эсвэл 2 6, нэгэн зэрэг 1024 = 6 4 = 4 5, эсвэл 2 10.
Тиймээс бидний асуудлыг өөрөөр бичиж болно: 4 2 x4 3 = 4 5 эсвэл 2 4 x2 6 = 2 10, мөн бид 1024 авах бүрт.
Бид үүнтэй төстэй хэд хэдэн жишээг шийдэж, тоог хүчээр үржүүлэх нь буурч байгааг харж болно экспонент нэмэх, эсвэл экспоненциаль нь мэдээж хүчин зүйлсийн суурь тэнцүү байх ёстой.
Тиймээс үржүүлэхгүйгээр бид 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20 гэж шууд хэлж болно.
Энэ дүрмийг тоонуудыг хүчээр хуваахад бас үнэн боловч энэ тохиолдолд e ногдол ашгийн экспонентоос хуваагчийн экспонентийг хасна... Тиймээс 2 5: 2 3 = 2 2, энгийн тоогоор 32: 8 = 4, өөрөөр хэлбэл 2 2 байна. Дүгнэж хэлье:
a m х a n = a m + n, a m: a n = a m-n, энд m ба n нь бүхэл тоо юм.
Эхлээд харахад энэ нь юу юм шиг санагдаж магадгүй юм тоонуудыг хүчээр үржүүлэх, хуваахтийм ч тохиромжтой биш, учир нь та эхлээд тоог экспоненциал хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй. 8 ба 16 тоонуудыг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх нь тийм ч хэцүү биш, өөрөөр хэлбэл 2 3 ба 2 4, гэхдээ үүнийг 7, 17 тоонуудаар хэрхэн яаж хийх вэ? Эсвэл тоог экспоненциал хэлбэрээр дүрсэлж болох боловч яах вэ, тоонуудын экспоненциал илэрхийллийн үндэс нь маш өөр юм. Жишээлбэл, 8 × 9 нь 2 3 × 3 2 бөгөөд энэ тохиолдолд бид экспонентыг нэгтгэж чадахгүй. 2 5 эсвэл 3 5 аль аль нь хариулт биш бөгөөд хариулт нь эдгээр хоёр тооны хоорондох интервалд байдаггүй.
Тэгвэл энэ аргыг огт санаа зовох нь зүйтэй болов уу? Мэдээжийн хэрэг үнэ цэнэтэй юм. Энэ нь асар их ашиг тусыг өгдөг, ялангуяа нарийн төвөгтэй, цаг хугацаа шаардсан тооцооллын хувьд.
Та градусыг хэрхэн үржүүлэх вэ? Аль градусыг үржүүлэх боломжтой, аль нь боломжгүй вэ? Тоог градусаар хэрхэн үржүүлэх вэ?
Алгебрийн хувьд градусын бүтээгдэхүүнийг хоёр тохиолдолд олж болно.
1) хэрэв зэрэг нь ижил суурьтай бол;
2) хэрэв зэрэг нь ижил үзүүлэлттэй байвал.
Ижил суурьтай градусыг үржүүлэхдээ суурийг ижилхэн үлдээж, индикаторуудыг нэмж оруулах ёстой.
Ижил үзүүлэлтээр градусыг үржүүлэхдээ нийт үзүүлэлтийг хаалтнаас гаргаж болно.
Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан градусыг хэрхэн үржүүлэх талаар авч үзье.
Экспонентын нэгжийг бичээгүй боловч градусыг үржүүлэхдээ дараахь зүйлийг харгалзан үзнэ.
Үржүүлэхдээ градусын тоо ямар ч байж болно. Та үсгийн өмнө үржүүлэх тэмдгийг бичих шаардлагагүй гэдгийг санах нь зүйтэй.
Илэрхийлэлд экспонентацийг эхлээд гүйцэтгэдэг.
Хэрэв та тоог хүчээр үржүүлэх шаардлагатай бол эхлээд экспонентацийг хийж, дараа нь үржүүлэх хэрэгтэй.
www.algebraclass.ru
Хүч нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах
Эрх мэдлийг нэмэх, хасах
Мэдээжийн хэрэг, бусад тоонуудын нэгэн адил эрх мэдэлтэй тоог нэмж болно , тэмдгүүдийг нь нэг нэгээр нь нэмж оруулаарай.
Тиймээс 3 ба b 2 -ийн нийлбэр нь 3 + b 2 байна.
3 - b n ба h 5 -d 4 -ийн нийлбэр нь 3 - b n + h 5 - d 4 байна.
Магадлал ижил хувьсагчдын ижил зэрэгнэмэх эсвэл хасах боломжтой.
Тиймээс 2a 2 ба 3a 2 -ийн нийлбэр нь 5a 2 байна.
Хэрэв та хоёр квадрат a, гурван квадрат a, эсвэл таван квадрат a авах юм бол бас тодорхой байна.
Гэхдээ зэрэг өөр өөр хувьсагчидба янз бүрийн зэрэгтэй ижил хувьсагчид, тэмдгээр нь нэмж оруулах ёстой.
Тиймээс, 2 ба 3 -ийн нийлбэр нь 2 + a 3 -ийн нийлбэр болно.
A -ийн квадрат ба a -ийн куб нь a -ийн квадратаас хоёр дахин их биш, харин a -ийн кубаас хоёр дахин их байх нь тодорхой байна.
3 b n ба 3a 5 b 6 -ийн нийлбэр нь 3 b n + 3a 5 b 6 байна.
Хасахградусыг хасах тэмдгийг зохих ёсоор өөрчлөх ёстойг эс тооцвол нэмэлтийн нэгэн адил гүйцэтгэнэ.
Эсвэл:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3цаг 2б 6 - 4ц 2б 6 = -ц 2 б 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Зэрэглэлийг үржүүлэх
Эрх мэдэлтэй тоонуудыг бусад хэмжигдэхүүнүүдийн нэгэн адил ар араас нь бичих замаар үржүүлэх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн хооронд үржүүлгийн тэмдэг байх ёстой.
Тиймээс 3 -ыг b 2 -оор үржүүлэх үр дүн нь 3 b 2 эсвэл aaabb юм.
Эсвэл:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Сүүлийн жишээн дээрх үр дүнг ижил хувьсагчдыг нэмж захиалж болно.
Илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна: a 5 b 5 y 3.
Эрх мэдэлтэй хэд хэдэн тоог (хувьсагч) харьцуулснаар тэдгээрийн аль нэгийг нь үржүүлбэл үр дүн нь тэнцүү чадалтай тоо (хувьсагч) болохыг харж болно. нийлбэрнэр томъёоны зэрэг.
Тэгэхээр, 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
Энд 5 бол үржүүлгийн үр дүнгийн хүч бөгөөд 2 + 3 -тэй тэнцүү, нэр томъёоны эрх мэдлийн нийлбэр юм.
Тиймээс, a n .a m = a m + n.
A n -ийн хувьд a -г n -ийн хүч тэнцүү байхын хэрээр олон дахин их хүчин зүйл болгон авдаг;
Мөн m -ийг m -ийн хүч шиг олон удаа хүчин зүйл болгон авдаг;
Тийм ч учраас, ижил иштэй градусыг экспонентуудыг нэмж үржүүлж болно.
Тэгэхээр 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8 байна. Мөн x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Эсвэл:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Үржүүлэх (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Хариулт: x 4 - y 4.
Үржүүлэх (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Энэ дүрэм нь экспонентууд байгаа тоонуудын хувьд мөн адил хамаарна. сөрөг.
1. Тэгэхээр, a -2 .a -3 = a -5. Үүнийг (1 / аа) гэж бичиж болно. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n -m.
3.a -n .a m = a m -n.
Хэрэв a + b -ийг a - b -ээр үржүүлбэл үр дүн нь 2 - b 2: өөрөөр хэлбэл
Хоёр тооны нийлбэр эсвэл ялгааг үржүүлэх үр дүн нь тэдний квадратуудын нийлбэр эсвэл зөрүүтэй тэнцүү байна.
Хэрэв хоёр тооны нийлбэр ба зөрүүг өсгөвөл дөрвөлжин, үр дүн нь эдгээр тоонуудын нийлбэр эсвэл зөрүүтэй тэнцүү байх болно дөрөв дэхзэрэг.
Тиймээс, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Зэрэглэл хуваах
Эрчим хүчний тоонуудыг бусад тоонуудын нэгэн адил хуваагчаас хасах эсвэл бутархай хэлбэрээр байрлуулах замаар хувааж болно.
Тиймээс a 3 b 2 -ийг b 2 -т хуваасан нь 3 -тай тэнцүү байна.
5 -ыг 3 -т хуваасан нь $ \ frac шиг харагдаж байна Доллар. Гэхдээ энэ нь 2 -тэй тэнцүү юм. Цуврал тоон хэлбэрээр
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
дурын тоог өөр тоогоор хувааж болох бөгөөд экспонент нь тэнцүү болно ялгаахуваагдах тоонуудын төлөөлөгчид.
Ижил суурьтай градусыг хуваахдаа тэдгээрийн үзүүлэлтийг хасна..
Тиймээс, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Энэ бол $ \ frac = y $.
Мөн n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Энэ нь $ \ frac = a ^ n $ гэсэн үг юм.
Эсвэл:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Дүрэм нь тоонуудын хувьд мөн адил үнэн юм сөрөгзэрэглэлийн утгууд.
-5 -ийг а -3 -д хуваах үр дүн нь -2 болно.
Мөн $ \ frac: \ frac = \ frac. \ Frac = \ frac = \ frac $.
h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 эсвэл $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $
Алгебрт ийм үйлдлүүдийг маш өргөн ашигладаг тул градусын үржүүлэх, хуваах ажлыг маш сайн эзэмшсэн байх шаардлагатай.
Эрх мэдэлтэй тоо агуулсан бутархайтай жишээг шийдвэрлэх жишээ
1. $ \ frac $ дахь экспонентуудыг багасгах Хариулт: $ \ frac $.
2. $ \ frac $ -р экспонентуудыг багасгах. Хариулт: $ \ frac $ эсвэл 2x.
3. 2 / a 3 ба a -3 / a -4 экспонентуудыг бууруулж, нийтлэг хуваагч руу авчир.
a 2 .a -4 бол -2 анхны тоологч юм.
a 3 .a -3 нь 0 = 1, хоёр дахь тоологч юм.
a 3 .a -4 бол -1, нийтлэг тоологч юм.
Хялбаршуулсны дараа: a -2 / a -1 ба 1 / a -1.
4. 2a 4 / 5a 3 ба 2 / a 4 экспонентуудыг багасгаж, нийтлэг хуваагч руу авчирна.
Хариулт: 2a 3 / 5a 7 ба 5a 5 / 5a 7 эсвэл 2a 3 / 5a 2 ба 5 / 5a 2.
5. (a 3 + b) / b 4 -ийг (a - b) / 3 -аар үржүүлэх.
6. (a 5 + 1) / x 2 -г (b 2 - 1) / (x + a) -р үржүүлэх.
7. b 4 / a -2 -ийг h -3 / x ба n / y -3 -аар үржүүлнэ.
8. 4 / y 3 -ийг 3 / y 2 -т хуваана. Хариулт: a / y.
Зэрэг шинж чанарууд
Энэ хичээлийг ойлгож байгааг бид танд сануулж байна хүчний шинж чанаруудбайгалийн үзүүлэлт ба тэг. Рационал зэрэг ба тэдгээрийн шинж чанарыг 8 -р ангийн хичээлээр авч үзэх болно.
Байгалийн экспонент нь экспонентын жишээн дээр тооцоолоход хялбар болгодог хэд хэдэн чухал шинж чанартай байдаг.
Үл хөдлөх хөрөнгийн дугаар 1
Зэрэглэлийн бүтээгдэхүүн
Ижил суурьтай градусыг үржүүлэхдээ суурь нь өөрчлөгдөөгүй бөгөөд экспонентуудыг нэмнэ.
a m · a n = a m + n, энд "a" нь дурын тоо, "m", "n" нь натурал тоо юм.
Зэрэглэлийн энэ шинж чанар нь гурав ба түүнээс дээш градусын бүтээгдэхүүнд нөлөөлдөг.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
Энэ өмч хөрөнгийн хувьд зөвхөн ижил үндэслэл бүхий эрх мэдлийг үржүүлэх тухай байсан гэдгийг анхаарна уу.... Энэ нь тэдний нэмэгдэлд хамаарахгүй.
Та дүнг (3 3 + 3 2) 3 5 -аар сольж болохгүй. Хэрэв энэ нь ойлгомжтой бол
тоолох (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, 3 5 = 243
Үл хөдлөх хөрөнгийн дугаар 2
Хувийн зэрэг
Ижил суурьтай градусыг хуваахад суурь нь өөрчлөгдөөгүй бөгөөд хуваах хэсгийн экспонентийг ногдол ашгийн экспонентаас хасна.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Жишээ. Тэгшитгэлийг шийднэ үү. Бид хувийн зэрэгтэй өмчийг ашигладаг.
3 8: t = 3 4
Хариулт: t = 3 4 = 81
# 1 ба # 2 шинж чанарыг ашиглан та илэрхийллийг хялбарчилж, тооцоолол хийх боломжтой.
- Жишээ. Илэрхийллийг хялбарчлах.
4 5м + 6 4 м + 2: 4 4м + 3 = 4 5м + 6 + м + 2: 4 4м + 3 = 4 6м + 8 - 4м - 3 = 4 2м + 5
Жишээ. Зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн утгыг ол.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
2 -р өмч нь зөвхөн ижил суурьтай градус хуваах тухай байсан гэдгийг анхаарна уу.
Та ялгааг (4 3 -4 2) 4 1 -ээр сольж болохгүй. Хэрэв бид (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48, 4 1 = 4 гэж тооцвол энэ нь ойлгомжтой болно.
Үл хөдлөх хөрөнгийн дугаар 3
Өргөтгөх
Албан тушаалын зэрэг дэвийг дээшлүүлэхэд зэрэглэлийн суурь нь өөрчлөгдөхгүй бөгөөд экспонентууд нь үржигддэг.
(a n) m = a n · m, энд "a" нь дурын тоо, "m", "n" нь натурал тоо юм.
Бусад зэрэг шинж чанаруудын адил 4 -р шинж чанарыг урвуу дарааллаар ашигладаг болохыг анхаарна уу.
(a n b n) = (a b) n
Өөрөөр хэлбэл, ижил үзүүлэлттэй градусыг үржүүлэхийн тулд та суурийг үржүүлж, экспонентийг өөрчлөхгүйгээр үлдээж болно.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
Илүү төвөгтэй жишээнүүдэд үржүүлэх, хуваах ажлыг янз бүрийн суурь, өөр өөр үзүүлэлттэй градусаар гүйцэтгэх ёстой тохиолдол байж болно. Энэ тохиолдолд бид дараах байдлаар үргэлжлүүлэхийг зөвлөж байна.
Жишээлбэл, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Аравтын бутархай руу шилжих жишээ.
4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Үл хөдлөх хөрөнгө 5
Хуваарийн зэрэг (фракц)
Аливаа эрх мэдлийг нэмэгдүүлэхийн тулд та тус тусад нь ногдол ашиг, хуваагуур гаргаж, эхний үр дүнг хоёрдугаарт хувааж болно.
(a: b) n = a n: b n, энд “a”, “b” нь аливаа рационал тоонууд, b ≠ 0, n нь дурын натурал тоо юм.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Хэсгийг бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болохыг танд сануулж байна. Тиймээс бид дараагийн хуудсан дээр бутархайг хүч болгон нэмэгдүүлэх сэдвийг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.
Зэрэг ба үндэс
Эрх мэдэл, үндэстэй үйл ажиллагаа. Сөрөг зэрэгтэй ,
тэг ба бутархай үзүүлэлт. Утгагүй үг хэллэгийн талаар.
Зэрэг зэрэгтэй үйл ажиллагаа.
1. Нэг баазтай градусыг үржүүлэхдээ тэдгээрийн үзүүлэлтүүдийг нэмнэ.
а м · a n = a m + n.
2. Ижил баазтай градусыг хуваахад тэдгээрийн үзүүлэлтүүд хассан .
3. Хоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн үржвэрийн зэрэг нь эдгээр хүчин зүйлүүдийн зэрэглэлийн үржвэртэй тэнцүү байна.
4. Харьцааны (фракцын) зэрэг нь ногдол ашиг (хуваарилагч) ба хуваагч (хуваагч) зэрэглэлийн харьцаатай тэнцүү байна.
(a / b) n = a n / b n.
5. Зэрэг цолыг дээшлүүлэхдээ тэдгээрийн үзүүлэлтийг үржүүлнэ.
Дээрх бүх томъёог зүүнээс баруун тийш хоёр чиглэлд уншиж, гүйцэтгэдэг.
ЖИШЭЭ (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .
Үндэс үйл ажиллагаа. Доорх бүх томъёонд тэмдэг нь гэсэн утгатай арифметик үндэс(радикал илэрхийлэл эерэг байна).
1. Хэд хэдэн хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүний үндэс нь эдгээр хүчин зүйлсийн язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.
2. Харьцааны үндэс нь ногдол ашиг ба хуваагчийн үндэс харьцаатай тэнцүү байна.
3. Эрх мэдэлд үндэс сууриа дээшлүүлэхдээ энэ эрх мэдэлд хүрэхэд л хангалттай root дугаар:
4. Хэрэв бид язгуурын түвшинг m дахин нэмэгдүүлж, радикал тоог m-р хүчин чадалд хүргэвэл язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй болно.
5. Хэрэв бид язгуурын түвшинг m дахин бууруулж, үүний зэрэгцээ m -р зэргийн язгуурыг радикал тооноос гаргаж авбал үндсийн утга өөрчлөгдөхгүй болно.
Зэрэглэлийн тухай ойлголтыг өргөжүүлэх. Одоогийн байдлаар бид зөвхөн байгалийн экспонентоор зэрэглэлийг авч үзсэн; гэхдээ хүч чадал, үндэстэй үйлдэл нь мөн хүргэж болно сөрөг, тэгба бутархайүзүүлэлтүүд. Эдгээр бүх зэрэглэлийн үзүүлэлтүүд нь нэмэлт тодорхойлолт шаарддаг.
Сөрөг экспонент зэрэгтэй. Сөрөг (бүхэл тоо) экспонент бүхий тооны хүчийг сөрөг экспонентын үнэмлэхүй утгатай тэнцүү экспонент бүхий ижил тооны хүчээр хуваасан нэгж гэж тодорхойлно.
Одоо томъёо а м : a n = a m - nзориулалтаар ашиглаж болохгүй м-ээс их n, гэхдээ бас мээс бага n .
ЖИШЭЭ a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Хэрэв бид томъёог хүсч байвал а м : a n = а м — nхэзээ шударга байсан m = n, бидэнд тэг зэрэглэлийн тодорхойлолт хэрэгтэй байна.
Тэг зэрэг. Экспонент тэгтэй ямар ч тэгээс өөр тооны хүч 1 байна.
ЖИШЭЭ 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Бутархай экспонент. Бодит a тоог m / n-ийн хэмжээнд хүргэхийн тулд та энэ тооны m-р хүчний n-р үндсийг гаргаж авах хэрэгтэй:
Утгагүй үг хэллэгийн талаар. Ийм хэд хэдэн илэрхийлэл байдаг.
хаана a ≠ 0 , байдаггүй.
Үнэхээр тэгж бодож үзвэл x- зарим тоо, дараа нь хуваах ажиллагааны тодорхойлолтын дагуу бидэнд байна: a = 0· x, өөрөөр хэлбэл a= 0, энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна: a ≠ 0
— дурын тоо.
Үнэхээр, хэрэв бид энэ илэрхийлэл нь зарим тоонуудтай тэнцүү гэж үзвэл x, дараа нь хуваах үйл ажиллагааны тодорхойлолтын дагуу бидэнд: 0 = 0 байна x... Гэхдээ энэ тэгш байдлыг хангах ёстой дурын тоо x, шаардлагын дагуу.
0 0 — дурын тоо.
Шийдэл. Гурван үндсэн тохиолдлыг авч үзье.
1) x = 0 – энэ утга нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангахгүй байна
2) үед x> 0 бид авах болно: x / x= 1, өөрөөр хэлбэл 1 = 1, үүнээс үүдэлтэй
юу x- дурын тоо; гэхдээ үүнийг харгалзан үзнэ
бидний хэрэг x> 0, хариулт нь ийм байна x > 0 ;
Өөр өөр радиустай градусыг үржүүлэх дүрэм
ҮНДЭСЛЭЛИЙН ТОДОРХОЙЛОЛТОЙ ЗЭРЭГ,
ЗЭРЭГИЙН ҮҮРЭГ IV
§ 69. Ижил баазтай градусыг үржүүлэх, хуваах
Теорем 1.Ижил суурьтай градусыг үржүүлэхийн тулд экспонентуудыг нэмж, суурийг хэвээр нь үлдээхэд л хангалттай
Баталгаа.Зэрэглэлийн тодорхойлолтоор
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Бид хоёр градусын бүтээгдэхүүнийг авч үзсэн. Үнэндээ нотлогдсон өмч нь ижил суурьтай хэд хэдэн градусын хувьд үнэн юм.
Теорем 2.Ижил үндэслэлтэй эрх мэдлийг хуваахын тулд ногдол ашгийн индекс нь хуваагчийн индексээс их байх үед ногдол ашгийн индексээс хуваагчийн индексийг хасаад суурийг хэвээр нь үлдээхэд хангалттай. -д m> n
(a =/= 0)
Баталгаа.Нэг тооноос нөгөөд хуваах коэффициент нь хуваагчаар үржүүлэхэд ногдол ашиг өгдөг тоо гэдгийг санаарай. Тиймээс томъёог хаана байгааг нотлох хэрэгтэй a = / = 0, энэ нь томъёог батлахтай адил юм
Хэрэв m> n , дараа нь тоо t - n байгалийн байх болно; Тиймээс теорем 1 -ийн дагуу
Теорем 2 батлагдсан.
Томъёо гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй
гэсэн таамаглалын дагуу л бидэнд нотлогдсон m> n ... Тиймээс нотлогдсон зүйлээс дараахь дүгнэлтийг гаргах боломжгүй юм.
Нэмж дурдахад бид сөрөг үзүүлэлттэй градусыг хараахан тооцоогүй байгаа бөгөөд 3 -р илэрхийлэлд ямар утгатай болохыг хараахан мэдээгүй байна. - 2 .
Теорем 3. Эрх мэдлийг эрх мэдэлд хүргэхийн тулд индикаторуудыг үржүүлж, хүч чадлын суурийг хэвээр үлдээхэд хангалттай, тэр бол
Баталгаа.Энэ хэсгийн зэрэг ба теорем 1 -ийн тодорхойлолтыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Q.E.D.
Жишээлбэл, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Амаар.) Тодорхойлох NS тэгшитгэлээс:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (U st n about.) Хялбарчлахын тулд:
520. Хялбарчлахын тулд:
521. Эдгээр илэрхийлэлийг ижил суурьтай зэрэг хэлбэрээр илэрхийлнэ.
1) 32 ба 64; 3) 8 5 ба 16 3; 5) 4 100 ба 32 50;
2) -1000 ба 100; 4) -27 ба -243; 6) 81 75 8 200 ба 3 600 4 150.
Мэдээжийн хэрэг, бусад тоонуудын нэгэн адил эрх мэдэлтэй тоог нэмж болно , тэмдгүүдийг нь нэг нэгээр нь нэмж оруулаарай.
Тиймээс 3 ба b 2 -ийн нийлбэр нь 3 + b 2 байна.
3 - b n ба h 5 -d 4 -ийн нийлбэр нь 3 - b n + h 5 - d 4 байна.
Магадлал ижил хувьсагчдын ижил зэрэгнэмэх эсвэл хасах боломжтой.
Тиймээс 2a 2 ба 3a 2 -ийн нийлбэр нь 5a 2 байна.
Хэрэв та хоёр квадрат a, гурван квадрат a, эсвэл таван квадрат a авах юм бол бас тодорхой байна.
Гэхдээ зэрэг өөр өөр хувьсагчидба янз бүрийн зэрэгтэй ижил хувьсагчид, тэмдгээр нь нэмж оруулах ёстой.
Тиймээс, 2 ба 3 -ийн нийлбэр нь 2 + a 3 -ийн нийлбэр болно.
A -ийн квадрат ба a -ийн куб нь a -ийн квадратаас хоёр дахин их биш, харин a -ийн кубаас хоёр дахин их байх нь тодорхой байна.
3 b n ба 3a 5 b 6 -ийн нийлбэр нь 3 b n + 3a 5 b 6 байна.
Хасахградусыг хасах тэмдгийг зохих ёсоор өөрчлөх ёстойг эс тооцвол нэмэлтийн нэгэн адил гүйцэтгэнэ.
Эсвэл:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3цаг 2б 6 - 4ц 2б 6 = -ц 2 б 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Зэрэглэлийг үржүүлэх
Эрх мэдэлтэй тоонуудыг бусад хэмжигдэхүүнүүдийн нэгэн адил ар араас нь бичих замаар үржүүлэх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн хооронд үржүүлгийн тэмдэг байх ёстой.
Тиймээс 3 -ыг b 2 -оор үржүүлэх үр дүн нь 3 b 2 эсвэл aaabb юм.
Эсвэл:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Сүүлийн жишээн дээрх үр дүнг ижил хувьсагчдыг нэмж захиалж болно.
Илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна: a 5 b 5 y 3.
Эрх мэдэлтэй хэд хэдэн тоог (хувьсагч) харьцуулснаар тэдгээрийн аль нэгийг нь үржүүлбэл үр дүн нь тэнцүү хэмжээтэй тоо (хувьсагч) болохыг харж болно. нийлбэрнэр томъёоны зэрэг.
Тэгэхээр, 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
Энд 5 бол үржүүлгийн үр дүнгийн хүч бөгөөд 2 + 3 -тэй тэнцүү, нэр томъёоны эрх мэдлийн нийлбэр юм.
Тиймээс, a n .a m = a m + n.
A n -ийн хувьд a -г n -ийн хүч тэнцүү байхын хэрээр олон дахин их хүчин зүйл болгон авдаг;
Мөн m -ийг m -ийн хүч шиг олон удаа хүчин зүйл болгон авдаг;
Тийм ч учраас, ижил иштэй градусыг экспонентуудыг нэмж үржүүлж болно.
Тэгэхээр 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8 байна. Мөн x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Эсвэл:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Үржүүлэх (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Хариулт: x 4 - y 4.
Үржүүлэх (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Энэ дүрэм нь экспонентууд байгаа тоонуудын хувьд мөн адил хамаарна. сөрөг.
1. Тэгэхээр, a -2 .a -3 = a -5. Үүнийг (1 / аа) гэж бичиж болно. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n -m.
3.a -n .a m = a m -n.
Хэрэв a + b -ийг a - b -ээр үржүүлбэл үр дүн нь 2 - b 2: өөрөөр хэлбэл
Хоёр тооны нийлбэр эсвэл ялгааг үржүүлэх үр дүн нь тэдний квадратуудын нийлбэр эсвэл зөрүүтэй тэнцүү байна.
Хэрэв хоёр тооны нийлбэр ба зөрүүг өсгөвөл дөрвөлжин, үр дүн нь эдгээр тоонуудын нийлбэр эсвэл зөрүүтэй тэнцүү байх болно дөрөв дэхзэрэг.
Тиймээс, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Зэрэглэл хуваах
Эрчим хүчний тоонуудыг бусад тоонуудын нэгэн адил хуваагчаас хасах эсвэл бутархай хэлбэрээр байрлуулах замаар хувааж болно.
Тиймээс a 3 b 2 -ийг b 2 -т хуваасан нь 3 -тай тэнцүү байна.
Эсвэл:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) ( - 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $
5 -ыг 3 -т хуваасан нь $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $ шиг харагдаж байна. Гэхдээ энэ нь 2 -тэй тэнцүү юм. Цуврал тоон хэлбэрээр
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
дурын тоог өөр тоогоор хувааж болох ба экспонент нь тэнцүү болно ялгаахуваагдах тоонуудын төлөөлөгчид.
Ижил суурьтай градусыг хуваахдаа тэдгээрийн үзүүлэлтийг хасна..
Тиймээс, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Энэ бол $ \ frac (yyy) (yy) = y $.
Мөн n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Энэ бол $ \ frac (a ^ n) (a) = a ^ n $.
Эсвэл:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Дүрэм нь тоонуудын хувьд мөн адил үнэн юм сөрөгзэрэглэлийн утгууд.
-5 -ийг а -3 -д хуваах үр дүн нь -2 болно.
Мөн $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (аа) $.
h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 эсвэл $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $
Алгебрт ийм үйлдлүүдийг маш өргөн ашигладаг тул градусын үржүүлэх, хуваах ажлыг маш сайн эзэмшсэн байх шаардлагатай.
Эрх мэдэлтэй тоо агуулсан бутархайтай жишээг шийдвэрлэх жишээ
1. $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ дахь экспонентыг багасгах Хариулт: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.
2. $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $ дахь экспонентыг бууруулна уу. Хариулт: $ \ frac (2x) (1) $ эсвэл 2x.
3. 2 / a 3 ба a -3 / a -4 экспонентуудыг бууруулж, нийтлэг хуваагч руу авчир.
a 2 .a -4 бол -2 анхны тоологч юм.
a 3 .a -3 нь 0 = 1, хоёр дахь тоологч юм.
a 3 .a -4 бол -1, нийтлэг тоологч юм.
Хялбаршуулсны дараа: a -2 / a -1 ба 1 / a -1.
4. 2a 4 / 5a 3 ба 2 / a 4 экспонентуудыг бууруулж, нийтлэг хуваагч руу авчир.
Хариулт: 2a 3 / 5a 7 ба 5a 5 / 5a 7 эсвэл 2a 3 / 5a 2 ба 5 / 5a 2.
5. (a 3 + b) / b 4 -ийг (a - b) / 3 -аар үржүүлэх.
6. (a 5 + 1) / x 2 -г (b 2 - 1) / (x + a) -р үржүүлэх.
7. b 4 / a -2 -ийг h -3 / x ба n / y -3 -аар үржүүлнэ.
8. 4 / y 3 -ийг 3 / y 2 -т хуваана. Хариулт: a / y.
9. (h 3 - 1) / d 4 -ийг (d n + 1) / h болгон хуваана.
Хичээлийн агуулгаЗэрэг гэж юу вэ?
Зэрэгхэд хэдэн ижил хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл:
2 × 2 × 2
Энэ илэрхийллийн утга нь 8 байна
2 × 2 × 2 = 8
Энэ тэгш байдлын зүүн талыг богиносгож болно - эхлээд давтагдсан коэффициентийг бичээд хэдэн удаа давтаж байгааг дээр нь зааж өгнө үү. Энэ тохиолдолд давтагдах хүчин зүйл нь 2. Энэ нь гурван удаа давтагдана. Тиймээс, хоёр дээр бид гурвыг бичдэг.
2 3 = 8
Энэ илэрхийлэл дараах байдалтай байна. хоёроос гурав дахь хүч нь наймтай тэнцдэг " эсвэл " 2 -ийн гурав дахь хүч нь 8 "юм.
Ижил хүчин зүйлсийг үржүүлэх богино хэлбэрийн тэмдэглэгээг илүү их ашигладаг. Тиймээс, хэрэв тодорхой тооны дээр өөр дугаар бичсэн бол энэ нь хэд хэдэн ижил хүчин зүйлийг үржүүлэх явдал гэдгийг бид санах ёстой.
Жишээлбэл, хэрэв 5 3 гэсэн илэрхийлэл өгөгдсөн бол энэ илэрхийлэл нь 5 × 5 × 5 гэсэн хэмжээтэй тэнцүү гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.
Давтагдсан тоог дууддаг суурь зэрэг... 5 3 илэрхийлэлд хүчний үндэс нь 5 тоо юм.
5 -р тоон дээр бичигдсэн дугаарыг дууддаг экспонент... 5 3 илэрхийлэлд экспонент нь 3 тоо юм. Экспонент нь экспонентын суурийг хэдэн удаа давтаж байгааг харуулдаг. Манай тохиолдолд 5 -р суурийг гурван удаа давтана.
Ижил хүчин зүйлсийг үржүүлэх үйлдлийг өөрөө нэрлэдэг экспоненци.
Жишээлбэл, хэрэв та тус бүр нь 2 -той тэнцүү дөрвөн ижил хүчин зүйл бүхий бүтээгдэхүүнийг олох шаардлагатай бол 2 -р тоо гэж хэлдэг. дөрөвдүгээр зэрэгт өргөж байна:
Дөрөв дэх хүчний 2 дугаар нь 16 тоо болохыг бид харж байна.
Энэ хичээл дээр бид авч үзэх болно гэдгийг анхаарна уу байгалийн экспонент... Энэ бол экспонентын нэг төрөл бөгөөд натурал тоо юм. Бүхэл тоонууд нь тэгээс их байгалийн тоонууд гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, 1, 2, 3 гэх мэт.
Ерөнхийдөө байгалийн үзүүлэлт бүхий зэрэглэлийн тодорхойлолт дараах байдалтай байна.
Зэрэг aбайгалийн үзүүлэлтээр nЭнэ бол хэлбэрийн илэрхийлэл юм a n, энэ нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна nхүчин зүйл, тус бүр нь тэнцүү байна a
Жишээ:
Албан тушаалын тоог нэмэгдүүлэхдээ болгоомжтой байх хэрэгтэй. Ихэнхдээ анхааралгүй байдлаас болж хүн зэрэглэлийн суурийг экспонентоор үржүүлдэг.
Жишээлбэл, хоёр дахь хүчний 5 тоо нь хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь 5 байна. Энэ бүтээгдэхүүн нь 25 -тай тэнцүү байна.
Бид 5 -р суурийг санамсаргүйгээр 2 экспонентоор үржүүлсэн гэж төсөөлөөд үз дээ
5 нь хоёр дахь чадлын 10 -тай тэнцүү биш тул бид алдаа гарлаа.
Нэмж дурдахад экспонент 1 -тэй тооны хүч нь энэ тоо өөрөө гэдгийг дурдах нь зүйтэй.
Жишээлбэл, нэгдүгээр зэрэглэлийн 5 тоо нь өөрөө 5 тоо юм
Үүний дагуу хэрэв тоо нь индикаторгүй бол энэ үзүүлэлтийг нэгтэй тэнцүү гэж үзэх ёстой.
Жишээлбэл, 1, 2, 3 тоонуудыг индикаторгүй өгдөг тул тэдгээрийн үзүүлэлтүүд нэгтэй тэнцүү байх болно. Эдгээр тоо бүрийг 1 -ийн экспонентаар бичиж болно
Хэрэв та 0 -ийг ямар нэгэн хэмжээгээр дээшлүүлбэл 0 -ийг авна. Үнэн хэрэгтээ, юу ч хэчнээн ч удаа үржигдэхгүй байсан ч юу ч эргэхгүй. Жишээ:
Мөн 0 0 гэсэн илэрхийлэл нь утгагүй юм. Гэхдээ математикийн зарим чиглэлээр, ялангуяа дүн шинжилгээ, олонлогийн онолын хувьд 0 0 гэсэн илэрхийлэл утга учиртай байж магадгүй юм.
Сургалтын хувьд тоонуудыг эрх мэдэлд хүргэх хэдэн жишээг шийдье.
Жишээ 1. 3 -р тоог хоёр дахь хүч болгон өсгө.
Хоёрдахь хүч дэх 3 тоо нь тус бүр 3 -тэй тэнцүү хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн юм
3 2 = 3 × 3 = 9
Жишээ 2. 2 -р тоог 4 -р хүч болгон өсгө.
2 -оос 4 -р хүртэлх тоо нь 4 хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь 2 -той тэнцүү байна
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Жишээ 3. 2 -р тоог гурав дахь хүч болгон өсгө.
2 -оос гурав дахь хүч нь 3 хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь 2 -той тэнцүү байна
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
10 -ийн экспоненци
10 тоог хүчирхэг болгохын тулд экспоненттой тэнцэх тэг тоог нэгээр нэмэхэд л хангалттай.
Жишээлбэл, 10 гэсэн тоог хоёр дахь эрх мэдэлд хүргэе. Нэгдүгээрт, бид 10 тоог өөрөө бичээд 2 тоог заагч болгон зааж өгнө.
10 2
Одоо бид тэнцүү тэмдэг тавьж, нэгийг бичээд дараа нь хоёр тэг бичээрэй, учир нь тэгийн тоо нь экспоненттой тэнцүү байх ёстой.
10 2 = 100
Энэ нь хоёр дахь чадлын 10 тоо нь 100 гэсэн тоо гэсэн үг юм. Энэ нь хоёр дахь чадлын 10 тоо нь тус бүр нь 10 -тай тэнцүү хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн юм.
10 2 = 10 × 10 = 100
Жишээ 2... 10 -ын тоог гурав дахь эрх мэдэлд хүргэе.
Энэ тохиолдолд нэгээс хойш гурван тэг байх болно.
10 3 = 1000
Жишээ 3... 10 -ын тоог дөрөв дэх эрх мэдэлд хүргэе.
Энэ тохиолдолд нэгээс хойш дөрвөн тэг байх болно:
10 4 = 10000
Жишээ 4... 10 -р тоог эхний хүч рүү өргөцгөөе.
Энэ тохиолдолд нэгээс хойш нэг тэг байх болно.
10 1 = 10
10, 100, 1000 тоонуудыг 10 -р суурьтай хүчээр дүрслэх
10, 100, 1000, 10000 тоонуудыг 10 -р суурьтай хүч хэлбэрээр илэрхийлэхийн тулд та 10 -р суурийг бичиж, анхны тоон дахь тэгийн тоотой тэнцүү тоог заагч болгон зааж өгөх хэрэгтэй.
10 -р тоог 10 -р суурьтай хүчээр төлөөлье. Энэ нь нэг тэгтэй болохыг бид харж байна. Тиймээс 10 -р суурьтай 10 -р тоог 10 1 -ээр илэрхийлнэ
10 = 10 1
Жишээ 2... 100 -ийн тоог 10 -ийн суурийн хүчээр төлөөлье. 100 тоо нь хоёр тэгийг агуулж байгааг бид харж байна. Тиймээс 100 суурьтай хүч хэлбэрийн 100 тоог 10 2 гэж дүрсэлнэ
100 = 10 2
Жишээ 3... 1000 гэсэн тоог 10 -р суурьтай хүчээр төлөөлье.
1 000 = 10 3
Жишээ 4... 10,000 -ийн тоог 10 -р суурьтай хүчээр төлөөлье.
10 000 = 10 4
Сөрөг тооны экспоненци
Сөрөг тоог хүч болгон өсгөхдөө үүнийг хаалтанд оруулах ёстой.
Жишээлбэл, сөрөг тоог -2 -ийг хоёр дахь хүчинд хүргэе. −2 хүртэлх хоёр дахь тоо нь хоёр хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь (-2)
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
Хэрэв бид -2 тоог хаалтанд оруулаагүй бол −2 2 илэрхийллийг тооцоолох байсан. тэнцүү биш 4. −2² илэрхийлэл нь -4 -тэй тэнцүү байх болно. Яагаад гэдгийг ойлгохын тулд хэдэн зүйлийг авч үзье.
Эерэг тооны өмнө хасах тэмдэг тавихад бид үүнийг гүйцэтгэдэг эсрэг үйлдэл.
2 -р тоог өгсөн гэж үзээд түүний эсрэг тоог олох хэрэгтэй гэж бодъё. 2 -ийн эсрэг утга нь -2 гэдгийг бид мэднэ. Өөрөөр хэлбэл 2 -ын эсрэг тоог олохын тулд энэ тооны өмнө хасах тэмдэг тавихад л хангалттай. Тооноос өмнө хасах тэмдэг оруулах нь математикийн бүрэн эрхт үйл ажиллагаа гэж тооцогддог. Дээр дурдсанчлан энэ үйлдлийг эсрэг утгыг авах ажиллагаа гэж нэрлэдэг.
−2 2 илэрхийллийн хувьд эсрэг утгыг авах, хүчийг нэмэгдүүлэх гэсэн хоёр үйлдэл байдаг. Экспонентаци нь эсрэг утгыг авахаас илүү чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Тиймээс −2 2 илэрхийллийг хоёр үе шаттайгаар үнэлдэг. Нэгдүгээрт, экспонентаци хийх ажиллагааг гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд эерэг тоо 2 -ыг хоёр дахь эрх мэдэлд хүргэв
Дараа нь эсрэг утгыг авсан. Энэхүү эсрэг утгыг 4 гэсэн утгын хувьд олсон. 4 -ийн эсрэг утга нь −4 байна
−2 2 = −4
Хаалтанд гүйцэтгэлийн тэргүүлэх чиглэл хамгийн өндөр байна. Тиймээс (−2) 2 илэрхийлэлийг тооцоолохдоо эхлээд эсрэг утгыг авч, −2 сөрөг тоог хоёрдахь хүчинд шилжүүлнэ. Сөрөг тооны бүтээгдэхүүн нь эерэг тоо учраас үр дүн нь 4 гэсэн эерэг хариулт болно.
Жишээ 2... -2 тоог гуравдахь хүч болгон өсгө.
Гурав дахь хүчнээс -2 хүртэлх тоо нь гурван хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь (-2)
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = -8
Жишээ 3... −2 тоог дөрөв дэх хүч болгон өсгө.
-2 -оос 4 -р хүртэлх тоо нь дөрвөн хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь (-2)
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Сөрөг тоог эрх мэдэлд хүргэх нь эерэг эсвэл сөрөг хариулт өгөхөд хүргэдэг гэдгийг харахад хялбар байдаг. Хариултын тэмдэг нь эхний зэрэглэлийн үзүүлэлтээс хамаарна.
Хэрэв экспонент тэгш бол хариулт нь тийм байна. Хэрэв экспонент сондгой байвал хариулт нь үгүй. Үүнийг −3 тооны жишээгээр харуулъя
Эхний болон гурав дахь тохиолдолд үзүүлэлт нь байв сондгойтоо, тэгэхээр хариулт нь болсон сөрөг.
Хоёр, дөрөв дэх тохиолдолд энэ үзүүлэлт байв бүртоо, тэгэхээр хариулт нь болсон эерэг.
Жишээ 7.-5 тоог гурав дахь хүч болгон өсгө.
-5 хүртэлх гурав дахь хүч нь гурван хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь -5 байна. 3 экспонент нь сондгой тоо тул хариулт нь сөрөг байх болно гэж бид урьдчилан хэлж болно.
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
Жишээ 8.-4 тоог 4 дэхь хүч болгон өсгө.
-4 -ээс дөрөв дэх хүч нь дөрвөн хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь -4 байна. Энэ тохиолдолд 4 -р үзүүлэлт жигд байгаа тул хариулт нь эерэг байх болно гэж бид урьдчилан хэлж болно.
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Илэрхийллийн утгыг хайж олох
Хаалт агуулаагүй илэрхийллийн утгыг олоход эхлээд экспонентацийг хийж, дараа нь дарааллаар нь үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэх болно.
Жишээ 1... 2 + 5 2 илэрхийллийн утгыг ол
Нэгдүгээрт, экспонентацийг хийдэг. Энэ тохиолдолд 5 -р тоог хоёрдахь хүчээр дээшлүүлнэ - энэ нь 25 болж хувирна. Дараа нь энэ үр дүнг 2 дугаарт нэмнэ.
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Жишээ 10... −6 2 × (−12) илэрхийллийн утгыг ол
Нэгдүгээрт, экспонентацийг хийдэг. −6 тоо нь хаалтанд ороогүй тул 6 тоог хоёр дахь хүч рүү шилжүүлж, үр дүнгийн өмнө хасах тэмдэг тавина.
−6 2 × (−12) = -36 × (−12)
Жишээг -36 -г (−12) үржүүлээд дуусга.
-6 2 × (−12) = -36 × (−12) = 432
Жишээ 11... −3 × 2 2 илэрхийллийн утгыг ол
Нэгдүгээрт, экспонентацийг хийдэг. Дараа нь үр дүнг -3 тоогоор үржүүлнэ
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Хэрэв илэрхийлэлд хаалт байгаа бол эхлээд эдгээр хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг дараа нь экспонентаци, дараа нь үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг хийх хэрэгтэй.
Жишээ 12... (3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 илэрхийллийн утгыг ол
Нэгдүгээрт, бид үйлдлийг хаалтанд хийдэг. Хаалтны дотор бид өмнө нь судалж байсан дүрмийг хэрэгжүүлдэг, тухайлбал, эхлээд 3 -ын тоог хоёр дахь хүч рүү шилжүүлж, дараа нь 1 × 3 үржүүлгийг хийж, дараа нь өсгөх үр дүнг 3 -р тоо болон үржүүлэх 1 × 3. Дараа нь хасах, нэмэх ажлыг гарч ирэх дарааллаар гүйцэтгэнэ. Анхны илэрхийлэл дээр үйлдэл хийх дараах дарааллыг зохион байгуулъя.
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2
Жишээ 13... 2 × 5 3 + 5 × 2 3 илэрхийллийн утгыг ол
Нэгдүгээрт, бид тоонуудыг хүч болгон нэмэгдүүлж, үржүүлгээ хийж үр дүнг нь нэмнэ.
2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290
Ижил түвшний өөрчлөлтүүд
Янз бүрийн ижил төстэй хувиргалтыг градусаар хийж болох бөгөөд ингэснээр тэдгээрийг хялбарчлах болно.
(2 3) 2 илэрхийллийг тооцоолох шаардлагатай байсан гэж бодъё. Энэ жишээнд хоёроос гурав дахь хүчийг хоёр дахь эрх мэдэлд шилжүүлсэн болно. Өөрөөр хэлбэл, зэрэг нь өөр түвшинд өсдөг.
(2 3) 2 нь хоёр градусын бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь 2 3 -тэй тэнцүү байна
Түүнээс гадна эдгээр градус тус бүр нь 2 хүчин зүйлтэй тэнцүү гурван хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн юм
Бүтээгдэхүүнийг хүлээн авсан 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, энэ нь 64 -тэй тэнцүү байна. Тиймээс илэрхийллийн утга (2 3) 2 буюу 64 -тэй тэнцүү байна.
Энэ жишээг маш хялбарчилж болно. Үүнийг хийхийн тулд (2 3) 2 илэрхийллийн экспонентуудыг үржүүлж, энэ бүтээгдэхүүнийг үндсэн 2 дээр бичиж болно.
26 хүлээн авсан. Хоёроос зургаа дахь хүч нь 6 хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд тус бүр нь 2. Энэ бүтээгдэхүүн нь 64 юм
Энэ шинж чанар нь 2 3 нь 2 × 2 × 2 хэмжээтэй бүтээгдэхүүн бөгөөд үүнийг хоёр удаа давтдаг. Дараа нь 2 -р суурийг зургаан удаа давтана. Эндээс бид 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 нь 2 6 гэж бичиж болно
Ерөнхийдөө ямар ч шалтгаанаар aүзүүлэлтүүдтэй мба n, дараахь тэгш байдал бий болно.
(a n)m = a n × m
Энэхүү ижил төстэй хувиргалтыг нэрлэдэг экспоненци... Үүнийг дараах байдлаар уншиж болно. "Зэрэг зэрэг дээшлүүлэхдээ суурь нь өөрчлөгдөөгүй, шалгуур үзүүлэлтүүд нь хэд дахин нэмэгддэг" .
Шалгуур үзүүлэлтийг үржүүлсний дараа та өөр утгыг олж авах боломжтой.
Жишээ 2... (3 2) 2 илэрхийллийн утгыг ол
Энэ жишээнд суурь нь 3, 2 ба 2 тоонууд нь үзүүлэлт юм. Үзүүлэлтийн дүрмийг ашиглацгаая. Суурийг хэвээр үлдээж, индикаторуудыг үржүүлнэ үү.
Хүлээн авсан 3 4. Дөрөв дэх хүчний 3 дугаар нь 81 юм
Үлдсэн өөрчлөлтүүдийг авч үзье.
Зэрэглэлийг үржүүлэх
Зэрэглэлийг үржүүлэхийн тулд та хүч тус бүрийг тусад нь тооцоолж, үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй.
Жишээлбэл, 2 2 -ийг 3 3 -аар үржүүлэх.
2 2 нь 4, 3 3 нь 27 байна. Бид 4 ба 27 тоонуудыг үржүүлээд 108 авна
2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108
Энэ жишээнд зэрэглэлийн суурь нь өөр байсан. Хэрэв баазууд ижил байвал та нэг суурийг бичиж, индикатор болгон анхны зэрэглэлийн үзүүлэлтүүдийн нийлбэрийг бичиж болно.
Жишээлбэл, 2 2 -ийг 2 3 -аар үржүүлэх
Энэ жишээнд зэрэглэлийн суурь ижил байна. Энэ тохиолдолд та нэг суурийг 2 бичиж, 2 2 ба 2 3 экспонентын нийлбэрийг индикатор болгон бичиж болно. Өөрөөр хэлбэл, суурийг хэвээр нь үлдээж, анхны зэрэглэлийн үзүүлэлтүүдийг нэмнэ үү. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:
25 хүлээн авсан. Тав дахь хүчний 2 -р тоо нь 32 юм
Энэ шинж чанар нь 2 2 нь 2 × 2 бүтээгдэхүүн, 2 3 нь 2 × 2 × 2 бүтээгдэхүүн учраас ажилладаг. Дараа нь бүтээгдэхүүнийг тус бүр нь 2 -той тэнцүү таван ижил хүчин зүйлээс авна. Энэ ажлыг 25 гэж дүрсэлж болно
Ерөнхийдөө хэнд ч aба үзүүлэлтүүд мба nДараахь тэгш байдал бий болно.
Энэхүү ижил төстэй хувиргалтыг нэрлэдэг зэрэглэлийн үндсэн өмч... Үүнийг ингэж уншиж болно: " NSИжил баазтай градусыг үржүүлэхдээ суурь нь өөрчлөгдөөгүй бөгөөд индикаторуудыг нэмнэ. " .
Энэхүү хувиргалтыг хэдэн ч градусаар хийж болохыг анхаарна уу. Хамгийн гол нь суурь нь адилхан юм.
Жишээлбэл, 2 1 × 2 2 × 2 3 илэрхийллийн утгыг олъё. Суурь 2
Зарим асуудалд эцсийн зэрэглэлийг тооцоололгүйгээр харгалзах өөрчлөлтийг хийхэд хангалттай байж болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь маш тохиромжтой, учир нь том хүчийг тооцоолох нь тийм ч хялбар биш юм.
Жишээ 1... Илэрхийллийг 5 8 × 25 болгоно
Энэ асуудалд та 5 8 × 25 илэрхийллийн оронд нэг зэрэг авахын тулд үүнийг хийх хэрэгтэй.
25 тоог 5 2 гэж дүрсэлж болно. Дараа нь бид дараах илэрхийлэлийг олж авна.
Энэ илэрхийлэлд та зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглаж болно - 5 -р суурийг хэвээр үлдээж, 8 ба 2 -р үзүүлэлтүүдийг нэмнэ үү.
Шийдлийг богино хэлбэрээр бичье.
Жишээ 2... Илэрхийллийг 2 9 × 32 болгоно
32 тоог 2 5 гэж дүрсэлж болно. Дараа нь бид 2 9 × 2 5 гэсэн илэрхийлэлийг олж авна. Дараа нь та зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглаж болно - 2 -р суурийг хэвээр үлдээж, 9 ба 5 -р үзүүлэлтүүдийг нэмнэ үү. Үр дүн нь дараахь шийдэл байх болно.
Жишээ 3... Үндсэн хүчний шинж чанарыг ашиглан 3х3 хэмжээтэй бүтээгдэхүүнийг тооцоолно уу.
Гурван удаа гурав нь есөнтэй тэнцдэг гэдгийг хүн бүр мэддэг боловч асуудал нь шийдлийн явцад зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглахыг шаарддаг. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?
Хэрэв тоон үзүүлэлтгүйгээр өгөгдсөн бол уг үзүүлэлтийг нэгтэй тэнцүү гэж үзэх ёстой гэдгийг бид санаж байна. Тиймээс 3 ба 3 хүчин зүйлсийг 3 1 ба 3 1 гэж бичиж болно
3 1 × 3 1
Одоо бид зэрэглэлийн үндсэн өмчийг ашиглах болно. 3 -р суурийг хэвээр үлдээж, 1 ба 1 -р үзүүлэлтүүдийг нэмнэ үү.
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
Жишээ 4... Бүтээгдэхүүнийг 2 × 2 × 3 2 × 3 3 үндсэн хүчийг ашиглан тооцоолно.
2 × 2 бүтээгдэхүүнийг 2 1 × 2 1, дараа нь 2 1 + 1, дараа нь 2 2 -оор солино. 3 2 × 3 3 бүтээгдэхүүнийг 3 2 + 3, дараа нь 3 5 -аар солино
Жишээ 5... Үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх x × x
Эдгээр нь шалгуур үзүүлэлт бүхий ижил хоёр цагаан толгойн хүчин зүйл 1. Ойлгомжтой болгох үүднээс бид эдгээр үзүүлэлтүүдийг бичих болно. Цаашдын суурь xбид өөрчлөгдөөгүй орхиж, индикаторуудыг нэмнэ.
Самбар дээр байхдаа ижил суурьтай градусын үржүүлгийг энд хийсэн шиг нарийвчлан бичих ёсгүй. Ийм тооцоог оюун ухаандаа хийх ёстой. Нарийвчилсан оруулга нь багшийг бухимдуулж магадгүй бөгөөд тэр үнэлгээгээ бууруулна. Материалыг ойлгохын тулд аль болох хүртээмжтэй байхын тулд энд нарийвчилсан бүртгэлийг өгсөн болно.
Энэ жишээний шийдлийг дараах байдлаар бичих нь зүйтэй юм.
Жишээ 6... Үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх x 2 × x
Хоёрдахь хүчин зүйлийн экспонент нь нэгтэй тэнцүү байна. Ойлгомжтой болгох үүднээс үүнийг бичье. Цаашилбал, бид суурийг хэвээр үлдээж, индикаторуудыг нэмнэ.
Жишээ 7... Үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх y 3 y 2 y
Гурав дахь хүчин зүйлийн экспонент нь нэгтэй тэнцүү байна. Ойлгомжтой болгох үүднээс үүнийг бичье. Цаашилбал, бид суурийг хэвээр үлдээж, индикаторуудыг нэмнэ.
Жишээ 8... Үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх аа 3 a 2 a 5
Эхний хүчин зүйлийн экспонент нь нэгтэй тэнцүү байна. Ойлгомжтой болгох үүднээс үүнийг бичье. Цаашилбал, бид суурийг хэвээр үлдээж, индикаторуудыг нэмнэ.
Жишээ 9... 3 8 -р зэрэглэлийг ижил суурьтай градусын бүтээгдэхүүнээр илэрхийлнэ.
Энэ асуудалд та суурь нь 3, шалгуур үзүүлэлтүүдийн нийлбэр нь 8 -тай тэнцэх зэрэглэлийн бүтээгдэхүүнийг бүрдүүлэх хэрэгтэй. Аливаа хэмжигдэхүүнийг ашиглаж болно. Бид 3 8 ба 3 3 ба 3 3 хүчнүүдийн бүтээгдэхүүн гэж төлөөлдөг
Энэ жишээнд бид зэрэглэлийн үндсэн өмч дээр дахин найдсан. Эцсийн эцэст 3 5 × 3 3 илэрхийлэлийг 3 5 + 3 гэж бичиж болно, эндээс 3 8.
Мэдээжийн хэрэг, 3 8 зэрэглэлийг бусад зэрэглэлийн бүтээгдэхүүнээр төлөөлөх боломжтой байсан. Жишээлбэл, 3 7 × 3 1 хэлбэрээр, энэ бүтээгдэхүүн нь бас 3 8 байна
Зэрэглэлийг ижил үндэслэл бүхий зэрэглэлийн бүтээгдэхүүн болгон төлөөлөх нь ихэвчлэн бүтээлч ажил юм. Тиймээс туршилт хийхээс бүү ай.
Жишээ 10... Зэрэг оруулах x 12 нь суурьтай өөр өөр градусын бүтээгдэхүүн юм x .
Зэрэглэлийн үндсэн өмчийг ашиглацгаая. Төсөөлөөд үз дээ x 12 суурьтай бүтээл хэлбэрээр x, шалгуур үзүүлэлтүүдийн нийлбэр нь 12 байна
Шалгуур үзүүлэлтүүдийн нийлбэр бүхий бүтээн байгуулалтыг тодорхой болгох үүднээс тэмдэглэв. Ихэнх тохиолдолд тэдгээрийг алгасаж болно. Дараа нь та авсаархан шийдлийг олж авах болно.
Аливаа бүтээлийг сурталчлах
Бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгохын тулд та энэ бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг тогтоосон хэмжээнд хүргэж, олж авсан үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй.
Жишээлбэл, бүтээгдэхүүнийг 2 × 3 хэмжээтэйгээр хоёр дахь хүч болгон өсгөе. Энэ бүтээгдэхүүнийг хаалтанд аваад 2 -ыг зааж өгье
Одоо бид бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг 2х3 хэмжээтэй болгож, олж авсан үр дүнг үржүүлнэ.
Энэхүү дүрмийн ажиллах зарчим нь хамгийн эхэнд өгсөн зэрэглэлийн тодорхойлолт дээр суурилдаг.
2х3 хэмжээтэй бүтээгдэхүүнийг хоёр дахь хүч болгон өсгөнө гэдэг нь тухайн бүтээгдэхүүнийг хоёр удаа давтана гэсэн үг юм. Хэрэв та үүнийг хоёр удаа давтвал дараахь зүйлийг авах боломжтой.
2 × 3 × 2 × 3
Бүтээгдэхүүн нь хүчин зүйлүүдийн байршлын өөрчлөлтөөс өөрчлөгддөггүй. Энэ нь ижил хүчин зүйлсийг бүлэглэх боломжийг танд олгоно.
2 × 2 × 3 × 3
Давхардсан үржүүлэгчийг богино оруулгад орлуулж болно - шалгуур үзүүлэлт бүхий суурь. 2 × 2 бүтээгдэхүүнийг 2 2, 3 × 3 бүтээгдэхүүнийг 3 2 -оор сольж болно. Дараа нь 2 × 2 × 3 × 3 гэсэн илэрхийлэл нь 2 2 × 3 2 илэрхийлэл болно.
Болъё abанхны ажил. Өгөгдсөн ажлыг эрх мэдэлд хүргэх n, та хүчин зүйлсийг тусад нь нэмэгдүүлэх хэрэгтэй aба бзаасан хэмжээнд хүртэл n
Энэ өмч нь хэд хэдэн үржүүлэгчид хүчинтэй байна. Дараахь илэрхийлэлүүд бас үнэн юм.
Жишээ 2... Илэрхийллийн утгыг ол (2 × 3 × 4) 2
Энэ жишээн дээр та бүтээгдэхүүнийг 2 × 3 × 4 хэмжээтэйгээр хоёр дахь хүч болгон нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та энэ бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг хоёр дахь хүчин чадалд оруулж, олж авсан үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй.
Жишээ 3... Гурав дахь эрх мэдлийг дээшлүүл a × b × c
Бид энэ бүтээгдэхүүнийг хаалтанд оруулдаг бөгөөд индикатор болгон 3 дугаарыг зааж өгдөг
Жишээ 4... Бүтээгдэхүүн 3 -ийг гуравдахь хүчээр дээшлүүлнэ xyz
Бид энэ бүтээгдэхүүнийг хаалтанд оруулдаг бөгөөд индикатор болгон 3 -ыг зааж өгдөг
(3xyz) 3
Энэ бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг гуравдахь хүчинд хүргэе.
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3
Гурав дахь гурав дахь хүч нь 27 тоотой тэнцүү байна. Үлдсэнийг нь хэвээр үлдээнэ үү.
(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3
Зарим жишээн дээр ижил үзүүлэлттэй хүчийг үржүүлэхийг нэг экспонент бүхий суурийн үржвэрээр сольж болно.
Жишээлбэл, 5 2 × 3 2 илэрхийллийн утгыг тооцоолъё. Тоо бүрийг хоёр дахь хүч болгон өсгөж, олж авсан үр дүнг үржүүлье.
5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225
Гэхдээ зэрэг тус бүрийг тусад нь тооцоолох шаардлагагүй. Үүний оронд градусын өгөгдсөн бүтээгдэхүүнийг нэг экспонент бүхий бүтээгдэхүүнээр сольж болно (5 × 3) 2. Дараа нь хаалтанд байгаа утгыг тооцоолж, үр дүнг хоёр дахь хүч болгон өсгөнө үү.
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
Энэ тохиолдолд дахин бүтээлийн хүч чадлыг нэмэгдүүлэх дүрмийг ашигласан болно. Эцсийн эцэст хэрэв (a × b)n = a n × b n , тэгвэл a n × b n = (a × b) n... Энэ нь тэгш байдлын зүүн ба баруун тал нь урвуу байна.
Өргөтгөх
Ижил түвшний өөрчлөлтийн мөн чанарыг ойлгохыг хичээхдээ бид энэхүү өөрчлөлтийг жишээ болгон авч үзсэн.
Зэрэг зэрэг дээшлүүлэхдээ суурь нь өөрчлөгдөөгүй бөгөөд индикаторуудыг үржүүлнэ.
(a n)m = a n × m
Жишээлбэл, (2 3) 2 гэсэн илэрхийлэл нь хүчийг эрх мэдэлд хүргэж байна. Гурав дахь эрх мэдлийн хоёр нь хоёр дахь эрх мэдэлд шилждэг. Энэ илэрхийлэлийн утгыг олохын тулд суурийг өөрчлөхгүйгээр үлдээж, индикаторуудыг үржүүлж болно.
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Энэ дүрэм нь өмнөх дүрмүүд дээр үндэслэсэн болно: бүтээгдэхүүнийг хүч чадал, зэрэглэлийн үндсэн өмч болгон нэмэгдүүлэх.
Илэрхийлэл рүү буцъя (2 3) 2. Хаалт 2 3 дахь илэрхийлэл нь тус бүр 2 -той тэнцүү гурван хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн бөгөөд дараа нь (2 3) 2 -р илэрхийлэлд хаалт доторх хүчийг 2 × 2 × 2 бүтээгдэхүүнээр сольж болно.
(2 × 2 × 2) 2
Энэ нь бидний өмнө судалж байсан ажлын хүч чадлыг дээшлүүлж байна. Бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгохын тулд та энэ бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг тогтоосон хэмжээнд хүргэж, олж авсан үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг санаарай.
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2
Одоо бид зэрэглэлийн үндсэн өмчтэй харьцаж байна. Бид суурийг хэвээр нь үлдээж, индикаторуудыг нэмнэ.
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Өмнөх шигээ бид 2 6 авсан. Энэ хүчний үнэ цэнэ нь 64 юм
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Бүтээгдэхүүнийг хүч чадал болгон өргөжүүлж болох бөгөөд түүний хүчин зүйл нь бас эрх мэдэл юм.
Жишээ нь (2 2 × 3 2) 3 илэрхийллийн утгыг олъё. Энд үржүүлэгч бүрийн үзүүлэлтийг 3 -ийн нийт үзүүлэлтээр үржүүлэх ёстой. Дараа нь градус бүрийн утгыг олж, бүтээгдэхүүнийг тооцоолно уу.
(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656
Бүтээлийн хүч чадлыг дээшлүүлэхэд ойролцоогоор ижил зүйл тохиолддог. Бүтээгдэхүүнийг хүч чадалд хүргэх үед энэ бүтээгдэхүүний хүчин зүйл бүрийг тогтоосон хүчин чадалд хүргэх болно гэж бид хэлсэн.
Жишээлбэл, 2 × 4 хэмжээтэй бүтээгдэхүүнийг гуравдахь хүч болгон нэмэгдүүлэхийн тулд та дараах илэрхийллийг бичих хэрэгтэй.
Гэхдээ өмнө нь хэрэв индикаторгүй тоог өгвөл индикаторыг нэгтэй тэнцүү гэж үзэх ёстой гэж хэлсэн. Энэ нь 2 × 4 бүтээгдэхүүний хүчин зүйлүүд нь эхлээд 1 -тэй тэнцүү үзүүлэлтүүдтэй болж таарч байна. Тиймээс 2 1 × 4 1 гэсэн илэрхийлэлийг гуравдахь хүч болгон нэмэгдүүлэв. Мөн энэ нь хүчийг эрх мэдэлд хүргэх явдал юм.
Хүч чадлын дүрмийг ашиглан шийдлийг дахин бичье. Бид ижил үр дүнд хүрэх ёстой:
Жишээ 2... Илэрхийллийн утгыг ол (3 3) 2
Бид суурийг хэвээр нь үлдээж, индикаторуудыг үржүүлнэ.
36 хүлээн авсан. 3 дахь зургаа дахь хүч нь 729 тоо юм
Жишээ 3xy)³
Жишээ 4... Илэрхийлэлд экспонентаци хийх ( abc)⁵
Бүтээгдэхүүний үржүүлэгч бүрийг тав дахь хүч болгон өсгөе.
Жишээ 5сүх) 3
Бүтээгдэхүүний үржүүлэгч бүрийг гуравдахь хүч болгон өсгөе.
Сөрөг тоог -2 гуравдахь хүчинд шилжүүлсэн тул үүнийг хаалтанд оруулав.
Жишээ 6... Илэрхийлэлд экспоненц хийх (10 xy) 2
Жишээ 7... (-5 x) 3
Жишээ 8... (-3 y) 4
Жишээ 9... (-2 abx)⁴
Жишээ 10... Илэрхийллийг хялбарчлах x 5 × ( x 2) 3
Зэрэг x 5 нь одоогоор өөрчлөгдөөгүй бөгөөд илэрхийлэлд ( x 2) 3 бид хүч чадлын экспонентацийг гүйцэтгэдэг.
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6
Одоо үржүүлгээ хийцгээе x 5 × x 6. Үүнийг хийхийн тулд бид зэрэглэлийн үндсэн өмч болох суурийг ашиглах болно xбид өөрчлөгдөөгүй орхиж, индикаторуудыг нэмнэ.
x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11
Жишээ 9... Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан 4 3 × 2 2 илэрхийллийн утгыг ол.
Анхны зэрэглэлийн суурь ижил байвал зэрэглэлийн үндсэн өмчийг ашиглаж болно. Энэ жишээн дээр үндэс нь өөр өөр байдаг тул эхлээд илэрхийлэлийг бага зэрэг өөрчлөх хэрэгтэй, тухайлбал зэрэглэлийн суурийг ижил болгох хэрэгтэй.
4 3 -р зэрэглэлийг нарийвчлан авч үзье. Энэ зэрэглэлийн суурь нь 4 гэсэн тоог 2 2 гэж дүрсэлж болно. Дараа нь анхны илэрхийлэл (2 2) 3 × 2 2 хэлбэртэй болно. (2 2) 3 илэрхийллийн экспонентацийг хийсний дараа бид 2 6 авна. Дараа нь анхны илэрхийлэл нь 2 6 × 2 2 хэлбэртэй байх бөгөөд үүнийг зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан тооцоолж болно.
Энэ жишээний шийдлийг бичье.
Зэрэглэл хуваах
Зэрэглэлийг хуваахын тулд та градус бүрийн утгыг олж, дараа нь энгийн тоонуудыг хуваах хэрэгтэй.
Жишээлбэл, 4 3 -ийг 2 -т хуваана.
4 3 -ыг тооцоолъё, бид 64 -ийг авна. 2 2 -ийг тооцоол, 4 -ийг ав. Одоо 64 -ийг 4 -т хуваагаад 16 -г ав
Хэрэв суурийн зэрэглэлийг хуваахад тэдгээр нь ижил болж хувирвал суурийг хэвээр нь үлдээж, хуваагчийн экспонентийг ногдол ашгийн экспонентаас хасч болно.
Жишээлбэл, 2 3: 2 2 илэрхийллийн утгыг олъё
2 -р суурийг хэвээр нь үлдээж, ногдол ашгийн экспонентоос хуваагчийн экспонентыг хасна уу.
Тиймээс 2 3: 2 2 илэрхийллийн утга нь 2 байна.
Энэ шинж чанар нь ижил суурьтай градусын үржүүлгийн үндсэн дээр эсвэл зэрэглэлийн үндсэн шинж чанар дээр бидний хэлж заншсанаар бий болдог.
Өмнөх жишээ рүү буцъя 2 3: 2 2. Энд ногдол ашиг 2 3, хуваагч нь 2 2 байна.
Нэг тоог нөгөөд хуваах гэдэг нь хуваагчаар үржүүлэхэд ногдол ашиг хүртэх тоог олохыг хэлнэ.
Манай тохиолдолд 2 3 -ыг 2 2 -т хуваана гэдэг нь 2 2 -ын хуваагуураар үржүүлбэл 2 3 -тэй тэнцэх зэрэг олох гэсэн үг юм. Мөн 2 3 -аар авахын тулд ямар зэрэглэлийг 2 2 -оор үржүүлэх вэ? Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн 2 -р зэрэг нь 1 юм. Зэрэглэлийн үндсэн өмчөөс бид:
Та 2 3: 2 2 илэрхийллийн утгыг 2 1: 2 2 -той тэнцүү эсэхийг 2 3: 2 2 илэрхийллийг шууд үнэлэх замаар шалгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд хүч чадлын утгыг 2 3 олж, бид 8 авна. Дараа нь бид 2 2 -ийн хүчний утгыг олж, 4 -ийг авна. 8 -ыг 4 -т хуваавал 2 = 2 1 болохоор бид 2 эсвэл 2 1 авна.
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Ийнхүү ижил суурьтай градусыг хуваахдаа дараахь тэгш байдлыг баримтална.
Зөвхөн үндэслэл төдийгүй үзүүлэлтүүд ижил байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд хариулт нь нэг байх болно.
Жишээлбэл, 2 2: 2 2 илэрхийллийн утгыг олъё. Бид градус бүрийн утгыг тооцоолж, үр дүнгийн тоог хуваах ажлыг гүйцэтгэнэ.
2 2: 2 2 жишээг шийдвэрлэхдээ та ижил үндэслэлтэй хүчийг хуваах дүрмийг ашиглаж болно. Үр дүн нь тэг градус хүртэлх тоо юм, учир нь 2 2 ба 2 2 хүчний экспонентын ялгаа тэг байна:
Тэг градусын 2 тоо яагаад нэгтэй тэнцдэг болохыг бид дээр мэдсэн. Хэрэв та эрх мэдлийн хуваарилалтын дүрмийг ашиглахгүйгээр ердийн байдлаар 2 2: 2 2 -ийг тооцвол нэгийг авна.
Жишээ 2... 4 12: 4 10 илэрхийллийн утгыг ол
Бид 4 -ийг хэвээр нь үлдээж, ногдол ашгийн экспонентаас хуваах экспонентийг хасна.
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Жишээ 3... Хувийн илгээх x 3: xрадиустай зэрэг x
Зэрэг хуваах дүрмийг ашиглацгаая. Суурь xҮүнийг өөрчлөгдөөгүй үлдээж, ногдол ашгийн экспонентоос хуваах экспонентыг хас. Хуваагчийн экспонент нь нэгтэй тэнцүү байна. Илүү тодорхой болгохын тулд үүнийг бичье.
Жишээ 4... Хувийн илгээх x 3: x 2 нь радиустай хүч юм x
Зэрэг хуваах дүрмийг ашиглацгаая. Суурь x
Зэрэглэлийг хуваахыг бутархай хэлбэрээр бичиж болно. Тиймээс өмнөх жишээг дараах байдлаар бичиж болно.
Бутархайн тоологч ба хуваагчийг өргөтгөсөн хэлбэрээр, тухайлбал ижил хүчин зүйлүүдийн бүтээгдэхүүн хэлбэрээр бичихийг зөвшөөрдөг. Зэрэг x 3 гэж бичиж болно x × x × xба зэрэг x 2 яаж x × x... Дараа нь барилгын ажил x 3 - 2 -ийг алгасаад бутархайг ашиглах боломжтой. Тоолуур ба хуваагдалд хоёр хүчин зүйлийг цуцлах боломжтой болно x... Үүний үр дүнд нэг хүчин зүйл үлдэх болно x
Эсвэл бүр богино:
Эрчим хүчний фракцийг хурдан бууруулах нь бас тустай. Жишээлбэл, бутархайг цуцалж болно x 2. Бутархайг багасгахын тулд x 2 та бутархай хэсгийн тоологч ба хуваагчийг хуваах хэрэгтэй x 2
Зэрэг хуваарилалтыг нарийвчлан орхиж болно. Энэ товчлолыг богино болгож болно:
Эсвэл бүр богино:
Жишээ 5... Хуваалт хийх x 12 : x 3
Зэрэг хуваах дүрмийг ашиглацгаая. Суурь xБид үүнийг өөрчлөлтгүй үлдээж, ногдол ашгийн экспонентоос хуваах экспонентыг хасах болно.
Бутархайг багасгах замаар шийдлийг бичье. Зэрэглэл хуваах x 12 : x 3 -ийг маягтаар бичнэ. Дараа нь бид энэ хэсгийг буцааж бууруулах боломжтой x 3 .
Жишээ 6... Илэрхийллийн утгыг олоорой
Тоолуур дээр бид ижил үндэслэлээр хүчийг үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг.
Одоо бид ижил суурьтай градус хуваах дүрмийг хэрэгжүүлж байна. Бид 7 -р суурийг хэвээр үлдээж, хуваах экспонентийг ногдол ашгийн экспонентаас хасна.
7 2 -р зэрэглэлийг тооцоолж жишээг дуусгана уу
Жишээ 7... Илэрхийллийн утгыг олоорой
Тоон дээр экспонентаци хийцгээе. Та үүнийг (2 3) 4 илэрхийллээр хийх хэрэгтэй
Одоо тоон дээр ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх ажлыг хийцгээе.
