Քառակուսի արմատի հատկությունները գումարում են: Քառակուսի արմատների հատկությունները

Քառակուսի արմատների հատկությունները

Մինչ այժմ մենք թվերի վրա կատարել ենք հինգ թվաբանական գործողություն՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և աստիճանավորում, իսկ հաշվարկներում նրանք ակտիվորեն օգտագործում էին տարբեր հատկություններայս գործողությունները, օրինակ՝ a + b = b + a, an-bn = (ab) n և այլն:

Այս գլուխը ներկայացնում է նոր գործողություն՝ քաղվածք քառակուսի արմատոչ բացասական թվից։ Այն հաջողությամբ օգտագործելու համար դուք պետք է ծանոթանաք այս գործողության հատկություններին, ինչը մենք կանենք այս բաժնում։

Ապացույց. Ներկայացնենք հետևյալ նշումը. https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! ԼԵԶՈՒ՝ Հավասարություն" width="120" height="25 id=">!}.

Հաջորդ թեորեմը կձևակերպենք հենց այսպես.

(Կարճ ձևակերպում, որն ավելի հարմար է գործնականում օգտագործելու համար. կոտորակի արմատը հավասար է կոտորակիարմատներից կամ գործակիցի արմատը հավասար է արմատների գործակցին։)

Այս անգամ միայն կբերենք կարճ նշումապացույց, և դուք փորձում եք համապատասխան մեկնաբանություններ անել, որոնք նման են թեորեմ 1-ի ապացուցման էությանը:

Դիտողություն 3. Իհարկե, այս օրինակը կարելի է լուծել այլ կերպ, հատկապես, եթե ձեռքի տակ ունեք հաշվիչ՝ բազմապատկեք 36, 64, 9 թվերը, ապա հանեք ստացված արդյունքի քառակուսի արմատը։ Այնուամենայնիվ, պետք է խոստովանեք, որ վերը ներկայացված լուծումն ավելի մշակութային տեսք ունի։

Դիտողություն 4. Առաջին մեթոդով մենք «գլխով» հաշվարկներ ենք կատարել: Երկրորդ ճանապարհն ավելի էլեգանտ է.
մենք դիմել ենք բանաձեւը a2 - b2 = (a - b) (a + b) և օգտագործել քառակուսի արմատների հատկությունը:

Դիտողություն 5. Որոշ տաքգլուխներ երբեմն առաջարկում են այս լուծումը Օրինակ 3-ի համար.

Սա, իհարկե, ճիշտ չէ. տեսնում եք, արդյունքը նույնը չէ, ինչ մեր օրինակ 3-ում: Բանն այն է, որ սեփականություն չկա: https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! LANG: Առաջադրանք" width="148" height="26 id=">!}Կան միայն հատկություններ՝ կապված քառակուսի արմատների բազմապատկման և բաժանման հետ։ Զգույշ եղեք և զգույշ եղեք, որպեսզի չլինեք ցանկալի մտածողություն:

Եզրափակելով բաժինը, մենք նշում ենք ևս մեկ բավականին պարզ և միևնույն ժամանակ կարևոր հատկություն.
եթե a> 0 և n - բնական թիվ, ապա

Փոխակերպել քառակուսի արմատ պարունակող արտահայտությունները

Մինչ այժմ ես և դու միայն փոխակերպումներ ենք կատարել ռացիոնալ արտահայտություններ, դրա համար օգտագործելով բազմանդամների վրա գործողության կանոնները և հանրահաշվական կոտորակներ, համառոտ բազմապատկման բանաձևեր և այլն: Այս գլխում մենք ներկայացրեցինք նոր գործողություն՝ քառակուսի արմատ հանելու գործողությունը; մենք դա գտանք

որտեղ, հիշեցնենք, a, b-ն ոչ բացասական թվեր են:

Օգտագործելով սրանք բանաձեւեր, քառակուսի արմատի գործողություն պարունակող արտահայտությունների վրա կարող եք կատարել տարբեր փոխակերպումներ։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ, և բոլոր օրինակներում կենթադրենք, որ փոփոխականները ընդունում են միայն ոչ բացասական արժեքներ։

Օրինակ 3.Մուտքագրեք բազմապատկիչը քառակուսի արմատի նշանի տակ.

Օրինակ 6... Պարզեցնել արտահայտման լուծում: Կատարենք հաջորդական փոխակերպումներ.

Քառակուսի հողամասի մակերեսը կազմում է 81 դմ²։ Գտեք նրա կողմը: Ենթադրենք, քառակուսու կողմի երկարությունը հավասար է Ն.Սդեցիմետրեր։ Այնուհետև կայքի տարածքն է Ն.Ս² քառակուսի դեցիմետր... Քանի որ պայմանական այս տարածքը կազմում է 81 դմ², ուրեմն Ն.Ս² = 81. Քառակուսու կողմի երկարությունը դրական թիվ է: Դրական թիվը, որի քառակուսին 81 է, 9 թիվն է։ Խնդիրը լուծելիս պահանջվում էր գտնել x թիվը, որի քառակուսին 81 է, այսինքն՝ լուծել հավասարումը։ Ն.Ս² = 81: Այս հավասարումն ունի երկու արմատ. x 1 = 9 և x 2 = - 9, քանի որ 9² = 81 և (- 9) ² = 81: 9 և - 9 թվերն էլ կոչվում են 81-ի քառակուսի արմատներ:

Նշենք, որ քառակուսի արմատներից մեկը Ն.Ս= 9-ը դրական թիվ է: Այն կոչվում է 81 թվի թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է √81, այսպիսով √81 = 9։

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ աոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին հավասար է ա.

Օրինակ, 6-ը և -6-ը 36-ի քառակուսի արմատներն են: Այս դեպքում 6-ը 36-ի թվաբանական քառակուսի արմատն է, քանի որ 6-ը ոչ բացասական թիվ է, իսկ 6² = 36: -6 թիվը թվաբանական արմատ չէ:

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ անշվում է հետևյալ կերպ՝ √ ա.

Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան; ա- կոչվում է արմատական ​​արտահայտություն: Արտահայտություն √ ակարդալ այսպես՝ թվի թվաբանական քառակուսի արմատ ա.Օրինակ, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7: Այն դեպքերում, երբ պարզ է, որ այն գալիս էթվաբանական արմատի մասին հակիրճ ասում են՝ «քառակուսի արմատը ա«.

Թվի քառակուսի արմատը գտնելու գործողությունը կոչվում է քառակուսի արմատի հանում։ Այս գործողությունը քառակուսու հակառակն է:

Ցանկացած թիվ կարելի է քառակուսի դնել, բայց չի կարելի յուրաքանչյուր թվից քառակուսի արմատներ։ Օրինակ՝ չես կարող հանել թվի քառակուսի արմատը՝ 4։ Եթե այդպիսի արմատ կար, ապա այն նշելով տառով։ Ն.Ս, մենք կստանանք սխալ հավասարություն х2 = - 4, քանի որ ձախ կողմում կա ոչ բացասական թիվ, իսկ աջում՝ բացասական թիվ։

Արտահայտություն √ աիմաստ ունի միայն այն ժամանակ, երբ a ≥ 0. Քառակուսի արմատի սահմանումը հակիրճ կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ √ a ≥ 0, (√ա)² = ա... Հավասարություն (√ ա)² = ավավերական է a ≥ 0. Այսպիսով, համոզվելու համար, որ ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը ահավասար է բ, այսինքն, որ √ ա =բ, դուք պետք է ստուգեք, որ հետևյալ երկու պայմանները բավարարված են. b ≥ 0, բ² = ա.

Կոտորակի քառակուսի արմատը

Եկեք հաշվարկենք. Նկատի ունեցեք, որ √25 = 5, √36 = 6, և ստուգեք, արդյոք հավասարությունը պահպանվում է:

Որովհետեւ և, ուրեմն, հավասարությունը ճշմարիտ է: Այսպիսով, .

Թեորեմ.Եթե ա≥ 0 և բ> 0, այսինքն՝ կոտորակի արմատը հավասար է համարիչի արմատին, որը բաժանվում է հայտարարի արմատի վրա։ Պահանջվում է ապացուցել, որ և .

Քանի որ √ ա≥0 և √ բ> 0, ապա:

Կոտորակը մեծացնելու հատկությամբ և քառակուսի արմատի սահմանմամբ թեորեմն ապացուցված է. Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Հաշվիր ապացուցված թեորեմով .

Երկրորդ օրինակ. Ապացուցիր դա , եթե ա ≤ 0, բ < 0. .

Մեկ այլ օրինակ՝ Հաշվիր։

.

Քառակուսի արմատների փոխակերպում

Արմատային նշանից գործակից հեռացնելը. Թող արտահայտությունը տրվի. Եթե ա≥ 0 և բ≥ 0, ապա արտադրյալի արմատի թեորեմով կարող ենք գրել.

Նման փոխակերպումը կոչվում է արմատային նշանից գործոն հանելը։ Դիտարկենք մի օրինակ;

Հաշվել ժամը Ն.Ս= 2. Ուղղակի փոխարինում Ն.Ս= 2-ը դեպի արմատական ​​արտահայտությունը հանգեցնում է բարդ հաշվարկների: Այս հաշվարկները կարելի է պարզեցնել՝ սկզբում հեռացնելով գործոնները արմատային նշանից. Այժմ փոխարինելով x = 2, մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, արմատական ​​նշանի տակից գործակիցը հանելիս արմատական ​​արտահայտությունը ներկայացվում է արտադրյալի տեսքով, որում մեկ կամ մի քանի գործակից ոչ բացասական թվերի քառակուսիներ են։ Այնուհետև կիրառվում է արտադրանքի արմատային թեորեմը և յուրաքանչյուր գործոնից հանվում է արմատը: Դիտարկենք օրինակ․ Պարզեցնենք А = √8 + √18 - 4√2 արտահայտությունը՝ առաջին երկու անդամներում արմատական ​​նշանից հեռացնելով գործոնները, ստանում ենք. Շեշտում ենք, որ հավասարությունը վավեր է միայն ա≥ 0 և բ≥ 0. եթե ա < 0, то .

Մաթեմատիկան ծնվել է այն ժամանակ, երբ մարդը գիտակցել է իր մասին և սկսել իրեն դիրքավորել որպես աշխարհի ինքնավար միավոր: Չափելու, համեմատելու, հաշվարկելու ցանկությունը, թե ինչ է ձեզ շրջապատում, ահա թե ինչն է ընկած մեր օրերի հիմնարար գիտություններից մեկի հիմքում: Սկզբում դրանք տարրական մաթեմատիկայի մասնիկներ էին, որոնք հնարավորություն տվեցին թվերը կապել նրանց ֆիզիկական արտահայտությունների հետ, հետագայում եզրակացությունները սկսեցին ներկայացվել միայն տեսականորեն (դրանց վերացականության պատճառով), բայց որոշ ժամանակ անց, ինչպես ասում էր մի գիտնական, « մաթեմատիկան հասավ բարդության առաստաղին, երբ անհետացավ բոլոր թվերը»: «Քառակուսի արմատ» հասկացությունը ի հայտ եկավ այն ժամանակ, երբ այն հեշտությամբ կարող էր հաստատվել էմպիրիկ տվյալների միջոցով՝ դուրս գալով հաշվարկների հարթությունից:

Ինչպես ամեն ինչ սկսվեց

Արմատի առաջին հիշատակումն այն է այս պահիննշվում է որպես √, գրանցվել է բաբելոնացի մաթեմատիկոսների աշխատություններում, որոնք հիմք են դրել ժամանակակից թվաբանությանը։ Իհարկե, դրանք ներկայիս ձևին չէին հիշեցնում. այն տարիների գիտնականներն առաջին անգամ օգտագործեցին մեծածավալ հաբեր։ Սակայն մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակում։ Ն.Ս. նրանք ստացան մոտավոր հաշվարկման բանաձև, որը ցույց էր տալիս, թե ինչպես կարելի է հանել քառակուսի արմատը: Ստորև բերված լուսանկարում պատկերված է մի քար, որի վրա բաբելոնացի գիտնականները փորագրել են √2 եզրակացության գործընթացը, և այն այնքան ճիշտ է, որ պատասխանի անհամապատասխանությունը հայտնաբերվել է միայն տասներորդ տասնորդական տեղում:

Բացի այդ, արմատը օգտագործվում էր, եթե անհրաժեշտ էր գտնել եռանկյան կողմը, պայմանով, որ մյուս երկուսը հայտնի լինեն: Դե, քառակուսի հավասարումներ լուծելիս չես կարող կտրվել արմատը հանելուց:

Բաբելոնյան աշխատությունների հետ մեկտեղ հոդվածի առարկան ուսումնասիրվել է նաև չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքում» աշխատությունում, և հին հույները եկել են այն եզրակացության, որ ցանկացած թիվ, որից արմատը չի հանվում առանց մնացորդի, տալիս է իռացիոնալ արդյունք։ .

Ծագում այս տերմինիկապված է թվի արաբական ներկայացման հետ. հին գիտնականները կարծում էին, որ կամայական թվի քառակուսին աճում է արմատից, ինչպես բույսը: Լատիներեն այս բառը հնչում է որպես ռադիքս (կարող եք հետևել օրինաչափությանը. այն ամենը, ինչ դրա տակ ունի «արմատային» իմաստային բեռ, համահունչ է, լինի դա բողկ, թե ռադիկուլիտ):

Հետագա սերունդների գիտնականներն ընդունեցին այս գաղափարը՝ այն անվանելով Rx: Օրինակ 15-րդ դարում կամայական ա թվի քառակուսի արմատը հանված լինելու համար գրեցին Ռ 2 ա։ Սովորական ժամանակակից տեսարան«տիզ» - հայտնվել է միայն 17-րդ դարում Ռենե Դեկարտի շնորհիվ։

Մեր օրերը

Մաթեմատիկորեն y-ի քառակուսի արմատը այն z թիվն է, որի քառակուսին y է: Այլ կերպ ասած, z 2 = y համարժեք է √y = z: բայց այս սահմանումըհամապատասխան միայն թվաբանական արմատքանի որ այն ենթադրում է արտահայտության ոչ բացասական արժեքը։ Այլ կերպ ասած, √y = z, որտեղ z-ը մեծ է կամ հավասար է 0-ի:

Վ ընդհանուր դեպք, որը գործում է հանրահաշվական արմատը որոշելու համար, արտահայտության արժեքը կարող է լինել կամ դրական կամ բացասական։ Այսպիսով, քանի որ z 2 = y և (-z) 2 = y, մենք ունենք՝ √y = ± z կամ √y = | z |:

Շնորհիվ այն բանի, որ մաթեմատիկայի հանդեպ սերը միայն աճել է գիտության զարգացման հետ մեկտեղ, կան դրան կապվածության տարբեր դրսեւորումներ, որոնք արտահայտված չեն չոր հաշվարկներով։ Օրինակ, այնպիսի հետաքրքիր երեւույթների հետ, ինչպիսին է Pi թվի օրը, նշվում են նաեւ քառակուսի արմատի տոները։ Դրանք նշվում են հարյուր տարում ինը անգամ և որոշվում են հետևյալ սկզբունքով. այն թվերը, որոնք հերթականությամբ նշում են օրն ու ամիսը, պետք է լինեն տարվա քառակուսի արմատը։ Այսպիսով, հաջորդ անգամ այս տոնը կնշվի 2016 թվականի ապրիլի 4-ին։

Քառակուսի արմատների հատկությունները դաշտում Ռ

Գրեթե բոլոր մաթեմատիկական արտահայտություններունեն երկրաչափական հիմք, այս ճակատագիրը չի անցել և √y, որը սահմանվում է որպես y մակերեսով քառակուսու կողմ:

Ինչպե՞ս գտնել թվի արմատը:

Կան մի քանի հաշվարկային ալգորիթմներ. Ամենապարզը, բայց միևնույն ժամանակ բավականին ծանրաբեռնվածը սովորական թվաբանական հաշվարկն է, որը հետևյալն է.

1) կենտ թվերը հանվում են այն թվից, որի արմատը մեզ անհրաժեշտ է, իր հերթին, մինչև ելքի մնացորդը չստացվի, որ պակաս է հանված մեկից կամ նույնիսկ հավասար է զրոյի: Շարժումների քանակը ի վերջո կդառնա անհրաժեշտ թիվը: Օրինակ՝ 25-ի քառակուսի արմատը հաշվարկելը.

Հաջորդ կենտ թիվը 11 է, ունենք հետևյալ մնացորդը՝ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Նման դեպքերի համար կա Taylor շարքի ընդլայնում.

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, որտեղ n-ը տատանվում է 0-ից մինչև

+ ∞ և | y | ≤1.

z = √y ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացում

Դիտարկենք տարրական z = √y ֆունկցիա R իրական թվերի դաշտում, որտեղ y-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Դրա գծապատկերն ունի հետևյալ տեսքը.

Կորը աճում է սկզբից և անպայման հատում է կետը (1; 1):

Z = √y ֆունկցիայի հատկությունները R իրական թվերի դաշտում

1. Դիտարկվող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն ներառված է):

2. Քննարկվող ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անսահմանության միջակայքն է (զրոյական, կրկին ներառված է):

3. Ֆունկցիան ընդունում է նվազագույն արժեքը (0) միայն (0; 0) կետում։ Առավելագույն արժեք չկա:

4. Z = √y ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

5. Z = √y ֆունկցիան պարբերական չէ։

6. Կա z = √y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը կոորդինատային առանցքների հետ՝ (0; 0):

7. z = √y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը նույնպես այս ֆունկցիայի զրո է։

8. Z = √y ֆունկցիան անընդհատ աճում է:

9. Z = √y ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ, հետևաբար, նրա գրաֆիկը զբաղեցնում է առաջին կոորդինատային անկյունը։

z = √y ֆունկցիայի տարբերակներ

Մաթեմատիկայում բարդ արտահայտությունների հաշվարկը հեշտացնելու համար նրանք երբեմն օգտագործում են քառակուսի արմատը գրելու ուժային ձևը՝ √y = y 1/2: Այս տարբերակը հարմար է, օրինակ, ֆունկցիան հզորության հասցնելու համար՝ (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2: Այս մեթոդը նաև լավ ներկայացում է ինտեգրման հետ տարբերակման համար, քանի որ դրա շնորհիվ քառակուսի արմատը ներկայացված է սովորական հզորության ֆունկցիայով։

Իսկ ծրագրավորման մեջ √ նշանի փոխարինումը sqrt տառերի համակցությունն է։

Հարկ է նշել, որ այս ոլորտում քառակուսի արմատը շատ պահանջարկ ունի, քանի որ այն ներառված է հաշվարկների համար պահանջվող երկրաչափական բանաձևերի մեծ մասում։ Հաշվիչ ալգորիթմն ինքնին բավականին բարդ է և հիմնված է ռեկուրսիայի վրա (գործառույթ, որն իրեն կանչում է):

Քառակուսի արմատ բարդ դաշտում C

Մեծ հաշվով, հենց այս հոդվածի թեման խթանեց C բարդ թվերի դաշտի հայտնաբերումը, քանի որ մաթեմատիկոսներին հետապնդում էր բացասական թվից զույգ արմատ ստանալու հարցը: Այսպես հայտնվեց i երևակայական միավորը, որը բնութագրվում է մի շատ հետաքրքիր հատկությամբ՝ նրա քառակուսին -1 է։ Դրա շնորհիվ քառակուսի հավասարումներով և բացասական դիսկրիմինանտով ստացվեց լուծում: C-ում քառակուսի արմատի համար համապատասխան են նույն հատկությունները, ինչ R-ում, միայն այն, որ սահմանափակումները հանվել են արմատական ​​արտահայտությունից։

Արմատային բանաձևեր. Քառակուսի արմատների հատկությունները.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութերը Հատուկ բաժին 555.
Նրանց համար, ովքեր «ոչ այնքան ...»:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Նախորդ դասում մենք պարզեցինք ինչ է քառակուսի արմատը... Ժամանակն է պարզել, թե որոնք են արմատային բանաձևերինչ են արմատային հատկությունները, և ինչ կարող ես անել այս ամենի հետ։

Արմատային բանաձևեր, արմատային հատկություններ և արմատների հետ գործողությունների կանոններըստ էության նույն բանն են: Քառակուսի արմատների համար զարմանալիորեն քիչ բանաձևեր կան: Ինչը, իհարկե, հաճելի է: Ավելի շուտ, դուք կարող եք գրել շատ տարբեր բանաձևեր, բայց արմատների հետ գործնական և վստահ աշխատանքի համար բավարար է միայն երեքը: Մնացած բոլոր այս երեք հոսքերը: Թեև շատերը կորչում են երեք արմատային բանաձևերի մեջ, այո…

Սկսենք ամենապարզից: Ահա նա.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Ակնթարթային վավերացման փորձարկում: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։