Թեյլորի շարք, քառակուսի արմատ: Հզորության շարքեր, դրանց մերձեցում, ֆունկցիաների ընդլայնում ուժային շարքերում

Բարձրագույն մաթեմատիկայի ուսանողները պետք է իմանան, որ մեզ տրված շարքի կոնվերգենցիայի միջակայքին պատկանող որոշակի ուժային շարքի գումարը շարունակական և անսահման թվով անգամ տարբերվող ֆունկցիա է։ Հարց է առաջանում՝ կարելի՞ է պնդել, որ տրված կամայական f (x) ֆունկցիան որոշակի ուժային շարքի գումար է։ Այսինքն՝ ի՞նչ պայմաններում f-ija f (x)-ը կարող է ներկայացվել ուժային շարքով։ Նման հարցի կարևորությունը կայանում է նրանում, որ f-yu f (x) հնարավոր է մոտավորապես փոխարինել հզորությունների շարքի առաջին մի քանի անդամների գումարով, այսինքն՝ բազմանդամով։ Ֆունկցիայի այս փոխարինումը բավականին պարզ արտահայտությամբ՝ բազմանդամով, հարմար է նաև որոշ խնդիրներ լուծելիս, մասնավորապես՝ ինտեգրալներ լուծելիս, հաշվարկելիս և այլն։

Ապացուցված է, որ որոշ fu-ի և f (x) համար, որոնցում հնարավոր է հաշվարկել մինչև (n + 1)-րդ կարգի ածանցյալները, ներառյալ վերջինս, հարևանությամբ (α - R; x 0 + R). որոշ կետ x = α վավերական բանաձև է.

Այս բանաձեւը անվանվել է հայտնի գիտնական Բրուկ Թեյլորի պատվին։ Այն շարքը, որը ստացվել է նախորդից, կոչվում է Maclaurin շարք.

Կանոնը, որը հնարավորություն է տալիս կատարել ընդլայնումը Maclaurin շարքում.

1. Որոշի՛ր առաջին, երկրորդ, երրորդ ... կարգերի ածանցյալները:
2. Հաշվե՛ք, թե x = 0-ում ինչի են հավասար ածանցյալները:
3. Գրեք Maclaurin շարքը այս ֆունկցիայի համար և որոշեք դրա կոնվերգենցիայի միջակայքը:
4. Որոշեք ինտերվալը (-R; R), որտեղ գտնվում է Maclaurin բանաձևի մնացորդային մասը

R n (x) -> 0 որպես n -> անսահմանություն: Եթե ​​այդպիսին կա, ապա դրա մեջ f (x) ֆունկցիան պետք է համընկնի Մակլաուրինի շարքի գումարի հետ։

Այժմ դիտարկենք Maclaurin շարքը առանձին գործառույթների համար:

1. Այսպիսով, առաջինը կլինի f (x) = e x: Իհարկե, նման ֆունկցիան իր հատկանիշներով ունի տարբեր կարգերի ածանցյալներ, և f (k) (x) = e x, որտեղ k-ը հավասար է բոլորին Փոխարինել x = 0: Մենք ստանում ենք f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2 ... Ելնելով վերը նշվածից, e x շարքը կունենա հետևյալ տեսքը.

2. Մակլաուրինի շարք f (x) = sin x ֆունկցիայի համար: Անմիջապես պարզաբանենք, որ բոլոր անհայտների համար f-ները կունենան ածանցյալներ, բացի f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), որտեղ k-ը հավասար է ցանկացած բնական թվի: Այսինքն, պարզ հաշվարկներ կատարելուց հետո մենք կարող ենք եզրակացության գալ. որ f (x) = sin x-ի շարքը կլինի այս ձևի.

3. Այժմ փորձենք դիտարկել f-yu f (x) = cos x: Բոլոր անհայտների համար այն ունի կամայական կարգի ածանցյալներ, և | f (k) (x) | = |cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Այսպիսով, մենք թվարկել ենք ամենակարևոր գործառույթները, որոնք կարող են ընդլայնվել Maclaurin շարքի մեջ, բայց որոշ գործառույթների համար դրանք լրացվում են Taylor շարքով: Այժմ թվարկենք նաև դրանք։ Հարկ է նաև նշել, որ Թեյլոր և Մաքլաուրին շարքերը բարձրագույն մաթեմատիկայի շարքերի լուծման աշխատաժողովի կարևոր մասն են: Այսպիսով, Թեյլորը դասվում է:

1. Առաջինը կլինի f-ii f (x) = ln (1 + x) շարքը: Ինչպես նախորդ օրինակներում, տրված f (x) = ln (1 + x) համար մենք կարող ենք շարք ավելացնել՝ օգտագործելով Maclaurin շարքի ընդհանուր ձևը: սակայն, Maclaurin շարքը կարելի է ձեռք բերել շատ ավելի պարզ այս ֆունկցիայի համար: Ինտեգրելով որոշակի երկրաչափական շարք՝ մենք ստանում ենք մի շարք f (x) = ln (1 + x) նման նմուշի համար.

2. Իսկ երկրորդը, որը վերջնական կլինի մեր հոդվածում, կլինի f (x) = arctan x-ի շարքը։ x-ի համար, որը պատկանում է [-1; 1] միջակայքին, տարրալուծումը վավեր է.

Այսքանը: Այս հոդվածը ուսումնասիրել է ամենաշատ օգտագործվող Թեյլորի և Մակլաուրինի շարքերը բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ, մասնավորապես, տնտեսագիտության և տեխնիկական համալսարաններում:

Ինչպե՞ս տեղադրել մաթեմատիկական բանաձևեր կայքում:

Եթե ​​ձեզ երբևէ անհրաժեշտ լինի մեկ կամ երկու մաթեմատիկական բանաձև ավելացնել վեբ էջին, ապա դա անելու ամենահեշտ ձևն է, ինչպես նկարագրված է հոդվածում. մաթեմատիկական բանաձևերը հեշտությամբ տեղադրվում են կայքում՝ Wolfram Alpha-ի ինքնաբերաբար ստեղծած նկարների տեսքով: Բացի պարզությունից, այս բազմակողմանի մեթոդը կօգնի բարելավել ձեր կայքի տեսանելիությունը որոնման համակարգերում: Այն աշխատում է երկար ժամանակ (և, կարծում եմ, հավերժ կաշխատի), բայց բարոյապես հնացել է։

Եթե ​​դուք պարբերաբար օգտագործում եք մաթեմատիկական բանաձևեր ձեր կայքում, ապա խորհուրդ եմ տալիս օգտագործել MathJax՝ հատուկ JavaScript գրադարան, որը ցուցադրում է մաթեմատիկական նշումները վեբ բրաուզերներում՝ օգտագործելով MathML, LaTeX կամ ASCIIMathML նշում:

MathJax-ի օգտագործումը սկսելու երկու եղանակ կա. (1) պարզ կոդ օգտագործելով՝ կարող եք արագորեն միացնել MathJax սկրիպտը ձեր կայքին, որը ճիշտ ժամանակին ավտոմատ կերպով կբեռնվի հեռավոր սերվերից (սերվերների ցուցակ); (2) վերբեռնեք MathJax սկրիպտը հեռավոր սերվերից ձեր սերվեր և միացրեք այն ձեր կայքի բոլոր էջերին: Երկրորդ մեթոդը, որն ավելի բարդ է և ժամանակատար, կարագացնի ձեր կայքի էջերի բեռնումը, և եթե մայր MathJax սերվերը ինչ-ինչ պատճառներով ժամանակավորապես անհասանելի դառնա, դա ոչ մի կերպ չի ազդի ձեր սեփական կայքի վրա։ Չնայած այս առավելություններին, ես ընտրեցի առաջին մեթոդը, քանի որ այն ավելի պարզ է, արագ և չի պահանջում տեխնիկական հմտություններ: Հետևեք իմ օրինակին և 5 րոպեից կկարողանաք օգտագործել MathJax-ի բոլոր հնարավորությունները ձեր կայքում։

Դուք կարող եք միացնել MathJax գրադարանի սցենարը հեռավոր սերվերից՝ օգտագործելով MathJax-ի հիմնական կայքից կամ փաստաթղթերի էջից վերցված կոդի երկու տարբերակ.

Կոդի այս տարբերակներից մեկը պետք է պատճենվի և տեղադրվի ձեր վեբ էջի կոդի մեջ, նախընտրելի է պիտակների միջև: ևկամ պիտակից անմիջապես հետո ... Ըստ առաջին տարբերակի՝ MathJax-ն ավելի արագ է բեռնվում և ավելի քիչ դանդաղեցնում էջը։ Բայց երկրորդ տարբերակը ավտոմատ կերպով հետևում և բեռնում է MathJax-ի վերջին տարբերակները: Եթե ​​տեղադրեք առաջին կոդը, ապա այն պետք է պարբերաբար թարմացվի: Եթե ​​տեղադրեք երկրորդ կոդը, էջերն ավելի դանդաղ կբեռնվեն, բայց ձեզ հարկավոր չի լինի մշտապես վերահսկել MathJax-ի թարմացումները։

MathJax-ը միացնելու ամենահեշտ ձևը Blogger-ում կամ WordPress-ում է. ձեր կայքի վահանակում ավելացրեք վիջեթ, որը նախատեսված է երրորդ կողմի JavaScript կոդը տեղադրելու համար, պատճենեք վերը ներկայացված բեռնման կոդի առաջին կամ երկրորդ տարբերակը և տեղադրեք վիջեթը ավելի մոտ: կաղապարի սկիզբը (ի դեպ, դա ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ, քանի որ MathJax-ի սցենարը բեռնված է ասինխրոն): Այսքանը: Այժմ սովորեք MathML, LaTeX և ASCIIMathML նշագրման շարահյուսությունը, և դուք պատրաստ եք մաթեմատիկական բանաձևերը տեղադրել ձեր կայքի վեբ էջերում:

Ցանկացած ֆրակտալ կառուցված է որոշակի կանոնի համաձայն, որը հետևողականորեն կիրառվում է անսահմանափակ թվով անգամներ։ Յուրաքանչյուր այդպիսի ժամանակ կոչվում է կրկնություն:

Մենգերի սպունգի կառուցման կրկնվող ալգորիթմը բավականին պարզ է. 1-ին կողմով բնօրինակ խորանարդը իր երեսներին զուգահեռ հարթություններով բաժանված է 27 հավասար խորանարդի: Դրանից հանվում է մեկ կենտրոնական և 6 հարակից խորանարդիկ։ Ստացվում է մի հավաքածու, որը բաղկացած է մնացած 20 փոքր խորանարդներից։ Նույնն անելով այս խորանարդներից յուրաքանչյուրի հետ՝ ստանում ենք մի հավաքածու՝ բաղկացած արդեն 400 փոքր խորանարդից։ Անվերջ շարունակելով այս գործընթացը՝ ստանում ենք Menger սպունգ։

Ֆունկցիոնալ սերիաների շարքում ամենակարևոր տեղը զբաղեցնում են ուժային շարքերը։

Շարքը կոչվում է ուժային շարք

որոնց տերմինները ուժային ֆունկցիաներ են, որոնք դասավորված են աճող ամբողջ թվով ոչ բացասական հզորություններով x, ա գ0 , գ 1 , գ 2 , գ n - հաստատուն արժեքներ. Թվեր գ1 , գ 2 , գ n - շարքի անդամների գործակիցները, գ0 - անվճար անդամ: Հզորության շարքի անդամները սահմանվում են ամբողջ թվային տողի վրա։

Եկեք ծանոթանանք հայեցակարգին հզորության շարքի կոնվերգենցիայի տիրույթը։ Սա փոփոխականի արժեքների հավաքածուն է xորի համար շարքը համընկնում է: Power շարքերը ունեն բավականին պարզ կոնվերգենցիայի շրջան: Փոփոխականի իրական արժեքների համար xԿոնվերգենցիայի տիրույթը բաղկացած է կամ մեկ կետից, կամ որոշակի ինտերվալ է (կոնվերգենցիայի միջակայքը), կամ համընկնում է ամբողջ առանցքի հետ Եզ .

Երբ փոխարինվում են հզորության շարքում, արժեքները x= 0 դուք ստանում եք թվային շարք

գ0 +0+0+...+0+... ,

որը համընկնում է.

Հետևաբար, համար x= 0 ցանկացած հզորության շարք համընկնում է և, հետևաբար, նրա կոնվերգենցիայի տարածքը չի կարող դատարկ լինել: Բոլոր ուժային շարքերի կոնվերգենցիայի շրջանի կառուցվածքը նույնն է. Այն կարելի է հաստատել՝ օգտագործելով հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 1 (Աբելի թեորեմ)... Եթե ​​հզորության շարքը համընկնում է որոշակի արժեքի համար x = x 0 ոչ զրոյական, ապա այն համընկնում է, և, առավել ևս, բացարձակապես, բոլոր արժեքների համար |x| < |x 0 | ... Ուշադրություն դարձրեք. և՛ «x-ը զրո է» մեկնարկային արժեքը, և՛ «x»-ի ցանկացած արժեք, որը համեմատվում է մեկնարկային արժեքի հետ, վերցվում են մոդուլով՝ առանց նշանը հաշվի առնելու:

Հետևանք. Եթե հզորության շարքը տարբերվում է ինչ-որ արժեքով x = x 1 , ապա այն շեղվում է բոլոր արժեքների համար |x| > |x 1 | .

Ինչպես ավելի վաղ պարզեցինք, ցանկացած հզորության շարք համընկնում է արժեքի վրա x= 0. Կան հզորության շարքեր, որոնք համընկնում են միայն համար x= 0 և շեղվել այլ արժեքների համար Ն.Ս... Վերացնելով այս դեպքը քննարկումից՝ մենք ենթադրում ենք, որ հզորության շարքը համընկնում է որոշակի արժեքի համար x = x 0 ոչ զրոյական. Այնուհետև Աբելի թեորեմով այն զուգակցվում է միջակայքի բոլոր կետերում] - | x0 |, |x 0 |[ (միջակայքը, որի ձախ և աջ սահմանները x արժեքներն են, որոնցում միավորվում է հզորության շարքը, համապատասխանաբար վերցված մինուս և գումարած նշաններով), սիմետրիկ ծագման նկատմամբ։

Եթե ​​հզորության շարքը շեղվում է որոշակի արժեքով x = x 1 , ապա, հիմնվելով Աբելի թեորեմի հետևության վրա, այն նույնպես շեղվում է հատվածից դուրս գտնվող բոլոր կետերում [- | x1 |, |x 1 |] ... Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած հզորության շարքի համար գոյություն ունի ծագման սիմետրիկ ինտերվալ, որը կոչվում է կոնվերգենցիայի միջակայքը , որի յուրաքանչյուր կետում սերիան համընկնում է, սահմաններում այն ​​կարող է համընկնել և կարող է շեղվել, և պարտադիր չէ, որ միաժամանակ, բայց հատվածից դուրս շարքը շեղվում է: Թիվ Ռկոչվում է հզորության շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղ։

Առանձնահատուկ դեպքերում հզորության շարքերի կոնվերգենցիայի միջակայքը կարող է այլասերվել մինչև մի կետ (այնուհետև շարքը համընկնում է միայն համար x= 0 և ենթադրվում է, որ Ռ= 0) կամ ներկայացնում է ամբողջ թվային ուղիղը (այնուհետև շարքը համընկնում է թվային ուղղի բոլոր կետերում և ենթադրվում է, որ):

Այսպիսով, ուժային շարքի կոնվերգենցիայի շրջանի սահմանումը բաղկացած է դրա սահմանումից կոնվերգենցիայի շառավիղը Ռև սերիայի կոնվերգենցիայի ուսումնասիրությունը կոնվերգենցիայի միջակայքի սահմանների վրա (at):

Թեորեմ 2.Եթե ​​հզորության շարքի բոլոր գործակիցները, սկսած ինչ-որ մեկից, ոչ զրոյական են, ապա նրա կոնվերգենցիայի շառավիղը հավասար է սահմանին` շարքի հաջորդող ընդհանուր թվերի գործակիցների բացարձակ արժեքների հարաբերակցությամբ, այսինքն.

Օրինակ 1. Գտե՛ք հզորության շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը

Լուծում. Այստեղ

Օգտագործելով բանաձևը (28) մենք գտնում ենք այս շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը.

Եկեք ուսումնասիրենք շարքի կոնվերգենցիան կոնվերգենցիայի միջակայքի ծայրերում: Օրինակ 13-ը ցույց է տալիս, որ այս շարքը համընկնում է x= 1 և շեղվում է x= -1. Հետևաբար, կոնվերգենցիայի շրջանը կես ինտերվալ է։

Օրինակ 2. Գտե՛ք ուժային շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը

Լուծում. Շարքի գործակիցները դրական են, և

Եկեք գտնենք այս հարաբերակցության սահմանը, այսինքն. Հզորության շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը.

Եկեք ուսումնասիրենք շարքի կոնվերգենցիան միջակայքի ծայրերում: Արժեքների փոխարինում x= -1/5 և x= 1/5-ը տրված շարքում տալիս է.

Այս շարքերից առաջինը համընկնում է (տես օրինակ 5): Բայց հետո, «Բացարձակ կոնվերգենցիա» բաժնի թեորեմի ուժով երկրորդ շարքը նույնպես համընկնում է, և դրա մերձեցման շրջանը հատվածն է.

Օրինակ 3. Գտե՛ք հզորության շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը

Լուծում. Այստեղ

Օգտագործելով բանաձևը (28) մենք գտնում ենք շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը.

Եկեք ուսումնասիրենք շարքի սերտաճումը արժեքների համար: Փոխարինելով դրանք այս շարքում, մենք համապատասխանաբար ստանում ենք

Երկու շարքերն էլ տարբերվում են, քանի որ անհրաժեշտ կոնվերգենցիայի պայմանը բավարարված չէ (նրանց ընդհանուր տերմինները չեն հակված զրոյի): Այսպիսով, կոնվերգենցիայի միջակայքի երկու ծայրերում տվյալ շարքը շեղվում է, և դրա մերձեցման շրջանը միջակայքն է։

Օրինակ 5. Գտե՛ք ուժային շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը

Լուծում. Գտեք կապը, որտեղ և :

Ըստ բանաձևի (28) այս շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղն է

,

այսինքն՝ շարքը համընկնում է միայն համար x= 0 և շեղվում է այլ արժեքների համար Ն.Ս.

Օրինակները ցույց են տալիս, որ սերիաները տարբեր կերպ են վարվում կոնվերգենցիայի միջակայքի ծայրերում: Օրինակ 1-ում շարքը համընկնում է կոնվերգենցիայի միջակայքի մի ծայրում և շեղվում մյուսում, օրինակ 2-ում այն ​​զուգակցվում է երկու ծայրերում, օրինակ 3-ում շեղվում է երկու ծայրերում:

Հզորության շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղի բանաձևը ստացվում է այն ենթադրությամբ, որ շարքի բոլոր գործակիցները՝ սկսած որևէ մեկից, զրոյական չեն։ Հետեւաբար, բանաձեւի (28) օգտագործումը թույլատրելի է միայն այս դեպքերում։ Եթե ​​այս պայմանը խախտված է, ապա պետք է որոնել հզորության շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը՝ օգտագործելով. d'Alembert նշանկամ փոփոխականը փոխելով՝ շարքը վերածելով այն ձևի, որով բավարարված է նշված պայմանը։

Օրինակ 6. Գտե՛ք հզորության շարքի կոնվերգենցիայի միջակայքը

Լուծում. Այս շարքը չի պարունակում տարօրինակ աստիճան ունեցող անդամներ: Ն.Ս... Հետևաբար, մենք վերափոխում ենք շարքը՝ կարգավորելով: Այնուհետև մենք ստանում ենք շարքը

գտնել այն կոնվերգենցիայի շառավիղը, որի կոնվերգենցիայի շառավիղը կարելի է կիրառել (28): Քանի որ ա, ապա այս շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը

Հետևաբար, մեր ստացած հավասարությունից այս շարքը համընկնում է միջակայքի վրա:

Հզորության շարքի գումարը. Power Series-ի տարբերակում և ինտեգրում

Թող մի ուժային շարք

կոնվերգենցիայի շառավիղը Ռ> 0, այսինքն. այս շարքը համընկնում է միջակայքի վրա:

Այնուհետև յուրաքանչյուր արժեք Ն.ՍԿոնվերգենցիայի միջակայքից համապատասխանում է շարքի որոշակի գումար: Հետևաբար, հզորությունների շարքի գումարը ֆունկցիա է Ն.Սկոնվերգենցիայի միջակայքի վրա։ Նշելով այն միջոցով զ(x), կարող ենք գրել հավասարությունը

հասկանալով այն այն իմաստով, որ յուրաքանչյուր կետում շարքի գումարը Ն.Սկոնվերգենցիայի միջակայքից հավասար է ֆունկցիայի արժեքին զ(x) այս պահին: Նույն իմաստով մենք կասենք, որ հզորության շարքը (29) համընկնում է ֆունկցիայի հետ զ(x) կոնվերգենցիայի միջակայքի վրա:

Կոնվերգենցիայի միջակայքից դուրս հավասարությունը (30) անիմաստ է:

Օրինակ 7.Գտե՛ք ուժային շարքի գումարի գումարը

Լուծում. Սա երկրաչափական շարք է ա= 1, և ք= x... Հետևաբար, դրա գումարը ֆունկցիա է ... Շարքը համընկնում է, եթե և նրա կոնվերգենցիայի միջակայքն է: Հետեւաբար, հավասարությունը

վավեր է միայն արժեքների համար, թեև ֆունկցիան սահմանված է բոլոր արժեքների համար Ն.Ս, բացառությամբ Ն.Ս= 1.

Կարելի է ապացուցել, որ հզորության շարքի գումարը զ(x) շարունակական է և տարբերվող ցանկացած հատվածի վրա, որը գտնվում է կոնվերգենցիայի միջակայքում, մասնավորապես, շարքի կոնվերգենցիայի միջակայքի ցանկացած կետում:

Ներկայացնենք թեորեմներ հզորությունների շարքերի տերմին առ տերմին տարբերակման և ինտեգրման վերաբերյալ։

Թեորեմ 1.Հզորության շարքը (30) իր կոնվերգենցիայի միջակայքում կարող է տերմինային տարբերակվել անսահմանափակ թվով անգամներ, և ստացված հզորության շարքերը ունեն նույն շառավիղը, ինչ սկզբնական շարքը, և դրանց գումարները համապատասխանաբար հավասար են:

Թեորեմ 2.Հզորության շարքը (30) կարող է ինտեգրվել անսահմանափակ թվով անգամ 0-ից մինչև միջակայքում Ն.Ս, եթե, և ստացված հզորության շարքը ունեն նույն կոնվերգենցիայի շառավիղը, ինչ սկզբնական շարքը, և դրանց գումարները, համապատասխանաբար, հավասար են

Գործառույթների ընդլայնում ուժային շարքերում

Թող տրվի ֆունկցիա զ(x), որը պահանջվում է ընդլայնել հզորության շարքում, այսինքն. ներկայացնել (30) ձևով.

Խնդիրը գործակիցները որոշելն է շարք (30): Դրա համար, տերմին առ տերմին տարբերակելով հավասարությունը (30), մենք հաջորդաբար գտնում ենք.

……………………………………………….. (31)

Հավասարությունների սահմանում (30) և (31) Ն.Ս= 0, մենք գտնում ենք

Գտնված արտահայտությունները փոխարինելով հավասարությամբ (30)՝ ստանում ենք

(32)

Եկեք մի քանի տարրական ֆունկցիաների Maclaurin շարքում գտնենք ընդլայնում:

Օրինակ 8.Ընդլայնել Maclaurin շարքի գործառույթը

Լուծում. Այս ֆունկցիայի ածանցյալները նույնն են, ինչ ինքնին ֆունկցիան.

Հետեւաբար, ժամը Ն.Ս= 0 մենք ունենք

Այս արժեքները փոխարինելով (32) բանաձևով, մենք ստանում ենք անհրաժեշտ ընդլայնումը.

(33)

Այս շարքը համընկնում է ամբողջ թվային գծի վրա (նրա կոնվերգենցիայի շառավիղը):

16.1. Տարրական ֆունկցիաների ընդլայնում Թեյլորի շարքում և

Մակլուրին

Եկեք ցույց տանք, որ եթե բազմության վրա կամայական ֆունկցիա է սահմանված
, կետի շրջակայքում
ունի բազմաթիվ ածանցյալներ և ուժային շարքի գումարն է.

ապա կարելի է գտնել այս շարքի գործակիցները։

Փոխարինող ուժային շարքում
... Հետո
.

Գտե՛ք ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը
:

ժամը
:
.

Երկրորդ ածանցյալի համար մենք ստանում ենք.

ժամը
:
.

Շարունակելով այս ընթացակարգը nերբ մենք ստանում ենք.
.

Այսպիսով, մենք ստացանք ձևի հզորության շարք.

,

որը կոչվում է Թեյլորի կողքինֆունկցիայի համար
կետի մոտակայքում
.

Թեյլորի շարքի հատուկ դեպքն է Maclaurin շարքժամը
:

Թեյլորի (Maclaurin) շարքի մնացորդը ստացվում է հիմնական տողերը հեռացնելու միջոցով nառաջին անդամները և նշվում են որպես
... Այնուհետև գործառույթը
կարելի է գրել որպես գումար nմի շարքի վաղ անդամներ
իսկ մնացածը
:,

.

Մնացածը սովորաբար
արտահայտված տարբեր բանաձևերով.

Դրանցից մեկը Լագրանժի տեսքով է.

, որտեղ
.
.

Նշենք, որ գործնականում Maclaurin շարքն ավելի հաճախ է օգտագործվում: Այսպիսով, ֆունկցիան գրելու համար
հզորության շարքի գումարի տեսքով անհրաժեշտ է.

1) գտնել Maclaurin (Taylor) շարքի գործակիցները.

2) գտնել ստացված հզորության շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը.

3) ապացուցել, որ տրված շարքը համընկնում է ֆունկցիայի հետ
.

Թեորեմ1 (անհրաժեշտ և բավարար պայման Maclaurin շարքի մերձեցման համար): Թող շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը
... Որպեսզի այս շարքը համընկնի միջակայքում
գործել
, անհրաժեշտ և բավարար է պայմանը բավարարելու համար.
նշված միջակայքում:

Թեորեմ 2.Եթե ​​ֆունկցիայի որևէ կարգի ածանցյալներ
որոշակի ընդմիջումով
բացարձակ արժեքով սահմանափակված նույն թվով Մ, այն է
, ապա այս միջակայքում ֆունկցիան
կարող է ընդլայնվել Maclaurin շարքի մեջ:

Օրինակ1 . Ընդարձակեք Թեյլորի շարքով կետի շուրջ
ֆունկցիան։

Լուծում.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Կոնվերգենցիայի շրջան
.

Օրինակ2 . Ընդլայնել գործառույթը կետի շուրջ Թեյլորի շարքում
.

Լուծում:

Գտե՛ք ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների արժեքը
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք անընդմեջ: Մենք ստանում ենք.

կամ
.

Եկեք գտնենք այս շարքի մերձեցման շրջանը: Համաձայն դ'Ալեմբերի հատկանիշի, շարքը համընկնում է, եթե

.

Հետեւաբար, ցանկացած այս սահմանը 1-ից փոքր է, և, հետևաբար, շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը կլինի.
.

Եկեք դիտարկենք ընդլայնման մի քանի օրինակներ Maclaurin-ի հիմնական տարրական ֆունկցիաների շարքում: Հիշեցնենք, որ Maclaurin շարքը.

.

համընկնում է միջակայքի վրա
գործել
.

Նշենք, որ ֆունկցիան շարքով ընդլայնելու համար անհրաժեշտ է.

ա) գտնել այս ֆունկցիայի համար Maclaurin շարքի գործակիցները.

բ) հաշվարկել կոնվերգենցիայի շառավիղը ստացված շարքի համար.

գ) ապացուցել, որ ստացված շարքը համընկնում է ֆունկցիայի հետ
.

Օրինակ 3.Դիտարկենք գործառույթը
.

Լուծում.

Եկեք հաշվարկենք ֆունկցիայի և դրա ածանցյալների արժեքը
.

Այնուհետև շարքի թվային գործակիցներն են.

որևէ մեկի համար n.Գտնված գործակիցները փոխարինեք Maclaurin շարքով և ստացեք.

Գտե՛ք ստացված շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը, այն է՝

.

Հետևաբար, շարքը համընկնում է միջակայքի վրա
.

Այս շարքը համընկնում է ֆունկցիայի հետ ցանկացած արժեքների համար քանի որ ցանկացած բաց
ֆունկցիան իսկ նրա ածանցյալները բացարձակ արժեքով սահմանափակվում են թվով .

Օրինակ4 . Դիտարկենք գործառույթը
.

Լուծում.

:

Հեշտ է տեսնել, որ զույգ կարգի ածանցյալները
, իսկ ածանցյալները կենտ կարգի են։ Մենք գտնված գործակիցները փոխարինում ենք Maclaurin շարքի մեջ և ստանում ընդլայնումը.

Գտնենք այս շարքի կոնվերգենցիայի միջակայքը: Դ'Ալեմբերի հիման վրա.

որևէ մեկի համար ... Հետևաբար, շարքը համընկնում է միջակայքի վրա
.

Այս շարքը համընկնում է ֆունկցիայի հետ
, քանի որ նրա բոլոր ածանցյալները սահմանափակվում են մեկով։

Օրինակ5 .
.

Լուծում.

Եկեք գտնենք ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների արժեքը
:

Այսպիսով, այս շարքի գործակիցները.
և
, հետևաբար.

Նմանապես նախորդ շարքի հետ՝ կոնվերգենցիայի շրջանը
... Շարքը համընկնում է ֆունկցիայի հետ
, քանի որ նրա բոլոր ածանցյալները սահմանափակվում են մեկով։

Նշենք, որ ֆունկցիան
կենտ և շարքերի ընդլայնում կենտ աստիճաններով, ֆունկցիան
- հավասարաչափ և շարքի ընդլայնում զույգ ուժերում:

Օրինակ6 . Երկանդամ շարք.
.

Լուծում.

Եկեք գտնենք ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների արժեքը
:

Այստեղից պարզ է դառնում, որ.

Փոխարինեք Maclaurin շարքի գործակիցների այս արժեքները և ստացեք այս ֆունկցիայի ընդլայնումը հզորության շարքում.

Գտե՛ք այս շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը.

Հետևաբար, շարքը համընկնում է միջակայքի վրա
... Սահմանային կետերում ժամը
և
շարքը կարող է կամ չի կարող համընկնել՝ կախված ցուցիչից
.

Ուսումնասիրվող շարքը համընկնում է միջակայքի վրա
գործել
, այսինքն՝ գանձման գումարը
ժամը
.

Օրինակ7 . Եկեք ընդլայնենք Maclaurin շարքի գործառույթը
.

Լուծում.

Այս ֆունկցիան շարքով ընդլայնելու համար մենք օգտագործում ենք երկանդամային շարքը
... Մենք ստանում ենք.

Հիմք ընդունելով հզորության շարքի հատկությունը (հզորության շարքը կարող է ինտեգրվել իր կոնվերգենցիայի տարածաշրջանում) մենք գտնում ենք այս շարքի ձախ և աջ կողմերի ինտեգրալը.

Եկեք գտնենք այս շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը.
,

այսինքն՝ այս շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը միջակայքն է
... Եկեք սահմանենք շարքի կոնվերգենցիան միջակայքի ծայրերում: ժամը

... Այս շարքը ներդաշնակ շարք է, այսինքն՝ շեղվում է։ ժամը
ստանում ենք ընդհանուր տերմինով թվային շարք
.

Լայբնիցի շարքը համընկնում է: Այսպիսով, այս շարքի կոնվերգենցիայի շրջանը միջակայքն է
.

16.2. Power Series-ի կիրառում մոտավոր հաշվարկներում

Մոտավոր հաշվարկներում հզորության շարքերը չափազանց կարևոր դեր են խաղում: Նրանց օգնությամբ կազմվել են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակներ, լոգարիթմների աղյուսակներ, այլ ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակներ, որոնք օգտագործվում են գիտելիքի տարբեր ոլորտներում, օրինակ՝ հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ։ Բացի այդ, ուժային շարքի ֆունկցիաների ընդլայնումը օգտակար է դրանց տեսական ուսումնասիրության համար։ Մոտավոր հաշվարկներում հզորության շարք օգտագործելու հիմնական խնդիրը սերիայի գումարը առաջինի գումարով փոխարինելիս սխալի գնահատման խնդիրն է։ nանդամներ։

Դիտարկենք երկու դեպք.

ֆունկցիան ընդլայնվում է փոխարինող շարքերի.

ֆունկցիան ընդլայնվում է մշտական ​​շարքի:

Հաշվարկ՝ օգտագործելով փոփոխական շարքեր

Թող գործառույթը
ընդլայնվել է փոխարինող հզորության շարքի: Այնուհետև այս ֆունկցիան որոշակի արժեքի համար հաշվարկելիս մենք ստանում ենք թվային շարք, որի վրա կարելի է կիրառել Լայբնիցի թեստը: Այս հատկանիշին համապատասխան, եթե շարքի գումարը փոխարինվի նրա առաջինի գումարով nպայմաններ, ապա բացարձակ սխալը չի ​​գերազանցում այս շարքի մնացորդի առաջին անդամը, այսինքն.
.

Օրինակ8 . Հաշվիր
ճշգրիտ մինչև 0,0001:

Լուծում.

Մենք կօգտագործենք Maclaurin շարքը
անկյան արժեքը ռադիաններով փոխարինելով.

Եթե ​​շարքի առաջին և երկրորդ անդամները համեմատենք տրված ճշգրտությամբ, ապա.

Ընդլայնման երրորդ ժամկետը.

պակաս, քան նշված հաշվարկման ճշգրտությունը: Հետեւաբար, հաշվարկել
բավական է թողնել սերիալի երկու անդամ, այսինքն

.

Այսպիսով
.

Օրինակ9 . Հաշվիր
0,001 ճշտությամբ։

Լուծում.

Մենք կօգտագործենք երկանդամ շարքի բանաձևը. Դա անելու համար գրեք
որպես:
.

Այս արտահայտության մեջ
,

Եկեք համեմատենք շարքի անդամներից յուրաքանչյուրին նշված ճշգրտությամբ։ Պարզ է, որ
... Հետեւաբար, հաշվարկել
բավական է շարքից երեք անդամ թողնել։

կամ
.

Հաշվարկ՝ օգտագործելով դրական շարքեր

Օրինակ10 . Հաշվիր թիվը ճշգրիտ մինչև 0,001:

Լուծում.

Ֆունկցիայի համար անընդմեջ
փոխարինող
... Մենք ստանում ենք.

Եկեք գնահատենք այն սխալը, որն առաջանում է, երբ շարքի գումարը փոխարինվում է առաջինի գումարով անդամներ։ Գրենք ակնհայտ անհավասարությունը.

դա 2 է<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Ըստ խնդրի պայմանի՝ պետք է գտնել nայնպես, որ գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
կամ
.

Դա հեշտ է ստուգել դրա համար n= 6:
.

Հետևաբար,
.

Օրինակ11 . Հաշվիր
0,0001 ճշտությամբ։

Լուծում.

Նկատի ունեցեք, որ լոգարիթմները հաշվարկելու համար կարելի է ֆունկցիայի համար կիրառել շարք
, բայց այս շարքը շատ դանդաղ է համընկնում, և տվյալ ճշտությանը հասնելու համար անհրաժեշտ կլիներ վերցնել 9999 տերմին։ Հետևաբար, լոգարիթմները հաշվարկելու համար, որպես կանոն, ֆունկցիայի շարք է
որը համընկնում է միջակայքի վրա
.

Եկեք հաշվարկենք
օգտագործելով այս շարքը: Թող լինի
, ապա .

Հետևաբար,
,

Հաշվարկելու համար
Տրված ճշգրտությամբ մենք վերցնում ենք առաջին չորս անդամների գումարը.
.

Շարքի մնացորդը
հրաժարվել. Եկեք գնահատենք սխալը. Ակնհայտ է, որ

կամ
.

Այսպիսով, այն շարքում, որն օգտագործվել է հաշվարկի համար, ֆունկցիայի համար բավական է վերցնել միայն առաջին չորս անդամները շարքի 9999-ի փոխարեն։
.

Ինքնաթեստի հարցեր

1. Ի՞նչ է Թեյլորի շարքը:

2. Ինչպիսի՞ն է եղել Maclaurin շարքը:

3. Ձևակերպե՛ք Թեյլորի շարքում ֆունկցիայի ընդլայնման թեորեմ:

4. Գրի՛ր հիմնական ֆունկցիաների Maclaurin շարքի ընդլայնումը:

5. Նշեք դիտարկված շարքի մերձեցման տարածքները:

6. Ինչպե՞ս գնահատել մոտավոր հաշվարկների սխալը՝ օգտագործելով հզորության շարքերը:

Եթե ​​ֆունկցիան f (x)ունի կետը պարունակող որոշակի ընդմիջում ա, բոլոր կարգերի ածանցյալները, ապա դրա վրա կարելի է կիրառել Թեյլորի բանաձևը.

որտեղ r n- այսպես կոչված մնացորդը կամ շարքի մնացորդը, այն կարելի է գնահատել Լագրանժի բանաձևով.

, որտեղ x թիվը գտնվում է միջև Ն.Սև ա.

Եթե ​​ինչ-որ արժեքի համար x r n®0 համար n® ¥, այնուհետև սահմանաչափում այս արժեքի համար Թեյլորի բանաձևը վերածվում է կոնվերգենտի Թեյլորի շարք:

Այսպիսով, գործառույթը f (x)կարող է ընդլայնվել և վերածվել Թեյլորի շարքի՝ դիտարկվող կետում Ն.Ս, եթե:

1) ունի բոլոր պատվերների ածանցյալները.

2) կառուցված շարքը համընկնում է այս կետում:

ժամը ա= 0 մենք ստանում ենք մի շարք, որը կոչվում է Մակլաուրինի մոտ:

Օրինակ 1 f (x) = 2x.

Լուծում... Եկեք գտնենք ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների արժեքները Ն.Ս=0

f (x) = 2x, զ ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2x ln2, զ ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2x 2 2 հասցեում, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2x ln n 2, զ (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Ածանցյալների ստացված արժեքները փոխարինելով Թեյլորի շարքի բանաձևով, մենք ստանում ենք.

Այս շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը հավասար է անսահմանության, հետևաբար, այս ընդլայնումը վավեր է - ¥-ի համար<x<+¥.

Օրինակ 2 Ն.Ս+4) ֆունկցիայի համար f (x) =ե x.

Լուծում... Գտե՛ք e ֆունկցիայի ածանցյալները xև դրանց արժեքները տվյալ կետում Ն.Ս=-4.

f (x)= էլ x, զ (-4) = էլ -4 ;

f ¢ (x)= էլ x, զ ¢ (-4) = էլ -4 ;

f ¢¢ (x)= էլ x, f ¢¢ (-4) = էլ -4 ;

f (n) (x)= էլ x, զ (n) ( -4) = էլ -4 .

Հետևաբար, ֆունկցիայի պահանջվող Թեյլորի շարքն ունի հետևյալ ձևը.

Այս ընդլայնումը գործում է նաև - ¥-ի համար<x<+¥.

Օրինակ 3 ... Ընդլայնել գործառույթը f (x)= ln xմի շարք լիազորություններով ( NS- 1),

(այսինքն՝ Թեյլորի շարքում՝ կետի մոտակայքում Ն.Ս=1).

Լուծում... Գտե՛ք այս ֆունկցիայի ածանցյալները:

Փոխարինելով այս արժեքները բանաձևի մեջ, մենք ստանում ենք պահանջվող Taylor շարքը.

Օգտագործելով d'Alembert թեստը, կարելի է համոզվել, որ շարքը համընկնում է

½ NS- 1 ½<1. Действительно,

Շարքը համընկնում է, եթե ½ NS- 1 ½<1, т.е. при 0<x<2. При Ն.Ս= 2 մենք ստանում ենք փոփոխական շարք, որը բավարարում է Լայբնիցի թեստի պայմանները: ժամը Ն.Ս= 0 ֆունկցիան սահմանված չէ: Այսպիսով, Թեյլորի շարքի կոնվերգենցիայի տիրույթը կիսաբաց ինտերվալն է (0; 2]:

Ներկայացնենք Maclaurin շարքում (այսինքն՝ կետի մոտակայքում) նույն կերպ ստացված ընդարձակումները. Ն.Ս= 0) որոշ տարրական գործառույթների համար.

(2) ,

(3) ,

(վերջին տարրալուծումը կոչվում է երկանդամ շարք)

Օրինակ 4 ... Ընդլայնել գործառույթը հզորության շարքում

Լուծում... Ընդլայնման մեջ (1) մենք փոխարինում ենք Ն.Սվրա - Ն.Ս 2, մենք ստանում ենք.

Օրինակ 5 ... Ընդլայնել Maclaurin շարքի գործառույթը

Լուծում... Մենք ունենք

Օգտագործելով (4) բանաձևը, մենք կարող ենք գրել.

փոխարինելով Ն.Սբանաձևի մեջ -Ն.Ս, ստանում ենք.

Այստեղից մենք գտնում ենք.

Ընդլայնելով փակագծերը, վերադասավորելով շարքի տերմինները և կատարելով նմանատիպ տերմինների կրճատում, ստանում ենք

Այս շարքը համընկնում է միջակայքում

(-1; 1), քանի որ այն ստացվում է երկու շարքից, որոնցից յուրաքանչյուրը համընկնում է այս միջակայքում:

Մեկնաբանություն .

Բանաձևերը (1) - (5) կարող են օգտագործվել նաև Թեյլորի շարքի համապատասխան գործառույթներն ընդլայնելու համար, այսինքն. դրական ամբողջ թվերով ֆունկցիաների ընդլայնման համար ( Հա). Դա անելու համար տվյալ ֆունկցիայի նկատմամբ անհրաժեշտ է կատարել այնպիսի միանման փոխակերպումներ, որպեսզի ստացվի (1) - (5) ֆունկցիաներից մեկը, որում փոխարենը. Ն.Սծախսեր k ( Հա) m, որտեղ k-ն հաստատուն թիվ է, m-ը դրական ամբողջ թիվ է: Հաճախ հարմար է փոխել փոփոխականը տ=Հաև ընդլայնել ստացված ֆունկցիան t-ի նկատմամբ Maclaurin շարքում:

Այս մեթոդը ցույց է տալիս ուժային շարքում ֆունկցիայի ընդլայնման եզակիության թեորեմը։ Այս թեորեմի էությունն այն է, որ միևնույն կետի շրջակայքում հնարավոր չէ ստանալ երկու տարբեր ուժային շարքեր, որոնք կմիանան նույն ֆունկցիային, անկախ նրանից, թե ինչպես է կատարվում դրա ընդլայնումը։

Օրինակ 6 ... Ընդարձակեք Թեյլորի շարքի ֆունկցիան կետի հարևանությամբ Ն.Ս=3.

Լուծում... Այս խնդիրը կարող է լուծվել, ինչպես նախկինում, օգտագործելով Taylor շարքի սահմանումը, որի համար անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալները և դրանց արժեքները. Ն.Ս= 3. Այնուամենայնիվ, ավելի հեշտ կլինի օգտագործել գոյություն ունեցող տարրալուծումը (5).

Ստացված շարքը համընկնում է կամ -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Օրինակ 7 ... Գրեք Թեյլորի շարքը հզորությամբ ( Ն.Ս-1) գործառույթներ .

Լուծում.

Շարքը համընկնում է , կամ 2< x£ 5.