Լուծման ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում. Ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումը

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ

Ներածություն 2

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ 5

Հանրահաշիվ 5

Նույնանուն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարության պայմանի միջոցով հավասարումների լուծում 7

Ֆակտորինգ 8

Կրճատում միատարր հավասարման 10

Օժանդակ անկյունի ներածություն 11

Աշխատանքը դարձրեք 14 գումարի

Ունիվերսալ փոխարինում 14

Եզրակացություն 17

Ներածություն

Մինչև տասներորդ դասարանը նպատակին տանող բազմաթիվ վարժությունների գործողությունների հերթականությունը, որպես կանոն, միանշանակ է սահմանվում։ Օրինակ՝ գծային և քառակուսի հավասարումներև անհավասարություններ, կոտորակային և քառակուսի հավասարումներ և այլն: Առանց մանրամասնորեն քննելու վերը նշված օրինակներից յուրաքանչյուրի լուծման սկզբունքը, նշենք, թե ինչն է ընդհանուր, որն անհրաժեշտ է դրանց հաջող լուծման համար։

Շատ դեպքերում անհրաժեշտ է որոշել, թե առաջադրանքը ինչ տեսակի է պատկանում, հիշել նպատակին տանող գործողությունների հաջորդականությունը և կատարել այդ գործողությունները: Ակնհայտ է, որ ուսանողի հաջողությունը կամ ձախողումը հավասարումների լուծման մեթոդներին տիրապետելու հարցում հիմնականում կախված է նրանից, թե որքանով նա կկարողանա ճիշտ որոշել հավասարման տեսակը և հիշել դրա լուծման բոլոր փուլերի հաջորդականությունը: Իհարկե, սա ենթադրում է, որ ուսանողն ունի կատարման հմտություններ նույնական փոխակերպումներև հաշվողական:

Բոլորովին այլ իրավիճակ է առաջանում, երբ ուսանողը հանդիպում է եռանկյունաչափական հավասարումների: Միևնույն ժամանակ, դժվար չէ հաստատել այն փաստը, որ հավասարումը եռանկյունաչափական է։ Դժվարություններ են առաջանում գործողությունների հաջորդականությունը գտնելիս, որոնք կհանգեցնեն դրական արդյունք... Եվ այստեղ ուսանողը կանգնած է երկու խնդրի առաջ. Ըստ տեսքըտեսակը դժվար է որոշել հավասարումները: Եվ առանց տեսակը իմանալու, գրեթե անհնար է ընտրել ճիշտ բանաձեւը հասանելի մի քանի տասնյակից։

Որպեսզի օգնեն ուսանողներին գտնել ճիշտ ուղին եռանկյունաչափական հավասարումների բարդ լաբիրինթոսում, նրանց նախ ծանոթացնում են հավասարումների, որոնք նոր փոփոխական ներմուծելուց հետո վերածվում են քառակուսուների: Այնուհետև միատարր հավասարումները լուծվում են և իջեցվում դրանց: Ամեն ինչ ավարտվում է, որպես կանոն, հավասարումներով, որոնց լուծման համար անհրաժեշտ է ֆակտորինգ անել ձախ կողմը, այնուհետև յուրաքանչյուր գործոն հավասարեցնել զրոյի։

Հասկանալով, որ դասերում վերլուծված մեկուկես տասնյակ հավասարումները ակնհայտորեն բավարար չեն աշակերտին եռանկյունաչափական «ծովով» ինքնուրույն ճանապարհորդություն սկսելու համար, ուսուցիչը ևս մի քանի առաջարկ է ավելացնում իրենից։

Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար պետք է փորձել.

Կրճատել հավասարման մեջ ներառված բոլոր գործառույթները «հավասար անկյունների»;

Կրճատել հավասարումը «նույնական գործառույթների»;

Գործոնավորեք հավասարման ձախ կողմը և այլն:

Բայց, չնայած եռանկյունաչափական հավասարումների հիմնական տեսակների և դրանց լուծումը գտնելու մի քանի սկզբունքների իմացությանը, շատ ուսանողներ դեռևս հայտնվում են փակուղում յուրաքանչյուր հավասարումից առաջ, որը մի փոքր տարբերվում է նախկինում լուծվածներից: Անհասկանալի է մնում, թե ինչին պետք է ձգտել՝ ունենալով այս կամ այն ​​հավասարումը, ինչու է մի դեպքում անհրաժեշտ կիրառել կրկնակի անկյան բանաձևեր, մյուսում՝ կես, իսկ երրորդում՝ գումարման բանաձևեր և այլն։

Սահմանում 1.Եռանկյունաչափությունը հավասարում է, որում անհայտը պարունակվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանի տակ։

Սահմանում 2.Նրանք ասում են, որ եռանկյունաչափական հավասարումն ունի նույն անկյունները, եթե դրանում ներառված բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հավասար արգումենտներ։ Եռանկյունաչափական հավասարումը կոչվում է նույն ֆունկցիան, եթե այն պարունակում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից միայն մեկը:

Սահմանում 3.Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող միանդամի աստիճանը նրանում ներառված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հզորությունների ցուցիչների գումարն է։

Սահմանում 4.Հավասարումը կոչվում է միատարր, եթե դրանում ընդգրկված բոլոր միանդամներն ունեն նույն աստիճանը։ Այս աստիճանը կոչվում է հավասարման կարգ։

Սահմանում 5.Եռանկյունաչափական հավասարում, որը պարունակում է միայն ֆունկցիաներ մեղքև cos, կոչվում է միատարր, եթե եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նկատմամբ բոլոր միանդամներն ունեն նույն աստիճանը, իսկ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն իրենք ունեն հավասար անկյուններ և միանդամների թիվը 1-ով ավելի է հավասարման կարգից։

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը բաղկացած է երկու փուլից՝ վերափոխել հավասարումը նրա ամենապարզ ձևը ստանալու համար և լուծել ստացված ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը։ Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման յոթ հիմնական մեթոդ կա:

Ի. Հանրահաշվական մեթոդ.Այս մեթոդը հայտնի է հանրահաշվից։ (Փոփոխական փոխարինման և փոխարինման մեթոդ):

Լուծել հավասարումներ.

1)

Ներկայացնենք նշումը x=2 մեղք3 տ, ստանում ենք

Այս հավասարումը լուծելով՝ մենք ստանում ենք.
կամ

դրանք. կարելի է գրել

Ստացված որոշումը նշանների առկայության պատճառով արձանագրելիս աստիճան
անիմաստ է գրել.

Պատասխան.

Նշում ենք

Մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարումը
... Դրա արմատները թվեր են
և
... Ահա թե ինչու տրված հավասարումըվերածվում է ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների
և
... Լուծելով դրանք՝ մենք գտնում ենք, որ
կամ
.

Պատասխան.
;
.

Նշում ենք

չի բավարարում պայմանը

Միջոցներ

Պատասխան.

Փոխակերպենք հավասարման ձախ կողմը.

Այսպիսով, այս նախնական հավասարումը կարելի է գրել այսպես.

, այսինքն.

Նշանակելով
, ստանում ենք
Այս քառակուսային հավասարումը լուծելով՝ մենք ունենք.

չի բավարարում պայմանը

Մենք գրում ենք սկզբնական հավասարման լուծումը.

Պատասխան.

Փոխարինում
նվազեցնում է այս հավասարումը քառակուսի հավասարման
... Դրա արմատները թվեր են
և
... Որովհետեւ
, ապա տրված հավասարումն արմատներ չունի։

Պատասխան՝ արմատներ չկան։

II... Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով նմանատիպ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարության պայմանը.

ա)
, եթե

բ)
, եթե

v)
, եթե

Օգտագործելով այս պայմանները, հաշվի առեք հետևյալ հավասարումների լուծումը.

6)

Օգտագործելով a մասում ասվածը), մենք գտնում ենք, որ հավասարումը լուծում ունի, եթե և միայն, եթե
.

Լուծելով այս հավասարումը, մենք գտնում ենք
.

Մենք ունենք լուծումների երկու խումբ.

.

7) Լուծե՛ք հավասարումը.
.

Օգտագործելով բ պայմանը), մենք եզրակացնում ենք, որ
.

Այս քառակուսի հավասարումները լուծելով՝ մենք ստանում ենք.

.

8) Լուծե՛ք հավասարումը
.

Այս հավասարումից մենք եզրակացնում ենք, որ. Լուծելով այս քառակուսի հավասարումը, մենք գտնում ենք, որ

.

III... Ֆակտորիզացիա.

Մենք դիտարկում ենք այս մեթոդը օրինակներով:

9) Լուծե՛ք հավասարումը
.

Լուծում. Տեղափոխեք հավասարման բոլոր պայմանները դեպի ձախ.

Մենք փոխակերպում և ֆակտորիզացնում ենք հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը.
.

.

.

1)
2)

Որովհետեւ
և
մի վերցրեք զրո արժեքը

միևնույն ժամանակ, ապա բաժանում ենք երկու մասերը

համար հավասարումներ
,

Պատասխան.

10) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

կամ

Պատասխան.

11) Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում:

1)
2)
3)

,

Պատասխան.

IV... Կրճատում միատարր հավասարման:

Լուծել միատարր հավասարումանհրաժեշտ:

Տեղափոխեք նրա բոլոր անդամները ձախ կողմում;

Բոլոր ընդհանուր գործոնները տեղափոխել փակագծերից;

Սահմանեք բոլոր գործոնները և փակագծերը զրոյի;

զրոյի հավասարեցված փակագծերը տալիս են ավելի փոքր աստիճանի միատարր հավասարում, որը պետք է բաժանվի.
(կամ
) ավագ աստիճանում.

Լուծել ստացված հանրահաշվական հավասարումհամեմատաբար
.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

12) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք
,

Ներկայացնում ենք նշումը
, անվ

այս հավասարման արմատները.

հետևաբար 1)
2)

Պատասխան.

13) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Օգտագործելով կրկնակի անկյան բանաձևերը և հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը, մենք այս հավասարումը նվազեցնում ենք կես փաստարկի.

Նման տերմինները կրճատելուց հետո մենք ունենք.

Միատարր վերջին հավասարումը բաժանելով
, ստանում ենք

ես կնշանակեմ
, ստանում ենք քառակուսի հավասարումը
որոնց արմատները թվերն են

Այսպիսով

Արտահայտություն
անհետանում է
, այսինքն. ժամը
,
.

Հավասարման մեր լուծումը չի ներառում այս թվերը:

Պատասխան.
, .

Վ... Օժանդակ անկյունի ներդրում.

Դիտարկենք ձևի հավասարումը

Որտեղ ա, բ, գ- գործակիցներ, x- անհայտը:

Այս հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանում ենք

Այժմ հավասարման գործակիցներն ունեն սինուսի և կոսինուսի հատկություններ, այն է՝ նրանցից յուրաքանչյուրի մոդուլը չի ​​գերազանցում մեկին, իսկ քառակուսիների գումարը 1 է։

Այնուհետև մենք կարող ենք համապատասխանաբար նշել դրանք
(այստեղ - օժանդակ անկյուն) և մեր հավասարումը ստանում է ձև.

Հետո

Եվ նրա որոշումը

Նշենք, որ ներկայացված անվանումները փոխադարձաբար փոխարինելի են։

14) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Այստեղ
, ուստի հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանում ենք

Պատասխան.

15) Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում. Որովհետեւ
, ապա այս հավասարումը համարժեք է հավասարմանը

Որովհետեւ
, ապա կա այնպիսի անկյուն, որ
,
(դրանք.
).

Մենք ունենք

Որովհետեւ
, ապա վերջապես մենք ստանում ենք.

.

Նկատի ունեցեք, որ ձևի հավասարումը լուծում ունի, եթե և միայն, եթե

16) Լուծե՛ք հավասարումը.

Այս հավասարումը լուծելու համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաները խմբավորում ենք նույն արգումենտներով

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք երկուսի

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը վերածում ենք արտադրյալի.

Պատասխան.

VI... Ստեղծագործությունը գումարի վերածելը.

Այստեղ օգտագործվում են համապատասխան բանաձեւերը։

17) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Ձախ կողմը վերածեք գումարի.

vii.Ունիվերսալ փոխարինում.

,

այս բանաձեւերը ճշմարիտ են բոլորի համար

Փոխարինում
կոչվում է ունիվերսալ:

18) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Փոխարինել և
նրանց արտահայտման միջոցով
և նշել
.

Մենք ստանում ենք ռացիոնալ հավասարում
որը վերածվում է քառակուսու
.

Այս հավասարման արմատները թվերն են
.

Հետևաբար, խնդիրը կրճատվել է երկու հավասարումների լուծման վրա
.

Մենք գտնում ենք, որ
.

Դիտել արժեքը
չի բավարարում սկզբնական հավասարումը, որը ստուգվում է ստուգելով՝ այս արժեքի փոխարինումը տսկզբնական հավասարման մեջ:

Պատասխան.
.

Մեկնաբանություն. 18-րդ հավասարումը կարելի էր լուծել այլ կերպ։

Այս հավասարման երկու կողմերը բաժանեք 5-ի (այսինքն՝ ըստ
):
.

Որովհետեւ
, ուրեմն այդպիսի թիվ կա
, ինչ
և
... Հետևաբար, հավասարումը ստանում է ձև.
կամ
... Սրանից մենք գտնում ենք, որ
որտեղ
.

19) Լուծե՛ք հավասարումը
.

Լուծում. Քանի որ գործառույթները
և
ունեն ամենամեծ արժեքը հավասար է 1-ի, ապա դրանց գումարը հավասար է 2-ի, եթե
և
, միևնույն ժամանակ, այսինքն
.

Պատասխան.
.

Այս հավասարումը լուծելիս օգտագործվել է ֆունկցիաների սահմանայինությունը և.

Եզրակացություն.

Աշխատելով «Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումներ» թեմայով, յուրաքանչյուր ուսուցչի համար օգտակար է հետևել հետևյալ առաջարկություններին.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդների համակարգում:

Ինքներդ ընտրեք հավասարման վերլուծության կատարման քայլերը և լուծման այս կամ այն ​​մեթոդի օգտագործման նպատակահարմարության նշանները:

Մտածեք մեթոդի իրականացման համար իրենց գործունեության ինքնավերահսկման ուղիների մասին:

Սովորեք «ձեր» հավասարումներ կազմել ուսումնասիրված մեթոդներից յուրաքանչյուրի համար:

Հավելված թիվ 1

Լուծե՛ք միատարր կամ միատարր հավասարումներ.

1.	Resp.
	Resp.
	Resp.
5.	Resp.
	Resp.
7.	Resp.
	Resp.

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ նրա հետ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք հարցում եք թողնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և հաղորդել եզակի առաջարկներ, առաջխաղացումներ և այլ իրադարձություններ և գալիք իրադարձություններ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակներով, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններմեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ գովազդային միջոցառման, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը այդ ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Եթե ​​անհրաժեշտ է` օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթներում և (կամ) Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա` բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ սոցիալական այլ կարևոր պատճառներով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմին՝ իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Որպեսզի համոզվենք, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք ներկայացնում ենք գաղտնիության և անվտանգության կանոնները մեր աշխատակիցներին և խստորեն վերահսկում ենք գաղտնիության միջոցների իրականացումը:

Գիտելիքների համալիր կիրառման դաս.

Դասի նպատակները.

1. Հաշվի առեք տարբեր մեթոդներեռանկյունաչափական հավասարումների լուծումներ.
2. Սովորողների ստեղծագործական ունակությունների զարգացում հավասարումների լուծման միջոցով:
3. Աշակերտներին խրախուսել ինքնատիրապետման, փոխադարձ վերահսկողության, իրենց կրթական գործունեության ներդիտման.

Սարքավորումներ՝ էկրան, պրոյեկտոր, տեղեկատու նյութ։

Դասերի ժամանակ

Ներածական զրույց.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդը դրանք ամենապարզին հասցնելն է։ Այս դեպքում, սովորական ուղիներ, օրինակ, ֆակտորիզացիաները, ինչպես նաև տեխնիկան, որն օգտագործվում է միայն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման համար։ Այս տեխնիկաներից բավականին քիչ են, օրինակ՝ տարբեր եռանկյունաչափական փոխարինումներ, անկյունների փոխակերպումներ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխակերպումներ։ Ցանկացած եռանկյունաչափական փոխակերպումների անխտիր կիրառումը սովորաբար չի պարզեցնում հավասարումը, այլ աղետալիորեն բարդացնում է այն: մարզվելու համար ընդհանուր ուրվագիծպլանավորել հավասարումը լուծելու համար, նախանշել հավասարումը ամենապարզին հասցնելու ճանապարհը, նախ պետք է վերլուծել անկյունները՝ հավասարման մեջ ներառված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փաստարկները:

Այսօր մենք կխոսենք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդների մասին։ Ճիշտ ընտրված մեթոդը հաճախ հնարավորություն է տալիս էապես պարզեցնել լուծումը, հետևաբար, մեր ուսումնասիրած բոլոր մեթոդները պետք է միշտ պահվեն մեր ուշադրության գոտում՝ լուծելու համար։ եռանկյունաչափական հավասարումներամենահարմար մեթոդը.

II. (Օգտագործելով պրոյեկտորը, մենք կրկնում ենք հավասարումների լուծման մեթոդները):

1. Եռանկյունաչափական հավասարումը հանրահաշվականի վերածելու մեթոդը.

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պետք է արտահայտել մեկով, նույն արգումենտով։ Դա կարելի է անել՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը և դրա հետևանքները: Ստացնենք մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի հավասարում. Ընդունելով այն որպես նոր անհայտ, մենք ստանում ենք հանրահաշվական հավասարում: Մենք գտնում ենք նրա արմատները և վերադառնում հին անհայտին՝ լուծելով ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները։

2. Ֆակտորացման մեթոդ.

Անկյունները փոխելու համար հաճախ օգտակար են փոխակերպման բանաձևերը, արգումենտների գումարն ու տարբերությունը, ինչպես նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը (տարբերությունը) արտադրյալի և հակառակը վերածելու բանաձևերը։

sin x + sin 3x = մեղք 2x + sin4x

3. Լրացուցիչ անկյունի ներդրման մեթոդ.

4. Ունիվերսալ փոխարինման կիրառման մեթոդ.

F (sinx, cosx, tgx) = 0 ձևի հավասարումները վերածվում են հանրահաշվի՝ օգտագործելով համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինումը

Սինուսը, կոսինուսը և շոշափողն արտահայտելով կիսանկյան շոշափողով: Այս հնարքը կարող է հանգեցնել ավելի բարձր կարգի հավասարման: Որի լուծումը դժվար է.

Եռանկյունաչափական հավասարումները ամենահեշտ թեման չեն: Ցավալիորեն դրանք բազմազան են։) Օրինակ՝ հետևյալը.

մեղք 2 x + cos3x = ctg5x

մեղք (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

և այլն...

Բայց այս (և բոլոր մյուս) եռանկյունաչափական հրեշներն ունեն երկու ընդհանուր և պարտադիր հատկանիշ. Առաջինը՝ չես հավատա, հավասարումների մեջ կան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։) Երկրորդ՝ x-ով բոլոր արտահայտությունները գտնված են։ այս նույն գործառույթների ներսում:Եվ միայն այնտեղ! Եթե ​​x-ը հայտնվում է որևէ տեղ դրսում,օրինակ, sin2x + 3x = 3,սա արդեն հավասարություն կլինի խառը տեսակ... Նման հավասարումները պահանջում են անհատական ​​մոտեցում։ Մենք դրանք այստեղ չենք դիտարկելու։

Այս դասին էլ չար հավասարումներ չենք լուծի։) Այստեղ կզբաղվենք առավել պարզ եռանկյունաչափական հավասարումներ.Ինչո՞ւ։ Այո, քանի որ լուծումը ցանկացածԵռանկյունաչափական հավասարումները ունեն երկու փուլ. Առաջին փուլում տարբեր փոխակերպումների միջոցով չար հավասարումը վերածվում է պարզի։ Երկրորդի վրա այս ամենապարզ հավասարումը լուծված է։ Ուրիշ ճանապարհ չկա։

Այսպիսով, եթե երկրորդ փուլում դուք խնդիրներ ունեք, ապա առաջին փուլն այնքան էլ իմաստ չունի:)

Ինչպիսի՞ն են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները:

sinx = ա

cosx = ա

tgx = ա

ctgx = ա

Այստեղ ա նշանակում է ցանկացած թիվ. Ցանկացած մեկը:

Ի դեպ, ֆունկցիայի ներսում կարող է լինել ոչ թե մաքուր x, այլ ինչ-որ արտահայտություն, ինչպիսին է.

cos (3x + π / 3) = 1/2

և այլն: Սա բարդացնում է կյանքը, բայց դա ոչ մի կերպ չի ազդում եռանկյունաչափական հավասարման լուծման մեթոդի վրա։

Ինչպե՞ս լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:

Եռանկյունաչափական հավասարումները կարելի է լուծել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը` օգտագործելով տրամաբանությունը և եռանկյունաչափական շրջանը: Այս ճանապարհը մենք կքննարկենք այստեղ: Երկրորդ ճանապարհը՝ հիշողության և բանաձևերի օգտագործումը, կքննարկվի հաջորդ դասին:

Առաջին ճանապարհը պարզ է, վստահելի և դժվար է մոռանալ:) Այն լավ է եռանկյունաչափական հավասարումներ, անհավասարություններ և բոլոր տեսակի խորամանկ ոչ ստանդարտ օրինակներ լուծելու համար: Տրամաբանությունը հիշողությունից ուժեղ է:)

Եռանկյունաչափական շրջանագծի միջոցով հավասարումների լուծում.

Մենք ներառում ենք տարրական տրամաբանություն և եռանկյունաչափական շրջանակն օգտագործելու ունակություն: Չես կարող!? Այնուամենայնիվ ... Եռանկյունաչափության մեջ ձեզ համար դժվար է ...) Բայց դա նշանակություն չունի։ Նայեք դասերին «Եռանկյունաչափական շրջան ...... Ի՞նչ է դա»: և «Անկյունների հաշվում եռանկյունաչափական շրջանի վրա»։ Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. Ի տարբերություն ձեռնարկների...)

Օ, գիտե՞ք! Եվ նույնիսկ յուրացրել եք «Գործնական աշխատանքը եռանկյունաչափական շրջանով» !? Շնորհավորում եմ։ Այս թեման ձեզ մոտ և հասկանալի կլինի։) Հատկապես հաճելին այն է, որ եռանկյունաչափական շրջանին չի հետաքրքրում, թե որ հավասարումը կլուծեք։ Սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս - նրա համար ամեն ինչ մեկ է: Կա լուծման միայն մեկ սկզբունք.

Այսպիսով, մենք վերցնում ենք ցանկացած տարրական եռանկյունաչափական հավասարում: Գոնե սա.

cosx = 0,5

Մենք պետք է գտնենք X-ը: Մարդկային առումով, դուք պետք է գտե՛ք անկյունը (x), որի կոսինուսը 0,5 է։

Ինչպե՞ս էինք մենք օգտագործում շրջանակը ավելի վաղ: Վրան մի անկյուն գծեցինք։ աստիճաններով կամ ռադիաններով: Եվ անմիջապես տեսած այս անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Հիմա անենք հակառակը։ Շրջանի վրա գծենք 0,5-ի հավասար կոսինուս և անմիջապես տեսնել ներարկում. Մնում է գրել պատասխանը։) Այո, այո։

Գծի՛ր շրջան և նշի՛ր 0,5 կոսինուս: Կոսինուսի առանցքի վրա, իհարկե։ Սրա նման:

Այժմ գծենք այն անկյունը, որը մեզ տալիս է այս կոսինուսը: Տեղափոխեք մկնիկի կուրսորը գծագրի վրայով (կամ հպեք պլանշետի նկարին) և տեսնելհենց այս անկյունը Ն.Ս.

Ո՞ր անկյունն է կոսինուս 0,5:

x = π / 3

cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5

Ինչ-որ մեկը թերահավատորեն կժպտա, այո... Ասում են՝ արժե՞ր շրջանցել, երբ արդեն ամեն ինչ պարզ է... Կարելի է, իհարկե, քրքջալ...) Բայց փաստն այն է, որ սա սխալ պատասխան է։ Ավելի ճիշտ՝ անբավարար։ Շրջանագծի մասնագետները հասկանում են, որ այստեղ դեռ կան մի ամբողջ փունջ անկյուններ, որոնք նույնպես տալիս են 0,5-ի հավասար կոսինուս։

Եթե ​​դուք շրջեք OA-ի շարժական կողմը ամբողջական շրջադարձ, A կետը կվերադառնա իր սկզբնական դիրքին: Նույն կոսինուսով, որը հավասար է 0,5-ի: Նրանք. անկյունը կփոխվի 360 ° կամ 2π ռադիաններ, և կոսինուսը չէ: 60 ° + 360 ° = 420 ° նոր անկյունը նույնպես կլինի մեր հավասարման լուծումը, քանի որ

Դուք կարող եք անսահման թվով նման ամբողջական պտույտներ պտտել... Եվ այս բոլոր նոր անկյունները կլինեն մեր եռանկյունաչափական հավասարման լուծումները: Եվ բոլորը պետք է ինչ-որ կերպ ի պատասխան գրվեն։ Ամեն ինչ.Հակառակ դեպքում որոշումը չի հաշվում, այո ...)

Մաթեմատիկան գիտի, թե ինչպես դա անել պարզ և էլեգանտ ձևով: Մեկ կարճ պատասխանում գրեք անվերջ հավաքածուլուծումներ։ Ահա թե ինչ տեսք ունի մեր հավասարման համար.

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Ես կվերծանեմ. Դեռ գրիր իմաստալիցավելի հաճելի, քան հիմարաբար ինչ-որ առեղծվածային տառեր նկարելը, այնպես չէ՞:)

π / 3 -Սա նույն անկյունն է, ինչ մենք տեսավշրջանի վրա և բացահայտվածըստ կոսինուսի աղյուսակի.

2պ մեկ ամբողջական պտույտ է ռադիաններով:

n լրիվի թիվն է, այսինքն. ամբողջհեղափոխություններ։ Հասկանալի է, որ n կարող է լինել 0, ± 1, ± 2, ± 3 ... և այլն: Ինչը նշված է կարճ նշում:

n ∈ Զ

n պատկանում է ( ∈ ) ամբողջ թվերի բազմությանը ( Զ ): Ի դեպ, նամակի փոխարեն n տառերը կարող են լավ օգտագործվել k, m, t և այլն:

Այս մուտքը նշանակում է, որ դուք կարող եք վերցնել ցանկացած ամբողջություն n ... Առնվազն -3, առնվազն 0, առնվազն +55: Ինչ ես ուզում. Եթե ​​այդ թիվը միացնեք պատասխանին, կստանաք կոնկրետ անկյուն, որն անպայման կլուծի մեր կոշտ հավասարումը:)

Կամ, այլ կերպ ասած, x = π / 3 անսահման բազմության միակ արմատն է։ Մնացած բոլոր արմատները ստանալու համար բավական է π / 3-ին ավելացնել ցանկացած թվով լրիվ պտույտներ ( n ) ռադիաններով։ Նրանք. 2π n ռադիան.

Ամեն ինչ? Ոչ Ես միտումնավոր ձգում եմ հաճույքը։ Ավելի լավ հիշելու համար:) Մենք ստացանք մեր հավասարման պատասխանների միայն մի մասը: Լուծման այս առաջին մասը կգրեմ հետևյալ կերպ.

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ոչ մի արմատ, դա արմատների մի ամբողջ շարք է՝ գրված կարճ ձևով։

Բայց կան նաև անկյուններ, որոնք նույնպես կոսինուս են տալիս 0,5:

Վերադառնանք մեր նկարին, որն օգտագործվել է պատասխանը գրելու համար։ Ահա նա.

Մկնիկը դրեք նկարի վրա և տեսնելմեկ այլ անկյուն, որ տալիս է նաև կոսինուս 0,5։Ի՞նչ եք կարծում, ինչի՞ն է այն հավասար: Եռանկյունները նույնն են... Այո՛։ Այն հավասար է անկյունին Ն.Ս միայն հետ է դրվում բացասական ուղղությամբ: Սա անկյունն է -Ն.Ս. Բայց մենք արդեն պարզել ենք x-ը: π / 3 կամ 60 °. Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով գրել.

x 2 = - π / 3

Դե, և, իհարկե, ավելացրեք բոլոր անկյունները, որոնք ստացվում են ամբողջական պտույտների միջոցով.

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Հիմա վերջ։) Եռանկյունաչափական շրջանակում՝ մենք տեսավ(ով իհարկե հասկանում է)) բոլորը 0,5 հավասար կոսինուս տվող անկյուններ: Եվ նրանք այս անկյունները գրել են մաթեմատիկական կարճ ձևով։ Պատասխանը առաջացրեց արմատների երկու անվերջանալի շարք.

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Սա ճիշտ պատասխանն է։

Հույս, եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սկզբունքշրջանակի օգտագործումը պարզ է: Շրջանակի վրա նշում ենք տրված հավասարումից կոսինուսը (սինուս, տանգենս, կոտանգենս), գծում ենք դրան համապատասխանող անկյունները և գրում պատասխանը։Իհարկե, պետք է պարզել, թե ինչպիսի անկյուններ ենք մենք տեսավշրջանագծի վրա։ Երբեմն դա այնքան էլ ակնհայտ չէ: Դե, ինչպես ասացի, այստեղ տրամաբանություն է պահանջվում։)

Օրինակ, եկեք վերլուծենք ևս մեկ եռանկյունաչափական հավասարում.

Խնդրում եմ նկատի ունեցեք, որ 0,5 թիվը միակ հնարավոր թիվը չէ հավասարումների մեջ։) Ուղղակի ինձ համար ավելի հարմար է գրել այն, քան արմատներն ու կոտորակները։

Մենք աշխատում ենք ընդհանուր սկզբունքով. Շրջանակ գծե՛ք, նշե՛ք (իհարկե սինուսի առանցքի վրա) 0,5։ Մենք միանգամից գծում ենք այս սինուսին համապատասխան բոլոր անկյունները։ Ստացնենք հետևյալ պատկերը.

Առաջին հերթին զբաղվեք անկյան հետ Ն.Ս առաջին եռամսյակում։ Մենք հիշում ենք սինուսների աղյուսակը և որոշում այս անկյան արժեքը: Պարզ հարց է.

x = π / 6

Մենք հիշում ենք ամբողջ շրջադարձերը և հանգիստ խղճով գրում պատասխանների առաջին շարքը.

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Կես պատրաստ. Բայց հիմա մենք պետք է սահմանենք երկրորդ անկյուն...Սա ավելի խորամանկ է, քան կոսինուսներում, այո... Բայց տրամաբանությունը մեզ կփրկի: Ինչպես որոշել երկրորդ անկյունը x-ի միջոցով Այո Հեշտ! Նկարում պատկերված եռանկյունները նույնն են, իսկ կարմիր անկյունը Ն.Ս հավասար է անկյան Ն.Ս ... Միայն այն հաշվվում է π անկյան տակ բացասական ուղղությամբ։ Հետևաբար, այն կարմիր է։) Իսկ պատասխանի համար մեզ անհրաժեշտ է անկյուն՝ ճիշտ չափված, դրական OX կիսաառանցքից, այսինքն. 0 աստիճանի անկյան տակ:

Սավառնեք կուրսորը նկարի վրա և տեսեք ամեն ինչ: Առաջին անկյունը հանեցի, որպեսզի նկարը չբարդացնեմ։ Մեզ հետաքրքրող անկյունը (գծված կանաչ գույնով) հավասար կլինի.

π - x

X մենք դա գիտենք π / 6 ... Այսպիսով, երկրորդ անկյունը կլինի.

π - π / 6 = 5π / 6

Մենք կրկին հիշում ենք ամբողջական հեղափոխությունների ավելացումը և գրի ենք առնում պատասխանների երկրորդ շարքը.

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Այսքանը: Ամբողջական պատասխանը բաղկացած է արմատների երկու շարքից.

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Շոշափող և կոտանգենսով հավասարումները կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման նույն ընդհանուր սկզբունքը: Եթե, իհարկե, գիտեք, թե ինչպես կարելի է նկարել շոշափող և կոտանգենս եռանկյունաչափ շրջանագծի վրա:

Վերոնշյալ օրինակներում ես օգտագործել եմ աղյուսակի սինուսի և կոսինուսի արժեքը՝ 0.5: Նրանք. այն իմաստներից մեկը, որը սովորողը գիտի պետք է.Հիմա եկեք ընդլայնենք մեր հնարավորությունները մինչև մնացած բոլոր արժեքները:Որոշիր, ուրեմն որոշիր։)

Այսպիսով, ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք այս եռանկյունաչափական հավասարումը.

Կարճ աղյուսակներում նման կոսինուսի արժեք չկա: Մենք սառնասրտորեն անտեսում ենք այս սարսափելի փաստը։ Շրջանակ գծի՛ր, կոսինուսի առանցքի վրա նշի՛ր 2/3-ը և գծի՛ր համապատասխան անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.

Եկեք պարզենք այն, սկզբի համար, առաջին քառորդում գտնվող անկյունով: Եթե ​​ես իմանայի, թե X-ը ինչի է հավասար, պատասխանը անմիջապես կգրեին։ Մենք չգիտենք ... Անհաջողություն !? Հանգիստ. Մաթեմատիկան դժվարության մեջ չի թողնում իր սեփականը: Նա այս գործի համար արկկոսիններ է հորինել: Չգիտեմ? Իզուր. Պարզեք, դա շատ ավելի հեշտ է, քան կարծում եք: Այս հղման տակ «հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների» մասին ոչ մի խորամանկ ակնարկ չկա... Այս թեմայում սա ավելորդ է։

Եթե ​​տեղյակ եք, բավական է ինքներդ ձեզ ասեք. «X-ը անկյունն է, որի կոսինուսը 2/3 է»։ Եվ անմիջապես, զուտ արկկոսինի սահմանմամբ, կարող եք գրել.

Մենք հիշում ենք լրացուցիչ շրջադարձեր և հանգիստ գրում մեր եռանկյունաչափական հավասարման արմատների առաջին շարքը.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Արմատների երկրորդ շարքը նույնպես գրանցվում է գրեթե ինքնաբերաբար երկրորդ անկյան համար: Ամեն ինչ նույնն է, միայն x (arccos 2/3) կլինի մինուսով.

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Եվ այսքանը։ Սա ճիշտ պատասխանն է։ Նույնիսկ ավելի հեշտ է, քան սեղանի արժեքները: Պետք չէ ոչինչ հիշել։) Ի դեպ, ամենաուշադիրները կնկատեն, որ այս նկարը հակադարձ կոսինուսի միջով լուծումով. ըստ էության, չի տարբերվում նկարից cosx = 0.5 հավասարման համար:

Ճիշտ! Ընդհանուր սկզբունքդրա համար և ընդհանուր! Ես հատուկ նկարեցի երկու գրեթե միանման նկար։ Շրջանակը մեզ ցույց է տալիս անկյունը Ն.Ս իր կոսինուսով։ Աղյուսակը կոսինուս է, թե ոչ՝ շրջանակը չգիտի։ Ո՞րն է այս անկյունը, π/3, կամ ինչպիսի հակադարձ կոսինուս, դա մեզնից է կախված:

Սինուսով, նույն երգով։ Օրինակ:

Կրկին գծեք շրջանագիծը, նշեք 1/3-ի հավասար սինուսը, գծեք անկյունները։ Նկարն այսպիսի տեսք ունի.

Կրկին պատկերը գրեթե նույնն է, ինչ հավասարման դեպքում sinx = 0,5:Կրկին, առաջին քառորդում սկսեք անկյունից: Որքա՞ն է x-ը, եթե նրա սինուսը 1/3 է: Ոչ մի խնդիր!

Այսպիսով, արմատների առաջին փաթեթը պատրաստ է.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Մենք գործ ունենք երկրորդ անկյունի հետ: 0,5 աղյուսակի արժեքով օրինակում այն ​​եղել է.

π - x

Այսպիսով, այստեղ դա կլինի ճիշտ նույնը: Միայն x-ն է տարբեր, arcsin 1/3: Եւ ինչ!? Դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների երկրորդ փաթեթը.

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Սա բացարձակապես ճիշտ պատասխան է։ Չնայած դա այնքան էլ ծանոթ չի թվում: Բայց դա հասկանալի է, հուսով եմ:)

Այսպես են լուծվում եռանկյունաչափական հավասարումները շրջանագծի միջոցով։ Այս ճանապարհը պարզ է և հասկանալի։ Հենց նա է խնայում եռանկյունաչափական հավասարումների մեջ՝ տրված ընդմիջումով արմատների ընտրությամբ, եռանկյունաչափական անհավասարություններում. դրանք հիմնականում լուծվում են գրեթե միշտ շրջանագծի մեջ։ Մի խոսքով, ցանկացած առաջադրանքում, որոնք մի փոքր ավելի բարդ են, քան ստանդարտները:

Կիրառե՞նք մեր գիտելիքները գործնականում։)

Լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սկզբում դա ավելի պարզ է, հենց այս դասից:

Հիմա ավելի դժվար.

Հուշում. Այստեղ դուք պետք է արտացոլեք շրջանակը: Անձամբ:)

Իսկ հիմա նրանք արտաքուստ անպարկեշտ են... Նրանց անվանում են նաև հատուկ դեպքեր։

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Հուշում․ այստեղ դուք պետք է շրջանակի մեջ պարզեք, թե որտեղ կան պատասխանների երկու շարք, և որտեղ է մեկը ... Եվ ինչպես գրել մեկ պատասխանի երկու շարքի փոխարեն: Այո, այնպես, որ անսահման թվի ոչ մի արմատ չկորչի:)

Դե, շատ պարզ):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Հուշում. այստեղ դուք պետք է իմանաք, թե ինչ է արկսինը, արկսինը: Ի՞նչ է աղեղային շոշափողը, աղեղային կոտանգենսը: Մեծ մասը պարզ սահմանումներ... Բայց ձեզ հարկավոր չէ հիշել աղյուսակի որևէ արժեք:)

Պատասխանները, իհարկե, խառնաշփոթ են).

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ամեն ինչ չի ստացվում? Պատահում է. Կրկին կարդացեք դասը: Միայն մտածված(կա այդպիսին հնացած բառ...) Եվ հետևեք հղումներին: Հիմնական հղումները շրջանագծի մասին են։ Առանց դրա, եռանկյունաչափության մեջ դա նույնն է, ինչ ճանապարհն անցնելիս է աչքերը կապած: Երբեմն դա աշխատում է:)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Ակնթարթային վավերացման փորձարկում: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Շատերը մաթեմատիկական խնդիրներ, հատկապես նրանք, որոնք տեղի են ունենում մինչև 10-րդ դասարանը, հստակ սահմանված է կատարված գործողությունների հաջորդականությունը, որոնք կհանգեցնեն նպատակին: Նման խնդիրները ներառում են, օրինակ, գծային և քառակուսային հավասարումներ, գծային և քառակուսային անհավասարումներ, կոտորակային հավասարումներ և հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի: Նշված առաջադրանքներից յուրաքանչյուրի հաջող լուծման սկզբունքը հետևյալն է. անհրաժեշտ է սահմանել, թե ինչ տեսակի խնդիր է պետք լուծել, հիշել գործողությունների անհրաժեշտ հաջորդականությունը, որը կհանգեցնի ցանկալի արդյունքի, այսինքն. պատասխանեք և հետևեք այս քայլերին:

Ակնհայտ է, որ որոշակի խնդրի լուծման հաջողությունը կամ ձախողումը հիմնականում կախված է նրանից, թե որքան ճիշտ է որոշվում լուծվող հավասարման տեսակը, որքան ճիշտ է վերարտադրվում դրա լուծման բոլոր փուլերի հաջորդականությունը: Իհարկե, անհրաժեշտ է ունենալ նույնական փոխակերպումներ և հաշվարկներ կատարելու հմտություններ։

Իրավիճակն այլ է եռանկյունաչափական հավասարումներ.Հավասարման եռանկյունաչափական լինելու փաստը հաստատելն ամենևին էլ դժվար չէ։ Դժվարություններ են առաջանում գործողությունների հաջորդականությունը որոշելիս, որոնք կհանգեցնեն ճիշտ պատասխանին:

Հավասարումների տեսքը երբեմն կարող է դժվար լինել որոշել դրա տեսակը: Եվ առանց հավասարման տեսակը իմանալու՝ մի քանի տասնյակ եռանկյունաչափական բանաձևերից ճիշտն ընտրելը գրեթե անհնար է։

Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար պետք է փորձել.

1. հավասարման մեջ ներառված բոլոր ֆունկցիաները բերեք «հավասար անկյունների»;
2. հավասարումը բերել «նույն ֆունկցիաներին».
3. գործակից հավասարման ձախ կողմը և այլն:

Հաշվի առեք Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.

I. Կրճատում մինչև ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Էքսպրես եռանկյունաչափական ֆունկցիահայտնի բաղադրիչների միջոցով:

Քայլ 2.Գտեք ֆունկցիայի փաստարկը բանաձևերով.

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

մեղք x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = արկտան a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Քայլ 3.Գտեք անհայտ փոփոխական:

Օրինակ.

2 cos (3x - π / 4) = -√2:

Լուծում.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2:

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Պատասխան՝ ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Փոփոխական փոխարինում

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկի նկատմամբ հավասարումը բերեք հանրահաշվական ձևի:

Քայլ 2.Ստացված ֆունկցիան նշեք t փոփոխականով (անհրաժեշտության դեպքում սահմանափակումներ մտցրեք t-ի վրա):

Քայլ 3.Դուրս գրի՛ր և լուծի՛ր ստացված հանրահաշվական հավասարումը։

Քայլ 4.Կատարեք հակադարձ փոխարինում:

Քայլ 5.Լուծե՛ք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Օրինակ.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0:

Լուծում.

1) 2 (1 - մեղք 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2 sin 2 (x / 2) + 5 sin (x / 2) + 3 = 0:

2) Թող մեղք (x / 2) = t, որտեղ | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 կամ e = -3/2, չի բավարարում պայմանը | t | ≤ 1.

4) մեղք (x / 2) = 1:

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = π + 4πn, n Є Z.

III. Հավասարման կարգի կրճատման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Փոխարինեք այս հավասարումը գծայինով, օգտագործելով աստիճանի նվազեցման բանաձևերը.

մեղք 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x):

Քայլ 2.Ստացված հավասարումը լուծե՛ք I և II մեթոդներով:

Օրինակ.

cos 2x + cos 2 x = 5/4:

Լուծում.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4:

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Միատարր հավասարումներ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Այս հավասարումը բերեք ձևի

ա) a sin x + b cos x = 0 (առաջին աստիճանի միատարր հավասարում)

կամ մտքում

բ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում).

Քայլ 2.Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք

ա) cos x ≠ 0;

բ) cos 2 x ≠ 0;

և ստացիր tg x-ի հավասարումը.

ա) a tg x + b = 0;

բ) a tg 2 x + b arctan x + c = 0:

Քայլ 3.Լուծե՛ք հավասարումը հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0:

Լուծում.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0:

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0:

3) Թող tg x = t, ապա

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 կամ t = -4, այսպես

tg x = 1 կամ tg x = -4:

Առաջին հավասարումից x = π / 4 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Եռանկյունաչափական բանաձևերի միջոցով հավասարման փոխակերպման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Օգտագործելով բոլոր տեսակները եռանկյունաչափական բանաձևեր, բերեք այս հավասարումը I, II, III, IV մեթոդներով լուծված հավասարմանը։

Քայլ 2.Ստացված հավասարումը լուծե՛ք հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

մեղք x + մեղք 2x + մեղք 3x = 0:

Լուծում.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0:

2) մեղք 2x (2cos x + 1) = 0;

մեղք 2x = 0 կամ 2cos x + 1 = 0;

Առաջին հավասարումից 2x = π / 2 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից cos x = -1/2.

Մենք ունենք x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Արդյունքում, x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու հմտություններն ու հմտությունները շատ են կարևոր է, որ դրանց զարգացումը զգալի ջանքեր է պահանջում ինչպես աշակերտի, այնպես էլ ուսուցչի կողմից:

Ստերեոմետրիայի, ֆիզիկայի և այլնի բազմաթիվ խնդիրներ կապված են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հետ, նման խնդիրների լուծման գործընթացը, ասես, պարունակում է բազմաթիվ գիտելիքներ և հմտություններ, որոնք ձեռք են բերվում եռանկյունաչափության տարրերն ուսումնասիրելիս։

Եռանկյունաչափական հավասարումները կարևոր դեր են խաղում մաթեմատիկայի ուսուցման և ընդհանրապես անձի զարգացման գործընթացում։

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք, թե ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք:
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է: