فرمول هایی برای افتراق توابع ابتدایی فرمول ها و قوانین تمایز (یافتن مشتق)

دوره ویدیویی "Get an A" شامل تمام موضوعاتی است که شما نیاز دارید تحویل موفقاستفاده در ریاضیات برای 60-65 امتیاز. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از نمایه استفاده در ریاضیات. همچنین برای گذراندن پایه استفاده در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید امتحان را با 90-100 امتیاز قبول کنید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای امتحان برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 امتحان ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز صد امتیازی و نه یک انسان گرا نمی تواند بدون آنها انجام دهد.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، تله ها و رازهای امتحان. تمام وظایف مربوط به بخش 1 از وظایف بانک FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات USE-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها کار امتحانی مسائل متن و نظریه احتمال. الگوریتم های حل مسئله ساده و آسان برای به خاطر سپردن. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف USE. استریومتری. ترفندهای فریبندهراه حل ها، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا - تا کار 13. درک به جای پر کردن. توضیح تصویری مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. پایه برای راه حل کارهای چالش برانگیز 2 قسمت از امتحان

اجازه دهید تابع y = f(x) در بازه X تعریف شود. مشتقتابع y \u003d f (x) در نقطه x o حد نامیده می شود

اگر این حد محدود، فانی،سپس تابع f(x) فراخوانی می شود قابل تمایزدر نقطه x o; علاوه بر این، معلوم می شود که در این نقطه لزوما و مستمر است.

اگر حد در نظر گرفته شده برابر با ¥ (یا - ¥) باشد، به شرطی که تابع در نقطه باشد x oپیوسته است، خواهیم گفت که تابع f(x) در یک نقطه است x o مشتق نامتناهی.

مشتق با نمادها نشان داده می شود

y ¢، f ¢(x o)،، .

یافتن مشتق نامیده می شود تفکیککارکرد. معنای هندسی مشتقاین است که مشتق است شیبمماس بر منحنی y=f(x) در یک نقطه معین x o; حس فیزیکی -به این صورت که مشتق مسیر نسبت به زمان، سرعت لحظه ای نقطه متحرک در طول حرکت مستقیم s = s(t) در لحظه t o است.

اگر از جانبیک عدد ثابت است و u = u(x)، v = v(x) برخی از توابع قابل تمایز هستند قوانین زیرتفکیک:

1) (ج) "= 0، (مس) "= مس"؛

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) اگر y = f(u)، u = j(x)، یعنی. y = f(j(x)) - تابع پیچیده،یا برهم نهی، متشکل از توابع متمایز j و f، سپس، یا

6) اگر برای یک تابع y = f(x) یک تابع متمایز معکوس x = g(y) و 1 0 وجود داشته باشد، آنگاه .

بر اساس تعریف مشتق و قوانین تمایز، می توان فهرستی از مشتقات جدولی توابع ابتدایی پایه را تهیه کرد.

1. (u m)" = m u m - 1 u" (m О آر).

2. (a u)" = a u lna × u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (سین u)" = cos u × u".

7. (cos u)" = - sin u × u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

مشتق عبارت نمایی را محاسبه کنید
y=u v، (u>0)، که در آن توو vماهیت عملکرد ایکسداشتن مشتقات در یک نقطه معین تو",v".

با گرفتن لگاریتم برابری y=u v، ln y = v ln u به دست می آوریم.

معادل سازی مشتقات با توجه به ایکساز هر دو قسمت برابری به دست آمده با استفاده از قوانین 3، 5 و فرمول مشتق تابع لگاریتمی، خواهیم داشت:

y"/y = vu"/u + v" ln u، از آنجا y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u)، u > 0.

به عنوان مثال، اگر y \u003d x sin x، پس y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x × ln x).

اگر تابع y = f(x) در یک نقطه قابل تفکیک باشد ایکس، یعنی در این نقطه مشتق محدودی دارد y"، سپس \u003d y "+a، جایی که a®0 در Dx® 0؛ بنابراین D y \u003d y" Dx + a x.

قسمت اصلی افزایش تابع خطی نسبت به Dx نامیده می شود دیفرانسیل عملکردو با dy نشان داده می شود: dy \u003d y "Dx. اگر y \u003d x را در این فرمول قرار دهیم، dx \u003d x" Dx \u003d 1 × Dx \u003d Dx، بنابراین dy \u003d y "dx، یعنی نماد برای نشان دادن مشتق را می توان مانند یک کسری در نظر گرفت.

افزایش تابع D yافزایش مختصات منحنی و دیفرانسیل d است yافزایش امتداد مماس است.

اجازه دهید برای تابع y=f(x) مشتق آن y ¢= f ¢(x) را پیدا کنیم. مشتق این مشتق نامیده می شود مشتق مرتبه دومتوابع f(x)، or مشتق دوم،و نشان داده می شود.

موارد زیر به همین ترتیب تعریف و نشان داده می شوند:

مشتق مرتبه سوم - ,

مشتق مرتبه چهارم -

و به طور کلی مشتق مرتبه n - .

مثال 15مشتق تابع y=(3x 3 -2x+1)×sin x را محاسبه کنید.

راه حل.طبق قانون 3، y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2) sinx + (3x 3 -2x+1) cos x.

مثال 16. y"، y = tg x + را پیدا کنید.

راه حل.با استفاده از قوانین برای افتراق مجموع و ضریب، به دست می آوریم: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

مثال 17.مشتق را پیدا کنید تابع پیچیده y=،
u=x 4 +1.

راه حل.طبق قاعده تمایز یک تابع پیچیده، دریافت می کنیم: y "x \u003d y" uu" x \u003d () "u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. از آنجایی که u \u003d x 4 پس 1+
(2×4 +2+ .

مثال 18.

راه حل.اجازه دهید تابع y= را به عنوان برهم نهی دو تابع نشان دهیم: y = e u و u = x 2 . ما داریم: y" x \u003d y "u u" x \u003d (e u)" u (x 2)" x \u003d e u ×2x. جایگزین x2بجای تو، y=2x را دریافت می کنیم.

مثال 19.مشتق تابع y=ln sin x را بیابید.

راه حل. u=sin x را نشان می دهیم، سپس مشتق تابع مختلط y=ln u با فرمول y" = (ln u)" u (sin x)" x = محاسبه می شود.

مثال 20.مشتق تابع y= را پیدا کنید.

راه حل.مورد یک تابع پیچیده که در نتیجه چندین برهم نهی به دست می آید با اعمال متوالی قانون 5 تمام می شود:

مثال 21. مشتق y=ln را محاسبه کنید.

راه حل.با گرفتن لگاریتم و استفاده از خواص لگاریتم، به دست می آوریم:

y=5/3ln(x2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

با تمایز هر دو بخش آخرین برابری، به دست می‌آییم:

2.2. تحلیل محدودیت در اقتصاد قابلیت ارتجاعی عملکرد

در تحقیقات اقتصادی، اغلب از اصطلاحات خاص برای اشاره به مشتقات استفاده می شود. به عنوان مثال، اگر f(x)خوردن تابع تولید، که وابستگی خروجی هر محصول را به هزینه عامل بیان می کند ایکس، سپس f"(x)تماس گرفت محصول نهایی; اگر g(x)یک تابع هزینه است، یعنی یک تابع g(x)وابستگی کل هزینه ها به حجم تولید را بیان می کند ایکس، سپس g"(x)تماس گرفت هزینه نهایی .

تحلیل حاشیه ای در اقتصاد- مجموعه ای از روش ها برای مطالعه مقادیر متغیر هزینه ها یا نتایج زمانی که حجم تولید، مصرف و غیره تغییر می کند. بر اساس تجزیه و تحلیل مقادیر محدود کننده آنها. در بیشتر مواردمحاسبات برنامه ریزی شده بر اساس داده های آماری معمولی در قالب شاخص های خلاصه انجام می شود. در این مورد، تجزیه و تحلیل عمدتاً شامل محاسبه مقادیر میانگین است. با این حال، در برخی موارد، مطالعه دقیق تری با در نظر گرفتن مقادیر محدود کننده ضروری است. به عنوان مثال، هنگام تعیین هزینه های تولید غلات در یک منطقه برای آینده، در نظر گرفته می شود که هزینه ها ممکن است بسته به حجم مورد انتظار برداشت غلات متفاوت باشد، زیرا در بدترین زمین ها دوباره درگیر کشت، هزینه های تولید بالاتر از سطح متوسط خواهد بود.

اگر رابطه بین دو شاخص vو ایکسبه صورت تحلیلی داده می شود: v = f(x) - سپس مقدار متوسط نشان دهنده رابطه است v/x، ولی نهایی- مشتق.

یافتن بهره وری نیروی کاراجازه دهید تابع
u = u(t)، بیانگر میزان تولید است توهنگام کارکردن تی. بیایید مقدار کالاهای تولید شده در طول زمان را محاسبه کنیم
Dt \u003d t 1 - t 0: Du \u003d u (t 1) - u (t 0) \u003d u (t 0 + Dt) - u (t 0). متوسط بهره وری نیروی کارنسبت مقدار خروجی تولید شده به زمان صرف شده است، یعنی. z cf.= Du/Dt.

بهره وری کارگران z(t 0) در لحظه t 0 حدی نامیده می شود که z به cf تمایل دارد. برای Dt®0: . بنابراین، محاسبه بهره وری نیروی کار به محاسبه مشتق کاهش می یابد: z (t 0) \u003d u "(t 0).

هزینه تولید K محصولات همگن تابعی از مقدار تولید است ایکس. بنابراین، می توانیم K = K(x) را بنویسیم. فرض کنید که مقدار تولید به میزان D افزایش می یابد ایکس. هزینه های تولید x + Dх با هزینه های تولید K(x + Dх) مطابقت دارد. در نتیجه، افزایش میزان تولید D ایکسمربوط به افزایش هزینه های تولید DK = K(x + Dх) - K(x).

میانگین افزایش هزینه های تولید DK/Dх است. این افزایش هزینه های تولید به ازای هر واحد افزایش در مقدار خروجی است.

حد نامیده می شود هزینه نهایی تولید.

اگر با نشان داده شود u(x)درآمد حاصل از فروش ایکسواحدهای کالا به آن می گویند درآمد حاشیه ای.

با کمک مشتق، می توانید افزایش تابع مربوط به افزایش آرگومان را محاسبه کنید. در بسیاری از مسائل محاسبه درصد افزایش (افزایش نسبی) متغیر وابسته مربوط به درصد افزایش متغیر مستقل راحت تر است. این ما را به مفهوم کشش یک تابع می رساند (که گاهی اوقات نامیده می شود مشتق نسبی). بنابراین، اجازه دهید یک تابع y = f(x) داده شود، که برای آن یک مشتق y ¢ = f ¢ (x) وجود دارد. قابلیت ارتجاعی عملکرد y = f(x) با توجه به متغیر ایکسبا حد تماس بگیرید

با E x (y) = x/y f ¢ (x) = نشان داده می شود.

کشش نسبتا ایکسدرصد افزایش تقریبی تابع (افزایش یا کاهش) مربوط به افزایش 1 درصدی در متغیر مستقل است. اقتصاددانان حساسیت یا حساسیت مصرف کنندگان را نسبت به تغییرات قیمت یک محصول با استفاده از مفهوم کشش قیمت اندازه گیری می کنند. تقاضا برای برخی از محصولات با حساسیت نسبی مصرف کنندگان به تغییرات قیمت مشخص می شود، تغییرات کوچک در قیمت منجر به تغییرات زیادی در مقدار خریداری شده می شود. تقاضا برای چنین محصولاتی نامیده می شود نسبتا الاستیکیا فقط قابل انعطاف برای سایر محصولات، مصرف کنندگان نسبتاً نسبت به تغییرات قیمت حساس نیستند، یعنی تغییر قابل توجه قیمت منجر به تغییر جزئی در تعداد خرید می شود. در چنین مواردی تقاضا نسبتا غیر کشسانیا فقط غیر ارتجاعی مدت، اصطلاح کاملا غیر کشسانتقاضا به معنای حالت شدید است که در آن تغییر قیمت منجر به تغییری در مقدار تقاضا نمی شود. نمونه آن تقاضای بیماران است فرم حاددیابت برای انسولین یا تقاضای معتادان برای هروئین. برعکس، وقتی با کمترین کاهش قیمت، خریداران خریدهای خود را تا سقف توانایی خود افزایش دهند، می گوییم تقاضا کاملا الاستیک

عملکرد افراطی

تابع y=f(x) فراخوانی می شود افزایش می یابد (رو به زوال) در یک بازه زمانی اگر برای x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

اگر یک تابع قابل تمایز y = f(x) روی یک قطعه افزایش می‌یابد (کاهش می‌یابد)، مشتق آن در این بخش f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

نقطه x oتماس گرفت نقطه حداکثر محلی (کمترین) از تابع f(x) اگر همسایگی نقطه وجود داشته باشد x o، برای تمام نقاطی که نابرابری f(x) £ f(x o) (f(x) ³ f(x o)) درست است.

حداکثر و حداقل امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع در این نقاط آن است افراطی

شرایط لازمنقاط بحرانی. اگر نقطه x oیک نقطه انتهایی تابع f(x) است، پس یا f ¢(xo) = 0، یا f ¢(xo) وجود ندارد. چنین نقاطی نامیده می شود بحرانی،جایی که خود تابع در نقطه بحرانی تعریف می شود. حداکثر یک تابع را باید در میان نقاط بحرانی آن جستجو کرد.

اولین شرط کافیبگذار باشد x o- نقطه بحرانی. اگر f ¢ (x) هنگام عبور از نقطه x oعلامت مثبت را به منفی و سپس در نقطه تغییر می دهد x oتابع دارای حداکثر است، در غیر این صورت دارای حداقل است. اگر مشتق هنگام عبور از یک نقطه بحرانی علامت تغییر نمی کند، در آن نقطه x oافراطی وجود ندارد

شرط دوم کافی است.اجازه دهید تابع f(x) یک مشتق داشته باشد
f ¢ (x) در همسایگی یک نقطه x oو مشتق دوم در همان نقطه x o. اگر f ¢ (x o) = 0، > 0 (<0), то точка x oیک نقطه حداقل (حداکثر) محلی تابع f(x) است. اگر = 0، یا باید از اولین شرط کافی استفاده کرد یا مشتقات بالاتر را در بر گرفت.

در یک قطعه، تابع y = f(x) می تواند به حداقل یا حداکثر مقدار خود در نقاط بحرانی یا در انتهای قطعه برسد.

مثال 22.حداکثر تابع f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 را بیابید.

راه حل.از آنجایی که f ¢ (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3)، پس نقاط بحرانی تابع x 1 \u003d 2 و x 2 \u003d 3. نقاط افراطی می توانند فقط در این نقاط باشد از آنجایی که هنگام عبور از نقطه x 1 \u003d 2 ، مشتق علامت مثبت به منفی را تغییر می دهد ، در این مرحله تابع دارای حداکثر است. هنگام عبور از نقطه x 2 \u003d 3 ، مشتق علامت منفی به مثبت را تغییر می دهد ، بنابراین در نقطه x 2 \u003d 3 ، تابع دارای حداقل است. محاسبه مقادیر تابع در نقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3، مازاد تابع را پیدا می کنیم: حداکثر f(2) = 14 و حداقل f(3) = 13.

مثال 23.لازم است در نزدیکی دیوار سنگی محوطه ای مستطیل شکل به گونه ای ساخته شود که از سه طرف با شبکه سیمی حصار کشیده شود و از ضلع چهارم به دیوار متصل شود. برای این وجود دارد آمتر خطی شبکه سایت با چه نسبتی بیشترین مساحت را خواهد داشت؟

راه حل.طرفین سایت را از طریق مشخص کنید ایکسو y. مساحت سایت S = xy است. بگذار باشد yطول ضلع مجاور دیوار است. سپس، طبق شرط، برابری 2x + y = a باید برقرار باشد. بنابراین، y = a - 2x و S = x(a - 2x)، که در آن 0 £ x £ a/2 (طول و عرض منطقه نمی تواند منفی باشد). S ¢ = a - 4x، a - 4x = 0 برای x = a/4، از این رو
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. از آنجایی که x = a/4 تنها نقطه بحرانی است، بیایید بررسی کنیم که آیا علامت مشتق هنگام عبور از این نقطه تغییر می کند یا خیر. برای x< a/4 S ¢ >0 و برای x >a/4 S¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

از آنجایی که S پیوسته است و مقادیر آن در انتهای S(0) و S(a/2) برابر با صفر است، پس مقدار یافت شده بزرگترین مقدار تابع خواهد بود. بنابراین، مطلوب ترین نسبت ابعاد سایت در شرایط داده شده مسئله، y = 2x است.

مثال 24.ساخت مخزن استوانه ای بسته با ظرفیت V=16p » 50 متر مکعب الزامی است. ابعاد مخزن (شعاع R و ارتفاع H) چقدر باید باشد تا از کمترین ماده برای ساخت آن استفاده شود؟

راه حل.سطح کل سیلندر S = 2pR (R+H) است. حجم استوانه را می دانیم V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2 . بنابراین، S(R) = 2p (R2 +16/R). مشتق این تابع را پیدا می کنیم:
S¢(R) = 2p(2R- 16/R2) = 4p (R-8/R2). S ¢(R) = 0 برای R3 = 8، بنابراین،
R = 2، H = 16/4 = 4.

جدول مشتقات توابع ابتدایی

تعریف 1

محاسبه مشتق نامیده می شود تفکیک.

مشتق $y"$ یا $\frac(dy)(dx)$ را مشخص کنید.

تبصره 1

برای یافتن مشتق یک تابع، طبق قوانین اساسی، تمایز به تابع دیگری تبدیل می شود.

جدول مشتقات را در نظر بگیرید. اجازه دهید به این نکته توجه کنیم که توابع پس از یافتن مشتقات خود به توابع دیگر تبدیل می شوند.

تنها استثنا $y=e^x$ است که به خودش تبدیل می شود.

قوانین تمایز مشتق

اغلب، هنگام یافتن مشتق، لازم است نه تنها به جدول مشتقات نگاه کنید، بلکه ابتدا قوانین تمایز و اثبات مشتق محصول را اعمال کنید و تنها پس از آن از جدول مشتقات توابع ابتدایی استفاده کنید. .

1. ثابت از علامت مشتق خارج می شود

$C$ یک ثابت (ثابت) است.

مثال 1

تابع $y=7x^4$ را متمایز کنید.

راه حل.

$y"=(7x^4)"$ را پیدا کنید. عدد 7$ را برای علامت مشتق خارج می کنیم، به دست می آوریم:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

با استفاده از جدول، باید مقدار مشتق تابع توان را پیدا کنید:

$=7 \cdot 4x^3=$

ما نتیجه را به شکل پذیرفته شده در ریاضیات تبدیل می کنیم:

پاسخ:$28x^3$.

2. مشتق جمع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) مشتقات:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

مثال 2

تابع $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$ را متمایز کنید.

راه حل.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

قانون تمایز حاصل از مجموع و تفاوت مشتق را اعمال کنید:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

توجه داشته باشید که هنگام تمایز، تمام قدرت ها و ریشه ها باید به شکل $x^(\frac(a)(b))$ تبدیل شوند.

همه ی ثابت ها را از علامت مشتق خارج می کنیم:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

پس از پرداختن به قوانین تمایز، برخی از آنها (به عنوان مثال، مانند دو مورد آخر) به طور همزمان اعمال می شوند تا از بازنویسی یک عبارت طولانی جلوگیری شود.

ما یک عبارت از توابع ابتدایی تحت علامت مشتق به دست آورده ایم. بیایید از جدول مشتقات استفاده کنیم:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

تبدیل به شکل پذیرفته شده در ریاضیات:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x) دلار

توجه داشته باشید که هنگام یافتن نتیجه، مرسوم است که عبارات دارای توان کسری را به ریشه و با توان های منفی را به کسر تبدیل کنید.

پاسخ: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x ) دلار.

3. فرمول مشتق حاصلضرب توابع:

$(uv)"=u" v+uv"$.

مثال 3

تابع $y=x^(11) \ln x$ را متمایز کنید.

راه حل.

ابتدا قانون محاسبه مشتق حاصلضرب توابع را اعمال می کنیم و سپس از جدول مشتقات استفاده می کنیم:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnthx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln xx^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

پاسخ: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. فرمول مشتق یک تابع خصوصی:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

مثال 4

تابع $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$ را متمایز کنید.

راه حل.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

طبق قواعد تقدم عملیات ریاضی ابتدا تقسیم و سپس جمع و تفریق را انجام می دهیم بنابراین ابتدا قانون محاسبه مشتق ضریب را اعمال می کنیم:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

قوانین مشتقات حاصل جمع و تفاوت را اعمال کنید، پرانتزها را باز کنید و عبارت را ساده کنید:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

پاسخ:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

مثال 5

اجازه دهید تابع $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$ را متمایز کنیم.

راه حل.

تابع y ضریبی از دو تابع است، بنابراین می‌توانیم قانون محاسبه مشتق یک ضریب را اعمال کنیم، اما در این حالت یک تابع دست و پاگیر به دست می‌آید. برای ساده کردن این تابع، می توانید صورت را بر مخرج ترم تقسیم کنید:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

اجازه دهید قانون تمایز مجموع و تفاوت توابع را برای تابع ساده شده اعمال کنیم:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

پاسخ: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

در تمام فرمول های زیر، حروف توو vتوابع متمایز متغیر مستقل مشخص می شوند ایکس: , ، اما در حروف آ, ج، ن- دائمی:

فرمول های باقی مانده هم برای توابع یک متغیر مستقل و هم برای توابع مختلط نوشته می شوند:

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7a.

8 الف.

9a.

11a.

12 الف.

13a.

16a.

17 a.

هنگام حل مثال های زیر، یادداشت های دقیق ذکر می شود. با این حال، فرد باید یاد بگیرد که بدون ورودی های میانی متمایز شود.

مثال 1مشتق تابع را بیابید .

راه حل. این تابع مجموع جبری توابع است. ما آن را با استفاده از فرمول های 3، 5، 7 و 8 متمایز می کنیم:

مثال 2مشتق تابع را بیابید

راه حل. با استفاده از فرمول های 6، 3، 7 و 1، دریافت می کنیم

مثال 3مشتق تابع را بیابید و مقدار آن را در محاسبه کنید

راه حل. این یک تابع پیچیده با یک آرگومان میانی است. با استفاده از فرمول های 7a و 10 داریم

مثال 4مشتق تابع را بیابید .

راه حل. این یک تابع پیچیده با یک آرگومان میانی است. با استفاده از فرمول های 3، 5، 7a، 11، 16a، دریافت می کنیم

مثال 5مشتق تابع را بیابید .

راه حل. ما این تابع را با فرمول های 6، 12، 3 و 1 متمایز می کنیم:

مثال 6مشتق تابع را بیابید و مقدار آن را در .

راه حل. ابتدا تابع را با استفاده از خواص لگاریتم تبدیل می کنیم:

اکنون با فرمول های 3، 16a، 7 و 1 متمایز می کنیم:

اجازه دهید مقدار مشتق را در محاسبه کنیم.

مثال 7مشتق تابع را بیابید و مقدار آن را در .

راه حل. ما از فرمول های 6، 3، 14a، 9a، 5 و 1 استفاده می کنیم:

مقدار مشتق را در :

معنای هندسی مشتق.

مشتق تابع تفسیر هندسی ساده و مهمی دارد.

اگر تابع قابل تمایز در یک نقطه ایکس، سپس نمودار این تابع در نقطه مربوطه دارای مماس است و شیب مماس برابر با مقدار مشتق در نقطه مورد نظر است.

شیب مماس رسم شده به نمودار تابع در نقطه ( ایکس 0 , در 0) برابر است با مقدار مشتق تابع at x = x 0، یعنی .

معادله این مماس شکل دارد

مثال 8. معادله ای برای مماس بر نمودار تابع بنویسید در نقطه A (3.6).

راه حل. برای یافتن شیب مماس، مشتق این تابع را پیدا می کنیم:

ایکس= 3:

معادله مماس شکل دارد

، یا ، یعنی

مثال 9معادله مماس رسم شده بر نمودار تابع در نقطه با آبسیسا را بسازید. x=2.

راه حل. ابتدا ترتیب نقطه تماس را پیدا کنید. از آنجایی که نقطه A روی منحنی قرار دارد، مختصات آن معادله منحنی را برآورده می کند، یعنی.

; .

معادله مماس رسم شده به منحنی در نقطه شکل دارد . برای یافتن شیب مماس، مشتق را پیدا می کنیم:

شیب مماس برابر با مقدار مشتق تابع در است ایکس= 2:

معادله مماس:

, ، یعنی

معنای فیزیکی مشتق.اگر بدن طبق قانون در یک خط مستقیم حرکت کند s=s(t، سپس برای یک دوره زمانی (از لحظه تیتا لحظه ) تا حدودی پیش خواهد رفت. سپس میانگین سرعت حرکت برای یک دوره زمانی وجود دارد.

سرعتحرکات بدن در یک زمان معین تیحد نسبت مسیر به افزایش زمان نامیده می شود، زمانی که افزایش زمان به صفر میل می کند:

بنابراین، مشتق زمانی مسیر s تیبرابر با سرعت حرکت مستقیم بدن در یک زمان معین:

نرخ فرآیندهای فیزیکی، شیمیایی و سایر فرآیندها نیز با استفاده از مشتق بیان می شود.

مشتق تابع برابر است با نرخ تغییر این تابع برای مقدار معینی از آرگومان ایکس:

مثال 10قانون حرکت یک نقطه در امتداد یک خط مستقیم با فرمول ارائه می شود (s - در متر، t - در ثانیه). سرعت نقطه را در پایان ثانیه اول بیابید.

راه حل. سرعت یک نقطه در یک زمان معین برابر است با مشتق مسیر ستوسط زمان تی:

بنابراین، سرعت نقطه در پایان ثانیه اول 9 متر بر ثانیه است.

مثال 11.جسمی که به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شود طبق قانون حرکت می کند، جایی که v 0 - سرعت اولیه gشتاب سقوط آزاد است. سرعت این حرکت را برای هر لحظه از زمان پیدا کنید تی. چه مدت بدن بالا می رود و تا چه ارتفاعی اگر v0= 40 متر بر ثانیه؟

راه حل. سرعتی که یک نقطه در یک زمان معین در حال حرکت است تیبرابر با مشتق مسیر ستوسط زمان t:

در بالاترین نقطه صعود، سرعت بدن صفر است:

, , , , از جانب.

بالای 40/ gچند ثانیه بدن تا ارتفاع بالا می رود

, متر

مشتق دوم.

مشتق تابع به طور کلی تابعی از ایکس. اگر مشتق این تابع را محاسبه کنیم، مشتق مرتبه دوم یا مشتق دوم تابع به دست می آید. .

مشتق دومکارکرد مشتق اولین مشتق آن نامیده می شود .

مشتق دوم یک تابع با یکی از نمادهای - , , نشان داده می شود. به این ترتیب، .

مشتقات هر مرتبه به روشی مشابه تعریف و نشان داده می شوند. به عنوان مثال، یک مشتق مرتبه سوم:

یا ,

مثال 12. .

راه حل. ابتدا اولین مشتق را پیدا می کنیم

مثال 13مشتق دوم یک تابع را پیدا کنید و مقدار آن را در محاسبه کنید x=2.

راه حل. ابتدا اولین مشتق را پیدا می کنیم:

با تمایز مجدد، مشتق دوم را پیدا می کنیم:

اجازه دهید مقدار مشتق دوم را در محاسبه کنیم x=2; ما داریم

معنای فیزیکی مشتق دوم.

اگر بدن طبق قانون در یک خط مستقیم حرکت کند s = s(t)، سپس دومین مشتق مسیر ستوسط زمان تیبرابر با شتاب بدن در یک زمان معین t:

بنابراین، مشتق اول سرعت یک فرآیند را مشخص می کند و مشتق دوم شتاب همان فرآیند را مشخص می کند.

مثال 14نقطه طبق قانون در یک خط مستقیم حرکت می کند . سرعت و شتاب حرکت را پیدا کنید .

راه حل. سرعت بدن در یک زمان معین برابر است با مشتق مسیر ستوسط زمان تی،و شتاب دومین مشتق مسیر است ستوسط زمان تی. ما پیدا می کنیم:

; سپس ؛

; سپس

مثال 15سرعت حرکت مستقیم با جذر مسیر طی شده متناسب است (مثلاً در سقوط آزاد). ثابت کنید که این حرکت تحت تأثیر یک نیروی ثابت رخ می دهد.

راه حل. طبق قانون نیوتن، نیروی F که باعث حرکت می شود، متناسب با شتاب است، یعنی.

یا

با توجه به شرایط . با تمایز این برابری، متوجه می شویم

بنابراین، نیروی عامل .

کاربردهای مشتق برای مطالعه یک تابع.

1) شرط افزایش تابع: یک تابع متمایز y = f(x) به طور یکنواخت در بازه X افزایش می یابد اگر و فقط اگر مشتق آن بزرگتر از صفر باشد، یعنی. y = f(x) f'(x) > 0. این شرط از نظر هندسی به این معنی است که مماس بر نمودار این تابع یک زاویه تند با جهت مثبت به محور x تشکیل می دهد.

2) شرط کاهش تابع: یک تابع متمایز y = f(x) به طور یکنواخت در بازه X کاهش می یابد اگر و فقط اگر مشتق آن کمتر از صفر باشد، یعنی.

y = f(x)↓ f'(x) این شرط از نظر هندسی به این معنی است که مماس بر نمودار این تابع یک زاویه مبهم با جهت مثبت محور oX تشکیل می دهد.

3) شرط ثبات تابع:یک تابع متمایز y = f(x) در بازه X ثابت است اگر و فقط اگر مشتق آن برابر با صفر باشد، یعنی. y = f(x) - ثابت f'(x) = 0 .این شرط از نظر هندسی به این معنی است که مماس بر نمودار این تابع موازی با محور oX است، یعنی α \u003d 0)

افراط در عملکرد

تعریف 1: نقطه x \u003d x 0 فراخوانی می شود حداقل امتیازتابع y = f(x)، اگر این نقطه دارای یک همسایگی باشد که برای همه نقاط آن (به جز خود نقطه) نابرابری f(x)> f(x 0) باشد.

تعریف 2:نقطه x \u003d x 0 فراخوانی می شود حداکثر امتیازتابع y = f(x) اگر این نقطه برای همه نقاط آن همسایه ای داشته باشد که (به جز خود نقطه) نابرابری f(x) باشد.< f(x 0).

تعریف 3: نقطه حداقل یا حداکثر یک تابع را نقطه می گویند نقاط بحرانی. مقدار تابع در این نقطه افراطی نامیده می شود.

ملاحظات: 1. حداکثر (حداقل) لزوماً حداکثر (کوچکترین) مقدار تابع نیست.

2. یک تابع می تواند چندین حداکثر یا حداقل داشته باشد.

3. تابعی که بر روی یک قطعه تعریف شده است تنها در نقاط داخلی این قطعه می تواند به یک اکسترموم برسد.

5) شرط لازم برای افراط:اگر تابع y \u003d f (x) در نقطه x \u003d x 0 یک انتها داشته باشد، در این نقطه مشتق برابر با صفر است یا وجود ندارد. این نقاط نامیده می شوند نقاط بحرانی از نوع اول.

6) شرایط کافی برای وجود حداکثر تابع:اجازه دهید تابع y \u003d f (x) در بازه X پیوسته باشد و در داخل این بازه به عنوان یک نقطه بحرانی از نوع اول x \u003d x 0 باشد، سپس:

الف) اگر این نقطه دارای همسایگی باشد که در آن x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f'(x) > 0، سپس x = x 0 یک نقطه است کمترینتوابع y = f(x);

ب) اگر این نقطه دارای همسایگی باشد که در آن x< х 0 f’(x) >0 و برای x> x 0

f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой بیشترینتوابع y = f(x);

ج) اگر این نقطه چنان همسایگی داشته باشد که در آن هم در سمت راست و هم در سمت چپ نقطه x 0 نشانه های مشتق یکسان باشد، در نقطه x 0 اکسترومی وجود ندارد.

فواصل توابع کاهش یا افزایش را فواصل می گویند. یکنواختی

تعریف 1:منحنی y = f(x) نامیده می شود محدب به پاییندر فاصله a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется محدبدر فاصله a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

تعریف 2:فواصل زمانی که نمودار تابع به سمت بالا یا پایین محدب است نامیده می شود در فواصل زمانی متورم شودنمودار تابع

شرط کافی برای محدب بودن منحنی.نمودار تابع متمایز Y = f(x) است محدبدر فاصله a< х <в, если f”(x) < 0 и محدب به پایین، اگر f”(x) > 0 باشد.

تعریف 1:نقاطی که مشتق دوم در آنها صفر است یا وجود ندارد نامیده می شوند نقاط بحرانی نوع دوم.

تعریف 2:نقطه نمودار تابع Y = f(x) که فواصل تحدب جهات مخالف این نمودار را از هم جدا می کند، نقطه نامیده می شود. عطف

نقطه عطف

مثال: با توجه به یک تابع y \u003d x 3 - 2x 2 + 6x - 4. تابع را برای فواصل یکنواختی و نقاط منتهی بررسی کنید. جهت نقاط تحدب و عطف را تعیین کنید.

راه حل: 1. دامنه تابع را پیدا کنید: D(y) = ;

2. اولین مشتق را بیابید: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. بیایید معادله را حل کنیم: y' = 0، 3x 2 - 4x+ 6 = 0، D 0، سپس این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین هیچ نقطه منتهی وجود ندارد. y'، سپس تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.

4. مشتق دوم را بیابید: y” = 6x - 4;

5. معادله را حل کنید: y” = 0، 6x - 4 = 0، x =

پاسخ: ( ; - ) - نقطه عطف، تابع در x به سمت بالا محدب و در x به سمت بالا محدب است.

مجانب.

1. تعریف: مجانب یک منحنی خط مستقیمی است که نمودار یک تابع معین به طور نامحدود به آن نزدیک می شود.

2. انواع مجانب:

1) مجانب عمودی. نمودار تابع y = f(x) مجانبی عمودی دارد اگر . معادله مجانبی عمودی به شکل x = a است

2) مجانب افقی. نمودار تابع y = f(x) مجانبی افقی if دارد . معادله مجانبی افقی y = b است.

مثال 1: برای تابع y = مجانب را بیابید.

3) مجانب مایل.خط مستقیم y = kx + b را مجانب مایل نمودار تابع y = f(x) می نامند اگر . مقادیر k و b با فرمول محاسبه می شود: k = ; b = .

راه حل: ، سپس y = 0 مجانب افقی است.

(از x - 3 ≠ 0، x ≠ 3)، سپس x = 3 مجانب عمودی است. ، تی. یعنی k = 0، پس منحنی مجانب مایل ندارد.

مثال 2: برای تابع y = مجانب را بیابید.

راه حل: x 2 - 25 ≠ 0 با x ≠ ± 5، سپس x \u003d 5 و x \u003d - 5 مجانب افقی هستند.

y =، پس منحنی مجانبی عمودی ندارد.

k = ; b =، یعنی y = 5x - مجانب مایل.

نمونه هایی از ساخت نمودار تابع.

مثال 1.

تابع را بررسی کنید و نموداری از تابع y \u003d x 3 - 6x 2 + 9x - 3 بسازید

1. دامنه تابع را پیدا کنید: D(y) = R

y (- x) \u003d (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 \u003d - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 \u003d - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3)، یعنی

(y \u003d x 5 - x 3 - فرد، y \u003d x 4 + x 2 - زوج)

3. دوره ای نیست.

4. نقاط تقاطع را با محورهای مختصات پیدا کنید: اگر x \u003d 0، پس y \u003d - 3 (0; - 3)

اگر Y = 0 باشد، پیدا کردن x سخت است.

5. مجانب نمودار تابع را بیابید: هیچ مجانبی عمودی وجود ندارد، زیرا هیچ مقدار x وجود ندارد که تابع آن نامشخص باشد. y =، یعنی هیچ مجانبی افقی وجود ندارد.

k =، یعنی هیچ مجانب مایل وجود ندارد.

6. تابع را برای فواصل یکنواختی و مادون آن بررسی می کنیم: y’ = 3x 2 - 12x + 9،

y'= 0، 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - نقاط بحرانی از نوع 1.

بیایید علائم مشتق را تعیین کنیم: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y (1) = 1, (1;1) - حداکثر امتیاز. y min \u003d y (3) \u003d - 3، (3; - 3) - حداقل نقطه، تابع y برای x و y .

7. تابع را برای فواصل تحدب و نقاط عطف بررسی می کنیم:

y" = (y')' = (3x 2 - 12x + 9)' = 6x - 12، y" = 0، 6x - 12 = 0 x = 2 - نقطه بحرانی از نوع اول.

بیایید علائم مشتق دوم را تعیین کنیم: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - نقطه عطف، تابع در x به بالا محدب و در x محدب به پایین است.

8. نکات اضافی:

ایکس	- 1
در	- 19

9. بیایید یک نمودار از تابع بسازیم:

تابع را بررسی کنید و تابع y = را رسم کنید

1. دامنه تابع را بیابید: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .

2. دریابید که آیا تابع داده شده زوج است یا فرد: ,

y(- x) ≠ y(x) زوج نیست و y(- x) ≠ - y(x) فرد نیست

3. دوره ای نیست.

4. نقاط تقاطع را با محورهای مختصات پیدا کنید: x \u003d 0، سپس y \u003d - 2. y = 0، سپس ، یعنی (0; - 2)؛ ().

5. مجانب نمودار تابع: since x ≠ 1، سپس خط x = 1 مجانب عمودی است.

تمایز محاسبه یک مشتق است.

1. فرمول های تمایز.

فرمول های اصلی تمایز در جدول آمده است. آنها لازم نیست حفاری شوند. با درک برخی از الگوها، می توانید به طور مستقل دیگران را از برخی فرمول ها استنباط کنید.

1) بیایید با فرمول (k ایکس+ m)′ = k.
موارد خاص آن فرمول ها هستند ایکس′ = 1 و C′ = 0.

در هر تابعی از شکل y = kx + m، مشتق برابر با شیب k است.

به عنوان مثال، با توجه به تابع y = 2 ایکس+ 4. مشتق آن در هر نقطه برابر با 2 خواهد بود:

(2 x + 4)′ = 2 .

مشتق تابع در = 9 ایکس+ 5 در هر نقطه برابر است 9 . و غیره.

و بیایید مشتق تابع y \u003d 5 را پیدا کنیم ایکس. برای این کار 5 را تصور کنید ایکسدر قالب (5 ایکس+ 0). ما یک عبارت مشابه قبلی دریافت کردیم. به معنای:

(5ایکس)′ = (5 ایکس+ 0)′ = 5.

در نهایت، بیایید دریابیم که چیست ایکس′.
بیایید تکنیک مثال قبلی را اعمال کنیم: تصور کنید ایکسبه عنوان 1 ایکس+ 0. سپس دریافت می کنیم:

ایکس′ = (1 ایکس+ 0)′ = 1.

بنابراین، ما به طور مستقل فرمول را از جدول استخراج کردیم:

(0 · ایکس+ m)′ = 0.

اما پس از آن معلوم می شود که m′ نیز برابر با 0 است. اجازه دهید m = C، که در آن C یک ثابت دلخواه است. سپس به حقیقت دیگری می رسیم: مشتق یک ثابت برابر با صفر است. یعنی فرمول دیگری از جدول بدست می آوریم.