$ E \ زیر مجموعه \ mathbb (R) ^ (n) $. آنها می گویند که $ f $ دارد حداکثر محلیدر نقطه $ x_ (0) \ در E $، اگر همسایگی $ U $ از نقطه $ x_ (0) $ وجود داشته باشد به طوری که برای همه $ x \ در U $ نابرابری $ f \ چپ (x \ راست) ) \ leqslant f \ چپ (x_ (0) \ راست) $.

حداکثر محلی نامیده می شود سخت گیرانه اگر همسایگی $ U $ را بتوان طوری انتخاب کرد که برای همه $ x \ در U $ غیر از $ x_ (0) $، $ f \ چپ (x \ راست)< f\left(x_{0}\right)$.

تعریف
اجازه دهید $ f $ یک تابع واقعی در مجموعه باز $ E \ زیر مجموعه \ mathbb (R) ^ (n) $ باشد. آنها می گویند که $ f $ دارد حداقل محلیدر نقطه $ x_ (0) \ در E $، اگر همسایگی $ U $ از نقطه $ x_ (0) $ وجود داشته باشد به طوری که برای همه $ x \ در U $ نابرابری $ f \ چپ (x \ راست) ) \ geqslant f \ چپ (x_ (0) \ راست) $.

حداقل محلی سخت نامیده می شود اگر همسایگی $ U $ را بتوان طوری انتخاب کرد که برای همه $ x \ در U $ غیر از $ x_ (0) $، $ f \ چپ (x \ راست)> f \ چپ (x_ ( 0) \ راست) $.

Local Extremum مفاهیم حداقل محلی و حداکثر محلی را ترکیب می کند.

قضیه (شرط لازم برای حداکثر یک تابع قابل تفکیک)
اجازه دهید $ f $ یک تابع واقعی در مجموعه باز $ E \ زیر مجموعه \ mathbb (R) ^ (n) $ باشد. اگر در نقطه $ x_ (0) \ در E $ تابع $ f $ در این نقطه یک اکسترموم محلی داشته باشد، آنگاه $$ \ متن (d) f \ چپ (x_ (0) \ راست) = 0. $$ تساوی به صفر دیفرانسیل معادل این واقعیت است که همه برابر با صفر هستند، یعنی. $$ \ displaystyle \ frac (\ جزئی f) (\ x_ جزئی (i)) \ چپ (x_ (0) \ راست) = 0. $$

در حالت تک بعدی اینطور است. ما $ \ phi \ چپ (t \ راست) = f \ چپ (x_ (0) + th \ راست) $ را نشان می‌دهیم که $ h $ یک بردار دلخواه است. تابع $ \ phi $ برای مقادیر به اندازه کافی کوچک $ t $ در مقدار مطلق تعریف شده است. علاوه بر این، توسط، قابل تفکیک است، و $ (\ phi) '\ چپ (t \ راست) = \ متن (d) f \ چپ (x_ (0) + th \ راست) h $.
اجازه دهید $ f $ یک حداکثر محلی در نقطه x $ 0 $ داشته باشد. بنابراین، تابع $ \ phi $ برای $ t = 0 $ دارای حداکثر محلی است و طبق قضیه فرما، $ (\ phi) '\ چپ (0 \ راست) = 0 $.
بنابراین، ما دریافتیم که $ df \ چپ (x_ (0) \ راست) = 0 $، یعنی. تابع $ f $ در نقطه $ x_ (0) $ برابر با صفر در هر بردار $ h $ است.

تعریف
نقاطی که دیفرانسیل در آنها صفر است، یعنی. آنهایی که در آنها تمام مشتقات جزئی برابر با صفر هستند، ثابت نامیده می شوند. نقاط بحرانیتابع $ f $ به نقاطی گفته می شود که در آنها $ f $ قابل تمایز نیست یا برابر با صفر است. اگر نقطه ثابت است، پس این هنوز به این معنی نیست که تابع در این نقطه یک اکسترموم دارد.

مثال 1.
اجازه دهید $ f \ چپ (x, y \ سمت راست) = x ^ (3) + y ^ (3) $. سپس $ \ displaystyle \ frac (\ جزئی f) (\ x جزئی) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ displaystyle \ frac (\ f جزئی) (\ جزئی y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $، بنابراین $ \ چپ (0,0 \ راست) $ یک نقطه ثابت است، اما در این نقطه تابع هیچ اکسترومومی ندارد. در واقع، $ f \ چپ (0,0 \ راست) = 0 $، اما به راحتی می توان دید که در هر همسایگی از نقطه $ \ چپ (0,0 \ راست) $ تابع هر دو مقدار مثبت و منفی را می گیرد.

مثال 2.
تابع $ f \ چپ (x, y \ راست) = x ^ (2) - y ^ (2) $ منشأ خود را به عنوان یک نقطه ثابت دارد، اما واضح است که در این نقطه هیچ اکسترومی وجود ندارد.

قضیه (شرط کافی برای یک افراط).
اجازه دهید تابع $ f $ دو بار به طور مداوم در مجموعه باز $ E \ زیر مجموعه \ mathbb (R) ^ (n) $ قابل تمایز باشد. فرض کنید $ x_ (0) \ در E $ یک نقطه ثابت و $$ \ نمایش سبک Q_ (x_ (0)) \ چپ (h \ راست) \ معادل \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ) ^ n \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ x_ جزئی (i) \ x_ جزئی (j)) \ چپ (x_ (0) \ راست) h ^ (i) h ^ (j). $ $ سپس

1. اگر $ Q_ (x_ (0)) $ -، سپس تابع $ f $ در نقطه $ x_ (0) $ دارای یک اکسترمم محلی است، یعنی حداقل اگر شکل مثبت قطعی باشد، و حداکثر اگر شکل باشد. قطعی منفی؛
2. اگر شکل درجه دوم $ Q_ (x_ (0)) $ تعریف نشده باشد، تابع $ f $ در نقطه $ x_ (0) $ هیچ اکسترومی ندارد.

ما از بسط مطابق فرمول تیلور استفاده خواهیم کرد (12.7 ص 292). با در نظر گرفتن اینکه مشتقات جزئی مرتبه اول در نقطه $ x_ (0) $ برابر با صفر است، ما $$ \ displaystyle f \ چپ (x_ (0) + h \ راست) -f \ چپ (x_) دریافت می کنیم. (0) \ راست) = \ فرک (1) (2) \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ^ n \ فرک (\ جزئی ^ (2) f) (\ x_ جزئی (i ) \ x_ جزئی (j)) \ چپ (x_ (0) + \ تتا h \ راست) h ^ (i) h ^ (j)، $$ که در آن $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $، و $ \ epsilon \ چپ (h \ راست) \ فلش راست 0 $ برای $ h \ فلش راست 0 $، سپس سمت راست برای هر بردار $ h $ با طول کافی کوچک مثبت خواهد بود.
بنابراین، ما به این نتیجه رسیدیم که در یک محله از نقطه $ x_ (0) $ نابرابری $ f \ چپ (x \ راست)> f \ چپ (x_ (0) \ راست) $ وجود دارد، اگر فقط x $ \ neq x_ (0) $ (ما $ x = x_ (0) + h $ \ در سمت راست قرار می دهیم). این بدان معنی است که در نقطه $ x_ (0) $ تابع دارای یک حداقل محلی دقیق است و بنابراین اولین قسمت قضیه ما ثابت می شود.
حالا فرض کنید $ Q_ (x_ (0)) $ یک شکل تعریف نشده است. سپس بردارهای $ h_ (1) $، $ h_ (2) $ وجود دارد که $ Q_ (x_ (0)) \ چپ (h_ (1) \ راست) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ چپ (h_ (2) \ راست) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 دلار سپس $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) بدست می آوریم. \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ چپ (th_ (1) \ راست) \ راست] = \ فرک (1) (2) t ^ (2) \ چپ [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ چپ (th_ (1) \ راست) \ راست]. $$ برای به اندازه کافی کوچک $ t> 0 $ سمت راست مثبت است این بدان معنی است که در هر همسایگی نقطه $ x_ (0) $ تابع $ f $ مقادیر $ f \ چپ (x \ راست) $ را می گیرد که بزرگتر از $ f \ چپ (x_ (0) \ راست است) $.
به طور مشابه، دریافتیم که در هر همسایگی نقطه $ x_ (0) $، تابع $ f $ مقادیر کمتر از $ f \ چپ (x_ (0) \ راست) $ را می گیرد. این، همراه با مورد قبلی، به این معنی است که در نقطه $ x_ (0) $، تابع $ f $ هیچ اکسترومومی ندارد.

در نظر گرفتن مورد خاصاز این قضیه برای تابع $ f \ چپ (x, y \ راست) $ دو متغیر تعریف شده در همسایگی نقطه $ \ چپ (x_ (0), y_ (0) \ راست) $ و دارای مشتقات جزئی پیوسته از مرتبه اول و دوم فرض کنید $ \ چپ (x_ (0)، y_ (0) \ راست) $ یک نقطه ثابت است و نشانگر $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ x جزئی ^ (2)) \ چپ (x_ (0)، y_ (0) \ راست)، a_ (12) = \ فراک (\ جزئی ^ (2) f) (\ x جزئی \ جزئی y) \ چپ (x_ ( 0 ), y_ (0) \ راست)، a_ (22) = \ فرک (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی y ^ (2)) \ چپ (x_ (0)، y_ (0) \ راست ) $$ سپس قضیه قبلی به شکل زیر در می آید.

قضیه
اجازه دهید $ \ دلتا = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. سپس:

1. اگر $ \ Delta> 0 $، آنگاه تابع $ f $ در نقطه $ \ چپ (x_ (0)، y_ (0) \ right) $، یعنی حداقل اگر $ a_ (11)> یک اکسترمم محلی دارد. 0 $، و حداکثر اگر $ a_ (11)<0$;
2. اگر $ \ دلتا<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

نمونه هایی از حل مسئله

الگوریتمی برای یافتن حد فاصل تابعی از متغیرهای متعدد:

1. یافتن نقاط ثابت؛
2. دیفرانسیل مرتبه 2 را در تمام نقاط ثابت پیدا کنید
3. با استفاده از شرط کافی برای حداکثر یک تابع از چندین متغیر، دیفرانسیل مرتبه دوم را در هر نقطه ثابت در نظر می گیریم.

1. تابع را برای extremum $ f \ چپ (x, y \ راست) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $ بررسی کنید.
   راه حل

   مشتقات جزئی مرتبه اول را بیابید: $$ \ displaystyle \ frac (\ f جزئی) (\ x جزئی) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y؛ $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ f جزئی ) (\ جزئی y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ بیایید سیستم را بنویسیم و حل کنیم: $$ \ displaystyle \ start (موارد) \ frac (\ جزئی f) (\ x جزئی ) = 0 \\\ فراک (\ f جزئی) (\ جزئی y) = 0 \ پایان (موارد) \ فلش راست \ شروع (موارد) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ پایان (موارد) \ فلش راست \ شروع (موارد) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ end (موارد) $$ از معادله دوم، $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ را بیان کنید - در معادله 1 جایگزین کنید: $$ \ displaystyle \ چپ (4 \ cdot y ^ (2) \ راست ) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $ $ y \ چپ (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ راست) = 0 $$ در نتیجه 2 نقطه ثابت به دست می آید:
   1) $ y = 0 \ فلش راست x = 0، M_ (1) = \ چپ (0، 0 \ راست) $;
   2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ فلش راست y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ فلش راست y = \ frac (1) (2) \ فلش راست x = 1 , M_ (2) = \ چپ (\ فراک (1) (2)، 1 \ راست) $
   بیایید تحقق شرط کافی برای اکستروم را بررسی کنیم:
   $$ \ displaystyle \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ x جزئی ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ x جزئی \ y جزئی) = - 6; \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
   1) برای نقطه $ M_ (1) = \ چپ (0,0 \ راست) $:
   $$ \ displaystyle A_ (1) = \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی x ^ (2)) \ چپ (0,0 \ راست) = 0; B_ (1) = \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی x \ جزئی y) \ چپ (0,0 \ راست) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی y ^ (2)) \ چپ (0,0 \ راست) = 0؛ $$
   $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) برای نقطه $ M_ (2) $:
   $$ \ displaystyle A_ (2) = \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی x ^ (2)) \ چپ (1، \ فرک (1) (2) \ راست) = 6; B_ (2) = \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی x \ جزئی y) \ چپ (1، \ فرک (1) (2) \ راست) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی y ^ (2)) \ چپ (1، \ فرک (1) (2) \ راست) = 24؛ $$
   $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $، بنابراین در نقطه $ M_ (2) $ یک اکسترموم وجود دارد و از A_ (2) $> 0 $، سپس این حداقل است.
   پاسخ: نقطه $ \ displaystyle M_ (2) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) $ حداقل نقطه تابع $ f $ است.
   

2. تابع را برای extremum $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $ بررسی کنید.
   راه حل

   نقاط ثابت را پیدا کنید: $$ \ displaystyle \ frac (\ جزئی f) (\ x جزئی) = 2 \ cdot y - 4؛ $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ f جزئی) (\ جزئی y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
   بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم: $$ \ displaystyle \ start (موارد) \ frac (\ جزئی f) (\ x جزئی) = 0 \\\ frac (\ جزئی f) (\ جزئی y) = 0 \ پایان (موردهای کوچک) ) \ فلش راست \ شروع (موارد) 2 \ cdot y - 4 = 0 \\ 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2 = 0 \ پایان (موارد) \ فلش راست \ شروع (موارد) y = 2 \\ y + x = 1 \ پایان (موارد) \ فلش راست x = -1 $$
   $ M_ (0) \ چپ (-1، 2 \ راست) $ یک نقطه ثابت است.
   بیایید بررسی کنیم که شرط extremum کافی برآورده شده است: $$ \ displaystyle A = \ frac (\ partal ^ (2) f) (\ partal x ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 0; B = \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی x \ جزئی y) \ چپ (-1,2 \ راست) = 2; C = \ frac (\ جزئی ^ (2) f) (\ جزئی y ^ (2)) \ چپ (-1,2 \ راست) = 2؛ $$
   $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   پاسخ: هیچ افراطی وجود ندارد.
   

محدودیت زمانی: 0

ناوبری (فقط شماره های شغلی)

0 از 4 سوال تکمیل شد

اطلاعات

این مسابقه را انجام دهید تا دانش خود را در مورد موضوعی که به تازگی خوانده‌اید، آزمایش کنید.

قبلاً در آزمون شرکت کرده اید. شما نمی توانید آن را دوباره شروع کنید.

تست در حال بارگیری است...

برای شروع آزمون باید وارد شوید یا ثبت نام کنید.

برای شروع این تست باید تست های زیر را تکمیل کنید:

نتایج

پاسخ های صحیح: 0 از 4

زمان خود را:

زمان به پایان رسیده است

شما از 0 امتیاز 0 گرفتید (0)

نتیجه شما در تابلوی امتیازات ثبت شده است

1. با جواب
2. به عنوان مشاهده شده علامت گذاری شد

وظیفه 1 از 4

1 .

امتیاز: 1

تابع $f $ را برای اکسترنال بررسی کنید: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

درست


درست نیست


1. سوال 2 از 4

   2 .

   امتیاز: 1

   آیا تابع $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

تغییر در یک تابع در یک نقطه خاص به عنوان حد افزایش تابع به افزایش آرگومان تعریف می شود که به سمت صفر میل می کند. برای پیدا کردن آن، از جدول مشتقات استفاده کنید. به عنوان مثال، مشتق تابع y = x3 برابر با y '= x2 خواهد بود.

این مشتق را روی صفر قرار دهید (در این مورد x2 = 0).

مقدار متغیر داده شده را پیدا کنید. این مقادیر زمانی خواهند بود که مشتق داده شده برابر با 0 باشد. برای این کار، اعداد دلخواه را به جای x در عبارت جایگزین کنید، که در آن کل عبارت صفر می شود. مثلا:

2-2x2 = 0
(1-x) (1 + x) = 0
x1 = 1، x2 = -1

مقادیر به دست آمده را روی خط مختصات رسم کرده و علامت مشتق را برای هر یک از موارد به دست آمده محاسبه کنید. نقاط روی خط مختصات مشخص می شوند که به عنوان مبدا در نظر گرفته می شوند. برای محاسبه مقدار در فواصل، مقادیر دلخواه را جایگزین معیارها کنید. به عنوان مثال، برای تابع قبلی، تا -1، می توانید مقدار -2 را انتخاب کنید. از 1- تا 1 می توانید 0 و برای مقادیر بزرگتر از 1 2 را انتخاب کنید. این اعداد را در مشتق جایگزین کنید و علامت مشتق را پیدا کنید. در این مورد، مشتق با x = -2 - 0.24 خواهد بود، یعنی. منفی است و علامت منفی در این فاصله وجود خواهد داشت. اگر x = 0 باشد، مقدار آن برابر با 2 خواهد بود و علامتی روی این بازه قرار می گیرد. اگر x = 1 باشد، مشتق نیز برابر با 0.24- خواهد بود و منهای قرار می گیرد.

اگر هنگام عبور از نقطه ای در خط مختصات، مشتق علامت خود را از منهای به مثبت تغییر دهد، این حداقل نقطه و اگر از مثبت به منفی باشد، این نقطه حداکثر است.

ویدیو های مرتبط

مشاوره مفید

برای یافتن مشتق، خدمات آنلاینی وجود دارد که مقادیر مورد نیاز را محاسبه کرده و نتیجه را نمایش می دهد. در چنین سایت هایی می توانید مشتقاتی تا مرتبه 5 پیدا کنید.

منابع:

• یکی از خدمات محاسبه مشتقات
• حداکثر نقطه عملکرد

نقاط ماکزیمم تابع همراه با حداقل نقاط را نقاط منتهی می گویند. در این نقاط، تابع رفتار خود را تغییر می دهد. Extrema در فواصل عددی محدود تعیین می شود و همیشه محلی است.

دستورالعمل ها

فرآیند یافتن منتهی الیه موضعی تابع نامیده می شود و با تجزیه و تحلیل مشتقات اول و دوم تابع انجام می شود. قبل از بررسی مطمئن شوید که محدوده مشخص شده از مقادیر آرگومان، مقادیر معتبر هستند. به عنوان مثال، برای تابع F = 1 / x، مقدار آرگومان x = 0 نامعتبر است. یا برای تابع Y = tg (x)، آرگومان نمی تواند مقدار x = 90 درجه داشته باشد.

مطمئن شوید که تابع Y در کل بخش داده شده قابل تمایز است. اولین مشتق Y را پیدا کنید. بدیهی است که قبل از رسیدن به نقطه حداکثر محلی، تابع افزایش می‌یابد و هنگام عبور از حداکثر، تابع کاهشی می‌شود. اولین مشتق به معنای فیزیکی خود، میزان تغییر تابع را مشخص می‌کند. در حالی که تابع در حال افزایش است، سرعت این فرآیند مثبت است، تابع از طریق یک حداکثر محلی شروع به کاهش می کند و سرعت تغییر در تابع منفی می شود. انتقال نرخ تغییر تابع به صفر اتفاق می افتد. در نقطه حداکثر محلی.

>> افراطی ها

عملکرد افراطی

تعیین یک افراط

عملکرد y = f (x) نامیده می شود افزایش می یابد (در حال کاهش) در یک بازه زمانی، اگر برای x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

اگر یک تابع متمایز y = f (x) در یک بازه افزایش (کاهش) کند، مشتق آن در این بازه f " (ایکس)> 0

(f"(ایکس)< 0).

نقطه ایکس O تماس گرفت نقطه حداکثر محلی (کمترین) از تابع f (x) اگر همسایگی نقطه وجود داشته باشد x در مورد، برای تمام نقاطی که نابرابری f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

حداکثر و حداقل امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع در این نقاط آن است افراطی

نقاط افراطی

شرایط لازمنقاط بحرانی ... اگر نقطه ایکس O نقطه منتهی تابع f (x) است، سپس یکی از آنها f است " (x о) = 0، یا f(x o) وجود ندارد. چنین نقاطی نامیده می شود بحرانیعلاوه بر این، خود تابع در نقطه بحرانی تعریف می شود. حداکثر یک تابع را باید در میان نقاط بحرانی آن جستجو کرد.

شرط اول کافی بگذار باشد ایکس O - نقطه بحرانی. اگر f" (x) هنگام عبور از نقطه ایکس O علامت مثبت را به منهای و سپس در نقطه تغییر می دهد x در موردتابع دارای حداکثر است، در غیر این صورت دارای حداقل است. اگر مشتق هنگام عبور از نقطه بحرانی علامت تغییر نکند، در نقطه ایکس O افراطی وجود ندارد

شرط دوم کافی اجازه دهید تابع f (x) باشد
f" (x) در همسایگی نقطه ایکس O و مشتق دوم در خود نقطه x در مورد... اگر f"(x در مورد) = 0, >0 ( <0), то точка x در موردنقطه حداقل محلی (حداکثر) تابع f (x) است. اگر = 0، آنگاه باید یا از اولین شرط کافی استفاده کرد، یا شرط های بالاتر را در نظر گرفت.

در یک قطعه، تابع y = f (x) می تواند به کوچکترین یا بزرگترین مقدار در نقاط بحرانی یا در انتهای قطعه برسد.

مثال 3.22.

راه حل.زیرا f " (

مشکلات یافتن حداکثر یک تابع

مثال 3.23. آ

راه حل. ایکسو y y
0 ≤ ایکس≤
> 0 و برای x> a / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение عملکرد مربع. واحدها).

مثال 3.24. p ≈

راه حل.ص ص
اس "
R = 2، H = 16/4 = 4.

مثال 3.22.حداکثر تابع f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 را بیابید.

راه حل.زیرا f " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3)، سپس نقاط بحرانی تابع x 1 = 2 و x 2 = 3. Extrema فقط در این نقاط می تواند باشد. از آنجایی که مشتق هنگام عبور از نقطه x 1 = 2 علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد، در این مرحله تابع دارای حداکثر است. هنگام عبور از نقطه x 2 = 3، مشتق علامت منفی خود را به مثبت تغییر می دهد، بنابراین، در نقطه x 2 = 3، تابع دارای حداقل است. محاسبه مقادیر تابع در نقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3، مازاد تابع را پیدا می کنیم: حداکثر f (2) = 14 و حداقل f (3) = 13.

مثال 3.23.لازم است در نزدیکی دیوار سنگی محوطه ای مستطیل شکل بسازید که از سه طرف با شبکه سیمی حصار کشیده شود و از طرف چهارم مجاور دیوار باشد. برای این وجود دارد آمتر در حال اجرا مش. سایت با چه نسبتی بیشترین مساحت را خواهد داشت؟

راه حل.کناره های سایت را با علامت گذاری می کنیم ایکسو y... مساحت سایت S = xy است. بگذار باشد yطول ضلع مجاور دیوار است. سپس، طبق شرط، برابری 2x + y = a باید برآورده شود. بنابراین، y = a - 2x و S = x (a - 2x)، که در آن
0 ≤ ایکس≤ a/2 (طول و عرض پد نمی تواند منفی باشد). S "= a - 4x، a - 4x = 0 برای x = a / 4، از اینجاست
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. تا جایی که x = a / 4 تنها نقطه بحرانی است، اجازه دهید بررسی کنیم که آیا علامت مشتق هنگام عبور از این نقطه تغییر می کند یا خیر. برای x a / 4 S"> 0 و برای x> a / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение عملکرد S (a / 4) = a / 4 (a - a / 2) = a 2/8 (مربع. واحدها). از آنجایی که S پیوسته است و مقادیر آن در انتهای S (0) و S (a / 2) برابر با صفر است، مقدار یافت شده بزرگترین مقدار تابع خواهد بود. بنابراین، سودمندترین نسبت ابعاد سایت تحت شرایط داده شده مسئله، y = 2x است.

مثال 3.24.ساخت یک مخزن استوانه ای بسته با ظرفیت V = 16 مورد نیاز است p ≈ 50 متر 3. ابعاد مخزن (شعاع R و ارتفاع H) چقدر باید باشد تا کمترین مواد برای ساخت آن استفاده شده باشد؟

راه حل.سطح کل سیلندر S = 2 استپ R (R + H). حجم سیلندر را می دانیم V = p R 2 H Þ H = V / p R 2 = 16 p / p R2 = 16 / R2. بنابراین، S (R) = 2پ (R 2 + 16 / R). مشتق این تابع را پیدا کنید:
اس "(R) = 2 p (2R- 16 / R2) = 4 p (R- 8 / R2). اس " (R) = 0 برای R3 = 8، بنابراین،
R = 2، H = 16/4 = 4.

برای یک تابع f (x) از چندین متغیر، نقطه x یک بردار است، f '(x) بردار اولین مشتقات ( گرادیان) تابع f (x) است، f ' (x) متقارن است. ماتریس مشتقات جزئی دوم (ماتریس هسی هسین است) تابع f (x).
برای تابعی از بسیاری از متغیرها، شرایط بهینه به صورت زیر فرموله می شود.
شرط لازم برای بهینه سازی محلی. فرض کنید f (x) در نقطه x * R n قابل تمایز باشد. اگر x * یک نقطه انتهایی محلی باشد، f '(x *) = 0.
مانند قبل، نقاطی که راه حل سیستم معادلات هستند، ساکن نامیده می شوند. ویژگی نقطه ثابت x * به قطعیت ماتریس هس f "(x) مربوط می شود.
مشخص بودن ماتریس A به نشانه های شکل درجه دوم Q (α) = بستگی دارد< α A, α >برای همه α∈R n غیر صفر.
اینجا و در ادامه حاصل ضرب اسکالر بردارهای x و y را نشان می دهد. الف مقدماتی،

یک ماتریس A مثبت (غیر منفی) قطعی است اگر Q (α)> 0 (Q (α) ≥0) برای همه α∈R n غیر صفر. منفی (غیر مثبت) قطعی اگر Q (α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 برای برخی α∈R n غیر صفر و Q (α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
شرط کافی برای بهینه سازی محلی. فرض کنید f (x) دو بار در نقطه x * R n قابل تفکیک باشد و f'(x *) = 0 باشد، یعنی، x * - نقطه ثابت. سپس، اگر ماتریس f ′′ (x *) مثبت (منفی) معین باشد، آنگاه x * نقطه ای از حداقل (حداکثر) محلی است. اگر ماتریس f ' (x *) تعریف نشده باشد، x * یک نقطه زین است.
اگر ماتریس f' (x*) بطور غیر منفی (غیر مثبت) معین باشد، برای تعیین ماهیت نقطه ثابت x*، مطالعه مشتقات مرتبه بالاتر مورد نیاز است.
آزمون سیلوستر معمولاً برای بررسی علامت قطعی یک ماتریس استفاده می شود. با توجه به این معیار، یک ماتریس متقارن A مثبت قطعی است اگر و تنها در صورتی که همه مینورهای زاویه ای آن مثبت باشند. در این مورد، مینور زاویه‌ای ماتریس A، تعیین‌کننده ماتریس ساخته شده از عناصر ماتریس A است که در محل تلاقی سطرها و ستون‌هایی با اعداد یکسان (و اول) قرار دارد. برای بررسی ماتریس متقارن A از نظر قطعیت منفی، لازم است ماتریس (-A) را برای قطعیت مثبت بررسی کنید.
بنابراین، الگوریتم تعیین نقاط انتهایی محلی تابعی از بسیاری از متغیرها به شرح زیر است.
1. f ′ (x) را پیدا کنید.
2. سیستم در حال حل شدن است

در نتیجه، نقاط ثابت x i محاسبه می شود.
3. f ′′ (x) را پیدا کنید، i = 1 را تنظیم کنید.
4. f "" (x i) را پیدا کنید
5. مینورهای زاویه ای ماتریس f ′′ (x i) محاسبه می شوند. اگر همه مینورهای زاویه ای غیر صفر نیستند، برای تعیین ماهیت نقطه ثابت x i، مطالعه مشتقات مرتبه بالاتر مورد نیاز است. در این مورد، انتقال به مورد 8 انجام می شود.
در غیر این صورت به مرحله 6 بروید.
6. علائم مینورهای زاویه‌ای f ′ (x i) تحلیل می‌شوند. اگر f ' (x i) مثبت قطعی باشد، x i یک نقطه حداقل محلی است. در این مورد، انتقال به مورد 8 انجام می شود.
در غیر این صورت به مرحله 7 بروید.
7. مینورهای زاویه‌ای ماتریس -f ′ (x i) محاسبه شده و علائم آنها تجزیه و تحلیل می‌شود.
اگر -f "(x i) - مثبت قطعی باشد، آنگاه f "(xi) معین منفی و x i یک نقطه حداکثر محلی است.
در غیر این صورت f ' (x i) تعریف نشده و x i یک نقطه زین است.
8. شرط تعیین ماهیت تمام نقاط ثابت i = N بررسی می شود.
اگر اجرا شود، محاسبات تکمیل می شود.
اگر شرط برآورده نشد، i = i + 1 را تنظیم می کنیم و به مرحله 4 می رویم.

مثال شماره 1. نقاط انتهایی محلی تابع f (x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x2 را پیدا کنید









از آنجایی که تمام مینورهای گوشه غیر صفر هستند، کاراکتر x 2 با استفاده از f ′′ (x) تعریف می شود.
از آنجایی که ماتریس f " (x 2) مثبت قطعی است، پس x 2 یک نقطه حداقل محلی است.
پاسخ: تابع f (x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 در نقطه x = (5/3؛ 8/3) حداقل محلی دارد.

نقطه منتهی تابع نقطه ای از دامنه تابع است که در آن مقدار تابع یک مقدار حداقل یا حداکثر به خود می گیرد. مقادیر تابع در این نقاط را حداکثر (حداقل و حداکثر) تابع می نامند.

تعریف... نقطه ایکس1 دامنه تابع f(ایکس) نامیده میشود حداکثر نقطه تابع ، اگر مقدار تابع در این نقطه از مقادیر تابع در نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن، واقع در سمت راست و چپ آن بیشتر باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) > f(ایکس 0 + Δ ایکس) ایکس1 بیشترین.

تعریف... نقطه ایکس2 دامنه تابع f(ایکس) نامیده میشود حداقل نقطه تابع، اگر مقدار تابع در این نقطه کمتر از مقادیر تابع در نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن، واقع در سمت راست و چپ آن باشد (یعنی نابرابری f(ایکس0 ) < f(ایکس 0 + Δ ایکس) ). در این مورد گفته می شود که تابع در نقطه است ایکس2 کمترین.

بیایید بگوییم نقطه ایکس1 حداکثر نقطه تابع است f(ایکس). سپس در فاصله تا ایکس1 عملکرد افزایش می یابدبنابراین مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس)> 0)، و در بازه بعد ایکس1 تابع کاهش می یابد، بنابراین، و مشتق از یک تابع کمتر از صفر (f "(ایکس) < 0 ). Тогда в точке ایکس1

بگذارید این نکته را نیز فرض کنیم ایکس2 حداقل نقطه تابع است f(ایکس). سپس در فاصله تا ایکس2 تابع کاهش می یابد و مشتق تابع کمتر از صفر است ( f "(ایکس) < 0 ), а в интервале после ایکس2 تابع افزایش می یابد و مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس)> 0). در این مورد، همچنین در نقطه ایکس2 مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد.

قضیه فرما (معیار ضروری برای وجود یک تابع)... اگر نقطه ایکس0 نقطه منتهی تابع است f(ایکس، سپس در این مرحله مشتق تابع برابر با صفر است ( f "(ایکس) = 0) یا وجود ندارد.

تعریف... نقاطی که مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد، نامیده می شوند نقاط بحرانی .

مثال 1.بیایید یک تابع را در نظر بگیریم.

در نقطه ایکس= 0، مشتق تابع برابر با صفر است، بنابراین، نقطه است ایکس= 0 نقطه بحرانی است. با این حال، همانطور که در نمودار تابع مشاهده می شود، در کل دامنه تعریف افزایش می یابد، بنابراین نقطه ایکس= 0 نقطه انتهایی این تابع نیست.

بنابراین، شرایطی که مشتق یک تابع در یک نقطه برابر با صفر باشد یا وجود نداشته باشد، شرایط لازم برای یک افراط هستند، اما کافی نیستند، زیرا نمونه های دیگری از توابع که این شرایط برای آنها برقرار است، اما تابع فاقد است. یک اکستروم در نقطه مربوطه، می تواند داده شود. از همین رو شما باید علائم کافی داشته باشید، اجازه می دهد تا قضاوت کنیم که آیا یک افراط در یک نقطه بحرانی خاص وجود دارد و کدام یک حداکثر یا حداقل است.

قضیه (نخستین معیار کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 f(ایکس) اگر مشتق تابع در هنگام عبور از این نقطه علامت تغییر دهد و اگر علامت از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، حداکثر نقطه و اگر از "منهای" به "بعلاوه" تغییر کند، حداقل نقطه .

اگر نزدیک به نقطه ایکس0 ، در سمت چپ و سمت راست آن، مشتق علامت را حفظ می کند، به این معنی که تابع یا فقط در برخی از همسایگی های نقطه کاهش می یابد یا فقط افزایش می یابد. ایکس0 ... در این مورد، در نقطه ایکس0 افراطی وجود ندارد

بنابراین، برای تعیین نقاط انتهایی تابع، باید موارد زیر را انجام دهید :

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق را صفر کنید و نقاط بحرانی را تعیین کنید.
3. به صورت ذهنی یا روی کاغذ، نقاط بحرانی را روی محور عددی علامت بزنید و علائم مشتق تابع را در فواصل به دست آمده مشخص کنید. اگر علامت مشتق از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، نقطه بحرانی حداکثر نقطه است و اگر از "منهای" به "بعلاوه"، حداقل نقطه است.
4. مقدار تابع را در نقاط انتهایی محاسبه کنید.

مثال 2.حداکثر یک تابع را پیدا کنید .

راه حل. بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

برای یافتن نقاط بحرانی، مشتق را روی صفر قرار می دهیم:

.

از آنجایی که برای هر یک از مقادیر "x" مخرج برابر با صفر نیست، صورت را با صفر برابر می کنیم:

یک نقطه اوج گرفتم ایکس= 3. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل تعیین شده توسط این نقطه تعیین کنیم:

در محدوده منهای بی نهایت تا 3 - علامت منهای، یعنی تابع کاهش می یابد،

در محدوده 3 تا به علاوه بی نهایت - علامت مثبت، یعنی عملکرد افزایش می یابد.

یعنی نکته ایکس= 3 حداقل امتیاز است.

بیایید مقدار تابع را در نقطه حداقل پیدا کنیم:

بنابراین، نقطه انتهایی تابع پیدا می شود: (3؛ 0)، و آن نقطه حداقل است.

قضیه (دومین معیار کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 نقطه منتهی تابع است f(ایکس) اگر مشتق دوم تابع در این نقطه صفر نباشد ( f ""(ایکس) ≠ 0)، و اگر مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد ( f ""(ایکس)> 0)، سپس حداکثر نقطه، و اگر مشتق دوم کمتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) < 0 ), то точкой минимума.

نکته 1. اگر در نقطه ایکس0 هر دو مشتق اول و دوم ناپدید می شوند، پس در این مرحله نمی توان وجود یک افراط را بر اساس دومین معیار کافی قضاوت کرد. در این مورد، لازم است از اولین نشانگر کافی برای حداکثر عملکرد استفاده شود.

نکته 2. دومین معیار کافی برای حداکثر یک تابع نیز اگر مشتق اول در نقطه ثابت وجود نداشته باشد (پس مشتق دوم نیز وجود ندارد) قابل اعمال نیست. در این مورد، همچنین لازم است از اولین نشانگر کافی برای حداکثر عملکرد استفاده شود.

خصوصیت محلی انتهای تابع

از تعاریف فوق چنین استنباط می شود که حداکثر یک تابع دارای یک کاراکتر محلی است - این بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مقایسه با نزدیکترین مقادیر است.

فرض کنید به درآمد خود در یک بازه زمانی یک ساله نگاه می کنید. اگر در ماه مه 45000 روبل و در آوریل 42000 روبل و در ژوئن 39000 روبل درآمد داشته اید، درآمد ماه می حداکثر تابع درآمد در مقایسه با نزدیکترین مقادیر است. اما در ماه اکتبر 71000 روبل، در سپتامبر 75000 روبل و در نوامبر 74000 روبل درآمد کسب کردید، بنابراین درآمد اکتبر حداقل تابع درآمد در مقایسه با مقادیر نزدیک است. و به راحتی می توانید ببینید که حداکثر در بین مقادیر آوریل-مه- ژوئن کمتر از حداقل سپتامبر-اکتبر-نوامبر است.

به‌طور کلی، یک تابع می‌تواند در یک بازه چند انتها داشته باشد، و ممکن است معلوم شود که هر حداقل تابع بزرگ‌تر از حداکثر است. بنابراین، برای تابع نشان داده شده در شکل بالا،.

یعنی نباید فکر کرد که حداکثر و حداقل یک تابع به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن در کل بازه در نظر گرفته شده است. در حداکثر نقطه، تابع تنها در مقایسه با مقادیری که در تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداکثر نقطه دارد، بیشترین مقدار را دارد و در نقطه حداقل - کوچکترین مقدار را فقط در مقایسه با مقادیری که دارد. در تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداقل نقطه است.

بنابراین، می توان مفهوم فوق را از نقاط منتهی یک تابع روشن کرد و حداقل نقاط را به عنوان نقاط حداقل محلی، و نقاط حداکثر را - نقاط حداکثر محلی نامید.

به دنبال حداکثر یک تابع با هم

مثال 3.

راه حل: تابع در خط اعداد کامل تعریف شده و پیوسته است. مشتق آن همچنین در خط اعداد کامل وجود دارد. بنابراین، در این مورد، نقاط بحرانی تنها مواردی هستند که در آنها، به عنوان مثال. ، از کجا و. نقاط بحرانی و تقسیم کل دامنه تابع به سه بازه یکنواختی:. بیایید در هر یک از آنها یک نقطه کنترل انتخاب کنیم و علامت مشتق را در این نقطه پیدا کنیم.

برای فاصله، نقطه کنترل می تواند: پیدا کنید. با گرفتن یک نقطه در بازه، می گیریم، و با گرفتن یک نقطه در بازه، داریم. بنابراین، در فواصل و، و در فاصله. طبق اولین معیار کافی برای یک اکستروم، هیچ اکسترومی در نقطه وجود ندارد (زیرا مشتق علامت خود را در بازه حفظ می کند) و در نقطه ای تابع دارای حداقل است (از آنجایی که مشتق هنگام عبور علامت از منفی به مثبت تغییر می کند. از طریق این نقطه). بیایید مقادیر مربوط به تابع:، و را پیدا کنیم. در بازه، تابع کاهش می یابد، زیرا در این بازه، و در بازه، افزایش می یابد، زیرا در این بازه.

برای روشن شدن ساختار نمودار، نقاط تلاقی آن را با محورهای مختصات پیدا می کنیم. برای اینکه، معادله‌ای به دست می‌آوریم که ریشه‌های آن و، یعنی دو نقطه (0; 0) و (4; 0) از نمودار تابع پیدا می‌شود. با استفاده از تمام اطلاعات به دست آمده، یک نمودار می سازیم (به ابتدای مثال مراجعه کنید).

مثال 4.انتهای تابع را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.

دامنه تابع، خط اعداد کامل است، به جز نقطه، i.e. ...

برای کوتاه کردن تحقیق می توانید از زوج بودن این تابع استفاده کنید ... بنابراین نمودار آن نسبت به محور متقارن است اوهو کاوش فقط برای بازه زمانی قابل انجام است.

مشتق را بیابید و نقاط بحرانی تابع:

1) ;

2) ,

اما تابع در این نقطه شکسته می شود، بنابراین نمی تواند یک نقطه اکسترموم باشد.

بدین ترتیب، عملکرد از پیش تعیین شدهدارای دو نقطه بحرانی است: و. با در نظر گرفتن برابری تابع، اجازه دهید تنها نقطه را با دومین معیار کافی اکسترموم بررسی کنیم. برای انجام این کار، مشتق دوم را پیدا می کنیم و علامت آن را در: دریافت می کنیم. از آنجا که و، سپس حداقل نقطه تابع است، while .

برای بدست آوردن تصویر کاملتر از نمودار یک تابع، بیایید رفتار آن را در مرزهای دامنه تعریف پیدا کنیم:

(در اینجا نماد نشان دهنده میل است ایکسبه صفر در سمت راست، و ایکسمثبت باقی می ماند؛ به همین ترتیب به معنای آرزو است ایکسبه صفر در سمت چپ، و ایکسمنفی باقی می ماند). بنابراین، اگر، پس. علاوه بر این، ما پیدا می کنیم

,

آن ها اگر پس از آن.

نمودار تابع هیچ نقطه تقاطعی با محورها ندارد. تصویر در ابتدای مثال است.

ما با هم به جستجوی اکسترم های تابع ادامه می دهیم

مثال 8.منتهی الیه تابع را پیدا کنید.

راه حل. بیایید دامنه تابع را پیدا کنیم. از آنجایی که نابرابری باید ارضا شود، از آن به دست می آوریم.

بیایید اولین مشتق تابع را پیدا کنیم:

بیایید نقاط بحرانی تابع را پیدا کنیم.